Eletricidade Aplicada - Engenharia Civil · Teorema da Superposição Num circuito com duas ou mais...

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Eletricidade Aplicada

Redes Δ e Y

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Eletricidade Aplicada

Conversão de rede Δ para Y

Ra=R1⋅R3

R1+R2+R3Rb=

R1⋅R2R1+R2+R3

Rc=R2⋅R3

R1+R2+R3

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Eletricidade Aplicada

Conversão de rede Y para Δ

R1=Ra⋅Rb+Rb⋅Rc+Ra⋅Rc

RcR2=

Ra⋅Rb+Rb⋅Rc+Ra⋅RcRa

R3=Ra⋅Rb+Rb⋅Rc+Ra⋅Rc

Rb

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Eletricidade Aplicada

Exercício

Calcule a rede equivalente Y para R1=4Ω, R2=10Ω e R3=6Ω.

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Eletricidade Aplicada

Utilizando as fórmulas abaixo

Ra=R1⋅R3

R1+R2+R3Rb=

R1⋅R2R1+R2+R3

Rc=R2⋅R3

R1+R2+R3

Temos (R1=4Ω, R2=10Ω, R3=6Ω)

Rb=4⋅10

4+10+6=4020

=2 Ω

Rc=10⋅6

4+10+6=6020

=3 Ω

Ra=4⋅6

4+10+6=2420

=1,2 Ω

Valores em Ω

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Eletricidade Aplicada

Exercício

Calcule a rede equivalente Δ para Ra=10Ω, Rb=20Ω e Rc=30Ω.

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Eletricidade Aplicada

Utilizando as fórmulas abaixo

Temos (Ra=10Ω, Rb=20Ω, Rc=30Ω)

R1=Ra⋅Rb+Rb⋅Rc+Ra⋅Rc

RcR2=

Ra⋅Rb+Rb⋅Rc+Ra⋅RcRa

R3=Ra⋅Rb+Rb⋅Rc+Ra⋅Rc

Rb

R1=10⋅20+20⋅30+10⋅30

30=200+600+300

30=110030

=36,67

R2=10⋅20+20⋅30+10⋅30

10=200+600+300

10=110010

=110

R3=10⋅20+20⋅30+10⋅30

20=200+600+300

20=110020

=55

Ω

Ω

Ω

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Eletricidade Aplicada

Valores em Ω

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Eletricidade Aplicada

Δ em Y:Produto dos adjacentes pela soma

Y em Δ:Soma do produto dois a dois pelo oposto

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Eletricidade Aplicada

Teorema da Superposição

Num circuito com duas ou mais fontes, a corrente ou tensão para qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte atuando independentemente.Para se utilizar uma fonte de cada vez, todas as outras fontes são substituidas por um curto-circuito.

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Eletricidade AplicadaTeorema da Superposição

Para o circuito abaixo,determinar I1, I2 e I3.

1º Passo: Substituir V2 por um curto-circuito e analisar o circuito.

I1

I3

I2

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Eletricidade Aplicada

==>

I1a

==>

I1a=V1R5

=31,5

=2A

VR4

VR4=I1a⋅R4=2⋅0,5=1 V

VR3

VR2

VR2=VR3=VR4=1 V

I2a

I3a

I2a=VR2R2

=11=1A

I3a=VR3R3

=11=1A

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Eletricidade Aplicada2º Passo: Substituir V1 por um curto-circuito e analisar o

circuito.

==> ==>

I2b

I2b=V2R5

=4,51,5

=3A

VR4

VR4=I2b⋅R4=3⋅0,5=1,5 V

VR1

VR3

VR1=VR3=VR4=1,5 V

I1b

I1b=VR1R1

=1,51

=1,5 A

I3b

I3b=VR3R3

=1,51

=1,5A

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Eletricidade Aplicada

I1

I3

I2

I1a I1b

I2a I2b

I3a I3b

I1 = I1a – I1b = 2 – 1,5 = 0,5 A

I2 = I2a – I2b = 1 – 3 = -2A

I3 = -I3a – I3b = 1 – 1,5 = -2,5A

Aplicando a superposição

I1 = 0,5AI2 = -2AI3 = -2,5A

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Eletricidade Aplicada

I1

I3

I2

Por Kirchhoff

I1+I3=I 2(1)

V1−R1⋅I1+I3⋅R3=0 (2)

3−I1+I 3=0

−I1=−I 3−3

I1=I3+3

−I 3−I2−4,5=0

−R3⋅I3−R2⋅I2−V2=0(3)

−I 3−(I1+I 3)−4,5=0

−2I3−I1−4,5=0

I1=−2 I3−4,5

I3+3=−2I3−4,5

I3+2 I3=−3−4,5

3 I3=−7,5

I3=−2,5 A

I1=I3+3

I1=−2,5+3=0,5A

I2=I1+ I3=0,5−2,5=−2 A

I1 = 0,5AI2 = -2AI3 = -2,5A

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Eletricidade Aplicada

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Eletricidade Aplicada

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Eletricidade Aplicada

Teorema de Norton

VB

IN

RN

RI

Os circuitos serão equivalentes se:IN = V

B/R

I e R

N = R

I

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Eletricidade Aplicada

Teorema de Norton

VB

IN

RN

RI

Os circuitos serão equivalentes se:IN = V

B/R

I e R

N = R

I

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Eletricidade Aplicada

Teorema de Norton

O teorema de Norton estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto pode ser representado por uma fonte de corrente (igual à corrente do ponto em curto-circuito) em paralelo com uma resistência (igual à resistência do circuito vista deste ponto, com as fontes de tensão em curto-circuito).

Teorema de NortonTeorema de NortonTeorema de Norton

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Teorema de Norton

30Ω

VR5 = ?

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Eletricidade Aplicada

Teorema de Norton

IN

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Eletricidade Aplicada

Teorema de Norton

I1 I2

I3

a

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Eletricidade Aplicada

Teorema de Norton

Nó a: I1 + I3 = I2 => I3 = I2 - I1

Malha 1: 12 – 20I1 + 80I3 – 6 – 60I1 = 06 – 80I1 + 80(I2 – I1) = 06 – 160 I1 + 80I2 = 0– 160I1 + 80I2 = – 6 (1)

Malha 2: 6 – 80I3 – 50I2 = 06 – 80(I2 – I1) – 50I2 = 06 – 80I2 + 80I1 – 50I2 = 080I1 – 130I2 = - 6 (X2)160I1 – 260I2 = -12 (2)

Somando (1) e (2)– 180I2 = – 18I2 = 18 / 180 = 0,1 A = I

N

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Eletricidade Aplicada

Teorema de Norton

RN

RN = 50 + (80//(20+60)) = 90Ω

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Eletricidade Aplicada

Teorema de Norton

IN

RN R5

30Ω90Ω0,1A

VR5 = ?

VR5=IN⋅(RN //R5)=0,1⋅90⋅3090+30

=0,1⋅2700120

=0,1⋅22,5=2,25 V

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Eletricidade Aplicada

Análise de Circuitos em CC

Métodos de Análise:

● Leis de Kirchhoff● Teorema de Thévenin● Redes Y e Δ● Superposição● Teorema de Norton