Ley de Coulomb Ejercicios ResueltosLa siguiente figura muestra tres partculas cargadas:

Qu fuerza electrosttica, debida a las otras dos cargas, acta sobre q1? Considere que: q1= -1.2 C q2= 3.7 C q3= -2.7 C r12= 15 cm r13= 10 cm = 32

Recordemos que (micro) significa 10 elevado a la menos 6 o sea que -1.2 C es igual a -1.2x10^-6 C

Por la Ley de Coulomb sabemos que la fuerza que va a ejercer la carga q2 sobre q1 es igual a: F12= K (q1q2)/(r12) donde la constante k= 9x10 Nm/C F12= 1.776 N

Ahora calculamos la fuerza que ejerce la carga q3 sobre la carga q1:

F13= K(q1q3)/r13 F13= 2.484 N

Nota: Al realizar los clculos de la fuerza, no tomamos en cuenta el signo de las cargas, ya que por ahora slo nos interesa la magnitud de dicha fuerza.

Ahora vamos a descomponer los vectores obtenidos (F12 y F13) en sus correspondientes componentes rectangulares:

La componente en x de F12 es igual a la magnitud de la fuerza que obtuvimos anteriormente, es decir Fx12= 1.77 N Y la componente F13x= F13 sen 32

Fx= Fx12 + Fx13= 3.09 N

Ahora obtenemos las componentes en Y:

Fy= F12y + F 13y

La componente en y de F12= 0

Fy= 0 + (-F13 cos 32) Fy= -2.10 N la fuerza resulta negativa porque la carga q1 y q3 tienen el mismo signo por lo tanto se repelen.

La fuerza total ejercida por las cargas q2 y q3 sobre q1 se obtiene: F= (3.09)+(- 2.10) F= 3.74 N

Problema 7 Un resorte de constante elstica k se suspende verticalmente y se estira una longitud y0, cuando una masa m se cuelga de l. La masa se desplaza una distancia adicional y, y se suelta. a. Demostrar que la masa realiza un MAS b. Para una masa de 0.32kg. el resorte se estira 0.1m. Si despus se desplaza hacia abajo otros 0.05m, hallar, la constante elstica del resorte, la amplitud, el periodo y la frecuencia. c. Escribir las expresiones de la posicin , la velocidad y la aceleracin en funcin del tiempo y de la velocidad y la aceleracin en trminos del desplazamiento. SOLUCIN La figura ilustra las posiciones del resorte para cada una de las situaciones. Los diagramas de cuerpo libre nos dan:

Se obtiene entoces que

que es la ecuacin de un MAS. b)del diagrama de cuerpo libre (2) se obtiene que,

c) Para t = 0,

Entonces,

Problema 8 Un cuerpo de 2 kg est unido a un sistema de dos resortes de igual longitud natural y constante elstica k=2k N/m. Si los resortes se alargan paralelamente 10 cm y se dejan libres: a) Plantear la ecuacin de movimiento del sistema y obtener el perodo del mismo. b) Calcular la velocidad mxima sobre el cuerpo. c) Calcular la energa total del sistema. Solucin a) Como en el diagrama (2) el bloque esta en equilibrio, 2kl=mg, , mg2kl =0 Si el bloque se desplaza verticalmente desde su posicin de equilibrio, entonces el bloque se acelerar. En este caso,

b)

c) Como el sistema es conservativo, se tiene que ET=Ek+Ep =Ekmaxima , que ocurre en el centro de la trayectoria cuando Ep=0 =Epmaxima , que ocurre en el estremo de la trayectoria cuando Ek=0 Entonces,

Es decir la energa total es igual a la energa total de un resorte con constante k' = 2k

Problema 12 En el presente problema (ver analoga con un pndulo simple) se tiene una partcula que oscila deslizndose sobre un canal cilndrico sin rodar. En el problema siguiente, se analiza ya no una partcula, sino una esfera que rueda. En ambos casos se suponen pequeos desplazamientos angulares desde la posicin de equilibrio.

Enunciado Problema 10: Una masa puntual m se desliza en un canal cilndrico de radio R, como se indica en la figura. Cuando la partcula se lleva a una posicin B, un ngulo con la vertical, y se suelta, oscilar entre B y la posicin simtrica B si no hay friccin entre la partcula y el canal. Demuestre que para pequeos desplazamientos desde la posicin de equilibrio la partcula oscilar con MAS, y encuentre el perodo dse oscilacin. Solucin En la figura se observa el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas que actan sobre la partcula son la fuerza normal N ejercida por la superficie y su peso mg.

La componente tangencial de la fuerza, que es una fuerza restauradora es

Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento s. Como la aceleracin tangencial esta dada por , la ecuacin del movimiento tangencial es

Esta ecuacin No es la de un M.A.S. Sin embargo, si el ngulo es pequeo, podemos escribir , obtenindose

Por tanto, se tiene la ecuacin del M.A.S., con ,

y perodo,

Problema 13 Supngase que ahora en vez de una partcula se tiene el cuerpo rgido de una esfera slida de radio r que rueda sin deslizar en el canal cilndrico de radio R. Demuestre que para pequeos desplazamientos la esfera ejecuta MAS y halle su perodo. SOLUCIN En la figura se muestra las fuerzas que actan sobre la esfera que rueda,

mg: peso de la esfera N: fuerza normal fr: Fuerza de friccin

El problema lo resolvemos aplicando el principio de conservacin de la energa. En el punto de partida cuando la esfera se encuentra en reposo su energa total es Mgh, con respecto al punto ms bajo del c.d.m. (centro de masa) En cualquier otra posicin el c.d.m. se mueve con una velocidad de translacin v y la esfera rota con respecto al c.d.m. con una velocidad angular , y la energa total es la suma de la energa cintica rotacional alredeeor del c.d.m. ms la energa cintica traslacional del c.d.m., ms la nueva energa potencial. Entonces, para cualquier punto c de altura y con respecto al c.d.m. de la esfera cuando est ubicada en el punto D, la energa total Mgh ser igual a:

con y, ver figura

Pero para pequeos ngulos, y

en radianes,

Por consiguiente,

,y

Pero la Vcmy la velocidad angular de la lnea OD, pasa por el punto ms bajo, estn relacionadas por

, cuando la esfera

, Y por conservacin de la energa,

Puesto que E es constante,

, que es la ecuacin de un MAS con

,

Y,

problema 14 Un cilindro macizo de radio R y masa m puede rodar sin resbalar sobre una mesa horizontal, como muestra la figura. La constante k del resorte es 3.0 N/m. Si se suelta el sistema a partir del reposo en una posicin en la cual el resorte est estirado 0.25m, encontrar, a) la energa cintica de traslacin y la energa de rotacin del cilindro en el instante en que pasa por la posicin de equilibrio, b) demostrar que el centro del cilindro ejecuta MAS con perodo ,

Solucin

a) Llamemos

la velocidad angular del cilindro

, la posicin

, la

velocidad, a la aceleracin del centro de masa del cilindro, y recordemos que el momento de inercia respecto a su eje es . La condicin

de rodar sin deslizar se expresa como Como la energa cintica de rotacin es

, es decir, , tenemos :

.

Ecintica de rotacin=

,

Ecintica de traslacin=

,

Y la energa total es, ,

, (1)

En la situacin inicial x = x mxima , v = 0 y la ecuacin (1) da : , (2)

En la situacin final x = 0 , v = v mxima , y la ecuacin (1) da :

Por la ley de la conservacin de la energa, igualamos (2) y (3) :

Y se obtiene, Ecintica de rotacin mxima= ,

Ecintica de traslacin mxima=

,

b) Para probar que se trata de movimiento armnico simple tomamos la derivada temporal de la ecuacin (1), y aparece dE/dt, que es cero porque la energa se conserva :

Al dividir ambos lados de la ecuacin anterior por v y hacer en sta, a = d2x/dt2 , resulta :

Que se reconoce como la ecuacin del movimiento armnico simple con frecuencia angular , es decir, con perodo .

Problema 10 La figura muestra un disco uniforme de masa M (momento de inercia I=1/2(MR2) y radio R montando en un eje horizontal fijo (sin friccin). Un bloque de masa m cuelga de una cuerda que pasa alrededor del disco y se encuentra unida a un resorte de constante k. Suponiendo que la cuerda no resbala sobre el disco, determine la frecuencia de oscilacin del disco. Solucin

Inicialmente cuando la masa "m" se encuentra en equilibrio, el resorte se estira una distancia Xo, y kXo = mg, (1)

Para cualquier posicin arbitraria, cuando el sistema se encuentra en movimiento y el bloque ha descendido una distancia x, la Energa es constante y por consiguiente

Ahora bien, para esta posicin x, la energa total del sistema con respecto al nivel de referencia indicado es:

Derivando con respecto al tiempo, ,

donde la velocidad del bloque es igual a la velocidad tangencial del disco, es decir v = dx/dt, v = WR, por lo tanto, W = v/R, dv/dt = r dw/dt, por lo tanto, dw/dt = (1/R) dv/dt Y sustituyendo, mvdv/dt + I(1/R2) vdv/dt + k(Xo + X)v - mgv = 0 Eliminando v, mdv/dt + I(1/R2) dv/dt + R(Xo + X) - mg = 0 Sustituyendo, I = 1/2MR2, mdv/dt + 1/2M dv/dt + kXo + kX - mg = 0 Al tener en cuenta la ecuacion (1), y v = dx/dt, dv/dt = d2x/dt2 m d2x/dt2 + 1/2M d2x/dt2 + RX = 0 d2x/dt2 (m + 1/2M) + kX = 0 d2x/dt2 + kX/(m + 1/2M) = 0, que es la ecuacion de un MAS.

Entonces,

.

Note que si M = 0, es decir no existe el disco, obtenemos

, o sea

la frecuencia de una masa unida a un resorte y oscilando con MAS.

Problema 9 Un objeto de masa m se mueve sin friccin sobre un plano inclinado con un ngulo respecto a la horizontal y bajo la influencia de un resorte. Cuando el resorte est en equilibrio se halla estirado x1. A continuacin la masa es desplazada hacia abajo una distancia x2 y se le da una velocidad inicial v0 hacia la posicin de equilibrio. Halle la amplitud, la frecuencia y la fase inicial del movimiento. SOLUCIN En la figura inferior se muestran las tres situaciones correspondientes al resorte sin masa, con masa y estirado una distancia x1, y finalmente desplazado una distancia x2.

cuando el resorte se alarga x, y se impulsa, no estar en equilibrio. En este caso,

La amplitud se puede obtener por conservacin de la energa:

El valor de la fase inicial

se obtiene de x y v para t=0, lo que nos da

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?id=10976