Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes) · 1.4 Teorema de Laplace ... não depende de θ....

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  • lgebra Linear - Exerccios(Determinantes)

  • ndice1 Teoria dos Determinantes 31.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Clculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Determinantes e Regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Teorema de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Miscelnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2

  • 1 Teoria dos Determinantes

    1 Teoria dos Determinantes

    1.1 Propriedades

    Exerccio 1 Considere as seguintes matrizes:

    A =

    5 23 4

    B =

    3 62 3

    a) Calcule |A| e |B|.b) Calcule |AB| sem realizar o produto AB.c) Calcule

    A1

    , se existir, sem calcular A1.

    Soluo

    a) Dado que se tratam matrizes de ordem 2, utilizemos a regra da cruz:

    |A| =5 23 4

    = 5 (4) 2 3 = 26

    |B| =3 62 3

    = 3 3 (6) 2 = 21

    b) Sabendo que |AB| = |A| |B|, teremos |AB| = |A| |B| = (26) 21 = 546.c) Sabendo que

    A1

    = 1|A| , teremos

    A1

    = 1|A| =

    126 = 126 .

    Exerccio 2 Seja A Mn (R) e |A| = 2. Determine

    a)A2

    b) |3A|c)A1

    d)Ak

    e)AT

    Soluo

    a)A2= |A| |A| = 2 2 = 4

    b) |3A| = 32 |A| = 9 2 = 18c)A1

    = 1|A| =

    12

    3

  • 1 Teoria dos Determinantes

    d)Ak= |A|k = 2k

    e)AT= |A| = 2

    Exerccio 3 Mostre, calculando directamente os determinantes, as seguintesigualdades:

    a)

    a1 a2 a3a1 a2 a3c1 c2 c3

    = 0

    b)

    a1 a2 a3b1 b2 b3a1 a2 a3

    = 0

    c)

    a1 a2b1 b2

    =

    b1 b2a1 a2

    Soluo

    a) Utilizemos a regra de Sarrus: a1 a2 a3a1 a2 a3c1 c2 c3

    = a1a2c3+a2a3c1+a3a1c2a3a2c1a2a1c3a1a3c2 = 0

    b) Utilizemos a regra de Sarrus: a1 a2 a3b1 b2 b3a1 a2 a3

    = a1b2a3+a2b3a1+a3b1a2a3b2a1a2b1a3a1b3a2 = 0

    c)

    a1 a2b1 b2

    = a1b2 a2b1

    b1 b2a1 a2

    = (b1a2 b2a1) = b2a1 b1a2 = a1b2 a2b1 =

    a1 a2b1 b2

    Exerccio 4 Seja A a matriz a seguir indicada onde a, b e c so escalares nonulos. Adicionalmente, seja C uma matriz de ordem 3 tal que |C| = 0.

    A =

    a 0 00 b 00 0 c

    a) Calcule |A|.

    4

  • 1 Teoria dos Determinantes

    b) CalculeA1

    .

    c) CalculeAT.

    d) Calcule |AC|.

    e) Calcule

    0 0 a0 b 0c 0 0

    .

    Soluo

    a) |A| = abc, porque A uma matriz diagonal, logo o detreminante igualao produto dos elementos da diagonal principal.

    b)A1

    = 1abc , se A for regular.

    c)AT= |A|, logo AT = abc.

    d) |AC| = |A| |C|, logo |AC| = (abc) 0 = 0.

    e)

    0 0 a0 b 0c 0 0

    resulta de A por troca das linhas 1 e 3, logo

    0 0 a0 b 0c 0 0

    =

    |A| = abc.Alternativamente, poderemos aplicar a regra de Sarrus para verificar queo nico termo no nulo da matriz A o termo abc, de paridade mpar,donde o resultado.

    Exerccio 5 Considere uma matriz A, quadrada de ordem n. Sejam tambmas seguintes matrizes: B1, que se obtm de A somando linha i desta matrizuma constante k; B2, que se obtm de A subtraindo linha i desta matriz amesma constante k. Mostre que:

    |A| = 12(|B1|+ |B2|)

    Soluo

    Exerccio 6 Sejam a, b, c, e, f, p, q, r, s, t, u R quaisquer escalares. Calcule odeterminante da seguinte matriz:

    a b c0 d e0 0 f

    p 0 0q r 0s t u

    5

  • 1 Teoria dos Determinantes

    SoluoSabendo que |AB| = |A| |B|, teremos: a b c0 d e0 0 f

    p 0 0q r 0s t u

    = a b c0 d e0 0 f

    p 0 0q r 0s t u

    Sabendo agora que o determinante de uma matriz triangular superior (ou

    inferior) igual ao produto dos elementos da diagonal principal, teremos: a b c0 d e0 0 f

    = adf p 0 0q r 0s t u

    = pruO determinante pedido ter portanto o valor (adf) (pru) = adfpru.

    Exerccio 7 Mostre que, se A uma matriz de ordem n satisfazendo A5 = 0,ento |A| = 0.

    SoluoA5 = 0 A5 = 0 |A|5 = 0 |A| = 0

    Exerccio 8 Seja A Mn (K). Mostre que det ( A) = n det (A) ,K.

    Soluo

    1.2 Clculo de Determinantes

    Exerccio 9 Calcule, por condensao, os determinantes das seguintes ma-trizes:

    a)

    2 2 3 51 3 6 04 5 2 33 2 4 7

    b)

    2 0 1 41 2 1 06 0 3 124 1 1 2

    c)

    1 1 1 00 2 0 32 0 2 00 1 0 1

    d)2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 1 00 0 1 2 10 0 0 1 2

    6

  • 1 Teoria dos Determinantes

    e) 5

    1 23 4

    3

    2 34 5

    f)

    1 1 22 1 11 2 1

    g)

    1 2 33 1 22 3 1

    h) 2 2 11 0 1

    3 1 3

    i)

    0 2 0 03 4 0 02 7 4 06 8 1 5

    Soluo

    Exerccio 10 Calcule o determinante da seguinte matriz:

    3 0 0 03 2 0 00 1 2 02 0 1 1

    2 6 0 50 3 8 20 0 4 90 0 0 6

    Soluo

    Exerccio 11 Resolva as seguintes equaes:

    a)

    x 2 11 2 11 0 1

    = 0; b)

    x

    2 x 14 2 19 3 1

    = 0

    SoluoEm ambos os casos utilizamos a regra deSarrus para calcular o determinante

    de ordem 3.

    a)

    x 2 11 2 11 0 1

    = 0 2x+ 0 + 2 (2 + 0 2) = 0

    2x = 0 x = 0

    7

  • 1 Teoria dos Determinantes

    b)

    x

    2 x 14 2 19 3 1

    = 0 2x2 12 + 9x 18 3x2 + 4x = 0

    5x2+5x30 = 0 x2+x6 = 0 x = 11+242 x = 3x = 2

    Exerccio 12 Seja

    A (x) =

    2 x 3 40 4 x 51 1 3 x

    Calcule det (A) e determine dA(x)dx .

    SoluoUtilizemos a regra de Sarrus para calcular o determinante pedido:

    |A (x)| = 2 x 3 40 4 x 5

    1 1 3 x

    =

    = (2 x) (4 x) (3 x) + 0 15 (4 (4 x) + 5 (2 x) + 0) == 17 17x+ 9x2 x3.dA(x)dx =

    ddx

    17 17x+ 9x2 x3 = 17 + 18x 3x2Exerccio 13 Verifique que

    a b c 2a 2a2b b c a 2b

    2c 2c c a b

    = (a+ b+ c)3

    Calcule det (A) e determine dA(x)dx .

    Soluo

    1.3 Determinantes e Regularidade

    Exerccio 14 Recorra ao clculo de determinantes para determinar a regular-idade das seguintes matrizes:

    A =

    1 31 2

    , B =

    1 21 2

    , C =

    0 30 4

    D =

    1 11 2

    , E =

    3 2 01 1 24 3 2

    8

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Soluo

    Exerccio 15 Mostre que falsa a seguinte proposio: |A| = 1 = A1 = A.

    Soluo

    Vamos exibir um contra-exemplo. Por exemplo, tome-se A =2 11 1

    .

    Tem-se obviamente |A| = 1. No entanto,

    A1 =1

    |A| A = A

    =

    1 11 2

    T=

    1 11 2

    Logo A1 6= A.

    Exerccio 16 Determine o escalar k para o qual a matriz A =

    1 2 k3 1 15 3 5

    singular.

    SoluoUtilizemos a regra de Sarrus para calcular o determinante de A.

    |A| = 1 2 k3 1 15 3 5

    = 5 + 9k + 10 (5k + 3 30)= 42 + 14k

    Conclui-se assim que |A| = 14k + 42. Como A regular se e s se |A| 6= 0,ento, se |A| = 0, a matriz A ser singular:

    |A| = 0 42 + 14k = 0 k = 3

    Logo, A singular se k = 3.

    9

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Exerccio 17 Considere as seguintes matrizes reais:

    i)A =

    1 21 1

    ii)A =

    0 1 11 0 11 1 0

    iii)A = 0 1 21 0 12 1 0

    Utilizando a Teoria dos Determinantes determine os valores para os quais

    a matriz I A singular.

    Soluo

    Exerccio 18 Mostre que o sistema de equaes Ax = b, b Rk tem uma nicasoluo, para as seguintes matrizes do sistema:

    i)A =

    1 23 4

    ii)A =

    0 2 41 2 36 7 9

    Adicionalmente, aplique a regra de Cramer para resolver os sistemas.

    Soluo

    Exerccio 19 Calcule a matriz adjunta das seguintes matrizes:

    i)A =

    1 1 22 3 34 4 1

    ii)A =4 1 1 13 7 1 17 3 5 81 1 1 2

    Adicionalmente, aplique a regra de Cramer para resolver os sistemas de

    equaes

    i)

    1 1 22 3 34 4 1

    x = 321

    ii)4 1 1 13 7 1 17 3 5 81 1 1 2

    x =

    1234

    Soluo

    10

  • 1 Teoria dos Determinantes

    1.4 Teorema de Laplace

    Exerccio 20 Determine os menores complementares e os complementos al-gbricos das seguintes matrizes:

    A =

    2 3 14 5 62 0 2

    ; B = 3 2 31 2 21 3 1

    Soluo

    Exerccio 21 Considere a matriz

    An =

    2 1 0 01 2 1 0 0 1 2 10 0 1 2

    Se det (An) = Dn mostre que Dn = 2Dn1Dn2 e deduza que Dn = n+1.

    Soluo

    Exerccio 22 Se An uma matriz tridiagonal com o valor 1 nas sub e superdiagonais,

    An =

    1 1 0 0 0 01 1 1 0 0 00 1 1 0 0 0.......... . .

    .........

    0 0 0 1 1 00 0 0 1 1 10 0 0 0 1 1

    ... calcule det (An).

    Soluo

    11

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Exerccio 23 Mostre que o determinante

    sen () cos () 0 cos () sen () 0sen () cos () sen () + cos () 1

    ... no depende de .

    SoluoCalculemos o determinante aplicando o Teorema de Laplace 3a coluna:

    |A| = 0 A31 + 0 A32 + 1 A33= A33

    = (1)3+3M33=

    sen () cos () cos () sen ()

    = sin2 + cos2 = 1

    Assim, dado que |A| = 1 6= 0,R,conclui-se que A regular R.

    Exerccio 24 Mostre que a matriz,

    A =

    cos () sin () 0 sin () cos () 00 0 1

    ... regular qualquer que seja . Determine a sua inversa utilizando a matriz

    adjunta.

    SoluoCalculemos o determinante aplicando o Teorema de Laplace 3a linha:

    |A| = 0 A31 + 0 A32 + 1 A33= A33

    = (1)3+3M33=

    cos () sin () sin () cos ()

    = cos2 + sin2 = 1

    Assim, dado que |A| = 1 6= 0,R,conclui-se que A regular R.

    12

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Calculemos ento a matriz adjunta, A:

    A=

    A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33

    T

    =

    (1)1+1 cos () 00 1(1)1+2 sin () 00 1

    (1)1+3 sin () cos ()0 0

    (1)2+1 sin () 00 1

    (1)2+2 cos () 00 1

    (1)2+3 cos () sin ()0 0

    (1)3+1 sin () 0cos () 0

    (1)3+2 cos () 0 sin () 0

    (1)3+3 cos () sin () sin () cos ()

    T

    =

    (1)1+1 cos () (1)1+2 ( sin ()) (1)1+3 0(1)2+1 sin () (1)2+2 cos () (1)2+3 0(1)3+1 0 (1)3+2 0 (1)3+3 1

    T

    =

    cos () sin () 0 sin () cos () 00 0 1

    T = cos sin 0sin cos 0

    0 0 1

    Logo A1 = 1|A| A = A =

    cos sin 0sin cos 00 0 1

    .Exerccio 25 Calcule o determinante da seguinte matriz por aplicao do Teo-rema de Laplace 3a linha,

    A =

    2 4 04 6 36 10 0

    Soluo

    Exerccio 26 Determine a inversa, se existir, das seguintes matrizes recor-rendo Teoria dos Determinantes:

    a)A =

    1 2 31 1 22 3 1

    b)A = 1 1 31 2 4

    1 1 0

    c)A =

    1 43 1

    d)A =

    0 0 21 2 63 7 9

    13

  • 1 Teoria dos Determinantes

    e)A =

    1 1 0 10 0 1 11 1 1 11 0 0 1

    f)A =1 1 0 10 1 1 11 0 1 01 1 0 1

    g)A =

    1 1 11 1 02 0 0

    h)A = 2 2 41 0 10 1 0

    i)A =

    4 6 30 0 70 0 5

    j)A = 2 0 00 5 00 0 7

    l)A =

    1 2 4 60 1 2 00 0 1 20 0 0 2

    m)A = 1 2 34 5 67 8 9

    n)A =

    2 6 0 56 21 8 174 12 4 130 3 12 2

    o)A = 2 4 04 6 36 10 0

    p)A =

    2 3 41 2 35 1 2

    q)A = 2 0 30 3 11 4 2

    r)A =

    1 0 22 1 30 1 1

    s)A = 1 2 00 1 12 1 1

    t)A =

    1 0 1 2 11 1 0 0 21 0 1 1 21 1 2 0 11 0 2 0 1

    Soluo

    14

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Exerccio 27 Considere a matriz,

    A =

    a b 0 1b a 0 00 0 a c1 0 c a

    Calcule |A| com recurso ao Teorema de Laplace.

    Soluo

    Exerccio 28 Mostre que o determinante de Vandermonde satisfaz a seguinteigualdade:

    1 1 1x1 x2 xnx21 x

    22 x2n

    ......

    . . ....

    xn11 xn12 xn1n

    =

    Y1i

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Exerccio 30 Mostre que, se a 6= b:

    a+ b ab 0 0 01 a+ b ab 0 00 1 a+ b 0 0...

    ......

    . . ....

    ...0 0 0 1 a+ b ab0 0 0 0 1 a+ b

    =an+1 bn+1

    a b

    Qual a soluo se a = b?

    Soluo

    Exerccio 31 Calcule o seguinte determinante de ordem n+ 2:

    0 1 1 1 11 0 a1 a2 an1 a1 0 a1 + a2 a1 + an1 a2 a2 + a1 0 a2 + an...

    ......

    .... . .

    ...1 an an+ a1 an+ a2 0

    Soluo

    1.5 Miscelnea

    Exerccio 32 Considere a matriz,

    A =

    0 1 00 0 10 0 0

    a) Calcule A3.

    b) Utilize lgebra matricial para calcular (I A) I +A+A2.c) Calcule |A|, |I A| e I +A+A2.

    16

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Soluo

    Exerccio 33 Considere as matrizes,

    A =

    1 1 00 1 10 0 2

    , B = 0 1 00 0 10 0 0

    , C = 0 0 00 0 10 0 1

    a) Mostre que A+B3 = A.

    b) Sabendo que

    A = AB 12AB2 B3 1

    2AC + I

    ... obtenha a expresso matricial da inversa da matriz A e aproveite oresultado para calcular A1.

    c) Sabendo que M = 12A+B3

    TD1 e |D| = 12 calcule o determinante da

    matriz M . O resultado obtido permite estabelecer alguma relao entre amatriz M e a inversa da matriz A.

    Soluo

    Exerccio 34 Considere a matriz A M4 (R) e simtrica, definida da seguinteforma:

    aii =

    2, i = 1

    2 + 2, i = 2, 3, 4; aij = , i = 1, 2, 3; j = i+ 1

    ... com , R\ {0}. Seja B uma matriz triangular inferior, cujos elemen-tos so definidos por:

    bij =

    , i = j = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3; i = j + 10, outros casos

    a) Mostre que A = BBT .

    b) Obtenha o determinante de A.

    17

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Soluo

    Exerccio 35 Mostre que o determinante da matriz de ordem n,

    A =

    x a a aa x a a...

    .... . .

    ......

    a a x aa a a x

    ... igual a (x+ (n 1) a) (x a)n1.

    SoluoComecemos por proceder condensao da primeira coluna da matriz A

    atravs de operaes de Jacobi, as quais, como sabemos, no alteram o valor deum determinante:

    |A| =

    x a a aa x a a...

    .... . .

    ......

    a a x aa a a x

    (fazendo Li Li + (a)Ln, i = 1, , n 1)

    =

    x a 0 0 a x0 x a 0 a x...

    .... . .

    ......

    0 0 x a a xa a a x

    (fazendo Cn Cn + Cj , j = 1, , n 1)

    =

    x a 0 0 00 x a 0 0...

    .... . .

    ......

    0 0 x a 0a a a x+ (n 1) a

    Aplicando o Teorema de Laplace ltima coluna da matriz obtida, teremos:

    18

  • 1 Teoria dos Determinantes

    |A| =

    x a 0 0 00 x a 0 0...

    .... . .

    ......

    0 0 x a 0a a a x+ (n 1) a

    = [x+ (n 1) a] (1)n+n

    x a 0 00 x a 0...

    .... . .

    ...0 0 x a

    = [x+ (n 1) a] (x a)n1

    Exerccio 36 Exprima o determinante da seguinte matriz de ordem n comoum polinmio em x.

    x 0 0 0 0 an1 x 0 0 0 an10 1 x 0 0 an2...

    ......

    . . ....

    ......

    0 0 0 x 0 a30 0 0 1 x a20 0 0 0 1 x a1

    SoluoComecemos por aplicar n 1 operaes de Jacobi sobre as colunas:1a operao: C2 C2 + (x)C1:

    x x2 0 0 0 an1 0 0 0 0 an10 1 x 0 0 an2...

    ......

    . . ....

    ......

    0 0 0 x 0 a30 0 0 1 x a20 0 0 0 1 x a1

    2a operao: C3 C3 + (x)C2:

    19

  • 1 Teoria dos Determinantes

    x x2 x3 0 0 an1 0 0 0 0 an10 1 0 0 0 an2...

    ......

    . . ....

    ......

    0 0 0 x 0 a30 0 0 1 x a20 0 0 0 1 x a1

    ( )(n 2) esima operao: Cn1 Cn1 + (x)Cn2:

    x x2 x3 xn2 xn1 an1 0 0 0 0 an10 1 0 0 0 an2...

    ......

    . . ....

    ......

    0 0 0 0 0 a30 0 0 1 0 a20 0 0 0 1 x a1

    (n 1) esima operao: Cn Cn + (x+ a1)Cn1:

    x x2 x3 xn2 xn1 an xn1 (x+ a1)1 0 0 0 0 an10 1 0 0 0 an2...

    ......

    . . ....

    ......

    0 0 0 0 0 a30 0 0 1 0 a20 0 0 0 1 0

    Apliquemos agora n 2 operaes de Jacobi sobre as colunas:1a operao: Cn Cn + an1C1:

    x x2 x3 xn2 xn1 an xn1 (x+ a1) + an1x1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 an2...

    ......

    . . ....

    ......

    0 0 0 0 0 a30 0 0 1 0 a20 0 0 0 1 0

    2a operao: Cn Cn + an2C2:

    x x2 x3 xn2 xn1 an xn1 (x+ a1) + an1x an2x21 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0...

    ......

    . . ....

    ......

    0 0 0 0 0 a30 0 0 1 0 a20 0 0 0 1 0

    ( )

    20

  • 1 Teoria dos Determinantes

    (n 2) esima operao: Cn Cn + a2Cn2:

    x x2 x3 xn2 xn1 an xn1(x+ a1) + an1xn2Pj=2anjxj

    1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0...

    ....... . .

    ......

    ...0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0

    Apliquemos agora o Teorema de Laplace ltima coluna da matriz obtida:an xn1 (x+ a1) + an1x an2x2 anxn2 (1)1+n |In1| ==an xn1 (x+ a1) + an1x an2x2 anxn2 (1)1+n =

    = (1)1+n an + an1x an2x2 a2xn2 a1xn1 xnA expresso anterior , obviamente, um polinmio de grau n em x.

    Exerccio 37 Calcule os seguintes determinantes:

    i)

    x y z ty z t xz t x yt x y z

    ii)

    x 1 0 01 x 1 00 1 x 10 0 1 1

    Soluo

    Exerccio 38 Seja a matriz,

    A =

    a b cd e fg h i

    a) Calcule det (A t I3) e exprima-o como um polnmio em t da forma

    + t+ t2 + t3

    b) Como que os coeficiente e da equao anterior esto relacionadoscom tr (A) e det (A)?

    21

  • 1 Teoria dos Determinantes

    Soluo

    Exerccio 39 Seja a matriz A Mn (K).

    a) A matriz A diz-se nilpotente se Ap = 0n para algum p Z+. Mostre que,se A nilpotente ento det (A) = 0.

    b) A matriz A diz-se anti-simtrica se AT = A. Mostre que, se A anti-simtrica e n par ento det (A) = 0.

    b) A matriz A diz-se ortogonal se AAT = I. Mostre que, se A ortogonalento det (A) = 1.

    Soluo

    Exerccio 40 Sabendo que 7, 956, 8, 766, 1, 233 e 4, 590 so todos divisveis por9, mostre que det (B) tambm divisvel por 9 sem avaliar det (B) explicita-mente.

    B =

    7 9 5 68 7 6 61 2 3 34 5 9 0

    Soluo

    Exerccio 41 Seja

    D =

    A B0 C

    Mn (K)

    ... onde A Mq (K), C Mr (K), r+q = n. Adicionalmente, B Mqr (K)e 0 a matriz nula de ordem r q. Mostre, por induo sobre r, que:

    det (D) = det (A) det (C)

    Soluo

    22