MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com · 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit...
date post
16-Jan-2020Category
Documents
view
27download
1
Embed Size (px)
Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com · 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit...
MA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2019/2020
4 September 2019
Kuliah yang Lalu: Limit Fungsi
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 2
L
c
L+ε
L–ε
c+δc–δ
Benar/Salah Kalimat Berikut?
Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:
Jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε.
Benar; bilangan δ > 0 yang memenuhipernyataan di atas adalah δ = ……... ??
Ini membuktikan bahwa:
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 3
2
2lim 4.x
x
Latihan
1. Buktikan bahwa
2. Buktikan bahwa
3. Buktikan bahwa
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 4
.4lim 22
xx
.2lim4
xx
3lim(2 7) 1.x
x
[Mudah; δ = ε/2]
[δ = 2ε]
[δ = ??]
Analisis PendahuluanDiberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencari δ > 0 sehingga: jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*)Untuk itu, kita bekerja mundur dari bentuk |x2 – 4|. Perhatikan bahwa
|x2 – 4| = |x + 2||x – 2| … (#)Jika kita bisa menaksir |x + 2|, maka tugas kita akan mudah.Karena kita sedang berbicara tentang x di sekitar 2, mari kitaasumsikan bahwa |x – 2| < 1. Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga 3 < x+2 < 5. Jadi |x + 2| < 5.Kembali ke (#), kita dapatkan: |x2 – 4| < 5|x – 2|. Jadi, jika |x – 2|< ε/5, maka |x2 – 4| < ε. Dengan demikian ada dua hal yang menjamin |x2 – 4| < ε, yaitu: |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. Dalam hal ini kita dapat memilih δ = min { 1, ε/5}, sehingga jika|x – 2| < δ, maka |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5.9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 5
2
2lim 4.x
x
Bukti bahwa
Diberikan ε > 0, pilih δ = min { 1, ε/5}.
Selanjutnya kita periksa jika 0 < |x – 2| < δ, maka
|x2 – 4| = |x + 2||x – 2|
< 5|x – 2| (karena |x + 2| < 5)
< ε (karena |x – 2| < ε/5).
Ini membuktikan bahwa
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 6
2
2lim 4.x
x
2
2lim 4.x
x
Soal PR (Dikumpulkan hari Jumat)
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 7
.21
lim
2
1
xxBuktikan bahwa
Sasaran Kuliah Hari Ini
1.3 Teorema-Teorema Limit
Menggunakan teorema-teorema limit dalampenghitungan berbagai limit fungsi aljabar.
1.4 Limit Fungsi Trigonometri
Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.
9/3/2019 8(c) Hendra Gunawan
1.3 TEOREMA-TEOREMA LIMITMenggunakan teorema-teorema limitdalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 9
Teorema Utama Limit
Misalkan k konstanta, n є N, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c.
1.
2.
3.
4.
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 10
).(lim)(lim xfkxkfcxcx
.lim kkcx
Catatan. Teoremamerupakan suatupernyataan yang dapat dibuktikankebenarannya, dankemudian dapatdigunakan sebagai“senjata” kita dlmpemecahanmasalah terkait.
.lim cxcx
).(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx
Teorema Utama Limit
5.
6.
7.
8. asalkan
untuk n genap.
Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak(limit kanan dan limit kiri).9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 11
).(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx
),(lim/)(lim)(/)(lim xgxfxgxfcxcxcx
.0)(lim
xgcx
.)](lim[)]([lim ncx
n
cxxfxf
,)(lim)(lim ncx
n
cxxfxf
0)(lim
xf
cx
Contoh Penggunaan Teorema Limit
1.
2.
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 12
.071.51.2
7limlim5)(lim2)752(lim
3
11
3
1
3
1
xxxx
xxxx
.13
9
12
52
1limlim
5lim)lim(
)1(lim
5lim
1
5lim
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x
x
Contoh Penggunaan Teorema Limit
3. Diketahui dan .
Tentukan
Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 13
3)(lim1
xfx
8)(lim1
xgx
.)()(lim 321
xgxfx
.1883
)(lim))(lim()()(lim
32
31
2
1
32
1
xgxfxgxfxxx
Teorema Substitusi
Jika f adalah fungsi polinom atau fungsirasional, maka
asalkan f(c) terdefinisi.
Contoh 1.
Contoh 2.
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 14
)()(lim cfxfcx
.071.51.2)752(lim 331
xxx
.23
6
12
22
1
2lim
22
2
x
x
x
Teorema Apit
Misalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhi
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
untuk x di sekitar c. Jika
Maka
Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak.9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 15
,)(lim)(lim Lxhxfcxcx
.)(lim Lxgcx
Contoh Penggunaan Teorema Apit
Untuk x > 0 di dekat 0, berlaku
-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1.
Bila kita kalikan ketiga ruas dengan x, maka
-x ≤ x.sin(1/x) ≤ x.
Karena maka menurutTeorema Apit
Dengan cara serupa,
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 16
,0lim)(lim00
xx
xx
.0sinlim 10
xx
x
.0sinlim 10
xx
x
Latihan
1. Menggunakan teorema limit, hitunglah:
a. .
b. .
Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai.
2. Buktikan bahwa
9/3/2019 17(c) Hendra Gunawan
.0coslim 120
xx
x
)4(lim 131
xx
xx
1
1lim
2
4
3
x
x
x
1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRIMenghitung berbagai limit fungsitrigonometri.
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 18
Limit Fungsi Trigonometri
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 19
cxcx
tantanlim.3
cxcx
sinsinlim.1
cxcx
cotcotlim.4
cxcx
coscoslim.2
cxcx
secseclim.5
cxcx
csccsclim.6
Bukti bahwa
Untuk t > 0, berlaku 0
Bukti bahwa
Untuk menunjukkan bahwa
misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 21
cxcx
sinsinlim
.sin
0).(cos1).(sin
)sin.coscos.(sinlim
)sin(limsinlim
0
0
c
cc
kckc
kct
k
kct
,sinsinlim ctct
Limit Trigonometri Khusus
Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku
Karena , maka dengan Teorema Apit
kita simpulkan bahwa
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 22
.1sin
lim.10
t
t
t.0
cos1lim.2
0
t
t
t
.1sin
cos t
tt
1coslim0
tt
.1sin
lim0
t
t
t
Latihan
1. Menggunakan fakta bahwa hitunglah:
a. b.
2. Buktikan bahwa
9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 23
,1sin
lim0
t
t
t
ttt
2cot.sinlim0 xx
xx
x
2
2
0 2
)2sin(lim
.0cos1
lim0
t
t
t
