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Teorema Π - construyendo ciencia enel aula

Miguel Angel Bernal Yermanos

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Bogota D.C, Colombia

2015

Teorema Π - construyendo ciencia enel aula

Miguel Angel Bernal Yermanos

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Magister en Ensenanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Ph.D., Doctor, Roberto Enrique Martinez Martinez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Bogota D.C, Colombia

2015

Dedicatoria

A Diego, Viviana, Juan Pablo y Noralba.

“El misterio inicial que concurre en todo viaje

es: ¿como fue que el viajero llego a su punto de

partida?”

Louise Bogan, Viaje alrededor de mi cuar-

to.

Agradecimientos

Quiero agradecer muy especialmente al Doctor Roberto Enrique Martınez Martınez profesor

de Fısica de la Universidad Nacional de Colombia y mi director, por su permanente apoyo y

dedicacion. Su experiencia y vision generalizadora fue y es el faro que consolido la multitud

de ideas que pasaron por mi mente al momento de plantear y elaborar esta propuesta.

Al Politecnico Grancolombiano y especialmente al profesor Hugo Edver Zamora Coronado

por toda la paciencia que me tuvo durante estos dos anos.

A mi esposa Noralba Melo Bedoya por su constante apoyo, sobre todo en aquellos momentos

en los que las cosas se tornaron difıciles.

A mis amigos Elkin Barreiro y Carlos Portilla.

ix

Resumen

La dificultad de los estudiantes para relacionar los conceptos y nociones propios de las

ciencias naturales aprendidos en la escuela con los fenomenos cotidianos a su entorno, hace

necesario que la comunidad educativa se preocupe por buscar alternativas a su ensenanza.

Este trabajo nace como una propuesta a la ensenanza de la fısica, en la que, de un lado se

busca evitar que los estudiantes en una etapa inicial den explicaciones subjetivas o precon-

ceptos y por el otro, que sean capaces de generar expresiones matematicas para centrar el

estudio en estas, con la posibilidad de proponer experimentos para comprobar lo obtenido e ir

afianzando las ideas propias de esta disciplina. El objetivo se alcanza con la implementacion

del teorema Π y el metodo de repeticion de variables dentro de una secuencia didactica.

Palabras clave: Ensenanza, conceptos, preconceptos, propuesta, expresiones matemati-

cas, experimentos, teorema Π, metodo de repeticion de variables.

Abstract

The difficulty of students to relate concepts and notions of natural science to their environ-

ment, leads to a worry in the educational community about developing alternatives methods

of teaching these concepts. This work was born as a proposal in physics education, which

on one hand, seeks to prevent students (at an early stage) giving subjective explanations

or preconceptions, and on the other, they may be able to create meaningful mathematical

expressions, or propose experiments to test the ideas of this discipline. The object is achieved

with the use of Buckingham Π theorem and the method of repeating variables as a teaching

sequence.

Keywords: Teaching, concepts, preconceptions, proposal, mathematical expressions,

experiments, Π theorem, repetition of variables method.

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

1. Introduccion 2

2. Teorema Pi de Buckingham 5

2.1. Similaridad dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Sistema Internacional y dimension fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Matriz dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Teorema Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Metodo de repeticion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6. Ejemplo tıpico - esfera que cae sin tener en cuenta la friccion del aire . . . . 12

2.7. Ejemplo - Esfera que cae teniendo en cuenta la friccion del aire . . . . . . . . 17

2.8. ¿Es posible predecir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.1. Sustentacion de una aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Ejemplos de la aplicacion del teorema Π 21

3.1. Mecanica de fluidos - Pompa de jabon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Fluido fluyendo por una tuberıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3. Fısica Nuclear - Parametro de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4. Problema tipo reto - Caıda de una pluma y una esfera . . . . . . . . . . . . 30

4. Estrategia y secuencia didactica 34

4.1. Preconceptos y la teorıa del cambio conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. Elementos conceptuales de la propuesta con el teorema Pi . . . . . . . . . . 35

4.3. Fundamentos de la propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4. Estrategia didactica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4.1. Secuencia didactica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4.2. Caracterizacion de la poblacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.3. Etapas de la secuencia didactica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Aplicacion de la secuencia a situaciones problema en el aula 39

5.1. Caıda libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Contenido 1

5.2. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3. Aceleracion centrıpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4. Teorema del trabajo y la energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6. Adimensionalizando ecuaciones - Oscilador amortiguado 47

7. Conclusiones y proyecciones 53

7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A. Anexo: Factores adimensionales famosos 57

B. Anexo: Aplicacion del teorema Π al problema de clase: Caıda libre. 58

C. Anexo: Aplicacion del teorema Π al problema de clase: Pendulo simple. 60

D. Anexo: Aplicacion del teorema Π al problema de clase: Aceleracion centrıpeta. 62

E. Anexo: Aplicacion del teorema Π al problema de clase: Trabajo y energıa cineti-

ca. 64

Bibliografıa 66

1. Introduccion

Las ideas con las que llegan los estudiantes al inicio de su formacion formal, escolaridad,

son tan arraigadas e impactan tan fuertemente el proceso ensenanza-aprendizaje que se han

convertido en un problema mundial [9][8][6][17] y en un autentico reto para los docentes de

ciencias. Este conjunto de ideas, que se les ha llamado preconceptos o concepciones intuitivas,

son tan persistentes que sobreviven a anos de ensenanza formal y metodica [10][17], dandose el

caso que estudiantes de las carreras de ciencias naturales, fısica, quımica, biologıa y geologıa,

siguen explicando fenomenos desde este marco de referencia alternativo, aun despues de haber

aprobado varios semestres de sus carreras [11][17]. Con lo anterior, es posible concluir que

los procesos tradicionales de ensenanza-aprendizaje de las ciencias naturales no motivan lo

suficiente y parecen incluso, inducir a que los jovenes aprendices expliquen el comportamiento

de fenomenos naturales de su entorno, recurriendo a sus “...experiencias previas del mundo

...”[13][19][9][6].

Esfuerzos desde muchas disciplinas para intentar dar respuesta a este problema, han llevado

a crear instituciones o asociaciones, como: el Assessment Performance Unit UK, del Reino

Unido o la American Association of Physiscs Teacher, por nombrar algunas. En Colombia,

la problematica no ha sido ajena al Ministerio de Educacion, quien a raız de la baja pun-

tuacion de los estudiantes en las pruebas internacionales, ha orientado polıticas educativas

que de alguna manera busquen explicacion y generen propuestas a tal situacion. En el ca-

so particular colombiano, los bajos resultados de los estudiantes en la ultima prueba pisa,

“En Colombia el 27 % se ubico en el nivel dos, el 13 % en niveles tres y cuatro y el 34 %

alcanzo el nivel uno. Este resultado muestra, que mas de la mitad de los evaluados tiene una

competencia cientıfica aplicable unicamente a situaciones con las que estan familiarizados y

dan explicaciones triviales que surgen explıcitamente de la evidencia disponible. Una menor

proporcion (27 %) logra dar explicaciones sobre sucesos cientıficos a partir de contextos fa-

miliares, llegan a conclusiones con base en esquemas simples de investigacion e interpretan

literalmente los resultados de una investigacion cientıfica” [1].

Por otro lado, las leyes fısicas son el producto de la observacion y la elaboracion teorica de

los cientıficos. En ocasiones para un joven aprendiz, no es claro la formulacion de las mismas

y tampoco es claro su razon logica. Cuando se dice que la segunda ley de Newton se establece

como:

F = ma,

no es claro el significado de la misma y de donde proviene dicha ley. Por esta razon, es de

3

utilidad poder elaborar estrategias en la clase para la ensenanza de la fısica y en general de

las ciencias naturales, que permitan entender de donde provienen estas elaboraciones y den

la posibilidad de construir montajes experimentales que lleven a su comprobacion y aporten

a la construccion de esquemas teoricos que den indicios de su pertinencia.

En el trabajo cientıfico de obtener leyes que describan fenomenos naturales, con el fin de

lograr un comportamiento deseado para un dispositivo o sistema, los fısicos, quımicos, inge-

nieros y otros, han ideado metodos como el diseno de experimentos, la simulacion de sistemas

naturales en computador, leyes parametricas o estadısticas, algoritmia, etc. Pero cualquiera

que sea el metodo, siempre se empieza por una hipotesis que usualmente esta ligada a un

conocimiento previo, que en el caso de los profesionales antes mencionados, esta muy bien

cimentado por el estudio continuo y juicioso de los principios de las ciencias durante anos de

formacion rigurosa y metodica.

Sin embargo, en los casos que trabaja la mecanica de fluidos, la gran cantidad de variables

en juego, hace que en ciertas condiciones las leyes cientıficas que fundamentan los compor-

tamientos de tales sistemas no se puedan aplicar, ya sea porque no es posible resolver las

ecuaciones (ecuacion de Navier-Stokes) o, porque es muy difıcil hacerlo [12][5]. Pero lo ante-

rior no detiene a los cientıficos a seguir avanzando y tan es ası que, los grandes avances en la

mecanica de fluidos hacen que cada vez se cuente con naves aeroespaciales mas sofisticadas

en cuanto a eficiencia aerodinamica y menor en costos de produccion. Para salvar lo anterior,

se han desarrollado metodos que permiten obtener conocimiento sin aplicar inicialmente los

fundamentos teoricos y uno de estos, posiblemente el mas usado, es el analisis dimensio-

nal y particularmente el metodo de repeticion de variables bajo la autoridad del famoso, en

ingenierıa, Teorema Pi de Buckingham.

Este ultimo es de particular interes para el trabajo propuesto en este documento, pues, tiene

caracterısticas que lo hacen atractivo para implementarlo como un metodo de ensenanza de

las ciencias naturales, en el cual se elude de alguna manera el problema de los preconceptos de

los estudiantes y da la posibilidad de generar expresiones matematicas simples, que describen

con gran precision algunos fenomenos naturales expuestos en los cursos de fısica, aplicable

tanto en el colegio como en primeros semestres de universidad en ingenierıa y, todo esto

sin la necesidad de contar con un gran respaldo teorico. Entre los rasgos distintivos que el

metodo puede aportar a la solucion del problema en la ensenanza estan:

No es necesario empezar con preconceptos o ideas previas.

No es necesario aplicar principios o leyes cientıficas para implementarlo.

Solo se requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Se obtiene una expresion matematica o una relacion funcional, que salvo una constante

adimensional por determinar, que en la mayorıa de casos lleva a sugerir un montaje

experimental.

4 1 Introduccion

Con todo lo anterior no solo es natural sino pertinente la pregunta que orienta este trabajo:

¿Como es posible aprovechar las ventajas del teorema Pi, para lograr que los

estudiantes de Fısica de los programas de ingenierıa generen expresiones ma-

tematicas simples, que exploren primeras explicaciones a fenomenos naturales,

sin que sea requisito conocer los principios de la fısica?

2. Teorema Pi de Buckingham

Es muy conocido en fısica que sistemas en campos aparentemente muy diferentes, por ejemplo

la mecanica y el electromagnetismo, tienen comportamientos similares y estan descritos por

ecuaciones que tienen exactamente la misma forma y por lo tanto la misma solucion.

“The same equations have the same solutions ...” Richard Feynman.

Por otro lado, los ingenieros obtienen provecho de esta situacion de similaridad, que tambien

se repite en sistemas del mismo tipo o en el mismo campo, pero que tienen diferentes valores

de escala y que da paso a la construccion de prototipos o modelos a escala, que redundan

en la posibilidad real de diseno de experimentos que permitan comprobar hipotesis con una

reduccion drastica en los costos de produccion y proteccion de la salud de las personas que

van operar tales dispositivos. Con estos prototipos y la posibilidad de hacer experimentos en

situaciones controladas y en ambientes seguros, se obtiene conocimiento del comportamiento

del correspondiente sistema a escala real en las condiciones que finalmente va a trabajar.

La propiedad que verifica que dos sistemas iguales en forma, pero diferentes en escala,

se comporten de la misma manera, se conoce como similaridad dinamica y la clave para

asegurarla es la igualdad de valor de ciertos factores adimensionales que solo dependen de

la naturaleza de los dos sistemas.

2.1. Similaridad dinamica

Se define similaridad dinamica entre dos sistemas que solo se diferencian en un factor de

escala de sus medidas, como la condicion que lleva a determinar el comportamiento mecanico

de un de los sistemas bajo ciertas condiciones, conociendo los valores de las propiedades del

otro. En mecanica de fluidos experimental, un sistema se conoce como prototipo y el otro es

el real el cual va entrar en operacion. Es claro que el diseno de un nuevo vehıculo terrestre,

marino o aereo o un edificio, pasa primero por la construccion del prototipo con el que se va

a predecir el comportamiento del real en ciertas condiciones, que normalmente son simuladas

en un tunel de viento o en una camara de agua.

Es una situacion comun que cientıficos e ingenieros que trabajan en mecanica de fluidos

experimental, se enfrenten a problemas donde el numero de variables es alto y los modelos

teoricos no proporcionan la informacion suficiente para predecir como se comportaran los

6 2 Teorema Pi de Buckingham

sistemas en determinadas condiciones. La posibilidad de disenar prototipos con el respaldo

de la similaridad dinamica, es una de las herramientas mas poderosas y favoritas cuando

toca caminar en la oscuridad.

Como se menciono anteriormente, es posible asegurar la similaridad dinamica entre dos

sistemas si estos comparten la igualdad en valor de ciertos factores adimensionales, por

ejemplo el numero de Reynolds, de Froude o el de Arquımedes, etc. Entre las ganancias de

conocer sus valores esta:

Asegurar similaridad dinamica.

Simplificar las expresiones matematicas que relacionan las magnitudes en juego toman-

do casos lımite.

La presentacion resumida de los datos experimentales.

Existen dos casos practicos donde estos factores adimensionales se pueden obtener:

Dividiendo los terminos de la ecuacion o ecuaciones, que gobiernan el comportamiento

dinamico del sistema por un factor dimensional apropiado, de tal forma que los deje

adimensionales. En este caso, es necesario conocer los modelos matematicos, las con-

diciones de frontera o incluso las ecuaciones constitutivas que describen la situacion

fısica particular.

Si no se conocen las ecuaciones, muy comun en investigacion, estos factores adimen-

sionales se pueden obtener a traves de un analisis dimensional.

Para el trabajo que se presenta en este documento, el interes se centra en el segundo metodo,

pues la idea es lograr que los estudiantes en el aula se aproximen a un modelo matematico

sin el conocimiento previo de los principios fısicos que detallan la evolucion temporal y

sin recurrir a ecuaciones o formulas magicas que respondan a todo lo que se les pregunte.

Situacion que los ubica en el caso de tratar de describir un fenomeno fısico con muy poca

informacion de las leyes que representan su comportamiento.

2.2. Sistema Internacional y dimension fısica

A finales de la decada de los sesenta del siglo pasado, la comunidad cientıfica se reunio en

Francia, con el fin de acordar un sistema de unidades de medidas universal que permitiera

que todos hablaran el mismo idioma en cuanto a comunicacion de resultados experimentales,

reportes de investigacion y avances tecnologicos. De esta forma nacio el llamado Sistema

Internacional SI1 de medidas, en el cual se definen siete magnitudes fısicas fundamentales

1Por sus siglas del frances, Systeme International.

2.2 Sistema Internacional y dimension fısica 7

y en terminos de estas se construyen todas las demas que se llamaran magnitudes fısicas

derivadas.

El mecanismo que permite construir magnitudes derivadas a partir de las fundamentales, es

la dimension fısica. En la siguiente tabla se muestra las magnitudes fundamentales seguida

de su correspondiente dimension fısica y de sus unidades en el sistema internacional e ingles:

Tabla 2-1.: Magnitudes fundamentales – Sistema Internacional.

Magnitud fundamental Dimension fısica2 Unidad SI Unidad Inglesa

Longitud L m ft

Masa M kg lbm

Tiempo T s s

Corriente electrica I A A

Cantidad de sustancia m mol mol

Temperatura termodinamica t K R

Intensidad luminosa i cd cd

La dimension fısica de magnitudes fısicas muy famosas como la velocidad, la fuerza, la

aceleracion, entre muchas otras, quedan en terminos de las fundamentales. En la siguiente

tabla, se listan algunas de las magnitudes fısicas derivadas mas usuales en los cursos de

fısica de primeros semestres, en las carreras de ingenierıa y ciencias con su correspondiente

dimension fısica:

Tabla 2-2.: Magnitudes derivadas del SI.

Magnitud Sımbolo Dimension fısica Unidad SI

Velocidad [v] LT−1 m/s.

Aceleracion [a] LT−2 m/s2.

Fuerza [F ] MLT−2 N (newton).

Energıa [E] ML2T−2 J (joule).

Potencia [p] ML2T−3 W (watt).

Volumen [V ] L3 m3.

Posicion [x] L m.

Desplazamiento [∆x] L m.

Distancia [d] L m.

Desplazamiento angular [∆θ] 1 rad (radian).


El hecho de reducir el mundo a siete magnitudes fundamentales tiene consecuencias como

que magnitudes fısicas que informan cosas distintas, puedan tener la misma dimension fısi-

ca. En la tabla (2-2) se observa que la posicion, el desplazamiento y la distancia, tienen

dimension de longitud. Tambien ocurre que otras magnitudes fısicas, como la posicion y el

desplazamiento angular, no tengan dimension fısica. Para indicar la dimension fısica de una

magnitud, se encierra el sımbolo que la representa entre parentesis rectangulares y se iguala

a su correspondiente dimension en terminos de las fundamentales.

Una de las consecuencias mas importantes que se dio con este tipo de organizacion, fue la

formalizacion de la rama de la fısica conocida como Analisis dimensional ; que hoy en dıa

cuenta con reconocidos grupos de investigacion en las universidades mas prestigiosas del

mundo.

Uno de los principales teoremas del analisis dimensional es el de homogeneidad dimensional,

que declara que todos los terminos de una ecuacion de la fısica deben tener exactamente la

misma dimension fısica. A continuacion un par de ejemplos tradicionales:

Ejemplo: La ecuacion que describe la posicion de una partıcula que se mueve en lınea

recta bajo la accion de una fuerza constante, es:

xf = x0 + v0t+1

2at2,

donde x es posicion, v velocidad, a aceleracion, t tiempo y 1/2 es una constante sin

dimension. Se analiza la dimension fısica de cada uno de los cuatro terminos de la

ecuacion, ası:

[xf ] = [x0] + [v0]× [t] +

[1

2

]× [a]×

[t2],

L1 = L1 + L1T−1 × T 1 + 1× L1T−2 × T 2

L1 = L1 + L1 + L1.

Y se verifica que cada uno de los cuatro terminos tiene dimension de longitud.

Ejemplo: La ecuacion de Bernoulli expresa la conservacion de la energıa por unidad de

volumen de un fluido que se mueve entre dos puntos dentro de una tuberıa. Situacion

que se describe con la ecuacion:

P +1

2ρv2 + ρgh = constante,

donde P es la presion del fluido en un punto de la tuberıa, ρ la densidad, v la rapidez,

g la aceleracion gravitacional y h la altura. Igual que en el ejemplo anterior, se analiza

la ecuacion termino a termino, ası:

2.3 Matriz dimensional 9

[P ] +

[1

2

]× [ρ]× [v]2 + [ρ]× [g]× [h] = [constante] ,

M1L−1T−2 + 1× ·M1L−3 × L2T−2 +M1L−3 × L1T−2 × L = M1L−1T−2

M1L−1T−2 +M1L−1T−2 +M1L−1T−2 = M1L−1T−2.

que de igual forma, verifica que cada termino tiene dimension fısica de M1L−1T−2.

2.3. Matriz dimensional

En el ejemplo de la ecuacion de Bernoulli, se observa que la energıa por unidad de volumen

en un punto es funcion de la presion, la rapidez, la altura y la densidad del fluido y tambien

del valor de la gravedad. De tal forma que es posible establecer una relacion funcional de la

forma:

f (P, v, h, ρ, g) = 0.

Con las dimensiones fundamentales de cada variable fısica se puede ensamblar un arreglo

como el siguiente:

P v h ρ g

M 1 0 0 1 0

L -1 1 1 -3 1

T -2 -1 0 0 -2

En la literatura [5][12], el arreglo de dimensiones anterior se conoce como matriz dimensional.

En la primera fila se colocan las variables fısicas involucradas y en la primera columna las

magnitudes fısicas fundamentales y las otras entradas, se llenan con los exponentes de cada

magnitud fundamental en la correspondiente variable fısica relevante. El rango j de una

matriz, es el tamano de la mayor submatriz cuadrada en la que su determinante no sea cero.

Por ejemplo, calculando el determinante formado por las tres primeras filas y columnas de

la anterior matriz dimensional, se obtiene:

∣∣∣∣∣∣1 0 0

−1 1 1

−2 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = −1.

De lo que se deduce que el rango de esta matriz es j = 3. Si por el contrario, el determinante

fuera cero, entonces se busca otra submatriz de 3 × 3. Si fuera el caso que los determinantes

de todas las submatrices de 3 × 3 fueran cero, entonces, es posible que el rango de esta

matriz sea 2 y se procede a calcular el determinante de todas las submatrices de 2 × 2.


Los problemas que no involucren fuerzas electromagneticas ni reacciones quımicas, se pueden

expresar en terminos de las cuatro dimensiones fundamentales, masa M , longitud L, tiempo

T y temperatura t. Por otro lado, si los efectos termicos se pueden despreciar, entonces el

analisis se reduce a las tres magnitudes fundamentales: longitud, tiempo y masa, si no se

pueden despreciar, pero es posible considerar la temperatura en combinacion con la cons-

tante de Boltzmann ([k] [T ]) o con una constante de gas ([R] [T ]), es facil verificar que la

dimension fısica de la combinacion en cualquiera de ambos casos es, L2/T 2 y por lo tanto,

vuelve a solo requerirse las tres magnitudes fundamentales L, T y M .

2.4. Teorema Π

El teorema Pi de Buckingham (1914) establece que si q1, q2, ..., qn son n variables fısicas

involucradas en un problema particular y si existe entre estas una relacion funcional de la

forma:

f(q1, q2, . . . , qn) = 0. (2-1)

Entonces, las n variables siempre se pueden combinar para formar exactamente (n−j) varia-

bles adimensionales independientes, donde j es el rango de la matriz dimensional [5][12][4].

Cada variable adimensional es llamada un numero Π o factor adimensional. El sımbolo Π es

usado porque las variables adimensionales se pueden escribir como un producto de las varia-

bles q1, q2, . . . , qn elevadas a alguna potencia. Ası, la ecuacion 2-1 se puede escribir como la

relacion funcional:

φ (Π1,Π2, . . . ,Πn−r) = 0. (2-2)

La ecuacion que permite calcular estos Πi, es [4]:

Πi = VDi

j∏k=1

V akFk , con: i = 1, 2, . . . n− j. (2-3)

Donde VD son las variables fısicas relevantes en el problema y VF son las variables dinamicas

que hacen las veces de variables fundamentales (variables repetidas) y los ak se escogen de

manera tal que cada Πi sea adimensional. Finalmente, se puede establecer una relacion entre

los Πi, de la forma:

Π1 = f(Π2,Π3, . . . ,Πn−j).

La forma arbitraria de escoger las variables repetidas lleva a diferentes conjuntos de factores

adimensionales; sin embargo, en cada caso (n − j) son independientes y en palabras del

algebra lineal, forman un conjunto completo.

2.5 Metodo de repeticion de variables 11

2.5. Metodo de repeticion de variables

La ecuacion 2-3 provee un procedimiento formal de calcular los factores adimensionales

(generar los Π’s) de cualquier problema. Este procedimiento es conocido como el metodo de

repeticion de variables y fue publicado incialmente por el cientıfico ruso Dimitri Riabouchins-

ki en 1911 y un ano despues se hizo popular por su inclusion en los trabajos del ingeniero

Edgar Buckingham [5][12]. Buckingham presento el metodo como un recetario de seis pasos,

que permite al final obtener los factores adimensionales. Para la propuesta de este trabajo

de grado se adaptan estos seis pasos sin perder la idea principal, ası:

Paso 1

Listar las n variables fısica relevantes del problema.

Paso 2

Escribir cada variable fısica en terminos de su dimension fısica.

Paso 3

Identificar las j magnitudes fısicas fundamentales en las variables fısicas del paso 2. De acuer-

do al teorema Pi de Buckingham, el numero k de factores adimensionales independientes, es

igual a:

k = n− j.

Paso 4

Escojer j variables fısicas que se repetiran para construir cada Π.

Nota 1: Debido a que las variables repetidas tienen el potencial de aparecer en cada

Π, conviene hacer una seleccion adecuada.

Nota 2: Es posible que la primera seleccion no lleve a relaciones que aporten a la

solucion, entonces, volver al paso 3 y hacer una nueva seleccion.


Paso 5

Con la ecuacion 2-3, calcular los Pis, uno a la vez, por la agrupacion de las j variables

repetidas con una de las que quedaron, forzando a que el producto sea adimensional. Es

una costumbre que el primer Π, designado como Π1, es el Π dependiente, el unico al lado

izquierdo de la lista. Esta convencion se tendra en cuenta a la conveniencia del ejercicio

particular que se este desarrollando.

Paso 6

Una vez obtenido todos los factores adimensionales, buscar relaciones matematicas que per-

mitan conducir un experimento para determinar el valor de las constantes adimensionales

para posteriormente intentar predecir.

2.6. Ejemplo tıpico - esfera que cae sin tener en cuenta la

friccion del aire

En la mayorıa de textos de mecanica de fluidos, se ejemplifica el metodo con el conocido

problema de un cuerpo que se arroja en un medio viscoso [5][12]. En este momento, con el fin

de profundizar en la importancia que tiene el procedimiento en mecanica de fluidos y para

ilustrar la aparicion de factores adimensionales famosos, se abordara el mismo problema3.

Considere una esfera que cae en el vacıo. La elevacion y en un instante es funcion de el tiempo

t, la rapidez inicial v0, la altura inicial y0 y el valor de la constante de gravedad g. Se supone

que son conocidas las dimensiones fundamentales de estas magnitudes fısicas. Aplicando el

metodo de repeticion de variables:

Paso 1

De acuerdo al enunciado existen cinco variables fısicas relevantes en este problema, por lo

tanto n = 5, ası:

y = f (t, v0, y0, g) , n = 5.

Paso 2

Las variables del paso 1 se escriben en terminos de sus dimensiones fundamentales. Se reco-

mienda escribir cada dimension con su respectivo exponente, ya que, esto ayudara con los

3Problema que se adaptara para ser trabajado como elemento de clase al curso de Fısica I en un programa

de ingenierıa.

2.6 Ejemplo tıpico - esfera que cae sin tener en cuenta la friccion del aire 13

procedimientos algebraicos posteriores.

y t v0 y0 g

{L1} {T 1} {L1T−1} {L1} {LT−2}

Paso 3

Se identifica la presencia de solo dos magnitudes fundamentales: el tiempo T y la longitud

L, por lo tanto j = 2.

Reduccion j = 2.

El numero de Πs que predice el teorema Pi de Buckingham, es:

Numero esperado de Π′s, k = n− j = 5− 2 = 3.

Paso 4

Como se identifico que j = 2, se deben escoger dos variables fısicas a repetir. Aunque, en la

literatura se establecen ayudas o guıas [5] para la seleccion de estas variables, la intension en

este punto es acercarse lo mas ingenuamente posible a la solucion con el metodo. Ası que,

sin mayor refelxion se proponen como repetidas las siguientes variables:

Variables repetidas: v0 y y0.

Con el uso continuado del metodo, se podra observar que hay algo de arte en reconocer cual

es la mejor seleccion.

Paso 5

Con la ecuacion 2-3 se combinan las variables repetidas en productos con cada una de las

otras variables. Se calcula cada Pi, uno a la vez. El primero, Π1, se llama el Pi dependiente

y en este caso se forma con la variable dependiente y.

Π dependiente: Π1 = yva0yb0,

donde a y b son constantes que deben ser determinadas y que se ajustan para que la dimension

del Pi sea cero. Cada factor que compone al Pi se expresa en terminos de sus dimensiones

fundamentales.

Dimensiones de Π1 : {Π1} ={L0T 0

}={yva0y

b0

}={L1(L1T−1

)aLb}.


Como las dimensiones fundamentales son por definicion independientes, se iguala la suma

de los exponentes de cada una de ellas a cero, ası:

Tiempo: T 0 = T−a, 0 = −a, a = 0.

Longitud: L0 = L1LaLb, 0 = 1 + a+ b, b = −1− a, b = −1.

Por lo tanto, el primer Pi, queda:

Π1 =y

y0

. (2-4)

De manera similar se crea el primer Pi independiente, es decir, Π2. Combinando los factores

que se repiten con la magnitud tiempo t, luego:

Primer Pi independiente : Π2 = tva0yb0,

Dimensiones de Π2 : {Π2} = L0T 0 = T(L1T−1

)aLb.

Igualando exponentes,

Tiempo: T 0 = T 1−a, 0 = 1− a, a = 1.

Longitud: L0 = La+b, 0 = a+ b, b = −1.

Por lo tanto:

Π2 =v0t

y0

. (2-5)

Finalmente, el segundo Pi independiente (Π3), se obtiene combinando los factores repetidos

con la variable g. Procediendo de forma identica, se llega a:

Π3 =gy0

v20

. (2-6)

Paso 6

Con los tres Pis encontrados, ecuaciones 2-4, 2-5 y 2-6, se pueden buscar relaciones que

permitan establecer una ley que describa la caıda de la esfera.

Antes de terminar con este ejemplo, se puede observar que de forma natural se ensamblaron

parametros adimensionales correspondientes a las magnitudes de posicion y tiempo, y y t

respectivamente, ası:

z =y

y0

, y τ =v0t

y0

,

2.6 Ejemplo tıpico - esfera que cae sin tener en cuenta la friccion del aire 15

z corresponderıa a la version adimensional de la posicion y τ al correspondiente adimensional

del tiempo.

En el caso de Π3, que aparentemente no es la forma adimensional de ninguna magnitud, se

puede reescribir como uno de los factores adimensionales mas famosos usados en mecanica

de fluidos, el conocido numero de Froude, ası:

Pi 3 modificado: Π′3 =

(gy0

v20

)−1/2

=v0√gy0

= Fr.

En este momento y para los propositos de un curso de Fısica 1 de ingenierıa, el factor de

Froude no dice nada. Sin embargo, en cursos avanzados de ciencias aplicadas como es el caso

de la mecanica de fluidos y termodinamica de sistemas abiertos sı puede ser determinante.

Para explorar un poco lo mencionado en el parrafo anterior, se observa que la posicion

adimensional es funcion de y y del tiempo t,

z = f(y, t),

entonces, la primera derivada respecto al tiempo normalizado es:

∂z

∂τ=∂z

∂y· ∂y∂t· ∂t∂τ

=1

y0

· ∂y∂t· y0

v0

,

por lo tanto,

∗z =

1

v0

y. (2-7)

La segunda derivada, relacionada con la aceleracion, tambien se obtiene con la regla de la

cadena. Antes de proceder, se hace enfasis en que segun la ecuacion 2-7,∗∗z es funcion de y

y de el tiempo, ası:

∂∗∗z

∂τ=∂∗z

∂y· ∂y∂t· ∂t∂τ

=1

v0

· ∂y∂t· y0

v0

,

entonces,

∗∗z =

y0

v20

y. (2-8)

La segunda ley de Newton aplicada al problema de la caıda libre lleva a la ecuacion,

y = −g,

que con 2-7 y 2-8 se reescribe como,

v20

y0

∗∗z = −g.


Relacionando con el numero de Froude se llega a la version adimensional de la caıda libre:

∗∗z = − 1

Fr2 . (2-9)

Al integrar dos veces la ecuacion 2-9, se obtiene:

z(τ) = 1 + τ − 1

2Fr2 τ2. (2-10)

El numero de Froude combina los tres parametros del problema original, y0, v0 y g. La ecua-

cion 2-10 es una familia de curvas que resumen muchas combinaciones de dichos parametros.

Figura 2-1.: Grafica de z vs τ para distintos valores del numero de Froude al cuadrado.

La reduccion parametrica de tres variables a una, que se logro con el metodo de repeticion y

los Pis encontrados, hace mucho mas facil estudiar el sistema; pues el esfuerzo experimental

solo se debe concentrar en las curvas z contra τ como las mostradas en la figura 2-1. En

caso contrario, se debe buscar la relacion de la altura contra el tiempo dejando el valor de

g constante, luego altura contra gravedad dejando el tiempo constante y finalmente tiem-

po contra gravedad dejando la altura constante. Ahora, dejar la gravedad constante no es

problema pero cuando toque variarla la situacion se complica mucho.

El poder predictivo que se logra con el procedimiento anterior se puede ejemplificar en la

siguiente situacion; considere que en la superficie de marte se lanza un objeto con rapidez

de 2 m/s desde una altura de 2 m. La gravedad marciana es de 3,711 m/s2. ¿Cuanto tiempo

tarde en llegar al piso?

El cuadrado de Froude es,

Fr2 =v2

0

gy0

=(2 m/s)2

3, 711 m/s2 · 2 m≈ 0, 539

2.7 Ejemplo - Esfera que cae teniendo en cuenta la friccion del aire 17

En la grafica 2-1 se interpola que el valor de τ correspondiente a un Fr2 de 0,54 es de

aproximadamente 1,7, ası:

t =τy0

v0

=1,7 · 2 m

2 m/s= 1,7 s.

Luego el tiempo que demora la caıda es de aproximadamente 1,7 s, que al contrastar con el

valor que se obtiene de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, es practica-

mente el mismo.

En general, el analisis dimensional arroja de manera natural y continuada una serie de estos

factores que por su importancia en el diseno de dispositivos, han tomado el nombre de per-

sonajes destacados de las ciencias y la ingenierıa, tales como Froude, Reynolds, Arquımedes,

entre otros. El anexo A, proporciona una lista con varios de estos factores.

Continuando con la discusion anterior, el Pi tres original no esta de ninguna manera errado;

de hecho tiene cierto parecido con la famosa relacion v2f = v2

0 + 2a∆y de la caıda libre,

pero si no representa ventaja matematica alguna, es mejor dejarlo en terminos de un factor

adimensional famoso como el numero de Froude. En el texto de Cengel [5] se mencionan

algunas reglas para manipular los Pis de manera tal, que lleven a este tipo de factores. Pero

lo anterior no entra en los proposito de este trabajo y por lo tanto no se hara mayor enfasis

en esto.

Como se ha insistido, todos los terminos de una ecuacion deben tener la misma dimension

fısica, teorema de homogeneidad dimensional. Pero dimensiones o unidades de medida son

construcciones humanas muy convenientes si se desea crecer en tecnologıa y lograr relaciones

de intercambio de mercancıas, ciencia y otros. Debido a que ningun sistema de unidades es

mejor que otro, se puede plantear como una necesidad, que cualquier problema fısico debe

ser expresable en forma completamente adimensional, es decir, tener una formulacion sin

dimensiones. Y los parametros usados para construir variables adimensionales dependientes

o independientes, tendran que aparecer en las ecuaciones y en las condiciones de frontera.

Si el procedimiento se hace de manera apropiada, habra una reduccion en la dependencia

parametrica de la formulacion, generalmente, por el numero de unidades independientes.

Esta reduccion parametrica se llama similitud y las similitudes facilitan en gran medida la

correlacion de los datos experimentales, permitiendo obtener una solucion al problema y de

paso, convirtiendose en la base de la similaridad dinamica anteriormente mencionada.

2.7. Ejemplo - Esfera que cae teniendo en cuenta la

friccion del aire

Como se observo en el ejemplo anterior, el arreglo de las variables en terminos de factores

adimensionales famosos, es de especial utilidad en el analisis dinamico de los sistemas. Para

hacer visible esta consideracion se va a estudiar el caso del arrastre (fuerza de friccion del


fluido viscoso sobre el sistema) en una esfera de diametro d que cae a una velocidad v a traves

de un medio de densidad ρ y viscosidad µ como el aire. La fuerza de arrastre es funcion de

las variables anteriores y se puede escribir como:

R = f (d, v, ρ, µ) .

De no hacer el analisis con el metodo de repeticion de variables, conduce a la necesidad de

proponer experimentos; primero, para determinar la relacion R vs d, manteniendo v, ρ y µ

fijos. Luego, disenar otro experimento para determinar R y v, manteniendo d, ρ y µ fijos y

ası sucesivamente hasta completar todas las posibles combinaciones y despues resumir todo a

fin de encontrar las leyes que describen el proceso. Sin embargo, semejante multiplicacion de

esfuerzos se puede evitar, si se realiza el analsis dimensional bajo la sombra del teorema Pi

y el metodo de repeticion. Esta situacion se va a trabajar en detalle en el siguiente capıtulo

y por lo tanto en este momento solo se va a decir que el resultado final, lleva a:

R

ρv2d2= f

(ρvd

µ

). (2-11)

Dado que el numero de Reynolds se define como Re = ρvd/µ, introducido en la ecuacion

2-11 lleva a reducir el numero de variables a dos, Re y el radio y como consecuencia, solo se

requiere investigar una curva experimental.

En este momento es necesario hacer un recuento de las ventajas del metodo:

No se ha invocado principios generales de la fısica y particularmente de la mecacnica

de fluidos.

La reduccion de los parametros permite que solo se tenga que trabajar sobre una curva

experimental.

Unido a lo anterior, la reduccion de los costos en diseno e implementacion experimental

es muy significativa.

En este caso particular, cambiar al mismo tiempo los valores de parametros como

densidad y viscosidad de un fluido, no solo no es practico o limitado, sino, en ocasiones

imposible.

En la ecuacion 2-11 de nuevo aparece otro factor adimensional conocido como el numero

de Reynolds:

Re =ρvd

µ.

La idea de factores adimensionales esta directamente relacionada con el concepto de similari-

dad o similitud. El colapso de las cinco variables iniciales a solo dos (diametro y velocidad), de

acuerdo con 2-11, solo es posible cuando todos los fluidos que se puedan considerar, aseguren

el mismo valor del numero de Reynolds (Re = ρvd/µ), caso dinamicamente similar.

2.8 ¿Es posible predecir? 19

2.8. ¿Es posible predecir?

Volviendo a la ecuacion 2-11, se puede observar que a valores muy pequenos del numero de

Reynolds, se espera que las fuerzas de inercia en la ecuacion de movimiento sean desprecia-

bles. Entonces, la densidad ρ sale de la ecuacion y la ley se reduce a

R = f (d, v, µ) .

El unico factor adimensional que puede ser formado es R/µvd. Que puede ser considerado

como constante de no haber otras dependencias y por lo tanto:

R ∝ µvd, (2-12)

Que lleva a concluir que la fuerza de arrastre para numeros de Reynolds pequenos es lineal-

mente proporcional a la velocidad v, expresion conocida como ley de arrastre de Stokes.

En el extremo opuesto, para valores de Re grandes, la viscosidad tiene solo una influencia

indirecta sobre el flujo y µ deja de ser relevante y por lo tanto:

R = f (d, v, ρ) .

Entonces, el unico factor adimensional que se forma es, R/ρv2d2, y por lo tanto:

R ∝ ρv2d2.

Visto ası, la fuerza de arrastre es proporcional a v2 para flujos con un numero de Reynolds

alto. Esta regla es frecuentemente aplicada para estimar varias clases de fuerzas de viento

sobre estructuras industriales, casas, automoviles, la superficie del oceano, etc. En algunos

textos la llaman la ley de la velocidad al cuadrado de Newton.

Lo anterior lleva a predecir que cuando un objeto cae en un medio viscoso, la fuerza o

arrastre sobre este tiene dos caras: una, cuando la densidad del fluido es relevante y otra

cuando no lo es. En el primer caso, si el arrastre crece con la rapidez al cuadrado, el objeto

experimentara una fuerza hacia arriba (sustentacion o lift) que lo hara flotar en el fluido,

impidiendo que caiga rapidamente al suelo. En el segundo caso, el arrastre o drag solo crece

con la primera potencia de la velocidad y, aunque frenara la caıda, no es lo suficientemente

intenso como para detenerla.

2.8.1. Sustentacion de una aeronave

El siguiente ejemplo tiene como objetivo hacer enfasis en el poder de prediccion que se logra

cuando se toman casos lımites de los Pis.


Fuerza de ascenso [5] (sustentacion o Lift) sobre el ala de una

aeronave (air foil)

Variables fısicas involucradas: densidad del aire ρ, viscosidad del aire µ, velocidad del aire

v, angulo de ataque α del ala respecto al flujo del aire, velocidad del sonido c, longitud del

perfil del ala L y la fuerza de ascenso F , ver figura 2-2. En total n = 7 variables fısicas

relevantes en el problema. Las magnitudes fundamentales son longitud, masa y tiempo, por

lo tanto j = 3. Se deben calcular 4 Pis (n− j = 4).

Al aplicar el teorema Π, se busca la forma funcional, Π1 = f (Π2,Π2,Π4). Procediendo, se

obtienen:

Figura 2-2.: Ala de aeronave dentro de un fluido de densidad ρ y viscosidad µ.

Π1 =FL

12ρv2S

= c`, Π−12 = Re =

ρvL

µ, Π3 = Ma =

v

c, Π4 = α.

Conocidos como coeficiente de Lift, numero de Reynolds, numero de Mach y el angulo de

ataque que en este caso es una variable fundamental en el problema. Por lo tanto,

c` = f (α,Re,Ma) .

Conocer esta forma funcional limita enormemente los experimentos. Basta con estudiar solo

algunos regımenes para saber la dependencia de estos parametros. De lo contrario el estudio

se debe empezar con las siete variables fısicas y probablemente en un tiempo razonable de

laboratorio nunca se hubiera encontrado las leyes correctas.

Para ejemplificar, si se trata de un fluido subsonico el numero de Mach no es importante

y la ley de la sustentacion solo dependerıa del angulo de ataque y el numero de Reynolds.

Pero en el limite de muy bajas velocidades donde el flujo de aire se puede considerar con

densidad constante y no turbulento, la dependencia de Re desaparece y la ley se reduce a la

forma simple:

c` = f(α),

es decir, la sustentacion solo depende del angulo de ataque de la superficie respecto al flujo

del aire. Solo los experimentos permiten conocer esta forma funcional y su lımite de validez

y cuando entran en juego las otras variables en el problema como Re y Ma.

3. Ejemplos de la aplicacion del teorema

Π

En esta seccion, se mostraran algunos ejemplos de la utilidad del teorema Π para obtener

conocimiento de sistemas fısicos en un posible ambiente de clase de ciencias, en los que el

numero de variables es alto y el respaldo teorico todavıa no existe o no esta muy apropiado

por parte de los estudiantes.

3.1. Mecanica de fluidos - Pompa de jabon

Contexto escolar

Las pompas de jabon son un espectaculo visual que llama la atencion de todos, grandes y

chicos. Debido a que producirlas es relativamente facil pueden servir de introduccion para

motivar las clases de ciencias naturales desde la primaria hasta primeros semestres en las

carreras de fısica e ingenierıa.

Tratamiento tradicional en el aula: Formalmente este problema aparece en la asignatura

Mecanica de fluidos cuando se trabajan los conceptos de densidad y viscosidad en las carreras

de ingenierıa y es ampliamente tratado en los textos guıa de estos cursos [5][12].

En estas clases, el docente usualmente empieza con la deficion de tension superficial, luego

con analisis de energıa llega a deducir la ley de Laplace. Por ultimo, con algunos ejemplos,

posiblemente entre ellos el de la pompa, ilustra la aplicacion de la mencionada ley.

Explicacion mediada con el teorema Pi

Intuitivamente se comprende que la estabilidad de una pompa de jabon esta directamente

relacionada con la diferencia de presiones entre el interior y exterior de esta. Ir un poco

mas alla de esta conjetura intuitiva no es facil, si no se conoce algo de los temas de tension

superficial y presion. La intension de este ejemplo, es encontrar una expresion matematica

simple que permita una explicacion que integre otros elementos y que pueda en principio dar

origen a experimentos que permitan validarla.

La figura 3-1, muestra las variables que a primera vista tienen relevancia en el problema:

∆P : La diferencia de presiones entre el interior y el exterior de la pompa es la causa

que la estructura se infle, dando paso a las siempre curiosas esferas hechas de jabon.

22 3 Ejemplos de la aplicacion del teorema Π

Figura 3-1.: Pompa de jabon. A primera vista las magnitudes fısicas que intervienen tienen

que ver con la geometrıa, las fuerzas de tension superficial y la diferencia de

presiones.

γ: Se entiende que la superficie de la pelıcula de jabon debe tener cierta resistencia

a rasgarse y que excedida esta la pompa explota. Tal resistencia es conocida como

tension superficial y sin mayor rigor y de manera un poco ingenua se tomara como

una variable fısica relevante de la cual no se dara mas explicacion que sus unidades SI

y por lo tanto su dimension fısica.

R: El radio de la esfera esta directamente relacionado con el espesor de la pelıcula que

a su vez tiene relacion con la tension superficial. Se aprecia facilmente, que si la pompa

se infla continuamente el radio aumenta hasta explotar.

De acuerdo a lo anterior, el numero de variables fısicas relevantes en el problema es n = 3.

La dimension fısica de cada una de las tres variables relevantes en el problema, son:

Magnitud R ∆P γ

Unidad SI m Pa N/m

Dimension fısica {L1} {M1L−1T−2} {M1T−2}

Por simple inspeccion se verifica que son 3 las magnitudes fısicas fundamentales presentes

en las variables relevantes: el tiempo, la longitud y la masa, j = 3. El numero de Pis, n− j,serıa cero. Sin embargo, el tiempo se puede descartar ya que la presencia de una pompa de

jabon se puede considerar una situacion estatica, y por lo tanto j = 2. Ası, el numero de Pis

a calcular es:

n− j = 3− 2 = 1.

Se propone tomar como variables repetidas el radio R y la tension superficial γ. Solo hay

que calcular un Pi, entonces:

Π = ∆PRaγb =(M1L−1T−2

)× La ×

(M1T−2

)b= M1+bL−1+aT−2−2b. (3-1)

3.2 Fluido fluyendo por una tuberıa 23

Asegurar adimensionalidad lleva al siguiente sistema lineal:

1 + b = 0

−1 + a = 0

−2− 2b = 0

cuya solucion es:

b = −1, a = 1.

Por lo tanto la forma del Π es:

Π =∆P ·Rγ

.

En la eventualidad de un solo Π, inmediatamente se busca relacionar las variables presentes

intentando una ecuacion, que salvo una constante adimensional por determinar, permita

obtener la expresion matematica deseada. En este caso, al despejar la diferencia de presiones:

∆P = cteγ

R,

ecuacion que tiene la forma de la conocida Ley de Laplace1.

3.2. Fluido fluyendo por una tuberıa

Para encontrar una expresion matematica que de una primera aproximacion a la descripcion

del comportamiento de un fluido (como el agua) que se mueve dentro de una tuberıa de

diametro d, longitud l, conociendo que en la superficie interna se formo una rugosidad de

espesor e.

Figura 3-2.: Fluido que se mueve dentro de una tuberıa de diametro d y longitud l.

1Ley de Laplace: ∆P = 2γR


Contexto escolar

Aunque este problema no es de los tıpicos en los cursos de ciencias naturales en ingenierıa

y educacion media, se presenta aquı para mostrar el poder del metodo para enfrentar situa-

ciones aparentemente difıciles y hacer enfasis en la necesidad de mantener a los estudiantes

trabajando con magnitudes poco usuales en la educacion formal inicial, como la viscosidad y

la fuerza de arrastre, pero que sı son necesarias para explicar muchos de los comportamientos

que ocurren todos los dıas a nuestros ojos, como ¿por que suenan las tuberıas?, ¿por que se

adelgaza el chorro de agua cuando cae?, entre otras.

En el contexto escolar, es posible que algo relacionado con este problema se pueda abor-

dar desde la ecuacion de continuidad (conservacion de la masa) y el principio de Bernoulli

(conservacion de la energıa). En la formacion de ingenierıa, el problema se trabaja en la asig-

natura Mecanica de fluidos desde la solucion de la ecuacion de Navier-Stokes en coordenadas

cilındricas y bajo ciertas condiciones.

Explicacion mediada por el teorema Pi

Con el teorema Pi se pretende encontrar una expresion matematica que permita describir

algo de un fluido que se mueve a traves de una tuberıa, pero sin entrar en demasiados detalles

tecnicos ni hacer uso de los principios de la fısica. Para resolverlo se implementa el metodo

de repeticion de variables.

A partir de la informacion dada en el enunciado, las variables fısicas relevantes son el diametro

d, la longitud l y el espesor de la rugosidad e de la superficie interior de la tuberıa, la densidad

ρ , la viscosidad µ y la rapidez v del fluido. Tambien se debe considerar el cambio de presion

∆P que experimenta el fluido a medida que avanza. Lo anterior queda bien expresado por

la relacion funcional:

f(∆P, d, l, e, v, ρ, µ) = 0.

El conteo arroja siete variables fısicas que son relevantes en el problema, luego:

Numero de variables relevantes: n = 7.

Se reescriben en terminos de las magnitudes fundamentales:

∆P d l e v ρ µ

Pa m m m m/s kg/m3 Pa · s

{M1L−1T−2} {L1} {L1} {L1} {L1T−1} {M1L−3} {M1L−1T−1}

Por simple inspeccion se ve que solo tres magnitudes fundamentales estan presentes en el

problema, luego:

Magnitudes fundamentales: j = 3.

3.2 Fluido fluyendo por una tuberıa 25

La matriz dimensional tiene rango r = 3. Como son n = 7 variables en el problema, el

numero de factores adimensionales deben ser:

Numero de Pis a calcular: (k = n− j) k = 4.

De las 7 variables se seleccionan 3 cualquiera, pero se sugiere que estas variables repetidas

tengan diferente dimension fısica, es decir, no se seleccionara d, l y e. Ademas es importante

que entre las elegidas esten presentes las dimensiones fundamentales M , L y T .

La seleccion que se propone tiene en cuenta dos parametros de la tuberıa y uno del fluido

y se escogieron de forma completamente arbitraria pero siguiendo los consejos del parrafo

anterior. Entonces:

Variables repetidas: v, d y ρ.

Se recalca que la seleccion fue completamente arbitraria y que cualquier otra es igualmente

viable. Cada factor adimensional se construye combinando las tres variables que se repiten

con una de las que no se seleccionaron. Por ejemplo, tomando el primer factor adimensional,

como:

Π1 = ∆P vadbρc.

Los exponentes a, b y c se obtienen del requerimiento de dejar a Π1 sin dimensiones. Por lo

tanto,

M0L0T 0 =(LT−1

)a(L)b

(ML−3

)c (ML−1T−2

)b= M c+1La+b−3c−1T−a−2.

Igualando ındices, se deduce que a = −2, b = 0, c = −1, de tal forma que:

Π1 = ∆p v−2d0ρ−1 =∆P

ρv2.

Con procedimientos similares, se calculan los otros pis,

Π2 = lvadbρc =l

d,

Π3 = evadbρc =e

d,

Π4 = µvadbρc =µ

ρdv.

Por lo tanto, la relacion buscada, es:

∆P

ρv2= f

(1

d,e

d,µ

ρdv

).

A primera vista se puede reconocer que de nuevo aparece el numero de Reynolds en uno de

los Pis y tambien que, desde la ecuacion de Bernoulli, ρv2 tiene las mismas unidades de ∆P .


3.3. Fısica Nuclear - Parametro de impacto

Contexto escolar

El problema de la dispersion de Rutherford aparece en las clases de quımica y fısica de

los cursos de ciencias en el bachillerato y en los primeros semestres de la universidad en

las carreras de ingenierıa, usualmente cuando se mencionan los modelos atomicos y para

introducir las nociones de bandas de energıa y llenar los orbitales atomicos. Sin embargo,

de Rutherford es muy poco lo que se comenta dejandolo basicamente como una resena

historica en la evolucion del concepto de atomo, despreciando de alguna forma todo lo que

su razonamiento aporta a la fısca actual.

En este ejemplo se pretende retomar un aspecto de este problema para obtener una de las

relaciones que mas se usa en la fısica moderna pero, sin tener que saber para esto ni de leyes

fundamentales, ni de principios de conservacion y menos ser un habil calculista.

Parametro de impacto

A finales del siglo XIX, Thompson, debido al descubrimiento que el mismo hizo del electron,

desarrollo el modelo del pudın de uvas pasas como una primera aproximacion para describir

como estaba conformada la materia. Continuando con este trabajo, ya en el siglo XX, Ruther-

ford puso a prueba la propuesta de Thompson en un epico experimento que posteriormente

lo llevarıa a pronunciar el siguiente relato:

“Vino Geiger un dıa hacia a mı y me espeto:“ ¿No cree Ud. que el joven Marsden, al que

estoy ensenando como trabajar en radioactividad, deberıa empezar a trabajar ya en algo

sencillo?”. Tambien habıa pensado yo en eso. Ası que le repuse:“¿Por que no le dejamos que

vea si alguna partıcula alfa puede difundirse a traves de un angulo grande?”. En confianza

les dire que yo no creıa que hubiera ninguna, pues sabıamos que la partıcula alfa era masiva

y muy rapida, con una gran cantidad de energıa, y podıa demostrarse que si la difusion

debıase al efecto acumulado de un numero de pequenas difusiones la probabilidad de que una

partıcula alfa fuese dispersada hacia atras resultaba muy pequena. Recuerdo que, dos o tres

dıas despues, Geiger se me acerco muy excitado para decirme: “Hemos logrado partıculas

alfa que van hacia atras...”. Fue el suceso mas increıble que me ha ocurrido jamas. Tan

increıble como que alguien disparase una bala de canon de 15 pulgadas contra un tejido de

papel y rebotase y te alcanzase.” Ernest Rutherford [18].

En 1898 Marie y Pierre Curie descubrieron un elemento, que llamaron Radio, que emitıa ra-

diacion en tres formas: rayos beta (electrones), rayos alfa (nucleos de Helio) y rayos gamma,

y era notablemente mas activo que los ya conocidos uranio y torio descubiertos por Becque-

rel y Marie Curie respectivamente. En 1907, Rutherford utilizaba el radio como fuente de

partıculas alfa para sus famosos experimentos. Hacıa pasar a las partıculas alfa que emitıa

la fuente por una rejilla (colimador) para obtener un haz muy estrecho, que impactaba di-

rectamente sobre una delgada lamina de oro que lo dispersaba haciendolo incidir, una vez

3.3 Fısica Nuclear - Parametro de impacto 27

emergıa, sobre una superficie de sulfuro de zinc, ver figura 3-3 [18].

Figura 3-3.: Experimento de Geiger y Marsden.

Despues de los sorprendentes resultados, Rutherford tuvo que cambiar el planteamiento ori-

ginal y para explicar lo que estaba pasando, propuso un modelo planetario como la estruc-

tura del atomo. Explicaba que la fuerte desviacion que experimentaban algunos proyectiles

(partıculas alfa) se debıa a lo cerca que pasaban de los pesados nucleos del material de la hoja

de oro que utilizo como blanco. Luego, para Rutherfor era claro que el angulo de dispersion

estaba directamente relacionado con la distancia mas cercana del proyectil, partıcula alfa,

al nucleo dispersor, distancia conocida como parametro de impacto b, que se aprecia en la

figura 3-4. Entonces, se propuso encontrar la distribucion del angulo de dispersion [4][3].

Figura 3-4.: Esquema de la dispersion de Rutherford. Partıculas alfa se disparan contra un

nucleo pesado y debido a la interaccion entre ellos se dispersan un angulo Φ.

Tomado de [4][3].


Despues de muchos experimentos y aplicacion rigurosa de las leyes de la fısica y los principios

de conservacion del momento y la energıa, Rutherford obtuvo la siguiente expresion para cada

valor del parametro de impacto:

b =2Zkee

2

mαv2cot

(Φ

2

). (3-2)

Explicacion mediada por el teorema Pi

El objetivo es encontrar una ecuacion para el parametro de impacto usando el teorema Pi

de Buckingham [4][3] y con muy poco respaldo de teorıas fısicas.

Tomando como magnitudes relevantes en el problema la velocidad del proyectil v, el parame-

tro de impacto b, el angulo de dispersion φ, la fuerza electrica entre las dos partıculas Fe y

la masa del proyectil mα, n = 5.

f(v, b, φ, Fe,mα) = 0.

El conteo arroja cinco variables fısicas que son relevantes en el problema, luego:


Las cinco variables se reescriben en terminos de las magnitudes fundamentales, ası:

v b φ Fe mα

m/s m rad N kg

{M1L−1} {L1} {1} {M1L1T−2} {M1}

Las dimensiones fısicas fundamentales que estan presentes son el tiempo (T), la masa (M) y

la longitud (L), j = 3. En este caso tenemos n− j = 2. Luego, de acuerdo al teorema Pi de

Buckingham, existen dos Π’s:

Numero de Pis a calcular: (k = n− j) k = 2.

Para construirlos se deben elegir tres variables dimensionales como variables repetidas que

van a sustituir a las dimensiones fısicas fundamentales presentes en el problema. Se propone:

Variables repetidas: v, b, Fe.

Se puede considerar el angulo de dispersion como un Π, ya que es una magnitud sin dimension

fısica, ası:

Π1 = φ. (3-3)

3.3 Fısica Nuclear - Parametro de impacto 29

Calculo del segundo Π:

Π2 = mαvabbF c

e , (3-4)

en dimensiones:

Π2 = (M)

(L

T

)a(L)b

(M · L

T2

)c= (M)1+c(L)a+b+c(T)−a−2c

Asegurando adimensionalidad del Π2,

c = −1

a = 2

b = −1

(3-5)

reemplazando la ecuacion 3-5 en la 3-4,

Π2 =mαv

2

bFe. (3-6)

La fuerza electrica a un valor tıpico esta dada por:

Fe =ke(2e)(Ze)

b2=

2Zkee2

b2, (3-7)

reemplazando en 3-6, tenemos:

Π2 =mαv

2b

2Zkee2. (3-8)

El teorema de Buckingham establece que existe una relacion entre los dos Π’s, es decir:

Π2 = f(Π1).

Teniendo en cuenta lo anterior y despejando b de 3-8, finalmente se obtiene:

b =2Zkee

2

mαv2f(φ). (3-9)

Expresion que aparte de estar de acuerdo con la de Rutherford, cumple el objetivo principal.

Nota: A pesar que no se incluyo la carga electrica como una magnitud fundamental, final-

mente se tuvo en cuenta al tomar la fuerza en el caso particular de interacciones electricas,

es decir, la ley de Coulomb.


3.4. Problema tipo reto - Caıda de una pluma y una

esfera

Contexto escolar

Es claro que cuando se dejan caer objetos es difıcil mantener el argumento “todos caen

igual”, maximo cuando se trabaja con estudiantes de primeros grados, en los cuales, no

esta muy desarrollado el proceso cognitivo de la abstracion y su aprendizaje es fuertemente

impactado por lo que perciben principalmente con sus ojos. Lo anterior exige una primera

aproximacion, que permita una explicacion en terminos de las magnitudes fısicas que influyen

en el fenomeno.

Figura 3-5.: Una pluma y una esfera se sueltan al mismo tiempo y desde la misma altura,

¿cual llega al piso primero?.

Situacion de clase: Se dejan caer una pluma y una esfera (metalica o de vidrio) desde la

misma altura y al mismo tiempo, figura 3-5, ¿cual llega primero al piso?

La experiencia demuestra que la esfera cae primero. Sin mayor reflexion, se puede argumentar

que la forma y el peso de los objetos y la interaccion con el aire tienen que ver con el resultado

final. Pero pasar de la argumentacion a una explicacion mas tecnica parece en principio lejana

y seguramente llena de principios fısicos que solo una persona con formacion en ciencias o

ingenierıa lo podrıa lograr.

Solucion con el teorema Π

¿Que parametros fısicos influyen en la caıda?

Geometricos: En ambos casos, la pluma y la esfera, se debe tener en cuenta una

longitud tıpica el radio para la esfera y la longitud para la pluma. Para lograr una

descripcion general se dejara como variable geometrica R. Al final, para cada caso par-

ticular se interpretara como un radio o como una longitud, segun sea el caso. Variable

fısica: R.

3.4 Problema tipo reto - Caıda de una pluma y una esfera 31

Aspectos del fluido: Tanto la densidad (ρ) como la viscosidad (µ) del aire, juegan

un papel importante. Variables fısicas: ρ y µ.

Factores dinamicos: En este problema la velocidad y la fuerza juegan un papel

importante en la cinematica de cada objeto. Variables fısicas: v, F .

De acuerdo al analisis anterior, el numero de variables fısicas que intervienen en el movimiento

de la pluma y la esfera son cinco: R, ρ, µ, v y F .


La dimension fısica de cada una de las cinco variables relevantes en el problema, son:

R ρ µ v F

m kg/m3 kg/ms m/s kg m/s2

{L1} {M1L−3} {M1L−1T−1} {L1T−1} {M1L1T−2}

Observando las dimensiones fısicas se concluye que las magnitudes fısicas fundamentales,

son la masa M , el tiempo T y la longitud L. Luego j = 3, que es el orden de la matriz

dimensional. De acuerdo al teorema Pi de Buckingham, con este analisis se deben obtener

dos Πs:

Numero de Pis esperados: k = n− j = 2.

Como primer intento se escogen como variables repetidas: el radio, la velocidad y la densidad:

Variables repetidas: R, v, ρ.

Construccion de los Pis.

Para Π1 se selecciona la viscosidad y por lo tanto:

Π1 = µRavbρc.

En terminos de las dimensiones fundamentales:

Π1 = M1L−1T−1 ×(L1)a × (L1T−1

)b × (M1L−3)c

= M1+cL−1+a+b−3cT−1−b.

Forzando el Pi para que sea adimensional, se llega al siguiente sistema:

−1 + a+ b− 3c = 0,

−1− b = 0,

1 + c = 0.


Con solucion:

a = −1, b = −1, c = −1.

Al sustituir,

Π1 =µ

Rvρ=

1

Re. (3-10)

Factor adimensional relacionado directamente con el numero de Reynolds.

Se procede de igual manera para calcular el segundo Π. Para Π2 se selecciona el parame-

tro faltante F :

Π2 = FRavbρc.

En terminos de las dimensiones fundamentales:

Π2 = M1L1T−2 ×(L1)a × (L1T−1

)b × (M1L−3)c

= M1+cL1+a+b−3cT−2−2b.

Forzar la adimensionalizacion del Pi lleva al sistema lineal:

1 + a+ b− 3c = 0,

−2− 2b = 0,

1 + c = 0.

Con solucion:

a = −2, b = −2, c = −1.

Al sustituir,

Π2 =F

R2v2ρ. (3-11)

De acuerdo al teorema Π existe una relacion entre los Pis del ejercicio, pero buscar la ade-

cuada requiere de paciencia y habilidad que se va ganando con el uso continuado del metodo.

En este caso, el primero esta relacionado con el numero de Reynolds. El segundo, permite

visualizar una ley de fuerzas. Al relacionar los dos Pis, se obtiene:

F

ρR2v2= f

(µ

ρRv

)= f (Re) . (3-12)

Si el numero de Reynolds no es importante en el problema, la fuerza se ve afectada por el

cuadrado de la velocidad, haciendo que esta crezca muy rapido de tal forma que el sistema

(la pluma) se sustenta en el aire, ası:

F ∼ ρR2v2,

3.4 Problema tipo reto - Caıda de una pluma y una esfera 33

que explicarıa por que la pluma queda como suspendida en el aire cayendo lentamente.

Si por el contrario, el Reynolds toma importancia, la ecuacion 3-12 se multiplica y divide

por µ y se reorganizan los factores, ası:

Fµ

µ (ρRv)Rv= f (Re) .

Reemplazando Re = ρRv/µ, se obtiene:

F ∼ µReRv.

que tiene la forma de la conocida ley de Stokes, en la que la fuerza de friccion sobre un

cuerpo que se mueve dentro de un fluido viscoso es directamente proporcional a la velocidad,

representando bien lo que le sucede a la esfera.

4. Estrategia y secuencia didactica

4.1. Preconceptos y la teorıa del cambio conceptual

En muchos textos [11][9][8][17] se hace referencia a que el aprendizaje de las ciencias, esta me-

diado entre el proceso de ensenanza que realiza el profesor en el aula, la informacion que se

encuentra en los textos guıa y otras fuentes y las ideas previas o preconceptos que tienen los

estudiantes acerca de la naturaleza. En particular, los preconceptos parecen ser la principal

fuente de comprension que los estudiantes tienen para explicar lo que pasa a su alrededor [9],

con la desventaja que estas ideas previas, que en gran medida son obtenidas por la intuicion y

explicaciones en ocasiones fantasiosas y mal fundamentadas, interactuan profundamente con

la ensenanza formal y sistematica. Tanto y tan aferrados que sobreviven e incluso sobrepa-

san anos de instruccion formal. Estudios muy cuidadosos [11] muestran que las explicaciones

basadas en ideas previas se dan por igual en estudiantes de ultimos anos de colegio hasta de

primeros semestres de universidad. Lo anterior, lleva a la conclusion que los esfuerzos de la

escolaridad para lograr ensenar conceptos y nociones propios de las ciencias en gran parte

son poco efectivos, aun cuando los estudiantes aprueben varios cursos en ciencias.

Una de las ideas mas seguidas por la comunidad educativa en el area de ciencias para mejorar

la situacion es la del cambio conceptual [14][11][8], la cual parte del principio fundamental que

cuando un estudiante intenta asimilar un concepto en ciencias, se produce en el un verdadero

reto intelectual. Para lograr que el estudiante al explicar un fenomeno natural cambie sus

argumentos basados en preconceptos por conceptos y nociones propios de la ciencia se debe

provocar en el un desequilibrio cognitivo [14] que haga entrar en conflicto sus argumentos

intuitivos y aprovechar la oportunidad para proponer nuevas explicaciones mediadas por los

principios cientıficos.

Posner [14] enumero cuatro condiciones que de cumplirse abonan el camino para cambiar

una concepcion errada por una correcta. Estas condiciones se pueden resumir como:

1. Ante una situacion especıfica se le pide al estudiante que formule una posible expli-

cacion. En el supuesto que el estudiante argumente con una concepcion errada H, se

desea que la cambie por el concepto o nocion correcto H’.

2. En el caso anterior, se debe buscar una situacion donde ocurra el desequilibrio cognitivo.

Es decir, donde la explicacion propuesta por el estudiante entre en conflicto y ya no la

pueda mantener mas.

4.2 Elementos conceptuales de la propuesta con el teorema Pi 35

3. En el momento del desequilibrio, se propone usualmente por parte del profesor, la

explicacion correcta H’.

4. Se refuerzan los argumentos de la explicacion H’ para que la nueva concepcion se

afiance en el estudiante.

Se debe tener en cuenta que la explicacion H’ debe ser totalmente razonable y muy simple y

ademas ser fructıfera en el sentido que debe dar razon de la situacion original y tambien de

otras situaciones similares, particularmente con la que hizo entrar en conflicto a la explicacion

H.

4.2. Elementos conceptuales de la propuesta con el

teorema Pi

La propuesta de usar el teorema Pi se fundamenta en un analisis dimensional y como se vio en

todos los ejemplos de los capıtulos anteriores, en ningun momento se requirio de nociones

o conceptos particulares de la rama de la fısica en cuestion. Para recalcar, conceptos como

fuerza, velocidad, densidad, viscosidad, tension superficial, etc, no fue necesario tenerlos

claros para lograr una primera aproximacion cuantitativa de las situaciones revisadas.

Aunque en algun momento ayuda que se tenga conocimiento de los conceptos involucrados,

en una etapa inicial esto no es necesario. Pero sı se espera, que con el uso continuado del

metodo y el avance de los temas del curso particular que se esten abordando, los estudiantes

ganen en entendimiento; tanto de la dimensionalidad y su importancia como de los conceptos

fısicos involucrados, para que en posteriores temas se puedan usar en beneficio de profundizar

en el estudio de un problema de una manera mas, si se puede decir, cientıfica. Tampoco es

necesario explicaciones con ideas previas y en lo que podrıa ser un aspecto radical de esta

propuesta, la estrategia es tratar de eludir lo mas que se pueda la aparicion de estos daninos

preconceptos.

Desde el punto de vista de lo argumentado en el parrafo anterior, para iniciar la aplicacion

de esta metodologıa, solo es necesaria la nocion de dimension fısica. Aprovechando que

este aspecto es relativamente nuevo y muy poco explorado en la educacion tradicional en

grados basicos, es posible que no se haya degradado por interpretaciones prejuiciosas o mal

fundamentadas. Ademas, acerca de este tema se dispone de abundante literatura tanto en

medios electronicos como impresos y es necesario que en la primera clase se explique lo mas

detallado posible la estructura del sistema internacional y la necesidad de implementar el

concepto de dimension fısica y ademas, en toda actividad posterior volver a hacer enfasis

en el.

Por lo tanto, y con la intension de acercarse a la descripcion de una situacion fısica de una

manera ingenua y lo menos permeada por preconceptos, lo unico que se requiere en un

momento inicial es la nocion de dimension fısica de las magnitudes fısicas .

36 4 Estrategia y secuencia didactica

4.3. Fundamentos de la propuesta

En este momento es necesario establecer los principios que guıan y fundamentan la estrategia

didactica de la ensenanza de la fısica mediada por el teorema Pi.

No pretende reemplazar la ensenanza formal de las ciencias ni las ideas y principios

activos de la ensenanza, pero sı ser un complemento y apoyo para el fortalecimiento

de competencias cientıficas relevantes en la formacion cientıfica de los estudiantes.

Se pretende inicialmente acercarse a los fenomenos sin ningun tipo de argumento, es

decir, ser ingenuos.

No pedir explicaciones iniciales, ¡no a los preconceptos!, pero sı indagar las posibles

causas del fenomeno, pero sin ir mas alla.

En todos los casos forzar a obtener una ecuacion o relacion funcional que describa la

situacion fısica.

Sin ningun temor involucrar magnitudes fısicas que posiblemente estarıan fuera del

alcance de un curso en particular. Por ejemplo, si la asignatura es mecanica de Newton

y para entender la caıda de un objeto, sale en la discusion magnitudes como densidad

y viscosidad del aire, que supuestamente se ensenan en otros cursos, no tener ningun

temor en incluirlas ası en primera instancia no se entienda su significado, solo basta su

dimensionalidad.

Siempre que sea posible, se debe proponer un experimento ojala muy modesto en cuanto

a costo y montaje, que permita aproximar el valor de las constantes adimensionales

para posteriormente intentar una prediccion a una situacion nueva.

4.4. Estrategia didactica

La estrategia [7][16] de esta propuesta es un metodo de ensenanza de las ciencias natura-

les, particularmente la fısica, que busca eludir la aparicion de preconceptos o explicaciones

informales y obtener expresiones matematicas que centran el estudio de un fenomeno en

terminos de estas representaciones. El objetivo se pretende alcanzar por medio de una se-

cuencia didactica mediada por el teorema Pi de Buckingham y el metodo de repeticion de

variables.

4.4.1. Secuencia didactica

Los elementos de esta secuencia se pueden aplicar casi que en cualquier entorno escolar. Sin

embargo, se hara enfasis en su implementacion dentro de los programas de ingenierıa de

cualquier universidad acreditada del paıs.

4.4 Estrategia didactica 37

4.4.2. Caracterizacion de la poblacion

Ubicacion: Institucion de educacion superior en Colombia.

Dirigida a: Estudiantes de los programas de ingenierıa.

Lugar de aplicacion: Aula de clase tradicional, laboratorio de ciencias, campus uni-

versitario.

Momento educativo: Se sugiere que la secuencia se aplique antes de abordar la

explicacion teorica del tema de los cursos de fısica.

Tiempo de intervencion: 2 horas o un bloque de clase de 90 minutos.

4.4.3. Etapas de la secuencia didactica

Cada vez que se aplique la propuesta se debe contar con al menos 90 minutos que se pueden

organizar de la siguiente manera:

Etapa exploratoria - Primeros 15 minutos: Analisis de las posibles variables

fısicas que intervienen y son relevantes en el problema. Es muy importante que el

profesor este muy atento para evitar que la discusion se salga del objetivo y cancelar

inmediatamente la aparicion de elementos esotericos y de otro tipo distintos a los

cientıficos.

Etapa de calculo - Siguientes 20 minutos: Con el metodo de repeticion de varia-

bles, obtener una expresion matematica que de cuenta del fenomeno estudiado. Igual

que en el paso anterior, es muy importante que el docente este muy pendiente para

que los procedimientos algebraicos se realicen correctamente.

Etapa de medicion - Siguientes 20 minutos: Si es posible, implementar un mon-

taje experimental que permita la estimacion de las constantes adimensionales.

Etapa de verificacion del modelo - Siguientes 20 minutos: Poner a prueba

el modelo matematico de tal manera que permita una prediccion en una situacion

experimental nueva.

Etapa de discusion - Ultimos 15 minutos: Discusion de los resultados obtenidos.

Preguntarse si el modelo es lo suficientemente adecuado, si se debe corregir, afinar o

abandonar definitivamente.

Ya se menciono la sugerencia de aplicar la secuencia antes de entrar en la parte formal del

tema. De ser ası, el proceso continua con actividades de afianzamiento y refuerzo:

38 4 Estrategia y secuencia didactica

Actividades posteriores: Una vez se haya hecho la actividad, conviene reforzar los

resultados con argumentos provenientes del modelo teorico que explica la situacion

estudiada.

Refuerzo y retroalimentacion: Se debe recalcar que los modelos o teorıas fısicas son

constructos del pensamiento humano que pretenden explicar el mundo y como tal, todos

los elementos que lo componen deben ser rigurosamente definidos e interpretados. Por

lo tanto, la capacidad de obtener expresiones matematicas que expliquen cosas debe

enmarcarse dentro de un contexto cientıfico.

Evaluacion: En lo posible plantear una evaluacion en grupos y en la que se explore

algo nuevo y los mas lejano a las situaciones que se trabajaron en clase, pero que

relacionen las variables fısicas del tema que se requiere evaluar. El exito de la evaluacion

es que los estudiantes logren una expresion matematica y propongan un experimento

que permita la confirmacion del resultado. Por ejemplo, si el tema de estudio fue

cinematica, entonces en la evaluacion pedir que generen una expresion que permita

estimar el periodo de un pendulo simple.

5. Aplicacion de la secuencia a

situaciones problema en el aula

A continuacion se presenta la aplicacion de la secuencia a algunos problemas seleccionados

especialmente, para ser llevados al aula en los cursos de fısica mecanica o fısica 1 de los

programas de ingenierıa. En cada caso se presenta el marco teorico, la contextualizacion del

ejercicio partıcular en este curso y la explicacion de la misma situacion desde la secuencia

didactica.

5.1. Caıda libre

La caıda libre se estudia en los cursos de fısica 1 como un caso particular del movimiento

uniforme acelerado (M.U.A) [15] bajo las siguientes condiciones:

La aceleracion debida a la fuerza de gravedad es constante.

No se tiene en cuenta o se desprecia los efectos que el aire pueda tener en el movimiento

del objeto.

Marco teorico

Desde el punto de vista de la mecanica de Newton, el problema de la descripcion del mo-

vimiento de una partıcula1 pasa por identificar todas las fuerzas que actuan sobre esta y

calcular la fuerza neta o resultante. Al dividirla entre la masa se obtiene la aceleracion de

la partıcula. Una vez hecho lo anterior, se procede a aplicar el esquema de prediccion de

Newton, que se resume en la figura 5-1. Integrando la aceleracion respecto al tiempo se

encuentra en cuanto cambia la velocidad y al integrar la velocidad respecto al tiempo se

encuentra en cuanto cambia la posicion. Con valores iniciales se calcula las nuevas velocidad

y posicion. Al repetir el algoritmo se obtienen todas las parejas posicion y velocidad de la

partıcula en un intervalo de tiempo suficiente para trazar la trayectoria.

En el caso de la caıda libre, se considera que solo actua una unica fuerza, el peso, que es

constante y dirigida hacia abajo, ası:∑Fy = −mg = may,

∑Fx = 0.

1Modelo de partıcula: abstraccion en la cual un objeto se considera un punto con la masa de este.

40 5 Aplicacion de la secuencia a situaciones problema en el aula

Figura 5-1.: Esquema de prediccion de Newton

Al dividir entre la masa, la aceleracion en el eje y es igual a −g. Integrando:

vy = viy − gt,

volviendo a integrar:

y = yi + viyt−1

2gt2.

Si eventualmente la partıcula se deja caer desde el nivel cero, las ecuaciones anteriores se

reducen a:

v = −gt

y = −1

2gt2.

Aplicacion de la secuencia didactica

Se recomienda aplicarla antes de empezar el tema. En lo posible, dejar caer objetos de

diferentes pesos, formas, tamanos, con el fin de que los estudiantes sin darse cuenta esten

pensando en el problema real, no sobre un tıpico ejercicio del libro guıa. Explorar entre los

estudiantes acerca de la causa de la caıda del objeto con preguntas como: ¿Que lo hace

caer?, ¿Como cae?, ¿Cae mas rapido un objeto pesado o uno liviano?. Si es posible, intente

adelantar algunas conclusiones como por ejemplo, la masa no es relevante.

Etapa exploratoria: Llevar la discusion sin tener en cuenta la influencia del aire. Las

magnitudes relevantes en juego son la altura y desde donde se deja caer, la masa m del

objeto (el procedimiento posterior la descarta), la gravedad g y el tiempo t que dura

la caıda.

5.2 Pendulo simple 41

Etapa de calculo: Aplicar los seis pasos del teorema Pi. En lo posible, es mejor que

los estudiantes no escuchen las palabras teorema y metodo. En el Anexo B se puede

ver los detalles de como se llego a:

y = Πgt2.

Etapa de medicion: Se propone un experimento en el que solo se requiere de una

regla y un cronometro. Naturalmente es, dejar caer un objeto desde distintas alturas y

medir lo mas preciso que se pueda el tiempo. Elaborar una tabla que permita obtener el

valor de Pi. Se puede verificar que sin mayor precision el valor de este Pi, esta cercano

a 0,52.

Etapa verificacion: Se le pide a los estudiantes que calculen el tiempo que tarda en

caer un objeto desde una altura dada y que despues lo verifiquen midiendo. Tambien

que calculen la altura desde la cual se debe dejar caer el objeto para que tarde solo 0,5

s en llegar al piso y verificar midiendo.

Etapa de discusion: Es muy probable que diferentes grupos hayan obtenido expresio-

nes distintas. Esto siempre es posible ya que en el metodo, la eleccion de las variables

repetidas es completamente arbitraria. Es deber del profesor indicar que posiblemen-

te es la misma ecuacion, pero en orden distinto. Lo importante es su comprobacion

experimental.

5.2. Pendulo simple

El sistema pendulo simple se estudia en el curso de fısica 1 en el tema de movimiento armonico

simple [15].

Marco teorico

Al construir el diagrama de cuerpo libre para un pendulo simple, ver figura 5-2, se deduce

que la fuerza que hace mover la masa en la trayectoria curva es la componente tangente,

wt = mg sin θ, que actua como una fuerza recuperadora o restauradora. Aplicando la segunda

ley de Newton:∑F = −mg sin θ = ma.

2El autor de este trabajo tiene la experiencia de haber propuesto este problema y el metodo de solucion con

estudiantes de programas lejanos a la ingenierıa, como es el caso de las carreras: Medios Audiovisuales

en el Politecnico Grancolombiano y Cine y Television en la Universidad Manuela Beltran y sin mayor

dificultad los estudiantes logran el valor de la constante adimensional.


Figura 5-2.: La componente tangente del peso (wt) actua como una fuerza recuperadora.

La aceleracion es la segunda derivada del desplazamiento, a = d2sdt2

. En una trayectoria curva

la longitud de camino esta dada por: s = Lθ. Despejando la aceleracion se llega a:

d2Lθ

dt2= −g sin θ,

La longitud de la cuerda del pendulo se mantiene constante, por lo tanto:

d2θ

dt2= − g

Lsin θ.

Con la aproximacion de pequenas oscilaciones sin θ ≈ θ se linealiza la ecuacion para final-

mente tener:

θ +g

Lθ = 0.

Expresion conocida como ecuacion del oscilador armonico. Donde la frecuencia angular es:

ω =

√g

L.

Despejando el periodo, se llega a:

T = 2π

√L

g.

Se hace enfasis que en este problema esta implıcita toda la teorıa de las leyes de Newton

que aplicada lleva a una ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden no lineal. Ecuacion

que en principio no tiene solucion analıtica por lo que se debe invocar metodos numericos

para resolverla. Sin embargo, al tomar la aproximacion de pequenas oscilaciones la ecuacion

puede resolverse con la teorıa brindada en un curso de ecuaciones diferenciales. La alta carga

teorica involucrada en este problema puede desanimar a algunos estudiantes.

5.3 Aceleracion centrıpeta 43


Con una cuerda y una masa, que para ser mas practicos puede ser un zapato o un cuaderno, se

ensambla el pendulo y se pone a oscilar. Se les pide que accionen el cronometro para medir el

periodo de oscilacion, se les puede indicar que midan el tiempo de varias oscilaciones y dividan

entre el numero de estas para calcular el periodo con mayor precision. No es necesario hablar

de aproximaciones a pequenas oscilaciones ni menos de la ecuacion del oscilador armonico.

Etapa exploratoria: Considerando como variables relevantes: la longitud de la cuer-

da, la masa de la plomada (que despues el mismo procedimiento descarta), la gravedad

y el tiempo de oscilacion (periodo).

Etapa de calculo: Se aplica el teorema Π. Ver detalles en el Anexo C para saber

como se llego a:

T = Π

√L

g.

Etapa de medicion: De ser necesario se repite el experimento inicial para obtener

una lista de datos del periodo para diferentes valores de la longitud de la cuerda. Se

construye la tabla y en cada entrada se calcula el valor de la constante adimensional

Pi para llegar a un estimado cercano a 6.28. Despues con el desarrollo formal se hace

enfasis que este valor es 2π.

Las otras etapas se llevan como se indico en el primer ejemplo pero adaptadas a la situacion

de este caso.

5.3. Aceleracion centrıpeta

El tema de la aceleracion centrıpeta se trabaja en el capıtulo de cinematica como un ejemplo

particular de movimiento en dos dimensiones.

Marco teorico

Una partıcula rota describiendo un cırculo bajo la accion de una fuerza radial constante, que

produce una aceleracion radial que tambien es constante. En un intervalo de tiempo ∆t la

partıcula pasa del punto 1 al 2. La velocidad cambia de direccion y es este cambio el que

mide la aceleracion centrıpeta,

ac =∆v

∆t.

Si se puede considerar que la rapidez es constante, se puede establecer una relacion de


Figura 5-3.: Masa moviendose en un cırculo horizontal de radio R.

Figura 5-4.: El intervalo de tiempo es muy pequeno y por lo tanto se puede considerar que

la rapidez es constante.

semejanza entre los dos triangulos de la figura 5-4. Tomando las magnitudes de los vectores

como los lados de los triangulos, se verifica que:

∆v

v=

∆r

r,

Recordando que ac = ∆v/∆t, se reemplaza, entonces:

ac∆t

v=

∆r

r, por lo tanto

acv

=∆r

r∆t.

∆r/∆t = v es la rapidez. Despejando la aceleracion centrıpeta, finalmente se obtiene la

conocida expresion:

ac =v2

R.


Igual que en los casos anteriores, se debe intentar hacer el montaje. Con una cuerda y una

masa amarrada a su extremo se hace girar de manera que describa un cırculo horizontal3. Se

3Se deben tomar precauciones. Este experimento puede ser peligroso, ya que si amarran objetos muy

pesados, estos pueden salir despedidos a alta velocidad y causar danos a los estudiantes o profesor.

5.4 Teorema del trabajo y la energıa cinetica 45

puede argumentar que entre mas rapido gire, mas se acelera hacia el centro; se puede variar

el radio y la masa. Entonces:

Se consideran como magnitudes relevantes: el radio, la rapidez lineal, la masa (que el

procedimiento descarta) y la aceleracion.

Se aplica el teorema Pi. Ver detalles en el Anexo D.

Se llega a la expresion:

a = Πv2

r.

Proponer un experimento puede resultar difıcil. En este caso, se puede hacer uso del

programa de computador Tracker para lograr mediciones que permitan obtener el valor

de la constante adimensional y predecir a otras situaciones similares.

5.4. Teorema del trabajo y la energıa cinetica

En el esquema de prediccion de Newton se debe integrar dos veces. Cuando las fuerzas son

constantes, este procedimiento no tiene problema, pero si estas dependen de la posicion, el

tiempo y/o la velocidad, el esquema deja de ser practico y es ahı donde aparece en juego el

teorema del trabajo y la energıa cinetica [15].

Figura 5-5.: Masa empujada por una fuerza constante sobre una superficie horizontal.

Marco teorico

La definicion matematica del trabajo es:

W =

∫C

~F · d~, (J) .

El trabajo realizado por una fuerza ~F , figura 5-6, es igual a la integral de lınea sobre el

camino por el cual se movio la masa, de la fuerza producto punto con un desplazamiento

infinitesimal. Si varias fuerzas actuan sobre la partıcula se debe calcular el trabajo que hace

cada una y sumar, ası:

Wtotal = WF1 +WF2 + · · ·+WFN . (J) .


Figura 5-6.: El trabajo es una magnitud definida por el camino que se mueve a la partıcula.

En un desplazamiento infinitesimal d~ las fuerzas se pueden considerar constantes y el trabajo

total es el trabajo que hace la fuerza neta cuyo efecto es acelerar la masa en la direccion en

que esta actua. Por lo tanto:

Wtotal =

∫ ~rf

~ri

m~a · d~=

∫ ~rf

~ri

m~v

dt· d~=

∫ ~vf

~vi

m~v · d~v,

integrando se llega al conocido teorema del trabajo y la energıa cinetica:

Wtotal =1

2mv2

f −1

2mv2

i .

Si se considera que solo actua una fuerza horizontal constante, la masa parte del reposo y se

hace mover por un camino horizontal sin friccion. La expresion anterior se reduce a:

F∆x =1

2mv2.


Se propone analizar el caso de una masa m que se empuja por una fuerza F una distancia

d. Para facilidad siempre se arranca desde el reposo y en primera instancia se hace caso

omiso de la fuerza de friccion. Como en todos los casos anteriores, lo mejor es intentar una

practica de aula y para esto se sugiere que el docente lleve masas, dinamometros y regla. Si

se dificulta medir la rapidez, entonces se puede utilizar el software Tracker.

En estas circunstancias:

Se consideran como magnitudes relevantes: la distancia d, la rapidez v al final del

recorrido, la masa m (que en este caso no se descarta) y la fuerza F .

Se aplica el teorema Pi. Ver detalles en el Anexo E.

Se llega a la expresion:

Fd = πmv2.

Proponer un experimento con Tracker para determinar el valor de Π y predecir a otras

situaciones similares.

6. Adimensionalizando ecuaciones -

Oscilador amortiguado

Al inicio del trabajo se menciono que existen dos maneras de obtener los factores adimen-

sionales, una cuando se conoce el modelo matematico y la otra cuando no se tiene este y se

recurre a un analisis dimensional. Hasta ahora, la estrategia y secuencia didactica de esta

propuesta pedagogica, solo ha tenido en cuenta el segundo. Pero el primero, tambien aporta

muchas posibilidades de profundizar en el estudio de un sistema, ya que, en general facilita la

solucion de las ecuaciones diferenciales que lo describen al reducir el numero de parametros

involucrados (reduccion parametrica = similaridad dinamica).

Como ejemplo de lo anterior, considere el caso tıpico, muy ensenado en cursos de inge-

nierıa y fısica, de un sistema masa-resorte sin amortiguacion, que se ve en la figura 6-1. El

correspondiente diagrama de cuerpo libre lleva a escribir la ecuacion:

Figura 6-1.: (a) Sistema masa-resorte sin amortiguacion. y (b) Diagrama de cuerpo libre.

∑Fx = −kx = ma.

Como la aceleracion es la segunda derivada de la posicion respecto al tiempo, la anterior

ecuacion se reescribe como:

md2x

dt2= −cdx

dt− kx.

Que finalmente lleva a la conocida expresion del oscilador armonico:

x+κ

mx = 0, (6-1)

donde κ es la constante de elasticidad del resorte y m la masa del bloque atada a el y el

cociente κ/m se conoce como frecuencia angular al cuadrado ω2.

Con las condiciones iniciales:

48 6 Adimensionalizando ecuaciones - Oscilador amortiguado

En t = 0, x = xm m.

En t = 0, v = 0 m/s.

Se aplica el metodo de repeticion de variables de la forma usual:

Paso 1: Las variables dinamicas presentes en el problema son: m masa del objeto, κ constante

del resorte, x desplazamiento de la masa, v velocidad de la masa y t tiempo. Por lo tanto

n = 5.

Paso 2: Todas las variables se pueden escribir en terminos de las magnitudes fundamentales:

M , L y T , j = 3.

Paso 3: Se escogen como variables repetidas: m, κ y v.

Paso 4: Se calculan los dos Pis (k = n− j = 2):

Π1 =x

v

√κ

m=xmvm

ω = z,

Π2 = t

√κ

m= Tω = τ.

Relacionando la posicion velocidad y tiempo con valores tıpicos como la amplitud, velocidad

maxima y el tiempo y recordando que la frecuencia angular esta dada por ω =√κ/m.

Finalmente, cada Pi se relaciona como el equivalente adimensional de la posicion y el tiempo

respectivamente.

Al reescribir la ecuacion en terminos de z y τ , se llega a:

∗∗z + z = 0,

que es la equivalente adimensional de 6-1 con la ventaja de no estar en funcion de parametros

fısicos. En la referencia [2] se encuentra un problema similar resuelto completamente con este

argumento.

Para complicar el problema se puede considerar friccion sobre la masa por lo que la oscilacion

se amortigua.

Oscilador amortiguado

El modelo matematico que se obtiene al aplicar las leyes de la mecanica al problema fısico

planteado, es una ecuacion diferencial de segundo orden con coeficientes1, que pueden ser

indeterminados, κ y c, relacionados con la elasticidad del resorte, un coeficiente de friccion

asociado al medio viscoso donde se mueve la masa, figura 6-2, respectivamente.

d2x

dt2+

c

m

dx

dt+κ

mx = 0. (6-2)

1Algunas partes de lo expuesto en esta seccion se tomaron literalmente de [2], de autorıa de Miguel Angel

Bernal Yermanos.

49

Figura 6-2.: (a) Oscilador amortiguado y (b) su equivalente electrico.

Las condiciones iniciales del problema son:

En t = 0, el resorte se encuentra en su posicion de equilibrio, x = 0.

En t = 0, la velocidad es dxdt

∣∣t=0

= v0.

El teorema Pi se utiliza para adimensionalizar la ecuacion. Al dividir cada uno de los terminos

por las cantidades apropiadas se obtiene una ecuacion adimensional y se vera para este caso

particular, que el numero de parametros se reduce a solo uno, ξ.

Variables dinamicas presentes en el problema

1. La masa del objeto: m.

2. Constante de elasticidad del resorte: κ.

3. Coeficiente de disipacion c.

4. Desplazamiento de la masa: x.

5. Velocidad de la masa: v.

6. Fuerza sobre la masa: F .

7. Tiempo en que ocurre el evento: t.

Numero de variables dinamicas: n = 7.

Las magnitudes fundamentales son:


Masa: M .

Longitud: L.

Tiempo: T .

Luego, el numero de fundamentales es j = 3.

De acuerdo al teorema Π el numero de parametros adimensionales a buscar es: m = n− j =

7− 3 = 4. Se propone como variables repetidas m, κ y v, por lo tanto:Π1 → x,

Π2 → F,

Π3 → t,

Π4 → c.

Π1 es el parametro adimensional relacionado con el desplazamiento, ası:

Π1 = x ·ma · κb · vc, (6-3)

descomponiendo cada variable dinamica en sus correspondientes magnitudes fundamentales:

Π1 = L ·Ma ·(M

T 2

)b·(L

T

)c= L ·Ma · M

b

T 2b· L

c

T c,

agrupando:

Π1 = L1+c ·Ma+b · T−2b−c.

Garantizar adimensionalidad implica el siguiente sistema lineal:

1 + c = 0,

a+ b = 0,

−2b− c = 0,

que al resolver lleva a:

c = −1,

a = −1

2,

b =1

2.

Reemplazando en la ecuacion (6-3), se obtiene:

Π1 = x ·m−1/2 · κ1/2 · v−1,

51

ası:

Π1 =x

v·√κ

m.

Para valores tıpicos de x y v y considerando que ω =√κ/m, finalmente:

Π1 =xmω

v0

. (6-4)

Se repite el procedimiento para calcular los otros Πs. Cada uno de estos Pi’s corresponde a

una magnitud relevante del problema respectivamente. Los tres primeros Π’s se relacionan

con variables que cambian en el tiempo y el tiempo mismo. Para reescribir la ecuacion (6-2)

con el fin que quede adimensional, se renombran los Π’s de tal forma que la notacion parezca

mas natural, ası:

Π1 =ω

v0

x = z,

Π2 = ωt = τ,

Π3 =Fxmmv2

0

= F ,

Π4 =c

2√κm

= ξ,

(6-5)

En esta nueva notacion z es el adimensional correspondiente a x, τ es el del tiempo t y F es

el de la fuerza F .

Aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta las relaciones funcionales dadas en la

ecuacion (6-5), se calcula:

∂z

∂τ=∂z

∂x· ∂x∂t· ∂t∂τ

=∗z,

al calcular las derivadas se llega a:

∗z =

ω

v0

x1

ω=

x

v0

,

por lo tanto:

x = v0∗z, (6-6)

Para la segunda derivada se tiene en cuenta que∗z depende de x (ecuacion 6-6) y esta a

su vez depende del tiempo t y por las relaciones funcionales de la ecuacion (6-5) el tiempo

depende de τ , ası:

∂∗z

∂τ=∂∗z

∂x· ∂x∂t· ∂t∂τ

=∗∗z ,


derivando:

∗∗z =

1

v0

x1

ω=

x

ωv0

,

por lo tanto:

x = ωv0∗∗z . (6-7)

Despejando x la primera ecuacion de (6-5), se obtiene:

x =v0

ωz, (6-8)

reemplazando 6-8, 6-6 y 6-7 en la ecuacion 6-2, se llega a:

ωv0∗∗z +

c

m

∗z + ω2v0

ωz = 0,

Con algo de algebra, la ecuacion anterior se transforma en:

∗∗z +

c√κm

∗z + z = 0,

al multiplicar y dividir el segundo termino aparece de forma natural Π4, ası:

∗∗z + 2ξ

∗z + z = 0, (6-9)

que es la equivalente adimensional a la ecuacion dinamica del problema (ecuacion 6-2), que

ademas tiene la ventaja de tener un solo parametro. Se verifica que ahora las condiciones

iniciales son:

z(0) = 0,∗z(0) = 1.

Como paralelo a lo anterior, en la figura 6-2 (b) se tiene el correspondiente sistema electrico.

Las ecuaciones que describen los dos sistemas, aplicando respectivamente la ley de Newton

y la ley de Faraday, son:

md2x

dt2= −cdx

dt− kx, Sistema mecanico.

Ld2q

dt2= −Rdq

dt− 1

Cq, Sistema electrico.

Que de forma natural lleva a las siguientes correspondencias:masa m → inductancia L.

coeficiente de atenuacion c → resistencia electrica R.

constante elastica κ → recıproco de la capacitancia 1C

.

posicion x → carga electrica q.

tiempo t → tiempo t.Luego todos los Pis calculados para el caso mecanico se pueden adaptar al caso electrico al

igual que la correspondiente ecuacion adimensional de la dinamica del sistema. Se anima al

lector a recalcular el correspondiente parametro ξ del caso electrico.

7. Conclusiones y proyecciones

7.1. Conclusiones

A continuacion se presentan aspectos que son impactados directamente por la propuesta

de este trabajo y justifican la importancia de este tipo de analisis en las diferentes estrate-

gias didacticas, que se elaboren para enfrentar el problema de la ensenanza de las ciencias

naturales:

Cuando un tema de fısica se presenta en el aula de clase, es difıcil que los estudiantes

reconozcan todo el esfuerzo experimental y teorico que se realizo para obtener cada

expresion y el tiempo que le tomo a la humanidad entenderlas y enmarcarlas dentro

de una teorıa general. Por el contrario, para estos, tales leyes y principios carecen de

sentido a tal punto que en la mayorıa de casos tienden a reducirlas a unas formulas

que necesitan aprender de memoria para aplicarlas en la solucion de una evaluacion y

ası cumplir con un requisito de su formacion academica.

Si el profesor en las primeras clases induce el tema de las magnitudes haciendo enfasis

en el Sistema Internacional de medidas y la dimension fısica asociada a cada magnitud,

la aplicacion de la secuencia didactica lleva a que los estudiantes construyan expresiones

matematicas de una manera natural, logrando que cuando se enfrenten a las mismas

desde la teorıa, ya no les parezcan tan extranas y sin sentido y finalmente terminen

aceptandolas como algo que aporta en el entendimiento del fenomeno estudiado.

En el ejercicio docente de la ensenanza de la fısica es recurrente la dificultad de los

estudiantes para tener en cuenta las unidades de medida en las respuestas a ejercicios,

problemas y otras actividades de aula. Y constante la molestia de los profesores por la

aparente indiferencia y apatıa que estos muestran en este aspecto. La aplicacion con-

tinuada de la secuencia responde a esta problematica, ya que parte central del trabajo

didactico esta en tener en cuenta la dimensionalidad de las magnitudes fısicas. La ex-

periencia propia del autor confirma la satisfaccion que produce ver que los estudiantes

no dejan pasar ningun ejercicio sin verificar las unidades de las respuestas.

Otro problema permanente es la obsesion de los estudiantes por aprenderse de memoria

las ecuaciones de todos los temas que se incluyen en una evaluacion, para finalmente

equivocarse en el momento de la prueba y atormentar al profesor con la constante

54 7 Conclusiones y proyecciones

peticion que les recuerde la formula. Por ejemplo, el periodo de un pendulo simple, con

la aproximacion a pequenas oscilaciones, esta dado por la ecuacion:

T = 2π

√L

g.

Es usual y completamente normal que estudiantes y profesores no se acuerden cual es

la posicion de las magnitudes en el cociente de la ecuacion anterior y puedan terminar

equivocandose por este hecho al calcular el tiempo. Pero tambien es evidente que un

rapido analisis dimensional resuelve la duda inmediatamente. De nuevo, la aplicacion

continuada de la secuencia hace que los estudiantes permanentemente esten haciendo

este tipo de verificacion, aunque no para validar ecuaciones, y por lo tanto, se espera

que despues de muchas repeticiones de este procedimiento se alcance la habilidad de

reconocer si una expresion matematica es correcta dimensionalmente.

El autor, desde su experiencia docente universitaria, ha podido verificar que los estu-

diantes ganan en interpretacion y disminuyen drasticamente la actividad de memorizar

ecuaciones.

Para ilustrar el poder de reconstruir ecuaciones con solo analisis dimensional se plantea

el siguiente ejemplo:

Considerando que se conocen las relaciones de incertidumbre de la mecanica cuantica,

∆E∆t ∼ h, ∆x∆p ∼ h.

Donde h es la constante de Planck que tiene unidades de accion, es decir, de energıa

por tiempo.

Al despejar la energıa de la primera relacion,

[E] ∼ [h]×[

1

t

].

Se reconoce que la frecuencia ν es la magnitud que tiene unidades de uno sobre tiempo,

luego:

E ∼ h× ν = hω,

donde h = h/2π y ω = 2πν.

Al proceder de la misma forma con la relacion de posicion y momento,

[p] ∼ [h]×[

1

x

].

Tambien se reconoce que la longitud de onda λ es la magnitud que tiene dimension de

longitud, luego:

p ∼ h× 1

λ= hk.

7.1 Conclusiones 55

Nuevamente h = h/2π y k = 2π/λ es el numero de onda.

Por otro lado, la rapidez c que tiene dimension de longitud sobre tiempo, se puede

reescribir como el producto,

c = λν.

Despejando la frecuencia y relacionando con lo de arriba,

ν =1

λc = 2πν =

2π

λc, ω = kc.

Multiplicando en ambos lados por hache barra,

hω = hkc,

finalmente se obtiene la expresion,

E = pc.

Que corresponde a la energıa de un foton sin masa proveniente de la ecuacion de

Einstein,

E2 = p2c2 +m2c4.

Es claro que se debe ganar destreza para lograr reconstruir las ecuaciones de forma

practica y sin errores y de paso reducir la actividad de memorizar expresiones sin mayor

reflexion y sentido. Tambien es importante tener en cuenta que se debe memorizar algo

de informacion mınima, pues de lo contrario no es posible avanzar. Lo interesante es

que el uso continuado de la secuencia didactica lleva a trabajar en este aspecto y al

final de un tiempo adecuado se pueden ver resultados sorprendentes.

El problema de los preconceptos: Ya que es posible visualizar un paralelo en como

se enfrentan los ingenieros a situaciones desconocidas, en las que la teorıa no brinda

explicaciones practicas, con el de la ensenanza a educandos que tambien se enfrentan a

problemas en los que les es difıcil predecir cuantitativamente comportamientos, aunque

no por falta de teorıa sino, por la escasa formacion estructurada en ciencias y la poca

motivacion hacia esta que se ha detectado en la juventud actual. Y reconociendo el

hecho de que los estudiantes prefieren explicar fenomenos naturales, asociados a los

cursos de ciencias con argumentos provenientes de sus experiencias previas, que en una

gran cantidad de casos son mal fundamentadas, y que, ademas estan tan arraigadas a

ellos que se necesitan anos de instruccion formal para lograr un cambio conceptual.

La alternativa que brinda el teorema Pi y el metodo de repeticion de variables, evi-

ta que los estudiantes entren apriori con sus explicaciones sin que se desconecten del

56 7 Conclusiones y proyecciones

fenomeno en sı y ademas proporciona un avance significativo al poder obtener ex-

presiones matematicas que permitan ver que el fenomeno es alcanzable; poniendo de

manifiesto la importancia de estas representaciones para conducir experimentos que

permitan a parte de conocer el valor de ciertas constantes, predecir eventos similares

o relacionados.

Flexibilidad: En cuanto a la secuencia didactica propuesta, se debe anotar que es tan

flexible como el metodo mismo y aunque se sugiere que se aplique en el aula antes de

ver la teorıa de un tema particular, no es necesario seguir esta recomendacion al pie

de la letra y por el contrario, se alienta a los profesores que se sientan motivados con

este recurso a buscar variantes y a hacerla parte integral de la asignatura.

Facilidad: Como en la implementacion de la secuencia se requieren conocimientos mıni-

mos de matematicas y casi ninguno de fısica, esta es aplicable a estudiantes de todo

nivel de escolaridad; desde los grados basicos en el colegio hasta los de programas de

formacion profesional y tecnica, pasando desde ingenierıa, ciencias de la salud, artes,

entre otros.

7.2. Proyecciones

El capıtulo 6 presenta la ecuacion diferencial de un sistema fısico y como el analisis

dimensional produce una reduccion de los parametros que lo describen. Este aspecto

promete un posible camino en la aplicacion del teorema Pi y el metodo de repeticion

de variables a la ensenanza de temas en ciencias, en los que la aplicacion de principios

arrojen ecuaciones diferenciales y se desea optimizar el sistema con los valores de los

parametros en juego. Particularmente, en el artıculo [2], la adimensionalizacion de la

ecuacion dinamica que describe el sistema, lleva a la optimizacion de los parametros

de resorte y amortiguador en el sistema de proteccion de un vehıculo comercial. Este

trabajo se expuso en ponencia, en el XXV Congreso Nacional de Fısica: Centenario

del atomo de Bohr, Armenia 2013, y ademas se produjo el artıculo referenciado en [2].

Paralelo al analisis dimensional crece el llamado analisis direccional, que mediante una

serie de operaciones muy simples se puede reconocer si una magnitud tiene caracter

escalar o vectorial. Anadido a la importancia de reconocer y tener en cuenta la dimen-

sionalidad de las magnitudes fısicas en la formacion cientıfica de los estudiantes y su

posibilidad de ser usadas para obtener conocimiento cientıfico, el identificar el caracter

vectorial o escalar de las magnitudes, no solo completa la formacion de competencias,

sino que, puede aportar elementos pedagogicos para hacer mas natural la clasificacion

de estas y seguir en la busqueda de herramientas que hagan mas llamativa la ensenanza

de las ciencias.

A. Anexo: Factores adimensionales

famosos

Es frecuente encontrar en los grupos adimensionales factores como el coeficiente de presion,

el coeficiente de arrastre CD, el numero de Reynolds Re o el numero de Froude Fr. A

continuacion se listan algunos de ellos:

Factores adimensionales

Sımbolo Nombre Definicion Ecuacion

Fr Numero de Froude Fuerza de inerciaFuerza de gravedad

√v2

`g

Re Numero de Reynold Fuerza de inerciaFuerza viscosa

ρ`vµ

Ma Numero de Mach Rapidez del fluidoRapidez del sonido

vc.

P r Numero de Prandtl Difusion viscosaDifusion termica

vα

f Factor de Darcy RozamientoFuerza de inercia

8τwρv2

CD Coeficiente de arrastre (Drag) Fuerza de arrastreFuerza dinamica

FD12ρAv2

CL Coeficiente de sustentacion (Lift) Fuerza de sustentacionFuerza dinamica

FL12ρAv2

Cp Coeficiente de presion Diferencia de presion estaticaPresion dinamica

∆P12ρv2.

Existen muchos mas de estos factores que tienen aplicacion practica en ingenierıa. Una

referencia mas especıfica se encuentra en el capıtulo 7 de [5].

B. Anexo: Aplicacion del teorema Π al

problema de clase: Caıda libre.

Paso 1

Variables fısicas relevantes: altura y, masa m, gravedad g, tiempo t. De acuerdo a lo anterior,

el numero de variables fısicas relevantes en el problema es n = 4.

Paso 2

La dimension fısica de cada una de las cuatro variables relevantes en el problema, son:

Magnitud y m v t

Unidad SI m kg m/s s

Dimension fısica {L1} {M1} {L1T−1} {T 1}

Paso 3


en las variables relevantes del paso 2: tiempo, longitud y masa, j = 3. Ası, el numero de Pis

a calcular son:

n− j = 4− 3 = 1.

Paso 4

Se propone como variables repetidas: la masa m, la gravedad g y el tiempo t. Se deja como

no repetida la altura y.

Calculo del Pi

Solo hay que calcular un Pi, entonces:

Π = ymagbtc =(L1)×Ma ×

(L1T−2

)b × (T 1)c

= MaL1+bT−2b−c. (B-1)

59

Que para asegurar adimensionalidad lleva al sistema:

a = 0

1 + b = 0

−2 + c = 0

cuya solucion es:

a = 0, b = −1, c = −2.


Π = yg−1t−2.

Paso 6

En la eventualidad de un solo Π, se busca relacionar las variables presentes intentando una

ecuacion, que salvo una constante adimensional por determinar, permita obtener la expresion

matematica deseada. En este caso, al despejar la altura:

y = Πgt2.

C. Anexo: Aplicacion del teorema Π al

problema de clase: Pendulo simple.

Paso 1

Variables fısicas relevantes: longitud de la cuerda L, masa m, gravedad g, el periodo T . De

acuerdo a lo anterior, el numero de variables fısicas relevantes en el problema es n = 4.

Paso 2


Magnitud L m g T

Unidad SI m kg m/s2 s

Dimension fısica {L1} {M1} {L1T−2} {T 1}

Paso 3



a calcular son:

n− j = 4− 3 = 1.

Paso 4

Se propone como variables repetidas: la masa m, la gravedad g y la longitud L. Se deja como

no repetida el periodo T .

Calculo del Pi


Π = TLambgc =(T 1)× La ×

(M1)b × (L1T−2

)c= T 1−2cM bLa+c. (C-1)

61


1− 2c = 0

b = 0

a+ c = 0

cuya solucion es:

a = −1/2, b = 0, c = 1/2.


Π = TL−1/2g1/2.

Paso 5



matematica deseada. En este caso, al despejar el periodo:

T = Π

√L

g.

D. Anexo: Aplicacion del teorema Π al

problema de clase: Aceleracion

centrıpeta.

Paso 1

Variables fısicas relevantes: masa m, rapidez v, radio R, aceleracion a. De acuerdo a lo

anterior, el numero de variables fısicas relevantes en el problema es n = 4.

Paso 2


Magnitud m v R a

Unidad SI kg m/s m m/s2

Dimension fısica {M1} {L1T−1} {L1} {L1T−2}

Paso 3



a calcular son:

n− j = 4− 3 = 1.

Paso 4

Se propone como variables repetidas: la masa m, la rapidez v y el radio R. Se deja como no

repetida la aceleracion a.

Calculo del Pi


63

Π = amavbRc =(L1T−2

)×Ma ×

(L1T−1

)b × (L1)c

= MaL1+b+cT−2−2b. (D-1)


a = 0

1 + b+ c = 0

−2− 2b = 0

cuya solucion es:

a = 0, b = −2, c = 1.


Π = av−2R1.

Paso 5



matematica deseada. En este caso, al despejar la aceleracion:

a = Πv2

R.

E. Anexo: Aplicacion del teorema Π al

problema de clase: Trabajo y energıa

cinetica.

Paso 1

Variables fısicas relevantes: Fuerza F , masa m, rapidez v, distancia d. De acuerdo a lo

anterior, el numero de variables fısicas relevantes en el problema es n = 4.

Paso 2


Magnitud F m v d

Unidad SI N kg m/s m

Dimension fısica {M1L1T−2} {M1} {L1T−1} {L1}

Paso 3



a calcular son:

n− j = 4− 3 = 1.

Paso 4

Se propone como variables repetidas: la masa m, la rapidez v y la distancia d. Se deja como

no repetida la fuerza F .

Calculo del Pi


65

Π = Fmavbdc =(M1L1T−2

)×Ma ×

(L1T−1

)b × (L1)c

= M1+aL1+b+cT−2−2b. (E-1)


1 + a = 0

1 + b+ c = 0

−2− 2b = 0

cuya solucion es:

a = −1, b = −2, c = 1.


Π = Fm−1v−2d1.

Paso 5



matematica deseada. En este caso, al despejar el producto Fuerza por distancia (Trabajo):

Fd = Πmv2.

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