Fungsi dan Limit Fungsi - · PDF fileFungsi dan Limit Fungsi . 25. ontoh 8 . Carilah . C. x x....

Contoh 5 Buktikan, jika c > 0, maka cx

cx=

→lim

Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku

cx − < ε untuk setiap ε > 0.

Perhatikan:

cx − = cx

cxcx+

+− ))((

= cx

cx+−

= cx

cx+

−

≤ ccx −

Dapat dipilih δ = cε

Bukti:

Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ = cε . Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka

berlaku cx − ≤ ccx −

< ccε < ε.

2.4 Teorema Limit

Teorema 2.4.1 Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

1) kkcx

=→

lim

2) cxcx

=→

lim

3) )(lim)(lim xfkxkfcxcx →→

=

Fungsi dan Limit Fungsi 23

4) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf

cxcxcx →→→+=+

5) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

−=−

6) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

=

7) )(lim

)(lim

)()(lim

xg

xf

xgxf

cx

cxcx

→

→→

= , asalkan ≠ 0 )(lim xgcx→

8) n

cxn

cxxfxf ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=→→

)(lim)]([lim

9) ncx

ncx

xfxf )(lim)(lim→→

= , asalkan untuk n bilangan genap. 0)(lim >→

xfcx

Bukti teorema 2.4.1 ini dibiarkan untuk latihan. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai limit suatu fungsi akan menjadi lebih mudah. Contoh 6

Carilah 235lim x

x→

Penyelesaian: = 5 teorema 2.2.1 3) 235lim x

x→2

3lim xx→

= 5 teorema 2.2.1 8) 2

3lim ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡→

xx

= 5(3)2 teorema 2.2.1 2) = 45. Contoh 7

Carilah )205(lim 23

−→

xx

Penyelesaian: = teorema 2.2.1 5) )205(lim 23

−→

xx

20lim5lim3

23 →→

−xx

x

= 45 – 20 teorema 2.2.1 1)

Fungsi dan Limit Fungsi 24 = 25.


ontoh 8

Carilah

C

xx

x

205lim2

3

−→

= x

x

x

x

3

23

lim

205lim

→

→−

x

xx

205lim2

3

−→

Penyelesaian: teorema 2.2.1 7)

= 3

205lim 23

−→

xx teorema 2.2.1 2) dan 9)

=325 dari contoh 7.

= 35

gat, bentuk disebut polinom dan hasil bagi

polinom

nn xaxaxaaxf ++++= ...)( 2

210

disebut fungsi rasional, mm

nxa+...

In

n

xb+....

eorema 2.4.2 ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.4.1.

engan adanya teorma 2.4.2 maka penentuan nilai limit fungsi polinom atau fungsi

xbxbb

xaxaa

+++

+++2

210

2210

Teorema 2.4.2

olinom maka = f(c)

2) Jika f fungsi rasional maka = f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol.

1) Jika f fungsi p )(lim xfcx→

)(lim xfcx→

T Drasional menjadi sangat mudah, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenuhi.

Contoh 9

Tentukan 613107lim 452

+−−→

xxxx

Penyelesaian: = 7(2)5 – 10(2)4 – 13(2) + 6 = 44 613107lim 452

+−−→

xxxx

Contoh 10

Tentukan 863

613107lim 2

45

2 −−

+−−→ xx

xxxx

Penyelesaian: 863

613107lim 2

45

2 −−

+−−→ xx

xxxx

= 8)2(6)2(3

6)2(13)2(10)2(72

45

−−

+−− = 8

44−

= 2

11− .

Contoh 11

Tentukan 1273lim 2

3

1 +−

++→ xx

xxx

= 2

3

1 )1(73lim

−

++→ x

xxx

Penyelesaian: Teorema 2.4.2 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di x = 1 adalah nol

dan teorema 2.4.1 bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena limit penyebut nol. Tetapi, karena limit pembilang 11, maka selama x mendekati 1 terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan x cukup dekat dengan 1. Dalam hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain. Contoh 12

Tentukan 6103lim 2

2

2 −+−+

→ xxxx

x

Penyelesaian: Sebelum mencoba mengambil limitnya terlebih dahulu diadakan

penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi.

6103lim 2

2

2 −+−+

→ xxxx

x =

)3)(2()5)(2(lim

2 +−+−

→ xxxx

x

= 35lim

2 ++

→ xx

x

= 57


Teorema 2.4.3 (Teorema Apit) Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika = = L, )(lim xf

cx→)(lim xh

cx→maka = L. )(lim xg

cx→

Bukti: Diberikan bilangan ε > 0 Karena = L, berarti terdapat bilangan δ1 > 0 sedemikian hingga )(lim xf

cx→

0 < ⏐x – c⏐ < δ1 ⇒ ⏐f(x) – L⏐ < ε ⇔ L – ε < f(x) < L + ε. Karena = L, berarti terdapat bilangan δ2 > 0 sedemikian hingga )(lim xh

cx→

0 < ⏐x – c⏐ < δ2 ⇒ ⏐h(x) – L⏐ < ε ⇔ L – ε < h(x) < L + ε Dipilih δ = min{δ1, δ2} Apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka berlaku

L – ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒ L – ε < g(x) < L + ε ⇔ ⏐g(x) – L⏐ < ε

Terbukti = L. )(lim xgcx→

Contoh 13

Dapat diselidiki bahwa 1 – 6

2x ≤ x

xsin ≤ 1 untuk semua x yang mendekati tetapi

tidak 0. Tunjukkan bahwa x

xx

sinlim0→

= 1.


Penyelesaian:

Misalkan f(x) = 1 – 6

2x , g(x) = x

xsin , dan h(x) = 1, maka = )(lim0

xfx→ 6

1lim2

0

xx

−→

= 1

dan = 1, sehingga diperoleh )(lim0

xhx→

61lim

2

0

xx

−→

≤ x

xx

sinlim0→

≤ 1lim0→x

⇔ 1 ≤ x

xx

sinlim0→

≤ 1

Berdasarkan teorema 2.4.3 maka dapat disimpulkan x

xx

sinlim0→

= 1.

SOAL 2

1. Untuk fungsi f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai a. f(1) c. f( 2

1 )

b. f(–6) d. f(x1 )

2. Untuk fungsi g(t) = 21 tt

+, hitunglah masing-masing nilai

a. f(1) c. f( 41 )

b. f(9) d. f(4

1

x)

3. Gambarlah grafik fungsi

a. b. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤+−=

1,3

1,4)(

2

xx

xxxf

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+<<

≤−=

2,120,1

0,1)(

2

xxx

xxxg

4. Jika f(x) = x2 + x dan g(x) = 3

2+x

, tentukan:

a. (f + g)(2) d. (f / g)(1)

b. (f – g)(2) e. (g o f)(1)

c. (f g)(1) f. (f o g)(1)

5. Jika f(x) = 12 −x dan g(x) = x2 , tentukan:


a. (f g)(x) d. (f o g)(x)


+ g 4(x)

c. (g o f)(x)

alam soal nom it-limit tersebut.

b. (f / g)(x) e. f 4(x)

D or 6 – 10, buktikan lim

2)73(lim3

=−→

xx

6.

8)42(lim2

−=−−→

xx

7.

8. 10525lim

2

5=

−−

→ xx

x

71

65lim2

1=

−−+

→ xxx

x 9.

10. 22lim2

=→

xx

11. Buktikan bahwa jika )(lim xf

cx→ = L dan )(lim xf

cx→ = M, maka L = M.

Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0 ≤ F(x) ≤ G(x) mua x dekat dengan c,

12.untuk se kecuali mungkin di c, buktikan bahwa jika

= 0 maka = 0.

k soal-soa erikut (no. 13 s.d. 20), tentukan nilai limit fungsi berikut 3.

4.

5.

6.

)(lim xGcx→

)(lim xFcx→

Untu l b

)47(lim3

−→

xx

1

)52(lim 3

1xx

x−

−→ 1

)27)(34(lim 32

0xxx

x+−

→ 1

2483lim 3

4

2 +−

−→ xx

x 1

17. 4

2lim 2

2

2 −−

→ uuu

u

18. 5477lim 2

2

1 −−++

−→ tttt

t


9. 44

)6)(2(lim 2

2

2 ++−−+

−→ wwwww

w 1

20. 12

)32)(1(lim 2

2

1 +−−+−

→ yyyyy

y

2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan

Definisi

Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis

)(lim xfcx −→

= L

jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0

sedemikian sehingga apabila 0 < c – x < δ , maka berlaku Lxf −)( < ε.

Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis

)(lim xfcx +→

= L

jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x – c < δ , maka berlaku Lxf −)( < ε.

Teorema 2.5.1

Lxfcx

=→

)(lim jika dan hanya jika = = L )(lim xfcx −→

)(lim xfcx +→

Contoh 14

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−

1,

1,2

2 x

x

x

x

Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik

fungsi f.

)(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx +→

)(lim1

xfx→

Penyelesaian:

)(lim1

xfx −→

= 1lim 2

1=

→x

x

)(lim1

xfx +→

= 12lim1

=−→

xx

Karena = = 1 maka = 1. )(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx +→

)(lim1

xfx→


Contoh 15

g(x) = Tentukan , , dan , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−

1,

1,3

2 x

x

x

x)(lim

1xg

x −→)(lim

1xg

x +→)(lim

1xg

x→

selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik

fungsi f.

)(lim1

xgx −→

)(lim1

xgx +→

)(lim1

xgx→

Penyelesaian:

)(lim1

xgx −→

= 1lim 2

1=

→x

x

)(lim1

xgx +→

= 23lim1

=−→

xx


)Karena ≠ maka tidak ada. )(lim1

xgx −→

(lim1

xgx +→

)(lim1

xgx→

2.6 Limit Tak Hingga Contoh 16

Carilah 20

1limxx→

jika ada.

Penyelesaian:

x 2

1x

± 1 1 ± 0,5 4 ± 0,2 25 ± 0,1 100 ± 0,05 400 ± 0,01 10.000 ± 0,001 1.000.000 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam contoh ini kita gunakan notasi

Semakin x mendekati 0, x2 juga semakin dekat

dengan 0, dan nilai 2

1x

menjadi sangat besar

(lihat tabel di samping). Nampak dari grafik

fungsi f(x) = 2

1x

yang diperlihatkan pada

gambar 2.4 bahwa nilai f(x) dapat dibuat sangat besar dengan mengambil x cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu

bilangan , sehingga 20

1limxx→

tidak ada.

20

1limxx→

= ∞

Hal ini tidak berarti bahwa kita menganggap ∞ sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bahwa limit tersebut ada. Notasi tersebut hanyalah menyatakan cara khusus untuk menunjukkan bahwa limit tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan

)(lim xfcx→

= ∞

untuk menunjukkan nilai f(x) menjadi semakin besar ketika x semakin mendekati c. Limit jenis serupa, untuk fungsi yang menjadi negatif tak berhingga ketika x mendekati c dituliskan dengan

)(lim xfcx→

= – ∞

Contoh 17

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

→ 20

1limxx

= – ∞

Hal ini juga dapat diberlakukan untuk limit kiri dan limit kanan

)(lim xfcx −→

= ∞ = ∞ )(lim xfcx +→

)(lim xfcx −→

= – ∞ = – ∞ )(lim xfcx +→

Sebuah garis x = c disebut asimtot tegak kurfa y = f(x) jika paling sedikit salah satu dari pernyataan berikut benar:

)(lim xfcx→

= ∞ = ∞ = ∞ )(lim xfcx −→

)(lim xfcx +→

)(lim xfcx→

= – ∞ = – ∞ = – ∞ )(lim xfcx −→

)(lim xfcx +→

Sebagai contoh, sumbu Y atau x = 0 merupakan asimtot tegak kurva y = 2

1x

karena

20

1limxx→

= ∞.


Contoh 18 Hitunglah

( )x

xtanlim

2−

→ π dan

( )x

xtanlim

2+

→ π

Penyelesaian:

( )x

xtanlim

2−

→ π =

( ) xx

x cossinlim

2−

→ π =

( )

( )x

x

x

x

coslim

sinlim

2

2

−

−

→

→

π

π

= ∞

( )x

xtanlim

2+

→ π =

( ) xx

x cossinlim

2+

→ π =

( )

( )x

x

x

x

coslim

sinlim

2

2

+

+

→

→

π

π

= – ∞

2.7 Kekontinuan Fungsi

Definisi Misalkan f : A → R suatu fungsi, maka a. Fungsi f dikatakan kontinu di c ∈ A jika )()(lim cfxf

cx=

→

b. Fungsi f dikatakan kontinu pada himpunan A jika f kontinu disetiap anggota A.

Definisi a mengandung arti bahwa f dikatakan kontinu di c ∈ A jika dipenuhi ketiga syarat berikut:

1) ada )(lim xfcx→

2) Nilai f(c) ada 3) )()(lim cfxf

cx=

→


Contoh 19

1. f(x) =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

≠−−

2,

2,

1

242

x

xxx

Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian:

1) = )(lim2

xfx→ 2

4lim2

2 −−

→ xx

x =

2)2)(2(lim

2 −+−

→ xxx

x = )2(lim

2+

→x

x = 4 (ada)

2) f(2) = 1 (ada)

3) Karena ≠ f(2) maka f )(lim2

xfx→

tidak kontinu di x = 2.

Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.

2. f(x) = 242

−−

xx

Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian:

1) = )(lim2

xfx→ 2

4lim2

2 −−

→ xx

x =

2)2)(2(lim

2 −+−

→ xxx

x = )2(lim

2+

→x

x = 4 (ada)

2) f(2) tidak ada

3) Karena f(2) tidak ada, maka f tidak kontinu di x = 2.

Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.

3. f(x) =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

≠−−

2,

2,

4

242

x

xxx

Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f.


Penyelesaian:

1) = )(lim2

xfx→ 2

4lim2

2 −−

→ xx

x =

2)2)(2(lim

2 −+−

→ xxx

x = )2(lim

2+

→x

x = 4 (ada)

2) f(2) = 4 (ada)

3) Karena = f(2) maka f kontinu di x = 2. )(lim2

xfx→

Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.

4. f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−

1,

1,2

2 x

x

x

x

Apakah f kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi f.

Penyelesaian:

1) = )(lim1

xfx −→

1lim 2

1=

→x

x

)(lim1

xfx +→

= 12lim1

=−→

xx

Karena = = 1 maka = 1 (ada) )(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx +→

)(lim1

xfx→

Lihat kembali contoh 14.

2) f(1) = 2 – 1 = 1 (ada) 3) Karena = f(1), maka f kontinu di x = 1. )(lim

1xf

x→

Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.

5. g(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−

1,

1,3

2 x

x

x

x

Apakah g kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi g.

Penyelesaian:

1) = )(lim1

xgx −→

1lim 2

1=

→x

x

= )(lim1

xgx +→

23lim1

=−→

xx



) Karena ≠ maka tidak ada. )(lim1

xgx −→

(lim1

xgx +→

)(lim1

xgx→

(lihat kembali contoh 15) Karena tidak ada, maka g )(lim

1xg

x→tidak kontinu di x = 1

Teorema 2.7.1

1. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R. 2. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta

maka fungsi f + g, f – g, kf , f /g (asal )(lim xgcx→

≠ 0) juga kontinu di c.

3. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f o g kontinu di c.

SOAL 2

1. Tentukan limit (sepihak) berikut:

a. xx

x −→0lim

b. xx

x +→0lim

c. ,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−

≤≤

<

=

1,2

10,

0,

)( 2

xx

xx

xx

xf

)(lim0

xfx −→

, , , dan )(lim0

xfx +→

)(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx +→

2. Apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di 2?

a. h(t) =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

≠−−

2,

2,

12

283

t

ttt

b. h(t) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠−−

2,

2,

2

284

t

ttt

c. g(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<

+

+

2,

2,

1

3

2 x

x

x

x

d. f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤

−

+−

2,

2,

2

43

x

xx

3. f(x) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−

≤≤

<

1,2

10,

0,

2

xx

xx

xx

a. Apakah f kontinu di 0? b. Apakah f kontinu di 1?

4.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤−

<

=

1,

10,

0,

)(

2

xx

xx

xx

xg

a. Apakah g kontinu di 0? b. Apakah g kontinu di 1?


Fungsi dan Limit Fungsi - · PDF fileFungsi dan Limit Fungsi . 25. ontoh 8 . Carilah . C. x x....

Documents

Transcript of Fungsi dan Limit Fungsi - · PDF fileFungsi dan Limit Fungsi . 25. ontoh 8 . Carilah . C. x x....