MA1101 MATEMATIKA 1A - 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit dalam ... Hendra
date post
16-Jan-2020Category
Documents
view
6download
0
Embed Size (px)
Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A - 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit dalam ... Hendra
MA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra Gunawan Semester I, 2019/2020
4 September 2019
Kuliah yang Lalu: Limit Fungsi
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 2
L
c
L+ε
L–ε
c+δc–δ
Benar/Salah Kalimat Berikut?
Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:
Jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε.
Benar; bilangan δ > 0 yang memenuhi pernyataan di atas adalah δ = ……... ??
Ini membuktikan bahwa:
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 3
2
2 lim 4. x
x
Latihan
1. Buktikan bahwa
2. Buktikan bahwa
3. Buktikan bahwa
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 4
.4lim 2 2
x x
.2lim 4
x x
3 lim(2 7) 1. x
x
[Mudah; δ = ε/2]
[δ = 2ε]
[δ = ??]
Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencari δ > 0 sehingga: jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*) Untuk itu, kita bekerja mundur dari bentuk |x2 – 4|. Perhatikan bahwa
|x2 – 4| = |x + 2||x – 2| … (#) Jika kita bisa menaksir |x + 2|, maka tugas kita akan mudah. Karena kita sedang berbicara tentang x di sekitar 2, mari kita asumsikan bahwa |x – 2| < 1. Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga 3 < x+2 < 5. Jadi |x + 2| < 5. Kembali ke (#), kita dapatkan: |x2 – 4| < 5|x – 2|. Jadi, jika |x – 2|< ε/5, maka |x2 – 4| < ε. Dengan demikian ada dua hal yang menjamin |x2 – 4| < ε, yaitu: |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. Dalam hal ini kita dapat memilih δ = min { 1, ε/5}, sehingga jika |x – 2| < δ, maka |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 5
2
2 lim 4. x
x
Bukti bahwa
Diberikan ε > 0, pilih δ = min { 1, ε/5}.
Selanjutnya kita periksa jika 0 < |x – 2| < δ, maka
|x2 – 4| = |x + 2||x – 2|
< 5|x – 2| (karena |x + 2| < 5)
< ε (karena |x – 2| < ε/5).
Ini membuktikan bahwa
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 6
2
2 lim 4. x
x
2
2 lim 4. x
x
Soal PR (Dikumpulkan hari Jumat)
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 7
.2 1
lim
2
1
xx Buktikan bahwa
Sasaran Kuliah Hari Ini
1.3 Teorema-Teorema Limit
Menggunakan teorema-teorema limit dalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.
1.4 Limit Fungsi Trigonometri
Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.
9/3/2019 8(c) Hendra Gunawan
1.3 TEOREMA-TEOREMA LIMIT Menggunakan teorema-teorema limit dalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 9
Teorema Utama Limit
Misalkan k konstanta, n є N, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c.
1.
2.
3.
4.
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 10
).(lim)(lim xfkxkf cxcx
.lim kk cx
Catatan. Teorema merupakan suatu pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya, dan kemudian dapat digunakan sebagai “senjata” kita dlm pemecahan masalah terkait.
.lim cx cx
).(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf cxcxcx
Teorema Utama Limit
5.
6.
7.
8. asalkan
untuk n genap.
Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak (limit kanan dan limit kiri). 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 11
).(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf cxcxcx
),(lim/)(lim)(/)(lim xgxfxgxf cxcxcx
.0)(lim
xg cx
.)](lim[)]([lim n cx
n
cx xfxf
,)(lim)(lim n cx
n
cx xfxf
0)(lim
xf
cx
Contoh Penggunaan Teorema Limit
1.
2.
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 12
.071.51.2
7limlim5)(lim2)752(lim
3
11
3
1
3
1
xxxx
xxxx
.1 3
9
12
52
1limlim
5lim)lim(
)1(lim
5lim
1
5 lim
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x
x
Contoh Penggunaan Teorema Limit
3. Diketahui dan .
Tentukan
Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 13
3)(lim 1
xf x
8)(lim 1
xg x
.)()(lim 32 1
xgxf x
.1883
)(lim))(lim()()(lim
32
3 1
2
1
32
1
xgxfxgxf xxx
Teorema Substitusi
Jika f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional, maka
asalkan f(c) terdefinisi.
Contoh 1.
Contoh 2.
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 14
)()(lim cfxf cx
.071.51.2)752(lim 33 1
xx x
.2 3
6
12
22
1
2 lim
22
2
x
x
x
Teorema Apit
Misalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhi
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
untuk x di sekitar c. Jika
Maka
Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak. 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 15
,)(lim)(lim Lxhxf cxcx
.)(lim Lxg cx
Contoh Penggunaan Teorema Apit
Untuk x > 0 di dekat 0, berlaku
-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1.
Bila kita kalikan ketiga ruas dengan x, maka
-x ≤ x.sin(1/x) ≤ x.
Karena maka menurut Teorema Apit
Dengan cara serupa,
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 16
,0lim)(lim 00
xx
xx
.0sinlim 1 0
x x
x
.0sinlim 1 0
x x
x
Latihan
1. Menggunakan teorema limit, hitunglah:
a. .
b. .
Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai.
2. Buktikan bahwa
9/3/2019 17(c) Hendra Gunawan
.0coslim 12 0
x x
x
)4(lim 13 1
x x
xx
1
1 lim
2
4
3
x
x
x
1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 18
Limit Fungsi Trigonometri
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 19
cx cx
tantanlim.3
cx cx
sinsinlim.1
cx cx
cotcotlim.4
cx cx
coscoslim.2
cx cx
secseclim.5
cx cx
csccsclim.6
Bukti bahwa
Untuk t > 0, berlaku 0
Bukti bahwa
Untuk menunjukkan bahwa
misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 21
cx cx
sinsinlim
.sin
0).(cos1).(sin
)sin.coscos.(sinlim
)sin(limsinlim
0
0
c
cc
kckc
kct
k
kct
,sinsinlim ct ct
Limit Trigonometri Khusus
Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku
Karena , maka dengan Teorema Apit
kita simpulkan bahwa
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 22
.1 sin
lim.1 0
t
t
t .0
cos1 lim.2
0
t
t
t
.1 sin
cos t
t t
1coslim 0
t t
.1 sin
lim 0
t
t
t
Latihan
1. Menggunakan fakta bahwa hitunglah:
a. b.
2. Buktikan bahwa
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 23
,1 sin
lim 0
t
t
t
tt t
2cot.sinlim 0 xx
xx
x
2
2
0 2
)2sin( lim
.0 cos1
lim 0
t
t
t
Recommended