De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i...

422

Transcript of De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i...

Page 1: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx
Page 2: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

�De�nicija�

Neka je f : D ⊆ R→ R. Za c ∈ R ∪ {±∞}, ako vrijedi

x → c︸ ︷︷ ︸�x se pribliºava c,

x 6= c�

⇒ f (x)→ L︸ ︷︷ ︸�f (x) se pribliºava L�

za neki L ∈ R ∪ {±∞}, pi²emo

limx→c

f (x) = L.

Ako je L ∈ R, kaºemo da je L limes funkcije f u to£ki c .

Page 3: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 1(a)

x

y

Γf

4

3

7340

limx→4

f (x) =73

40.

Page 4: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 1(b)

x

y Γex

1

1

limx→−∞

ex = 0, limx→+∞

ex = +∞, limx→0

ex = 1(= e0).

Page 5: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 1(c)

x

y

Γf

1−2

1

limx→−2

f (x) = +∞.

Page 6: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 1(d)

x

y Γf

1 3

1

limx→3

f (x) ne postoji, ali limx→3−

f (x) = −∞, a limx→3+

f (x) = 1.

Page 7: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

�De�nicija�

Neka je f : D ⊆ R→ R. Za c ∈ R, ako vrijedi

x → c+︸ ︷︷ ︸�x se pribliºava c,

x > c�

⇒ f (x)→ L︸ ︷︷ ︸�f (x) se pribliºava L�

za neki L ∈ R ∪ {±∞}, pi²emo

limx→c+

f (x) = L.

Ako je L ∈ R, kaºemo da je L limes zdesna funkcije f u to£ki c .

Page 8: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

�De�nicija�

Neka je f : D ⊆ R→ R. Za c ∈ R, ako vrijedi

x → c−︸ ︷︷ ︸�x se pribliºava c,

x<c�

⇒ f (x)→ L︸ ︷︷ ︸�f (x) se pribliºava L�

za neki L ∈ R ∪ {±∞}, pi²emo

limx→c−

f (x) = L.

Ako je L ∈ R, kaºemo da je L limes slijeva funkcije f u to£ki c .

Page 9: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 1(e)

x

y

Γsin

π

1

limx→+∞

sin x ne postoji.

Page 10: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 1(f)

Γsin 1

x

1

1

x

y

limx→0+

sin1

xi lim

x→0−sin

1

xne postoje.

Page 11: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 1(g)

x

y

Γln

1−2

1

limx→−2−

ln x i limx→−2+

ln x ne postoje.

Page 12: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Limesi i osnovne aritmeti£ke operacije

Neka su a ∈ R i c ∈ R ∪ {±∞}. Svaka od sljede¢ih jednakosti vrijedi kad god je njezina desna

strana de�nirana:

(i) limx→c

(f (x) + g(x)) = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

(ii) limx→c

f (x) · g(x) = limx→c

f (x) · limx→c

g(x)

(iii) limx→c

a f (x) = a · limx→c

f (x)

(iv) limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x).

Analogne tvrdnje vrijede i za limx→c+ i limx→c−.

Page 13: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(a)

limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1·

1x3

1x3

= limx→+∞

3x+5x · 2x−3x · 4x−7x

3 + 1x2− 1

x3

= limx→+∞

(3 + 5

x

) (2− 3

x

) (4− 7

x

)3 + 1

x2− 1

x3

=

(limx→+∞ 3 + limx→+∞

5x

) (limx→+∞ 2− limx→+∞

3x

) (limx→+∞ 4− limx→+∞

7x

)limx→+∞ 3 + limx→+∞

1x2− limx→+∞

1x3

=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)

3 + 0− 0

= 8.

Page 14: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(a)

limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1=

(+∞+∞

)

= limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1·

1x3

1x3

= limx→+∞

3x+5x · 2x−3x · 4x−7x

3 + 1x2− 1

x3

= limx→+∞

(3 + 5

x

) (2− 3

x

) (4− 7

x

)3 + 1

x2− 1

x3

=

(limx→+∞ 3 + limx→+∞

5x

) (limx→+∞ 2− limx→+∞

3x

) (limx→+∞ 4− limx→+∞

7x

)limx→+∞ 3 + limx→+∞

1x2− limx→+∞

1x3

=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)

3 + 0− 0

= 8.

Page 15: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(a)

limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1·

1x3

1x3

= limx→+∞

3x+5x · 2x−3x · 4x−7x

3 + 1x2− 1

x3

= limx→+∞

(3 + 5

x

) (2− 3

x

) (4− 7

x

)3 + 1

x2− 1

x3

=

(limx→+∞ 3 + limx→+∞

5x

) (limx→+∞ 2− limx→+∞

3x

) (limx→+∞ 4− limx→+∞

7x

)limx→+∞ 3 + limx→+∞

1x2− limx→+∞

1x3

=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)

3 + 0− 0

= 8.

Page 16: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(a)

limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1·

1x3

1x3

= limx→+∞

3x+5x · 2x−3x · 4x−7x

3 + 1x2− 1

x3

= limx→+∞

(3 + 5

x

) (2− 3

x

) (4− 7

x

)3 + 1

x2− 1

x3

=

(limx→+∞ 3 + limx→+∞

5x

) (limx→+∞ 2− limx→+∞

3x

) (limx→+∞ 4− limx→+∞

7x

)limx→+∞ 3 + limx→+∞

1x2− limx→+∞

1x3

=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)

3 + 0− 0

= 8.

Page 17: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(a)

limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1·

1x3

1x3

= limx→+∞

3x+5x · 2x−3x · 4x−7x

3 + 1x2− 1

x3

= limx→+∞

(3 + 5

x

) (2− 3

x

) (4− 7

x

)3 + 1

x2− 1

x3

=

(limx→+∞ 3 + limx→+∞

5x

) (limx→+∞ 2− limx→+∞

3x

) (limx→+∞ 4− limx→+∞

7x

)limx→+∞ 3 + limx→+∞

1x2− limx→+∞

1x3

=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)

3 + 0− 0

= 8.

Page 18: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(a)

limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1·

1x3

1x3

= limx→+∞

3x+5x · 2x−3x · 4x−7x

3 + 1x2− 1

x3

= limx→+∞

(3 + 5

x

) (2− 3

x

) (4− 7

x

)3 + 1

x2− 1

x3

=

(limx→+∞ 3 + limx→+∞

5x

) (limx→+∞ 2− limx→+∞

3x

) (limx→+∞ 4− limx→+∞

7x

)limx→+∞ 3 + limx→+∞

1x2− limx→+∞

1x3

=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)

3 + 0− 0

= 8.

Page 19: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(a)

limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1·

1x3

1x3

= limx→+∞

3x+5x · 2x−3x · 4x−7x

3 + 1x2− 1

x3

= limx→+∞

(3 + 5

x

) (2− 3

x

) (4− 7

x

)3 + 1

x2− 1

x3

=

(limx→+∞ 3 + limx→+∞

5x

) (limx→+∞ 2− limx→+∞

3x

) (limx→+∞ 4− limx→+∞

7x

)limx→+∞ 3 + limx→+∞

1x2− limx→+∞

1x3

=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)

3 + 0− 0

= 8.

Page 20: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(a)

limx→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(3x + 5)(2x − 3)(4x − 7)

3x3 + x − 1·

1x3

1x3

= limx→+∞

3x+5x · 2x−3x · 4x−7x

3 + 1x2− 1

x3

= limx→+∞

(3 + 5

x

) (2− 3

x

) (4− 7

x

)3 + 1

x2− 1

x3

=

(limx→+∞ 3 + limx→+∞

5x

) (limx→+∞ 2− limx→+∞

3x

) (limx→+∞ 4− limx→+∞

7x

)limx→+∞ 3 + limx→+∞

1x2− limx→+∞

1x3

=(3 + 0)(2− 0)(4− 0)

3 + 0− 0

= 8.

Page 21: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

? Da.

Page 22: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)

= limx→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

? Da.

Page 23: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

? Da.

Page 24: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

? Da.

Page 25: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

? Da.

Page 26: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

? Da.

Page 27: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

? Da.

Page 28: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

?

Da.

Page 29: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 2(b)

limx→+∞

x3√x3 + 10

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x3√x3 + 10

·1x1x

= limx→+∞

13√x3+103√x3

= limx→+∞

1

3

√1 + 10

x3

=1

3

√1 + limx→+∞

10x3

=1

3√1 + 0

= 1.

Pitanje. Smije li limx→+∞ u¢i pod 3√

? Da.

Page 30: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Smije li lim u¢i pod 3

√ ?

Vrijedi

limx→c

g(f (x)) = g(

limx→c

f (x))

(1)

kad god su zadovoljeni sljede¢i uvjeti:

g je elementarna funkcija: polinom, racionalna funkcija, n√· , trigonometrijska, arkus,

eksponencijalna, logaritamska funkcija ili | · |.Desna strana formule (1) je de�nirana.

g(f (x)) je de�nirano za x iz nekog probu²enog intervala oko c , tj. intervala oblikac

, ako je c ∈ R,

c, ako je c = +∞,

, ako je c = −∞.

Page 31: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 3

(a) Oprez!

limx→0

√−x2 6=

√limx→0

(−x2) =√0 = 0.

Zapravo, limx→0

√−x2 ne postoji.

Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:

x

y

Γ√−x2

.

(b) limx→+∞

arctg1

x

= arctg limx→+∞

1

x= arctg 0 = 0.

Page 32: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 3

(a) Oprez!

limx→0

√−x2 6=

√limx→0

(−x2) =√0 = 0.

Zapravo, limx→0

√−x2 ne postoji.

Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:

x

y

Γ√−x2

.

(b) limx→+∞

arctg1

x

= arctg limx→+∞

1

x= arctg 0 = 0.

Page 33: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 3

(a) Oprez!

limx→0

√−x2 6=

√limx→0

(−x2) =√0 = 0.

Zapravo, limx→0

√−x2 ne postoji.

Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:

x

y

Γ√−x2

.

(b) limx→+∞

arctg1

x

= arctg limx→+∞

1

x= arctg 0 = 0.

Page 34: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 3

(a) Oprez!

limx→0

√−x2 6=

√limx→0

(−x2) =√0 = 0.

Zapravo, limx→0

√−x2 ne postoji.

Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:

x

y

Γ√−x2

.

(b) limx→+∞

arctg1

x

= arctg limx→+∞

1

x= arctg 0 = 0.

Page 35: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 3

(a) Oprez!

limx→0

√−x2 6=

√limx→0

(−x2) =√0 = 0.

Zapravo, limx→0

√−x2 ne postoji.

Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:

x

y

Γ√−x2

.

(b) limx→+∞

arctg1

x= arctg lim

x→+∞

1

x

= arctg 0 = 0.

Page 36: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 3

(a) Oprez!

limx→0

√−x2 6=

√limx→0

(−x2) =√0 = 0.

Zapravo, limx→0

√−x2 ne postoji.

Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:

x

y

Γ√−x2

.

(b) limx→+∞

arctg1

x= arctg lim

x→+∞

1

x= arctg 0

= 0.

Page 37: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer 3

(a) Oprez!

limx→0

√−x2 6=

√limx→0

(−x2) =√0 = 0.

Zapravo, limx→0

√−x2 ne postoji.

Naime, D√−x2 = {0} pa se Γ√−x2 sastoji samo od jedne to£ke:

x

y

Γ√−x2

.

(b) limx→+∞

arctg1

x= arctg lim

x→+∞

1

x= arctg 0 = 0.

Page 38: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Odre�eni i neodre�eni oblici

Primjer. limx→1−

ln(1− x)

(x − 1)2

=

(−∞0+

)= −∞.

−∞0+

je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,

0

0,

∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0

su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.

Primjer. limx→0

x

2x=

(0

0

)= lim

x→0

1

2=

1

2

limx→0

x2

x=

(0

0

)= lim

x→0x = 0

limx→0

x2

x4=

(0

0

)= lim

x→0

1

x2= +∞

limx→0

x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1

xne postoji.

Page 39: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Odre�eni i neodre�eni oblici

Primjer. limx→1−

ln

→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)

(x − 1)2

=

(−∞0+

)= −∞.

−∞0+

je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,

0

0,

∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0

su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.

Primjer. limx→0

x

2x=

(0

0

)= lim

x→0

1

2=

1

2

limx→0

x2

x=

(0

0

)= lim

x→0x = 0

limx→0

x2

x4=

(0

0

)= lim

x→0

1

x2= +∞

limx→0

x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1

xne postoji.

Page 40: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Odre�eni i neodre�eni oblici

Primjer. limx→1−

ln

→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)

(x − 1)2=

(−∞0+

)

= −∞.

−∞0+

je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,

0

0,

∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0

su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.

Primjer. limx→0

x

2x=

(0

0

)= lim

x→0

1

2=

1

2

limx→0

x2

x=

(0

0

)= lim

x→0x = 0

limx→0

x2

x4=

(0

0

)= lim

x→0

1

x2= +∞

limx→0

x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1

xne postoji.

Page 41: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Odre�eni i neodre�eni oblici

Primjer. limx→1−

ln

→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)

(x − 1)2=

(−∞0+

)= −∞.

−∞0+

je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,

0

0,

∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0

su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.

Primjer. limx→0

x

2x=

(0

0

)= lim

x→0

1

2=

1

2

limx→0

x2

x=

(0

0

)= lim

x→0x = 0

limx→0

x2

x4=

(0

0

)= lim

x→0

1

x2= +∞

limx→0

x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1

xne postoji.

Page 42: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Odre�eni i neodre�eni oblici

Primjer. limx→1−

ln

→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)

(x − 1)2=

(−∞0+

)= −∞.

−∞0+

je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞).

S druge strane,

0

0,

∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0

su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.

Primjer. limx→0

x

2x=

(0

0

)= lim

x→0

1

2=

1

2

limx→0

x2

x=

(0

0

)= lim

x→0x = 0

limx→0

x2

x4=

(0

0

)= lim

x→0

1

x2= +∞

limx→0

x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1

xne postoji.

Page 43: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Odre�eni i neodre�eni oblici

Primjer. limx→1−

ln

→0+︷ ︸︸ ︷(1− x)

(x − 1)2=

(−∞0+

)= −∞.

−∞0+

je tzv. odre�eni oblik � moºe se izra£unati (i iznosi −∞). S druge strane,

0

0,

∞∞, (+∞) + (−∞), ∞ · 0

su tzv. neodre�eni oblici � ne mogu se jednozna£no odrediti.

Primjer. limx→0

x

2x=

(0

0

)= lim

x→0

1

2=

1

2

limx→0

x2

x=

(0

0

)= lim

x→0x = 0

limx→0

x2

x4=

(0

0

)= lim

x→0

1

x2= +∞

limx→0

x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1

xne postoji.

Page 44: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Neki odre�eni oblici

Neka je a ∈ R. Vrijedi:

a

∞= 0

a

0+=

{+∞, ako je a > 0

−∞, ako je a < 0,

a

0−=

{−∞, ako je a > 0

+∞, ako je a < 0.

+∞0+

= +∞, +∞0−

= −∞, −∞0+

= −∞, −∞0−

= +∞,

(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞

(+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞, (+∞) · (−∞) = −∞.

Page 45: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(x + 1)2

x2 + 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

(x+1x

)21 + 1

x2

= limx→+∞

(1 + 1

x

)21 + 1

x2

=(1 + 0)2

1 + 0

= 1.

Page 46: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1=

(+∞+∞

)

= limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

(x+1x

)21 + 1

x2

= limx→+∞

(1 + 1

x

)21 + 1

x2

=(1 + 0)2

1 + 0

= 1.

Page 47: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(x + 1)2

x2 + 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

(x+1x

)21 + 1

x2

= limx→+∞

(1 + 1

x

)21 + 1

x2

=(1 + 0)2

1 + 0

= 1.

Page 48: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(x + 1)2

x2 + 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

(x+1x

)21 + 1

x2

= limx→+∞

(1 + 1

x

)21 + 1

x2

=(1 + 0)2

1 + 0

= 1.

Page 49: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(x + 1)2

x2 + 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

(x+1x

)21 + 1

x2

= limx→+∞

(1 + 1

x

)21 + 1

x2

=(1 + 0)2

1 + 0

= 1.

Page 50: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(x + 1)2

x2 + 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

(x+1x

)21 + 1

x2

= limx→+∞

(1 + 1

x

)21 + 1

x2

=(1 + 0)2

1 + 0

= 1.

Page 51: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(x + 1)2

x2 + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

(x + 1)2

x2 + 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

(x+1x

)21 + 1

x2

= limx→+∞

(1 + 1

x

)21 + 1

x2

=(1 + 0)2

1 + 0

= 1.

Page 52: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

1000x

x2 − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

1000x

x2 − 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

1000x

x2 − 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

1000x

1− 1x2

=0

1− 0

= 0.

Page 53: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

1000x

x2 − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

1000x

x2 − 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

1000x

x2 − 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

1000x

1− 1x2

=0

1− 0

= 0.

Page 54: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

1000x

x2 − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

1000x

x2 − 1=

(+∞+∞

)

= limx→+∞

1000x

x2 − 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

1000x

1− 1x2

=0

1− 0

= 0.

Page 55: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

1000x

x2 − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

1000x

x2 − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

1000x

x2 − 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

1000x

1− 1x2

=0

1− 0

= 0.

Page 56: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

1000x

x2 − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

1000x

x2 − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

1000x

x2 − 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

1000x

1− 1x2

=0

1− 0

= 0.

Page 57: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

1000x

x2 − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

1000x

x2 − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

1000x

x2 − 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

1000x

1− 1x2

=0

1− 0

= 0.

Page 58: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

1000x

x2 − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

1000x

x2 − 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

1000x

x2 − 1·

1x2

1x2

= limx→+∞

1000x

1− 1x2

=0

1− 0

= 0.

Page 59: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7·

1x1x

= limx→+∞

x − 5 + 1x

3 + 7x

=

(+∞3

)= +∞.

Page 60: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7·

1x1x

= limx→+∞

x − 5 + 1x

3 + 7x

=

(+∞3

)= +∞.

Page 61: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7=

(+∞+∞

)

= limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7·

1x1x

= limx→+∞

x − 5 + 1x

3 + 7x

=

(+∞3

)= +∞.

Page 62: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7·

1x1x

= limx→+∞

x − 5 + 1x

3 + 7x

=

(+∞3

)= +∞.

Page 63: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7·

1x1x

= limx→+∞

x − 5 + 1x

3 + 7x

=

(+∞3

)= +∞.

Page 64: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7·

1x1x

= limx→+∞

x − 5 + 1x

3 + 7x

=

(+∞3

)

= +∞.

Page 65: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x2 − 5x + 1

3x + 7·

1x1x

= limx→+∞

x − 5 + 1x

3 + 7x

=

(+∞3

)= +∞.

Page 66: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2

=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 67: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2

=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 68: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)

= limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2

=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 69: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2

=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 70: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2

=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 71: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2

=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 72: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 73: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4

=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 74: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 75: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 76: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji):

limx→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

.

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

=

(+∞+∞

)= lim

x→−∞

2x2 − 3x − 4√x4 + 1

·1x2

1x2

= limx→−∞

2− 3x −

4x2√

1 + 1x4

=2− 0− 0√

1 + 0

= 2,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x4 + 1

x2=

√x4 + 1√x4

=

√x4 + 1

x4=

√1 +

1

x4, x ∈ R \ {0}.

Page 77: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 78: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 79: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)

= limx→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 80: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 81: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 82: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 83: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x

=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 84: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2

=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 85: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 86: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 87: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 88: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 36(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

√x√

x +√x +√x.

Rje²enje. Imamolim

x→+∞

√x√

x +√

x +√x

=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

√x√

x +√x +√x·

1√x

1√x

= limx→+∞

1√1 +

√1x + 1

x3

2

=1√

1 +√0 + 0

= 1,

pri £emu smo u tre¢oj jednakosti iskoristili da vrijedi√x +

√x +√x

√x

=

√x +

√x +√x

x=

√1 +

√x +√x√

x2=

√1 +

√x +√x

x2

=

√√√√1 +

√1

x+

1

x3

2

, x ∈ 〈0,+∞〉 .

Page 89: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2

=

(0

0

)= lim

x→2

(x + 2)

(x − 1)

= limx→2

x + 2

x − 1

=2 + 2

2− 1

= 4.

Page 90: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2

=

(0

0

)= lim

x→2

(x + 2)

(x − 1)

= limx→2

x + 2

x − 1

=2 + 2

2− 1

= 4.

Page 91: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2=

(0

0

)

= limx→2

(x + 2)

(x − 1)

= limx→2

x + 2

x − 1

=2 + 2

2− 1

= 4.

Page 92: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2=

(0

0

)= lim

x→2

(x − 2)(x + 2)

(x − 1)(x − 2)

= limx→2

x + 2

x − 1

=2 + 2

2− 1

= 4.

Page 93: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2=

(0

0

)= lim

x→2

����(x − 2)(x + 2)

(x − 1)����(x − 2)

= limx→2

x + 2

x − 1

=2 + 2

2− 1

= 4.

Page 94: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2=

(0

0

)= lim

x→2

����(x − 2)(x + 2)

(x − 1)����(x − 2)

= limx→2

x + 2

x − 1

=2 + 2

2− 1

= 4.

Page 95: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2=

(0

0

)= lim

x→2

����(x − 2)(x + 2)

(x − 1)����(x − 2)

= limx→2

x + 2

x − 1

=2 + 2

2− 1

= 4.

Page 96: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2=

(0

0

)= lim

x→2

����(x − 2)(x + 2)

(x − 1)����(x − 2)

= limx→2

x + 2

x − 1

=2 + 2

2− 1

= 4.

Page 97: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x − 1

=22 − 4

2− 1= 0.

Page 98: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x − 1

=22 − 4

2− 1= 0.

Page 99: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x − 1=

22 − 4

2− 1

= 0.

Page 100: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x2 − 4

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→2

x2 − 4

x − 1=

22 − 4

2− 1= 0.

Page 101: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x + 2

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

±

x + 2

x2 − 3x + 2

=

(4

0

)= lim

x→2

±

x + 2

(x − 1)(x − 2)

=

(4

1 · 0

±

)= ±∞,

dakle traºeni limes ne postoji.

Page 102: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x + 2

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

±

x + 2

x2 − 3x + 2

=

(4

0

)= lim

x→2

±

x + 2

(x − 1)(x − 2)

=

(4

1 · 0

±

)= ±∞,

dakle traºeni limes ne postoji.

Page 103: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x + 2

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

±

x + 2

x2 − 3x + 2=

(4

0

)

= limx→2

±

x + 2

(x − 1)(x − 2)

=

(4

1 · 0

±

)= ±∞,

dakle traºeni limes ne postoji.

Page 104: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x + 2

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

±

x + 2

x2 − 3x + 2=

(4

0

)= lim

x→2

±

x + 2

(x − 1)(x − 2)

=

(4

1 · 0

±

)= ±∞,

dakle traºeni limes ne postoji.

Page 105: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x + 2

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2

±

x + 2

x2 − 3x + 2=

(4

0

)= lim

x→2

±

x + 2

(x − 1)(x − 2)

=

(4

1 · 0

±

)

= ±∞,

dakle traºeni limes ne postoji.

Page 106: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x + 2

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2±

x + 2

x2 − 3x + 2=

(4

0

)= lim

x→2±

x + 2

(x − 1)(x − 2)

=

(4

1 · 0±

)

= ±∞,

dakle traºeni limes ne postoji.

Page 107: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x + 2

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2±

x + 2

x2 − 3x + 2=

(4

0

)= lim

x→2±

x + 2

(x − 1)(x − 2)

=

(4

1 · 0±

)= ±∞,

dakle traºeni limes ne postoji.

Page 108: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x + 2

x2 − 3x + 2.

Rje²enje. Imamo

limx→2±

x + 2

x2 − 3x + 2=

(4

0

)= lim

x→2±

x + 2

(x − 1)(x − 2)

=

(4

1 · 0±

)= ±∞,

dakle traºeni limes ne postoji.

Page 109: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1

x3 + 1

x + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→−1

x3 + 1

x + 1

=

(0

0

)= lim

x→−1

(x2 − x + 1

)= lim

x→−1

(x2 − x + 1

)= (−1)2 − (−1) + 1

= 3,

pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2

), a, b ∈ R.

Page 110: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1

x3 + 1

x + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→−1

x3 + 1

x + 1=

(0

0

)

= limx→−1

(x2 − x + 1

)= lim

x→−1

(x2 − x + 1

)= (−1)2 − (−1) + 1

= 3,

pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2

), a, b ∈ R.

Page 111: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1

x3 + 1

x + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→−1

x3 + 1

x + 1=

(0

0

)

= limx→−1

(x2 − x + 1

)= lim

x→−1

(x2 − x + 1

)= (−1)2 − (−1) + 1

= 3,

pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2

), a, b ∈ R.

Page 112: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1

x3 + 1

x + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→−1

x3 + 1

x + 1=

(0

0

)= lim

x→−1

(x + 1)(x2 − x + 1

)x + 1

= limx→−1

(x2 − x + 1

)= (−1)2 − (−1) + 1

= 3,

pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2

), a, b ∈ R.

Page 113: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1

x3 + 1

x + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→−1

x3 + 1

x + 1=

(0

0

)= lim

x→−1����(x + 1)

(x2 − x + 1

)���x + 1

= limx→−1

(x2 − x + 1

)= (−1)2 − (−1) + 1

= 3,

pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2

), a, b ∈ R.

Page 114: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1

x3 + 1

x + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→−1

x3 + 1

x + 1=

(0

0

)= lim

x→−1����(x + 1)

(x2 − x + 1

)���x + 1

= limx→−1

(x2 − x + 1

)

= (−1)2 − (−1) + 1

= 3,

pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2

), a, b ∈ R.

Page 115: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1

x3 + 1

x + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→−1

x3 + 1

x + 1=

(0

0

)= lim

x→−1����(x + 1)

(x2 − x + 1

)���x + 1

= limx→−1

(x2 − x + 1

)= (−1)2 − (−1) + 1

= 3,

pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2

), a, b ∈ R.

Page 116: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−1

x3 + 1

x + 1.

Rje²enje. Imamo

limx→−1

x3 + 1

x + 1=

(0

0

)= lim

x→−1����(x + 1)

(x2 − x + 1

)���x + 1

= limx→−1

(x2 − x + 1

)= (−1)2 − (−1) + 1

= 3,

pri £emu smo u drugoj jednakosti primijenili formulu

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2

), a, b ∈ R.

Page 117: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 118: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 119: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)

= limx→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 120: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 121: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

(√x −√2) (√

x +√2)

√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 122: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

������(√x −√2) (√

x +√2)

�����√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 123: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

������(√x −√2) (√

x +√2)

�����√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 124: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

������(√x −√2) (√

x +√2)

�����√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 125: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

(√x)2 − (√2)2√x −√2

= limx→2

������(√x −√2) (√

x +√2)

�����√x −√2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 126: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)

= limx→2

x − 2√x −√2·√x +√2

√x +√2

= limx→2

(√x +√2)

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 127: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

x − 2√x −√2·√x +√2

√x +√2

= limx→2

(√x +√2)

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 128: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

x − 2√x −√2·√x +√2

√x +√2

= limx→2

(x − 2)(√

x +√2)

x − 2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 129: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

x − 2√x −√2·√x +√2

√x +√2

= limx→2

����(x − 2)(√

x +√2)

���x − 2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 130: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

x − 2√x −√2·√x +√2

√x +√2

= limx→2

����(x − 2)(√

x +√2)

���x − 2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 131: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

x − 2√x −√2·√x +√2

√x +√2

= limx→2

����(x − 2)(√

x +√2)

���x − 2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 132: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→2

x − 2√x −√2.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→2

x − 2√x −√2

=

(0

0

)= lim

x→2

x − 2√x −√2·√x +√2

√x +√2

= limx→2

����(x − 2)(√

x +√2)

���x − 2

= limx→2

(√x +√2)

=√2 +√2

= 2√2.

Page 133: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)

= limx→a

√x −√a(√

x)2 − (√a)2

= limx→a

(√x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 134: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)

= limx→a

√x −√a(√

x)2 − (√a)2

= limx→a

(√x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 135: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a(√

x)2 − (√a)2

= limx→a

(√x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 136: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a(√

x)2 − (√a)2

= limx→a

√x −√a(√

x −√a) (√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 137: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a(√

x)2 − (√a)2

= limx→a

�����√x −√a

������(√x −√a) (√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 138: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a(√

x)2 − (√a)2

= limx→a

�����√x −√a

������(√x −√a) (√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 139: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a(√

x)2 − (√a)2

= limx→a

�����√x −√a

������(√x −√a) (√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 140: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a(√

x)2 − (√a)2

= limx→a

�����√x −√a

������(√x −√a) (√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 141: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)

= limx→a

√x −√a

x − a·√x +√a√

x +√a

= limx→a

(√x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 142: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a

x − a·√x +√a√

x +√a

= limx→a

(√x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 143: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a

x − a·√x +√a√

x +√a

= limx→a

x − a

(x − a)(√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 144: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a

x − a·√x +√a√

x +√a

= limx→a

���x − a

����(x − a)(√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 145: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a

x − a·√x +√a√

x +√a

= limx→a

���x − a

����(x − a)(√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 146: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a

x − a·√x +√a√

x +√a

= limx→a

���x − a

����(x − a)(√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 147: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(f)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

√x −√a

x − a.

Rje²enje. 2. na£in. Racionalizacija: imamo

limx→a

√x −√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

√x −√a

x − a·√x +√a√

x +√a

= limx→a

���x − a

����(x − a)(√

x +√a)

= limx→a

1√x +√a

=1√

a +√a

=1

2√a.

Page 148: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)

= limx→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

(t2 + t + 1

)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 149: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)

= limx→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

(t2 + t + 1

)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 150: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

(t2 + t + 1

)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 151: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]

= limt→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

(t2 + t + 1

)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 152: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

(t2 + t + 1

)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 153: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

(t − 1)(t2 + t + 1

)(t − 1)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 154: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

����(t − 1)(t2 + t + 1

)����(t − 1)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 155: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

����(t − 1)(t2 + t + 1

)����(t − 1)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 156: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

����(t − 1)(t2 + t + 1

)����(t − 1)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1

=3

2.

Page 157: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

(6√1 + x

)3 − 1(6√1 + x

)2 − 1

=

[Supstitucija: t = 6

√1 + x

x → 0 ⇒ t → 1

]= lim

t→1

t3 − 1

t2 − 1

= limt→1

����(t − 1)(t2 + t + 1

)����(t − 1)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1

t + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2.

Page 158: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 2. na£in.

Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)

= limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

·√1 + x + 1√1 + x + 1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

= limx→0·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

= limx→0

(3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

=

(3√1 + 0

)2+ 3√1 + 0 + 1

√1 + 0 + 1

=3

2.

Page 159: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)

= limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

·√1 + x + 1√1 + x + 1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

= limx→0·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

= limx→0

(3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

=

(3√1 + 0

)2+ 3√1 + 0 + 1

√1 + 0 + 1

=3

2.

Page 160: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

·√1 + x + 1√1 + x + 1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

= limx→0·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

= limx→0

(3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

=

(3√1 + 0

)2+ 3√1 + 0 + 1

√1 + 0 + 1

=3

2.

Page 161: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

·√1 + x + 1√1 + x + 1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

= limx→0

(√1 + x

)2 − 1(3√1 + x

)3 − 1·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

= limx→0

(3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

=

(3√1 + 0

)2+ 3√1 + 0 + 1

√1 + 0 + 1

=3

2.

Page 162: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

·√1 + x + 1√1 + x + 1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

= limx→0

(√1 + x

)2 − 1(3√1 + x

)3 − 1︸ ︷︷ ︸= x

x=1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

= limx→0

(3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

=

(3√1 + 0

)2+ 3√1 + 0 + 1

√1 + 0 + 1

=3

2.

Page 163: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

·√1 + x + 1√1 + x + 1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

= limx→0

(√1 + x

)2 − 1(3√1 + x

)3 − 1︸ ︷︷ ︸= x

x=1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

= limx→0

(3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

=

(3√1 + 0

)2+ 3√1 + 0 + 1

√1 + 0 + 1

=3

2.

Page 164: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

·√1 + x + 1√1 + x + 1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

= limx→0

(√1 + x

)2 − 1(3√1 + x

)3 − 1︸ ︷︷ ︸= x

x=1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

= limx→0

(3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

=

(3√1 + 0

)2+ 3√1 + 0 + 1

√1 + 0 + 1

=3

2.

Page 165: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 37(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + x − 1

3√1 + x − 1

·√1 + x + 1√1 + x + 1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

= limx→0

(√1 + x

)2 − 1(3√1 + x

)3 − 1︸ ︷︷ ︸= x

x=1

·(

3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

= limx→0

(3√1 + x

)2+ 3√1 + x + 1

√1 + x + 1

=

(3√1 + 0

)2+ 3√1 + 0 + 1

√1 + 0 + 1

=3

2.

Page 166: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Vaºan limes 1

limx→0

sin x

x= 1

Geometrijsko zna£enje:

sin x x

O

B

AlimB→O

|AB|∣∣∣>OB∣∣∣ = 1.

Page 167: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Vaºan limes 1

limx→0

sin x

x= 1

Geometrijsko zna£enje:

sin x x

O

B

AlimB→O

|AB|∣∣∣>OB∣∣∣ = 1.

Page 168: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(8x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(8x)

x=

(0

0

)

= limx→0

sin(8x)

8x· 8

=

[t = 8x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

sin t

t· 8

= 1 · 8= 8.

Page 169: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(8x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(8x)

x=

(0

0

)

= limx→0

sin(8x)

8x· 8

=

[t = 8x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

sin t

t· 8

= 1 · 8= 8.

Page 170: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(8x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(8x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin(8x)

8x· 8

=

[t = 8x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

sin t

t· 8

= 1 · 8= 8.

Page 171: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(8x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(8x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin(8x)

8x· 8

=

[t = 8x

x → 0 ⇒ t → 0

]

= limt→0

sin t

t· 8

= 1 · 8= 8.

Page 172: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(8x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(8x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin(8x)

8x· 8

=

[t = 8x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

sin t

t· 8

= 1 · 8= 8.

Page 173: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(8x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(8x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin(8x)

8x· 8

=

[t = 8x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

sin t

t· 8

= 1 · 8

= 8.

Page 174: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(8x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(8x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin(8x)

8x· 8

=

[t = 8x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

sin t

t· 8

= 1 · 8= 8.

Page 175: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(5x)

sin(3x).

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(5x)

sin(3x)=

(0

0

)

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin(3x)3x · 3

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin 3x3x · 3

=1 · 51 · 3

=5

3.

Page 176: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(5x)

sin(3x).

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(5x)

sin(3x)=

(0

0

)

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin(3x)3x · 3

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin 3x3x · 3

=1 · 51 · 3

=5

3.

Page 177: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(5x)

sin(3x).

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(5x)

sin(3x)=

(0

0

)= lim

x→0

sin(5x)5x · 5x

sin(3x)3x · 3x

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin 3x3x · 3

=1 · 51 · 3

=5

3.

Page 178: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(5x)

sin(3x).

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(5x)

sin(3x)=

(0

0

)= lim

x→0

sin(5x)5x · 5�x

sin(3x)3x · 3�x

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin 3x3x · 3

=1 · 51 · 3

=5

3.

Page 179: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(5x)

sin(3x).

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(5x)

sin(3x)=

(0

0

)= lim

x→0

sin(5x)5x · 5�x

sin(3x)3x · 3�x

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin 3x3x · 3

=1 · 51 · 3

=5

3.

Page 180: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(5x)

sin(3x).

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(5x)

sin(3x)=

(0

0

)= lim

x→0

sin(5x)5x · 5�x

sin(3x)3x · 3�x

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin 3x3x · 3

=1 · 51 · 3

=5

3.

Page 181: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

sin(5x)

sin(3x).

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(5x)

sin(3x)=

(0

0

)= lim

x→0

sin(5x)5x · 5�x

sin(3x)3x · 3�x

= limx→0

sin(5x)5x · 5

sin 3x3x · 3

=1 · 51 · 3

=5

3.

Page 182: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

= limx→+∞

·sin π

xπx

· π

= limx→+∞

sin πx

πx

· π

= 1 · π= π.

Page 183: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

= limx→+∞

·sin π

xπx

· π

= limx→+∞

sin πx

πx

· π

= 1 · π= π.

Page 184: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

= limx→+∞

x ·sin π

xπx

· πx

= limx→+∞

sin πx

πx

· π

= 1 · π= π.

Page 185: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

= limx→+∞�

x ·sin π

xπx

· π�x

= limx→+∞

sin πx

πx

· π

= 1 · π= π.

Page 186: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

= limx→+∞�

x ·sin π

xπx

· π�x

= limx→+∞

sin πx

πx

· π

= 1 · π= π.

Page 187: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

= limx→+∞�

x ·sin π

xπx

· π�x

= limx→+∞

sin πx

πx

· π

= 1 · π

= π.

Page 188: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

= limx→+∞�

x ·sin π

xπx

· π�x

= limx→+∞

sin πx

πx

· π

= 1 · π= π.

Page 189: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 2. na£in.

Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

=

[t = π

x ; x = πt

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

π

t· sin t

= limt→0

π · sin t

t

= π · 1= π.

Page 190: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

=

[t = π

x ; x = πt

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

π

t· sin t

= limt→0

π · sin t

t

= π · 1= π.

Page 191: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

=

[t = π

x ; x = πt

x → +∞ ⇒ t → 0

]

= limt→0

π

t· sin t

= limt→0

π · sin t

t

= π · 1= π.

Page 192: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

=

[t = π

x ; x = πt

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

π

t· sin t

= limt→0

π · sin t

t

= π · 1= π.

Page 193: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

=

[t = π

x ; x = πt

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

π

t· sin t

= limt→0

π · sin t

t

= π · 1= π.

Page 194: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

=

[t = π

x ; x = πt

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

π

t· sin t

= limt→0

π · sin t

t

= π · 1

= π.

Page 195: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

x · sinπ

x.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

x · sinπ

x= ((+∞) · 0)

=

[t = π

x ; x = πt

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

π

t· sin t

= limt→0

π · sin t

t

= π · 1= π.

Page 196: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

arcsin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

arcsin x

x=

(0

0

)

=

[t = arcsin x ; x = sin t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

sin t

= limt→0

1sin tt

=1

1= 1.

Page 197: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

arcsin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

arcsin x

x=

(0

0

)

=

[t = arcsin x ; x = sin t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

sin t

= limt→0

1sin tt

=1

1= 1.

Page 198: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

arcsin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

arcsin x

x=

(0

0

)=

[t = arcsin x ; x = sin t

x → 0 ⇒ t → 0

]

= limt→0

t

sin t

= limt→0

1sin tt

=1

1= 1.

Page 199: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

arcsin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

arcsin x

x=

(0

0

)=

[t = arcsin x ; x = sin t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

sin t

= limt→0

1sin tt

=1

1= 1.

Page 200: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

arcsin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

arcsin x

x=

(0

0

)=

[t = arcsin x ; x = sin t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

sin t

= limt→0

1sin tt

=1

1= 1.

Page 201: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

arcsin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

arcsin x

x=

(0

0

)=

[t = arcsin x ; x = sin t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

sin t

= limt→0

1sin tt

=1

1

= 1.

Page 202: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

arcsin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

arcsin x

x=

(0

0

)=

[t = arcsin x ; x = sin t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

sin t

= limt→0

1sin tt

=1

1= 1.

Page 203: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

tg x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

tg x

x=

(0

0

)

= limx→0

sin x

cos x· 1x

= limx→0

sin x

x· 1

cos x

= 1 · 1

cos 0= 1.

Page 204: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

tg x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

tg x

x=

(0

0

)

= limx→0

sin x

cos x· 1x

= limx→0

sin x

x· 1

cos x

= 1 · 1

cos 0= 1.

Page 205: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

tg x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

tg x

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin x

cos x· 1x

= limx→0

sin x

x· 1

cos x

= 1 · 1

cos 0= 1.

Page 206: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

tg x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

tg x

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin x

cos x· 1x

= limx→0

sin x

x· 1

cos x

= 1 · 1

cos 0= 1.

Page 207: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

tg x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

tg x

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin x

cos x· 1x

= limx→0

sin x

x· 1

cos x

= 1 · 1

cos 0

= 1.

Page 208: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

tg x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

tg x

x=

(0

0

)= lim

x→0

sin x

cos x· 1x

= limx→0

sin x

x· 1

cos x

= 1 · 1

cos 0= 1.

Page 209: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)

= limx→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 210: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)

= limx→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 211: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)

= limx→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 212: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 213: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2

=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 214: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]

= limt→0

2sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 215: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 216: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 217: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12

=1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 218: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 219: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 38(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

1− cos x

x2.

Rje²enje. Imamo

limx→0

1− cos x

x2=

(0

0

)= lim

x→0

1−(1− 2 sin2 x

2

)x2

= limx→0

2sin2 x

2

x2=

[t = x

2; x = 2t

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→02

sin2 t

(2t)2

= limt→0

1

2

(sin t

t

)2

=1

2· 12 =

1

2,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

cos(2t) = 1− 2 sin2 t, t ∈ R.

; Vaºan limes:limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

Page 220: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

limx→±∞ ax

Sjetimo se:

a > 1

x

y

1

1

Γax 0 < a < 1

x

y

1

1Γax

⇒ limx→−∞

ax =

{0, ako je a > 1,

+∞, ako je 0 < a < 1,lim

x→+∞ax =

{+∞, ako je a > 1,

0, ako je 0 < a < 1.

Page 221: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

limx→±∞ ax

Sjetimo se:

a > 1

x

y

1

1

Γax 0 < a < 1

x

y

1

1Γax

⇒ limx→−∞

ax =

{0, ako je a > 1,

+∞, ako je 0 < a < 1,lim

x→+∞ax =

{+∞, ako je a > 1,

0, ako je 0 < a < 1.

Page 222: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

limx→c ϕ(x)ψ(x)

Kako se, za c ∈ R ∪ {±∞} i ϕ(x) > 0, ra£una limes

limx→c

ϕ(x)ψ(x)?

Vrijedi

limx→c

ϕ(x)ψ(x) =(

limx→c

ϕ(x))limx→c ψ(x)

kad god je desna strana de�nirana, tj. odre�eni oblik, primjerice:

AB sa A ∈ 〈0,+∞〉 i B ∈ R

A+∞ =

{+∞, ako je A > 1,

0, ako je 0 < A < 1

A−∞ =

{0, ako je A > 1,

+∞, ako je 0 < A < 1.

Napomena. 00, (+∞)0 i 1±∞ su neodre�eni oblici.

Page 223: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

limx→c ϕ(x)ψ(x)

Kako se, za c ∈ R ∪ {±∞} i ϕ(x) > 0, ra£una limes

limx→c

ϕ(x)ψ(x)?

Vrijedi

limx→c

ϕ(x)ψ(x) =(

limx→c

ϕ(x))limx→c ψ(x)

kad god je desna strana de�nirana, tj. odre�eni oblik, primjerice:

AB sa A ∈ 〈0,+∞〉 i B ∈ R

A+∞ =

{+∞, ako je A > 1,

0, ako je 0 < A < 1

A−∞ =

{0, ako je A > 1,

+∞, ako je 0 < A < 1.

Napomena. 00, (+∞)0 i 1±∞ su neodre�eni oblici.

Page 224: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

limx→c ϕ(x)ψ(x)

Kako se, za c ∈ R ∪ {±∞} i ϕ(x) > 0, ra£una limes

limx→c

ϕ(x)ψ(x)?

Vrijedi

limx→c

ϕ(x)ψ(x) =(

limx→c

ϕ(x))limx→c ψ(x)

kad god je desna strana de�nirana, tj. odre�eni oblik, primjerice:

AB sa A ∈ 〈0,+∞〉 i B ∈ R

A+∞ =

{+∞, ako je A > 1,

0, ako je 0 < A < 1

A−∞ =

{0, ako je A > 1,

+∞, ako je 0 < A < 1.

Napomena. 00, (+∞)0 i 1±∞ su neodre�eni oblici.

Page 225: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x

= limx→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x)

= 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 226: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x

= limx→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x)

= 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 227: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x= lim

x→0

sin(2x)

2x· 2

= 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x)

= 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 228: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x= lim

x→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2

= 2

i

limx→0

(1 + x)

= 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 229: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x= lim

x→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x)

= 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 230: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x= lim

x→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x)

= 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 231: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x= lim

x→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x) = 1 + 0

= 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 232: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x= lim

x→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x) = 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 233: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x= lim

x→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x) = 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21

= 2.

Page 234: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

.

Rje²enje. Imamo

limx→0

sin(2x)

x= lim

x→0

sin(2x)

2x· 2 = 1 · 2 = 2

i

limx→0

(1 + x) = 1 + 0 = 1

pa je

limx→0

(sin(2x)

x

)1+x

= 21 = 2.

Page 235: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)

= limx→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2

= +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 236: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)

= limx→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2

= +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 237: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2

= +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 238: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2

= +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 239: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0

=1

2

i

limx→+∞

x2

= +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 240: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2

= +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 241: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2

= +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 242: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2 = +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 243: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2 = +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 244: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 39(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

x + 1

2x + 1=

(+∞+∞

)= lim

x→+∞

x + 1

2x + 1·

1x1x

= limx→+∞

1 + 1x

2 + 1x

=1 + 0

2 + 0=

1

2

i

limx→+∞

x2 = +∞

pa je

limx→+∞

(x + 1

2x + 1

)x2

=

((1

2

)+∞)

= 0.

Page 245: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Jako vaºni limesi

Vrijedi

limx→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Primjer. Imamo

limx→0±

(1 + x)1

x

=(1±∞

)=

[t = 1

x ; x = 1t

x → 0± ⇒ t → ±∞

]= lim

t→±∞

(1 +

1

t

)t

= e,

dakle

limx→0

(1 + x)1

x = e.

Page 246: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Jako vaºni limesi

Vrijedi

limx→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Primjer. Imamo

limx→0±

(1 + x)1

x

=(1±∞

)=

[t = 1

x ; x = 1t

x → 0± ⇒ t → ±∞

]= lim

t→±∞

(1 +

1

t

)t

= e,

dakle

limx→0

(1 + x)1

x = e.

Page 247: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Jako vaºni limesi

Vrijedi

limx→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Primjer. Imamo

limx→0±

(1 + x)1

x =(1±∞

)

=

[t = 1

x ; x = 1t

x → 0± ⇒ t → ±∞

]= lim

t→±∞

(1 +

1

t

)t

= e,

dakle

limx→0

(1 + x)1

x = e.

Page 248: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Jako vaºni limesi

Vrijedi

limx→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Primjer. Imamo

limx→0±

(1 + x)1

x =(1±∞

)=

[t = 1

x ; x = 1t

x → 0± ⇒ t → ±∞

]

= limt→±∞

(1 +

1

t

)t

= e,

dakle

limx→0

(1 + x)1

x = e.

Page 249: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Jako vaºni limesi

Vrijedi

limx→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Primjer. Imamo

limx→0±

(1 + x)1

x =(1±∞

)=

[t = 1

x ; x = 1t

x → 0± ⇒ t → ±∞

]= lim

t→±∞

(1 +

1

t

)t

= e,

dakle

limx→0

(1 + x)1

x = e.

Page 250: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Jako vaºni limesi

Vrijedi

limx→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Primjer. Imamo

limx→0±

(1 + x)1

x =(1±∞

)=

[t = 1

x ; x = 1t

x → 0± ⇒ t → ±∞

]= lim

t→±∞

(1 +

1

t

)t

= e,

dakle

limx→0

(1 + x)1

x = e.

Page 251: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Jako vaºni limesi

Vrijedi

limx→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Primjer. Imamo

limx→0±

(1 + x)1

x =(1±∞

)=

[t = 1

x ; x = 1t

x → 0± ⇒ t → ±∞

]= lim

t→±∞

(1 +

1

t

)t

= e,

dakle

limx→0

(1 + x)1

x = e.

Page 252: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer

Za svaki a ∈ R \ {0} imamo

limx→±∞

(1 +

a

x

)x

=(1±∞

)=

[t = a

x ; x = at

x → ±∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

at

= limt→0

((1 + t)

1

t

)a= ea,

dakle

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea.

Page 253: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer

Za svaki a ∈ R \ {0} imamo

limx→±∞

(1 +

a

x

)x

=(1±∞

)=

[t = a

x ; x = at

x → ±∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

at

= limt→0

((1 + t)

1

t

)a= ea,

dakle

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea.

Page 254: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer

Za svaki a ∈ R \ {0} imamo

limx→±∞

(1 +

a

x

)x=(1±∞

)

=

[t = a

x ; x = at

x → ±∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

at

= limt→0

((1 + t)

1

t

)a= ea,

dakle

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea.

Page 255: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer

Za svaki a ∈ R \ {0} imamo

limx→±∞

(1 +

a

x

)x=(1±∞

)=

[t = a

x ; x = at

x → ±∞ ⇒ t → 0

]

= limt→0

(1 + t)at

= limt→0

((1 + t)

1

t

)a= ea,

dakle

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea.

Page 256: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer

Za svaki a ∈ R \ {0} imamo

limx→±∞

(1 +

a

x

)x=(1±∞

)=

[t = a

x ; x = at

x → ±∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

at

= limt→0

((1 + t)

1

t

)a= ea,

dakle

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea.

Page 257: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer

Za svaki a ∈ R \ {0} imamo

limx→±∞

(1 +

a

x

)x=(1±∞

)=

[t = a

x ; x = at

x → ±∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

at

= limt→0

((1 + t)

1

t

)a

= ea,

dakle

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea.

Page 258: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer

Za svaki a ∈ R \ {0} imamo

limx→±∞

(1 +

a

x

)x=(1±∞

)=

[t = a

x ; x = at

x → ±∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

at

= limt→0

((1 + t)

1

t

)a= ea,

dakle

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea.

Page 259: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Primjer

Za svaki a ∈ R \ {0} imamo

limx→±∞

(1 +

a

x

)x=(1±∞

)=

[t = a

x ; x = at

x → ±∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

at

= limt→0

((1 + t)

1

t

)a= ea,

dakle

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea.

Page 260: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)

= limx→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]= lim

t→0(1 + t)−

2

t−1 = lim

t→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 261: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)

= limx→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]= lim

t→0(1 + t)−

2

t−1 = lim

t→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 262: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]= lim

t→0(1 + t)−

2

t−1 = lim

t→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 263: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]= lim

t→0(1 + t)−

2

t−1 = lim

t→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 264: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]

= limt→0

(1 + t)−2

t−1 = lim

t→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 265: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]= lim

t→0(1 + t)−

2

t−1

= limt→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 266: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]= lim

t→0(1 + t)−

2

t−1 = lim

t→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 267: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]= lim

t→0(1 + t)−

2

t−1 = lim

t→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 268: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 1. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

=

[t = − 2

x+1; x = −2

t − 1

x → +∞ ; t → 0

]= lim

t→0(1 + t)−

2

t−1 = lim

t→0

((1 + t)

1

t

)−2· (1 + t)−1

= e−2 (1 + 0)−1

= e−2.

Page 269: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in.

Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)

= limx→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 270: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)

= limx→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 271: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 272: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 273: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 274: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 275: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]

= limt→0

(1 + t)1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 276: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t

= e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 277: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 278: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)

= limx→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 279: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)= lim

x→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 280: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)= lim

x→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 281: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)= lim

x→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 282: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)= lim

x→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 283: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

(x − 1

x + 1− 1

))x

= limx→+∞

(1− 2

x + 1

)x

= limx→+∞

((1− 2

x + 1

)− x+12

)− 2xx+1

.

Kako jelim

x→+∞

(1− 2

x + 1

)− x+12

=

[t = − 2

x+1

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

ilim

x→+∞

(− 2x

x + 1

)= lim

x→+∞

−2xx + 1

·1x1x

= limx→+∞

−21 + 1

x

=−21 + 0

= −2,

slijedi da jelim

x→+∞

(x − 1

x + 1

)x

= e−2.

Page 284: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 3. na£in.

Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)

= limx→+∞

(x−1x

x+1x

)x

= limx→+∞

(1− 1

x

)x(1 + 1

x

)x=

e−1

e= e−2.

Page 285: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 3. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)

= limx→+∞

(x−1x

x+1x

)x

= limx→+∞

(1− 1

x

)x(1 + 1

x

)x=

e−1

e= e−2.

Page 286: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 3. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(x−1x

x+1x

)x

= limx→+∞

(1− 1

x

)x(1 + 1

x

)x=

e−1

e= e−2.

Page 287: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 3. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(x−1x

x+1x

)x

= limx→+∞

(1− 1

x

)x(1 + 1

x

)x

=e−1

e= e−2.

Page 288: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 3. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(x−1x

x+1x

)x

= limx→+∞

(1− 1

x

)x(1 + 1

x

)x=

e−1

e

= e−2.

Page 289: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

.

Rje²enje. 3. na£in. Imamo

limx→+∞

(x − 1

x + 1

)x

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(x−1x

x+1x

)x

= limx→+∞

(1− 1

x

)x(1 + 1

x

)x=

e−1

e= e−2.

Page 290: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ln(1 + x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ln(1 + x)

x=

(0

0

)

= limx→0

1

x· ln(1 + x)

= limx→0

ln(

(1 + x)1

x

)= ln e

= 1,

dakle

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Page 291: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ln(1 + x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ln(1 + x)

x=

(0

0

)

= limx→0

1

x· ln(1 + x)

= limx→0

ln(

(1 + x)1

x

)= ln e

= 1,

dakle

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Page 292: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ln(1 + x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ln(1 + x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

1

x· ln(1 + x)

= limx→0

ln(

(1 + x)1

x

)= ln e

= 1,

dakle

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Page 293: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ln(1 + x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ln(1 + x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

1

x· ln(1 + x)

= limx→0

ln(

(1 + x)1

x

)

= ln e

= 1,

dakle

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Page 294: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ln(1 + x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ln(1 + x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

1

x· ln(1 + x)

= limx→0

ln(

(1 + x)1

x

)= ln e

= 1,

dakle

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Page 295: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ln(1 + x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ln(1 + x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

1

x· ln(1 + x)

= limx→0

ln(

(1 + x)1

x

)= ln e

= 1,

dakle

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Page 296: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ln(1 + x)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ln(1 + x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

1

x· ln(1 + x)

= limx→0

ln(

(1 + x)1

x

)= ln e

= 1,

dakle

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Page 297: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

x

=

[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

ln(1 + t)

= limt→0

1ln(1+t)

t

=1

1= 1,

dakle

limx→0

ex − 1

x= 1.

Page 298: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

x

=

[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

ln(1 + t)

= limt→0

1ln(1+t)

t

=1

1= 1,

dakle

limx→0

ex − 1

x= 1.

Page 299: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

x=

[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)

x → 0 ⇒ t → 0

]

= limt→0

t

ln(1 + t)

= limt→0

1ln(1+t)

t

=1

1= 1,

dakle

limx→0

ex − 1

x= 1.

Page 300: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

x=

[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

ln(1 + t)

= limt→0

1ln(1+t)

t

=1

1= 1,

dakle

limx→0

ex − 1

x= 1.

Page 301: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

x=

[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

ln(1 + t)

= limt→0

1ln(1+t)

t

=1

1= 1,

dakle

limx→0

ex − 1

x= 1.

Page 302: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

x=

[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

ln(1 + t)

= limt→0

1ln(1+t)

t

=1

1

= 1,

dakle

limx→0

ex − 1

x= 1.

Page 303: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

x=

[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

ln(1 + t)

= limt→0

1ln(1+t)

t

=1

1= 1,

dakle

limx→0

ex − 1

x= 1.

Page 304: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 40(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

x=

[t = ex − 1 ; ex = 1 + t ; x = ln(1 + t)

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

t

ln(1 + t)

= limt→0

1ln(1+t)

t

=1

1= 1,

dakle

limx→0

ex − 1

x= 1.

Page 305: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

sin x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

sin x=

(0

0

)

= limx→0

ex−1x ·

sin xx ·

= limx→0

ex−1x

sin xx

=1

1= 1.

Page 306: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

sin x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

sin x=

(0

0

)

= limx→0

ex−1x ·

sin xx ·

= limx→0

ex−1x

sin xx

=1

1= 1.

Page 307: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

sin x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

sin x=

(0

0

)= lim

x→0

ex−1x · x

sin xx · x

= limx→0

ex−1x

sin xx

=1

1= 1.

Page 308: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

sin x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

sin x=

(0

0

)= lim

x→0

ex−1x ·�x

sin xx ·�x

= limx→0

ex−1x

sin xx

=1

1= 1.

Page 309: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

sin x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

sin x=

(0

0

)= lim

x→0

ex−1x ·�x

sin xx ·�x

= limx→0

ex−1x

sin xx

=1

1= 1.

Page 310: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

sin x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

sin x=

(0

0

)= lim

x→0

ex−1x ·�x

sin xx ·�x

= limx→0

ex−1x

sin xx

=1

1

= 1.

Page 311: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(a)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ex − 1

sin x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ex − 1

sin x=

(0

0

)= lim

x→0

ex−1x ·�x

sin xx ·�x

= limx→0

ex−1x

sin xx

=1

1= 1.

Page 312: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)

= limx→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 313: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)

= limx→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 314: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)

= limx→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 315: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)= lim

x→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 316: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)= lim

x→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]

= limt→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 317: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)= lim

x→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 318: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)= lim

x→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t

= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 319: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)= lim

x→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1

= ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 320: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)= lim

x→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 321: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(b)

Za a ∈ 〈0,+∞〉, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

ax − 1

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

ax − 1

x=

(0

0

)= lim

x→0

ex ln a − 1

x

=

[t = x ln a ; x = t

ln ax → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

et − 1t

ln a

= limt→0

ln a · et − 1

t= ln a · 1 = ln a,

pri £emu smo u drugoj jednakosti iskoristili da vrijedi

ax =(e ln a

)x= ex ln a, x ∈ R.

Dakle,

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Page 322: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

8x − 7x

6x − 5x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

8x − 7x

6x − 5x=

(0

0

)

= limx→0

8x−1x − 7x−1

x6x−1x − 5x−1

x

=ln 8− ln 7

ln 6− ln 5.

Page 323: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

8x − 7x

6x − 5x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

8x − 7x

6x − 5x=

(0

0

)

= limx→0

8x−1x − 7x−1

x6x−1x − 5x−1

x

=ln 8− ln 7

ln 6− ln 5.

Page 324: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

8x − 7x

6x − 5x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

8x − 7x

6x − 5x=

(0

0

)= lim

x→0

8x−1x − 7x−1

x6x−1x − 5x−1

x

=ln 8− ln 7

ln 6− ln 5.

Page 325: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(c)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

8x − 7x

6x − 5x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

8x − 7x

6x − 5x=

(0

0

)= lim

x→0

8x−1x − 7x−1

x6x−1x − 5x−1

x

=ln 8− ln 7

ln 6− ln 5.

Page 326: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)

= limx→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x

=

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x=

1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 327: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)

= limx→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x

=

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x=

1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 328: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x

=

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x=

1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 329: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x

=

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x=

1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 330: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x =

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]

= limt→0

(1 + t)1

t = e

i

limx→0

sin x

x=

1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 331: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x =

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t

= e

i

limx→0

sin x

x=

1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 332: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x =

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x=

1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 333: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x =

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x=

1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 334: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x =

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x= 1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 335: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x =

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x= 1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1

= e.

Page 336: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + sin x)1

x .

Rje²enje. Imamo

limx→0

(1 + sin x)1

x =(1±∞

)= lim

x→0

((1 + sin x)

1

sin x

) sin xx.

Kako vrijedi

limx→0

(1 + sin x)1

sin x =

[t = sin x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t = e

i

limx→0

sin x

x= 1,

slijedi da je

limx→0

(1 + sin x)1

x = e1 = e.

Page 337: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)

= limx→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2)

2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 338: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)

= limx→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2)

2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 339: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2)

2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 340: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2)

2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 341: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2(x+1)

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 342: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) ��x+1

2��(x+1)

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 343: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) ��x+1

2��(x+1)

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 344: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) ��x+1

2��(x+1)

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]

= limt→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 345: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) ��x+1

2��(x+1)

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 346: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

.

Rje²enje. Imamo

limx→+∞

(2x + 3

2x + 2

)x+1

=(1+∞

)= lim

x→+∞

(1 +

1

2x + 2

)x+1

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) x+1

2x+2

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) ��x+1

2��(x+1)

= limx→+∞

((1 +

1

2x + 2

)2x+2) 1

2

=

[t = 1

2x+2; 2x + 2 = 1

t

x → +∞ ⇒ t → 0

]= lim

t→0

((1 + t)

1

t

) 1

2

= e1

2 .

Page 347: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + tg x)ctg x .

Rje²enje. Imamolimx→0

(1 + tg x)ctg x =(1±∞

)

= limx→0

(1 + tg x)1

tg x

=

[t = tg x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t

= e.

Page 348: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + tg x)ctg x .

Rje²enje. Imamolimx→0

(1 + tg x)ctg x =(1±∞

)

= limx→0

(1 + tg x)1

tg x

=

[t = tg x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t

= e.

Page 349: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + tg x)ctg x .

Rje²enje. Imamolimx→0

(1 + tg x)ctg x =(1±∞

)= lim

x→0(1 + tg x)

1

tg x

=

[t = tg x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t

= e.

Page 350: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + tg x)ctg x .

Rje²enje. Imamolimx→0

(1 + tg x)ctg x =(1±∞

)= lim

x→0(1 + tg x)

1

tg x

=

[t = tg x

x → 0 ⇒ t → 0

]

= limt→0

(1 + t)1

t

= e.

Page 351: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + tg x)ctg x .

Rje²enje. Imamolimx→0

(1 + tg x)ctg x =(1±∞

)= lim

x→0(1 + tg x)

1

tg x

=

[t = tg x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t

= e.

Page 352: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(f)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

(1 + tg x)ctg x .

Rje²enje. Imamolimx→0

(1 + tg x)ctg x =(1±∞

)= lim

x→0(1 + tg x)

1

tg x

=

[t = tg x

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0(1 + t)

1

t

= e.

Page 353: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 354: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje.

Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)

= limx→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 355: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)

= limx→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 356: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

ln(1+10x)ln 10

x

= limx→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 357: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 358: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]

= limt→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 359: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 360: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10

= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 361: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10

=10

ln 10.

Page 362: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 41(g)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

log(1 + 10x)

x.

Rje²enje. Koriste¢i da vrijedi

loga b =logc b

logc a, a, c ∈ 〈0,+∞〉 \ {1} , b ∈ 〈0,+∞〉 ,

ra£unamo

limx→0

log(1 + 10x)

x=

(0

0

)= lim

x→0

ln(1+10x)ln 10

x= lim

x→0

ln(1 + 10x)

x· 1

ln 10

=

[t = 10x ; x = t

10

x → 0 ⇒ t → 0

]= lim

t→0

ln(1 + t)t10

· 1

ln 10

= limt→0

ln(1 + t)

t· 10

ln 10= 1 · 10

ln 10=

10

ln 10.

Page 363: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(a) (racionalizacija)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x=

(0

0

)

= limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x·√1 + sin x +

√1− sin x√

1 + sin x +√1− sin x

= limx→0

(1 + sin x)− (1− sin x)

x(√

1 + sin x +√1− sin x

)= lim

x→02 · sin x

x· 1√

1 + sin x +√1− sin x

= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +

√1− sin 0

= 1.

Page 364: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(a) (racionalizacija)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x=

(0

0

)

= limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x·√1 + sin x +

√1− sin x√

1 + sin x +√1− sin x

= limx→0

(1 + sin x)− (1− sin x)

x(√

1 + sin x +√1− sin x

)= lim

x→02 · sin x

x· 1√

1 + sin x +√1− sin x

= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +

√1− sin 0

= 1.

Page 365: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(a) (racionalizacija)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x·√1 + sin x +

√1− sin x√

1 + sin x +√1− sin x

= limx→0

(1 + sin x)− (1− sin x)

x(√

1 + sin x +√1− sin x

)= lim

x→02 · sin x

x· 1√

1 + sin x +√1− sin x

= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +

√1− sin 0

= 1.

Page 366: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(a) (racionalizacija)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x·√1 + sin x +

√1− sin x√

1 + sin x +√1− sin x

= limx→0

(1 + sin x)− (1− sin x)

x(√

1 + sin x +√1− sin x

)

= limx→0

2 · sin x

x· 1√

1 + sin x +√1− sin x

= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +

√1− sin 0

= 1.

Page 367: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(a) (racionalizacija)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x·√1 + sin x +

√1− sin x√

1 + sin x +√1− sin x

= limx→0

(1 + sin x)− (1− sin x)

x(√

1 + sin x +√1− sin x

)= lim

x→02 · sin x

x· 1√

1 + sin x +√1− sin x

= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +

√1− sin 0

= 1.

Page 368: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(a) (racionalizacija)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x·√1 + sin x +

√1− sin x√

1 + sin x +√1− sin x

= limx→0

(1 + sin x)− (1− sin x)

x(√

1 + sin x +√1− sin x

)= lim

x→02 · sin x

x· 1√

1 + sin x +√1− sin x

= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +

√1− sin 0

= 1.

Page 369: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(a) (racionalizacija)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x=

(0

0

)= lim

x→0

√1 + sin x −

√1− sin x

x·√1 + sin x +

√1− sin x√

1 + sin x +√1− sin x

= limx→0

(1 + sin x)− (1− sin x)

x(√

1 + sin x +√1− sin x

)= lim

x→02 · sin x

x· 1√

1 + sin x +√1− sin x

= 2 · 1 · 1√1 + sin 0 +

√1− sin 0

= 1.

Page 370: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x

·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· (√x + 1 + 1

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 371: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x

·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· (√x + 1 + 1

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 372: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x

·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· (√x + 1 + 1

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 373: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· (√x + 1 + 1

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 374: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· x

x(√

x + 1 + 1)

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 375: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· �x

�x(√

x + 1 + 1)

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 376: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· �x

�x(√

x + 1 + 1)

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 377: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· �x

�x(√

x + 1 + 1)

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 378: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(b)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x.

Rje²enje. Imamo

limx→0

2 sin(√

x + 1− 1)

x=

(0

0

)= lim

x→02 ·

sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

·√x + 1− 1

x·√x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· �x

�x(√

x + 1 + 1)

= limx→0

2 ·sin(√

x + 1− 1)

√x + 1− 1

· 1√x + 1 + 1

= 2 · 1 · 1√0 + 1 + 1

= 1.

Page 379: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(c)

Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

n√x − n√a

x − a.

Rje²enje.

Koriste¢i da je

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1

), a, b ∈ R, n ∈ N,

ra£unamo

limx→a

n√x − n√a

x − a=

(0

0

)

= limx→a

n√x − n√a(

n√x)n − ( n

√a)n

= limx→a

((n√x)n−1

+(

n√x)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1)

=1(

n√a)n−1

+(

n√a)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1

=1

n(

n√a)n−1 .

Page 380: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(c)

Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

n√x − n√a

x − a.

Rje²enje.

Koriste¢i da je

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1

), a, b ∈ R, n ∈ N,

ra£unamo

limx→a

n√x − n√a

x − a=

(0

0

)

= limx→a

n√x − n√a(

n√x)n − ( n

√a)n

= limx→a

((n√x)n−1

+(

n√x)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1)

=1(

n√a)n−1

+(

n√a)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1

=1

n(

n√a)n−1 .

Page 381: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(c)

Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

n√x − n√a

x − a.

Rje²enje.

Koriste¢i da je

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1

), a, b ∈ R, n ∈ N,

ra£unamo

limx→a

n√x − n√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

n√x − n√a(

n√x)n − ( n

√a)n

= limx→a

((n√x)n−1

+(

n√x)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1)

=1(

n√a)n−1

+(

n√a)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1

=1

n(

n√a)n−1 .

Page 382: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(c)

Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

n√x − n√a

x − a.

Rje²enje.

Koriste¢i da je

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1

), a, b ∈ R, n ∈ N,

ra£unamo

limx→a

n√x − n√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

n√x − n√a(

n√x)n − ( n

√a)n

= limx→a

((n√x)n−1

+(

n√x)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1)

=1(

n√a)n−1

+(

n√a)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1

=1

n(

n√a)n−1 .

Page 383: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(c)

Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

n√x − n√a

x − a.

Rje²enje.

Koriste¢i da je

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1

), a, b ∈ R, n ∈ N,

ra£unamo

limx→a

n√x − n√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

n√x − n√a(

n√x)n − ( n

√a)n

= limx→a

n√x − n√a(

n√x − n√a) ((

n√x)n−1

+(

n√x)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1)

=1(

n√a)n−1

+(

n√a)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1

=1

n(

n√a)n−1 .

Page 384: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(c)

Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

n√x − n√a

x − a.

Rje²enje.

Koriste¢i da je

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1

), a, b ∈ R, n ∈ N,

ra£unamo

limx→a

n√x − n√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

n√x − n√a(

n√x)n − ( n

√a)n

= limx→a

�����n√x − n√a

������(n√x − n√a) ((

n√x)n−1

+(

n√x)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1)

=1(

n√a)n−1

+(

n√a)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1

=1

n(

n√a)n−1 .

Page 385: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(c)

Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

n√x − n√a

x − a.

Rje²enje.

Koriste¢i da je

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1

), a, b ∈ R, n ∈ N,

ra£unamo

limx→a

n√x − n√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

n√x − n√a(

n√x)n − ( n

√a)n

= limx→a

�����n√x − n√a

������(n√x − n√a) ((

n√x)n−1

+(

n√x)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1)

=1(

n√a)n−1

+(

n√a)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1

=1

n(

n√a)n−1 .

Page 386: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(c)

Za a ∈ 〈0,+∞〉 i n ∈ N, izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→a

n√x − n√a

x − a.

Rje²enje. Koriste¢i da je

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + . . .+ bn−1

), a, b ∈ R, n ∈ N,

ra£unamo

limx→a

n√x − n√a

x − a=

(0

0

)= lim

x→a

n√x − n√a(

n√x)n − ( n

√a)n

= limx→a

�����n√x − n√a

������(n√x − n√a) ((

n√x)n−1

+(

n√x)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1)

=1(

n√a)n−1

+(

n√a)n−2 · n

√a + . . .+

(n√a)n−1

=1

n(

n√a)n−1 .

Page 387: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)

= limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x(√x2 + 3x + 2x

) = limx→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 388: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)

= limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x(√x2 + 3x + 2x

) = limx→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 389: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)= lim

x→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x(√x2 + 3x + 2x

) = limx→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 390: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)= lim

x→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x(√x2 + 3x + 2x

) = limx→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 391: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)= lim

x→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x(√x2 + 3x + 2x

) = limx→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 392: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)= lim

x→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x(x − 1)

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 393: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)= lim

x→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x����(x − 1)

����(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 394: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)= lim

x→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x����(x − 1)

����(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 395: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)= lim

x→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x����(x − 1)

����(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1

= −3

4.

Page 396: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(d)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1.

Rje²enje. Imamo

limx→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1=

(0

0

)= lim

x→1

√x2 + 3x − 2x

x − 1·√x2 + 3x + 2x√x2 + 3x + 2x

= limx→1

x2 + 3x − 4x2

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x2 + 3x

(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x)

= limx→1

−3x����(x − 1)

����(x − 1)(√

x2 + 3x + 2x) = lim

x→1

−3x√x2 + 3x + 2x

=−3 · 1√

12 + 3 · 1 + 2 · 1= −3

4.

Page 397: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 398: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 399: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 400: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 401: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 402: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 403: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 404: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2

= −√

1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 405: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 406: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 407: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 408: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. Imamolim

x→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

= limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)·√x2 − 5x + 4− x√x2 − 5x + 4− x

= limx→−∞

−5x + 4√x2 − 5x + 4− x

·1x1x

= limx→−∞

−5 + 4x√

x2−5x+4x − 1

.

Kako za sve x ∈ 〈−∞, 0〉 vrijedi x = −√x2, imamo

√x2 − 5x + 4

x=

√x2 − 5x + 4

−√x2

= −√

x2 − 5x + 4

x2= −

√1− 5

x+

4

x2, x ∈ 〈−∞, 0〉 ,

pa je

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= lim

x→−∞

−5 + 4x

−√

1− 5x + 4

x2− 1

=−5 + 0

−√1− 0 + 0− 1

=5

2.

Page 409: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in.

Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 410: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 411: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]

= limt→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 412: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)

= limt→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 413: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 414: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 415: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 416: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 417: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 418: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 419: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 420: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1

=5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 421: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Zadatak 42(e)

Izra£unajte sljede¢i limes (ako postoji): limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

).

Rje²enje. 2. na£in. Imamo

limx→−∞

(√x2 − 5x + 4 + x

)= ((+∞) + (−∞))

=

[t = −x ; x = −t

x → −∞ ⇒ t → +∞

]= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)= lim

t→+∞

(√t2 + 5t + 4− t

)·√t2 + 5t + 4 + t√t2 + 5t + 4 + t

= limt→+∞

5t + 4√t2 + 5t + 4 + t

·1t1t

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t + 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4√t2

+ 1

= limt→+∞

5 + 4t√

t2+5t+4t2

+ 1= lim

t→+∞

5 + 4t√

1 + 5t + 4

t2+ 1

=5 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

5

2,

pri £emu sedma jednakost vrijedi jer je t =√t2 za sve t ∈ [0,+∞〉.

Page 422: De nicijaszunar/m1_materijali...sinx ne postoji. Primjer 1(f) sin 1 x 1 1 x y lim x!0 + sin 1 x i lim x!0 sin 1 x ne postoje. Primjer 1(g) x y ln 2 1 1 lim x! 2 lnx i lim x! 2 + lnx

Oprez!

limx→0

sin x

x6= lim

x→0

sin 0

x= lim

x→00 = 0.