MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com · 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit...

Click here to load reader

  • date post

    16-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    27
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com · 1.3 Teorema-Teorema Limit Menggunakan teorema-teorema limit...

  • MA1101 MATEMATIKA 1A

    Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

    4 September 2019

  • Kuliah yang Lalu: Limit Fungsi

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 2

    L

    c

    L+ε

    L–ε

    c+δc–δ

  • Benar/Salah Kalimat Berikut?

    Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:

    Jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε.

    Benar; bilangan δ > 0 yang memenuhipernyataan di atas adalah δ = ……... ??

    Ini membuktikan bahwa:

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 3

    2

    2lim 4.x

    x

  • Latihan

    1. Buktikan bahwa

    2. Buktikan bahwa

    3. Buktikan bahwa

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 4

    .4lim 22

    xx

    .2lim4

    xx

    3lim(2 7) 1.x

    x

    [Mudah; δ = ε/2]

    [δ = 2ε]

    [δ = ??]

  • Analisis PendahuluanDiberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencari δ > 0 sehingga: jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*)Untuk itu, kita bekerja mundur dari bentuk |x2 – 4|. Perhatikan bahwa

    |x2 – 4| = |x + 2||x – 2| … (#)Jika kita bisa menaksir |x + 2|, maka tugas kita akan mudah.Karena kita sedang berbicara tentang x di sekitar 2, mari kitaasumsikan bahwa |x – 2| < 1. Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga 3 < x+2 < 5. Jadi |x + 2| < 5.Kembali ke (#), kita dapatkan: |x2 – 4| < 5|x – 2|. Jadi, jika |x – 2|< ε/5, maka |x2 – 4| < ε. Dengan demikian ada dua hal yang menjamin |x2 – 4| < ε, yaitu: |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5. Dalam hal ini kita dapat memilih δ = min { 1, ε/5}, sehingga jika|x – 2| < δ, maka |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5.9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 5

    2

    2lim 4.x

    x

  • Bukti bahwa

    Diberikan ε > 0, pilih δ = min { 1, ε/5}.

    Selanjutnya kita periksa jika 0 < |x – 2| < δ, maka

    |x2 – 4| = |x + 2||x – 2|

    < 5|x – 2| (karena |x + 2| < 5)

    < ε (karena |x – 2| < ε/5).

    Ini membuktikan bahwa

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 6

    2

    2lim 4.x

    x

    2

    2lim 4.x

    x

  • Soal PR (Dikumpulkan hari Jumat)

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 7

    .21

    lim

    2

    1

    xxBuktikan bahwa

  • Sasaran Kuliah Hari Ini

    1.3 Teorema-Teorema Limit

    Menggunakan teorema-teorema limit dalampenghitungan berbagai limit fungsi aljabar.

    1.4 Limit Fungsi Trigonometri

    Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.

    9/3/2019 8(c) Hendra Gunawan

  • 1.3 TEOREMA-TEOREMA LIMITMenggunakan teorema-teorema limitdalam penghitungan berbagai limit fungsi aljabar.

    MA1101 MATEMATIKA 1A

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 9

  • Teorema Utama Limit

    Misalkan k konstanta, n є N, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c.

    1.

    2.

    3.

    4.

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 10

    ).(lim)(lim xfkxkfcxcx

    .lim kkcx

    Catatan. Teoremamerupakan suatupernyataan yang dapat dibuktikankebenarannya, dankemudian dapatdigunakan sebagai“senjata” kita dlmpemecahanmasalah terkait.

    .lim cxcx

    ).(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx

  • Teorema Utama Limit

    5.

    6.

    7.

    8. asalkan

    untuk n genap.

    Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak(limit kanan dan limit kiri).9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 11

    ).(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx

    ),(lim/)(lim)(/)(lim xgxfxgxfcxcxcx

    .0)(lim

    xgcx

    .)](lim[)]([lim ncx

    n

    cxxfxf

    ,)(lim)(lim ncx

    n

    cxxfxf

    0)(lim

    xf

    cx

  • Contoh Penggunaan Teorema Limit

    1.

    2.

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 12

    .071.51.2

    7limlim5)(lim2)752(lim

    3

    11

    3

    1

    3

    1

    xxxx

    xxxx

    .13

    9

    12

    52

    1limlim

    5lim)lim(

    )1(lim

    5lim

    1

    5lim

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    xx

    xx

    x

    x

    x x

    x

    x

    x

    x

    x

  • Contoh Penggunaan Teorema Limit

    3. Diketahui dan .

    Tentukan

    Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 13

    3)(lim1

    xfx

    8)(lim1

    xgx

    .)()(lim 321

    xgxfx

    .1883

    )(lim))(lim()()(lim

    32

    31

    2

    1

    32

    1

    xgxfxgxfxxx

  • Teorema Substitusi

    Jika f adalah fungsi polinom atau fungsirasional, maka

    asalkan f(c) terdefinisi.

    Contoh 1.

    Contoh 2.

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 14

    )()(lim cfxfcx

    .071.51.2)752(lim 331

    xxx

    .23

    6

    12

    22

    1

    2lim

    22

    2

    x

    x

    x

  • Teorema Apit

    Misalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhi

    f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

    untuk x di sekitar c. Jika

    Maka

    Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak.9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 15

    ,)(lim)(lim Lxhxfcxcx

    .)(lim Lxgcx

  • Contoh Penggunaan Teorema Apit

    Untuk x > 0 di dekat 0, berlaku

    -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1.

    Bila kita kalikan ketiga ruas dengan x, maka

    -x ≤ x.sin(1/x) ≤ x.

    Karena maka menurutTeorema Apit

    Dengan cara serupa,

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 16

    ,0lim)(lim00

    xx

    xx

    .0sinlim 10

    xx

    x

    .0sinlim 10

    xx

    x

  • Latihan

    1. Menggunakan teorema limit, hitunglah:

    a. .

    b. .

    Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai.

    2. Buktikan bahwa

    9/3/2019 17(c) Hendra Gunawan

    .0coslim 120

    xx

    x

    )4(lim 131

    xx

    xx

    1

    1lim

    2

    4

    3

    x

    x

    x

  • 1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRIMenghitung berbagai limit fungsitrigonometri.

    MA1101 MATEMATIKA 1A

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 18

  • Limit Fungsi Trigonometri

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 19

    cxcx

    tantanlim.3

    cxcx

    sinsinlim.1

    cxcx

    cotcotlim.4

    cxcx

    coscoslim.2

    cxcx

    secseclim.5

    cxcx

    csccsclim.6

  • Bukti bahwa

    Untuk t > 0, berlaku 0

  • Bukti bahwa

    Untuk menunjukkan bahwa

    misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 21

    cxcx

    sinsinlim

    .sin

    0).(cos1).(sin

    )sin.coscos.(sinlim

    )sin(limsinlim

    0

    0

    c

    cc

    kckc

    kct

    k

    kct

    ,sinsinlim ctct

  • Limit Trigonometri Khusus

    Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku

    Karena , maka dengan Teorema Apit

    kita simpulkan bahwa

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 22

    .1sin

    lim.10

    t

    t

    t.0

    cos1lim.2

    0

    t

    t

    t

    .1sin

    cos t

    tt

    1coslim0

    tt

    .1sin

    lim0

    t

    t

    t

  • Latihan

    1. Menggunakan fakta bahwa hitunglah:

    a. b.

    2. Buktikan bahwa

    9/3/2019 (c) Hendra Gunawan 23

    ,1sin

    lim0

    t

    t

    t

    ttt

    2cot.sinlim0 xx

    xx

    x

    2

    2

    0 2

    )2sin(lim

    .0cos1

    lim0

    t

    t

    t