MA1101 MATEMATIKA 1A - 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit dalam ... Hendra

download MA1101 MATEMATIKA 1A - 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit dalam ... Hendra

of 23

  • date post

    16-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    6
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A - 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit dalam ... Hendra

  • MA1101 MATEMATIKA 1A

    Hendra Gunawan Semester I, 2019/2020

    4 September 2019

  • Kuliah yang Lalu: Limit Fungsi

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 2

    L

    c

    L+ε

    L–ε

    c+δc–δ

  • Benar/Salah Kalimat Berikut?

    Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:

    Jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε.

    Benar; bilangan δ > 0 yang memenuhi pernyataan di atas adalah δ = ……... ??

    Ini membuktikan bahwa:

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 3

    2

    2 lim 4. x

    x 

  • Latihan

    1. Buktikan bahwa

    2. Buktikan bahwa

    3. Buktikan bahwa

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 4

    .4lim 2 2

     

    x x

    .2lim 4

     

    x x

    3 lim(2 7) 1. x

    x 

       [Mudah; δ = ε/2]

    [δ = 2ε]

    [δ = ??]

  • Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencari δ > 0 sehingga: jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*) Untuk itu, kita bekerja mundur dari bentuk |x2 – 4|. Perhatikan bahwa

    |x2 – 4| = |x + 2||x – 2| … (#) Jika kita bisa menaksir |x + 2|, maka tugas kita akan mudah. Karena kita sedang berbicara tentang x di sekitar 2, mari kita asumsikan bahwa |x – 2| < 1. Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga 3 < x+2 < 5. Jadi |x + 2| < 5. Kembali ke (#), kita dapatkan: |x2 – 4| < 5|x – 2|. Jadi, jika |x – 2|< ε/5, maka |x2 – 4| < ε. Dengan demikian ada dua hal yang menjamin |x2 – 4| < ε, yaitu: |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. Dalam hal ini kita dapat memilih δ = min { 1, ε/5}, sehingga jika |x – 2| < δ, maka |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 5

    2

    2 lim 4. x

    x 

  • Bukti bahwa

    Diberikan ε > 0, pilih δ = min { 1, ε/5}.

    Selanjutnya kita periksa jika 0 < |x – 2| < δ, maka

    |x2 – 4| = |x + 2||x – 2|

    < 5|x – 2| (karena |x + 2| < 5)

    < ε (karena |x – 2| < ε/5).

    Ini membuktikan bahwa

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 6

    2

    2 lim 4. x

    x 

    2

    2 lim 4. x

    x 

  • Soal PR (Dikumpulkan hari Jumat)

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 7

    .2 1

    lim

    2

    1 

     xx Buktikan bahwa

  • Sasaran Kuliah Hari Ini

    1.3 Teorema-Teorema Limit

    Menggunakan teorema-teorema limit dalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.

    1.4 Limit Fungsi Trigonometri

    Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.

    9/3/2019 8(c) Hendra Gunawan

  • 1.3 TEOREMA-TEOREMA LIMIT Menggunakan teorema-teorema limit dalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.

    MA1101 MATEMATIKA 1A

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 9

  • Teorema Utama Limit

    Misalkan k konstanta, n є N, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c.

    1.

    2.

    3.

    4.

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 10

    ).(lim)(lim xfkxkf cxcx 

    .lim kk cx

     

    Catatan. Teorema merupakan suatu pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya, dan kemudian dapat digunakan sebagai “senjata” kita dlm pemecahan masalah terkait.

    .lim cx cx

     

    ).(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf cxcxcx 

    

  • Teorema Utama Limit

    5.

    6.

    7.

    8. asalkan

    untuk n genap.

    Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak (limit kanan dan limit kiri). 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 11

    ).(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf cxcxcx 

    

    ),(lim/)(lim)(/)(lim xgxfxgxf cxcxcx 

     .0)(lim  

    xg cx

    .)](lim[)]([lim n cx

    n

    cx xfxf

     

    ,)(lim)(lim n cx

    n

    cx xfxf

      0)(lim 

     xf

    cx

  • Contoh Penggunaan Teorema Limit

    1.

    2.

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 12

    .071.51.2

    7limlim5)(lim2)752(lim

    3

    11

    3

    1

    3

    1

    

      xxxx

    xxxx

    .1 3

    9

    12

    52

    1limlim

    5lim)lim(

    )1(lim

    5lim

    1

    5 lim

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

     

     

     

     

    

    

    xx

    xx

    x

    x

    x x

    x

    x

    x

    x

    x

  • Contoh Penggunaan Teorema Limit

    3. Diketahui dan .

    Tentukan

    Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 13

    3)(lim 1

     

    xf x

    8)(lim 1

     

    xg x

    .)()(lim 32 1

    xgxf x

     

    .1883

    )(lim))(lim()()(lim

    32

    3 1

    2

    1

    32

    1

    

     

    xgxfxgxf xxx

  • Teorema Substitusi

    Jika f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional, maka

    asalkan f(c) terdefinisi.

    Contoh 1.

    Contoh 2.

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 14

    )()(lim cfxf cx

     

    .071.51.2)752(lim 33 1

     

    xx x

    .2 3

    6

    12

    22

    1

    2 lim

    22

    2 

     

     x

    x

    x

  • Teorema Apit

    Misalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhi

    f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

    untuk x di sekitar c. Jika

    Maka

    Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak. 9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 15

    ,)(lim)(lim Lxhxf cxcx

     

    .)(lim Lxg cx

     

  • Contoh Penggunaan Teorema Apit

    Untuk x > 0 di dekat 0, berlaku

    -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1.

    Bila kita kalikan ketiga ruas dengan x, maka

    -x ≤ x.sin(1/x) ≤ x.

    Karena maka menurut Teorema Apit

    Dengan cara serupa,

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 16

    ,0lim)(lim 00

       xx

    xx

    .0sinlim 1 0

     

    x x

    x

    .0sinlim 1 0

     

    x x

    x

  • Latihan

    1. Menggunakan teorema limit, hitunglah:

    a. .

    b. .

    Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai.

    2. Buktikan bahwa

    9/3/2019 17(c) Hendra Gunawan

    .0coslim 12 0

     

    x x

    x

    )4(lim 13 1

    x x

    xx  

    1

    1 lim

    2

    4

    3 

     x

    x

    x

  • 1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.

    MA1101 MATEMATIKA 1A

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 18

  • Limit Fungsi Trigonometri

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 19

    cx cx

    tantanlim.3  

    cx cx

    sinsinlim.1  

    cx cx

    cotcotlim.4  

    cx cx

    coscoslim.2  

    cx cx

    secseclim.5  

    cx cx

    csccsclim.6  

  • Bukti bahwa

    Untuk t > 0, berlaku 0

  • Bukti bahwa

    Untuk menunjukkan bahwa

    misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 21

    cx cx

    sinsinlim  

    .sin

    0).(cos1).(sin

    )sin.coscos.(sinlim

    )sin(limsinlim

    0

    0

    c

    cc

    kckc

    kct

    k

    kct

    

    

    

    

    ,sinsinlim ct ct

     

  • Limit Trigonometri Khusus

    Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku

    Karena , maka dengan Teorema Apit

    kita simpulkan bahwa

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 22

    .1 sin

    lim.1 0

      t

    t

    t .0

    cos1 lim.2

    0 

     t

    t

    t

    .1 sin

    cos  t

    t t

    1coslim 0

     

    t t

    .1 sin

    lim 0

      t

    t

    t

  • Latihan

    1. Menggunakan fakta bahwa hitunglah:

    a. b.

    2. Buktikan bahwa

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 23

    ,1 sin

    lim 0

      t

    t

    t

    tt t

    2cot.sinlim 0 xx

    xx

    x 

     2

    2

    0 2

    )2sin( lim

    .0 cos1

    lim 0

     

     t

    t

    t