Problemas de aplicación de la ley de Gauss

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Problemas de aplicación de la ley de Gauss Problema 1 Una esfera de 5 cm está uniformente cargada con una densidad de carga de 1.2·10 -5 /π C/m 3 . Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior (r<5) y en el exterior (r>5) de la esfera cargada. Calcular el potencial en el centro r=0, de la esfera. Solución Distribución de carga con simetría esférica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es EdS=EdScos0=EdS=E4πr2 Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss EdS=0 E=q4πε0r2 Para r<5 cm q=1.210−5π43πr3=1.610−5r3 E=144 000r N/C

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Problemas de aplicacin de la ley de GaussProblema 1Una esfera de 5 cm est uniformente cargada con una densidad de carga de 1.210-5/ C/m3.Calcular el mdulo del campo elctrico a una distanciardel centro, en el interior (r5) de la esfera cargada.Calcular el potencial en el centror=0, de la esfera.SolucinDistribucin de carga con simetra esfrica.El campo elctrico tiene direccin radial, su mdulo es constante en todos los puntos de una superficie esfrica concntrica de radior.El flujo del campo elctrico E a travs de dicha superficie esEdS=EdScos0=EdS=E4r2

Calculamos la cargaqcontenida en una superficie esfrica de radiory aplicamos la ley de GaussEdS=q0E=q40r2Parar5 cmq=1.210543(0.05)3=2109E=18r2N/C

Grfica del campo

PotencialV=0Edr=00.05144000rdr+0.0518r2dr=540VProblema 2Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio est uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 410-6C/m3. Determinar, razonadamente, la expresin del campo elctrico dentro y fuera del cilindro. Determinar la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo.SolucinDistribucin de carga con simetra cilndrica.El campo elctrico tiene direccin radial y perpendicular al eje del cilindro, su mdulo es constante en todos los puntos de una superficie cilndrica de radiory longitudL.El flujo del campo elctricoEa travs de dicha superficie es

EdS=superficielateralEdS=EdScos0=EdS=E2rLbaseinferiorEdS=0ES2basesuperiorEdS=0ES1EdS=E2rLCalculamos la cargaqcontenida en una superficie cilndrica de radiory longitudLy aplicamos la ley de GaussEdS=q0E=q20rLParar5 cmq=4106(0.05)2L=108LE=180rN/C

Grfica del campo

Diferencia de potencialV0V15=00.15Edr=00.0572000rdr+0.050.15180rdr=90(1+2ln3)VProblema 3Una placa plana, est uniformemente cargada, con una densidad de carga de=2/ 10-9C/m2. Calcular el mdulo del campo elctrico. Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos situados a 1 cm y 8 cm de la placa

SolucinDistribucin de carga con simetra plana.El campo elctrico tiene direccin perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya seccin es S.El flujo del campo elctricoEa travs de dicha superficie esEdS=superficielateralEdS=0EdSbaseizquierdaEdS=ES1=ESbasederechaEdS=ES2=ESEdS=2ESCalculamos la cargaqcontenida en dicha superficie cilndrica y aplicamos la ley de GaussEdS=q0E=q2S0Es la carga que hay en la porcin de placa de reaSmarcada en color rojo esq=SE=20=36N/CGrfica del campo

Diferencia de potencialV1V8=0.010.08Edr=0.010.0836dr=2.52VProblema 4Una placa plana, indefinida de espesor 2d=2 cm, est uniformemente cargada, con una densidad de carga de=2 10-8C/m3.Obtener razonadamente la expresin del campo elctrico en el interior y en el exterior de dicha placa.Representar el mdulo del campo elctrico en funcin de la distancia a la placa.Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punto situado a 5 cm de dicho plano.

SolucinDistribucin de carga con simetra plana.El campo elctrico tiene direccin perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya seccin es S.

El flujo del campo elctricoEa travs de dicha superficie esEdS=superficielateralEdS=0EdSbaseizquierdaEdS=ES1=ESbasederechaEdS=ES2=ESEdS=2ESCalculamos la cargaqcontenida en dicha superficie cilndrica y aplicamos la ley de GaussEdS=q0E=q2S0Parax>d

La carga que hay en la porcin cilndrica de placa de reaSy longitud 2dmarcada en color rojo esq=(2d)SE=d0=7.2N/CParax