Tema 2

El Teorema de existencia yunicidad de Picard

1 Formulacion integral del Problema de Cauchy

El objetivo del presente Tema, y del siguiente, es analizar el Problema de Cauchypara un SDO de primer orden en forma normal. En concreto, consideremos elproblema

(PC)

y′ = f(x, y),

y(x0) = y0,

con f : Ω ⊂ IRN+1 → IRN , una funcion dada, siendo N ≥ 1 entero, y donde(x0, y0) ∈ Ω esta fijado. Recordemos que cuando usamos la notacion (x, y) ∈IRN+1, ello significa que x ∈ IR e y ∈ IRN . Recordemos tambien, que si N = 1,el SDO y′ = f(x, y) es en realidad una EDO de primer orden en forma normal,y si N > 1, entonces (PC) es una notacion abreviada para el problema

y′1 = f1(x, y1, ..., yN ),

...............................,

...............................,

y′N = fN (x, y1, ..., yN ),

y1(x0) = y10 , ......, yN (x0) = yN0 .

Como ya dijimos en el Tema 1, dado I ⊂ IR intervalo de interior no vacıotal que x0 ∈ I, una solucion del problema (PC) en el intervalo I, es cualquierfuncion ϕ : I → IRN , tal que :

(i) Existe el vector derivada (componente a componente) ϕ′(x) en todo puntox ∈ I, donde si x es un extremo de I, ϕ′(x) denota a la correspondientederivada lateral,

1

2

(ii) (x, ϕ(x)) ∈ Ω, para todo x ∈ I,

(iii) ϕ′(x) = f(x, ϕ(x)), para todo x ∈ I,

(iv) ϕ(x0) = y0.

A partir de ahora, vamos a suponer siempre que Ω es un subconjunto abiertono vacıo de IRN+1, y que f es continua de Ω en IRN , lo que denotaremos

f ∈ C(Ω; IRN ).

En tal caso, es inmediato comprobar que la condicion (i) en la definicion desolucion de (PC) precedente, puede ser sustituida por pedir

(i’) ϕ ∈ C1(I; IRN ).

A continuacion, vamos a ver que (PC) puede ser formulado de otra maneraequivalente que nos va a resultar de utilidad para analizar la existencia desolucion al problema.

Lema 1.1 Supongamos que Ω es un subconjunto abierto no vacıo de IRN+1,y que f ∈ C(Ω; IRN ). Sean I ⊂ IR un intervalo de interior no vacıo tal quex0 ∈ I, y ϕ : I → IRN una funcion dada. Bajo estas condiciones, ϕ es soluciondel problema (PC) en el intervalo I, si y solo si satisface las tres condicionessiguientes, denominadas formulacion integral del problema (PC):

(j) ϕ ∈ C(I; IRN ),

(jj) (x, ϕ(x)) ∈ Ω, para todo x ∈ I,

(jjj) ϕ(x) = y0 +∫ x

x0

f(s, ϕ(s)) ds, ∀x ∈ I, donde la integral esta efectuada

componente a componente.

Demostracion.- Que (i’), (ii), (iii) y (iv) implican (j), (jj) y (jjj), es inme-diato de comprobar, sin mas que integrar en (iii) desde x0 hasta x, y hacer usode (iv).

Recıprocamente, si ϕ satisface (j), (jj) y (jjj), en particular, teniendo encuenta que f ∈ C(Ω; IRN ), la funcion f(s, ϕ(s)) pertenece a C(I; IRn), ya que seobtiene de la composicion de aplicaciones continuas

s ∈ I 7→ (s, ϕ(s)) ∈ Ω 7→ f(s, ϕ(s)) ∈ IRN .

En consecuencia, por (jjj), ϕ(x0) = y0, y derivando, ϕ satisface (iii) e (i’).

La formulacion integral de (PC) permite plantearse este problema desde unpunto de vista abstracto. En concreto, y por simplificar, supongamos por un

3

momento que Ω = IRN+1, y que f ∈ C(IRN+1; IRN ). Sea I ⊂ IR un intervalo deinterior no vacıo y tal que x0 ∈ I. Consideremos la aplicacion

T : ϕ ∈ C(I; IRN ) 7→ Tϕ ∈ C(I; IRN ),

definida por

(Tϕ)(x) = x0 +∫ x

x0

f(s, ϕ(s)) ds, ∀x ∈ I.

Por el Lema precedente, es evidente que ϕ es solucion de (PC) en I si y solo sies un punto fijo de la aplicacion T , es decir,

Tϕ = ϕ.

Resulta por tanto de interes el estudiar condiciones bajo las que una aplicacioncomo T posee puntos fijos. Este estudio, como veremos mas adelante, pasa pordotar al espacio vectorial C(I; IRN ) de una estructura topologica adecuada. Ellova a ser posible en el caso en que I = [a, b] es un intervalo cerrado y acotado.

2 Espacios metricos. Espacios de Banach

Recordemos que un espacio metrico es cualquier par (X, d), donde X es unconjunto no vacıo, y d es una distancia sobre X, es decir, es una aplicacion

d : (x, y) ∈ X ×X 7→ d(x, y) ∈ [0, +∞),

tal que para todo x, y, z ∈ X,

1. d(x, y) = d(y, x),

2. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y),

3. d(x, y) = 0 si y solo si x = y.

Si (X, d) es un espacio metrico, se dice que A ⊂ X es un conjunto abiertosi para cada punto a ∈ A existe un εa > 0 tal que B(a; εa) ⊂ A, donde, pordefinicion,

B(a; εa) = x ∈ X; d(x, a) < εa.De esta forma, queda definida sobre X una estructura de espacio topologico. Enparticular, un subconjunto C ⊂ X sera cerrado si y solo si su complementarioX \ C es abierto.

Una propiedad fundamental de la topologıa ası definida sobre un espaciometrico, es que puede ser analizada mediante sucesiones. En concreto, dada una sucesion xnn≥1 ⊂ X, se dice que converge a x ∈ X en (X, d) si

lımn→∞

d(xn, x) = 0.

4

Es bien conocido la unicidad del lımite, es decir, que si xnn≥1 ⊂ X, convergea x ∈ X y a y ∈ X, entonces x = y. Por otra parte, entre otras propiedades, sesatisfacen:

a) Un conjunto C ⊂ X es cerrado, si y solo si, dada cualquier sucesionxnn≥1 ⊂ C, si dicha sucesion converge a x ∈ X, entonces forzosamentex pertenece a C.

b) Sean (Y, d) otro espacio metrico, y T : X → Y una aplicacion. Entonces, Tes continua, es decir la imagen inversa T−1(A) es abierto de X cualquieraque sea el abierto A de Y , si y solo si dada cualquier sucesion xnn≥1 ⊂ X,si dicha sucesion converge a x en X, entonces forzosamente la sucesionTxnn≥1 converge a Tx en Y.

Una clase muy importante de espacios metricos la constituyen los espa-cios normados (sobre IR). Recordemos que un espacio normado (sobre IR) escualquier par (X, ‖ · ‖), tal que X es un espacio vectorial sobre IR, y ‖ · ‖ es unanorma sobre X, es decir, es una aplicacion

‖ · ‖ : x ∈ X 7→ ‖x‖ ∈ [0,+∞),

tal que para todo x, y ∈ X, y todo λ ∈ IR,

1. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖,2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖,3. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

Si (X, ‖ · ‖) es un espacio normado, entonces es un espacio metrico con ladistancia definida por

d(x, y) = ‖x− y‖, ∀x, y ∈ X,

que se denomina la distancia asociada a la norma ‖ · ‖.Observacion 2.1 Evidentemente, todo subconjunto no vacıo de un espacio me-trico es un espacio metrico si sobre el consideramos la misma distancia. Enparticular, todo subconjunto no vacıo de un espacio normado es un espaciometrico si sobre el consideramos la distancia asociada a la norma.

Tambien, es inmediato que todo subespacio vectorial de un espacio normadoes un espacio normado si sobre el consideramos la misma norma.

Un primer ejemplo de espacio normado lo constituye IRN dotado de la normaeuclıdea ‖ · ‖2, definida por

‖y‖2 =

(N∑

i=1

y2i

)1/2

, ∀ y ∈ IRN .

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Otras normas posibles sobre IRN son

‖y‖∞ = max1≤i≤N

|yi|, ∀ y ∈ IRN ,

y

‖y‖1 =N∑

i=1

|yi|, ∀ y ∈ IRN .

A partir de ahora, por razones de conveniencia notacional, denotaremos por |y|a la norma euclıdea de y ∈ IRN .

Consideremos ahora el espacio vectorial C([a, b], IRN ), donde −∞ < a < b <+∞. Sobre dicho espacio podemos considerar tambien las tres normas siguientes:

‖ϕ‖2 =

(∫ b

a

|ϕ(x)|2 dx

)1/2

, ∀ϕ ∈ C([a, b]; IRN ),

‖ϕ‖1 =∫ b

a

|ϕ(x)| dx, ∀ϕ ∈ C([a, b]; IRN ),

‖ϕ‖∞ = maxx∈[a,b]

|ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C([a, b]; IRN ).

Sean X un espacio vectorial sobre IR, y ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 dos normas sobre X.Por definicion, ambas normas son equivalentes si existen dos constantes α > 0y β > 0 tales que

α‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ β‖x‖1, ∀x ∈ X.

En tal caso, las topologıas inducidas en X por ambas normas coinciden.Es bien conocido que en IRN (de hecho en todo espacio vectorial sobre IR de

dimension finita) todas las normas son equivalentes. Sin embargo, en general,no es esta la situacion. Como veremos mas adelante, las tres normas antesdefinidas en C([a, b]; IRN ) no son equivalentes.

Definicion 2.2 Sea (X, d) un espacio metrico. Una sucesion xnn≥1 ⊂ X sedice que es de Cauchy si

lımn,m→∞

d(xn, xm) = 0,

es decir, si para cada ε > 0 existe un n0(ε) tal que

d(xn, xm) ≤ ε, ∀n,m ≥ n0(ε).

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Si una sucesion xnn≥1 ⊂ X converge a x ∈ X, entonces es una sucesion deCauchy. El recıproco no es cierto, ası, por ejemplo, la sucesion de funciones

ϕn(x) =

0, si x ∈ [−1, 0),

nx, si x ∈ [0, 1/n),

1, si x ∈ [1/n, 1],

es de Cauchy en (C([−1, 1]), ‖ · ‖2), pero no es convergente en dicho espacio.

Definicion 2.3 Un espacio metrico se dice completo si toda sucesion de Cauchyen dicho espacio es convergente en el mismo. Un espacio de Banach es cualquierespacio normado que sea completo para la metrica inducida por la norma.

Observacion 2.4 Sean ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 dos normas equivalentes sobre X. En talcaso, (X, ‖ · ‖1) es un espacio de Banach si y solo si (X, ‖ · ‖2) es tambien unespacio de Banach.

El espacio IRN , con cualquier norma, es un espacio de Banach. Sin embargo,segun se desprende del contraejemplo antes expuesto, (C([a, b]), ‖ · ‖2) no es unespacio de Banach. De la misma forma, resulta facil hallar contraejemplosque demuestran que (C([a, b]), ‖ · ‖1) tampoco es un espacio de Banach (ver losejercicios). Mas adelante vamos a demostrar que, en general, (C([a, b]; IRN ), ‖ ·‖∞) es un espacio de Banach, con lo que, en particular, sobre C([a, b]), ‖ · ‖1 y‖ · ‖2 no son normas equivalentes a ‖ · ‖∞.

Observacion 2.5 En general, todo subconjunto cerrado no vacıo de un espaciometrico completo es un espacio metrico completo si sobre el consideramos lamisma distancia. En particular, todo subconjunto cerrado no vacıo de un espaciode Banach es un espacio metrico completo si sobre el consideramos la distanciaasociada a la norma.

Tambien, es inmediato que todo subespacio vectorial cerrado de un espaciode Banach es un espacio de Banach si sobre el consideramos la misma norma.

3 El espacio (C([a, b]; IRN), ‖ · ‖∞)

Consideremos sobre el espacio vectorial C([a, b]; IRN ) la norma

‖ϕ‖∞ = maxx∈[a,b]

|ϕ(x)|.

Dicha norma se denomina tambien la norma de la convergencia uniforme so-bre [a, b], ya que dada una sucesion ϕnn≥1 ⊂ C([a, b]; IRN ), dicha sucesionconverge a ϕ en (C([a, b]; IRN ), ‖ · ‖∞) si y solo si

lımn→∞

(max

x∈[a,b]|ϕn(x)− ϕ(x)|

)= 0,

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es decir, si y solo si para cada ε > 0 dado, existe un n0(ε) tal que

|ϕn(x)− ϕ(x)| ≤ ε, ∀n ≥ n0(ε), ∀x ∈ [a, b],

que no es mas que la expresion de que ϕnn≥1 converge a ϕ uniformemente enel intervalo [a, b].

Se tiene el siguiente resultado

Teorema 3.1 El espacio (C([a, b]; IRN ), ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach.

Demostracion Sea ϕnn≥1 ⊂ C([a, b]; IRN ), una sucesion de Cauchy en elespacio normado (C([a, b]; IRN ), ‖ · ‖∞). En tal caso, para cada ε > 0 dado,existe un n0(ε) tal que

‖ϕn − ϕm‖∞ ≤ ε, ∀n, m ≥ n0(ε),

es decir|ϕn(x)− ϕm(x)| ≤ ε, ∀n ≥ n0(ε), ∀x ∈ [a, b]. (3.1)

En consecuencia, para cada x ∈ [a, b] fijado, la sucesion ϕn(x)n≥1 es deCauchy y por tanto convergente en IRN . Ası pues, tiene sentido definir la funcionϕ : [a, b] → IRN , por

ϕ(x) = lımn→∞

ϕn(x), ∀x ∈ [a, b]. (3.2)

De esta forma, pasando al lımite para m → ∞ en (3.1), obtenemos que paracada ε > 0 dado, existe un n0(ε) tal que

|ϕn(x)− ϕ(x)| ≤ ε, ∀n ≥ n0(ε), ∀x ∈ [a, b]. (3.3)

Queda claro de (3.3), que si ϕ ∈ C([a, b]; IRN ), entonces la sucesion ϕnn≥1

converge a ϕ en (C([a, b]; IRN ), ‖·‖∞), y por tanto, para terminar la demostraciondel teorema, tan solo nos resta comprobar que ϕ es continua en [a, b].

Sea ε > 0 dado, y fijemos un n ≥ n0(ε), con n0(ε) satisfaciendo (3.3).Como ϕn es uniformemente continua, existe un δ(ε) > 0 tal que para todo parx, x ∈ [a, b] que satisfaga |x− x| ≤ δ, se tiene

|ϕn(x)− ϕn(x)| ≤ ε. (3.4)

De esta forma, teniendo en cuenta que

|ϕ(x)− ϕ(x)| ≤ |ϕ(x)− ϕn(x)|+ |ϕn(x)− ϕn(x)|+ |ϕn(x)− ϕ(x)|,de (3.3) y (3.4) obtenemos que dado ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que para todopar x, x ∈ [a, b] que satisfaga |x− x| ≤ δ, se tiene

|ϕ(x)− ϕ(x)| ≤ 3ε,

y por consiguiente ϕ es uniformemente continua en [a, b].

Como consecuencia del teorema precedente, se tiene

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Corolario 3.2 Todo subconjunto cerrado no vacıo de (C([a, b]; IRN ), ‖ · ‖∞),dotado de la metrica asociada a ‖ · ‖∞, es un espacio metrico completo.

Todo subespacio vectorial cerrado de (C([a, b]; IRN ), ‖ · ‖∞), dotado de lamisma norma, es un espacio de Banach.

4 Aplicaciones contractivas. Teorema del puntofijo de Banach

Como ya hemos visto, resulta de interes el estudio de condiciones bajo las queuna aplicacion T : X → X posee un punto fijo. Por conveniencia notacional,usaremos Tx para designar al transformado de x por T .

Definicion 4.1 Sea (X, d) un espacio metrico, y consideremos una aplicacionT : X → X. Se dice que T es contractiva, si existe un numero α ∈ [0, 1) tal que

d(Tx, Ty) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Observacion 4.2 Observese que si T es contractiva, en particular es continua,de hecho es uniformemente continua, como aplicacion de (X, d) en sı mismo.

Observese tambien que en la definicion de aplicacion contractiva, la cons-tante α es estrıctamente menor que 1. En el caso en que la aplicacion T no escontractiva, pero satisface la desigualdad

d(Tx, Ty) ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X,

se dice que T es no expansiva.

Ya veremos mas adelante, y en los ejercicios, ejemplos de aplicaciones contrac-tivas. Para este tipo de aplicaciones se tiene el siguiente importante resultado.

Teorema 4.3 (Teorema del punto fijo de Banach) Sean (X, d) un espaciometrico completo, y T : X → X una aplicacion contractiva. Bajo estas condi-ciones, existe un y solo un punto fijo de T , es decir, existe un y solo un x ∈ Xtal que

T x = x.

Demostracion.- Como T es contractiva, sabemos que existe α ∈ [0, 1) tal que

d(Tx, Ty) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Fijemos un punto x0 ∈ X, y de manera inductiva, definamos

xn = Txn−1, ∀n ≥ 1,

o lo que es equivalente,xn = Tnx0, ∀n ≥ 1,

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donde por Tn denotamos a la composicion de T consigo mismo n veces.En primer lugar, vamos a demostrar que la sucesion xnn≥1 ası definida

es de Cauchy en X. En efecto, sean m > n ≥ 1, es inmediato que si n > 1,entonces

d(xm, xn) = d(Txm−1, Txn−1) ≤ αd(xm−1, xn−1).

Por consiguiente, iterando esta desigualdad n veces, obtenemos

d(xm, xn) ≤ αnd(xm−n, x0), ∀m > n ≥ 1. (4.5)

Ahora bien, por las propiedades de la funcion distancia,

d(xm−n, x0) ≤m−n∑

k=1

d(xk, xk−1),

y por (4.5) aplicada con m = k y n = k − 1,

d(xk, xk−1) ≤ αk−1d(x1, x0).

De estas dos ultimas desigualdades, obtenemos

d(xm−n, x0) ≤m−n∑

k=1

αk−1d(x1, x0),

con lo que, teniendo en cuenta que α ∈ [0, 1),

d(xm−n, x0) ≤∞∑

j=0

αjd(x1, x0) =1

1− αd(x1, x0), ∀m > n ≥ 1.

Llevando esta ultima desigualdad a (4.5), obtenemos

d(xm, xn) ≤ αn

1− αd(x1, x0), ∀m > n ≥ 1. (4.6)

Como 0 ≤ α < 1, es evidente que lımn→∞

αn = 0, y por tanto, de (4.6) se obtiene

lımn,m→∞

d(xm, xn) = 0,

es decir, la sucesion xnn≥1 es de Cauchy en (X, d).Como (X, d) es completo, existe un x ∈ X tal que

lımn→∞

xn = x,

pero entonces, teniendo en cuenta que T es continua,

T x = lımn→∞

Txn = lımn→∞

xn+1 = x,

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y por consiguiente x es un punto fijo de T .Finalmente, para demostrar la unicidad, supongamos que x es otro punto

fijo de T . En tal caso,

d(x, x) = d(T x, T x) ≤ αd(x, x),

es decir,(1− α)d(x, x) ≤ 0,

con lo que al ser α < 1, obtenemos que d(x, x) = 0, y por tanto x = x.

Observacion 4.4 Observese que la demostracion precedente es constructiva,de hecho obtenemos que, bajo las condiciones del Teorema, sea cual sea el puntoinicial x0 que tomemos en X, la sucesion xn = Tnx0 converge en (X, d) alunico punto fijo x de T .

Ademas, de hecho podemos obtener una estimacion de la cota de error que seproduce al tomar xn = Tnx0 como una aproximacion de x. En efecto, pasandoal lımite en (4.6) para m →∞, se tiene

d(x, xn) ≤ αn

1− αd(x1, x0), ∀n ≥ 1. (4.7)

Observacion 4.5 El Teorema precedente no se satisface si T es no expansiva.Como un contraejemplo sencillo, consideremos X = [1,+∞) ⊂ IR con la dis-tancia usual d(x, y) = |x− y|. Como X es un subconjunto cerrado de IR, resultaser un espacio metrico completo. Sea T la aplicacion

T : x ∈ [1, +∞) 7→ x +1x∈ [1, +∞).

Teniendo en cuenta que T es una funcion creciente en [1, +∞), es inmediatocomprobar que

d(Tx, Ty) < d(x, y), ∀x 6= y ∈ [1, +∞),

y sin embargo, no existe punto fijo de T , es decir, no existe solucion en [1,+∞)

de la ecuacion x = x +1x

.

El Teorema del punto fijo de Banach se puede extender al caso en que algunapotencia de T es contractiva. En concreto, se tiene:

Teorema 4.6 Sean (X, d) un espacio metrico completo, y T : X → X unaaplicacion tal que para algun entero k ≥ 1, la aplicacion T k es contractiva.Bajo estas condiciones, existe un y solo un punto fijo de T , es decir, existe uny solo un x ∈ X tal que

T x = x.

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Ademasx = lım

n→∞Tnx0, ∀x0 ∈ X. (4.8)

Demostracion.- Si k = 1, nuestro enunciado no es sino el Teorema del puntofijo de Banach.

Supongamos k > 1. Es inmediato ver que si x es un punto fijo de T , entonceses un punto fijo de T k, ya que

T kx = T k−1(T x) = T k−1x = ... = T x = x.

Recıprocamente, si x es un punto fijo de T k, entonces

T k(T x) = T (T kx) = T x,

y por tanto T x es tambien un punto fijo de T k. Como T k es contractiva, poseeun unico punto fijo. Consiguientemente, T x = x, es decir, x es un punto fijo deT .

En resumen, vemos que bajo las condiciones del teorema, x es un punto fijode T si y solo si es un punto fijo de T k.

Como T k es contractiva, y (X, d) es completo, sabemos que existe un unicopunto fijo x de T k, que por tanto es el unico punto fijo de T .

Ademas, de acuerdo con la Observacion 4.4, se satisface

lımn→∞

(T k)ny0 = x, ∀ y0 ∈ X. (4.9)

Si x0 es cualquier punto fijado de X, tomando y0 = x0, y mas generalmentey0 = T jx0, obtenemos de (4.9)

lımn→∞

Tnk+jx0 = x, ∀j = 0, 1, .., k − 1, ∀x0 ∈ X,

es decir, (4.8).

5 Funciones lipschitzianas

En esta seccion estudiamos los conceptos de funcion globalmente lipschitzianay de funcion localmente lipschitziana, respecto de la variable y, en Ω.

Consideremos fijado un conjunto no vacıo, Ω ⊂ IRN+1, cuyos puntos deno-tamos por (x, y) con x ∈ IR e y ∈ IRN .

Definicion 5.1 Se dice que f : Ω → IRN es una funcion globalmente lips-chitziana respecto de la variable y en Ω, si existe una constante L > 0 (depen-diente de f), tal que

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2|, ∀ (x, y1), (x, y2) ∈ Ω. (5.10)

A L se le denomina una constante de Lipschitz respecto de la variable y para fen Ω.

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Al conjunto de todas las funciones f : Ω → IRN que sean globalmente lip-schitzianas respecto de la variable y en Ω, lo denotaremos por Lip(y, Ω). Esinmediato comprobar que Lip(y, Ω), con las operaciones usuales de suma defunciones y producto de un numero real por una funcion, es un espacio vec-torial sobre IR. Observese que, en particular, todas las funciones constantespertenecen a Lip(y, Ω).

Observacion 5.2 En general, dada una funcion h : D ⊂ IRn → IRm, con n ≥ 1y m ≥ 1 enteros, se dice que h es globalmente lipschitziana en D, si existe unaconstante Lh > 0 tal que

|h(z1)− h(z2)| ≤ Lh|z1 − z2|, ∀ z1, z2 ∈ D.

La nocion que nosotros hemos introducido en la Definicion 5.1, aunque em-parentada con la de funcion globalmente lipschitziana precedente, es diferente,y esta motivada por su utilidad en el estudio del Problema de Cauchy para unSDO en forma normal que efectuaremos con posterioridad.

Definicion 5.3 Supongamos que Ω es abierto. Se dice que f : Ω → IRN esuna funcion localmente lipschitziana respecto de la variable y en Ω, si para cadapunto (x, y) ∈ Ω existe una bola abierta de centro dicho punto, contenida en Ω,y tal que la restriccion de f a dicha bola es globalmente lipschitziana respectode la variable y. Es decir, f es localmente lipschitziana respecto de la variabley en Ω, si para cada punto (x, y) ∈ Ω existen un ε(x, y) > 0, y una constanteL(x, y) > 0, tales que

B((x, y), ε(x, y)) ⊂ Ω,

y para todo (x, y1), (x, y2) ∈ B((x, y), ε(x, y)),

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L(x, y)|y1 − y2|. (5.11)

Si Ω es abierto, al conjunto de todas las funciones f : Ω → IRN que seanlocalmente lipschitzianas respecto de la variable y en Ω, lo denotaremos porLiploc(y, Ω). Es inmediato comprobar que Liploc(y, Ω), con las operacionesusuales de suma de funciones y producto de un numero real por una funcion, esun espacio vectorial sobre IR, y que

Lip(y, Ω) ⊂ Liploc(y, Ω),

con contenido estricto, como veremos mas adelante.Es tambien sencillo comprobar el resultado siguiente:

Proposicion 5.4 (a) Si f ∈ Lip(y, Ω), entonces f es uniformemente con-tinua respecto de la variable y en Ω, es decir, para todo ε > 0 existe unδ > 0, dependiente de ε, tal que

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ ε, ∀ (x, y1), (x, y2) ∈ Ω tales que |y1 − y2| ≤ δ.

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(b) Si f ∈ Liploc(y, Ω), entonces f es continua respecto de la variable y en Ω,es decir, para todo (x, y) ∈ Ω y todo ε > 0 existe un δ > 0, dependiente de(x, y) y ε, tal que si |y − y| ≤ δ, entonces (x, y) pertenece a Ω y

|f(x, y)− f(x, y)| ≤ ε.

Observacion 5.5 En general, Lip(y, Ω) no esta contenido en C(Ω; IRN ), esdecir, existen funciones f : Ω → IRN que son globalmente lipschitzianas en Ω,pero no son continuas en dicho conjunto. Ası, por ejemplo, la funcion

f(x, y) = 0 si x ≥ 0,

y si x > 0,

pertenece a Lip(y, IRN+1), pero no es continua en los puntos de IRN+1 de laforma (0, y).

Recıprocamente, una funcion f : Ω → IRN que sea continua, no necesaria-mente es, ni siquiera, localmente lipschitziana en Ω. Por ejemplo, la funcion

f(x, y) =√|y|, ∀ (x, y) ∈ IR2,

es continua en IR2, pero no pertenece a Liploc(y, IR2), ya que en caso contrario,en particular existirıa un ε > 0 tal que la restriccion de f a B((0, 0), ε) serıaglobalmente lipschitziana, y por tanto existirıa una constante L(0, 0) > 0 talque, teniendo en cuenta que f(0, 0) = 0,

|f(0, ε/n)| ≤ L(0, 0)(ε/n), ∀n ≥ 2,

es decir, √ε/n ≤ L(0, 0)(ε/n), ∀n ≥ 2,

lo cual es un absurdo.

El resultado que sigue es de gran utilidad para decidir en un buen numerode situaciones si una funcion es global o localmente lipschitziana.

Teorema 5.6 Sean Ω ⊂ IRN+1 un conjunto abierto, y

f = (f1, ..., fN ) : Ω → IRN ,

una funcion tal que existen las derivadas parciales∂fi

∂yj, para todo i, j = 1, ..., N,

y son continuas en Ω. En estas condiciones:

(a) f ∈ Liploc(y, Ω).

(b) Si ademas Ω es convexo, entonces f ∈ Lip(y, Ω) si y solo si todas las

derivadas parciales∂fi

∂yj, estan acotadas en Ω, es decir,

sup(x,y)∈Ω

∣∣∣∣∂fi

∂yj(x, y)

∣∣∣∣ < +∞, ∀ i, j = 1, ..., N. (5.12)

14

Demostracion.- (a) Sea (x, y) ∈ Ω. Como Ω es abierto, existe ε(x, y) > 0,tal que la bola cerrada

B = B((x, y), ε(x, y)),

esta contenida en Ω. Teniendo en cuenta que B es un compacto contenido en

Ω, y que en particular las derivadas parciales∂fi

∂yj, i, j = 1, ..., N, son continuas

en B, podemos afirmar que existe una constante M(x, y) > 0, tal que

max(x,y)∈B

∣∣∣∣∂fi

∂yj(x, y)

∣∣∣∣ ≤ M(x, y), ∀ i, j = 1, ..., N. (5.13)

Por otra parte, por el Teorema del valor medio para funciones reales de variasvariables, si (x, y1), (x, y2) ∈ B, entonces para cada i = 1, ..., N, existe un puntoyi en el segmento que une y1 con y2, tal que

fi(x, y1)− fi(x, y2) =N∑

j=1

∂fi

∂yj(x, yi)(y1j − y2j ),

y por tanto, teniendo en cuenta (5.13),

|fi(x, y1)− fi(x, y2)| ≤ M(x, y)N∑

j=1

|y1j − y2j | ≤ M(x, y)√

N |y1 − y2|,

para todo i = 1, ..., N, de donde es inmediato que

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ M(x, y)N |y1 − y2|,

para todo (x, y1), (x, y2) ∈ B, y en consecuencia f es localmente lipschitzianarespecto de y en Ω.

(b) Ahora, supongamos que Ω es convexo.En primer lugar, si se satisface (5.12), entonces, razonando como en la de-

mostracion de (a), pero sustituyendo B por Ω, es inmediato demostrar que fes globalmente lipschitziana respecto de y en Ω, con constante de LipschitzL = MN, siendo

M = max1≤i,j≤N

(sup

(x,y)∈Ω

∣∣∣∣∂fi

∂yj(x, y)

∣∣∣∣)

.

Recıprocamente, supongamos que no se satisface (5.12), es decir, que existeni, j ∈ 1, ..., N, tales que

sup(x,y)∈Ω

∣∣∣∣∂fi

∂yj(x, y)

∣∣∣∣ = +∞.

15

En tal caso, para todo entero n ≥ 1 existe un punto (xn, yn) ∈ Ω tal que∣∣∣∣∂fi

∂yj(xn, yn)

∣∣∣∣ ≥ 2n,

con lo que, teniendo en cuenta la definicion de derivada parcial, si denotamosej al vector unitario de IRN de componentes todas nulas salvo la j-esima iguala 1, obtenemos que para cada n ≥ 1 existe un εn > 0, tal que

∣∣∣∣fi(xn, yn + εnej)− fi(xn, yn)

εn

∣∣∣∣ ≥ n,

es decir,

|fi(xn, yn + εnej)− fi(xn, yn)| ≥ nεn = n|(yn + εnej)− yn|,con lo que f no es globalmente lipschitziana respecto de y en Ω.

Observacion 5.7 Considerense las funciones f1, f2 y f3, definidas todas enIR2 con valores en IR, dadas por

f1(x, y) =1

1 + y2, f2(x, y) =

x

1 + y2, f3(x, y) =

xy, si x > 0,

y, si x ≤ 0.

Resulta sencillo comprobar, por aplicacion del Teorema precedente, que f1 ∈Lip(y, IR2), que f2 no es globalmente lipschitziana en IR2, pero f2 ∈ Liploc(y, IR2),y f2 ∈ Lip(y, Ω), para todo abierto conexo Ω de IR2 que sea acotado en la di-reccion de x.

Finalmente, la funcion f3 no satisface las condiciones del Teorema 5.6 enIR2, ya que su derivada parcial respecto de y no es continua en todo IR2, pero esinmediato comprobar que pertenece a Liploc(y, IR2), y de hecho es globalmentelipschitziana en todo abierto Ω de IR2 que sea acotado en la direccion de x.

Finalizamos esta seccion con el siguiente resultado:

Teorema 5.8 Sea Ω ⊂ IRN+1 un conjunto abierto. Si f ∈ Liploc(y, Ω), yK ⊂ Ω es un conjunto compacto no vacıo tal que

sup(x,y)∈K

|f(x, y)| < +∞,

entoncesf ∈ Lip(y,K).

Demostracion.- Fijemos, para cada punto (x, y) ∈ Ω, un ε(x, y) > 0, y unaconstante L(x, y) > 0, tales que

B((x, y), ε(x, y)) ⊂ Ω,

16

y para todo (x, y1), (x, y2) ∈ B((x, y), ε(x, y)), se satisfaga

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L(x, y)|y1 − y2|. (5.14)

Evidentemente,K ⊂

⋃

(x,y)∈K

B((x, y), ε(x, y)/2),

y por tanto, al ser K compacto, existe una coleccion finita

(x1, y1), ..., (xn, yn) ⊂ K,

tal que

K ⊂n⋃

k=1

B((xk, yk), ε(xk, yk)/2).

Ahora, si (x, y1) y (x, y2) son dos puntos de K, fijemos un k ∈ 1, ..., n talque (x, y1) ∈ B((xk, yk), ε(xk, yk)/2). Para (x, y2) se tiene forzosamente una delas dos situaciones siguientes:

(a) (x, y2) ∈ B((xk, yk), ε(xk, yk)). En tal caso, por (5.14),

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L(xk, yk)|y1 − y2|.

(b) (x, y2) 6∈ B((xk, yk), ε(xk, yk)). En tal caso,

|y1 − y2| = |(x, y1)− (x, y2)| ≤ ε(xk, yk))/2,

con lo que, si definimos

ε = mın1≤k≤n

(ε(xk, yk))/2) , M = sup(x,y)∈K

|f(x, y)|, (5.15)

tenemos|y1 − y2| ≥ ε,

y entonces

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ 2M ≤ 2M

ε|y1 − y2|.

En consecuencia, f es globalmente lipschitziana respecto de la variable y en K,pudiendose tomar como constante de Lipschitz,

L = max(

max1≤k≤n

(L(xk, yk)),2M

ε

),

con ε y M definidos por (5.15).

17

6 El Teorema de existencia y unicidad local dePicard

Vamos a demostrar en esta seccion un resultado de existencia y unicidad desolucion, en un intervalo suficientemente pequeno, para el Problema de Cauchy

(PC)

y′ = f(x, y),

y(x0) = y0.

En concreto, vamos a demostrar el siguiente resultado:

Teorema 6.1 (Teorema de Picard) Sean Ω ⊂ IRN+1 un conjunto abierto novacıo, y f : Ω → IRN tal que

f ∈ C(Ω; IRN ) ∩ Liploc(y, Ω).

Con estas condiciones, para cada (x0, y0) ∈ Ω, existe un δ > 0, tal que sidenotamos

Iδ = [x0 − δ, x0 + δ],

existe una y solo una solucion del problema (PC) en Iδ.

Demostracion.- Como Ω es abierto y f ∈ Liploc(y, Ω), existen a0 > 0 y b0 > 0,tales que si denotamos

R = [x0 − a0, x0 + a0]×B(y0, b0),

se satisfagaR ⊂ Ω, y f ∈ Lip(y, R).

Sea L > 0 una constante de Lipschitz para f en R, es decir, tal que

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2|, ∀ (x, y1), (x, y2) ∈ R,

y denotemosM = max

(x,y)∈R|f(x, y)|,

maximo que se alcanza por ser f continua y R compacto.Fijemos un numero δ tal que

0 < δ < mın(a0, b0/M, 1/L), (6.16)

y consideremos el conjunto

X = ϕ ∈ C(Iδ; IRN ); |ϕ(x)− y0| ≤ b0, ∀x ∈ Iδ. (6.17)

18

Evidentemente, X no es mas que la bola cerrada en (C(Iδ; IRN ), ‖ · ‖∞), decentro la funcion ϕ0 ≡ y0, y radio b0. En consecuencia, X es un subconjuntocerrado no vacıo de (C(Iδ; IRN ), ‖ · ‖∞), y por tanto (X, d), con d definida por

d(ϕ,ψ) = maxx∈Iδ

|ϕ(x)− ψ(x)|, ∀ϕ,ψ ∈ X,

es un espacio metrico completo.Nosotros ya hemos visto en el Tema 2 que ϕ es solucion del problema (PC) en

Iδ si y solo si satisface la formulacion integral, es decir, es solucion del problema

(j) ϕ ∈ C(Iδ; IRN ),

(jj) (x, ϕ(x)) ∈ Ω, para todo x ∈ Iδ,

(jjj) ϕ(x) = y0 +∫ x

x0

f(s, ϕ(s)) ds, ∀x ∈ Iδ, donde la integral esta efectuada

componente a componente.

Ahora bien, por la eleccion de δ, si ϕ satisface (j), (jj) y (jjj), entonces ϕsatisface

|ϕ(x)− y0| ≤ b0, ∀x ∈ Iδ,

ya que, en caso contrario, como |ϕ(x0) − y0| = 0 < b0, por continuidad de lafuncion |ϕ(x)− y0|, existirıa un punto x ∈ Iδ, con x 6= x0, tal que

|ϕ(x)− y0| = b0, y |ϕ(x)− y0| < b0,

para todo x en el intervalo abierto de extremos x0 y x. Entonces, por (jjj), setendrıa

b0 = |ϕ(x)− y0| =∣∣∣∣∣∫ x

x0

f(s, ϕ(s)) ds

∣∣∣∣∣ ≤ M |x− x0| ≤ Mδ < b0,

lo cual es un absurdo.En consecuencia, resulta ahora evidente que ϕ es solucion del problema (PC)

en el intervalo Iδ, si y solo si ϕ pertenece a X y satisface (jjj).Denotemos, para cada funcion ϕ ∈ X, por Tϕ a la funcion definida por

(Tϕ)(x) = y0 +∫ x

x0

f(s, ϕ(s)) ds, ∀x ∈ Iδ.

Es inmediato que Tϕ ∈ C(Iδ; IRN ). Ademas, para todo x ∈ Iδ, se tiene

|(Tϕ)(x)− y0| =∣∣∣∣∫ x

x0

f(s, ϕ(s)) ds

∣∣∣∣ ≤ M |x− x0| ≤ Mδ < b0,

y en consecuencia, Tϕ pertenece a X. Es decir, T : X → X.

19

Esta claro de todas las consideraciones precedentes, que ϕ es solucion delproblema (PC) en el intervalo Iδ, si y solo si ϕ es un punto fijo de la aplicacionT . En consecuencia, para terminar con la demostracion del teorema, basta concomprobar que T es contractiva. Para ello, sean ϕ y ψ dos elementos de X, yx ∈ Iδ. Entonces

|(Tϕ)(x)− (Tψ)(x)| =∣∣∣∣∫ x

x0

f(s, ϕ(s))− f(s, ψ(s)) ds

∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ x

x0

|f(s, ϕ(s))− f(s, ψ(s))| ds

∣∣∣∣

≤ L

∣∣∣∣∫ x

x0

|ϕ(s)− ψ(s))| ds

∣∣∣∣ ≤ L|x− x0|d(ϕ, ψ),

y por tanto,

d(Tϕ, Tψ) = maxx∈Iδ

|(Tϕ)(x)− (Tψ)(x)| ≤ Lδd(ϕ, ψ),

siendo Lδ < 1 por (6.16).

Observacion 6.2 Consideremos dada una funcion f : D ⊂ IRN+1 → IRN .Se denomina abierto de existencia y unicidad para la EDO y′ = f(x, y),

a cualquier abierto Ω ⊂ D no vacıo, tal que f ∈ C(Ω; IRN ) ∩ Liploc(y, Ω), yse denomina abierto maximal de existencia y unicidad para la citada EDO ala union de todos los abiertos de existencia y unicidad de la misma. El abiertomaximal de existencia y unicidad para y′ = f(x, y), es por tanto el mayor abiertode IRN+1 donde, para cualquier punto (x0, y0) de dicho abierto, se puede aplicarel Teorema de Picard al correspondiente Problema de Cauchy para la citadaEDO.

De la misma manera, se denomina dominio de existencia y unicidad parala EDO y′ = f(x, y), a cualquier abierto conexo Ω ⊂ D no vacıo, tal quef ∈ C(Ω; IRN ) ∩ Liploc(y, Ω), y se denomina dominio maximal de existencia yunicidad para la citada EDO a cualquier dominio de existencia y unicidad dela citada ecuacion tal que no exista otro dominio de existencia y unicidad de lamisma que lo contenga estrıctamente.

Ası, por ejemplo, si consideramos la funcion f : IR2 → IR definida por

f(x, y) =

y, si y ≥ 1,

x3, si y < 1, y ≥ x2,

xy, si y < 1, y < x2, x ≥ 0,

0, si y < 1, y < x2, x < 0,

es sencillo comprobar que los conjuntos Ω1 y Ω2 dados por

Ω1 = (x, y) ∈ IR2; y > 1,

20

Ω2 = (x, y) ∈ IR2; y < 1 \ (x, x2); x ∈ [−1, 0],son los correspondientes dominios maximales de existencia y unicidad, siendoΩ1 ∪Ω2, el abierto maximal de existencia y unicidad para la EDO y′ = f(x, y).

Observacion 6.3 Si f ∈ C(Ω; IRN ), con Ω ⊂ IRN+1 un conjunto abierto, perof 6∈ Liploc(y, Ω), es posible todavıa demostrar, para cada (x0, y0) ∈ Ω dado, laexistencia de un δ > 0 tal que existe solucion en Iδ del correspondiente Problemade Cauchy (esta afirmacion, conocida como Teorema de existencia de Peano,sera demostrada en la asignatura Ampliacion de Ecuaciones Diferenciales Or-dinarias, ver [2]). No obstante, si f no es localmente lipschitziana, en generalno esta garantizada la unicidad de solucion del (PC) en Iδ.

Ası, por ejemplo, si planteamos en Ω = IR2 el problema de Cauchy

(PC)

y′ = 3y2/3,

y(0) = 0,

es sencillo comprobar que, fijado δ > 0, si consideramos para cada par α, βsatisfaciendo

−δ ≤ α ≤ 0 ≤ β ≤ δ,

la funcion ϕαβ definida por

ϕαβ =

(x− α)3 , si x ∈ [−δ, α),

0, si x ∈ [α, β],

(x− β)3 , si x ∈ (β, δ],

todas las funciones ϕαβ son soluciones de (PC) en Iδ = [−δ, δ].

7 El teorema de Picard para un Problema deCauchy para una EDO de orden n en formanormal.

Supongamos dado un entero n ≥ 2, un conjunto O ⊂ IRn+1, cuyos puntosdenotaremos por (x, y, y′, ..., y(n−1)), y una funcion g : O → IR.

Consideremos la EDO de orden n en forma explıcita o normal

y(n) = g(x, y, y′, ..., y(n−1)), (7.18)

siendo g una funcion dada, definida en un conjunto O ⊂ IRn+1, con valores enIR.

Recordemos que una solucion de (7.18) es cualquier funcion ϕ : I → IR, conI ⊂ IR intervalo de interior no vacıo, satisfaciendo:

21

(i) Existe la derivada n-esima ϕ(n)(x) en todo punto x ∈ I, donde si x es unextremo de I, ϕ(n)(x) denota a la correspondiente derivada lateral,

(ii) (x, ϕ(x), ϕ′(x), ..., ϕ(n−1)(x)) ∈ O, para todo x ∈ I,

(iii) ϕ(n)(x) = g(x, ϕ(x), ϕ′(x), ..., ϕ(n−1)(x)), para todo x ∈ I,

y se dice tambien en tal caso que la pareja (I, ϕ) es una solucion local de (7.18),o que ϕ es una solucion de (7.18) en el intervalo I.

Definicion 7.1 Denominaremos Problema de Cauchy o de valores inicialespara la EDO (7.18) al problema consistente en, fijado un punto (x0, y0, y

′0, ..., y

(n−1)0 )

perteneciente a O, hallar una solucion local (I, ϕ) de (7.18) tal que x0 ∈ I y

(ϕ(x0), ϕ′(x0), ..., ϕ(n−1)(x0)) = (y0, y′0, ..., y

(n−1)0 ).

En tal caso, se dice que (I, ϕ) es una solucion local del Problema de Cauchy

(PC)n

y(n) = g(x, y, y′, ..., y(n−1)),

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, ..., y(n−1)(x0) = y

(n−1)0 .

Como vamos a ver a continuacion, toda EDO de orden n en forma nor-mal puede ser escrita como un SDO de primer orden y dimension n en formaexplıcita, de tal manera que los resultados que hemos obtenido para los SDO,admiten una traduccion inmediata al caso de las EDO de orden n.

En efecto, consideremos fijada la EDO (7.18), e introduzcamos las nuevasvariables yi, para 1 ≤ i ≤ n, definidas por

y1 = y, y2 = y′, y3 = y′′, ....., yn = y(n−1). (7.19)

Asociado a la EDO (7.18), consideremos el SDO

y′1 = y2,y′2 = y3,............,............,y′n−1 = yn,y′n = g(x, y1, ..., yn).

(7.20)

Es inmediato comprobar que, con el cambio (7.19), la EDO (7.18) y el SDO(7.20) son equivalentes, y mas concretamente que (I, ϕ) es solucion local de(7.18) si y solo si (I, ϕ, ϕ′, ϕ′′, ..., ϕ(n−1)) es solucion local de (7.20).

Resulta ahora sencillo extender el teorema de Picard al caso de un Problemade Cauchy para una EDO de orden n en forma normal.

22

Diremos que g es globalmente lipschitziana respecto de (y, y′, ..., y(n−1)), enO, si existe una constante Lg > 0 tal que

|g(x, y1, y′1, ..., y

(n−1)1 )− g(x, y2, y

′2, ..., y

n−12 )| ≤ Lg

n−1∑

k=0

|y(k)1 − y

(k)2 |,

para todo (x, y1, y′1, ..., y

(n−1)1 ), (x, y2, y

′2, ..., y

n−12 ) ∈ O, donde en el sumatorio

hemos usado la notacion yj = y(0)j , y′j = y

(1)j , y′′j = y

(2)j .

Denotaremos Lip(y, y′, ..., y(n−1),O; IR), al conjunto de todas las funcionesg : O → IR, que sean globalmente lipschitzianas respecto de (y, y′, ..., yn−1), enO. Es inmediato comprobar que, con la suma de funciones y producto de unnumero real por una funcion usuales, Lip(y, y′, ..., y(n−1),O; IR) es un espaciovectorial sobre IR.

De manera analoga a la Definicion 5.3, si O es abierto, diremos que la funciong : O → IR es localmente lipschitziana respecto de (y, y′, ..., y(n−1)), en O, sipara cada punto (x, y, y′, ..., y(n−1)) ∈ O existe una bola abierta de centro dichopunto, contenida en O, y tal que g es globalmente lipschitziana respecto de lavariable (y, y′, ..., y(n−1)) en dicha bola.

Denotaremos Liploc(y, y′, ..., y(n−1),O; IR), al conjunto de todas las funcionesg : O → IR, que sean localmente lipschitzianas respecto de (y, y′, ..., yn−1), enO. Es tambien sencillo comprobar que, con la suma de funciones y productode un numero real por una funcion usuales, Liploc(y, y′, ..., y(n−1),O; IR) es unespacio vectorial sobre IR.

Teorema 7.2 (Teorema de Picard para una EDO de orden n) SeanO ⊂ IRn+1 un conjunto abierto, y g : O → IR una funcion tal que

g ∈ C(O) ∩ Liploc(y, y′, ..., y(n−1),O; IR).

Entonces, para cada punto (x0, y0, y′0, ..., y

(n−1)0 ) ∈ O dado, existe un δ > 0,

tal que en el intervalo Iδ = [x0 − δ, x0 + δ] existe una y solo una solucion delProblema de Cauchy (PC)n.

Demostracion.- Basta introducir las nuevas variables yi, para 1 ≤ i ≤ n,definidas por (7.19), y asociado al problema (PC)n, considerar el Problema deCauchy para un SDO de primer orden

y′1 = y2,y′2 = y3,............,............,y′n−1 = yn,y′n = g(x, y1, ..., yn),y1(x0) = y0, y2(x0) = y′0, ..., yn(x0) = y

(n−1)0 .

(7.21)

23

Es inmediato comprobar que, con el cambio (7.19), el problema (PC)n y el pro-blema (7.21) son equivalentes, y mas concretamente que ϕ es solucion de (PC)n

en Iδ si y solo si (ϕ,ϕ′, ϕ′′, ..., ϕ(n−1)) es solucion de (7.21).Basta ahora tener en cuenta que, como se comprueba facilmente, el problema

(7.21) satisface las condiciones del Teorema 6.1.

Referencias

[1] H. Amann: Ordinary Differential Equations: an introduction to NonlinearAnalysis, Walter de Gruyter, New York, 1990.

[2] S. Novo, R. Obaya & J. Rojo: Ecuaciones y sistemas diferenciales, Mac-Graw & Hill, Madrid, 1995.

[3] N. Rouche & J. Mawhin: Equations Differentielles Ordinaires, Tomo 1,Masson, Paris, 1973.