Teorema del cosenoEl teorema del coseno es una generalizacin del teorema de Pitgoras en los tringulos no rectngulos que se utiliza, normalmente, en trigonometra. El teorema relaciona un lado de un tringulo con los otros dos y con el coseno del ngulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno Dado un tringulo ABC, siendo , , , los ngulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ngulos entonces:

En la mayora de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominacin no obstante relativamente tarda. En francs, sin embargo, lleva el nombre del matemtico persa Ghiyath al-Kashi que unific los resultados de sus predecesores.1

Fig. 1 - Notacin ms habitual de un tringulo.

HistoriaLos Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximacin geomtrica de la generalizacin del teorema de Pitgoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un tringulo obtusngulo y el de un tringulo acutngulo. La formulacin de la poca es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonomtricas y del lgebra oblig a razonar en trminos de diferencias de reas.2 Por eso, la proposicin 12 utiliza estos trminos:En los tringulos obtusngulos, el cuadrado del lado opuesto al ngulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo obtuso en dos veces el rectngulo comprendido por un lado de los del ngulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ngulo obtuso.

Euclides, Elementos.

3

Siendo ABC el tringulo, cuyo ngulo obtuso est en C, y BH la altura respecto del vrtice B (cf. Fig. 2 contigua), la notacin moderna permite formular el enunciado as:

Fig. 2 - Tringulo ABC con altura BH.

Faltaba esperar la trigonometra rabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrnomo y matemtico al-Battani4 generaliz el resultado de Euclides en la geometra esfrica a principios del siglo X, lo que permiti efectuar los clculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.5 6 Fue durante el mismo perodo cuando se establecieron las primeras tablas trigonomtricas, para las funcionesseno y coseno. Eso permiti a Ghiyath al-Kashi,7 matemtico de la escuela deSamarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulacin durante elsiglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por Franois Vite quien, al parecer, lo redescubri independientemente.8 Fue a finales del siglo XVII cuando la notacin algebraica moderna, aunada a la notacin moderna de las funciones trigonomtricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendindose el nombre de teorema (o ley) del coseno.9

El teorema y sus aplicacionesEl teorema del coseno es tambin conocido por el nombre de teorema de Pitgoras generalizado, ya que el teorema de Pitgorases un caso particular: cuando el ngulo cuando , el teorema del coseno se reduce a: es recto o, dicho de otro modo,

que es precisamente la formulacin del teorema de Pitgoras.

Fig. 3 - Utilizacin del teorema del coseno: ngulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulacin (ver Fig. 3) para resolver un tringulo, y saber determinar

el tercer lado de un tringulo cuando conocemos un ngulo y los lados adyacentes: .

los ngulos de un tringulo cuando conocemos los tres lados:

. Estas frmulas son difciles de aplicar en el caso de mediciones de tringulos muy agudos utilizando mtodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeo respecto los lados ay b o su equivalente, cuando el ngulo es muy pequeo. Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos tringulos semejantes ABC y A'B'C' .

DemostracionesPor desglose de reas

Fig. 4a - Demostracin del teorema del coseno por desglose de reas, cuando el ngulo es agudo.

Un cierto nmero de las demostraciones del teorema hacen intervenir un clculo de reas. Conviene en efecto remarcar que

a, b, c son las reas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c. ab cos() es el rea de un paralelogramo de lados a y b que forman un ngulo de 90- (para una prueba, ver el apndice).

Dado que cos() cambia de signo dependiendo de si es mayor o menor a 90, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos La figura 4a (contigua) divide un heptgono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ngulo agudo. La divisin es la siguiente:

En verde, las reas a, b la izquierda, y el rea , c a la derecha. En rojo, el tringulo ABC en ambos diagramas y en amarillo tringulos congruentes al ABC. En azul, paralelogramos de lados a y b con ngulo 90-.

Igualando las reas y cancelando las figuras iguales se obtiene que , equivalente al Teorema del coseno.

Fig. 4b - Demostracin del teorema del coseno por desglose de reas, cuando el ngulo es obtuso.

La figura 4b (contigua) desglosa un hexgono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ngulo obtuso. La figura muestra

En verde a, b la izquierda y c a la derecha. En azul -2ab cos(), recordando que al ser cos() negativo, la expresin completa es positiva. En rojo, dos veces el tringulo ABC para ambos lados de la figura. , como queramos

Igualando reas y cancelando las zonas rojas da demostrar.

Por el teorema de PitgorasNotemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitgoras cuando el ngulo es recto. Por tanto slo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ngulos agudos y cuando c es adyacente a un ngulo agudo y un obtuso. Primer caso: c es adyacente a dos ngulos agudos.

Caso 1: c es adyacente a dos ngulos agudos

Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitgoras, la longitud c es calculada as: (left) Pero, la longitud h tambin se calcula as: (left) Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

Por la definicin de coseno, se tiene:

y por lo tanto:

Sustituimos el valor de u en la ecuacin para

, concluyendo que:

con lo que concluye la prueba del primer caso. Segundo caso: c es adyacente a un ngulo obtuso.

Caso 2: c es adyacente a un ngulo obtuso

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitgoras establece nuevamente en este caso obtenemos . . Combinando ambas ecuaciones y de este modo:

pero

De la definicin de coseno, se tiene .

y por tanto:

Sustituimos en la expresin para c y simplificamos c = a-b -2b(a cos()-b), concluyendo nuevamente . Esto concluye la demostracin. Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces slo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

Por la potencia de un punto con respecto a un crculo

Fig. 6 - Demostracin del teorema del coseno utilizando la potencia de un puntocon respecto a un crculo.

Consideremos un crculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al crculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitgoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el crculo. LA potencia del punto A con respecto a dicho crculo es . Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que . Adems, CK= -2a cos() (ver el apndice) por lo que . Igualando las expresiones obtenidas se llega finalmente a:

Contrariamente a las precedentes, para esta demostracin, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ngulo agudo.

Por el clculo vectorialUtilizando el clculo vectorial, ms precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas lneas:

Generalizacin en geometras no eucldeas

Fig. 7 - Tringulo esfrico: dimensiones reducidas a, b y c ; ngulos , y .

Para una superficie no eucldea de curvatura K, sealamos con R el radio de curvatura. Este verifica . Definimos entonces las dimensiones reducidas del tringulo: , , . En el caso de un tringulo esfrico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de circunferencia maximal10 [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).

Geometra esfricaCuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del tringulo, es decir cuando , esta expresin se simplifica para dar la versin eucldea del teorema del coseno. Para hacerlo, : , etc. Existe una identidad similar que relaciona los tres ngulos:

Geometra hiperblicaEn un tringulo hiperblico ABC, el teorema del coseno se escribe . Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del tringulo, encontramos el teorema del coseno eucldeo a partir de los desarrollos limitados , etc., , etc.

Generalizacin en el espacio eucldeo

Fig. 8 - Tetraedro: vrtices, caras y ngulos.

Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 del espacio eucldeo, siendo: la cara opuesta al vrtice la superficie de ; ; ;

el plano que contiene a la cara el ngulo diedral .

(La figura 8, contigua, presenta la notacin de los vrtices, caras y ngulos del tetraedro). Entonces, las superficies y ngulos verifican:

. 2ab+a.b(.b)= AC*AS"