MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra Gunawan Semester I, 2019/2020

4 September 2019

Kuliah yang Lalu: Limit Fungsi

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 2

L

c

L+ε

L–ε

c+δc–δ

Benar/Salah Kalimat Berikut?

Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:

Jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε.

Benar; bilangan δ > 0 yang memenuhi pernyataan di atas adalah δ = ……... ??

Ini membuktikan bahwa:

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 3

2

2 lim 4. x

x 



Latihan

1. Buktikan bahwa

2. Buktikan bahwa

3. Buktikan bahwa

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 4

.4lim 2 2

 

x x

.2lim 4

 

x x

3 lim(2 7) 1. x

x 

   [Mudah; δ = ε/2]

[δ = 2ε]

[δ = ??]

Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencari δ > 0 sehingga: jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*) Untuk itu, kita bekerja mundur dari bentuk |x2 – 4|. Perhatikan bahwa

|x2 – 4| = |x + 2||x – 2| … (#) Jika kita bisa menaksir |x + 2|, maka tugas kita akan mudah. Karena kita sedang berbicara tentang x di sekitar 2, mari kita asumsikan bahwa |x – 2| < 1. Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga 3 < x+2 < 5. Jadi |x + 2| < 5. Kembali ke (#), kita dapatkan: |x2 – 4| < 5|x – 2|. Jadi, jika |x – 2|< ε/5, maka |x2 – 4| < ε. Dengan demikian ada dua hal yang menjamin |x2 – 4| < ε, yaitu: |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. Dalam hal ini kita dapat memilih δ = min { 1, ε/5}, sehingga jika |x – 2| < δ, maka |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 5

2

2 lim 4. x

x 



Bukti bahwa

Diberikan ε > 0, pilih δ = min { 1, ε/5}.

Selanjutnya kita periksa jika 0 < |x – 2| < δ, maka

|x2 – 4| = |x + 2||x – 2|

< 5|x – 2| (karena |x + 2| < 5)

< ε (karena |x – 2| < ε/5).

Ini membuktikan bahwa

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 6

2

2 lim 4. x

x 



2

2 lim 4. x

x 



Soal PR (Dikumpulkan hari Jumat)

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 7

.2 1

lim

2

1 

 xx Buktikan bahwa

Sasaran Kuliah Hari Ini

1.3 Teorema-Teorema Limit

Menggunakan teorema-teorema limit dalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.

1.4 Limit Fungsi Trigonometri

Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.

9/3/2019 8(c) Hendra Gunawan

1.3 TEOREMA-TEOREMA LIMIT Menggunakan teorema-teorema limit dalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.

MA1101 MATEMATIKA 1A

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 9

Teorema Utama Limit

Misalkan k konstanta, n є N, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c.

1.

2.

3.

4.

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 10

).(lim)(lim xfkxkf cxcx 



.lim kk cx

 

Catatan. Teorema merupakan suatu pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya, dan kemudian dapat digunakan sebagai “senjata” kita dlm pemecahan masalah terkait.

.lim cx cx

 

).(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf cxcxcx 



Teorema Utama Limit

5.

6.

7.

8. asalkan

untuk n genap.

Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak (limit kanan dan limit kiri). 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 11

).(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf cxcxcx 



),(lim/)(lim)(/)(lim xgxfxgxf cxcxcx 

 .0)(lim  

xg cx

.)](lim[)]([lim n cx

n

cx xfxf

 

,)(lim)(lim n cx

n

cx xfxf

  0)(lim 

 xf

cx

Contoh Penggunaan Teorema Limit

1.

2.

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 12

.071.51.2

7limlim5)(lim2)752(lim

3

11

3

1

3

1



  xxxx

xxxx

.1 3

9

12

52

1limlim

5lim)lim(

)1(lim

5lim

1

5 lim

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

 

 



 



 















xx

xx

x

x

x x

x

x

x

x

x

Contoh Penggunaan Teorema Limit

3. Diketahui dan .

Tentukan

Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 13

3)(lim 1

 

xf x

8)(lim 1

 

xg x

.)()(lim 32 1

xgxf x

 

.1883

)(lim))(lim()()(lim

32

3 1

2

1

32

1



 

xgxfxgxf xxx

Teorema Substitusi

Jika f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional, maka

asalkan f(c) terdefinisi.

Contoh 1.

Contoh 2.

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 14

)()(lim cfxf cx

 

.071.51.2)752(lim 33 1

 

xx x

.2 3

6

12

22

1

2 lim

22

2 



 





 x

x

x

Teorema Apit

Misalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhi

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

untuk x di sekitar c. Jika

Maka

Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak. 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 15

,)(lim)(lim Lxhxf cxcx

 

.)(lim Lxg cx

 

Contoh Penggunaan Teorema Apit

Untuk x > 0 di dekat 0, berlaku

-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1.

Bila kita kalikan ketiga ruas dengan x, maka

-x ≤ x.sin(1/x) ≤ x.

Karena maka menurut Teorema Apit

Dengan cara serupa,

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 16

,0lim)(lim 00

   xx

xx

.0sinlim 1 0

 

x x

x

.0sinlim 1 0

 

x x

x

Latihan

1. Menggunakan teorema limit, hitunglah:

a. .

b. .

Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai.

2. Buktikan bahwa

9/3/2019 17(c) Hendra Gunawan

.0coslim 12 0

 

x x

x

)4(lim 13 1

x x

xx  

1

1 lim

2

4

3 



 x

x

x

1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.

MA1101 MATEMATIKA 1A

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 18

Limit Fungsi Trigonometri

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 19

cx cx

tantanlim.3  

cx cx

sinsinlim.1  

cx cx

cotcotlim.4  

cx cx

coscoslim.2  

cx cx

secseclim.5  

cx cx

csccsclim.6  

Bukti bahwa

Untuk t > 0, berlaku 0

Bukti bahwa

Untuk menunjukkan bahwa

misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 21

cx cx

sinsinlim  

.sin

0).(cos1).(sin

)sin.coscos.(sinlim

)sin(limsinlim

0

0

c

cc

kckc

kct

k

kct













,sinsinlim ct ct

 

Limit Trigonometri Khusus

Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku

Karena , maka dengan Teorema Apit

kita simpulkan bahwa

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 22

.1 sin

lim.1 0

  t

t

t .0

cos1 lim.2

0 



 t

t

t

.1 sin

cos  t

t t

1coslim 0

 

t t

.1 sin

lim 0

  t

t

t

Latihan

1. Menggunakan fakta bahwa hitunglah:

a. b.

2. Buktikan bahwa

9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 23

,1 sin

lim 0

  t

t

t

tt t

2cot.sinlim 0 xx

xx

x 



 2

2

0 2

)2sin( lim

.0 cos1

lim 0

 

 t

t

t