MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com · 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit...

MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

4 September 2019

Kuliah yang Lalu: Limit Fungsi

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 2

L

c

L+ε

L–ε

c+δc–δ

Benar/Salah Kalimat Berikut?

Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:

Jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε.

Benar; bilangan δ > 0 yang memenuhipernyataan di atas adalah δ = ……... ??

Ini membuktikan bahwa:


2

2lim 4.x

x

Latihan

1. Buktikan bahwa

2. Buktikan bahwa

3. Buktikan bahwa


.4lim 2

2

x

x

.2lim4

xx

3lim(2 7) 1.x

x

[Mudah; δ = ε/2]

[δ = 2ε]

[δ = ??]

Analisis PendahuluanDiberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencari δ > 0 sehingga: jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*)Untuk itu, kita bekerja mundur dari bentuk |x2 – 4|. Perhatikan bahwa

|x2 – 4| = |x + 2||x – 2| … (#)Jika kita bisa menaksir |x + 2|, maka tugas kita akan mudah.Karena kita sedang berbicara tentang x di sekitar 2, mari kitaasumsikan bahwa |x – 2| < 1. Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga 3 < x+2 < 5. Jadi |x + 2| < 5.Kembali ke (#), kita dapatkan: |x2 – 4| < 5|x – 2|. Jadi, jika |x – 2|< ε/5, maka |x2 – 4| < ε. Dengan demikian ada dua hal yang menjamin |x2 – 4| < ε, yaitu: |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. Dalam hal ini kita dapat memilih δ = min { 1, ε/5}, sehingga jika|x – 2| < δ, maka |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5.9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 5

2

2lim 4.x

x

Bukti bahwa

Diberikan ε > 0, pilih δ = min { 1, ε/5}.

Selanjutnya kita periksa jika 0 < |x – 2| < δ, maka

|x2 – 4| = |x + 2||x – 2|

< 5|x – 2| (karena |x + 2| < 5)

< ε (karena |x – 2| < ε/5).

Ini membuktikan bahwa


2

2lim 4.x

x

2

2lim 4.x

x

Soal PR (Dikumpulkan hari Jumat)


.21

lim

2

1

xx

Buktikan bahwa

Sasaran Kuliah Hari Ini

1.3 Teorema-Teorema Limit

Menggunakan teorema-teorema limit dalampenghitungan berbagai limit fungsi aljabar.

1.4 Limit Fungsi Trigonometri

Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.

9/3/2019 8(c) Hendra Gunawan

1.3 TEOREMA-TEOREMA LIMITMenggunakan teorema-teorema limitdalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.



Teorema Utama Limit

Misalkan k konstanta, n є N, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c.

1.

2.

3.

4.


).(lim)(lim xfkxkfcxcx

.lim kkcx

Catatan. Teoremamerupakan suatupernyataan yang dapat dibuktikankebenarannya, dankemudian dapatdigunakan sebagai“senjata” kita dlmpemecahanmasalah terkait.

.lim cxcx

).(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx

Teorema Utama Limit

5.

6.

7.

8. asalkan

untuk n genap.

Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak(limit kanan dan limit kiri).9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 11

).(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx

),(lim/)(lim)(/)(lim xgxfxgxfcxcxcx

.0)(lim

xgcx

.)](lim[)]([lim n

cx

n

cxxfxf

,)(lim)(lim ncx

n

cxxfxf

0)(lim

xf

cx

Contoh Penggunaan Teorema Limit

1.

2.


.071.51.2

7limlim5)(lim2)752(lim

3

11

3

1

3

1

xxxx

xxxx

.13

9

12

52

1limlim

5lim)lim(

)1(lim

5lim

1

5lim

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x x

x

x

x

x

x

Contoh Penggunaan Teorema Limit

3. Diketahui dan .

Tentukan

Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,


3)(lim1

xfx

8)(lim1

xgx

.)()(lim 32

1xgxf

x

.1883

)(lim))(lim()()(lim

32

31

2

1

32

1

xgxfxgxfxxx

Teorema Substitusi

Jika f adalah fungsi polinom atau fungsirasional, maka

asalkan f(c) terdefinisi.

Contoh 1.

Contoh 2.


)()(lim cfxfcx

.071.51.2)752(lim 33

1

xx

x

.23

6

12

22

1

2lim

22

2

x

x

x

Teorema Apit

Misalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhi

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

untuk x di sekitar c. Jika

Maka

Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak.9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 15

,)(lim)(lim Lxhxfcxcx

.)(lim Lxgcx

Contoh Penggunaan Teorema Apit

Untuk x > 0 di dekat 0, berlaku

-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1.

Bila kita kalikan ketiga ruas dengan x, maka

-x ≤ x.sin(1/x) ≤ x.

Karena maka menurutTeorema Apit

Dengan cara serupa,


,0lim)(lim00

xx

xx

.0sinlim 1

0

x

xx

.0sinlim 1

0

x

xx

Latihan

1. Menggunakan teorema limit, hitunglah:

a. .

b. .

Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai.

2. Buktikan bahwa

9/3/2019 17(c) Hendra Gunawan

.0coslim 12

0

x

xx

)4(lim 13

1x

xxx

1

1lim

2

4

3

x

x

x

1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRIMenghitung berbagai limit fungsitrigonometri.



Limit Fungsi Trigonometri


cxcx

tantanlim.3

cxcx

sinsinlim.1

cxcx

cotcotlim.4

cxcx

coscoslim.2

cxcx

secseclim.5

cxcx

csccsclim.6

Bukti bahwa

Untuk t > 0, berlaku 0<|BP|<|AP|.

Karena |BP| = sin t dan |AP| < t, maka 0 < sin t < t.

Dengan Teorema Apit,

Serupa dengan itu,

Jadi


cxcx

sinsinlim

A

P

O Bt

1

.0sinlim0

tt

.0sinlim0

tt

.0sinlim0

tt

Dengan cara serupa, dapat dibuktikan .1coslim0

tt

Bukti bahwa

Untuk menunjukkan bahwa

misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi


cxcx

sinsinlim

.sin

0).(cos1).(sin

)sin.coscos.(sinlim

)sin(limsinlim

0

0

c

cc

kckc

kct

k

kct

,sinsinlim ctct

Limit Trigonometri Khusus

Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku

Karena , maka dengan Teorema Apit

kita simpulkan bahwa


.1sin

lim.10

t

t

t.0

cos1lim.2

0

t

t

t

.1sin

cos t

tt

1coslim0

tt

.1sin

lim0

t

t

t

Latihan

1. Menggunakan fakta bahwa hitunglah:

a. b.

2. Buktikan bahwa


,1sin

lim0

t

t

t

ttt

2cot.sinlim0 xx

xx

x

2

2

0 2

)2sin(lim

.0cos1

lim0

t

t

t

MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com · 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit...

Documents

Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com · 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit...