De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i...
Transcript of De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i...
�De�nicija�
Neka je f : D ⊆ R→ R. Za c ∈ R ∪ {±∞}, ako vrijedi
x → c︸ ︷︷ ︸�x se pribliºava c,
x 6= c�
⇒ f (x)→ L︸ ︷︷ ︸�f (x) se pribliºava L�
za neki L ∈ R ∪ {±∞}, pi²emo
limx→c
f (x) = L.
Ako je L ∈ R, kaºemo da je L limes funkcije f u to£ki c .
Primjer 1(a)
x
y
Γf
4
3
7340
limx→4
f (x) =73
40.
Primjer 1(b)
x
y Γex
1
1
limx→−∞
ex = 0, limx→+∞
ex = +∞, limx→0
ex = 1(= e0).
Primjer 1(c)
x
y
Γf
1−2
1
limx→−2
f (x) = +∞.
Primjer 1(d)
x
y Γf
1 3
1
limx→3
f (x) ne postoji, ali limx→3−
f (x) = −∞, a limx→3+
f (x) = 1.
�De�nicija�
Neka je f : D ⊆ R→ R. Za c ∈ R, ako vrijedi
x → c+︸ ︷︷ ︸�x se pribliºava c,
x > c�
⇒ f (x)→ L︸ ︷︷ ︸�f (x) se pribliºava L�
za neki L ∈ R ∪ {±∞}, pi²emo
limx→c+
f (x) = L.
Ako je L ∈ R, kaºemo da je L limes zdesna funkcije f u to£ki c .
�De�nicija�
Neka je f : D ⊆ R→ R. Za c ∈ R, ako vrijedi
x → c−︸ ︷︷ ︸�x se pribliºava c,
x<c�
⇒ f (x)→ L︸ ︷︷ ︸�f (x) se pribliºava L�
za neki L ∈ R ∪ {±∞}, pi²emo
limx→c−
f (x) = L.
Ako je L ∈ R, kaºemo da je L limes slijeva funkcije f u to£ki c .
Primjer 1(e)
x
y
Γsin
π
1
limx→+∞
sin x ne postoji.
Primjer 1(f)
Γsin 1
x
1
1
x
y
limx→0+
sin1
xi lim
x→0−sin
1
xne postoje.
Primjer 1(g)
x
y
Γln
1−2
1
limx→−2−
ln x i limx→−2+
ln x ne postoje.
Limesi i osnovne aritmeti£ke operacije
Neka su a ∈ R i c ∈ R ∪ {±∞}. Svaka od sljede¢ih jednakosti vrijedi kad god je njezina desna
strana de�nirana:
(i) limx→c
(f (x) + g(x)) = limx→c
f (x) + limx→c
g(x)
(ii) limx→c
f (x) · g(x) = limx→c
f (x) · limx→c
g(x)
(iii) limx→c
a f (x) = a · limx→c
f (x)
(iv) limx→c
f (x)
g(x)=
limx→c f (x)
limx→c g(x).
Analogne tvrdnje vrijede i za limx→c+ i limx→c−.
Primjer 2(a)
limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1·
1x3
1x3
= limx→+∞
3x+5x · 2x−3x · 4x−7x
3 + 1x2− 1
x3
= limx→+∞
(3 + 5
x
) (2− 3
x
) (4− 7
x
)3 + 1
x2− 1
x3
=
(limx→+∞ 3 + limx→+∞
5x
) (limx→+∞ 2− limx→+∞
3x
) (limx→+∞ 4− limx→+∞
7x
)limx→+∞ 3 + limx→+∞
1x2− limx→+∞
1x3
=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)
3 + 0− 0
= 8.
Primjer 2(a)
limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1=
(+∞+∞
)
= limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1·
1x3
1x3
= limx→+∞
3x+5x · 2x−3x · 4x−7x
3 + 1x2− 1
x3
= limx→+∞
(3 + 5
x
) (2− 3
x
) (4− 7
x
)3 + 1
x2− 1
x3
=
(limx→+∞ 3 + limx→+∞
5x
) (limx→+∞ 2− limx→+∞
3x
) (limx→+∞ 4− limx→+∞
7x
)limx→+∞ 3 + limx→+∞
1x2− limx→+∞
1x3
=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)
3 + 0− 0
= 8.
Primjer 2(a)
limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1·
1x3
1x3
= limx→+∞
3x+5x · 2x−3x · 4x−7x
3 + 1x2− 1
x3
= limx→+∞
(3 + 5
x
) (2− 3
x
) (4− 7
x
)3 + 1
x2− 1
x3
=
(limx→+∞ 3 + limx→+∞
5x
) (limx→+∞ 2− limx→+∞
3x
) (limx→+∞ 4− limx→+∞
7x
)limx→+∞ 3 + limx→+∞
1x2− limx→+∞
1x3
=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)
3 + 0− 0
= 8.
Primjer 2(a)
limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1·
1x3
1x3
= limx→+∞
3x+5x · 2x−3x · 4x−7x
3 + 1x2− 1
x3
= limx→+∞
(3 + 5
x
) (2− 3
x
) (4− 7
x
)3 + 1
x2− 1
x3
=
(limx→+∞ 3 + limx→+∞
5x
) (limx→+∞ 2− limx→+∞
3x
) (limx→+∞ 4− limx→+∞
7x
)limx→+∞ 3 + limx→+∞
1x2− limx→+∞
1x3
=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)
3 + 0− 0
= 8.
Primjer 2(a)
limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1·
1x3
1x3
= limx→+∞
3x+5x · 2x−3x · 4x−7x
3 + 1x2− 1
x3
= limx→+∞
(3 + 5
x
) (2− 3
x
) (4− 7
x
)3 + 1
x2− 1
x3
=
(limx→+∞ 3 + limx→+∞
5x
) (limx→+∞ 2− limx→+∞
3x
) (limx→+∞ 4− limx→+∞
7x
)limx→+∞ 3 + limx→+∞
1x2− limx→+∞
1x3
=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)
3 + 0− 0
= 8.
Primjer 2(a)
limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1·
1x3
1x3
= limx→+∞
3x+5x · 2x−3x · 4x−7x
3 + 1x2− 1
x3
= limx→+∞
(3 + 5
x
) (2− 3
x
) (4− 7
x
)3 + 1
x2− 1
x3
=
(limx→+∞ 3 + limx→+∞
5x
) (limx→+∞ 2− limx→+∞
3x
) (limx→+∞ 4− limx→+∞
7x
)limx→+∞ 3 + limx→+∞
1x2− limx→+∞
1x3
=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)
3 + 0− 0
= 8.
Primjer 2(a)
limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1·
1x3
1x3
= limx→+∞
3x+5x · 2x−3x · 4x−7x
3 + 1x2− 1
x3
= limx→+∞
(3 + 5
x
) (2− 3
x
) (4− 7
x
)3 + 1
x2− 1
x3
=
(limx→+∞ 3 + limx→+∞
5x
) (limx→+∞ 2− limx→+∞
3x
) (limx→+∞ 4− limx→+∞
7x
)limx→+∞ 3 + limx→+∞
1x2− limx→+∞
1x3
=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)
3 + 0− 0
= 8.
Primjer 2(a)
limx→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)
3x3 + x − 1·
1x3
1x3
= limx→+∞
3x+5x · 2x−3x · 4x−7x
3 + 1x2− 1
x3
= limx→+∞
(3 + 5
x
) (2− 3
x
) (4− 7
x
)3 + 1
x2− 1
x3
=
(limx→+∞ 3 + limx→+∞
5x
) (limx→+∞ 2− limx→+∞
3x
) (limx→+∞ 4− limx→+∞
7x
)limx→+∞ 3 + limx→+∞
1x2− limx→+∞
1x3
=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)
3 + 0− 0
= 8.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
? Da.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)
= limx→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
? Da.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
? Da.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
? Da.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
? Da.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
? Da.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
? Da.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
?
Da.
Primjer 2(b)
limx→+∞
x3√x3 + 10
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x3√x3 + 10
·1x1x
= limx→+∞
13√x3+103√x3
= limx→+∞
1
3
√1 + 10
x3
=1
3
√1 + limx→+∞
10x3
=1
3√1 + 0
= 1.
Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√
? Da.
Smije li lim u¢i pod 3
√ ?
Vrijedi
limx→c
g(f (x)) = g(
limx→c
f (x))
(1)
kad god su zadovoljeni sljede¢i uvjeti:
g je elementarna funkcija: polinom, racionalna funkcija, n√· , trigonometrijska, arkus,
eksponencijalna, logaritamska funkcija ili | · |.Desna strana formule (1) je de�nirana.
g(f (x)) je de�nirano za x iz nekog probu²enog intervala oko c , tj. intervala oblikac
, ako je c ∈ R,
c, ako je c = +∞,
, ako je c = −∞.
Primjer 3
(a) Oprez!
limx→0
√−x2 6=
√limx→0
(−x2) =√0 = 0.
Zapravo, limx→0
√−x2 ne postoji.
Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:
x
y
Γ√−x2
.
(b) limx→+∞
arctg1
x
= arctg limx→+∞
1
x= arctg 0 = 0.
Primjer 3
(a) Oprez!
limx→0
√−x2 6=
√limx→0
(−x2) =√0 = 0.
Zapravo, limx→0
√−x2 ne postoji.
Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:
x
y
Γ√−x2
.
(b) limx→+∞
arctg1
x
= arctg limx→+∞
1
x= arctg 0 = 0.
Primjer 3
(a) Oprez!
limx→0
√−x2 6=
√limx→0
(−x2) =√0 = 0.
Zapravo, limx→0
√−x2 ne postoji.
Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:
x
y
Γ√−x2
.
(b) limx→+∞
arctg1
x
= arctg limx→+∞
1
x= arctg 0 = 0.
Primjer 3
(a) Oprez!
limx→0
√−x2 6=
√limx→0
(−x2) =√0 = 0.
Zapravo, limx→0
√−x2 ne postoji.
Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:
x
y
Γ√−x2
.
(b) limx→+∞
arctg1
x
= arctg limx→+∞
1
x= arctg 0 = 0.
Primjer 3
(a) Oprez!
limx→0
√−x2 6=
√limx→0
(−x2) =√0 = 0.
Zapravo, limx→0
√−x2 ne postoji.
Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:
x
y
Γ√−x2
.
(b) limx→+∞
arctg1
x= arctg lim
x→+∞
1
x
= arctg 0 = 0.
Primjer 3
(a) Oprez!
limx→0
√−x2 6=
√limx→0
(−x2) =√0 = 0.
Zapravo, limx→0
√−x2 ne postoji.
Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:
x
y
Γ√−x2
.
(b) limx→+∞
arctg1
x= arctg lim
x→+∞
1
x= arctg 0
= 0.
Primjer 3
(a) Oprez!
limx→0
√−x2 6=
√limx→0
(−x2) =√0 = 0.
Zapravo, limx→0
√−x2 ne postoji.
Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:
x
y
Γ√−x2
.
(b) limx→+∞
arctg1
x= arctg lim
x→+∞
1
x= arctg 0 = 0.
Odre�eni i neodre�eni oblici
Primjer. limx→1−
ln(1− x)
(x − 1)2
=
(−∞0+
)= −∞.
−∞0+
je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,
0
0,
∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0
su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.
Primjer. limx→0
x
2x=
(0
0
)= lim
x→0
1
2=
1
2
limx→0
x2
x=
(0
0
)= lim
x→0x = 0
limx→0
x2
x4=
(0
0
)= lim
x→0
1
x2= +∞
limx→0
x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1
xne postoji.
Odre�eni i neodre�eni oblici
Primjer. limx→1−
ln
→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)
(x − 1)2
=
(−∞0+
)= −∞.
−∞0+
je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,
0
0,
∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0
su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.
Primjer. limx→0
x
2x=
(0
0
)= lim
x→0
1
2=
1
2
limx→0
x2
x=
(0
0
)= lim
x→0x = 0
limx→0
x2
x4=
(0
0
)= lim
x→0
1
x2= +∞
limx→0
x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1
xne postoji.
Odre�eni i neodre�eni oblici
Primjer. limx→1−
ln
→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)
(x − 1)2=
(−∞0+
)
= −∞.
−∞0+
je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,
0
0,
∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0
su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.
Primjer. limx→0
x
2x=
(0
0
)= lim
x→0
1
2=
1
2
limx→0
x2
x=
(0
0
)= lim
x→0x = 0
limx→0
x2
x4=
(0
0
)= lim
x→0
1
x2= +∞
limx→0
x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1
xne postoji.
Odre�eni i neodre�eni oblici
Primjer. limx→1−
ln
→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)
(x − 1)2=
(−∞0+
)= −∞.
−∞0+
je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,
0
0,
∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0
su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.
Primjer. limx→0
x
2x=
(0
0
)= lim
x→0
1
2=
1
2
limx→0
x2
x=
(0
0
)= lim
x→0x = 0
limx→0
x2
x4=
(0
0
)= lim
x→0
1
x2= +∞
limx→0
x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1
xne postoji.
Odre�eni i neodre�eni oblici
Primjer. limx→1−
ln
→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)
(x − 1)2=
(−∞0+
)= −∞.
−∞0+
je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞).
S druge strane,
0
0,
∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0
su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.
Primjer. limx→0
x
2x=
(0
0
)= lim
x→0
1
2=
1
2
limx→0
x2
x=
(0
0
)= lim
x→0x = 0
limx→0
x2
x4=
(0
0
)= lim
x→0
1
x2= +∞
limx→0
x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1
xne postoji.
Odre�eni i neodre�eni oblici
Primjer. limx→1−
ln
→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)
(x − 1)2=
(−∞0+
)= −∞.
−∞0+
je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,
0
0,
∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0
su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.
Primjer. limx→0
x
2x=
(0
0
)= lim
x→0
1
2=
1
2
limx→0
x2
x=
(0
0
)= lim
x→0x = 0
limx→0
x2
x4=
(0
0
)= lim
x→0
1
x2= +∞
limx→0
x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1
xne postoji.
Neki odre�eni oblici
Neka je a ∈ R. Vrijedi:
a
∞= 0
a
0+=
{+∞, ako je a > 0
−∞, ako je a < 0,
a
0−=
{−∞, ako je a > 0
+∞, ako je a < 0.
+∞0+
= +∞, +∞0−
= −∞, −∞0+
= −∞, −∞0−
= +∞,
(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞
(+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞, (+∞) · (−∞) = −∞.
Zadatak 36(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(x + 1)2
x2 + 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
(x+1x
)21 + 1
x2
= limx→+∞
(1 + 1
x
)21 + 1
x2
=(1 + 0)2
1 + 0
= 1.
Zadatak 36(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1=
(+∞+∞
)
= limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
(x+1x
)21 + 1
x2
= limx→+∞
(1 + 1
x
)21 + 1
x2
=(1 + 0)2
1 + 0
= 1.
Zadatak 36(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(x + 1)2
x2 + 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
(x+1x
)21 + 1
x2
= limx→+∞
(1 + 1
x
)21 + 1
x2
=(1 + 0)2
1 + 0
= 1.
Zadatak 36(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(x + 1)2
x2 + 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
(x+1x
)21 + 1
x2
= limx→+∞
(1 + 1
x
)21 + 1
x2
=(1 + 0)2
1 + 0
= 1.
Zadatak 36(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(x + 1)2
x2 + 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
(x+1x
)21 + 1
x2
= limx→+∞
(1 + 1
x
)21 + 1
x2
=(1 + 0)2
1 + 0
= 1.
Zadatak 36(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(x + 1)2
x2 + 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
(x+1x
)21 + 1
x2
= limx→+∞
(1 + 1
x
)21 + 1
x2
=(1 + 0)2
1 + 0
= 1.
Zadatak 36(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(x + 1)2
x2 + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
(x + 1)2
x2 + 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
(x+1x
)21 + 1
x2
= limx→+∞
(1 + 1
x
)21 + 1
x2
=(1 + 0)2
1 + 0
= 1.
Zadatak 36(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
1000x
x2 − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
1000x
x2 − 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
1000x
x2 − 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
1000x
1− 1x2
=0
1− 0
= 0.
Zadatak 36(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
1000x
x2 − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
1000x
x2 − 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
1000x
x2 − 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
1000x
1− 1x2
=0
1− 0
= 0.
Zadatak 36(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
1000x
x2 − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
1000x
x2 − 1=
(+∞+∞
)
= limx→+∞
1000x
x2 − 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
1000x
1− 1x2
=0
1− 0
= 0.
Zadatak 36(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
1000x
x2 − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
1000x
x2 − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
1000x
x2 − 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
1000x
1− 1x2
=0
1− 0
= 0.
Zadatak 36(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
1000x
x2 − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
1000x
x2 − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
1000x
x2 − 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
1000x
1− 1x2
=0
1− 0
= 0.
Zadatak 36(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
1000x
x2 − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
1000x
x2 − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
1000x
x2 − 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
1000x
1− 1x2
=0
1− 0
= 0.
Zadatak 36(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
1000x
x2 − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
1000x
x2 − 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
1000x
x2 − 1·
1x2
1x2
= limx→+∞
1000x
1− 1x2
=0
1− 0
= 0.
Zadatak 36(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7·
1x1x
= limx→+∞
x − 5 + 1x
3 + 7x
=
(+∞3
)= +∞.
Zadatak 36(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7·
1x1x
= limx→+∞
x − 5 + 1x
3 + 7x
=
(+∞3
)= +∞.
Zadatak 36(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7=
(+∞+∞
)
= limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7·
1x1x
= limx→+∞
x − 5 + 1x
3 + 7x
=
(+∞3
)= +∞.
Zadatak 36(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7·
1x1x
= limx→+∞
x − 5 + 1x
3 + 7x
=
(+∞3
)= +∞.
Zadatak 36(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7·
1x1x
= limx→+∞
x − 5 + 1x
3 + 7x
=
(+∞3
)= +∞.
Zadatak 36(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7·
1x1x
= limx→+∞
x − 5 + 1x
3 + 7x
=
(+∞3
)
= +∞.
Zadatak 36(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x2 − 5x + 1
3x + 7·
1x1x
= limx→+∞
x − 5 + 1x
3 + 7x
=
(+∞3
)= +∞.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2
=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2
=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)
= limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2
=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2
=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2
=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2
=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4
=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):
limx→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
.
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
=
(+∞+∞
)= lim
x→−∞
2x2 − 3x − 4√x4 + 1
·1x2
1x2
= limx→−∞
2− 3x −
4x2√
1 + 1x4
=2− 0− 0√
1 + 0
= 2,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1
x2=
√x4 + 1√x4
=
√x4 + 1
x4=
√1 +
1
x4, x ∈ R \ {0}.
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)
= limx→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x
=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2
=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 36(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
√x√
x +√x +√x.
Rje²enje. Imamolim
x→+∞
√x√
x +√
x +√x
=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
√x√
x +√x +√x·
1√x
1√x
= limx→+∞
1√1 +
√1x + 1
x3
2
=1√
1 +√0 + 0
= 1,
pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +
√x +√x
√x
=
√x +
√x +√x
x=
√1 +
√x +√x√
x2=
√1 +
√x +√x
x2
=
√√√√1 +
√1
x+
1
x3
2
, x ∈ 〈0,+∞〉 .
Zadatak 37(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2
=
(0
0
)= lim
x→2
(x + 2)
(x − 1)
= limx→2
x + 2
x − 1
=2 + 2
2− 1
= 4.
Zadatak 37(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2
=
(0
0
)= lim
x→2
(x + 2)
(x − 1)
= limx→2
x + 2
x − 1
=2 + 2
2− 1
= 4.
Zadatak 37(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2=
(0
0
)
= limx→2
(x + 2)
(x − 1)
= limx→2
x + 2
x − 1
=2 + 2
2− 1
= 4.
Zadatak 37(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2=
(0
0
)= lim
x→2
(x − 2)(x + 2)
(x − 1)(x − 2)
= limx→2
x + 2
x − 1
=2 + 2
2− 1
= 4.
Zadatak 37(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2=
(0
0
)= lim
x→2
����(x − 2)(x + 2)
(x − 1)����(x − 2)
= limx→2
x + 2
x − 1
=2 + 2
2− 1
= 4.
Zadatak 37(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2=
(0
0
)= lim
x→2
����(x − 2)(x + 2)
(x − 1)����(x − 2)
= limx→2
x + 2
x − 1
=2 + 2
2− 1
= 4.
Zadatak 37(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2=
(0
0
)= lim
x→2
����(x − 2)(x + 2)
(x − 1)����(x − 2)
= limx→2
x + 2
x − 1
=2 + 2
2− 1
= 4.
Zadatak 37(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2=
(0
0
)= lim
x→2
����(x − 2)(x + 2)
(x − 1)����(x − 2)
= limx→2
x + 2
x − 1
=2 + 2
2− 1
= 4.
Zadatak 37(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x − 1
=22 − 4
2− 1= 0.
Zadatak 37(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x − 1
=22 − 4
2− 1= 0.
Zadatak 37(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x − 1=
22 − 4
2− 1
= 0.
Zadatak 37(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x2 − 4
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→2
x2 − 4
x − 1=
22 − 4
2− 1= 0.
Zadatak 37(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x + 2
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
±
x + 2
x2 − 3x + 2
=
(4
0
)= lim
x→2
±
x + 2
(x − 1)(x − 2)
=
(4
1 · 0
±
)= ±∞,
dakle traºeni limes ne postoji.
Zadatak 37(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x + 2
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
±
x + 2
x2 − 3x + 2
=
(4
0
)= lim
x→2
±
x + 2
(x − 1)(x − 2)
=
(4
1 · 0
±
)= ±∞,
dakle traºeni limes ne postoji.
Zadatak 37(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x + 2
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
±
x + 2
x2 − 3x + 2=
(4
0
)
= limx→2
±
x + 2
(x − 1)(x − 2)
=
(4
1 · 0
±
)= ±∞,
dakle traºeni limes ne postoji.
Zadatak 37(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x + 2
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
±
x + 2
x2 − 3x + 2=
(4
0
)= lim
x→2
±
x + 2
(x − 1)(x − 2)
=
(4
1 · 0
±
)= ±∞,
dakle traºeni limes ne postoji.
Zadatak 37(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x + 2
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2
±
x + 2
x2 − 3x + 2=
(4
0
)= lim
x→2
±
x + 2
(x − 1)(x − 2)
=
(4
1 · 0
±
)
= ±∞,
dakle traºeni limes ne postoji.
Zadatak 37(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x + 2
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2±
x + 2
x2 − 3x + 2=
(4
0
)= lim
x→2±
x + 2
(x − 1)(x − 2)
=
(4
1 · 0±
)
= ±∞,
dakle traºeni limes ne postoji.
Zadatak 37(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x + 2
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2±
x + 2
x2 − 3x + 2=
(4
0
)= lim
x→2±
x + 2
(x − 1)(x − 2)
=
(4
1 · 0±
)= ±∞,
dakle traºeni limes ne postoji.
Zadatak 37(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x + 2
x2 − 3x + 2.
Rje²enje. Imamo
limx→2±
x + 2
x2 − 3x + 2=
(4
0
)= lim
x→2±
x + 2
(x − 1)(x − 2)
=
(4
1 · 0±
)= ±∞,
dakle traºeni limes ne postoji.
Zadatak 37(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1
x3 + 1
x + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→−1
x3 + 1
x + 1
=
(0
0
)= lim
x→−1
(x2 − x + 1
)= lim
x→−1
(x2 − x + 1
)= (−1)2 − (−1) + 1
= 3,
pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2
), a, b ∈ R.
Zadatak 37(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1
x3 + 1
x + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→−1
x3 + 1
x + 1=
(0
0
)
= limx→−1
(x2 − x + 1
)= lim
x→−1
(x2 − x + 1
)= (−1)2 − (−1) + 1
= 3,
pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2
), a, b ∈ R.
Zadatak 37(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1
x3 + 1
x + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→−1
x3 + 1
x + 1=
(0
0
)
= limx→−1
(x2 − x + 1
)= lim
x→−1
(x2 − x + 1
)= (−1)2 − (−1) + 1
= 3,
pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2
), a, b ∈ R.
Zadatak 37(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1
x3 + 1
x + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→−1
x3 + 1
x + 1=
(0
0
)= lim
x→−1
(x + 1)(x2 − x + 1
)x + 1
= limx→−1
(x2 − x + 1
)= (−1)2 − (−1) + 1
= 3,
pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2
), a, b ∈ R.
Zadatak 37(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1
x3 + 1
x + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→−1
x3 + 1
x + 1=
(0
0
)= lim
x→−1����(x + 1)
(x2 − x + 1
)���x + 1
= limx→−1
(x2 − x + 1
)= (−1)2 − (−1) + 1
= 3,
pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2
), a, b ∈ R.
Zadatak 37(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1
x3 + 1
x + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→−1
x3 + 1
x + 1=
(0
0
)= lim
x→−1����(x + 1)
(x2 − x + 1
)���x + 1
= limx→−1
(x2 − x + 1
)
= (−1)2 − (−1) + 1
= 3,
pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2
), a, b ∈ R.
Zadatak 37(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1
x3 + 1
x + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→−1
x3 + 1
x + 1=
(0
0
)= lim
x→−1����(x + 1)
(x2 − x + 1
)���x + 1
= limx→−1
(x2 − x + 1
)= (−1)2 − (−1) + 1
= 3,
pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2
), a, b ∈ R.
Zadatak 37(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1
x3 + 1
x + 1.
Rje²enje. Imamo
limx→−1
x3 + 1
x + 1=
(0
0
)= lim
x→−1����(x + 1)
(x2 − x + 1
)���x + 1
= limx→−1
(x2 − x + 1
)= (−1)2 − (−1) + 1
= 3,
pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2
), a, b ∈ R.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)
= limx→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
(√x −√2) (√
x +√2)
√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
������(√x −√2) (√
x +√2)
�����√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
������(√x −√2) (√
x +√2)
�����√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
������(√x −√2) (√
x +√2)
�����√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
(√x)2 − (√2)2√x −√2
= limx→2
������(√x −√2) (√
x +√2)
�����√x −√2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)
= limx→2
x − 2√x −√2·√x +√2
√x +√2
= limx→2
(√x +√2)
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
x − 2√x −√2·√x +√2
√x +√2
= limx→2
(√x +√2)
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
x − 2√x −√2·√x +√2
√x +√2
= limx→2
(x − 2)(√
x +√2)
x − 2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
x − 2√x −√2·√x +√2
√x +√2
= limx→2
����(x − 2)(√
x +√2)
���x − 2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
x − 2√x −√2·√x +√2
√x +√2
= limx→2
����(x − 2)(√
x +√2)
���x − 2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
x − 2√x −√2·√x +√2
√x +√2
= limx→2
����(x − 2)(√
x +√2)
���x − 2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2
x − 2√x −√2.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→2
x − 2√x −√2
=
(0
0
)= lim
x→2
x − 2√x −√2·√x +√2
√x +√2
= limx→2
����(x − 2)(√
x +√2)
���x − 2
= limx→2
(√x +√2)
=√2 +√2
= 2√2.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)
= limx→a
√x −√a(√
x)2 − (√a)2
= limx→a
(√x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)
= limx→a
√x −√a(√
x)2 − (√a)2
= limx→a
(√x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a(√
x)2 − (√a)2
= limx→a
(√x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a(√
x)2 − (√a)2
= limx→a
√x −√a(√
x −√a) (√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a(√
x)2 − (√a)2
= limx→a
�����√x −√a
������(√x −√a) (√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a(√
x)2 − (√a)2
= limx→a
�����√x −√a
������(√x −√a) (√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a(√
x)2 − (√a)2
= limx→a
�����√x −√a
������(√x −√a) (√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a(√
x)2 − (√a)2
= limx→a
�����√x −√a
������(√x −√a) (√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)
= limx→a
√x −√a
x − a·√x +√a√
x +√a
= limx→a
(√x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a
x − a·√x +√a√
x +√a
= limx→a
(√x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a
x − a·√x +√a√
x +√a
= limx→a
x − a
(x − a)(√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a
x − a·√x +√a√
x +√a
= limx→a
���x − a
����(x − a)(√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a
x − a·√x +√a√
x +√a
= limx→a
���x − a
����(x − a)(√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a
x − a·√x +√a√
x +√a
= limx→a
���x − a
����(x − a)(√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(f)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
√x −√a
x − a.
Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo
limx→a
√x −√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
√x −√a
x − a·√x +√a√
x +√a
= limx→a
���x − a
����(x − a)(√
x +√a)
= limx→a
1√x +√a
=1√
a +√a
=1
2√a.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)
= limx→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
(t2 + t + 1
)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)
= limx→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
(t2 + t + 1
)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
(t2 + t + 1
)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]
= limt→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
(t2 + t + 1
)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
(t2 + t + 1
)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
(t − 1)(t2 + t + 1
)(t − 1)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
����(t − 1)(t2 + t + 1
)����(t − 1)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
����(t − 1)(t2 + t + 1
)����(t − 1)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
����(t − 1)(t2 + t + 1
)����(t − 1)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1
=3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
(6√1 + x
)3 − 1(6√1 + x
)2 − 1
=
[Supstitucija: t = 6
√1 + x
x → 0 ⇒ t → 1
]= lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= limt→1
����(t − 1)(t2 + t + 1
)����(t − 1)(t + 1)
= limt→1
t2 + t + 1
t + 1
=12 + 1 + 1
1 + 1=
3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 2. na£in.
Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)
= limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
·√1 + x + 1√1 + x + 1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
= limx→0·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
= limx→0
(3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
=
(3√1 + 0
)2+ 3√1 + 0 + 1
√1 + 0 + 1
=3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)
= limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
·√1 + x + 1√1 + x + 1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
= limx→0·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
= limx→0
(3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
=
(3√1 + 0
)2+ 3√1 + 0 + 1
√1 + 0 + 1
=3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
·√1 + x + 1√1 + x + 1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
= limx→0·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
= limx→0
(3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
=
(3√1 + 0
)2+ 3√1 + 0 + 1
√1 + 0 + 1
=3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
·√1 + x + 1√1 + x + 1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
= limx→0
(√1 + x
)2 − 1(3√1 + x
)3 − 1·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
= limx→0
(3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
=
(3√1 + 0
)2+ 3√1 + 0 + 1
√1 + 0 + 1
=3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
·√1 + x + 1√1 + x + 1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
= limx→0
(√1 + x
)2 − 1(3√1 + x
)3 − 1︸ ︷︷ ︸= x
x=1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
= limx→0
(3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
=
(3√1 + 0
)2+ 3√1 + 0 + 1
√1 + 0 + 1
=3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
·√1 + x + 1√1 + x + 1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
= limx→0
(√1 + x
)2 − 1(3√1 + x
)3 − 1︸ ︷︷ ︸= x
x=1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
= limx→0
(3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
=
(3√1 + 0
)2+ 3√1 + 0 + 1
√1 + 0 + 1
=3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
·√1 + x + 1√1 + x + 1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
= limx→0
(√1 + x
)2 − 1(3√1 + x
)3 − 1︸ ︷︷ ︸= x
x=1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
= limx→0
(3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
=
(3√1 + 0
)2+ 3√1 + 0 + 1
√1 + 0 + 1
=3
2.
Zadatak 37(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + x − 1
3√1 + x − 1
·√1 + x + 1√1 + x + 1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
= limx→0
(√1 + x
)2 − 1(3√1 + x
)3 − 1︸ ︷︷ ︸= x
x=1
·(
3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
= limx→0
(3√1 + x
)2+ 3√1 + x + 1
√1 + x + 1
=
(3√1 + 0
)2+ 3√1 + 0 + 1
√1 + 0 + 1
=3
2.
Vaºan limes 1
limx→0
sin x
x= 1
Geometrijsko zna£enje:
sin x x
O
B
AlimB→O
|AB|∣∣∣>OB∣∣∣ = 1.
Vaºan limes 1
limx→0
sin x
x= 1
Geometrijsko zna£enje:
sin x x
O
B
AlimB→O
|AB|∣∣∣>OB∣∣∣ = 1.
Zadatak 38(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(8x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(8x)
x=
(0
0
)
= limx→0
sin(8x)
8x· 8
=
[t = 8x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
sin t
t· 8
= 1 · 8= 8.
Zadatak 38(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(8x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(8x)
x=
(0
0
)
= limx→0
sin(8x)
8x· 8
=
[t = 8x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
sin t
t· 8
= 1 · 8= 8.
Zadatak 38(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(8x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(8x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin(8x)
8x· 8
=
[t = 8x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
sin t
t· 8
= 1 · 8= 8.
Zadatak 38(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(8x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(8x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin(8x)
8x· 8
=
[t = 8x
x → 0 ⇒ t → 0
]
= limt→0
sin t
t· 8
= 1 · 8= 8.
Zadatak 38(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(8x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(8x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin(8x)
8x· 8
=
[t = 8x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
sin t
t· 8
= 1 · 8= 8.
Zadatak 38(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(8x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(8x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin(8x)
8x· 8
=
[t = 8x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
sin t
t· 8
= 1 · 8
= 8.
Zadatak 38(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(8x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(8x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin(8x)
8x· 8
=
[t = 8x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
sin t
t· 8
= 1 · 8= 8.
Zadatak 38(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(5x)
sin(3x).
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(5x)
sin(3x)=
(0
0
)
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin(3x)3x · 3
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin 3x3x · 3
=1 · 51 · 3
=5
3.
Zadatak 38(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(5x)
sin(3x).
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(5x)
sin(3x)=
(0
0
)
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin(3x)3x · 3
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin 3x3x · 3
=1 · 51 · 3
=5
3.
Zadatak 38(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(5x)
sin(3x).
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(5x)
sin(3x)=
(0
0
)= lim
x→0
sin(5x)5x · 5x
sin(3x)3x · 3x
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin 3x3x · 3
=1 · 51 · 3
=5
3.
Zadatak 38(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(5x)
sin(3x).
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(5x)
sin(3x)=
(0
0
)= lim
x→0
sin(5x)5x · 5�x
sin(3x)3x · 3�x
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin 3x3x · 3
=1 · 51 · 3
=5
3.
Zadatak 38(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(5x)
sin(3x).
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(5x)
sin(3x)=
(0
0
)= lim
x→0
sin(5x)5x · 5�x
sin(3x)3x · 3�x
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin 3x3x · 3
=1 · 51 · 3
=5
3.
Zadatak 38(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(5x)
sin(3x).
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(5x)
sin(3x)=
(0
0
)= lim
x→0
sin(5x)5x · 5�x
sin(3x)3x · 3�x
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin 3x3x · 3
=1 · 51 · 3
=5
3.
Zadatak 38(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
sin(5x)
sin(3x).
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(5x)
sin(3x)=
(0
0
)= lim
x→0
sin(5x)5x · 5�x
sin(3x)3x · 3�x
= limx→0
sin(5x)5x · 5
sin 3x3x · 3
=1 · 51 · 3
=5
3.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
= limx→+∞
·sin π
xπx
· π
= limx→+∞
sin πx
πx
· π
= 1 · π= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
= limx→+∞
·sin π
xπx
· π
= limx→+∞
sin πx
πx
· π
= 1 · π= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
= limx→+∞
x ·sin π
xπx
· πx
= limx→+∞
sin πx
πx
· π
= 1 · π= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
= limx→+∞�
x ·sin π
xπx
· π�x
= limx→+∞
sin πx
πx
· π
= 1 · π= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
= limx→+∞�
x ·sin π
xπx
· π�x
= limx→+∞
sin πx
πx
· π
= 1 · π= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
= limx→+∞�
x ·sin π
xπx
· π�x
= limx→+∞
sin πx
πx
· π
= 1 · π
= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
= limx→+∞�
x ·sin π
xπx
· π�x
= limx→+∞
sin πx
πx
· π
= 1 · π= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 2. na£in.
Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
=
[t = π
x ; x = πt
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
π
t· sin t
= limt→0
π · sin t
t
= π · 1= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
=
[t = π
x ; x = πt
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
π
t· sin t
= limt→0
π · sin t
t
= π · 1= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
=
[t = π
x ; x = πt
x → +∞ ⇒ t → 0
]
= limt→0
π
t· sin t
= limt→0
π · sin t
t
= π · 1= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
=
[t = π
x ; x = πt
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
π
t· sin t
= limt→0
π · sin t
t
= π · 1= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
=
[t = π
x ; x = πt
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
π
t· sin t
= limt→0
π · sin t
t
= π · 1= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
=
[t = π
x ; x = πt
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
π
t· sin t
= limt→0
π · sin t
t
= π · 1
= π.
Zadatak 38(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
x · sinπ
x.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
x · sinπ
x= ((+∞) · 0)
=
[t = π
x ; x = πt
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
π
t· sin t
= limt→0
π · sin t
t
= π · 1= π.
Zadatak 38(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
arcsin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
arcsin x
x=
(0
0
)
=
[t = arcsin x ; x = sin t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
sin t
= limt→0
1sin tt
=1
1= 1.
Zadatak 38(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
arcsin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
arcsin x
x=
(0
0
)
=
[t = arcsin x ; x = sin t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
sin t
= limt→0
1sin tt
=1
1= 1.
Zadatak 38(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
arcsin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
arcsin x
x=
(0
0
)=
[t = arcsin x ; x = sin t
x → 0 ⇒ t → 0
]
= limt→0
t
sin t
= limt→0
1sin tt
=1
1= 1.
Zadatak 38(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
arcsin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
arcsin x
x=
(0
0
)=
[t = arcsin x ; x = sin t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
sin t
= limt→0
1sin tt
=1
1= 1.
Zadatak 38(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
arcsin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
arcsin x
x=
(0
0
)=
[t = arcsin x ; x = sin t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
sin t
= limt→0
1sin tt
=1
1= 1.
Zadatak 38(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
arcsin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
arcsin x
x=
(0
0
)=
[t = arcsin x ; x = sin t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
sin t
= limt→0
1sin tt
=1
1
= 1.
Zadatak 38(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
arcsin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
arcsin x
x=
(0
0
)=
[t = arcsin x ; x = sin t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
sin t
= limt→0
1sin tt
=1
1= 1.
Zadatak 38(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
tg x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
tg x
x=
(0
0
)
= limx→0
sin x
cos x· 1x
= limx→0
sin x
x· 1
cos x
= 1 · 1
cos 0= 1.
Zadatak 38(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
tg x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
tg x
x=
(0
0
)
= limx→0
sin x
cos x· 1x
= limx→0
sin x
x· 1
cos x
= 1 · 1
cos 0= 1.
Zadatak 38(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
tg x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
tg x
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin x
cos x· 1x
= limx→0
sin x
x· 1
cos x
= 1 · 1
cos 0= 1.
Zadatak 38(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
tg x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
tg x
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin x
cos x· 1x
= limx→0
sin x
x· 1
cos x
= 1 · 1
cos 0= 1.
Zadatak 38(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
tg x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
tg x
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin x
cos x· 1x
= limx→0
sin x
x· 1
cos x
= 1 · 1
cos 0
= 1.
Zadatak 38(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
tg x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
tg x
x=
(0
0
)= lim
x→0
sin x
cos x· 1x
= limx→0
sin x
x· 1
cos x
= 1 · 1
cos 0= 1.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)
= limx→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)
= limx→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)
= limx→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2
=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]
= limt→0
2sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12
=1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
Zadatak 38(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
1− cos x
x2.
Rje²enje. Imamo
limx→0
1− cos x
x2=
(0
0
)= lim
x→0
1−(1− 2 sin2 x
2
)x2
= limx→0
2sin2 x
2
x2=
[t = x
2; x = 2t
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→02
sin2 t
(2t)2
= limt→0
1
2
(sin t
t
)2
=1
2· 12 =
1
2,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.
; Vaºan limes:limx→0
1− cos x
x2=
1
2.
limx→±∞ ax
Sjetimo se:
a > 1
x
y
1
1
Γax 0 < a < 1
x
y
1
1Γax
⇒ limx→−∞
ax =
{0, ako je a > 1,
+∞, ako je 0 < a < 1,lim
x→+∞ax =
{+∞, ako je a > 1,
0, ako je 0 < a < 1.
limx→±∞ ax
Sjetimo se:
a > 1
x
y
1
1
Γax 0 < a < 1
x
y
1
1Γax
⇒ limx→−∞
ax =
{0, ako je a > 1,
+∞, ako je 0 < a < 1,lim
x→+∞ax =
{+∞, ako je a > 1,
0, ako je 0 < a < 1.
limx→c ϕ(x)ψ(x)
Kako se, za c ∈ R ∪ {±∞} i ϕ(x) > 0, ra£una limes
limx→c
ϕ(x)ψ(x)?
Vrijedi
limx→c
ϕ(x)ψ(x) =(
limx→c
ϕ(x))limx→c ψ(x)
kad god je desna strana de�nirana, tj. odre�eni oblik, primjerice:
AB sa A ∈ 〈0,+∞〉 i B ∈ R
A+∞ =
{+∞, ako je A > 1,
0, ako je 0 < A < 1
A−∞ =
{0, ako je A > 1,
+∞, ako je 0 < A < 1.
Napomena. 00, (+∞)0 i 1±∞ su neodre�eni oblici.
limx→c ϕ(x)ψ(x)
Kako se, za c ∈ R ∪ {±∞} i ϕ(x) > 0, ra£una limes
limx→c
ϕ(x)ψ(x)?
Vrijedi
limx→c
ϕ(x)ψ(x) =(
limx→c
ϕ(x))limx→c ψ(x)
kad god je desna strana de�nirana, tj. odre�eni oblik, primjerice:
AB sa A ∈ 〈0,+∞〉 i B ∈ R
A+∞ =
{+∞, ako je A > 1,
0, ako je 0 < A < 1
A−∞ =
{0, ako je A > 1,
+∞, ako je 0 < A < 1.
Napomena. 00, (+∞)0 i 1±∞ su neodre�eni oblici.
limx→c ϕ(x)ψ(x)
Kako se, za c ∈ R ∪ {±∞} i ϕ(x) > 0, ra£una limes
limx→c
ϕ(x)ψ(x)?
Vrijedi
limx→c
ϕ(x)ψ(x) =(
limx→c
ϕ(x))limx→c ψ(x)
kad god je desna strana de�nirana, tj. odre�eni oblik, primjerice:
AB sa A ∈ 〈0,+∞〉 i B ∈ R
A+∞ =
{+∞, ako je A > 1,
0, ako je 0 < A < 1
A−∞ =
{0, ako je A > 1,
+∞, ako je 0 < A < 1.
Napomena. 00, (+∞)0 i 1±∞ su neodre�eni oblici.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x
= limx→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x)
= 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x
= limx→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x)
= 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x= lim
x→0
sin(2x)
2x· 2
= 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x)
= 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x= lim
x→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2
= 2
i
limx→0
(1 + x)
= 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x= lim
x→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x)
= 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x= lim
x→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x)
= 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x= lim
x→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x) = 1 + 0
= 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x= lim
x→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x) = 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x= lim
x→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x) = 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21
= 2.
Zadatak 39(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
.
Rje²enje. Imamo
limx→0
sin(2x)
x= lim
x→0
sin(2x)
2x· 2 = 1 · 2 = 2
i
limx→0
(1 + x) = 1 + 0 = 1
pa je
limx→0
(sin(2x)
x
)1+x
= 21 = 2.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)
= limx→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2
= +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)
= limx→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2
= +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2
= +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2
= +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0
=1
2
i
limx→+∞
x2
= +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2
= +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2
= +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2 = +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2 = +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Zadatak 39(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
x + 1
2x + 1=
(+∞+∞
)= lim
x→+∞
x + 1
2x + 1·
1x1x
= limx→+∞
1 + 1x
2 + 1x
=1 + 0
2 + 0=
1
2
i
limx→+∞
x2 = +∞
pa je
limx→+∞
(x + 1
2x + 1
)x2
=
((1
2
)+∞)
= 0.
Jako vaºni limesi
Vrijedi
limx→±∞
(1 +
1
x
)x
= e.
Primjer. Imamo
limx→0±
(1 + x)1
x
=(1±∞
)=
[t = 1
x ; x = 1t
x → 0± ⇒ t → ±∞
]= lim
t→±∞
(1 +
1
t
)t
= e,
dakle
limx→0
(1 + x)1
x = e.
Jako vaºni limesi
Vrijedi
limx→±∞
(1 +
1
x
)x
= e.
Primjer. Imamo
limx→0±
(1 + x)1
x
=(1±∞
)=
[t = 1
x ; x = 1t
x → 0± ⇒ t → ±∞
]= lim
t→±∞
(1 +
1
t
)t
= e,
dakle
limx→0
(1 + x)1
x = e.
Jako vaºni limesi
Vrijedi
limx→±∞
(1 +
1
x
)x
= e.
Primjer. Imamo
limx→0±
(1 + x)1
x =(1±∞
)
=
[t = 1
x ; x = 1t
x → 0± ⇒ t → ±∞
]= lim
t→±∞
(1 +
1
t
)t
= e,
dakle
limx→0
(1 + x)1
x = e.
Jako vaºni limesi
Vrijedi
limx→±∞
(1 +
1
x
)x
= e.
Primjer. Imamo
limx→0±
(1 + x)1
x =(1±∞
)=
[t = 1
x ; x = 1t
x → 0± ⇒ t → ±∞
]
= limt→±∞
(1 +
1
t
)t
= e,
dakle
limx→0
(1 + x)1
x = e.
Jako vaºni limesi
Vrijedi
limx→±∞
(1 +
1
x
)x
= e.
Primjer. Imamo
limx→0±
(1 + x)1
x =(1±∞
)=
[t = 1
x ; x = 1t
x → 0± ⇒ t → ±∞
]= lim
t→±∞
(1 +
1
t
)t
= e,
dakle
limx→0
(1 + x)1
x = e.
Jako vaºni limesi
Vrijedi
limx→±∞
(1 +
1
x
)x
= e.
Primjer. Imamo
limx→0±
(1 + x)1
x =(1±∞
)=
[t = 1
x ; x = 1t
x → 0± ⇒ t → ±∞
]= lim
t→±∞
(1 +
1
t
)t
= e,
dakle
limx→0
(1 + x)1
x = e.
Jako vaºni limesi
Vrijedi
limx→±∞
(1 +
1
x
)x
= e.
Primjer. Imamo
limx→0±
(1 + x)1
x =(1±∞
)=
[t = 1
x ; x = 1t
x → 0± ⇒ t → ±∞
]= lim
t→±∞
(1 +
1
t
)t
= e,
dakle
limx→0
(1 + x)1
x = e.
Primjer
Za svaki a ∈ R \ {0} imamo
limx→±∞
(1 +
a
x
)x
=(1±∞
)=
[t = a
x ; x = at
x → ±∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
at
= limt→0
((1 + t)
1
t
)a= ea,
dakle
limx→±∞
(1 +
a
x
)x= ea.
Primjer
Za svaki a ∈ R \ {0} imamo
limx→±∞
(1 +
a
x
)x
=(1±∞
)=
[t = a
x ; x = at
x → ±∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
at
= limt→0
((1 + t)
1
t
)a= ea,
dakle
limx→±∞
(1 +
a
x
)x= ea.
Primjer
Za svaki a ∈ R \ {0} imamo
limx→±∞
(1 +
a
x
)x=(1±∞
)
=
[t = a
x ; x = at
x → ±∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
at
= limt→0
((1 + t)
1
t
)a= ea,
dakle
limx→±∞
(1 +
a
x
)x= ea.
Primjer
Za svaki a ∈ R \ {0} imamo
limx→±∞
(1 +
a
x
)x=(1±∞
)=
[t = a
x ; x = at
x → ±∞ ⇒ t → 0
]
= limt→0
(1 + t)at
= limt→0
((1 + t)
1
t
)a= ea,
dakle
limx→±∞
(1 +
a
x
)x= ea.
Primjer
Za svaki a ∈ R \ {0} imamo
limx→±∞
(1 +
a
x
)x=(1±∞
)=
[t = a
x ; x = at
x → ±∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
at
= limt→0
((1 + t)
1
t
)a= ea,
dakle
limx→±∞
(1 +
a
x
)x= ea.
Primjer
Za svaki a ∈ R \ {0} imamo
limx→±∞
(1 +
a
x
)x=(1±∞
)=
[t = a
x ; x = at
x → ±∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
at
= limt→0
((1 + t)
1
t
)a
= ea,
dakle
limx→±∞
(1 +
a
x
)x= ea.
Primjer
Za svaki a ∈ R \ {0} imamo
limx→±∞
(1 +
a
x
)x=(1±∞
)=
[t = a
x ; x = at
x → ±∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
at
= limt→0
((1 + t)
1
t
)a= ea,
dakle
limx→±∞
(1 +
a
x
)x= ea.
Primjer
Za svaki a ∈ R \ {0} imamo
limx→±∞
(1 +
a
x
)x=(1±∞
)=
[t = a
x ; x = at
x → ±∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
at
= limt→0
((1 + t)
1
t
)a= ea,
dakle
limx→±∞
(1 +
a
x
)x= ea.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)
= limx→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]= lim
t→0(1 + t)−
2
t−1 = lim
t→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)
= limx→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]= lim
t→0(1 + t)−
2
t−1 = lim
t→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]= lim
t→0(1 + t)−
2
t−1 = lim
t→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]= lim
t→0(1 + t)−
2
t−1 = lim
t→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]
= limt→0
(1 + t)−2
t−1 = lim
t→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]= lim
t→0(1 + t)−
2
t−1
= limt→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]= lim
t→0(1 + t)−
2
t−1 = lim
t→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]= lim
t→0(1 + t)−
2
t−1 = lim
t→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 1. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
=
[t = − 2
x+1; x = −2
t − 1
x → +∞ ; t → 0
]= lim
t→0(1 + t)−
2
t−1 = lim
t→0
((1 + t)
1
t
)−2· (1 + t)−1
= e−2 (1 + 0)−1
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in.
Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)
= limx→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)
= limx→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]
= limt→0
(1 + t)1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t
= e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)
= limx→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)= lim
x→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)= lim
x→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)= lim
x→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)= lim
x→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
(x − 1
x + 1− 1
))x
= limx→+∞
(1− 2
x + 1
)x
= limx→+∞
((1− 2
x + 1
)− x+12
)− 2xx+1
.
Kako jelim
x→+∞
(1− 2
x + 1
)− x+12
=
[t = − 2
x+1
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
ilim
x→+∞
(− 2x
x + 1
)= lim
x→+∞
−2xx + 1
·1x1x
= limx→+∞
−21 + 1
x
=−21 + 0
= −2,
slijedi da jelim
x→+∞
(x − 1
x + 1
)x
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 3. na£in.
Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)
= limx→+∞
(x−1x
x+1x
)x
= limx→+∞
(1− 1
x
)x(1 + 1
x
)x=
e−1
e= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 3. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)
= limx→+∞
(x−1x
x+1x
)x
= limx→+∞
(1− 1
x
)x(1 + 1
x
)x=
e−1
e= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 3. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(x−1x
x+1x
)x
= limx→+∞
(1− 1
x
)x(1 + 1
x
)x=
e−1
e= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 3. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(x−1x
x+1x
)x
= limx→+∞
(1− 1
x
)x(1 + 1
x
)x
=e−1
e= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 3. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(x−1x
x+1x
)x
= limx→+∞
(1− 1
x
)x(1 + 1
x
)x=
e−1
e
= e−2.
Zadatak 40(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
.
Rje²enje. 3. na£in. Imamo
limx→+∞
(x − 1
x + 1
)x
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(x−1x
x+1x
)x
= limx→+∞
(1− 1
x
)x(1 + 1
x
)x=
e−1
e= e−2.
Zadatak 40(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ln(1 + x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ln(1 + x)
x=
(0
0
)
= limx→0
1
x· ln(1 + x)
= limx→0
ln(
(1 + x)1
x
)= ln e
= 1,
dakle
limx→0
ln(1 + x)
x= 1.
Zadatak 40(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ln(1 + x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ln(1 + x)
x=
(0
0
)
= limx→0
1
x· ln(1 + x)
= limx→0
ln(
(1 + x)1
x
)= ln e
= 1,
dakle
limx→0
ln(1 + x)
x= 1.
Zadatak 40(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ln(1 + x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ln(1 + x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
1
x· ln(1 + x)
= limx→0
ln(
(1 + x)1
x
)= ln e
= 1,
dakle
limx→0
ln(1 + x)
x= 1.
Zadatak 40(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ln(1 + x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ln(1 + x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
1
x· ln(1 + x)
= limx→0
ln(
(1 + x)1
x
)
= ln e
= 1,
dakle
limx→0
ln(1 + x)
x= 1.
Zadatak 40(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ln(1 + x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ln(1 + x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
1
x· ln(1 + x)
= limx→0
ln(
(1 + x)1
x
)= ln e
= 1,
dakle
limx→0
ln(1 + x)
x= 1.
Zadatak 40(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ln(1 + x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ln(1 + x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
1
x· ln(1 + x)
= limx→0
ln(
(1 + x)1
x
)= ln e
= 1,
dakle
limx→0
ln(1 + x)
x= 1.
Zadatak 40(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ln(1 + x)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ln(1 + x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
1
x· ln(1 + x)
= limx→0
ln(
(1 + x)1
x
)= ln e
= 1,
dakle
limx→0
ln(1 + x)
x= 1.
Zadatak 40(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
x
=
[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
ln(1 + t)
= limt→0
1ln(1+t)
t
=1
1= 1,
dakle
limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak 40(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
x
=
[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
ln(1 + t)
= limt→0
1ln(1+t)
t
=1
1= 1,
dakle
limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak 40(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
x=
[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)
x → 0 ⇒ t → 0
]
= limt→0
t
ln(1 + t)
= limt→0
1ln(1+t)
t
=1
1= 1,
dakle
limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak 40(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
x=
[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
ln(1 + t)
= limt→0
1ln(1+t)
t
=1
1= 1,
dakle
limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak 40(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
x=
[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
ln(1 + t)
= limt→0
1ln(1+t)
t
=1
1= 1,
dakle
limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak 40(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
x=
[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
ln(1 + t)
= limt→0
1ln(1+t)
t
=1
1
= 1,
dakle
limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak 40(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
x=
[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
ln(1 + t)
= limt→0
1ln(1+t)
t
=1
1= 1,
dakle
limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak 40(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
x=
[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
t
ln(1 + t)
= limt→0
1ln(1+t)
t
=1
1= 1,
dakle
limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak 41(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
sin x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
sin x=
(0
0
)
= limx→0
ex−1x ·
sin xx ·
= limx→0
ex−1x
sin xx
=1
1= 1.
Zadatak 41(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
sin x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
sin x=
(0
0
)
= limx→0
ex−1x ·
sin xx ·
= limx→0
ex−1x
sin xx
=1
1= 1.
Zadatak 41(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
sin x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
sin x=
(0
0
)= lim
x→0
ex−1x · x
sin xx · x
= limx→0
ex−1x
sin xx
=1
1= 1.
Zadatak 41(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
sin x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
sin x=
(0
0
)= lim
x→0
ex−1x ·�x
sin xx ·�x
= limx→0
ex−1x
sin xx
=1
1= 1.
Zadatak 41(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
sin x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
sin x=
(0
0
)= lim
x→0
ex−1x ·�x
sin xx ·�x
= limx→0
ex−1x
sin xx
=1
1= 1.
Zadatak 41(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
sin x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
sin x=
(0
0
)= lim
x→0
ex−1x ·�x
sin xx ·�x
= limx→0
ex−1x
sin xx
=1
1
= 1.
Zadatak 41(a)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ex − 1
sin x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ex − 1
sin x=
(0
0
)= lim
x→0
ex−1x ·�x
sin xx ·�x
= limx→0
ex−1x
sin xx
=1
1= 1.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)
= limx→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)
= limx→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)
= limx→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)= lim
x→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)= lim
x→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]
= limt→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)= lim
x→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)= lim
x→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t
= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)= lim
x→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1
= ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)= lim
x→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(b)
Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
ax − 1
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
ax − 1
x=
(0
0
)= lim
x→0
ex ln a − 1
x
=
[t = x ln a ; x = t
ln ax → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
et − 1t
ln a
= limt→0
ln a · et − 1
t= ln a · 1 = ln a,
pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi
ax =(e ln a
)x= ex ln a, x ∈ R.
Dakle,
limx→0
ax − 1
x= ln a.
Zadatak 41(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
8x − 7x
6x − 5x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
8x − 7x
6x − 5x=
(0
0
)
= limx→0
8x−1x − 7x−1
x6x−1x − 5x−1
x
=ln 8− ln 7
ln 6− ln 5.
Zadatak 41(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
8x − 7x
6x − 5x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
8x − 7x
6x − 5x=
(0
0
)
= limx→0
8x−1x − 7x−1
x6x−1x − 5x−1
x
=ln 8− ln 7
ln 6− ln 5.
Zadatak 41(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
8x − 7x
6x − 5x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
8x − 7x
6x − 5x=
(0
0
)= lim
x→0
8x−1x − 7x−1
x6x−1x − 5x−1
x
=ln 8− ln 7
ln 6− ln 5.
Zadatak 41(c)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
8x − 7x
6x − 5x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
8x − 7x
6x − 5x=
(0
0
)= lim
x→0
8x−1x − 7x−1
x6x−1x − 5x−1
x
=ln 8− ln 7
ln 6− ln 5.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)
= limx→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x
=
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x=
1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)
= limx→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x
=
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x=
1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x
=
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x=
1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x
=
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x=
1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x =
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]
= limt→0
(1 + t)1
t = e
i
limx→0
sin x
x=
1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x =
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t
= e
i
limx→0
sin x
x=
1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x =
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x=
1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x =
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x=
1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x =
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x= 1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x =
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x= 1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1
= e.
Zadatak 41(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + sin x)1
x .
Rje²enje. Imamo
limx→0
(1 + sin x)1
x =(1±∞
)= lim
x→0
((1 + sin x)
1
sin x
) sin xx.
Kako vrijedi
limx→0
(1 + sin x)1
sin x =
[t = sin x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t = e
i
limx→0
sin x
x= 1,
slijedi da je
limx→0
(1 + sin x)1
x = e1 = e.
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)
= limx→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2)
2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)
= limx→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2)
2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2)
2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2)
2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2(x+1)
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) ��x+1
2��(x+1)
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) ��x+1
2��(x+1)
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) ��x+1
2��(x+1)
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]
= limt→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) ��x+1
2��(x+1)
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
.
Rje²enje. Imamo
limx→+∞
(2x + 3
2x + 2
)x+1
=(1+∞
)= lim
x→+∞
(1 +
1
2x + 2
)x+1
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) x+1
2x+2
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) ��x+1
2��(x+1)
= limx→+∞
((1 +
1
2x + 2
)2x+2) 1
2
=
[t = 1
2x+2; 2x + 2 = 1
t
x → +∞ ⇒ t → 0
]= lim
t→0
((1 + t)
1
t
) 1
2
= e1
2 .
Zadatak 41(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + tg x)ctg x .
Rje²enje. Imamolimx→0
(1 + tg x)ctg x =(1±∞
)
= limx→0
(1 + tg x)1
tg x
=
[t = tg x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t
= e.
Zadatak 41(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + tg x)ctg x .
Rje²enje. Imamolimx→0
(1 + tg x)ctg x =(1±∞
)
= limx→0
(1 + tg x)1
tg x
=
[t = tg x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t
= e.
Zadatak 41(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + tg x)ctg x .
Rje²enje. Imamolimx→0
(1 + tg x)ctg x =(1±∞
)= lim
x→0(1 + tg x)
1
tg x
=
[t = tg x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t
= e.
Zadatak 41(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + tg x)ctg x .
Rje²enje. Imamolimx→0
(1 + tg x)ctg x =(1±∞
)= lim
x→0(1 + tg x)
1
tg x
=
[t = tg x
x → 0 ⇒ t → 0
]
= limt→0
(1 + t)1
t
= e.
Zadatak 41(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + tg x)ctg x .
Rje²enje. Imamolimx→0
(1 + tg x)ctg x =(1±∞
)= lim
x→0(1 + tg x)
1
tg x
=
[t = tg x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t
= e.
Zadatak 41(f)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
(1 + tg x)ctg x .
Rje²enje. Imamolimx→0
(1 + tg x)ctg x =(1±∞
)= lim
x→0(1 + tg x)
1
tg x
=
[t = tg x
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0(1 + t)
1
t
= e.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje.
Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)
= limx→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)
= limx→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
ln(1+10x)ln 10
x
= limx→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]
= limt→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10
= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10
=10
ln 10.
Zadatak 41(g)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
log(1 + 10x)
x.
Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi
loga b =logc b
logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,
ra£unamo
limx→0
log(1 + 10x)
x=
(0
0
)= lim
x→0
ln(1+10x)ln 10
x= lim
x→0
ln(1 + 10x)
x· 1
ln 10
=
[t = 10x ; x = t
10
x → 0 ⇒ t → 0
]= lim
t→0
ln(1 + t)t10
· 1
ln 10
= limt→0
ln(1 + t)
t· 10
ln 10= 1 · 10
ln 10=
10
ln 10.
Zadatak 42(a) (racionalizacija)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x=
(0
0
)
= limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x·√1 + sin x +
√1− sin x√
1 + sin x +√1− sin x
= limx→0
(1 + sin x)− (1− sin x)
x(√
1 + sin x +√1− sin x
)= lim
x→02 · sin x
x· 1√
1 + sin x +√1− sin x
= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +
√1− sin 0
= 1.
Zadatak 42(a) (racionalizacija)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x=
(0
0
)
= limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x·√1 + sin x +
√1− sin x√
1 + sin x +√1− sin x
= limx→0
(1 + sin x)− (1− sin x)
x(√
1 + sin x +√1− sin x
)= lim
x→02 · sin x
x· 1√
1 + sin x +√1− sin x
= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +
√1− sin 0
= 1.
Zadatak 42(a) (racionalizacija)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x·√1 + sin x +
√1− sin x√
1 + sin x +√1− sin x
= limx→0
(1 + sin x)− (1− sin x)
x(√
1 + sin x +√1− sin x
)= lim
x→02 · sin x
x· 1√
1 + sin x +√1− sin x
= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +
√1− sin 0
= 1.
Zadatak 42(a) (racionalizacija)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x·√1 + sin x +
√1− sin x√
1 + sin x +√1− sin x
= limx→0
(1 + sin x)− (1− sin x)
x(√
1 + sin x +√1− sin x
)
= limx→0
2 · sin x
x· 1√
1 + sin x +√1− sin x
= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +
√1− sin 0
= 1.
Zadatak 42(a) (racionalizacija)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x·√1 + sin x +
√1− sin x√
1 + sin x +√1− sin x
= limx→0
(1 + sin x)− (1− sin x)
x(√
1 + sin x +√1− sin x
)= lim
x→02 · sin x
x· 1√
1 + sin x +√1− sin x
= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +
√1− sin 0
= 1.
Zadatak 42(a) (racionalizacija)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x·√1 + sin x +
√1− sin x√
1 + sin x +√1− sin x
= limx→0
(1 + sin x)− (1− sin x)
x(√
1 + sin x +√1− sin x
)= lim
x→02 · sin x
x· 1√
1 + sin x +√1− sin x
= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +
√1− sin 0
= 1.
Zadatak 42(a) (racionalizacija)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x=
(0
0
)= lim
x→0
√1 + sin x −
√1− sin x
x·√1 + sin x +
√1− sin x√
1 + sin x +√1− sin x
= limx→0
(1 + sin x)− (1− sin x)
x(√
1 + sin x +√1− sin x
)= lim
x→02 · sin x
x· 1√
1 + sin x +√1− sin x
= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +
√1− sin 0
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x
·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· (√x + 1 + 1
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x
·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· (√x + 1 + 1
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x
·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· (√x + 1 + 1
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· (√x + 1 + 1
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· x
x(√
x + 1 + 1)
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· �x
�x(√
x + 1 + 1)
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· �x
�x(√
x + 1 + 1)
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· �x
�x(√
x + 1 + 1)
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(b)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x.
Rje²enje. Imamo
limx→0
2 sin(√
x + 1− 1)
x=
(0
0
)= lim
x→02 ·
sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
·√x + 1− 1
x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· �x
�x(√
x + 1 + 1)
= limx→0
2 ·sin(√
x + 1− 1)
√x + 1− 1
· 1√x + 1 + 1
= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1
= 1.
Zadatak 42(c)
Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
n√x − n√a
x − a.
Rje²enje.
Koriste¢i da je
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1
), a, b ∈ R, n ∈ N,
ra£unamo
limx→a
n√x − n√a
x − a=
(0
0
)
= limx→a
n√x − n√a(
n√x)n − ( n
√a)n
= limx→a
((n√x)n−1
+(
n√x)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1)
=1(
n√a)n−1
+(
n√a)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1
=1
n(
n√a)n−1 .
Zadatak 42(c)
Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
n√x − n√a
x − a.
Rje²enje.
Koriste¢i da je
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1
), a, b ∈ R, n ∈ N,
ra£unamo
limx→a
n√x − n√a
x − a=
(0
0
)
= limx→a
n√x − n√a(
n√x)n − ( n
√a)n
= limx→a
((n√x)n−1
+(
n√x)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1)
=1(
n√a)n−1
+(
n√a)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1
=1
n(
n√a)n−1 .
Zadatak 42(c)
Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
n√x − n√a
x − a.
Rje²enje.
Koriste¢i da je
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1
), a, b ∈ R, n ∈ N,
ra£unamo
limx→a
n√x − n√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
n√x − n√a(
n√x)n − ( n
√a)n
= limx→a
((n√x)n−1
+(
n√x)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1)
=1(
n√a)n−1
+(
n√a)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1
=1
n(
n√a)n−1 .
Zadatak 42(c)
Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
n√x − n√a
x − a.
Rje²enje.
Koriste¢i da je
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1
), a, b ∈ R, n ∈ N,
ra£unamo
limx→a
n√x − n√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
n√x − n√a(
n√x)n − ( n
√a)n
= limx→a
((n√x)n−1
+(
n√x)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1)
=1(
n√a)n−1
+(
n√a)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1
=1
n(
n√a)n−1 .
Zadatak 42(c)
Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
n√x − n√a
x − a.
Rje²enje.
Koriste¢i da je
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1
), a, b ∈ R, n ∈ N,
ra£unamo
limx→a
n√x − n√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
n√x − n√a(
n√x)n − ( n
√a)n
= limx→a
n√x − n√a(
n√x − n√a) ((
n√x)n−1
+(
n√x)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1)
=1(
n√a)n−1
+(
n√a)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1
=1
n(
n√a)n−1 .
Zadatak 42(c)
Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
n√x − n√a
x − a.
Rje²enje.
Koriste¢i da je
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1
), a, b ∈ R, n ∈ N,
ra£unamo
limx→a
n√x − n√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
n√x − n√a(
n√x)n − ( n
√a)n
= limx→a
�����n√x − n√a
������(n√x − n√a) ((
n√x)n−1
+(
n√x)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1)
=1(
n√a)n−1
+(
n√a)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1
=1
n(
n√a)n−1 .
Zadatak 42(c)
Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
n√x − n√a
x − a.
Rje²enje.
Koriste¢i da je
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1
), a, b ∈ R, n ∈ N,
ra£unamo
limx→a
n√x − n√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
n√x − n√a(
n√x)n − ( n
√a)n
= limx→a
�����n√x − n√a
������(n√x − n√a) ((
n√x)n−1
+(
n√x)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1)
=1(
n√a)n−1
+(
n√a)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1
=1
n(
n√a)n−1 .
Zadatak 42(c)
Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a
n√x − n√a
x − a.
Rje²enje. Koriste¢i da je
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1
), a, b ∈ R, n ∈ N,
ra£unamo
limx→a
n√x − n√a
x − a=
(0
0
)= lim
x→a
n√x − n√a(
n√x)n − ( n
√a)n
= limx→a
�����n√x − n√a
������(n√x − n√a) ((
n√x)n−1
+(
n√x)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1)
=1(
n√a)n−1
+(
n√a)n−2 · n
√a + . . .+
(n√a)n−1
=1
n(
n√a)n−1 .
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)
= limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x(√x2 + 3x + 2x
) = limx→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)
= limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x(√x2 + 3x + 2x
) = limx→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)= lim
x→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x(√x2 + 3x + 2x
) = limx→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)= lim
x→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x(√x2 + 3x + 2x
) = limx→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)= lim
x→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x(√x2 + 3x + 2x
) = limx→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)= lim
x→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x(x − 1)
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)= lim
x→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x����(x − 1)
����(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)= lim
x→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x����(x − 1)
����(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)= lim
x→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x����(x − 1)
����(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1
= −3
4.
Zadatak 42(d)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1.
Rje²enje. Imamo
limx→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1=
(0
0
)= lim
x→1
√x2 + 3x − 2x
x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x
= limx→1
x2 + 3x − 4x2
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x2 + 3x
(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x)
= limx→1
−3x����(x − 1)
����(x − 1)(√
x2 + 3x + 2x) = lim
x→1
−3x√x2 + 3x + 2x
=−3 · 1√
12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3
4.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2
= −√
1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. Imamolim
x→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
= limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x
= limx→−∞
−5x + 4√x2 − 5x + 4− x
·1x1x
= limx→−∞
−5 + 4x√
x2−5x+4x − 1
.
Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo
√x2 − 5x + 4
x=
√x2 − 5x + 4
−√x2
= −√
x2 − 5x + 4
x2= −
√1− 5
x+
4
x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,
pa je
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= lim
x→−∞
−5 + 4x
−√
1− 5x + 4
x2− 1
=−5 + 0
−√1− 0 + 0− 1
=5
2.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in.
Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]
= limt→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)
= limt→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1
=5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Zadatak 42(e)
Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
).
Rje²enje. 2. na£in. Imamo
limx→−∞
(√x2 − 5x + 4 + x
)= ((+∞) + (−∞))
=
[t = −x ; x = −t
x → −∞ ⇒ t → +∞
]= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)= lim
t→+∞
(√t2 + 5t + 4− t
)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t
= limt→+∞
5t + 4√t2 + 5t + 4 + t
·1t1t
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t + 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4√t2
+ 1
= limt→+∞
5 + 4t√
t2+5t+4t2
+ 1= lim
t→+∞
5 + 4t√
1 + 5t + 4
t2+ 1
=5 + 0√
1 + 0 + 0 + 1=
5
2,
pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.
Oprez!
limx→0
sin x
x6= lim
x→0
sin 0
x= lim
x→00 = 0.