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Presentación basada en el material contenido en: R. Serway,; Physics for Scientists and Engineers,

Saunders College Publishers, 3rd edition.

Ley de Gauss

Flujo Eléctrico

Hemos aprendido a calcular el E establecido por un sistema de cargas puntuales o una distribución de carga uniforme o continua.

La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante líneas de fuerza está relacionada con una ecuación matemática llamada ley de Gauss.

“Las cargas eléctricas producen un campo eléctrico, y el flujo de dicho campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga total contenida dentro de dicha superficie”.

Superficies cerradas y abiertas

Una superficie cerrada se define como una superficie que divide al espacio en dos regiones, una interior (“adentro”) y otra exterior (“afuera”), de tal manera que uno no puede moverse de una región a otra sin tener que cruzar a través de la superficie.

Una superficie abierta se define como cualquier superficie para la cual es posible ir de un lado a otro sin tener que pasar o cruzar a través de ella.

Flujo Eléctrico y líneas de campo

El número de líneas que salen de la carga positiva y cruzan la superficie, saliendo del espacio limitado por ésta, depende de dónde se establezca la superficie, pero el número es exactamente igual al número de líneas que entran en el mismo espacio y terminan en la carga negativa

Superficies de forma arbitraria rodeando un dipolo eléctrico

Flujo Eléctrico y líneas de campo

Enunciado cualitativo de la ley de GaussEn las figuras en las que se muestran las líneas de fuerza para distribuciones de carga, el número neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra todas las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie

Superficies de forma arbitraria rodeando un dipolo eléctrico

Flujo Eléctrico (ΦE)

La ley de Gauss relaciona el comportamiento espacial del campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie.

Aunque es consecuencia de la ley de Coulomb, la ley de Gauss es más útil para calcular los campos eléctricos de distribuciones de carga simétricas (v. gr. una corteza esférica o una línea infinita)

Es decir, hace posible el utilizar un razonamiento cualitativo al enfrentar problemas difíciles.


Concepto cuantitativo de las líneas de campo eléctrico.

Consideren un campo eléctrico E que es uniforme tanto en magnitud como en dirección (ver figura)

Las líneas de campo atraviesan una superficie rectangular de área A, cuyo plano es perpendicular al E.


Deben recordar que el número de líneas por unidad de área (la densidad de líneas) es proporcional a la magnitud del campo eléctrico.

Por lo tanto, el número total de líneas que pasan a través de la superficie es proporcional al producto EA (magnitud del E y área de la superficie perpendicular).


La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo.

El flujo eléctrico (el flujo del vector campo eléctrico) es elproducto de la magnitud del campo eléctrico, E, y el área superficial, A, que es perpendicular a dicho E.


ΦE = EA Unidades SI: N·m2/C

Como el campo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico por unidad de área, el flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que pasan a través de una superficie.

A’


Si la superficie que se toma en cuenta no es perpendicular al campo eléctrico E (ver figura), el flujo eléctrico debe ser menor que el dado por ΦE = EA.

En la figura la superficie de área A no es perpendicular al campo eléctrico uniforme E.

En la figura, el vector normal o perpendicular a la superficie de área A forma un ángulo θrespecto al E uniforme.

A’


Se debe observar que el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie de área A es igual al número de líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie de área A’.

La superficie de área A’ es la proyección de la superficie de área A sobre un plano perpendicular al campo eléctrico E.

La relación entre las áreas de estas dos superficies es:

A’ = A cos θ


El flujo (de líneas de campo eléctrico) a través de la superficie de área A es igual al flujo (de líneas de campo eléctrico) a través de la superficie de área A’.

Entonces, el flujo eléctrico a través de la superficie de área A es:

θ es el ángulo existente entre el vector campo eléctrico E y el vector normal a la superficie de área A, n.


Con θ = 0º,

Superficie de área A, perpendicular al campo eléctrico E (valor máximo EA del ΦE)

Vector normal a la superficie n, paralelo al campo eléctrico E.

Con θ = 90º,

Superficie de área A, paralela al campo eléctrico E (valor mínimo del flujo eléctrico; ΦE = 0)

Vector normal a la superficie n, perpendicular al campo eléctrico E (el campo eléctrico no tiene ninguna componente en la dirección del vector normal de la superficie).

El vector normal unitario:

La palabra “normal” significa, en este contexto, “perpendicular”.

Definición de un vector normal a una superficie

Considerar una superficie S.

Definir dos vectores no colineales u y v, tangentes a S en un punto P.

Un vector N que es perpendicular a u y a v en el punto P es, por definición, normal a S en el punto P.

El producto vectorial (o producto cruz) de u y v tiene esta propiedad: su resultado es un vector perpendicular al plano que forman u y v.

El vector normal unitario:

Entonces, se puede establecer que:

N = u × v

Para hacerlo un vector unitario (i.e. de longitud 1): dividir N entre su magnitud N

donde es un vector unitario normal a S en el punto P.


Considerando la definición del vector normal unitario ( ) y del producto escalar (o producto punto) de dos vectores

A⋅B = ABcosθ

se puede establecer que el flujo eléctrico (ΦE) a través de una superficie no perpendicular al campo eléctrico E es:

en donde En = E⋅ = Ecosθ es la componente del vector campo eléctrico perpendicular, o normal, a la superficie

Ley de Gauss: Flujo Eléctrico (ΦE)

Hasta ahora se ha considerado un campo eléctrico uniforme.

Sin embargo, el campo eléctrico puede variar sobre una superficie, la cual además por lo general no es un plano sino un superficie curvada.

Se puede generalizar la definición de flujo eléctrico a superficies curvadas, en las cuales el campo eléctrico puede variar tanto de magnitud (módulo) como de dirección, o ambos a la vez.

¿Cómo? Dividiendo la superficie en un gran número de elementos superficiales muy pequeños.


Es decir, si el E varía sobre una superficie, ΦE = EAcosθ , sólo es válido para un pequeño elemento de la superficie.

Consideren un superficie general (curvada) dividida en un gran número de pequeños elementos de superficie.

Si cada elemento es suficientemente pequeño, puede considerarse como un plano y puede despreciarse la variación del campo eléctrico en todo el elemento.


Sea el vector normal (perpendicular) unitario de dicho elemento de la superficie, y ΔAi su área.

es un vector cuya magnitud representa el área del i-ésimo elemento de superficie y cuya dirección se define como perpendicular a dicho elemento de superficie.

Si la superficie es curvada, los vectores normales unitarios tendrán direcciones diferentes para elementos de superficie distintos


El campo eléctrico Ei en la posición del i-ésimo elemento hace un ángulo θi con el vector

Por lo tanto, el flujo eléctrico ΔΦE a través de dicho elemento de superficie es


El flujo eléctrico total a través de la superficie es la suma de ΔΦi

extendida a todos los elementos de superficie:

Flujo Eléctrico (ΦE): Definición General

DEFINICIÓN GENERAL DEL FLUJO ELÉCTRICO

En el límite en que el número de elementos se aproxima a infinito y, por lo tanto, el área de cada elemento se aproxima a cero, esta suma se reemplaza por una integral.

Flujo Eléctrico (ΦE): Definición General

Esta ecuación es una integral de superficie, lo cual significa que debe ser evaluada sobre la superficie en cuestión.

En general, el valor del ΦE dependerá tanto del comportamiento espacial del E (i.e. del patrón de las líneas de campo) como de la superficie sobre la cual se evalúa.

Las unidades del flujo eléctrico son N.m2/C2

Flujo Eléctrico (ΦE): Superficies Cerradas

Evaluación del flujo eléctrico a través de una superficie cerrada.

Consideren una superficie cerrada (ver figura)

Los vectores normales unitarios (o ΔAi) apuntan en diferentes direcciones para los diferentes elementos de superficie;

en cada punto son perpendiculares a la superficie

y, por convención, siempre apuntan hacia fuera de la superficie cerrada.

Para el elemento (1), las líneas de campo cruzan la superficie de dentro hacia fuera, θ < 90º y ΔΦE = E⋅ > 0 (el flujo eléctrico es positivo).

Para el elemento (2), las líneas de campo “rozan” la superficie (i.e. son perpendiculares al vector ), θ = 90º y ΔΦE = E⋅ = 0.

Para elementos como (3), en el cual las líneas de campo cruzan la superficie de fuera hacia dentro, 180º > θ > 90º y ΔΦE = E⋅ < 0 (el flujo eléctrico es negativo, pues cosθ es negativo).



El flujo eléctrico neto a través de la superficie es proporcional al número neto de líneas de campo eléctrico que salen de la superficie.

El número neto de líneas de campo eléctrico es el número de líneas de campo eléctrico que salen de la superficie menos el número de líneas de campo eléctrico que entran por la superficie.

Si salen más líneas de campo de las que entran, el flujo eléctrico es positivo.

Si entran más líneas de campo de las que salen, el flujo eléctrico es negativo


Se utiliza el símbolo para indicar una integral sobre una

superficie cerrada.

FLUJO ELÉCTRICO NETO ΦE A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE CERRADA

donde En = Ecosθ , es la componente del vector campo eléctrico Enormal (perpendicular) a la superficie.

Ley de Gauss: Introducción

Expresión matemática para la relación general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada y la carga encerrada dentro de dicha superficie.

A la superficie cerrada se le llama frecuentemente superficie gausiana.

La ley de Gauss tiene una importancia fundamental para el estudio de los campos eléctricos.

Ley de Gauss: General

Consideren una carga puntual positiva q que se localiza en el centro de un esfera de radio r (ver figura).

La magnitud del campo eléctrico en cualquier punto sobre la superficie de la esfera es:

y las líneas de campo eléctrico apuntan radialmente hacia afuera de la esfera; ∴ son perpendiculares a la superficie en cualquier punto sobre ésta.

Así, en cualquier punto superficial, E es paralelo al vector que representa un elemento

local de área ΔAi que rodea al punto superficial. Entonces:

y el flujo eléctrico neto a través de esta superficie gausiana es:


E sale de la integral pues, por simetría, es constante sobre toda la superficie:

Además, si la superficie es esférica A = 4πr2 y dA = 8πr .Consecuentemente, el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la esfera es:


Si

Entonces


Nótese que el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la esfera es proporcional a la carga que dicha superficie encierra.

El ΦE es independiente del radio r pues el área de la superficie esférica es proporcional a r2, mientras que el campo eléctrico es proporcional a 1/r2.

En el producto de las magnitudes del área y del campo eléctrico, la dependencia respecto a r se cancela.



Para S1, ΦE = q/ 0

ΦE es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que pasan a través de la superficie

# líneas por S1 = # líneas por S2

# líneas por S1 = # líneas por S3

∴ para S2 y S3, ΦE = q/ 0


El flujo eléctrico neto ΦE a través de cualquier superficie cerrada que rodea una carga puntual q es q/ 0, y es independiente de la forma de la superficie.


Cualquier línea de campo eléctrico que entra en la superficie cerrada (la cual tiene una forma arbitraria) sale de dicha superficie por algún otro punto.

# líneas que entran = # líneas que salen


El flujo eléctrico neto ΦE a través de una superficie cerrada que NO rodea a una carga es cero.


Para casos generalizados: (1) muchas cargas puntuales; (2) distribuciones continuas de carga

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

el campo eléctrico debido a muchas cargas es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por las cargas individuales


donde E es el campo eléctrico total en cualquier punto sobre la superficie obtenido mediante la suma vectorial de los campo eléctricos en dicho punto debidos a las cargas individuales.


ΦE / S = q1/ 0

ΦE / S´ = (q2 + q3)/ 0

ΦE / S´´ = 0

LEY DE GAUSS

El flujo eléctrico neto a través de cualquiersuperficie cerrada es

qdentro es la carga neta (total) dentro de la superficie

E es el campo eléctrico en cualquier punto sobre la superficie (NOTA: se debe de considerar la contribución de las cargas DENTRO y FUERA de la superficie cerrada)

En principio, la ley de Gauss se puede resolver para E y así determinar el campo eléctrico debido a cualquier sistema de cargas o distribución continua de carga.

Sin embargo, este tipo de solución sólo se pude aplicar en un número limitado de sistemas altamente simétricos (v. gr. distribuciones de carga con simetría esférica, cilíndrica o plana)

Si uno elige cuidadosamente la superficie gausiana que rodea la distribución de carga, la integral de la ley de Gauss se puede simplificar.

LEY DE GAUSS

Una superficie esférica (i.e. cerrada o gausiana) rodea una carga puntual q. Describan que le ocurre a flujo eléctrico total ΦE a través de la superficie si:

A. la carga se triplica,

B. el radio de la esfera se duplica,

C. la superficie esférica se cambia por un cubo,

D. la carga se mueve a otro punto dentro de la superficie.

Ley de Gauss: Ejemplo conceptual


A. la carga se triplica,


El flujo eléctrico a través de la superficie se triplica debido a queΦE es proporcional a la cantidad de carga dentro de la superficie.


B. el radio de la esfera se duplica,


El flujo eléctrico no cambia debido a que todas las líneas de campo eléctrico que provienen de la carga pasan a través de la esfera, independientemente de su radio.


C. la superficie esférica se cambia por un cubo,


El flujo eléctrico no cambia cuando la forma de la superficie gausiana cambia debido a que todas las líneas de campo eléctrico que provienen de la carga pasan a través de la superficie, independientemente de su forma.


D. la carga se mueve a otro punto dentro de la superficie.


El flujo eléctrico no cambia cuando la carga se mueve a otro punto dentro de la superficie debido a que la ley de Gauss se refiere a la carga total .

Distribuciones de carga con un alto grado de simetría.

Se elige una superficie gausiana sobre la cual se pueda simplificar la integral de superficie y así determinar el campo eléctrico

La simetría de la distribución de carga permite sacar la magnitud del campo eléctrico E de la integral (siempre y cuando ésta sea constante sobre toda la superficie).

Ley de Gauss: Aplicaciones

La meta en este tipo de cálculos es determinar la superficie gausiana que satisfaga una o más de las siguientes condiciones:

1. El valor del campo eléctrico se puede establecer, mediante argumentos de simetría, como constante sobre toda la superficie.

2. El producto punto se puede expresar como un simple producto algebraico E dA debido a que E y dA son paralelos.

3. El producto punto es cero debido a que E y dA son perpendiculares.

4. El valor del campo eléctrico se puede establecer como cero sobre la superficie.

Ley de Gauss: Condiciones

El campo eléctrico debido a una carga puntual q positiva y aislada.

Una sola carga representa la distribución de carga más simple a partir de la cual es posible resolver la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico.

Conceptualización del sistema físico:

el espacio alrededor de la carga tiene simetría esférica,

suficiente simetría para aplicar la ley de Gauss.

Ley de Gauss: Problemas (Carga puntual)

Para analizar cualquier problema con la ley de Gauss:

se debe de considerar la naturaleza y las características del campo eléctrico;

se debe de elegir una superficie gausiana que satisfaga una o todas las condiciones señaladas anteriormente.

Debido a la simetría de este problema (carga puntual aislada)

se elige una superficie gausiana esférica de radio r centrada en la carga puntual.


El campo eléctrico debido a una carga puntual positiva está dirigido radialmente hacia fuera y, por lo tanto, es perpendicular (normal) a la superficie en cualquier punto.

Entonces E es paralelo a dA en todos los puntos sobre la superficie gausiana (condición 2)


La ley de Gauss se puede escribir como:

Por simetría, E es constante sobre toda la superficie (condición 1), por lo cual puede salir de la integral.


Entonces:

donde se ha utilizado el hecho de que el área de una esfera es 4πr2. Despejando el campo eléctrico se obtiene:

Expresión para el campo eléctrico debido a un carga puntual que se estableció a partir de la ley de Coulomb.


¿Qué pasaría si la carga puntual q no se encontrara en el centro de la superficie gausiana esférica?


En este caso, aunque la ley de Gauss seguiría siendo válida, el sistema no tendría suficiente simetría como para evaluar el campo eléctrico. Es decir, si la carga no está en el centro, la magnitud de Evariaría sobre la superficie de la esfera y el vector E no sería perpendicular a la superficie en todos los puntos.

Una distribución de carga esféricamente simétrica: una esfera sólida (de un material aislante) de radio a tienen una densidad de carga volumétrica uniforme ρ y tiene una carga total positiva Q.

A. Calcula la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera.

Como la distribución de carga es esféricamente simétrica, se elige una superficie gausiana esférica de radio r, concéntrica respecto de la esfera sólida.

Ley de Gauss: Problemas (Esfera sólida)

Tal y como ocurre para una carga puntual, con esta superficie gausiana se satisfacen las condiciones 1 y 2.

Aplicando el mismo razonamiento, se obtiene que:


Nótese que este resultado es idéntico al obtenido para una carga puntual.

para una esfera cargada uniformemente, el campo eléctrico en la región externa de la esfera es equivalente al campo eléctrico de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.


B. Determina la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de la esfera.

En este caso se elige una superficie gausiana esférica de radio r < a, concéntrica respecto de la esfera sólida.

Se indica el volumen de la esfera más pequeña (superficie gausiana) como V’.

Para aplicar la ley de Gauss, es importante reconocer que la carga qdentro de la superficie gausiana de volumen V’ es menor que Q.


Para calcular qdentro, se utiliza la relación qdentro = ρV’:

Por simetría, la magnitud del campo eléctrico, E, es constante sobre toda la superficie gausiana esférica y su dirección es normal respecto de la superficie en cualquier punto (condiciones 1 y 2). Entonces, la ley de Gauss en la región r < a es:


Despejando la magnitud del campo eléctrico E:

Debido a que por definición

la expresión para E puede escribirse como:


Nótese que este resultado para E (región r < a) difiere del obtenidopara la región r > a.

Esto indica que E → 0 conforme r → 0.

Por lo tanto, el resultado elimina el problema que existiría en r = 0 si E variara como 1/r2 dentro de la esfera, tal y como lo hace fuera de ella.

Es decir, si E ∝ 1/r2 para r < a, el campo eléctrico sería infinito en r = 0, lo cual es físicamente imposible.


¿Qué pasaría si se aproximara a la posición radial r = a desde dentro de la esfera y desde fuera de ella? ¿Se obtendría el mismo valor para el campo eléctrico aproximándose desde ambas direcciones?


Desde fuera de la esfera, E tiende a un valor dado por:

Desde dentro de la esfera, E tiende a un valor dado por:

Entonces, el valor del campo eléctrico es el mismo si nos aproximamos a la superficie de la esfera desde cualquiera de las dos direcciones.

Una gráfica de E vs r, i.e. E = f (r), muestra que la magnitud del campo eléctrico es continua, pero la derivada de la magnitud del campo eléctrico (respecto de r) no lo es.


Una distribución de carga cilíndricamente simétrica: determina el campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal positiva de longitud infinita y una carga constante por unidad de longitud λ.

La simetría de la distribución de carga implica que el E sea perpendicular a la carga lineal y que su dirección sea hacia fuera.

Para reflejar la simetría de la distribución de carga, se elige una superficie gausiana cilíndrica de radio r y longitud l, que sea coaxial (mismo eje) respecto de la carga lineal.

Ley de Gauss: Problemas (Carga lineal)

Para la parte curva de esta superficie, E es constante en magnitud y perpendicular a la superficie en todos los puntos (i.e. se satisfacen las condiciones 1 y 2).

Además, el flujo eléctrico a través de las caras planas (o finales) del cilindro gausiano es cero debido a que el E es paralelo a dichas superficies, o bien, es perpendicular a dA (condición 3)


Se debe de tomar la integral de superficie de la ley de Gauss sobre toda la superficie gausiana.

Sin embargo, debido a que E⋅ dA = 0 para las caras planas y finales del cilindro, se puede restringir el análisis únicamente a la superficie curvada del cilindro.

La carga total dentro de la superficie gausiana es Q = λl, pues


Aplicando la ley de Gauss para la superficie curvada se puede establecer que

El área de la superficie curvada de un cilindro es A = 2πrl


Se puede establecer que el campo eléctrico debido a unadistribución de carga cilíndricamente simétrica varía como 1/r.

Por otro lado, el campo eléctrico en un punto externo a unadistribución de carga esféricamente simétrica varía como 1/r2.


¿Qué pasaría si el segmento de carga lineal en este ejemplo no fuese infinitamente largo?

Si la carga lineal en este ejemplo fuese de longitud finita, el resultado para E no sería el obtenido anteriormente.

Una carga lineal finita no posee la simetría suficiente para utilizar la ley de Gauss

Esto se debe a que la magnitud del campo eléctrico E no sería constante sobre la superficie del cilindro (E en puntos cercanos a los extremos finales de la carga lineal sería diferente de E en puntos lejanos a dichos extremos).


Además, E no sería perpendicular a la superficie cilíndrica en todos los puntos, es decir, los vectores de campo eléctrico cercanos a los extremos finales tendrían una componente paralela a la carga lineal finita, incumpliéndose la condición 2.

Para puntos cercanos a la carga lineal finita y lejanos de los extremos finales, la ecuación para la magnitud del campo eléctrico E obtenida a partir de una carga lineal infinita representa una buena aproximación al valor del campo eléctrico.


Un buen conductor eléctrico contiene cargas (electrones) que no están unidos a ningún átomo y, por lo tanto, son libres de moverse dentro del material.

Cuando no hay un movimiento neto de carga dentro del conductor, éste está en equilibrio electrostático.

Conductores en Equilibrio Electrostático

Propiedades de un conductor en equilibrio electrostático:1. El campo eléctrico es cero en cualquier punto dentro del conductor.

2. Si un conductor aislado está cargado, la carga se localiza en su superficie.

3. El campo eléctrico justo fuera de un conductor cargado es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud σ/ 0, donde σ es la densidad de carga superficial en ese punto.

4. Sobre conductores de formas irregulares, la densidad de carga superficial es mayor en aquellas posiciones donde el radio de curvatura de la superficie es más pequeño.

Conductores en Equilibrio Electrostático

Consideren una tabla conductora colocada dentro de un campo eléctrico E externo.

Si Edentro ≠ 0, los electrones libres dentro del conductor experimentarían una fuerza eléctrica

F = qEy se acelerarían debido a esta fuerza

F = ma

Propiedad 1: Edentro = 0

Sin embargo, este movimiento de los electrones supondría que el conductor no está en equilibrio electrostático.

Entonces, la existencia de un equilibrio electrostático sólo es consistente con un campo eléctrico de cero, E = 0, dentro del conductor.


Análisis:

Antes de que se aplique el Eexterno, los electrones libres están distribuidos uniformemente sobre todo el conductor.

Cuando se aplica el Eexterno, los electrones se aceleran hacia la izquierda en la figura, estableciéndose un plano de carga negativa sobre la superficie izquierda.


El movimiento de los electrones hacia la izquierda establece un plano de carga positiva sobre la superficie derecha.

Estos planos de carga establecen un campo eléctrico adicional dentro del conductor que se opone al campo eléctrico externo.


Conforme los electrones se mueven, las densidades de carga superficiales sobre las superficies izquierda y derecha del conductor aumentan hasta que la magnitud del campo eléctrico interno es igual a la magnitud del campo eléctrico externo Eexterno, provocando que el campo eléctrico neto dentro del conductor sea cero (≈ 10-16 s).


Conductor de forma arbitraria.

Se elige una superficie gausiana dentro de dicho conductor cuya forma sea muy parecida a la del conductor (lo más parecida posible).

Edentro del conductor = 0 cuando está en equilibrio electrostático.

Entonces, el campo eléctrico debe ser cero en cualquier punto sobre la superficie gausiana.

Propiedad 2: Carga sobre la superficie

Consecuentemente, ΦE = 0.(a través de la superficie gausiana)

A partir de la ley de Gauss podemos concluir que la carga neta dentro de la superficie gausiana es cero.

ΦE = qdentro / 0

si ΦE = 0

como 0 es contante y diferente de cero, entonces

qdentro = 0


Debido a que no puede haber una carga neta dentro de la superficie gausiana (la cual está arbitrariamente cercana a la superficie del conductor), cualquier carga neta en el conductor debe encontrarse sobre su superficie.

Nota: la ley de Gauss no indica como este exceso de carga esta distribuido sobre la superficie del conductor, sólo establece que se encuentra exclusivamente sobre la superficie.


Dirección del E.

Primero, se debe de tener en cuenta que si el vector campo eléctrico E tiene una componente paralela a la superficie del conductor, los electrones libres experimentarían una fuerza eléctrica y se moverían a lo largo de la superficie; en tal caso, el conductor no estaría en equilibrio.

Por lo tanto, para poder estar en equilibrio electrostático, el vector campo eléctrico E debido a un conductor cargado debe ser perpendicular a su superficie.

Propiedad 3: Dirección y magnitud del E

Para determinar la magnitud del E, se dibuja una superficie gausiana con forma de un pequeño cilindro, cuyas caras finales sean paralelas a la superficie del conductor.

Así, una parte del cilindro está fuera del conductor, y la parte restante está dentro, en equilibrio electrostático.

E es perpendicular a la superficie del conductor.


No hay ΦE a través de la parte curveada de una superficie gausiana cilíndrica debido a que el E es paralelo a la dicha región de la superficie.

No hay ΦE a través de la cara plana del cilindro que está dentro del conductor, pues en esta región E = 0.


Entonces, el ΦE a través de la superficie gausiana cilíndrica corresponde únicamente al ΦE a través de la cara plana del cilindro que está fuera del conductor.

Para dicha cara plana, el campo eléctrico E es perpendicular a la superficie gausiana.


De esta manera ΦE = EA

donde E es el campo eléctrico justo fuera del conductor y Aes el área de la cara del cilindro.

Aplicando la ley de Gauss para esta cara del cilindro, se obtiene:


Despejando E, se obtiene el campo eléctrico justo fuera de un conductor cargado:


La figura muestra líneas de campo eléctrico visibles mediante pedazos de hilo flotando en aceite.

Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares tanto para un conductor cilíndrico como para una placa conductora.

No hay líneas de campo eléctrico dentro del cilindro.

Ejemplo Visual

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