Movimientos. Teorema de Cartan-Dieudonn´e. · PDF file Cap´ıtulo 5 Movimientos....

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  • Caṕıtulo 5

    Movimientos. Teorema de Cartan-Dieudonné. Semejanzas.

    5.1 Isometŕıas y movimientos

    Partimos de un espacio eucĺıdeo (X,V, +) y recordemos que una isometŕıa de V es un elemento ϕ ∈ Gl(V ) que conserva el producto escalar, i.e. tal que

    ϕ(u) · ϕ(v) = u · v , ∀u,v ∈ V. Sabemos que, si B = {u1,u2, ...,un} es una base ortonormal de V , entonces ϕ ∈ Gl(V ) es una isometŕıa si y sólo si ϕ(B) = {ϕ(u1), ϕ(u2), ..., ϕ(un)} es una base ortonormal de V y esto ocurre si y sólo si la matriz M de ϕ respecto de B es ortogonal (i.e. MM t = I, la matriz unidad). En este caso, det(M) = ±1.

    El conjunto O(V ) de las isometŕıas de V es un grupo multiplicativo, por lo anterior, que se llama el grupo ortogonal de V . Dentro de él, las isometŕıas de determinante positivo forman un subgrupo normal que se representa por O+(V ). Definición 5.1.1.– Un movimiento en X es una aplicación af́ın f : X → X que conserva las distancias, es decir, tal que, para todo P, Q ∈ X, es

    d(f(P ), f(Q)) = d(P,Q)

    El conjunto de los movimientos de X se nota por Mo(X). El siguiente teorema establece una caracteri- zación de las aplicaciones afines que son movimientos.

    Teorema 5.1.2.– Sea f una aplicación af́ın; las condiciones siguientes son equivalentes:

    1. f ∈ Mo(X), es decir, f conserva la distancia. 2. ∀u ∈ V se tiene |−→f (u)| = |u|, es decir, −→f conserva los módulos de los vectores. 3. ∀u,v ∈ V,−→f (u) • −→f (v) = u • v, es decir, −→f es una isometŕıa (conserva el producto escalar).

    Demostración: 1. ⇒ 2. Sean P,Q ∈ X tales que −−→PQ = u; entonces

    |−→f (u)| = |−→f (−−→PQ)| = |−−−−−−→f(P )f(Q)| = d(f(P ), f(Q)) = d(P, Q) = |u|.

    1

  • 2 CAPÍTULO 5. MOVIMIENTOS. TEOREMA DE CARTAN-DIEUDONNÉ. SEMEJANZAS.

    2. ⇒ 3. Sean u,v ∈ V . Se tiene:

    |u− v|2 = (u− v)2 = u2 + v2 − 2u • v Y por la conservación de los módulos será:

    |u− v|2 = |−→f (u− v)|2 = |−→f (u)−−→f (v)|2 = (−→f (u)−−→f (v))2 =

    = −→f (u)2 +−→f (v)2 − 2−→f (u) • −→f (v) = u2 + v2 − 2−→f (u) • −→f (v). Entonces, u • v = −→f (u) • −→f (v). 3. ⇒ 1.

    d(f(P ), f(Q))2 = |−−−−−−→f(P )f(Q)|2 = |−→f (−−→PQ)|2 = −→f (−−→PQ) • −→f (−−→PQ) = −−→PQ • −−→PQ = |−−→PQ|2 = d(P, Q)2

    Corolario 5.1.3.– Los movimientos son afinidades.

    Demostración: Una aplicación af́ın f es un movimiento si y sólo si −→f ∈ O(V ). Por ser O(V ) ⊂ Gl(V ), se tiene que Mo(X) ⊂ GA(X). Nota 5.1.4.– El conjunto Mo(X) de los movimientos de X es un subgrupo de GA(X), imagen inversa de O(V ) por el homomorfismo

    Ψ : GA(X) −→ Gl(V ) f −→ −→f .

    La imagen inversa de O+(V ) es un subgrupo normal Mo(X)+ de Mo(X), cuyos elementos se llaman movimientos directos. Un movimiento inverso es uno no directo. Terminamos la sección con una proposición sobre la conservación de ángulos y otra sobre puntos dobles de una afinidad.

    Proposición 5.1.5.– Los movimientos conservan los ángulos (no orientados), es decir,

    ∀A,B, C ∈ X , ∀f ∈ Mo(X) ̂(−−→AB,−→AC) = ̂(−−−−−−→f(A)f(B),−−−−−−→f(A)f(C))

    Demostración: Sean α = ̂(−−→AB,−→AC) y β = ̂(−−−−−−→f(A)f(B),−−−−−−→f(A)f(C)).

    cos(α) = −−→ AB • −→AC |−−→AB||−→AC| =

    −→ f (−−→AB) • −→f (−→AC) |−→f (−−→AB)||−→f (−→AC)|

    = −−−−−−→ f(A)f(B) • −−−−−−→f(A)f(C) |−−−−−−→f(A)f(B)||−−−−−−→f(A)f(C)|

    = cos(β)

    y de la igualdad de los cosenos se deduce la igualdad de los ángulos no orientados.

    Proposición 5.1.6.– Sea f ∈ GA(X). Si f no tiene puntos dobles, entonces −→f tiene el autovalor 1. Si f tiene puntos dobles y Q es uno de ellos, el conjunto de todos es la variedad lineal af́ın dada por

    Q + ker(idV −−→f )

    Demostración: Sea f ∈ GA(X), y busquemos sus puntos dobles. Fijando P ∈ X se trata de resolver la siguiente ecuación en Q: f(Q) = Q. Pero, poniendo Q = P +−−→PQ, resulta:

    f(Q) = Q ⇔ Q = f(P ) +−→f (−−→PQ) ⇔ −−−−→f(P )Q = −→f (−−→PQ) ⇔ −−−−→ f(P )P +−−→PQ = −→f (−−→PQ) ⇔ (idV −−→f )−−→PQ = −−−−→Pf(P ).

    Por tanto, la no existencia de solución en Q implica que idV −−→f no puede ser un automorfismo, es decir, existe u 6= 0 tal que (idV −−→f )u = 0, esto es, −→f (u) = u, luego −→f admite el autovalor 1. Si Q es doble, entonces P lo es si y sólo si f(P ) = P , esto es, −−→PQ = −→f (−−→PQ), de donde, (idV −−→f )−−→PQ = 0,−−→ PQ ∈ ker(idV −−→f ) y de aqúı la conclusión final.

  • 5.2. CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS EN EL PLANO 3

    5.2 Clasificación de los movimientos en el plano

    Nuestro objetivo en esta sección es dar una lista de los movimientos en el plano. Vamos a usar métodos puramente algebraicos para confeccionar esta lista. La razón es que conocemos las formas canónicas de las isometŕıas, según se han estudiado en Algebra.

    Nota 5.2.1.– Dado un endomorfismo ortogonal −→f , existe una base ortonormal de V respecto de la cual la matriz de −→f es diagonal por cajas, siendo éstas submatrices de la forma

    (1) , (−1) , (

    a b −b a

    ) con a2 + b2 = 1 , b 6= 0

    Por lo tanto en nuestro caso (dimensión 2), las posibles matrices de −→f podrán ser: (

    1 0 0 1

    ) ,

    ( 1 0 0 −1

    ) ,

    ( −1 0 0 −1

    ) ,

    ( a b −b a

    ) con a2 + b2 = 1 , b 6= 0

    Vamos a ver en las siguientes notas cada uno de los casos que pueden darse.

    Notas 5.2.2.– Sea f un movimiento de ecuaciones

    (1, x′, y′) = (1, x, y)

     

    1 α β 0 1 0 0 0 1

      .

    Haremos su estudio según que tenga o no puntos dobles.

    5.2.2.1. Supongamos que f tiene puntos dobles. Esto implica automáticamente que α = β = 0 y el movimiento es la identidad.

    5.2.2.2. Supongamos que f no tiene puntos dobles, lo que ocurre si y sólo si (α, β) 6= (0, 0). En este caso, ∀P ∈ X es f(P ) = (α + x, β + y), de donde −−−−→Pf(P ) = (α, β) y el movimiento es una traslación de vector u = (α, β). Las rectas dobles de f son las paralelas al vector u.

    Notas 5.2.3.– Sea f un movimiento de ecuaciones

    (1, x′, y′) = (1, x, y)

     

    1 α β 0 1 0 0 0 −1

      .

    Haremos su estudio según que tenga o no puntos dobles.

    5.2.3.1. Supongamos que f tiene puntos dobles. Esto ocurre si y sólo si α = 0. Entonces, el conjunto de los puntos dobles de f es la recta r0 : y = β/2. Cada punto P = (x, y) tiene su imagen f(P ) = (x, β− y), lo que indica que el punto medio de Pf(P ) ∈ r0 y Pf(P ) ⊥ r0. Por eso a f se le llama la simetŕıa axial de eje r0. Se verifican las siguientes propiedades:

    1. f2 = idX .

    2. Las rectas dobles de f son las perpendiculares a r0, más la misma r0.

    5.2.3.2. Supongamos que f no tiene puntos dobles, lo que ocurre si y sólo si α 6= 0. Es fácil comprobar que 

     1 α β 0 1 0 0 0 −1

      =

     

    1 0 β 0 1 0 0 0 −1

     

     

    1 α 0 0 1 0 0 0 1

      =

     

    1 α 0 0 1 0 0 0 1

     

     

    1 0 β 0 1 0 0 0 −1

     

    lo que prueba que f es producto conmutativo de una simetŕıa σ respecto de una recta r0 por una traslación τ de vector paralelo a r0. Este movimiento es una simetŕıa axial con deslizamiento. La única recta doble de f es r0.

  • 4 CAPÍTULO 5. MOVIMIENTOS. TEOREMA DE CARTAN-DIEUDONNÉ. SEMEJANZAS.

    Nota 5.2.4.– Sea f un movimiento de ecuaciones

    (1, x′, y′) = (1, x, y)

     

    1 α β 0 −1 0 0 0 −1

      .

    Entonces f tiene un único punto doble, que es A = (α/2, β/2). Cada punto P = (x, y) se transforma en f(P ) = (α − x, β − y), y aśı A es el punto medio del segmento Pf(P ). Por esta razón se llama a f la simetŕıa central de centro A. Las rectas dobles de f son las que pasan por A.

    Nota 5.2.5.– Sea f un movimiento de ecuaciones

    (1, x′, y′) = (1, x, y)

     

    1 α β 0 a b 0 −b a

      , a2 + b2 = 1 , b 6= 0.

    El cálculo de los puntos dobles de f nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones.

    x = α + ax− by y = β + bx + ay

    } esto es,

    (1− a)x + by = α −bx + (1− a)y = β

    }

    El determinante principal de este sistema es ∣∣∣∣

    1− a b −b 1− a

    ∣∣∣∣ = 2(1− a)

    que es distinto de cero porque al ser b 6= 0, es a 6= 1. Por lo tanto este sistema siempre tiene solución única y, aśı, f tiene un único punto doble A. A este movimiento se le llama giro de centro A. Dado un punto cualquiera P ∈ X veamos cuál es su transformado f(P ). Para ello vamos a calcular el ángulo (orientado) que forman los vectores −→AP y −−−−→Af(P ). Supongamos que las coordenadas de −→AP son (v1, v2) y calculemos el producto escalar de ambos vectores:

    −→ AP • −−−−→Af(P ) = −→AP • −−−−−−→f(A)f(P ) = −→AP • −→f (−→AP )