Problemas de aplicación de la ley de Gauss

Problema 1

Una esfera de 5 cm está uniformente cargada con una densidad de carga de 1.2·10-5/π C/m3.

Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior (r<5) y en el exterior (r>5) de la esfera cargada.

Calcular el potencial en el centro r=0, de la esfera.

 Solución

Distribución de carga con simetría esférica.

El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es∮E⋅dS=∮E⋅dS⋅cos0=E∮dS=E⋅4πr2

Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0   E=q4πε0r2 

Para r<5 cm

q=1.2⋅10−5π43πr3=1.6⋅10−5r3  E=144 000⋅r N/C

Para r>5 cm

q=1.2⋅10−5π43π(0.05)3=2⋅10−9  E=18r2 N/C

Gráfica del campo

Potencial

V=∫0∞E⋅dr=∫00.05144 000 r⋅dr+∫0.05∞18r2⋅dr=540 V

Problema 2

Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10-6 C/m3.

Determinar, razonadamente, la expresión del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro.

Determinar la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo.

 Solución

Distribución de carga con simetría cilíndrica.

El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=∫E⋅dS⋅cos0=E∫dS=E⋅2πrLbase inferior ∫E⋅dS=0 E⊥S2base superior ∫E⋅dS=0 E⊥S1 ∮E⋅dS=E⋅2πrL

Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0   E=q2πε0rL 

Para r<5 cm

q=4⋅10−6πr2L=4π⋅10−6r2L  E=72 000π⋅r N/C

Para r>5 cm

q=4⋅10−6π(0.05)2L=π⋅10−8L  E=180πr N/C

Gráfica del campo

Diferencia de potencial

V0−V15=∫00.15E⋅dr=∫00.0572 000 πr⋅dr+∫0.050.15180πr⋅dr=90π(1+2ln3) V

Problema 3

Una placa plana, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de σ=2/π 10-9C/m2.

Calcular el módulo del campo eléctrico.

Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos situados a 1 cm y 8 cm de la placa

 Solución

Distribución de carga con simetría plana.

El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.

    

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=0 E⊥dSbase izquierda ∫E⋅dS=E⋅S1=ESbase derecha ∫E⋅dS=E⋅S2=ES ∮E⋅dS=2E⋅S

Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0   E=q2Sε0 

Es la carga que hay en la porción de placa de área S marcada en color rojo es q=σ·S

E=σ2ε0=36 N/C

Gráfica del campo

Diferencia de potencial

V1−V8=∫0.010.08E⋅dr=∫0.010.0836 ⋅dr=2.52 V

Problema 4

Una placa plana, indefinida de espesor 2d=2 cm, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de ρ=2 10-8 C/m3.

Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dicha placa.

Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa.

Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punto situado a 5 cm de dicho plano.

 Solución

Distribución de carga con simetría plana.

El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.        

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=0 E⊥dSbase izquierda ∫E⋅dS=E⋅S1=ESbase derecha ∫E⋅dS=E⋅S2=ES ∮E⋅dS=2E⋅S

Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0   E=q2Sε0 

Para x>d

La carga que hay en la porción cilíndrica de placa de área S y longitud 2d marcada en color rojo es q=ρ(2d)S

E=ρdε0=7.2π N/C

Para x<d

La carga que hay en la porción cilíndrica de placa de área S y longitud 2x marcada en color rojo es q=ρ(2x)S

E=ρxε0=720πx N/C

Gráfica del campo

Diferencia de potencial

V0−V5=∫00.05E⋅dx=∫00.01720πx ⋅dx+∫0.010.057.2π ⋅dx=0.324π V

Área de un triángulo más el área de un rectángulo

Problema 5

Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga uniformemente distribuida por todo su volumen con una densidad de 4 10-

5/π C/m3. En su centro hay una esfera conductora de 1 cm de radio cargada con -4·10-9 C.

Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones r<1, 1< r<3, 3<r<5, r>5.

Calcular el potencial del centro de la esfera conductora

 Solución

 

Distribución de carga con simetría esférica.

El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radior.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es∮E⋅dS=∮E⋅dS⋅cos0=E∮dS=E⋅4πr2

Calculamos la carga q en el interior de la esfera de radio r en las distintas regiones y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0

r<1 cm.

En el interior de un conductor el campo eléctrico es nulo, E=0

1<r<3 cm.

q=-4·10-9 C, la carga de la esfera conductora

E⋅4πr2=qε0  E=−36r2

Sentido hacia el centro.

3<r<5 cm.

La carga de la esfera conductora y una parte de la carga de la esfera hueca.

q=−4⋅10−9+4π10−5(43πr3−43π0.033)E⋅4πr2=qε0  E=48⋅104r−48.96r2

r>5 cm.

La carga de la esfera conductora y la carga de la esfera hueca.

q=−4⋅10−9+4π10−5(43π0.053−43π0.033)E⋅4πr2=qε0  E=11.04r2 N/C

Gráfica del campo

Potencial  de la esfera conductora

V=∫0∞E⋅dr=∫0.010.03−36r2dr+∫0.030.05(48⋅104r−48.96r2)dr+∫0.05∞11.04r2dr=−2448 V

Problema 6

Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero, que tiene un radio de 2 cm está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10-6 C/m3 El hueco de radio interior 5 cm y radio exterior 8 cm, es un conductor cargado con una carga por unidad de de longitud de -9·10-9 C/m.

Determinar razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las distintas regiones: r<2, 2<r<5, 5<r<8, 8<r cm.

Representar el campo en función de la distancia radial

Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje y otro situado a 15 cm del mismo, a lo largo de la dirección radial.

 Solución

Distribución de carga con simetría cilíndrica.

El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=∫E⋅dS⋅cos0=E∫dS=E⋅2πrLbase inferior ∫E⋅dS=0 E⊥S2base superior ∫E⋅dS=0 E⊥S1 ∮E⋅dS=E⋅2πrL

Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0   E=q2πε0rL 

Para r<2 cm

q=4⋅10−6πr2L=4π⋅10−6r2L  E=72 000π⋅r N/C

Para 2<r<5 cm

q=4⋅10−6π(0.02)2L=π⋅1.6⋅10−9L  E=28.8πr N/C

Para 5<r<8 cm

En el interior de un conductor el campo eléctrico es E=0

Para r>8 cm

q=4⋅10−6π0.022L−9⋅10−9L=π⋅1.6⋅10−9LE=−71.52r N/C

Gráfica del campo

Diferencia de potencial

V0−V15=∫00.15E⋅dr=∫00.0272 000 πr⋅dr+∫0.020.0528.8πr⋅dr+0+∫0.080.15−71.52r⋅dr=83.18 V

Problema 7

Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero que tiene un radio de 2 cm y es un conductor cargado con una carga por unidad de longitud de 9·10-9 C/m El hueco de radio interior 5 cm y radio exterior 8 cm, está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad -4/π·10-6 C/m3.

Determinar la expresión del campo eléctrico en las distintas regiones: r<2, 2<r<5, 5<r<8, 8<r cm.

Representar el campo en función de la distancia radial

Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje y otro situado a 15 cm del mismo, a lo largo de la dirección radial.

 Solución

Distribución de carga con simetría cilíndrica.

El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=∫E⋅dS⋅cos0=E∫dS=E⋅2πrLbase inferior ∫E⋅dS=0 E⊥S2base superior ∫E⋅dS=0 E⊥S1 ∮E⋅dS=E⋅2πrL

Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0   E=q2πε0rL 

Para r<2 cm

En el interior de un conductor el campo eléctrico es E=0

Para 2<r<5 cm

q=9⋅10−9L  E=162r N/C

Para 5<r<8 cm

q=9⋅10−9L+4π⋅10−6(πr2−π0.052)LE=342r−72 000⋅r N/C

Para r>8 cm

q=9⋅10−9L+4π⋅10−6(π0.082−π0.052)LE=−118.8r N/C

Gráfica del campo

Diferencia de potencial

V0−V15=∫00.15E⋅dr=0+∫0.020.05162r⋅dr+∫0.050.08(342r−72 000⋅r)⋅dr+∫0.080.15−118.8r⋅dr=94.1 V

Problema 8

Una esfera de 8 cm de radio está cargada con una carga uniformemente distribuida en su volumen de 1.152·10-

9 C. Determinar razonadamente la expresión del campo eléctrico a una distancia r del centro de la esfera cargada.

Calcular el vector campo eléctrico y el potencial en el punto P (0, 6) cm producida por dicha distribución de carga y otra carga puntual Q de -2·10-9 C situada en el punto (12, 0) cm tal como se muestra en la figura

 Solución

Problema 9

Sea un sistema formado por dos esferas de radio a=4 cm. La de la izquierda cuyo centro está situado en el origen y tiene una carga uniformemente distribuida en todo su volumen de 1.152·10-9 C. La de la derecha es una esfera hueca cargada uniformente con -2.0·10-9 C, su centro está a 12 cm de la primera.

Determinar, la expresión del campo eléctrico y del potencial de cada esfera aisladamente en función de la distancia a su centro r, para r<a y r>a.

Calcular el vector campo eléctrico y el potencial en los puntos A (0, 2 ) cm, B (6, 0) cm, y C (12, -2) cm producido por ambas esferas.

 Solución

Distribución de carga con simetría esférica.

El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es∮E⋅dS=∮E⋅dS⋅cos0=E∮dS=E⋅4πr2

Calculamos la carga q en el interior de la esfera de radio r en las distintas regiones y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0

Esfera cargada uniformente

r>4 cm.

La carga q es la de la esfera cargada

q=1.152⋅10−9E⋅4πr2=qε0  E=10.368r2 N/CV(r)=∫r∞10.368r2dr=10.368r

r<4 cm.

La carga q es una parte de la esfera uniformemente cargada

q=1.152⋅10−943π0.04343πr3=1.8⋅10−5r3E⋅4πr2=qε0  E=162 000⋅r N/CV(r)=∫r0.04162 000⋅r⋅dr+∫0.04∞10.368r2dr=388.2−81000r2

Esfera hueca

r>4 cm

La carga q es la de la esfera cargada

q=−2⋅10−9E⋅4πr2=qε0  E=−18r2 N/CV(r)=∫r∞−18r2dr=−18r

r<4 cm

No hay carga dentro de una superficie esférica de radio r<4 cm. El campo eléctrico es nulo

E=0

Potencial para un punto r<4 cm es

V(r)=∫0.04∞−18r2dr=−450 V

Combinación de ambas distribuciones de carga

Punto A(0, 0.02)

E1=162000⋅0.02=3240E2=180.022+0.122=1216.2  tanθ=0.020.12E1=3240⋅jˆE2=E2cosθ⋅iˆ−E2sinθ⋅jˆEA=E1+E2=1200⋅iˆ+3040⋅jˆ N/CVA=V1+V2=388.2−81000⋅0.022−180.022+0.122−−−−−−−−−−√=207.84 V

Punto B(0.06, 0)

E1=10.3860.062E2=180.062E1=2885⋅iˆE2=5000⋅iˆEB=E1

+E2=7885⋅iˆ N/CVB=V1+V2=10.3860.06−180.06=−127.2 V

Punto C(0.12, -0.02)

E2=0E1=10.3680.022+0.122=700.5  tanθ=0.020.12E1=E1cosθ⋅iˆ−E1sinθ⋅jˆEC=E1+E2=691.0⋅iˆ+115.2⋅jˆ N/CVA=V1+V2=10.3680.022+0.122−−−−−−−−−−√−180.04=−364.77 V

Problema 10

Un modelo de átomo consiste en un núcleo positivo representado por una carga puntual carga +Q situado en el centro de una esfera de radio R, que tiene uniformemente distribuida una carga -Q en su interior.

Determinar de forma razonada la expresión del campo eléctrico a una distanciar<R del centro de la esfera cargada. ¿Cuánto vale el campo para r>R?.

Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos situados a una distancia del centro r1=R/2 y r2=R, respectivamente.

 Solución

Distribución de carga con simetría esférica.

El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es∮E⋅dS=∮E⋅dS⋅cos0=E∮dS=E⋅4πr2

Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0   E=q4πε0r2 

Para r<R

q=Q−Q43πR343πr3=Q(1−r3R3)  E=Q4πε0R2(R2r2−rR)

Para r>R

q=Q-Q=0, E=0

Diferencia de potencial

VR/2−VR=∫R/2RE⋅dr=∫R/2RQ4πε0R2(R2r2−rR)⋅dr=5Q32πε0R

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García