1

ESTRUCTURA Y COMPORTAMIENTO MECÁNICO

Cap. 2. ELASTICIDAD

• Los comienzos: Robert Hooke• La “ley de Hooke” generalizada• La elasticidad, mecanismo de deformación reversible; implicaciones: dos tipos de elasticidad• Un inciso sobre viscosidad; distinción viscosdiad-elasticidad• Elasticidad de los elastómeros (elasticidad entrópica)• Elasticidad de los materiales cristalinos o vítreos (energética o entálpica)• Anisotropía elástica de los materiales cristalinos• Modificación de las constantes elásticas por aleación (solución sólida)• Influencia de la temperatura en la rigidez elástica de los materiales cristalinos o vítreos• Constantes elásticas de segundo orden• Heterogeneidad local de los módulos elásticos de policristales o composites

V. 2007

2

3

Robert Hooke 1635-1703Hooke’s main scientific contributions were in writing the first book on microscopy and in original work on springs and clocks. His linear law of the spring is the basis of the simplest constitutive law of linear elasticity.

Solid materials which behave in a linear elastic manner are oftendescribed as hookean.

[Biography: Lisa Jardine, “The curious life of Robert Hooke”, London 2003]

4

∑=ij

ijijklkl C εσ

LEY de HOOKE

ceiiinsssttuv*

UT TENSIO SIC VIS

F ∼ Δλ

Generalizando la “ley de Hooke”:

* Robert Hooke (1635-1703) - por miedo de que Newton se lo apropiara - publicó su descubrimiento inicialmente en forma de ese anagrama.

5

Descripción más completa del fenómeno:

La elasticidad es comportamiento mecánico reversible sin creación de discontinuidades en el material (pura deformación reversible)

Procesos reversibles, condiciones termodinámicas*:

• Procesos cuasiestáticos (todos los estados intermedios son de equilibrio)• Sin efectos disipativos (sin procesos cuyo sentido –signo- no puede invertirse)

Un proceso es reversible si, una vez producido, es posible volver al mismo estado inicial pasando por todos los estados intermedios e invirtiendo todas las interacciones que se hubieran producido con el entorno, de forma que, en el ciclo cerrado (ida y vuelta) no quede ningún efecto del proceso. Los estados inicial y final no dependen del camino recorrido.

* No se olvide que la termodinámica hace referencia a estados y propiedades macroscópicas.

6

VVV TSU −=ΨLa energía libre:

En un cambio reversible isotermo, el trabajo mecánico realizado sobre el sistema se emplea en un cambio de la energía libre.

Para un cambio reversible diferencial isotermo por deformación elástica (deformación cuasi-estática sin efectos disipativos):

VVijij

ij TdSdUd −=∑ εσ

El trabajo elástico se puede invertir en cambiar la energía interna y en

cambiar la entropía

ELASTICIDAD ≡ DEFORMACIÓN REVERSIBLE

ijij

ijeV ddwd εσ∑==Ψ

7

ijij ε

σ∂

Ψ∂=

∑∑∑ =∂∂Ψ∂

=∂∂

=ij

ijijklijij klij

ijij ij

klkl dCddd εε

εεε

εσσ

2

ELASTICIDAD LINEAL

∑=ij

ijijklkl C εσ...==== jilkjiklklijijkl CCCC

21 módulos elásticos de rigidez*

Si existe simetría en la muestra, el número de módulos independientes se reduce

ijij

ijeijij ij

VV ddwdd εσε

ε ∑∑ ==∂Ψ∂

=Ψ

* Por la independencia del camino en la derivada segunda de la energía libre (función de estado) y por la simetría de las tensiones o deformaciones, el nº de

módulos se reduce de 81 aparentes a 21

8

Una observación desconcertante de Gough (1805), estudiada unos 50 años después por William Thompson (Lord Kelvin)*: hay dos tipos de comportamiento elástico

* Estudios publicados más tarde en “Elasticity and Heat”, 1880

F

ΔL

T1T2 T2

T2 > T1

Cristal o vidrioElastómero

L+ΔL

F

F

9

Vv TdSdU >>

Vv TdSdU <<

Existen 2 casos extremos de comportamiento elástico

En cristales, o en vidrios a T < TG

En elastómeros (TM > T > TG)

El trabajo elástico se emplea en cambiar la energía interna

El trabajo elástico se emplea en cambiar la entropía

10

Crystalline & lattice glasses

COMPARACIÓN DE VALORES ABSOLUTOS DEL MÓDULO DE YOUNG Y DE LA DENSIDAD

El módulo de Youngde los elastómeros es varios órdenes de magnitud inferior al de los materiales inorgánicos cristalinos o vítreos

Ashby map

11

Siguen algunas consideraciones sobre vidrios, transiciónvítrea y TG

12

SOLIDIFICACIÓN CRISTALINA EN EQUILIBRIO a TM

vs TRANSICIÓN VÍTREA MUY LEJOS DEL EQUILIBRIO

Partiallycrystallized*

*Holding the liquidjust below the melting(crystallization) temperature andrapidly coolingthereafter

13

Velocidad de enfriamiento diferente

Los vidrios obtenidos a mayor velocidad de enfriamiento tienen mayor TG y mayor “volumen libre”

TG

El vidrio puede tener un intervalo de densidades según la velocidad de enfriamiento

dT/dtcreciente

14

Viscosidad de varios líquidos que vitrifican fácilmente

The increasing viscosity of the liquid as a function of undercooling reflects the decreasing mobility of atoms thatoccurs during supercooling. This is observed in all supercooled liquids, whether they are metallic or nonmetallic. Silicate liquids, called strong liquids, usually show high equilibrium melt viscosities and Ahrrenius behavior in theslowing mobility in the supercooled melt. The other limits are fragile liquids with low melt viscosities and a more abrupt change in the kinetics close to the glass transition. The fragility concept is used to classify the different temperature dependencies of the viscosity. To compare theviscosities measured in different glass-forming systems, data are plotted in an Ahrrenius plot in which the inversetemperature axis is multiplied by the temperature, Tg, at which the viscosity of the respective alloy is 1012 Pa · s.

Busch, 2000, JOM

La viscosidad varía muy fuertemente con la temperatura en los líquidos formadores de vidrios

1012 Pa⋅s = Tg

10-5 Pa s

El comportamiento es muy distinto en los líquidos que cristalizan fácilmente

15

Al

Bowman, 2004

Viscosidad de varios metales que cristalizan al solidificar y de otros materiales que vitrifican fácilmente

TG

El comportamiento viscoso de las fases sólidas cristalinas es propiamente plasticidad y depende del tamaño de grano (“viscoplasticidad”)

?¿Comportamiento vítreo como límite del comportamiento nanocristalino?

16

RUBBER ELASTICITYThe chains are crosslinked to provide a network*

The amorphous phase is above its Tg but is constrained by the cross links and so cannot be said to be liquid-like (but chains between cross-links can move viscously)

The crosslinks provide a 'memory'.

When the network is stretched, entropic forcescome into play which favour retraction, returningthe network to its original dymamicunstretched/equilibrium state.

Mx: masa molecular promedio de las cadenas entre enlaces cruzados

All chains are crosslinked, i.e., no free (liquid) chains as in gels

Módulo elástico a cortadura para pequeñas deformaciones:Snap-shots(Los segmentos entre uniones cruzadas duras están moviéndose continuamente como en estado líquido, pero con sus extremos fijos) XM

RTG ρ=

17

Aspecto de la estructura de un polímero con cadenas moleculares configuradas aleatoriamente

18

Cálculo de la elasticidad entrópica de una cadena

19

Ejemplo de cálculo de la elasticidad entrópica de una cadena

20

Hay varios modelos

21

For moderate strains, the equation of state of an isotropic rubber band of length L at temperatureT under stress τ is:

at constant volume, where k is a constant that depends on the composition and geometry of thesample considered and L0 is the length in the absence of applied stress (Gaussian models)

Pellicer et al., 2001

22

Curva experimental tensión-alargamiento (λ = ΔL/L) del caucho, analizada en los términos entrópico (b) y entálpico (c).

Anthony, 1948

23

ELASTICIDAD “ENERGÉTICA” O “ENTÁLPICA”

La red de enlaces interatómicos o intermoleculares se deforma sin rotura de ningún enlace, i.e., no hay cambios topológicos y apenas hay cambios de entropía

• Los módulos elásticos se derivan de la distorsión de los enlaces; la rigidez depende de la fortaleza de los enlaces

• En los materiales cristalinos la elasticidad es anisótropa

24Gilman et al., 2006

Módulo de deformación volumétrica B y Tabla Periódica

?

25

Por cierto, a propósito de esa gráfica…

¿Qué sentido tiene hablar de elasticidad de los gases?

¿Cuánto vale el módulo elástico de deformación volumétrica de un gas ideal?

26

Los valores de los módulos de los sólidos guardan relación con propiedades relacionadas con la fortaleza de los enlaces, vg.,

27Ghosh y Olson, AM 2002

Correlación entre el módulo de rigidez volumétrica y la temperatura de fusión de metales FCC

28Gilman et al., 2006

29

ANISOTROPÍA ELÁSTICA DE LOS MATERIALES CRISTALINOS

30

La simetría reduce el número de módulos independientes Cijkl

21

13

2

3

6

9

5

31

32

33

Calculated Anisotropic Behavior of Young's Modulus E (Left) and Poisson's Ratio (Right) for Single Crystal 3C-SiC

and Silicon in the (100)-Planes.

Wieczorek, TU Berlin. Application of high band gap SiC to high T sensors

LA ANISOTROPÍA ELÁSTICA PUEDE SER IMPORTANTE

34(Crystal reference axis system)

La anisotropía elástica de los materiales cristalinos puede ser muy importante: V. g.,

Cu

35

Cálculos de elasticidad cristalina y de anisotropía

1' −= klijklijijkl ACAC

CONSTANTES ELÁSTICAS DE UN CRISTAL EN FUNCIÓN DE LAS CONSTANTES REFERIDAS AL TRIEDRO INTRÍNSECO DE

REFERENCIA DEL CRISTAL

Para un cristal cuya matriz de transformación de ejes de coordenadas de la base cristalina a los de una base extrínseca sea :ijA

36

mnoplpkojnimijkl

mnoplpkojnimijkl

saaaas

caaaac

=′

=′

a33a32a31x’3

a23a22a21x’2

a13a12a11x’1

x3x2x1Ejes(vectoresunitarios) del sistemade referenciaextrínseco

Ejes (vectores unitarios) del sistema intrínseco al cristalMatriz Aij

37

5

31,13

64321

12,2123,32332211

Convención

Como sólo hay 6 componentes independientes de tensión o de deformación, las constantes elásticas se suelen denotar con dos subíndices. La convención para la contracción de índices es:

612

531

423

333

222

111

σσσσσσσσσσσσ

======

612

531

423

333

222

111

222

εεεεεε

εεεεεε

===

===

38

Coeficientes para la representación elástica matricial (pseudovectores de tensión y deformación, con contracción de índices)

jiji c εσ =

kljlikij cc αα=′

39

Transformation matrix α for the elastic coefficients (pseudovector form of stresses and strains):

40Kelly and Groves, 2000 K = (C11+2C12)/3

G(001)[100] = C44

41

Kelly and Groves, 2000

42

De los valores de las dos Tablas anteriores:

Compárense las constantes elásticas del C Diamante y del C Grafito:

C11 y C44 del diamante frente a C11, C33 y C44 del grafito

Obsérvese la extraordinaria anisotropía elástica de este último.

Ej. 1

43

Single crystalline Ni Young's modulifor directions in the {001}, {011} and {111} planes

Reuss and Voigt averages ofthe moduli on the {001}

plane give a random in-planemodulus of 171–177 GPa

Hemker & Last, MSE A, 2001

Ej.2

Max

Min

44

Índice de anisotropía elástica paramateriales cristalinos cúbicos

Para un cristal cúbico, el módulo de Young en una dirección [hkl], siendo [hkl] un vector unitario:

Por consiguiente, se toma como “índice de anisotropía”:

Si A<1, el cristal es más rígido en la dirección de los ejes <001>Si A>1, es más rígido en la dirección de los ejes <111>

[ ] ( )[ ] ( )( )2222224412111111 22 hllkkhCCCCCE hklhkl ++−−−==

1211

442CC

CA−

=

45

Para un policristal de ODF conocida, f = f(g),

( ) ( ) ( )dggfgCCg

ijklVoigtijkl ∫=

( ) ( ) ( ) ( ) 1

Re

−≠= ∫ Voigtijkl

gijklussijkl CdggfgSS

( ) ( ) 1

ReRe

−=

ussijklussijkl SC

UB

LB

46

Utilizando las tablas de constantes elásticasmostradas anteriormente,

• Compárese la anisotropía elástica del Cu y del Nb

• Id, del Fe, Al y W

47

Effects of solid solution: Al-Li alloysLi is the lightest metallic element and each 1% of Li reduces alloydensity by about 3% and increases modulus by about 6%

Commercial Al-Li alloys:• 7-10% Lower density. • 10-15% Higher Modulus. • Excellent fatigue and cryogenic toughness properties. • Higher stiffness. • Superior fatigue crack growth resistance. but

• Reduced ductility • Lower fracture toughness at RT• Highly anisotropic

2024 alloy + Li

Chemical composition of 2024 aluminum alloy (wt%)Fe Si Cu Mn Mg Zn Ti Cr Al

0.50 0.50 4.45 0.71 1.36 0.20 0.15 0.10 balance

48

The decrease in the elasticmoduli with increasing Alcontent is mainly caused by theslightly reduced lattice energyof the Fe-Al solid solution andthe larger distance between thecoexisting Al and Fe atoms inthe lattice.

Fe

Frommeyer et al., 2000

Effects of solid solution: Fe-Al steels

49

Effects of solid solution: β Ti alloys, Toyota “gum metal”

Kuramoto et al., Toyota, 2005

50

Constantes elásticas de la ytria (Y2O3, cúbico)

Palko, Univ. Michigan, JAP, 2001

Ejemplo de dependencia térmica de los módulos elásticos de los sólidos

51

Koster, ZM, 1948

Ejemplo de dependencia térmica de los módulos elásticos de los sólidos. Módulo de Young isótropo de varios metales

52

The variation of modulus is non-linear and the slope begins to fall rapidly at highertemperatures, approaching the solidus.

The modulus of a material is a function of the elastic behaviour of the constituent phases, and the distinct changes in slope which have been observed at specific temperatures in some materials can be linked clearly to changes in microstructure.Lord and Orkney, NPL, 2000

TM0 K

Dependencia térmica de los módulos elásticos de los sólidos

53Ghosh y Olson, AM 2002

Fe bulk modulus vs. T

Curie temperature

54Antonangeli et al., EPSL, 2004

Constantes elásticas de segundo orden, vg.:

Dependencia del módulo elástico C11 del HCP Fe con la presión

Medidas de la velocidad del sonido a RT en una DAC

55

En un policristal mono- o polifásico o en un composite:

• Las propiedades elásticas son heterogéneas a escala local.

• El comportamiento macroscópico promedia el de los granos o fases constituyentes del agregado policristalino o polifásico

• Los módulos macroscópicos se pueden calcular mediante promedios (v. g., como el promedio de los valores de Voigt y Reuss, ya mencionados)

La heterogeneidad espacial elástica se puede visualizar

56

FOR INSTANCE:

For crystalline materials OIM provides the capability to calculate, mapand plot the distribution of elastic stiffness modulus for a givenstress condition and single crystal elastic stiffness tensor.

The maps shown here are from a stainless steel (left) and a titanium alloy (right).

From EDAX

57

Variation in elastic stiffnessdue to differences in crystalorientation. The points in redare stiffer than points in blue.

The material is titanium (Ti-6Al-4V) cored from the faceof a cast golf club driver. From TSL

Pero hoy también se puede medir directamente la rigidez local

58

Two-dimensional map of the elastic modulus of a carbon fiber-epoxycomposite material. Brighter regions of the image correspond to highermodulus. (b) Cross-section line scan through the center of the image (marked by arrows in (a)) shows the storage modulus in the epoxy and the modulus gradientat the center of the fiber.

When the probe radius R, applied load P, andmeasured contact stiffness K are known, thereduced elastic modulus E* can be directlycalculated, pixel by pixel, from the contactstiffness image data obtained during scanning

ELASTIC MODULUS MAPPING BY NANOINDENTATION

Wahl et al., NRL

59

Si se conoce la ODF de un policristal o la proporción de fases de un composite se

puede calcular un valor medio del agregado (no es un problema sencillo, porque también influye la forma y la distribución de los granos o fases)

Dos aproximaciones sencillas para los módulos de rigidez :

• Un límite superior : isodeformación del agregado

• Un límite inferior: isotensión

Los valores de E, G, ν de los manuales suelen corresponder - salvo indicación contraria – a los de un agregado isótropo

60

Ej. 2.1. Calcúlese el módulo elástico de deformación volumétrica de- cristales cúbicos- cristales hexagonales

Ej. 2.2. ¿Puede haber contracciones anisótropas al someter algún cristal a compresión hidrostática?

Ej. 2.3. Calcúlese el módulo de Young de monocristales de - Fe, Al y W para las direcciones contenidas en el plano(001) - Ti en el plano (0001)

Ej. 2.4. ¿Cuáles son los límites del módulo de Poisson, ν?[Materials which have a negative Poisson ratio are known as auxetic materials. These are unusual and not numerous but are attracting attention from materialsscientists and engineers. E.g., see Baughman, Nature 2003, vol 426, p667]