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Capítulo 29
29 La ley de GaussLa ley de Coulomb se puede usar para calcular E para cualquierdistribución discreta o continua de cargas en reposo. Cuando sepresenten casos con alta simetría será más conveneinte utilizar laley de Gauss, que facilita los cálculos en casos particulares.
29.1. El flujo de un campo vectorialEl flujo (Φ) es un apropiedad de cualqueir campo vectorial. Se pue-de considerar como una medida de la penetración de los vectoresdel campo a través de una superficie imaginaria.
La figura 29.1 muestra un campo vectorial y varias superficiesimaginarias dentro del campo, que forma diferentes ángulos conlas superficies, que son fragmentos de planos.
Halliday, Resnick, Krane 1 Fisica II
Capítulo 29
A
AA cos qA
v
AA
A
A
AA
(a) (b) (c) (d) (e)
Figura 29.1
El concepto de flujo nos da la abstracción que más tarde se uti-lizará en la ley de Gauss.
|Φ| de un campo de velocidades de un fluido se puede expresar
|Φ| = vA (29.1)
donde v es la magnitud de la velocidad en la localización de la su-
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Capítulo 29
perficie. Así, el flujo del campo eléctrico puede considerarse comouna medida del número de líneas de campo que pasan a través dela superficie.
En la figura 29.1b A cosθ es el área proyectada por la superficiede área A después de rotarla, de modo que la proyección A cosθ esperpendicular a las líneas de campo, así que
|Φ| = vA cosθ. (29.2)
En la figura 29.1c se tiene que Φ= 0.Como se verá más adelante, la ley de Gauss está relacionada
con las superficies cerradas, por lo que es necesario identificar laorientación de las superficies (ver Cálculo, Marsden y Tromba,“Campos vectoriales” y “Integrales de superficie de funciones vec-
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Capítulo 29
toriales”). En la figura 29.1e se tiene
Φ=Σv ·A, (29.3)
donde v es el vector velocidad en la superficie.
Ejercicio 1. Considere la superficie cerrada de la figura 29.1e quemuestra un volumen encerrado por cinco superficies. Suponiendoque el campo de velocidades es uniforme, encuentre el flujo total através de la superficie cerrada.
Usando la ecuación (29.3) se tiene
Φ= v ·A1 +v ·A2 +v ·A3 +v ·A4 +v ·A5.
Observando la figura 29.1e se tiene que Φ= 0.
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Capítulo 29
Cuando el campo vectorial no es uniforme, se puede hacer unageneralización para el cálculo del flujo, de modo que
Φ=∫
v ·dA. (29.4)
29.2. El flujo del campo eléctricoRecordando la figura 29.1, y usando E en lugar de v se tiene que
ΦE =∑E ·A, (29.5)
que puede considerarse como una medida del número de líneas queatraviesan a la superficie.
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Capítulo 29
Considere un campo como el de la figura 29.2. Se divide a lasuperficie en pequeños cuadrados de área ∆A, suficientemente pe-queños para que se les pueda considerar como planos.
Figura 29.2
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Capítulo 29
Cada elemento de área se puede representar por ∆A normala la superficie y de magnitud ∆A. ∆A apunta hacia afuera de lasuperficie.
Los vectores E y ∆A que caracterizan a cada cuadrado formanun ángulo θ entre ellos. En la figura 29.2 se puede observar el án-gulo entre cada par de vectores E y ∆A.
Como un a definición provisional se tiene
ΦE =∑E ·∆A, (29.6)
así, en el límite,
ΦE =∮
E ·dA. (29.7)
Esta integral de superficie indica que la superficie en cuestiónse ha dividido en elementos infinitesimales de área dA y que la
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Capítulo 29
cantidad escalar E·dA tiene que evaluarse en cada elemento y su-marlo sobre toda la superficie, que “debe” ser cerrada, según loindica el circulo sobre la integral.
Ejercicio 2. La figura 29.3 muestra un cilindro hipotético, cerrado,de radio R, inmerso en un campo eléctrico uniforme E, con su ejeparaleo al campo. ¿Cuál es φE a través de esta superficie cerrada?
dA
dA
dAE
E
E
a
b
c
Figura 29.3
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Capítulo 29
El flujo ΦE se puede escribir como la suma de tres términos,una integral sobre (a) la tapa izquierda del cilindro, (b) la superficiecilínrica y (c) la tapa derecha. Entonces
ΦE =∮
E ·dA=∫
aE ·dA+
∫b
E ·dA+∫
cE ·dA.
En (a) se tiene θ = 180°, así que E · dA = −E dA, en la paredcilíndrica se tiene que E⊥ dA por lo que E ·dA= 0 y en la tapa dela derecha θ = 0°, así que E ·dA= E dA, por lo tanto
ΦE =∮
E ·dA= 0.
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Capítulo 29
29.3. La ley de GaussDada una distribución de cargas es posible construir una superficiecerrada que se llamará superficie Gaussiana, que puede encerraralgunas cargas. La ley de Gauss se relaciona con ΦE a través de lasuperficie cerrada y la carga neta q encerrada por la superficie demodo que
ε0ΦE = q (29.8)
oε0
∮E ·dA= q. (29.9)
La ley de Gauss predice Φ= 0, como en el ejercicio 2.La magnitud del campo eléctrico es proporcional al número de
líneas que atraviesan un elemento de área perpendicular al campo.
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Capítulo 29
La elección de la superficie gaussiana es arbitaria, aunque espreferible considerar la simetría de la distribución del campo.
Figura 29.4
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Capítulo 29
La figura 29.4 muestra la líneas de fuerza alrededor de un di-polo y se han dibujado cuatro superficies Gaussianas.
Figura 29.5
La ley de Gauss y la ley de CoulombSe aplica la ley de Gauss alrededor de unacarga puntual. Primero se analiza la dis-tribución del campo y luego se decide cuáles la superficie Gaussiana más adecuada,aprovechando la simetría de la distribu-ción.
En la figura 29.5 se observa que el cam-po apunta radialmente hacia afuera.
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Capítulo 29
Así, E ·dA=E dA, en cada punto de la superficie.Entonces
ε0
∮E ·dA= ε0
∮E dA = ε0E
∮dA = q,
es decirE = 1
4πε0
qr2 (29.10)
¡La ley de Coulomb es un caso particular de la de Gauss!
29.4. Un conductor aislado y cargadoUn exceso de carga puesto sobre un conductor aislado se muevecompletamente hacia la superficie del conductor. Ningun exceso decarga se encuentra dentro del cuerpo del conductor.
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Capítulo 29
La figura 29.6a muestra la sección transversal de un con-ductor aislado, con carga neta q. La línea interrumpida representaa una superficie Gaussiana.
Figura 29.6
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Capítulo 29
Un conductor aislado con una cavidadLa figura 29.6b muestra al mismo conductor pero con una cavidaden su interior.
Dentro del conductor se tiene E=0. Es posible construir una su-perficie Gaussiana apenas por debajo de la superficie más externadel conductor, de modo que el campo sólo existe afuera del conduc-tor.
El campo eléctrico externoComo en la figura 29.6d se elige una superficie Gaussiana con for-ma de cilindro recto, con tapas de área A. Las tapas del cilindroson paralelas a la superficie del conductor. Entonces
ΦE =∮
E ·dA=∫
tapa extE ·dA+
∫tapa int
E ·dA+∫
paredE ·dA
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Capítulo 29
El flujo total esΦE = EA+0+0= EA.
E se obtiene entonces de
ε0ΦE = q, y como q(=σA), entonces ε0EA =σA
es decirE = σ
ε0. (29.11)
Si se tiene una lámina conductora, la carga depositada sobreella se distribuye uniformememnte en ambas caras de la lámina,ver la figura 29.7.
Considerando cada cara de la lámina se encuentra que el cam-po está dado por EL = σ/2ε0 en el punto A y por ER = σ/2ε0 en elpunto C de la figura. Así que el cmapo total es σ/2ε0+σ/2ε0 =σ/ε0.
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Capítulo 29
L R
A B CE E EE E E
L L L
R R R
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Figura 29.7
En el punto B se tiene E= 0, como se esperaba, ya que se tratadel interior del conductor.
Ejercicio 3. El campo elécrtico, justo en la superficie de un tamborde fotocopiadora que está cargado uniformemente, tiene magnitudE de 2.3×105 N/C. ¿Cuál es la σ en el tambor?
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Capítulo 29
De la ecuacion (29.11) σ= ε0E = 2.0 µC/m2.Ejercicio 4. La magnitud del campo eléctrico promedio pre-
sente normalmente en la atmósfera de la Tierra, justo arriba desu superficie, es de unos 150 N/C, dirigido hacia abajo. ¿Cuál es lacarga neta en la superficie de la Tierra? Suponga que la Tierra esun conductor.
De la ecuacion (29.11) σ= ε0E =−1.33 nC/m2.La carga total de la Tierra es
q =σ4πR2 =−680kC
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Capítulo 29
29.5. Las aplicaciones de la ley de Gauss
Se puede usar la ley de Gauss para calcular E si la hay una altasimetría en la distribución de cargas.La línea infinita de carga
La figura 29.8 muestra una sección de una línea infinita de car-ga con λ= dq/ds constante. Se busca determinar E a una distanciar de la línea.
dA E
h
rl
SuperficieGaussiana
Figura 29.8Halliday, Resnick, Krane 19 Fisica II
Capítulo 29
Considerando la carga encerrada por la superficie gaussiana
ε0
∮E ·dA= q, es decir, ε0E(2πrh)=λh,
oE = λ
2πε0r. (29.12)
La ley de Gauss facilita este tipo de cálculo.
La hoja infinita de cargaLa figura 29.9 muestra una porción de una hoja de extensión
infinita, delgada, no conductora, con σ constante.El campo eléctrico en las proximidades de la hoja es uniforme.
La superficie gaussiana más adecuada es un cilindro de área A,
Halliday, Resnick, Krane 20 Fisica II
Capítulo 29
Figura 29.9por lo que
ε0
∮E ·dA= q, es decir, ε0(EA+EA)=σA,
donde σA es la carga encerrada por la superficie, entonces
E = σ
2ε0. (29.13)
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Capítulo 29
En realidad no es posible tener hojas infinitas, pero se conside-ra como buena aproximación hacer el cálculo en regiones alejadasde los bordes de hojas finitas.
El cascarón esférico de carga
La figura 29.10 muestra la sección transversal de un carcarónesférico de radio R, delgado, cargado uniformemente, con σ cons-tante y carga total q (=4πR2σ).
qR
S1
S2 SuperficiesGaussianas
Figura 29.10Halliday, Resnick, Krane 22 Fisica II
Capítulo 29
La ley de Gauss permite establecer un par de teoremas relacio-nados con esta distribución de carga.; Para puntos externos, un cascarón esférico de carga se comporta
como si toda la carga estuviera concentrada en el centro de ladistribución.
; Un cascarón esférico de carga no ejerce fuerza electrostáticaalguna sobre una partícula cargada colocada en el interior.Considere una superficie gaussiana S1, para el cual r > R, la
ley de Gauss da
ε0E(4πr2)= q,
o
E = 14πε0
qr2 (cascarón esferico, r > R). (29.14)
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Capítulo 29
Luego, aplicando la ley de Gauss y usando la superficie gaus-siana S2,
E = 14πε0
qr2 (cascarón esferico, r < R). (29.15)
El cascarón esférico de cargaLa figura 29.11 muestra un distribución esférica de carga.
Figura 29.11Halliday, Resnick, Krane 24 Fisica II
Capítulo 29
En cualquier punto de la distribución se tiene que ρ dependesólo de la distancia entre dicho punto y el centro de la distribución.Esta distribución de carga puede verse como un conjunto de casca-rones uno tras otro, de modo que cada cascarón tendrá ρ constante.
Primero se aplica la ley de Gauss usando una superficie esféri-ca de radio r > R, como se ve en la figura 29.11a, entonces
E =∫
dE =∫
14πε0
dqr2
es decirE = 1
4πε0
qr2 , (29.16)
donde q es la carga total encerrada por la superficie gaussiana...¡cómo si se tratara de una carga puntual!
Halliday, Resnick, Krane 25 Fisica II
Capítulo 29
Ahora se considera una superficie gaussiana esférica de radior < R, como en la figura 29.11b, por lo que la ley de Gauss da
ε0
∮E ·dA= ε0E(4πr2)= q′,
o
E = 14πε0
q′
r2 , (29.17)
donde q′ es la carga contenida dentro de la superficie gaussiana(q′ < q)+, pero
q′
q=
43πr3
43πR3
, o q′ = q( rR
)3,
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Capítulo 29
con lo que
E = 14πε0
qrR3 , (esfera uniforme, r < R). (29.18)
Halliday, Resnick, Krane 27 Fisica II
