INEGALITAT˘I DE TIP LANDAU S˘I HARDY-LITTLEWOOD PENTRU ...€¦ · Estimarea de mai sus ar...

INEGALITATI DE TIP LANDAU SIHARDY-LITTLEWOOD PENTRU

FUNCTIA DE NUMERE PRIME π(x)

masterand: CEZAR LUPUındrumator: conf. univ. dr. ALEXANDRU GICA

,TEZA DE DISERTATIE

MASTER ALGEBRA SI TEORIA NUMERELOR

FACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICAUNIVERSITATEA BUCURESTI

21 IUNIE 2010

Cuprins

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Inegalitati pentru Functia π(x). Introducere si Preliminarii. 51.1 Introducere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Reprezentari asimptotice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Logaritmul Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Functiile θ(x) si ψ(x) ale lui Cebasev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Asupra inegalitatii lui Landau. 132.1 Introducere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Estimari superioare pentru π(2

√xy). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Estimari superioare pentru π(√xy). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Cateva generalizari ale inegalitatii lui Landau. 193.1 Introducere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Margini superioare pentru π(x+ y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 O inegalitate ın legatura cu conjectura Hardy-Littlewood. 234.1 Introducere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Studiul lui Dα(x, y) pentru α > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Studiul lui Dα(x, y) pentru α < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Alte inegalitati pentru functia de numere prime π(x). Aplicatii. 275.1 Introducere si noi inegalitati de tip Rosser si Schoenfeld. . . . . . . . . . . . 275.2 Aplicatii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Un rezultat de tip de inegalitate Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4 CUPRINS

Capitolul 1

Inegalitati pentru Functia π(x).Introducere si Preliminarii.

1.1 Introducere.

Pe la ınceputul anilor 1800, Legendre si Gauss au conjecturat ca numararul numerelorprime mai mici sau egale cu x este aproximat de functia

x

log x−B, unde B = 1, 08 . . .

este o constanta apropiata de 1. Mai exact, Gauss, la varsta de numai de 15 de ani aconjecturat faptul ca, dacanotam cu π(x) numarul numerelor prime mai mici sau egale cu

x, atunci functia π(x) este echivalenta cu∫ x

2

dt

log tsi vom nota acest lucru prin

π(x) ∼∫ x

2

dt

log t.

Teorema numerelor prime afirma faptul ca

π(x) ∼ x

log x.

In 1850, Cebasev a demonstrat un rezultat mai slab ca teorem anumerelor prime,anume

C1 <π(x)

x/ log x< C2,

unde 0 < C1 < C2 < 1 sunt constante date. De asemnea, tot Cebasev a introdus functiileθ(x), ψ(x) date prin

θ(x) =∑

p≤x,p prim

log p, ψ(x) =∑

pm≤x,p prim

log p,

unde m ≥ 2 este un ıntreg pozitiv. Pe de alta parte, are loc formula

ψ(x) =∞∑n=1

θ(x1/n),

unde suma este finita pentru orice x avand ın vedere faptul ca daca x < 2n, avem θ(x1/n) =0. Tot Cebasev a demonstrat si faptul ca teorema numerelor prime este echivalenta cu

5

6CAPITOLUL 1. INEGALITATI PENTRU FUNCTIA π(X). INTRODUCERE SI PRELIMINARII.

oricare din asertiunile urmatoare

θ(x) ∼ x, ψ(x) ∼ x.

Mai mult, el a aratat ca daca exista limita limx→∞

θ(x)x

, atunci ea trebuie sa fie egala cu 1,acest lucru implicand teorema numerelor prime. Cu toate acestea, el nu a putut dovediexistenta limitei de mai sus.

La fel ca Gauss, Riemann a formulat estimari pentru functia π(x) ın functie de logar-itmul integral,

Li(x) :=∫ x

0

dt

log t, x > 1

ın celebrul sau articol (a se vedea [1]) din 1859 ın care gaseste o legatura ıntre eroarea dinaproximarea

π(x) ∼ Li(x)

si distributia zerourilor complexe ale functiei zeta a lui Riemann,

ζ(s) :=∞∑n=1

1ns

=∏p prim

(1− 1

ps

).

Functia zeta a lui Riemann a fost introdusa de Euler pe la ınceputul anului 1737 sifolosita si de Cebasev (pe axa numerelor reale). Tot Euler a introdus si urmatoarea ecuatiefunctionala

ζ(s) = 2(2π)s−1 sin(π

2

)Γ(1− s)ζ(1− s)

pe care a publicat-o ın 1749. In celebrul sa articol, Riemann nu demonstraza teoremanumerelor prime, ınsa gaseste o expresie analitica pentru π(x). Prin considerente empirice,stabileste si urmatoarea formula

π(x)Li(x)

= 1 +O(x−1/2 log x) = 1 + o(1).

Estimarea de mai sus ar implica teorema numerelor prime.In 1896, teorema numerelor prime a fost ın cele din urma demonstrata de Jacques

Hadamard si Charles-Jean de la Vallee Poussin. Prime parte a demonstratiei teoremeinumerelor prime o reprezinta faptul ca ζ(s) 6= 0 daca <s 6= 1. Ca principiu general, agasi regiunile de zerouri pentru functia zeta a lui Riemann pe banda critica conduce laestimari cat mai fine pentru eroarea ın aproximarea π(x) ∼ Li(x). Pe de alta parte, ın1914, Littlewood a aratat ca expresia π(x)− Li(x) schimba semnul de o infinitate de ori.Intr-adevar, Littlewood a aratat ca exista o constanta K > 0 astfel ıncat

(π(x)− Li(x)) log xx1/2 log log log x

este mai mare decat o constanta K pentru x suficient de mare.Abia ın anul 1933, Skewes a aratat ca exista cel putin o schimbarea de semn a expresiei

de mai sus pentru x < 10101034

. Intr-o scrisoare adresata lui Hardy ın 1913, Ramanujanface urmatoarea estimare

π(x) ≈∞∑n=1

µ(n)n

Li(x1/n),

1.2. REPREZENTARI ASIMPTOTICE. 7

unde µ(n) este functia lui Mobius. In ceea ce priveste teorema numerelor prime, totCebasev a dat urmatoarea formulare echivalenta

Teorema 1.1.1. Exista o constanta C > 0 astfel ıncat

ψ(x) = x+O(x exp(−C(log)3/5/(log log x)−1/5)).

Pe de alta parte, legat de eroarea din estimarea teoremei numerelor prime si zeriourilenetriviale ale functiei zeta a lui Riemann are loc urmatorul rezultat:

Teorema 1.1.2. Fie12≤ α < 1. Atunci

ψ(x) = x+O(xα(log x)2)

daca si numai daca ζ(s) 6= 0 pentru <s > α.

1.2 Reprezentari asimptotice.

Presupunem ca functiile f, g sunt definite ıntr-o vecinatate a lui a. Spunem ca f(x) =

o(g(x)), x → a daca limx→a

f(x)g(x)

= 0, iar f(x) = O(g(x)) daca exista M > 0 astfel ıncat

|f(x)| ≤M · |g(x)| pentru orice x apropiat de a.

Notatia f(x) ∼ g(x), x→ a reprezinta faptul ca limx→a

f(x)g(x)

= 1 egalitate echivalenta cu

f(x) = g(x) + o(g(x)) pentru x → a. De pilda, cateodata dorim sa obtinem informatiidespre restul o(g(x)). Pentru aceasta, consideram sirul de functii (g(x))n≥1 astfel ıncatgn+1(x) = o(gn(x)) pentru orice n ≥ 1. Atunci

f(x) ∼∞∑n=1

cngn(x)

este acelasi lucru cu a spune ca

f(x)−n∑k=1

cngk(x) = O(gn+1(x)),

pentru orice n ≥ 1.Urmatorul rezultat reprezinta o teorema tauberiana care estimeaza un integrant.

Teorema 1.2.1. Fie f o functie definita pe intervalul [2,∞) si presupunem ca xf(x) estemonoton crescatoare pe [2,∞), iar m,n, n 6= 1 doua numere reale. Daca∫ x

2f(t)dt ∼ xn+1

(log x)m, x→∞,

atunci

f(x) ∼ (n+ 1)xn

(log x)m, x→∞.


Demonstratie. Fie x ≥ 2 si ε > 0 cu x(1− ε) ≥ 2. Atunci, avem∫ x(1+ε)

xf(t)dt =

∫ x(1+ε)

xtf(t)

dt

t≥ xf(x)

∫ 1+ε

1

dt

t= xf(x) log(1 + ε)

si ∫ x

x(1−ε)f(t)dt =

∫ x

x(1−ε)tf(t)

dt

t≤ xf(x)

∫ 1

1−ε

dt

t= −xf(x) log(1− ε).

Pentru ε > 0, din ipoteza, exista Aε ≥ 2 astfel ıncat pentru x ≥ Aε avem

xn+1(1− ε2)(log x)m

≤∫ x

2f(t)dt ≤ xn+1(1 + ε2)

(log x)m.

Astfel, daca 0 < ε < 1 si x ≥ max(

21− ε

, Aε

), atunci

xf(x) log(1 + ε) ≤∫ x(1+ε)

xf(t)dt =

∫ x(1+ε)

2f(t)dt−

∫ x

2f(t)dt ≤

≤ xn+1(1 + ε)n+1(1 + ε2)(log x(1 + ε))m

− xn+1(1− ε2)(log x)m

si

−xf(x) log(1− ε) ≥∫ x

x(1−ε)f(t)dt =

∫ x

2f(t)dt−

∫ x(1−ε)

2f(t)dt ≥

≥ xn+1(1− ε2)(log x)m

− xn+1(1− ε)n+1(1 + ε2)(log x(1− ε))m

.

Astfel, rezulta ca, daca 0 < ε < 1, atunci vom avea

lim supx→∞

(log x)mf(x)xn

≤ (1 + ε)m+1(1 + ε2)− (1− ε2)log(1 + ε)

si

lim infx→∞

(log x)mf(x)xn

≥ (1− ε2)− (1− ε)n+1(1 + ε2)− log(1− ε)

.

Astfel, pentru ε→ 0, concluzia decurge imediat. �

O alta estimare foarte utila de tip logaritmic este urmatoarea

Teorema 1.2.2. Daca m > 0, atunci exista o functie continua crescatoare g definita peintervalul [1,∞) astfel ıncat

i) 0 < g(x) < x;

ii) g(x) = o

(x

(log x)m

), x→∞;

iii) log g(x) ∼ log x, x→∞.

1.3. LOGARITMUL INTEGRAL. 9

Demonstratie. Functia x 7→ x

(log x)m+1are un minim (m + 1)−(m+1)em+1 ın punctul

x = em+1. Astfel, definim functia continua

g(x) =

{x(m+ 1)−(m+1) daca 1 ≤ x ≤ em+1

x

(log x)m+1daca x ≥ em+1 .

Pe de ala parte, daca x ≥ em+1 atunci log g(x) = log x − (m + 1) log log x. Cum

limx→∞

log log xlog x

= 0, concluzia decurge imediat. �

1.3 Logaritmul Integral.

Logaritmul integral Li(x), x > 1 este definit ca valoarea principala de tip Cauchy a inte-

gralei divergente∫ ∞

0

dt

log t. Explicit, vom avea

Li(x) = limε→0

(∫ 1−ε

0

dt

log t+∫ x

1+ε

dt

log t

)=

= limε→0

(∫ 1−ε

0

(1

log t− 1t− 1

)dt+ log ε+

∫ x

1+ε

(1

log t− 1t− 1

)dt+ log(x− 1)− log ε

)=

= log(x− 1) +∫ x

0

(1

log t− 1t− 1

)dt.

Astfel, pentru a evita singularitatea ın factorul integralei, vom scrie:

Li(x) = Li(µ) +∫ x

µ

dt

log t,

pentru orice µ > 1.Prin urmare, va rezulta ca

Li(x) = 1, 045163780 . . .+∫ x

2

dt

log t,

lucru care arata ca estimarea data de Gauss nu difera mai mult de o unitate de esti-marea data de Li(x).

Are loc urmatoarea formula

Teorema 1.3.1.

Li(x) ∼∞∑n=1

(n− 1)!x

(log x)n, x→∞.

Demonstratie. Integrand prin parti de n ori, vom avea

Li(x) =x

log x+ . . .+ (n− 1)!

x

(log x)n+ cn + n!

∫ x

2

dt

(log t)n+1,


unde cn este o constanta. Acum, este suficient sa aratam ca

limx→∞

(log x)n

x

(cn + n!

∫ x

2

dt

(log t)n+1

)= 0.

Impartind integrala de mai sus ın doua integrale definite pe intervalele [2, x1/2] si[x1/2, x], vom obtine

limx→∞

(log x)n

x

∫ x

2

dt

(log t)n+1≤ (log x)n

x· x

1/2 − 2(log 2)n+1

+(log x)n

x· x− x

1/2

(log x)n+12n+1 ≤

≤(

log xx1/2n

)n+

2n+1

log x.

Pentru x→∞ rezulta imediat ca limita data este egala cu 0. �

In particular, avem ca Li(x) ∼ x

log x, deci π(x) ∼ Li(x) si π(x) ∼ x

log xsunt formulari

echivalente ale teoremei numerelor prime.

1.4 Functiile θ(x) si ψ(x) ale lui Cebasev.

Functia θ alui Cebasev este definita prin

θ(x) =∑p≤x

log p,

unde p este numar prim. Mai mult, exista si o relatie ıntre functiile θ(x) si π(x). Maiprecis, este vorba despre

Teorema 1.4.1. Are loc

π(x) =θ(x)log x

+∫ x

2

θ(t)t(log t)2

dt.

Demonstratie.Fie p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 sirul numerelor prime si consideram

ck =k∑j=1

log pj

deci ck− ck−1 = log pk. Daca x ∈ [pk, pk+1) atunci π(x) = k si θ(x) = ck. Prin urmare,vom avea ∫ x

2

θ(t)t(log t)2

dt =k−1∑j=1

∫ pj+1

pj

cjt(log t)2

dt+∫ x

pj

ckt(log t)2

dt =

=k−1∑j=1

cj

(1

log pj− 1

log pj+1

)+ ck

(1

log pk− 1

log x

)=

1.4. FUNCTIILE θ(X) SI ψ(X) ALE LUI CEBASEV. 11

=c1

log p1+

k∑j=2

cj − cj−1

log pj− ck

log x= 1 +

k∑j=2

1− θ(x)log x

=

= π(x)− θ(x)log x

.

�Lucrand cu integrala Stieltjes, putem stabili usor urmatorul fapt:

π(x) = 1 +∫ x

2

dθ(t)log t

=∫ x

µ

dθ(t)log t

,

unde 1 < µ < 2. O integrare prin parti duce la teorema anterioara. Integrala∫ x

2

θt

t(log t)2dt = o(x/logx). Acest lucru reiese imediat din Teorema 1.3.1 imediat ce

stim ca θ(x) = O(x). Oricum, singura estimare destul de clara este

θ(x) =∑p≤x

log p ≤ π(x) log x ≤ x log x.

Corolar 1.4.2. Daca θ(x) ∼ x atunci π(x) ∼ x

log x.

Demonstratie. Asa cum am punctat mai sus, daca θ(x) = O(x) atunci

π(x)x/ log x

=θ(x)x

+ o(1)

�Acum, consideram cealalta functie Cebasev, anume

ψ(x) =∑pn≤x

log p.

De asemenea, este adevarata si urmatoarea relatie:

ψ(x) =∞∑n=1

θ(x1/n),

unde suma de mai sus este chiar finita avand ın vedere ca θ(x) = 0 daca x < 2. Dacan reprezinta cel mai mare numar ıntreg pentru care pn ≤, atunci n log p este contributiaputerilor lui p la ψ(x) si n ≤

[log xlog p

], unde [x] este partea ıntreaga a numarului real x.

Astfel, vom avea

ψ(x) ≤∑p≤x

[log xlog p

]log p ≤ log x

∑p≤x

1 = π(x) log x.

Lema 1.4.3. Avem

ψ(x) = θ(x) +O(x1/2(log x)2).


Demonstratie. In ecuatia

ψ(x) =∞∑n=1

θ(x1/n),

exista cel mult log xlog 2 termeni nenuli care pot descreste ın magnitudine. Prin urmare,

avem

θ(x) ≤ ψ(x) ≤ θ(x) + θ(x1/2)logx/ log 2

de unde aplicand inegalitatea θ(x) ≤ x log x ob c tinem cerinta lemei noastre. �

Corolar 1.4.4. Avem θ(x) ∼ x daca si numai daca ψ(x) ∼ x.

Demonstractie. Intr-adevar, avem

ψ(x)x

=θ(x)x

+O(x−1/2(log x)2) =θ(x)x

+ o(1).

In sfarsit, avem si

Lema 1.4.5. Daca ψ(x) este functia lui Cebbasev, atunci π(x) ∼ x

log xdaca si numai

daca ψ(x) ∼ x.

Demonstratie. Din inegalitatea

ψ(x)x≤ π(x)x/ log x

,

rezulta ca ψ(x) ∼ x. Reciproc, daca π(x) ∼ x/logx, din inegalitatea de mai sus avemψ(x) = O(x). Rezulta astfel ca

θ(x) = ψ(x) +O(x1/2(log x)2) = O(x)

si astfel, folosind si Teorema 1.4.1 obtinem

π(x)x log x

=θ(x)x

+ o(1).

Rezulta ca θ(x) ∼ x si aplicand Corolarul 1.4.4 avem ψ(x) ∼ x. Invers, daca ψ(x) ∼ xrezulta tot din Corolarul 1.4.4 ca θ(x) ∼ x si din Corolarul 1.4.2 obtinem concluzia. �

Capitolul 2

Asupra inegalitatii lui Landau.

2.1 Introducere.

In acest capitol vom studia unele generalizari ale inegalitatii lui Landau. Ca de obicei,notam cu pn al n-lea numar prim si cu π(x) numarul numerelor prime mai mici sau egalecu x.

In anul 1909, matematicianul german Edmund Landau a demonstrat pentru x suficientde mare ca are lco inegalitatea

π(2x) ≤ 2π(x).

Mai tarziu, ın 1969, Rosser si Schonefeld au demonstrat inegalitatea lui Landau pentruorice numar ıntreg pozitiv x ≥ 2. O inegalitate mai generala a fost conjecturata de Hardysi Littlewood, anume

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y),

pentru orice x, y ≥ 2.In cazul particular x = y obtinem chiar inegalitatea lui Landau π(2x) ≤ 2π(x) pentru

orice x ≥ 2. In ceea ce priveste conjectura Hardy-Littlewood, au fost multe ıncercari ına o rezolva, ınsa ea a putut fi solutionata doar ın anumite cazuri speciale. Mentionam ınacest paragraf unul dintre aceste cazuri, anume lucrarea [22] ın care conjectura Hardy-Littlewood este rezolvata de Segal pentru x, y ≥ 2 cu proprietatea ca x + y ≤ 101081.De asemenea, trebuie mentionat faptul ca vom demonstra ıntr-un capitol ulterior diversecazuri speciale ale conjecturii Hardy-Littlewood, acestea facand obiectul articolului [16].

2.2 Estimari superioare pentru π(2√xy).

In aceasta sectiune vom demonstra o inegalitate mai slaba ca Hardy-Littlewood, ınsa caregeneralizeaza inegalitatea lui Landau. Intr-adevar, cum 2

√xy ≤ x+ y, vom demonstra

Teorema 2.2.1. Pentru orice numere ıntregi pozitive x, y ≥ 2 are loc inegalitatea

π(2√xy) ≤ π(x) + π(y).

13

14 CAPITOLUL 2. ASUPRA INEGALITATII LUI LANDAU.

Demonstratie. Asa cum am mentionat ıntr-un capitol anterior precum si din lucrarea[3] si [19], pentru orice x ≥ 67, avem inegalitatea

π(x) ≥ x

log x− 12

.

Pe de alta parte, consideram functia f : (√e,∞)→ R de finita prin f(z) =

z2

2 log z − 0, 5.

Un calcul al celei de-a doua derivata arata ca f ′′(z) =(16 log2 z − 32 log z + 23)

(2 log z − 0, 5)2> 0, deci

f este convexa. Aplicand inegalitatea lui Jensen avem

u2

2 log u− 0, 5+

v2

2 log v − 0, 5≥

2(u+v

2

)22 log u+v

2 − 0, 5.

Luand u =√x, v =

√y, pentru x, y ≥ 67, vom avea

π(x) + π(y) ≥ x

log x− 0, 5+

y

log y − 0, 5=

u2

2 log u− 0, 5+

v

2 log v − 0, 5.

Prin urmare, pentru x, y ≥ 67 obtinem

π(x) + π(y) ≥ 2 ·

(√x+√y

2

)2(2 log

√x+√y

2 − 0, 5) .

Cum functia f este crescatoare si(√

x+√y

2

)2

≥ √xy, rezulta ca

π(x) + π(y) ≥2√xy

2 log 4√xy − 0, 5

=2√xy

12 log xy − 0, 5

.

Pe de alta parte, ın [31], pentru x ≥ 4 are loc

π(x) ≤ x

log x− 1, 11.

Astfel, vom deduce ca

π(2√xy) ≤

2√xy

log 2√xy − 1, 11

=2√xy

12 log xy + log2− 1, 11

.

Cum log 2 − 1, 11 > −0, 5 concluzia este adev arata pentru x, y ≥ 67. Acum, dacay < 67 si x ≥ y, avem

π(x+ y) ≥ π(x)

siπ(2√xy) < π(2

√67x)

si astfel concluzia poate fi valida si pentru x ≥ 2√

67x, i.e. x ≥ 268. In final, cazuriley < 67 si y ≤ x ≤ 267 pot fi verificate cu ajutorul unui calculator. �

2.3. ESTIMARI SUPERIOARE PENTRU π(√XY ). 15

2.3 Estimari superioare pentru π(√xy).

In primul rand, trebuie remarcat faptul ca inegalitatea lui Landau implica

2π(√xy) ≥ π(2

√xy),

pentru orice x, y ≥ 2. Deci, inegalitatea

π(x) + π(y) ≥ 2π(√xy)

nu va rezulta din Teorema 2.2.1. De fapt, inegalitatea de mai sus nu este nici macaradevarata pentru orice x, y ≥ 2. Intr-adevar, fie x = pn+1− 1 si y = pn− 1 si vom avea ca

n+ n− 1 ≥ 2π(√

(pn+1 − 1)(pn − 1)).

Daca pn+1 − pn ≥ 4, i.e. pn si pn+1 nu sunt numere prime gemene, avem

(pn+1 − 1)(pn − 1) ≥ (pn + 3)(pn − 1) > p2n,

adica2π(√

(pn+1 − 1)(pn − 1)) ≥ 2n.

Acest lucru arata ca inegalitatea π(x) + π(y) ≥ 2π(√xy) nu este ıntotdeauna adevarata.

In cele ce urmeaza vom demonstra

Teorema 2.3.1. Pentru orice numere ıntregi x, y ≥ 2 are loc inegalitatea

π(x) + π(y) ≥ 12π(x+ y) + π(

√xy).

Demonstratie. Vom trata mai multe cazuri:i) Daca x ≥ 16y, avem

12π(x+ y) + π(

√xy) ≤ 1

2π

(1716x

)+ π

(x4

)si

π(x) + π(y) ≥ π(x).

Astfel, ne este suficient sa demonstram ca

π(x) ≥ 0, 5π(

1716x

)+ π

(x4

).

In [3] este demonstrat faptul ca pentru x ≥ 3299 avem

π(x) >x

log x− 2829

.

In acest moment este suficient sa demonstram ca

π(x) >x

log x− 2829

>732· x

log x+ log 1716 − 1, 11

+x

4(log x− log 4− 1, 11).

Notam log x = u si ne ramane saratam ca


1u− 0, 95

>17

32(u− 1, 05)+

14(u− 2, 5)

,

inegalitate echivalenta cu 7u2 − 38, 95u + 70, 797125 > 0 care este adevarata pentruu > 9, 015 adica x ≥ 9415. O verificare cu ajutorul calculatorului arata ca inegalitatea arelco si cand y ≤ x ≤ x

16si x < 9415.

ii) Daca y ≤< 16y, consideram y = kx2, de unde k > 14 . Presupunem ca x, y ≥ 3299.

Un calcul simplu arata ca functia g(z) =z2

2 log z − aeste convexa. Astfel, vom obtine ca

π(x) + π(y) ≥ 2 ·

(√x+√y

2

)2(2 log

√x+√y

2 − 0, 96) =

x(1 + k)2

2(log x+ 2 log 1+k

2 − 0, 96) .

Din inegalitatea π(x) <x

log x− 1, 11,∀x ≥ 4, vom avea ca

0, 5π(x+ y) + π(√xy) <

x+ y

2(log(x+ y)− 1, 11)+

√xy

log√xy − 1, 11

=

=x(1 + k2)

2(log x+ log(1 + k2)− 1, 11)+

√xy

log x+ log k − 1, 11.

Acum, tot ce ramane de aratat este

1 + k2

2k

(log 2(1 + k2)(1 + k)−2 + log 2− 0, 15

log x+ log(1 + k2)− 1, 11

)>

log (1+k)2

4k + 0, 15log x+ log k − 1, 11

.

Insa, pentru a > 0 avem inegalitatea a > log(1 + a) >a

a+ 1, de unde vom obtine

log 2(1 + k2)(1 + k)−2 = log

(1 +

(1− k1 + k

)2)>

(1−k1+k

)2

1 +(

1−k1+k

)2 =(1− k)2

2(1 + k2),

care este echivalenta cu

1 + k2

2klog 2(1 + k2)(1 + k)−2 >

(1− k)2

4k.

Pe de alta parte,

log(1 + k)2

4k= log

(1 +

(1− k)2

4k

)<

(1− k)2

4k.

Cum log 2 > 0, 693 si1 + k2

2k≥ 1 ne ramane sa demonstram ca

(1−k)24k + 0, 543

log x+ log(1 + k2)− 1, 11>

(1−k)24k + 0, 15

log x+ log k − 1, 11.

Notam t = log x+ log k − 1, 11 > log 3299− log 4− 1, 11 > 5, 6. Astfel vom avea

2.3. ESTIMARI SUPERIOARE PENTRU π(√XY ). 17

log x+ log(1 + k2)− 1, 11 = t+ log1 + k2

k< t+ log

174< t+ 1, 45.

Tot ce ne ramane sa aratam ca

(1+k)2

4k + 0, 54t+ 1.45

>(1−k)2

4k + 0, 15t

,

care este

0, 3t > 1, 45(

(1− k)2

4k+ 0, 15

).

Dar (1−k)24k ≤ 9

16 , deci inegalitatea se reduce la a arata ca t > 3, 5 ceea ce este evident.iii) Daca y ≤ 3298 si x < 16y < 52768 vom avea ca x+ y ≤ 100081, deci din rezltatul

lui Segal ([22]), avem π(x+ y) ≤ π(x) + π(y) si astfel este suficient sa aratam c u a

π(x) + π(y) ≥ 2π(√xy).

Intr-adevar, aplicand Teorema 2.2.1, va rezulta ca

π(√xy) = π

(2√y · x

4

)≤ π

(2√y([x

4

]+ 1))≤ π(x) + π(

([x4

]+ 1).

Acum, pentru x ≥ 100 avem [x/4] + 1 ≤ x/4 + 1 < 0, 26x, deci

π([x

4

]+ 1)≤ π(0, 26x) <

0, 26xlog 0, 26x− 1, 11

<0, 26

log x− 2, 46.

Pentru x ≥ 3299, avem

13π(x) >

x

3(log x− 0, 96)>

0, 26log x− 2, 46

> π([x

4

]+ 1).

Astfel, inegalitatea se reduce la a demonstra ca π(x) ≥ 3π(y). Cum y ≤ 3298 rezultacainegalitatea π(x) + π(y) ≥ 2π(

√xy) are loc cand π(x) ≥ 1386 adica x ≥ 11491. Mai

raman cazurile cand y ≤ 3298, x ≤ 11490 si x < 16y care se pot verifica direct sau folosindun calculator. �

Se poate vedea destul de usor faptul ca Teorema 2.2.1 este o consecinta a Teoremei2.3.1 desi ın demonstratia Teoremei 2.3.1 am folosit Teorema 2.2.1. Astfel, din Teorema2.3.1 avem inegalitatea

π(x) + π(y) ≥ min{π(x+ y), 2π(√xy)},

pentru orice x, y ≥ 2.

Capitolul 3

Cateva generalizari ale inegalitatiilui Landau.

3.1 Introducere.

In aceast capitol vom demonstra alte generalizari ale inegalitatii lui Landau care reprezintaforme slabe ale inegalitatii lui Hardy-LIttlewood. Inegalitatea lui Landau a fost demon-strata complet de Rosser si Schoenfeld ın 1966 ([20]). In [3], pentru orice x ≥ 67 areloc

x

log x− 12

< π(x) <x

log x− 32

.

In acest sens, reamintim si conjectura Hardy-LIttlewood,

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y),

pentru orice x, y ≥ 2. In cazul particular, x = y obtinem inegalitatea lui Landau.In [18], Montgomery si Vaughan au demonstrat

π(x+ y) ≤ π(x) + 2π(y),

pentru orice x ≥ 1 si y ≥ 2. De asemenea mentionam si un alt rezultat datorat luiIshikawa ([28]) care a demonstrat ca pentru orice x, y ≥ 1 avem inegalitatea

π(xy) ≤ π(x) + π(y).

In [31] sunt demonstrate inegalitatile

π(x) <x

log x− 1, 12, x ≥ 4

si

π(x) <x

log x− 2829

, x ≥ 3299.

19

20 CAPITOLUL 3. CATEVA GENERALIZARI ALE INEGALITATII LUI LANDAU.

3.2 Margini superioare pentru π(x+ y).

Urmatoarele inegalitati sunt ınrudite cu inegalitatea Hardy-Littlewood, ınsa mai ”slabe”totusi. Mai precis, este vorba despre inegalitatea lui Schinzel ([29]),

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y),

pentru min{x, y} ≤ 146, si inegalitatea lui Segal

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y),

pentru x+ y ≤ 101, 081.

Teorema 3.2.1. Fie x ≥ y ≥ 2 numere ıntregi. Atunci are loc inegalitatea

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y) + π(x− y).

Demonstratie. Fie x ≥ y ≥ 2. Pentru y ≤ 146, din inegalitatea lui Schinzel, rezulta cateorema noastra este adevarata. Presupunem ca x ≥ y > 146. Daca x − y ≥ 67, atuncidin inegalitatea Rosser-Schoenfeld,

x

log x− 12

< π(x) <x

log x− 32

,

vom obtine

E(x, y) = π(x) + π(y) + π(x− y) >x

log x− 12

+y

log y − 12

+x− y

log(x− y)− 12

>

>2x− y

log x− 12

+y

log y − 12

=2x

log x− 12

+y log y

x(log x− 1

2

) (log y − 1

2

) >>

2xlog x− 1

2

>2x

log 2x− 1, 12.


log x− 2829

, x ≥ 3299, avem

E(x, y) > π(2x) ≥ π(x+ y).

Acum, studiem cazul cand x− y < 67 si x ≥ y ≥ 146.Daca x ≤ 55, 00, atunci din inegalitatea lui Segal rezulta concluzia teoremei noastre.

Acum precum presupunem ca x > 55, 00 de unde rezulta ca y > y − 67 > 50, 00 si avemca π(x+ y) ≤ π(2y + 67). Prin urmare este suficient sa aratam ca

π(2y + 67) ≤ 2π(y), ∀y > 50, 00.

Folosind inegalitatile π(x) <x

log x− 1, 12, x ≥ 4 si π(x) <

x

log x− 2829

, x ≥ 3299, vom

obtine

π(2y + 67) <2y + 67

log(2y + 67)− 1, 12<

2y + 67log 2y − 1, 12

<2y + 67

log 2y − 0, 43

3.2. MARGINI SUPERIOARE PENTRU π(X + Y ). 21

si 2π(y) >2y

log y − 2829

.

Din acest moment este suficient sa demonstram

2ylog y − 28

29

>2y + 67

log y − 0, 43

care este adevarata pentru y > 50, 00. �

Teorema 3.2.2. Pentru numerele ıntregi x ≥ y ≥ 2 are loc inegalitatea

2π(x+ y)x+ y

≤ π(x)x

+π(y)y

,

exceptand cazurile x = 3, y = 2 si x = 5, y = 2.

Demonstratie. Fie x, y ≥ 67 numere ıntregi. Aplicand inegalitatea Rosser-Schoenfeld

si inegalitatea elementara1a

+1b≥ 4a+ b

, a, b > 0, avem

π(x)x

+π(y)y

>1

log x− 12

+1

log y − 12

>4

log xy − 1.


log x− 1, 12, x ≥ 4 obtinem succesiv

2π(x+ y)x+ y

<2

log(x+ y)− 1, 12≤ 2

log 2√xy − 1, 12

=

=4

log xy − 2(1, 12− log 2)<

2log xy − 1

<π(x)x

+π(y)y

.

In cazul ın care min{x, y} < 67, alegem x ≥ y de unde avem ca y < 67. Din inegalitatealui Schinzel, obtinem

2π(x+ y)x+ y

≤ 2π(x) + π(y)

x+ y.

Pe de alta parte, are loc

2π(x) + π(y)

x+ y≤ π(x)

x+π(y)y

daca si numai dacaπ(x)x≤ π(y)

y. Ramane sa studiem cazul cand

π(x)x

>π(y)y

. In

acest caz este suficient sa demonstram ca

π(x+ y)x+ y

<π(y)y

pentru 2 ≤ y ≤ 66. Cum min2≤y≤66

π(y)y

=311

ramane de aratat caπ(x+ y)x+ y

≤ 311

care

este edevarata pentru x + y ≥ 81. Cand x + y ≤ 80 inegalitatea poate fi verificata cuajutorul unui calculator. �

22 CAPITOLUL 3. CATEVA GENERALIZARI ALE INEGALITATII LUI LANDAU.

Teorema 3.2.3. Pentru x, y ≥ 2 numere ıntregi avem

π2(x+ y) ≤ 2(π2(x) + π2(y)).

Demonstratie. Pentru x ≥ 67 consideram functia f(x) =x2

log x− 12

. Un calcul simplu

al celei de-a doua derivate arata ca

f ′′(x) =2

(log x− 1/2)2

(log2 x− 4 log x+

194

)> 0.

Deci, f este convexa. Astfel, pentru x, y ≥ 67 aplicand inegalitatea lui Jensen obtinem

2(π2(x) + π2(y)) ≥ 2(f(x) + f(y)) ≥ 4f(x+ y

2

)=

(x+ y)2

(log x+y2 − 1/2)2

>

>

(x+ y

log(x+ y)− 1, 12

)2

≥ π2(x+ y),

unde am folosit inegalitatile Rosser-Schoenfeld si inegalitatea π(x) <x

log x− 1, 12,∀x ≥

4. In cazul ın care x ≥ y si y ≤ 66, din inegalitatea lui Schinzel, obtinem

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y) < π(x) + 18.

Cum π(y) ≥ 1 este suficient sa aratam ca (π(x) + 18)2 ≤ 2(π2(x) + 1) adica π(x) ≥ 44,i.e. x ≥ 193. Cazurile 2 ≤ y ≤ x ≤ 193 sunt consecinte ale inegalitatii lui Segal. �

Capitolul 4

O inegalitate ın legatura cuconjectura Hardy-Littlewood.

4.1 Introducere.

In acest capitol, vom studia semnul expresiei

Dα(x, y) = πα(x+ y)− πα(x)− πα(y),

unde α 6= 1 este un numar real si x, y ≥ 2 sunt numere ıntregi. Ca de obicei, π(x)reprezinta numarul numerelor prime mai mici sau egale cu x. Reamintim ınca o data capentru α = 1 conjectura Hardy-Littlewood afirma ca Dα(x, y) ≤ 0, ∀x, y ≥ 2.

In cele ce urmeaza reamintim cateva rezultate care ne vor fi utile ın demonstrarearezultatelor principale ale acestui capitol.

-inegalitatea Montgomery si Vaughan ([18]),

π(x+ y) ≤ π(x) + 2π(y),∀x, y ≥ 2

-inegalitatea Schinzel ([29]),

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y),∀x, y ≥ 2,min{x, y} ≤ 146

-inegalitatea Segal ([22]),

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y),∀x, y ≥ 2, x+ y ≤ 101, 081

-inegalitatea Panaitopol ([16]),

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y), ∀x ≥ y ≥ ax, x ≥ exp(9a−2), a ∈ (0, 1).

4.2 Studiul lui Dα(x, y) pentru α > 1.

Teorema 4.2.1. Pentru α > 1 nu exista numar natural M astfel ıncat pentru oricex, y ≥M , sa avem Dα(x, y) are semn constant.

23

24CAPITOLUL 4. O INEGALITATE IN LEGATURA CU CONJECTURA HARDY-LITTLEWOOD.

Demonstratie. Daca x = y, atunci

Dα(x, y) = πα(2x)− 2πα(x).

Din teorema numerelor prime π(x) ∼ x

log xavem

Dα(x, x) ∼ (2α − 1)xα

logα x.

Astfel, pentru x suficient de mare avem Dα(x, x) > 0.Consideram sirurile (xn)n≥1 si (yn)n≥1 definite prin xn = (n+1)!+1 respectiv yn = n.

Pe de alta parte, toate numerele

(n+ 1)! + 2, (n+ 1)! + 3, . . . , (n+ 1)! + (n+ 1)

nu sunt prime, de unde avem ca π(xn + yn) = π(xn) si astfel obtinem

limn→∞

(πα(xn + yn)− πα(xn)− πα(yn) = limn→∞

(−πα(yn) = −∞.

Prin urmare, pentru n suficient d emare, avem Dα(xn, yn) < 0 si astfel teorema estedemonstrata. �

4.3 Studiul lui Dα(x, y) pentru α < 1.

Teorema 4.3.1. Pentru α < 1 exista M = M(α) (explicit calcularbila) astfel ıncat pentruorice x, y ≥M sa avem

πα(x+ y) ≤ πα(x) + πα(y).

Demonstratie. Pentru α ≤ 0 inegalitatea este evident adevarata. De asemenea, pentru

0 < α ≤ log 2log 3

, concluzia rezulta din inegalitatea lui Montgomery si Vaughan ın modul

urmator: fie x ≥ y ≥ 2 numere ıntregi si notam cu π(x) = a si π(y) = b si avemca a ≥ b ≥ 1. Inegalitatea Montgomery si Vaughan devine π(x + y) ≤ a + 2b de undeπα(x+y) ≤ (a+2b)α. Ne ramane sa verificam faptul ca functia f(a) = (a+2b)α−aα−bα ≤0. Derivata sa este f ′(a) = α((a + 2b)α−1 − aα−1) < 0 ceea ce arata ca f este strictdescrescatoare. Pentru a ≥ b avem

f(a) ≤ f(b) = bα(3α − 2) ≤ 0.

Deci, pentru α ≤ log 2log 3

putem lua M(α) = 2.

De acum ıncolo vom presupune 1 > α >log 2log 3

si ca x ≥ y. Vom considera doua cazuri:

i) Fie π(x) ≥ (2α)1

α−1π(y). Din relatiile anterioare trebuie sa aratam ca f(a) ≤ 0pentru orice a ≥ (2α)

1α−1 b.

ıntr-adevar, avem

f(a) ≤ f((2α)1

1−α b) = bα(((2α)1

1−α + 2)α − ((2α)1

1−α )α − 1).

Pe de alta parte, din teorema lui Lagrange aplicata functiei u 7→ uα vom obtine

4.3. STUDIUL LUI Dα(X,Y ) PENTRU α < 1. 25

((2α)1

1−α + 2)α − ((2α)1

1−α )α = 2αθα−1,

pentru (2α)1

α−1 θ < (2α)1

α−1 + 2. Cum θα−1 <1

2α, avem ca 2αθα−1 < 1, deci f(a) ≤ 0.

ii) Fie π(x) < (2α)1

α−1π(y). Din inegalitatea Rosser-Schoenfeld,

x

log x− 12

< π(x) <x

log x− 32

,

rezulta ca pentru x ≥ y ≥ 67 avem

x

log x− 12

<βy

log y − 32

,

cu β = (2α)1

1−α . Daca presupunem ca y <x

2βatunci avem log x <

52

+ 2log2 + 2 log β

care este falsa pentru x > 4β2 exp(52

). Prin urmare suntem ın cazul ın care

β

2· x ≤ y < x,

β

2· x ≥ 67, x > 4β2 exp(5/2).

Din x > 4β2 exp(5/2) avemβx

2≥ 67 si inegalitatea Panaitopol, obtinem ca pentru

x ≥ max(4β2 exp(5/2), exp(36/β2) = M1 ca

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y)

care implica ca pentru a, b > 0 si α ∈ (0, 1) avem (a + b)α < aα + bα si astfel pentrux, y ≥ M(α) := max(1, β/2)) · M1 inegalitatea noastra este adevarata, deci concluziadecurge imediat. �

Din considerentele de mai sus rezulta si urmatoarea inegalitate

π3/4(x+ y) ≤ π3/4(x) + π3/4(y),∀x, y ≥ 2.

26CAPITOLUL 4. O INEGALITATE IN LEGATURA CU CONJECTURA HARDY-LITTLEWOOD.

Capitolul 5

Alte inegalitati pentru functia denumere prime π(x). Aplicatii.

5.1 Introducere si noi inegalitati de tip Rosser si Schoenfeld.

In acest capitol vom folosi notatiile standard, anume θ(x)∑p≤x

log p si π(x)∑

p≤x,prim

1. Asa

cum am mai amintit si ın capitolele anterioare, cele mai ”tari” inegalitati pentru functiaπ(x) sunt cele date de Rosser si Schoenfeld ([3]), anume

x

log x− 1/2< π(x), x ≥ 67,

si

x

log x− 3/2> π(x), x ≥ e3/2.

Demonstratia inegalitatilor de mai sus nu este deloc elementara si necesita un aparatdestul de sofisticat bazat pe calculul primelor 25000 de zerouri ale functiei zeta a luiRiemann ζ(s). Mai tarziu, Rosser si Schoenfeld au calculat 35000000 de zerouri ale functieizeta a lui Riemann pe banda critica ([3], [19], [21]). Alte rezultate obtinute de Rosser siSchoenfeld pentru functia lui Cebasev sunt urmatoarele inegalitati:

θ(x) < x, x < 108,

|θ(x)− x| < 2, 05282√x, x < 108,

|θ(x)− x| < 0, 0239922x

log x, x ≥ 758711,

|θ(x)− x| < 0, 0077629x

log x, x ≥ e22.

|θ(x)− x| < 8, 072x

log2 x, x ≥ 1.

Din inegalitatile de mai sus rezulta urmatoarea

27

28CAPITOLUL 5. ALTE INEGALITATI PENTRU FUNCTIA DE NUMERE PRIME π(X). APLICATII.

Lema 5.1.1. Avem inegalitatile

θ(x) < x

(1 +

13(log x)1,5

), x > 1

θ(x) > x

(1− 2

3(log x)1,5

), x ≥ 6400.

Pe baza lemei de mai sus, vom enunta si demonstra

Teorema 5.1.2. Au loc inegalitatile:

π(x) <x

log x− 1− (log x)−0,5, x ≥ 6

π(x) >x

log x− 1 + (log x)−0,5, x ≥ 59.

Demonstratie. Din cunoscuta relatie

π(x) =θ(x)log x

+∫ x

2

θ(t)t log2 t

dt

combinata cu inegalitatea

θ(x) < x

(1 +

13(log x)1,5

), x > 1,

va da

π(x) <x

log x+

x

3(log x)2,5+∫ x

2

dt

log2 t+

13

∫ x

2

dt

(log t)3,5=

=x

log x

(1 +

13(log x)1,5

+1

log x

)− 2

log2 2+ 2

∫ x

2

dt

log3 t+

13

∫ x

2

dt

(log t)3,5.

Cum

− 2log2 2

+13

∫ x

2

dt

(log t)3,5− 7

3

∫ x

2

dt

log3 t,

rezulta

π(x) <x

log x

(1 +

13(log x)1,5

+1

log x

)+

73

∫ x

2

dt

log3 t.

Astfel, pentru x ≥ e18,25 definim functia

f(x) =23· x

(log x)2,5− 7

3

∫ x

2

dt

log3 t

a carei derivata este egala cu f ′(x) =2 log x− 7(log x)0,5 − 5

3(log x)3,5> 0, ceea ce implica fap-

tul ca f este strict crescatoare. Pe de alta parte, este cunoscuta inegalitatea ”trapezelor”pentru functii convexe, anume

5.1. INTRODUCERE SI NOI INEGALITATI DE TIP ROSSER SI SCHOENFELD. 29

∫ b

ag(x)dx ≤ (b− a)

n

(g(a) + g(b) +

n−1∑k=1

g

(a+ k

(b− a)n

)),

unde g : [a, b] → R este functie convexa. Aplicand inegalitatea de mai sus pe fiecare

din intervalele [2, e], [e, e2], . . . , [e17, e18], [e18, e18,25] pentru functia convexa g(x) =1

log3 tsi n = 105 pentru a obtine ca ∫ e18,25

2

dt

log3 t< 16780.

Astfel, avem f(e18,25) >13

(118507−118090) > 0, deci f(x) > 0 ceea ce implica pentru

x ≥ e18,25

π(x) <x

log x

(1 +

1log x

+1

(log x)1,5

)<

x

log x− 1− (log x)−0,5.

Acum fie x ≤ e18,25 < 108. Folosing inegalitatea θ(x) < x obtinem

π(x) =θ(x)x

+∫ x

2

θ(t)t log2 t

dt <x

log x+∫ x

2

dt

log2 t=

=x

log x

(1 +

1log x

)− 2

log2 2+ 2

∫ x

2

dt

log3 t.

Pentru 4000 ≤ x < 108 definim functia

g(x) =x

(log x)2,5− 2

∫ x

2

dt

log3 t+

2log2 2

a carei derivata este egala cu

g′(x) =log x− 2(log x)0,5 − 2, 5

(log x)3,5> 0.

Prin urmare, g este strict crescatoare, g(e11) > 149 − 2∫ e11

2

dt

log3 t> 149 − 140 > 0,

deci pentru e11 ≤ x > 108 rezulta

π(x) <x

log x

(1 +

1log x

+1

(log x)1,5

)<

x

log x− 1− (log x)−0,5.

Pentru x ≥ 6 rezulta imediat ca log x− 1− (log x)−0,5 > 0. Astfel, pentru 6 ≤ x ≤ e11,inegalitatea care ne ramane de demonstrat este

h(x) =x

π(x)+ 1 + (log x)−0,5 − log x > 0.

Daca pn este al n-lea numar prim, atuci h este crescatoare pe intervalul [pn, pn+1), decieste suficient sa aratam ca h(pn) > 0. Cum pn < e11, are loc inegalitatea (log pn)−0,5 > 0, 3


si, deci este suficient sa demonstram capnn− log pn > −1, 3 care poate fi verificata cu

ajutorul unui calculator pentru e11 > pn ≥ 7.Acum, pentru cea de-a doua inegalitate, folosim inegalitatile θ(x) < x si θ(x) >

x

(1− 2

3(log x)1,5

), x ≥ 6400 de unde va rezulta ca

π(x)− π(6400) =θ(x)log x

− θ(6400)log 6400

+∫ x

6400

θ(t)t log2 t

dt.

Cum π(6400) = 834 si θ(6400)/ log 6400 < 6400/ log 6400 < 731 avem

π(x) > 103 +θ(x)x

+∫ x

6400

θ(t)t log2 t

dt.

Vom obtine

π(x) > 103 +x

log x− 2x

3 log2,5 x+∫ x

6400

dt

log2 t− 2

3

∫ x

6400

dt

log3,5 t=

= 103 +x

log x− 2x

3 log2,5 x+

x

log2 x− 6400

log2 6400+

+2∫ x

6400

dt

log3 t− 2

3

∫ x

6400

dt

log3,5 t>

>x

log x

(1 +

1log x

− 23 log1,5 x

)>

x

log x− 1 + (log x)−0,5.

Ultima inegalitate este echivalenta cu 2z3 − 5z2 + 3z − 1 < 0, unde z = 9 log x)−0,5 <

0, 34. Cum z(1− z) < 14

avem ca z(1− z)(3− 2z) ≤ (3− z)/4 < 1, deci inegalitatea esteadevarata pentru x ≥ 6400. Acum pentru x < 6400 trebuie sa aratam ca

α(x) = − x

π(x)+ log x− 1 +

1√log x

> 0.

Pe intervalul [pn, pn+1) functia de mai sus este crescatoare. Din inegalitatea pn − 1 ≤6399 avem (log(pn − 1))−0,5 > 0, 337, deci este suficient sa verificam

log(pn − 1)pn − 1

− pn − 1n− 1

> 0, 663

care este adevarata pentru orice n ≥ 36. Pentru n < 36 se verifica cu un calculatorceea ce arata ca pentru x ≥ 59 inegalitatea este adevarata. �

5.2 Aplicatii.

Inainte de a prezenta aplica tii ale inegalitatilor prezentate in paragraful precedent, ream-intim deja clasica inegalitate a lui Landau

π(2x) ≤ 2π(x),∀x ≥ 2.

In [26], Karanikalov demonstreaza faptul ca daca a ≥ e1/4 si x ≥ 364 atunci

5.2. APLICATII. 31

π(ax) < aπ(x).

De asemenea, reamintim si rezultatul lui Udrescu: pentru 0 < ε ≤ 1 si εx ≤ y ≤ x,avem

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y),

unde x, y sunt suficient de mari.

In cele ce urmeaza vom ıntari aceste rezultate.

Teorema 5.2.1. Daca a > 1 si x ≥ e4(log a)−2atunci

π(ax) < aπ(x).

Demonstratie. Folosim inegalitatile din Teorema 5.1.2 avem pentru ax ≥ 6,

π(ax) <ax

log ax− 1− (log ax)−0,5.

Pentru x ≥ 59 are loc

aπ(x) >ax

log x− 1 + (log x)−0,5.

Ne ramane sa demonstram

log a > (log ax)−0,5 + (log x)−0,5.

Cum x ≥ e4(log a)−2rezulta ca log x ≥ 4(log a)−2 de unde obtinem

(log ax)−0,5 + (log x)−0,5 < log a.

In plus, din x > e4(log a)−2obtinem ca ax ≥ 6, deci teorema este demonstrata.

Teorema 5.2.2. Daca a ∈ (0, 1] si x ≥ y ≥ ax, x ≥ e9a−2, atunci

π(x+ y) ≤ π(x) + π(y).

Demonstratie. Cum e9a−2

> 59 putem aplica inegalitatile din Teorema 5.1.2 si neramane sa aratam ca

x+ y

log(x+ y)− 1− (log(x+ y))−0,5<

<x

log x− 1 + (log x)−0,5+

y

log y − 1 + (log y)−0,5,

i.e.

x

log(x)− 1 + (log x)−0,5

(log(

1 +y

x

)− log(x+ y)−0,5 − (log x)−0,5

)+


+y

log(y)− 1 + (log y)−0,5

(log(

1 +x

y

)− log(x+ y)−0,5 − (log y)−0,5

)> 0.

Din x ≥ e9a−2rezulta log x >

9a2

, i.e.

(log(x+ y))−0,5 + (log x)−0,5 <2a3.

Pe de alta parte, avem inegalitatile

log(

1 +y

x

)≥ log(1 + a) >

2a2a+ 1

≥ 2a3,

(log(x+ y))−0,5 < a/3, log y ≥ log a+ log x ≥ log a+ 9a−2 ≥ 9,

i.e.

(log(x+ y))−0,5 + (log y)−0,5 <a

3+

13≤ 2

3< log 2 ≤ log

(1 +

x

y

).

Astfel, teorema este demonstrata. �

5.3 Un rezultat de tip de inegalitate Hardy-Littlewood.

Inegalitatea Hardy-Littlewood, π(x + y) ≤ π(x) + π(y),∀x, y ≥ 2 a fost demonstrataparagraful trecut In ipoteze suplimentare precum si ın celalalte capitole ale lucrarii. Oinegalitate de tip Hardy-LIttlewood a fost obtinuta de Montgomery si Vaughan ([18]),

π(x+ y) < π(x) + 2π(y),

unde x, y ≥ 2 sunt numere ıntregi. Pe de alta parte, ın [33] este propusa si forma slabaa conjecturii Hardy-Littlewood,

π(x+ y) ≤ 2π(x/2) + π(y).

Pe baza Teoremei 5.1.2 demonstram

Teorema 5.3.1. Daca x, y sunt numere ıntregi positive cu x ≥ y ≥ 2 si x ≥ 6, atunci areloc forma slaba a conjecturii Hardy-Littlewood.

Demonstratie. In primul rand aratam validitatea inegalitatii ın cazul ın care x ≥ y, x ≥7500, y ≥ 2000. Intr-adevar, din Teorema 5.1.2 rezulta

2π(x/2) + π(y)− π(x+ y) >

>

x

(log(1 + y

x

)+ log 2− 1√

log(x/2)− 1√

log(x+y)

)(

log(x/2)− 1 + 1√log(x/2)

)(log(x+ y)− 1 + 1√

log(x+y)

)+

5.3. UN REZULTAT DE TIP DE INEGALITATE HARDY-LITTLEWOOD. 33

+y

(log(

1 + xy

)− 1√

log(y)− 1√

log(x+y)

)(

log(y)− 1 + 1√log(y)

)(log(x+ y)− 1 + 1√

log(x+y)

) .Din inegalitatile

1√log y

+1√

log(x+ y)≤ 1√

log 2000+

1√log 9500

< log 2 ≤ log(

1 +x

y

),

1√log(x/2)

+1√

log(x+ y)≤ 1√

log 3750+

1√log 9500

< log 2 ≤ log(

1 +x

y

)< log 2.

Mai departe, demonstram ca daca x ≥ 25000, atunci

π(x+ 2000) < 2π(x/2).

Folosing din nou Teorema 5.1.2 obtinem

2π(x/2)− π(x+ 2000) >f(x)g(x)− 2000

log(x+ 2000)− 1− 1√log(x+2000)

unde

f(x) =x

log(x/2)− 1 + 1√log(x/2)

si

g(x) = log(

2 +4000x

)− 1√

log(x/2)− 1√

log(x+ 2000).

Acum, pentru x ≥ 195000 avem

g(x) > log 2− 1√log 97500

− 1√log 197000

> 0, 1116

si

f(x) > f(195000) > 18084, 6

de unde deducem ca f(x)g(x) > 2000, deci π(x+ 2000) ≤ π(x).Verificand cu calculatorul un numar prim de forma x+2000 si x < 195000 s-a constatat

ca x ≥ 25000.In concluzie, din cele demonstrate mai sus, rezulta ca forma slaba a inegalitatii Hardy-

Littlewood este adevarata pentru x ≥ 25000 si y < 2000. Totodata ea are loc si pentrunumere ıntregi pozitive care satisfac x ≥ 25000 si astfel mai ramane cazul y ≤ x < 25000care se pot verifica cu ajutorul unui calculator. �

Remarca. Avand ın vedere cunoscuta inegalitate


π(y) ≤ 2π(y/2)

pentru y ≥ 6 din Teorema 5.3.1 va rezulta urmatoarea inegalitate:

π(x+ y) ≤ 2(π(x/2) + π(y/2)),

pentru x, y ≥ 4.

Bibliografie

[1] Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse,Monatsberichte der Berliner Akademie(1859), 671-680.

[2] G.J.O. Jameson, Analytic Number Theory, Cambridge University Press, 2004.

[3] J.B. Rosser, L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime num-bers, Ilinois J. Math. 6(1962), 64–94.

[4] G. Robin, Estimation de la fonction de Tschebyshev θ sur le k-ieme nombre pre-mier et grandes valeurs de la fonction ω(n); nombre des diviseurs de n, Acta Arith.43(1982), 367–389.

[5] H. Iwaniec, E. Kovalski, Analytic Number Theory, American Mathematical SocietyPress, vol. 53, 2004.

[6] D. Zagier, Newman’s short proof of the prime number theorem, Amer. Math.Monthly 104(1997), 705–708.

[7] H.G. Diamond, Elementary methods in the study of the distribution of prime num-bers, Bull. Amer. Math. Soc. 7(1982), 553–589.

[8] A. Gica, L. Panaitopol, O Introducere ın Aritmetica si Teoria Numerelor, EdituraUniv. Bucuresti, 2001.

[9] B. Petersen, Prime Number Theorem, preprint.

[10] P. Dusart, Autour de la fonction qui compte le nombre des nombres premiers, Tezade Doctorat, 1998.

[11] D. Goldfeld, The elementary proof of the prime number theorem: a historical per-pective, preprint.

[12] W. Narkiewicz, The Development of Prime Number Theorem, Springer Verlag, 2000.

[13] K.S. Chandrasekharan Arithmetical Functions, Springer Verlag, 1970.

[14] L. Panaitpol, On a theorem of Edmund Landau, Analele Unibuc 49(2000), 67–72.

[15] L. Panaitpol, An inequality related to Hardy-Littlewood conjecture, Analele Unibuc49(2000), 163–166.

[16] L. Panaitpol, Inequalities concerning the function π(x): Applications, Acta Arith.94(2000), 373–381.

35

36 Bibliography

[17] V. Udrescu, Some remarks concerning the conjecture π(x + y) < π(x) + π(y), Rev.Roumaine Math. Pures Appl. 20(1975), 1201–1208.

[18] H. Montgomery, R. Vaughan, The large sieve, Mathematika 20(1973), 291–298.

[19] J.B. Rosser, L. Schoenfeld, Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) andψ(x) , Math. Comp. 129(1975), 243–269.

[20] J.B. Rosser, L. Schoenfeld, Abstract Scientific Communications , Internat. Congr.Math., Moskow, 1966, Section 3: Theory of Numbers.

[21] L. Schoenfeld, Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x) II, Math.Comp. 134(1976), 337–360.

[22] S.L. Segal, On π(x+y) ≤ π(x)+π(y), Trans. Amer. Math. Soc. 104(1962), 523–527.

[23] L. Panaitopol, Some generalizations for a theorem by Landau, Math. Inequal. Appl.(MIA) 4(2001), 327–330.

[24] D.S. Mitrinovic, J. Sandor, B. Cristici, Handbook of Number Theory, KluwerAcademci Publishers, Dordecht, 1996.

[25] G.H. Hardy, J.E. Littlewood, Some problems of partitio numerorum III, Acta Math.44(1923), 52–54, 69.

[26] C. Karanikalov, On some properties of function π(x), Publ. Electroteh. Beograd4(1971), 29–30.

[27] E. Landau, Hanbuch der Lehre der Verteilung der Primzahlen, Reprinted Chelsea,New York, 1953.

[28] H. Ishikawa, Uber die Verteilung der Primzahlen, Sci. Rep. Tokyo 2(1934), 27–40.

[29] A. Schinzel, Remarks on te paper ”Sur certaines hypotheses concernant les nombrespremiers”, Acta Arith. 7(1961), 1–8.

[30] D.H. Lehmer, On the roots of the Riemann zeta-functions, Acta Math. 95(1956),291–298.

[31] L. Panaitopol, Several approximations of π(x), Math. Inequal. Appl. (MIA) 2(1999),317–324.

[32] P. Dusart, Sharper bounds for ψ, θ, π, pk, C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada21(1999), 53–59.

[33] R. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer Verlag, 1981.

INEGALITAT˘I DE TIP LANDAU S˘I HARDY-LITTLEWOOD PENTRU ...€¦ · Estimarea de mai sus ar...

Documents

Transcript of INEGALITAT˘I DE TIP LANDAU S˘I HARDY-LITTLEWOOD PENTRU ...€¦ · Estimarea de mai sus ar...