TEOREMA DE DE VASCHY BUCKINGHAMINTRODUCCION No todos los problemas de ingeniera pueden resolverse mediante ecuaciones basadas en leyes o balances (de materia, energa, cantidad de movimiento...), debido a que por un lado pueden resultar muy complejos y por otro lado los problemas involucran un gran nmero de variables. Por ejemplo, para el flujo de un fluido newtoniano en rgimen laminar se pueden deducir ecuaciones de flujo y prdidas de friccin al aplicar un balance microscpico de cantidad de movimiento, tal y como se ha demostrado previamente; sin embargo, para el flujo de un fluido newtoniano en un rgimen turbulento no se pueden obtener ecuaciones tan simples. Como consecuencia de esta situacin se emplean ecuaciones empricas basadas en experimentos. Una forma de facilitar la resolucin de este tipo de problemas y de otros similares consiste en agrupar las variables en una nueva pseudo-variable adimensional para simplificar el anlisis. Nos referimos al anlisis dimensional como aquellos procedimientos que basados en el anlisis de las variables y parmetros que gobiernan un fenmeno, y ms especficamente en las magnitudes fsicas que dichas variables involucran, permiten encontrar relaciones entre las variables que forman parmetros adimensionales. El problema fsico queda entonces descrito, con el mismo grado de fidelidad, por este nuevo conjunto reducido de parmetros adimensionales. Enfatizamos la palabra reducida, dada que es una de las ventajas del anlisis dimensional. Al ser menor el nmero de variables o parmetros, es posible organizar y expresar ms eficientemente lo resultados de la experimentacin. La otra ventaja es que permite identificar con ms facilidad, aquellos sistemas que son similares. Aunque el concepto de similaridad requiere un anlisis ms profundo, diremos que bsicamente la similitud es lo que permite que los resultados y mediciones obtenidos sobre un modelo o escala sea extrapolables a prototipos de tamao real. Existen dos conceptos fundamentales en los cuales se basa el anlisis dimensional. El primer concepto es en realidad un postulado o axioma y establece que cualquier ecuacin que represente en forma un fenmeno fsico, tiene que ser invariante ante un cambio en el sistema de medicin (unidades). Algunos autores han mostrado que para que este axioma se cumpla, la ecuacin que representa el fenmeno debe ser un monomio como el siguiente:

El segundo concepto, es en realidad una consecuencia del postulado de invariancia dimensional. Es decir, para que una ecuacin que representa un fenmeno fsico sea invariante ante un cambio en el sistema de medida ( o unidades), la misma debe cumplir con el principio de homogeneidad dimensional: Si una ecuacin verdaderamente expresa una relacin apropiada entre variables en un fenmeno fsico, entonces cada uno de sus trminos aditivos, deben necesariamente tener las mismas dimensiones o unidades. Entonces, se dice que la ecuacin es dimensionalmente homognea. Una herramienta muy valiosa en el anlisis dimensional es el conocido teorema de de Buckingham. Mediante este teorema es posible reducir el nmero de variables o parmetros de los cuales depende un fenmeno fsico, mediante la generacin de grupos adimensionales que involucran dichas variables.TEOREMA ElTeorema de (pi) de Vaschy-Buckinghames elteoremafundamental delanlisis dimensional. El teorema establece que dada una relacin fsica expresable mediante una ecuacin en la que estn involucradasn magnitudes fsicaso variables, y si dichas variables se expresan en trminos dekcantidades fsicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuacin original puede escribirse equivalentemente como una ecuacin con una serie den knmeros adimensionalesconstruidos con las variables originales. Este teorema proporciona un mtodo de construccin de parmetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuacin es desconocida. De todas formas la eleccin de parmetros adimensionales no es nica y el teorema no elige cules tienen significado fsico.Si tenemos una ecuacin fsica que refleja la relacin existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una funcinftal que:

En donde son la n variable o magnitudes fsicas relevantes, y se expresan en trminos dek unidades fsicas independientes. Entonces la anterior ecuacin se puede reescribir como: ( ,,,) = 0 En dondeson los parmetros adimensionales construidos denk ecuaciones de la forma: = En donde los exponentesmi sonnmeros enteros. El nmero de trminos adimensionales construidosn - kes igual a la nulidad de lamatrizdimensional en dondekes elrango de la matriz.

Ejemplo:Imaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinmica o fuerza aerodinmicaFasobre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otra forma geomtrica, en funcin de su tamao o dimensin caractersticad, la densidad del fluido , laviscosidad del mismo y la velocidad del cuerpoven el seno de dicho fluido. Dado que parece que esas variables deberan explicar por s mismas la resistencia aerodinmica se tiene relacin matemtica del tipo: (2) Puesto que tenemos 5 variables relevantes n = 5. Estas cinco variables no son dimensionalmente independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en trminos de masa, tiempo y longitud que: En este caso se tiene por tantoya que todas las magnitudes son reducibles a slo 3 magnitudes dimensionales independientes. Esto implica que existen (n k)=2 combinaciones adimensionales tales que la relacin (2) se puede reducir a la forma: (3a) Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes originales como "bsicas" y se forman junto con las otras dos consideradas "dependientes" productos adimensionales. En este caso se toman como bsicas por ejemplo ,vyd(aunque podra haberse hecho otra eleccin). Ahora buscamos exponentes enteros tales que los siguientes productos sean adimensionales: La condicin de adimensionalidad paralleva a que por ejemplo:

(5) Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros: (6)Anlogamente para el parmetro , se llega a que:y por tanto la relacin buscada es: (3b)Si se asumen ciertas condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la funcin anterior, podr usarse elteorema de la funcin implcitapara escribir las relaciones: ( 7a)Esta ltima ecuacin dice es consistente con la expresin comn para laresistencia aerodinmica: (7b)Donde,yes una funcin delnmero de Reynoldsque precisamente es proporcional al parmetro. Obviamente el teorema no es capaz de darnos todos los factores de proporcionalidad requeridos, ni la forma funcional exacta de algunas partes de la frmula, pero simplifica mucho el conjunto de expresiones a partir de la cual tenemos que buscar los datos.

TEOREMA DE BUCKINGHAM - VASCHYSea el conjunto de n variables fundamentalesEJEMPLO: Se est entregando agua a 10C hacia un tanque sobre el techo de un edificio, como se muestra en la figura. Qu presin indica un manmetro en el punto A para que se entreguen 200 L / min de agua?.Sugerencia: use la informacin adicional adjunta.

Tabla i : Dimensiones de tubos deacero. Calibre 40

Tabla ii : Rugosidad de conducto.Valoresde diseo.

Tabla iii : Resistencia envlvulasy junturas expresada como longitud equivalente en dimetros de conducto

Tabla iv : Propiedades del agua. Unidades SI.

SOLUCION

1.Mtodo Matemtico:

2.Mtodo Experimental:

Clculo de la prdida primaria

Ecuacin dimensional que caracteriza el problema. Contiene 13 variables.Se pueden volver a agrupar en dos categoras: Variables superfluas:

Variables fundamentales, que caracterizan el problema fluido dinmico:

TEOREMA DE BUCKINGHAM1. Lamatrizdimensional:

5. Los cuatro parmetros adimensionales:

6.La funcin adimensional :

7.Redefiniendo los parmetros pi :

8. Como la funcin no est definida:

Ecuacin cualitativaENSAYOS EN EL LABORATORIO

Se hace circular el flujo de agua:

Se repite el procedimiento para otros valores de flujo volumtrico y los resultados pueden presentarse mediantegrficos, uno de ellos es elDiagramade Moody.

Para nuestro problema:

Luego:

Rugosidad promedio de tubos comerciales

Clculo de la prdida secundariaDe manera anloga al clculo de la perdida primaria se puede establecer un procedimiento para el clculo de las prdidas secundarias.

Para nuestro problema :

El cuadro siguiente muestra las dimensiones de algunas variables que se utilizan en la mecnica de fluidos. Esta informacin ayuda en laconstruccinde la matriz dimensional.