Capítulo 23 – Lei de Gauss
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Capítulo 23 – Lei de Gauss
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Fluxo de linhas de campo elétrico
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Fluxo Elétrico, Φ
Proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passam através da superfície.
Assume que a superfície é perpendicular às linhas E se não for?
Considera-se a componente do vetor campo perpendicular à area.
Matematicamente:
∑∑ ∆⋅=∆=Φ AEAE
θcos
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Cálculo do Fluxo
E
Φ=EA
E
A A
Φ=0Φ=EAcosθ
E
A
E cosθ
θ
E E
E
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Caso Geral
Número de linhas que passam através de uma superfície
∑∑ ∆⋅=∆=Φ AEAE
θcos
E
∆A∆A
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Efetuando a soma ( ou de Σ a )
Σ representa uma soma sobre um grande número de objetos
Integral também é uma soma sobre um grande número de pequenos objetos infinitesimalmente pequenos, em nosso caso, pequenas areas, dA
Assim
∫
∫ ⋅=Φ AdE
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A lei de Gauss
A quantidade de linhas emitidas por uma carga é proporcional à quantidade de cargas.
A intensidade do campo depende da densidade de linhas. O campo elétrico deve ser proporcional à quantidade de cargas.
Para contar as linhas do campo, englobamos as cargas em uma superfície fechada Superfície Gaussiana, arbitrariamente escolhida.
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Matematicamente
∫ ⋅=Φ
∝Φ
sAdE
q
0εenglobadaq
=Φ
0εenglobada
S
qAdE =⋅=Φ ∫
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Exemplo:
Um campo elétrico dado por atravessa as faces do cubo como mostrado abaixo. (E em newtons/coulomb e y em metros). Qual é a carga total englobada por esta superfície?
X=1.0 m X=3.0 m
x
y
z
jyiE ˆ)2(3ˆ4 2 −−=
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Aplicando a Lei de Gauss
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅=
⋅=Φ
=Φ
∫∫∫∫∫∫
∫
∫
654321
0
0
0
sssssseng
S
englobada
S
englobada
AdEAdEAdEAdEAdEAdEq
AdEq
AdE
Como
q
ε
ε
ε
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Planos1. y-z: Normal a +x 2. x-z: Normal a –y3. y-z: Normal a –x4. x-z: Normal a +y5. x-y: Normal a +z6. x-y: Normal a -z
idAAd ˆ=
X=1.0 mX=3.0 m
x
y
z
1
25
3
4 6
vetores1. y-z: 2. x-z: 3. y-z: 4. x-z:5. x-y:6. x-y:
idAAd ˆ+=
jdAAd ˆ−=
jdAAd ˆ+=
kdAAd ˆ−=
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Integrando cada face do cubo: (Começando da surperfície 1)
( )( )
164444
4ˆ)ˆ23ˆ4(
ˆ23ˆ4
ˆ
1
2
2
11
11
=⋅===⋅
=⋅+−=⋅
+−=
⋅=⋅
∫∫
∫∫
AdAAdE
dAidAjyiAdE
jyiE
como
idAEAdE
ss
ss
Para a região 3, o vetor normal aponta no sentido oposto e temos o valor
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−=⋅∫s AdE
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Faces 2 e 4:
( ) ∫ ∫∫ ∫ ==+=−⋅ =
2
0
3
1
20
2
24)2)(2(6)2(3ˆ dxydzdxdzjE y
( ) ∫ ∫∫ ∫ −=+−=+−=⋅ =
2
0
3
1
22
4
72)2)(24(6)2(3ˆ dxydzdxdzjE y
dzdxdA =
( ) ∫∫ +=−⋅22
)2(3ˆ 2
SSdAydAjE
( ) ∫∫ +−=⋅44
)2(3ˆ 2
SSdAydAjE
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Faces 5 e 6:
( ) 0ˆ5
=+⋅∫ ∫ dxdykE
CqCmNAdE
englobada
S
10120
2
102.4)1085.8(4848
480072162416
−− ×−=×−=−=
⋅−=++−−+=⋅∫ε
)6(ˆ)5(ˆ
FacekdydxAddydxdA
FacekdydxAddydxdA
−=→=
+=→=
( ) 0ˆ6
=−⋅∫ ∫ dxdykE
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3 Formas
Cargas isoladas Esfera Cilindros Chapas e planos
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Carga pontual Quando usar: quando os
objetos são esféricos e cargas pontuais.
O vetor normal à superfície apontada para for a dela.
Integral sobre a superfície fechada:
r é o raio da superfície introduzida.
)4( 2rEAdES
π=⋅∫ +q
dA
E
E
dAr
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Carga Pontual
20
0
2
0
0
4
)4(
rqE
então
qrEAdE
qAdE
Comoqq
q
S
englobada
englobada
π ε
επ
ε
ε
=
==⋅
=Φ=⋅
=
=Φ
∫
∫
Pela lei de Gauss
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Cilindro Quando usar: Com
objetos de forma cilindrica e linhas de carga.
Integral sobre a superfície:
r é o raio da superfície cilindrica
)2( rLEAdES
π=⋅∫
+λdA
r
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CilindroConsideramos uma linha de cargas infinita com densidade de carga uniforme, λ
rr
E
our
E
LrLE
Lqenglobada
ˆ2
2
)2(
0
0
0
επλ
επλ
ελπ
λ
=
=
=
=
0
)2(
ε
π
λ
englobada
S
qe
rLEAdEdldq
=Φ
=⋅
=
∫
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Plano
Quando usar: planos carregados e chapas planas
Integral sobre a superfície fechada
A é a área da tampa da caixa.
EAAdES
=⋅∫
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Condutor Isolado em equilíbrio Considere um condutor com uma carga Q. Equilíbrio Eletrostático força sobre elétrons livres
(interiores) deve ser nula O campo elétrico no interior condutor deve ser nulo.
E = 0 E = 0E = 0 E = 0
Superfície Gaussiana
• A Carga distribui-se na superficie externa do condutor• O Campo não depende do material condutor, mas somente da carga
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Campo de uma película infinita de cargas
Aq=σ
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
AE
E
)(ˆ2
)(2
2
Então
2))((
0
0
0
vetorialFormanE
ouescalarFormaE
AEA
Aq
EAAEEAAdE
eng
εσε
σεσ
σ
=
=
=
=
=−−+=⋅∫
Densidade superficial de cargas constante
Fluxo devido à película de cargas :•Faces paralelas ao plano•Fluxo sobre as laterais é nulo
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Campo Elétrico de uma chapa condutora
AqLet =σ
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
AE
nEouE
AEA
Aq
EAEAAdE
eng
ˆ
Então
0
00
0
εσ
εσ
εσ
σ
==
=
=
=+=⋅∫
Uma chapa condutora possui um campo 2X maior que o de uma película de mesma densidade superficial de cargas.
Densidade superficial de cargas constante
