29La ley de Gauss - depa.fquim.unam. · PDF fileHalliday, Resnick, Krane 16 Fisica II....

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  • Captulo 29

    29 La ley de GaussLa ley de Coulomb se puede usar para calcular E para cualquierdistribucin discreta o continua de cargas en reposo. Cuando sepresenten casos con alta simetra ser ms conveneinte utilizar laley de Gauss, que facilita los clculos en casos particulares.

    29.1. El flujo de un campo vectorialEl flujo () es un apropiedad de cualqueir campo vectorial. Se pue-de considerar como una medida de la penetracin de los vectoresdel campo a travs de una superficie imaginaria.

    La figura 29.1 muestra un campo vectorial y varias superficiesimaginarias dentro del campo, que forma diferentes ngulos conlas superficies, que son fragmentos de planos.

    Halliday, Resnick, Krane 1 Fisica II

  • Captulo 29

    A

    AA cos qA

    v

    AA

    A

    A

    AA

    (a) (b) (c) (d) (e)

    Figura 29.1

    El concepto de flujo nos da la abstraccin que ms tarde se uti-lizar en la ley de Gauss.

    || de un campo de velocidades de un fluido se puede expresar

    || = vA (29.1)donde v es la magnitud de la velocidad en la localizacin de la su-

    Halliday, Resnick, Krane 2 Fisica II

  • Captulo 29

    perficie. As, el flujo del campo elctrico puede considerarse comouna medida del nmero de lneas de campo que pasan a travs dela superficie.

    En la figura 29.1b A cos es el rea proyectada por la superficiede rea A despus de rotarla, de modo que la proyeccin A cos esperpendicular a las lneas de campo, as que

    || = vA cos. (29.2)

    En la figura 29.1c se tiene que = 0.Como se ver ms adelante, la ley de Gauss est relacionada

    con las superficies cerradas, por lo que es necesario identificar laorientacin de las superficies (ver Clculo, Marsden y Tromba,Campos vectoriales y Integrales de superficie de funciones vec-

    Halliday, Resnick, Krane 3 Fisica II

  • Captulo 29

    toriales). En la figura 29.1e se tiene

    =v A, (29.3)

    donde v es el vector velocidad en la superficie.

    Ejercicio 1. Considere la superficie cerrada de la figura 29.1e quemuestra un volumen encerrado por cinco superficies. Suponiendoque el campo de velocidades es uniforme, encuentre el flujo total atravs de la superficie cerrada.

    Usando la ecuacin (29.3) se tiene

    = v A1 +v A2 +v A3 +v A4 +v A5.

    Observando la figura 29.1e se tiene que = 0.

    Halliday, Resnick, Krane 4 Fisica II

  • Captulo 29

    Cuando el campo vectorial no es uniforme, se puede hacer unageneralizacin para el clculo del flujo, de modo que

    =

    v dA. (29.4)

    29.2. El flujo del campo elctricoRecordando la figura 29.1, y usando E en lugar de v se tiene que

    E =

    E A, (29.5)

    que puede considerarse como una medida del nmero de lneas queatraviesan a la superficie.

    Halliday, Resnick, Krane 5 Fisica II

  • Captulo 29

    Considere un campo como el de la figura 29.2. Se divide a lasuperficie en pequeos cuadrados de rea A, suficientemente pe-queos para que se les pueda considerar como planos.

    Figura 29.2

    Halliday, Resnick, Krane 6 Fisica II

  • Captulo 29

    Cada elemento de rea se puede representar por A normala la superficie y de magnitud A. A apunta hacia afuera de lasuperficie.

    Los vectores E y A que caracterizan a cada cuadrado formanun ngulo entre ellos. En la figura 29.2 se puede observar el n-gulo entre cada par de vectores E y A.

    Como un a definicin provisional se tiene

    E =

    E A, (29.6)as, en el lmite,

    E =

    E dA. (29.7)Esta integral de superficie indica que la superficie en cuestin

    se ha dividido en elementos infinitesimales de rea dA y que la

    Halliday, Resnick, Krane 7 Fisica II

  • Captulo 29

    cantidad escalar EdA tiene que evaluarse en cada elemento y su-marlo sobre toda la superficie, que debe ser cerrada, segn loindica el circulo sobre la integral.

    Ejercicio 2. La figura 29.3 muestra un cilindro hipottico, cerrado,de radio R, inmerso en un campo elctrico uniforme E, con su ejeparaleo al campo. Cul es E a travs de esta superficie cerrada?

    dA

    dA

    dAE

    E

    E

    a

    b

    c

    Figura 29.3

    Halliday, Resnick, Krane 8 Fisica II

  • Captulo 29

    El flujo E se puede escribir como la suma de tres trminos,una integral sobre (a) la tapa izquierda del cilindro, (b) la superficiecilnrica y (c) la tapa derecha. Entonces

    E =

    E dA=

    aE dA+

    b

    E dA+

    cE dA.

    En (a) se tiene = 180, as que E dA = E dA, en la paredcilndrica se tiene que E dA por lo que E dA= 0 y en la tapa dela derecha = 0, as que E dA= E dA, por lo tanto

    E =

    E dA= 0.

    Halliday, Resnick, Krane 9 Fisica II

  • Captulo 29

    29.3. La ley de GaussDada una distribucin de cargas es posible construir una superficiecerrada que se llamar superficie Gaussiana, que puede encerraralgunas cargas. La ley de Gauss se relaciona con E a travs de lasuperficie cerrada y la carga neta q encerrada por la superficie demodo que

    0E = q (29.8)o

    0

    E dA= q. (29.9)

    La ley de Gauss predice = 0, como en el ejercicio 2.La magnitud del campo elctrico es proporcional al nmero de

    lneas que atraviesan un elemento de rea perpendicular al campo.

    Halliday, Resnick, Krane 10 Fisica II

  • Captulo 29

    La eleccin de la superficie gaussiana es arbitaria, aunque espreferible considerar la simetra de la distribucin del campo.

    Figura 29.4

    Halliday, Resnick, Krane 11 Fisica II

  • Captulo 29

    La figura 29.4 muestra la lneas de fuerza alrededor de un di-polo y se han dibujado cuatro superficies Gaussianas.

    Figura 29.5

    La ley de Gauss y la ley de CoulombSe aplica la ley de Gauss alrededor de unacarga puntual. Primero se analiza la dis-tribucin del campo y luego se decide cules la superficie Gaussiana ms adecuada,aprovechando la simetra de la distribu-cin.

    En la figura 29.5 se observa que el cam-po apunta radialmente hacia afuera.

    Halliday, Resnick, Krane 12 Fisica II

  • Captulo 29

    As, E dA=E dA, en cada punto de la superficie.Entonces

    0

    E dA= 0

    E dA = 0E

    dA = q,

    es decirE = 1

    40

    qr2

    (29.10)

    La ley de Coulomb es un caso particular de la de Gauss!

    29.4. Un conductor aislado y cargadoUn exceso de carga puesto sobre un conductor aislado se muevecompletamente hacia la superficie del conductor. Ningun exceso decarga se encuentra dentro del cuerpo del conductor.

    Halliday, Resnick, Krane 13 Fisica II

  • Captulo 29

    La figura 29.6a muestra la seccin transversal de un con-ductor aislado, con carga neta q. La lnea interrumpida representaa una superficie Gaussiana.

    Figura 29.6

    Halliday, Resnick, Krane 14 Fisica II

  • Captulo 29

    Un conductor aislado con una cavidadLa figura 29.6b muestra al mismo conductor pero con una cavidaden su interior.

    Dentro del conductor se tiene E=0. Es posible construir una su-perficie Gaussiana apenas por debajo de la superficie ms externadel conductor, de modo que el campo slo existe afuera del conduc-tor.

    El campo elctrico externoComo en la figura 29.6d se elige una superficie Gaussiana con for-ma de cilindro recto, con tapas de rea A. Las tapas del cilindroson paralelas a la superficie del conductor. Entonces

    E =

    E dA=

    tapa extE dA+

    tapa int

    E dA+

    paredE dA

    Halliday, Resnick, Krane 15 Fisica II

  • Captulo 29

    El flujo total esE = EA+0+0= EA.

    E se obtiene entonces de

    0E = q, y como q(=A), entonces 0EA =Aes decir

    E = 0

    . (29.11)

    Si se tiene una lmina conductora, la carga depositada sobreella se distribuye uniformememnte en ambas caras de la lmina,ver la figura 29.7.

    Considerando cada cara de la lmina se encuentra que el cam-po est dado por EL = /20 en el punto A y por ER = /20 en elpunto C de la figura. As que el cmapo total es /20+/20 =/0.

    Halliday, Resnick, Krane 16 Fisica II

  • Captulo 29

    L R

    A B CE E EE E E

    L L L

    R R R

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    Figura 29.7

    En el punto B se tiene E= 0, como se esperaba, ya que se tratadel interior del conductor.

    Ejercicio 3. El campo elcrtico, justo en la superficie de un tamborde fotocopiadora que est cargado uniformemente, tiene magnitudE de 2.3105 N/C. Cul es la en el tambor?

    Halliday, Resnick, Krane 17 Fisica II

  • Captulo 29

    De la ecuacion (29.11) = 0E = 2.0 C/m2.Ejercicio 4. La magnitud del campo elctrico promedio pre-

    sente normalmente en la atmsfera de la Tierra, justo arriba desu superficie, es de unos 150 N/C, dirigido hacia abajo. Cul es lacarga neta en la superficie de la Tierra? Suponga que la Tierra esun conductor.

    De la ecuacion (29.11) = 0E =1.33 nC/m2.La carga total de la Tierra es

    q =4R2 =680kC

    Halliday, Resnick, Krane 18 Fisica II

  • Captulo 29

    29.5. Las aplicaciones de la ley de Gauss

    Se puede usar la ley de Gauss para calcular E si la hay una altasimetra en la distribucin de cargas.La lnea infinita de carga

    La figura 29.8 muestra una seccin de una lnea infinita de car-ga con = dq/ds constante. Se busca determinar E a una distanciar de la lnea.

    dA E

    h

    rl

    SuperficieGaussiana

    Figura 29.8Halliday, Resnick, Krane 19 Fisica II

  • Captulo 29

    Considerando la carga encerr