Introducci´on a la teor´ıa de grupos ﬁnitos - uam.es · 6.7. Teorema de Cayley . . . . . . . ....

Introduccion a la teorıa

de grupos finitos

por Alberto Garcıa Raboso

8 de marzo de 2007

II

Este documento ha sido realizado en AMS-LATEX2ε.

v. 1.0 (26 de agosto de 2001).

v. 1.1 (24 de febrero de 2004): Actualizacion de direccion de correo electronico.

v. 1.2 (8 de marzo de 2007): Correccion de algunas erratas (gracias a Jorge NunezPascual). Modificada tabla al final del capıtulo 10 para incluir grupos abelianos (porsugerencia de Jorge Nunez Pascual). Actualizacion de direccion de correoelectronico.

Se puede contactar con el autor en <[email protected]> y<[email protected]>

Indice general

Indice general III

1 Grupos y subgrupos 11.1. Primeras definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Teorema de Lagrange 72.1. Clases de un grupo modulo un subgrupo . . . . . . . . . . . . . 72.2. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Producto interno de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Grupos cıclicos 113.1. Definicion de grupo cıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Propiedades de los elementos de torsion . . . . . . . . . . . . . 113.3. Corolarios del teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4. Teoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5. Clasificacion de grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6. Subgrupos de grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.7. Generadores de grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8. Imagen homomorfica de grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . 183.9. Automorfismos de grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Acciones de grupos. Subgrupos normales 214.1. El teorema de orbita-estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2. Elementos conjugados y clases de conjugacion . . . . . . . . . . 234.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Grupos cociente y teoremas de isomorfıa 295.1. Grupo cociente y teorema de correspondencia . . . . . . . . . . 295.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorfıa . . . . . . 305.3. Corolarios de los teoremas de isomorfıa . . . . . . . . . . . . . . 32

iii

IV Indice general

6 Grupos simetricos, alternados y diedricos 356.1. Permutaciones. Descomposicion en ciclos disjuntos . . . . . . . 356.2. Descomposicion en transposiciones. Sistemas de generadores de

Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3. Signatura de una permutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4. Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.5. Estructura de los grupos simetricos y alternados . . . . . . . . 416.6. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.7. Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.8. Grupos diedricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7 Producto directo y semidirecto 477.1. Producto directo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2. Producto semidirecto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles 538.1. p-grupos y p-subgrupos de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.3. Corolarios de los teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . 568.4. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9 Grupos abelianos finitos 619.1. Factorizacion de elementos de grupos abelianos finitos . . . . . 619.2. Clasificacion de los grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . 629.3. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.4. Grupos abelianos de orden bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10 Clasificacion de grupos de orden menor que 16 6910.1. Primeros grupos clasificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.2. Grupos de orden pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.3. Grupos de orden 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.4. Grupos de orden 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bibliografıa 75

Capıtulo 1

Grupos y subgrupos

1.1. Primeras definiciones y propiedades

Definicion 1.1.1 Un grupo es un conjunto G dotado de una operacion bina-ria ∗ que satisface los siguientes axiomas:

(G1) Operacion interna:∀x, y ∈ G, x ∗ y ∈ G

(G2) Propiedad asociativa:

∀x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

(G3) Existencia de elemento neutro:

∃e ∈ G : ∀g ∈ G, e ∗ g = g ∗ e = g

(G4) Existencia de elemento inverso:

∀g ∈ G, ∃g−1 ∈ G : g ∗ g−1 = e = g−1 ∗ g

Definicion 1.1.2 Se dice que un grupo (G, ∗) es abeliano si para todos x, y ∈G se cumple x ∗ y = y ∗ x.

Definicion 1.1.3 Sea (G, ∗) un grupo. Se llama orden de (G, ∗) al cardinal|G| del conjunto subyacente. Se dice que (G, ∗) es finito si dicho cardinal loes, e infinito en caso contrario.

Proposicion 1.1.4 (Propiedades cancelativas) Sea (G, ∗) un grupo. Pa-ra todos a, b, c ∈ G se cumple

a ∗ c = b ∗ c =⇒ a = b

c ∗ a = c ∗ b =⇒ a = b

1

2 Grupos y subgrupos

Demostracion. Dado c ∈ G, el axioma (G4) asegura la existencia de unelemento c−1 ∈ G tal que c ∗ c−1 = e. Entonces, componiendo a ∗ c = b ∗ c porla derecha con c−1, se tiene

(a ∗ c) ∗ c−1 = (b ∗ c) ∗ c−1 utilizando (G2)

a ∗ (c ∗ c−1) = b ∗ (c ∗ c−1) utilizando (G4)a ∗ e = b ∗ e utilizando (G3)

a = b

Analogamente, y dado que c−1 ∗ c = e, componiendo c ∗ a = c ∗ b por laizquierda con c−1,

c−1 ∗ (c ∗ a) = c−1 ∗ (c ∗ b) utilizando (G2)

(c−1 ∗ c) ∗ a = (c−1 ∗ c) ∗ b utilizando (G4)e ∗ a = e ∗ b utilizando (G3)

a = b

� Q.E.D.

Proposicion 1.1.5 El elemento neutro e de un grupo (G, ∗) es unico.

Demostracion. Supongamos que existiesen en (G, ∗) dos elementos neutrosdistintos e, f ∈ G. Entonces, utilizando el axioma (G3), e = e ∗ f = f .� Q.E.D.

Proposicion 1.1.6 El elemento inverso de cualquier elemento g de un grupo(G, ∗) es unico.

Demostracion. Supongamos que existiesen dos elementos g−1, g? ∈ G talesque g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e y g ∗ g? = g? ∗ g = e. Entonces, g ∗ g−1 = g ∗ g?,y, utilizando la propiedad cancelativa por la izquierda, se tiene g−1 = g?.� Q.E.D.

Proposicion 1.1.7 Sea (G, ∗) un grupo. Para todo g ∈ G se tiene que (g−1)−1 =g.

Demostracion. Dada la unicidad del elemento inverso, basta observar queg ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e. � Q.E.D.

Proposicion 1.1.8 Sea (G, ∗) un grupo. Para todos x, y ∈ G se tiene que(x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1.

Demostracion. La unicidad del elemento inverso y las relaciones

(x ∗ y) ∗ (x ∗ y)−1 = x ∗ (y ∗ y−1) ∗ x−1 = x ∗ e ∗ x−1 = x ∗ x−1 = e

(x ∗ y)−1 ∗ (x ∗ y) = y−1 ∗ (x−1 ∗ x) ∗ y = y−1 ∗ e ∗ y = y−1 ∗ y = e

demuestran el enunciado. � Q.E.D.

1.2. Subgrupos 3

Proposicion 1.1.9 Sea (G, ∗) un grupo. Entonces,

(G, ∗)es abeliano ⇐⇒ ∀x, y ∈ G, (x ∗ y)−1 = x−1 ∗ y−1

Demostracion. De la definicion de grupo abeliano, (x ∗ y)−1 = y−1 ∗x−1 =x−1 ∗ y−1.

Recıprocamente, si para todos x, y ∈ G se tiene (x ∗ y)−1 = x−1 ∗ y−1,entonces, utilizando sucesivamente las proposiciones 1.1.7 y 1.1.8, la hipotesisy de nuevo la proposicion 1.1.7,

x ∗ y = (x−1)−1 ∗ (y−1)−1 = (y−1 ∗ x−1)−1 = (y−1)−1 ∗ (x−1)−1 = y ∗ x

� Q.E.D.

1.2. Subgrupos

Definicion 1.2.1 Dado un grupo (G, ∗) y un subconjunto H ⊆ G, se dice que(H, ∗) es un subgrupo de (G, ∗), y se denota (H, ∗) ≤ (G, ∗), si H es un grupocon respecto a la operacion ∗ definida en G.

Definicion 1.2.2 Sea (G, ∗) un grupo. Los subconjuntos G y {e} reciben elnombre de subgrupos impropios de G. El resto de subgrupos de G reciben elnombre de subgrupos propios de G.

Proposicion 1.2.3 Sea (G, ∗) un grupo, y sea H ⊆ G,H 6= ∅. (H, ∗) es unsubgrupo de (G, ∗) si y solo si para todos x, y ∈ H se cumple x ∗ y−1 ∈ H.

Demostracion. Sea H un subgrupo de G. Si x, y ∈ H entonces, por (G4),y−1 ∈ H, y, por (G1), x ∗ y−1 ∈ H.

Recıprocamente, sea x ∈ H. Entonces x ∗ x−1 = e ∈ H y e ∗ x−1 =x−1 ∈ H, demostrando (G3)y (G4). Para probar (G1), basta observar quex ∗ y = x ∗ (y−1)−1 ∈ H. Por ultimo, la asociatividad de la operacion en H sededuce de la asociatividad de la operacion en G. � Q.E.D.

Proposicion 1.2.4 Sea I un conjunto de ındices, y sean Hi, i ∈ I subgruposde un grupo (G, ∗). Entonces,

⋂i∈I Hi es un subgrupo de G.

Demostracion. Sean x, y ∈ Hi para todo i ∈ I. Por ser Hi subgrupos,x ∗ y−1 ∈ Hi para todo i ∈ I. Entonces, x, y, x ∗ y−1 ∈

⋂i∈I Hi. � Q.E.D.

Definicion 1.2.5 Sea X un subconjunto cualquiera de un grupo G. Se llamasubgrupo generado por X, y se denota 〈X〉, a la interseccion de todos lossubgrupos de G que contienen a X.

Proposicion 1.2.6 En las condiciones de la definicion anterior,

〈X〉 = {xα11 ∗ xα2

2 ∗ · · · ∗ xαnn : x1, x2, . . . , xn ∈ X, α1, α2, . . . , αn ∈ Z}


Demostracion. Sea HX el conjunto del miembro derecho de la igualdad.Es claro que HX es un subgrupo de G. Como X ⊆ HX y 〈X〉 es el mınimosubgrupo que contiene a X, se tiene que 〈X〉 ⊆ HX .

Falta probar la inclusion contraria. Puesto que 〈X〉 es un subgrupo deG y X ⊆ 〈X〉, si xi ∈ X, xi ∈ 〈X〉 para todo i = 1, 2, . . . , n, de dondexα1

1 ∗ xα22 ∗ · · · ∗ xαn

n ∈ 〈X〉 y HX ⊆ 〈X〉. � Q.E.D.

Definicion 1.2.7 Se llama retıculo de los subgrupos de un grupo (G, ∗) alconjunto de todos los subgrupos de (G, ∗), junto con sus relaciones de inclusion.

1.3. Homomorfismos de grupos

Definicion 1.3.1 Sean (G1, ∗), (G2, ?) grupos, y sea f : G1 −→ G2 una apli-cacion entre ellos. Se dice que f es un homomorfismo de grupos si

f(x ∗ y) = f(x) ? f(y)

Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un ho-momorfismo suprayectivo, epimorfismo; un homomorfismo biyectivo, isomor-fismo; y un isomorfismo de G en sı mismo, automorfismo.

Si existe un isomorfismo entre (G1, ∗) y (G2, ?), se dice que ambos gruposson isomorfos, y se denota (G1, ∗) ∼= (G2, ?).

Proposicion 1.3.2 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homo-morfismo entre ellos. Entonces, para todos x, y ∈ G,

f(x ∗ y−1) = f(x) ? f(y)−1

f(y−1 ∗ x) = f(y)−1 ? f(x)

Demostracion. Utilizando que f es un homomorfismo,

f(x ∗ y−1) ? f(y) = f((x ∗ y−1) ∗ y) = f(x)

y basta componer con f(y)−1 por la derecha. La demostracion del segundoaserto es analoga. � Q.E.D.

Corolario 1.3.3 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homomor-fismo entre ellos. Entonces,

1. f(eG) = eH .

2. Para todo g ∈ G, f(g−1) = f(g)−1.

Demostracion.

1. Basta aplicar la proposicion anterior al caso x = y.

1.3. Homomorfismos de grupos 5

2. Basta aplicar la proposicion anterior al caso x = eG, y = g.

� Q.E.D.

Proposicion 1.3.4 La relacion de isomorfıa de grupos es una relacion deequivalencia.

Demostracion. Sean G,H,K grupos.La aplicacion idG : G −→ G es claramente un isomorfismo, por lo que

G ∼= G.Si φ es un isomorfismo de G en H, φ−1 existe y es una biyeccion de H

en G. Si x1, x2 ∈ G, y1, y2 ∈ H, entonces φ−1(yi) = xi si y solo si φ(xi) = yi.Ademas, φ(x1x2) = y1y2, de donde φ−1(y1y2) = x1x2. Ası,

φ−1(y1)φ−1(y2) = x1x2 = φ−1(y1y2)

demostrando que φ−1 es un homomorfismo. Por tanto, H ∼= G.Finalmente, si φ es un isomorfismo de G en H, y ψ es un isomorfismo de

H en K, ψ ◦ φ es una biyeccion de G en K. Ademas,

ψ ◦ φ(xy) = ψ(φ(xy))= ψ(φ(x)φ(y)) por ser φ homomorfismo= ψ(φ(x))ψ(φ(y)) por ser ψ homomorfismo= (ψ ◦ φ(x))(ψ ◦ φ(y))

de modo que ψ ◦ φ es un homomorfismo, y G ∼= K. � Q.E.D.

Definicion 1.3.5 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homo-morfismo entre ellos. Se llaman nucleo e imagen de f a los conjuntos

kerf = {g ∈ G : f(g) = e}imf = f(G) = {h ∈ H : ∃g ∈ G : f(g) = h}

Proposicion 1.3.6 Sean G,H grupos, y f : G −→ H un homomorfismo. SiG es abeliano, f(G) es abeliano.

Demostracion.

f(x)f(y) = f(xy) = f(yx) = f(y)f(x)

� Q.E.D.

Proposicion 1.3.7 El conjunto Aut G de automorfismos de un grupo G esun grupo bajo la operacion de composicion.


Demostracion. Sean f, g : G −→ G automorfismos de G. Entonces, tan-to f1 ◦ f2 como f2 ◦ f1 son biyecciones de G en G. Para demostar que sonautomorfismos, basta, por tanto, comprobar que son homomorfismos.

(f1 ◦ f2)(gh) = f1(f2(gh))= f1(f2(g)f2(h)) por ser f2 homomorfismo= f1(f2(g))f1(f2(h)) por ser f1 homomorfismo= (f1 ◦ f2)(g)(f1 ◦ f2)(h)

con demostracion analoga para f2 ◦ f1.La asociatividad se deduce de la asociatividad de la composicion de apli-

caciones.La aplicacion identidad es, evidentemente, un automorfismo, y cumple

f ◦ idG = idG ◦ f = f , demostrando la existencia de elemento neutro.Por ultimo, la inversa de una aplicacion biyectiva es biyectiva, y, si g′ =

f−1(g) y h′ = f−1(h),

f−1(gh) = f−1(f(g′)f(h′))

= f−1(f(g′h′)) por ser f homomorfismo

= g′h′ = f−1(g)h−1(h)

demuestra que es un homomorfismo. � Q.E.D.

Capıtulo 2

Teorema de Lagrange

2.1. Clases de un grupo modulo un subgrupo

Definicion 2.1.1 Sea H un subgrupo de un grupo G. Se llama clase por laizquierda de G modulo H a cada conjunto

gH = {gh : h ∈ H}

con g ∈ G.Analogamente, se llama clase por la derecha de G modulo H a cada con-

juntoHg = {hg : h ∈ H}

de nuevo con g ∈ G.

Proposicion 2.1.2 Sea H un subgrupo de un grupo G. Entonces, la relacion∼H definida en G segun

x ∼H y ⇐⇒ x−1y ∈ H

es una relacion de equivalencia, con [g] = gH.

Demostracion. La relacion ∼H es reflexiva ya que x−1x = e ∈ H porser H subgrupo. Es simetrica, puesto que, si x ∼H y, x−1y ∈ H, entonces(x−1y)−1 = y−1x ∈ H y se tiene y ∼H x. Finalmente, es transitiva, porque,si x ∼H y, y ∼H z, x−1y, y−1z ∈ H, entonces (x−1y)(y−1z) = x−1z ∈ H yx ∼H z. Por tanto, la relacion ∼H es de equivalencia.

Si x ∼H g, entonces g−1x = h para algun h ∈ H, por lo que x = gh ∈ gH.Recıprocamente, si gh ∈ gH entonces g−1(gh) = h ∈ H y g ∼H gh. �Q.E.D.

Corolario 2.1.3 Sea H un subgrupo de un grupo G. Las clases por la izquier-da modulo H forman una particion de G.

Proposicion 2.1.4 Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g ∈ Gexiste una biyeccion entre H y gH.

7

8 Teorema de Lagrange

Demostracion. Sea α : H −→ gH definida segun α(h) = gh. Para compro-bar que es inyectiva, basta notar que, si α(x) = α(y), se tiene gx = gy ⇒ x =y. La sobreyectividad es evidente: todo elemento de gH es de la forma gh conh ∈ H, y, por tanto, es la imagen de h por α. � Q.E.D.

Corolario 2.1.5 |H| = |gH|

Proposicion 2.1.6 Sea H un subgrupo de un grupo G. La aplicacion α defi-nida segun α(gH) = Hg−1 establece una biyeccion entre el conjunto de clasespor la izquierda de G modulo H y el conjunto de clases por la derecha de Gmodulo H.

Demostracion. Para probar que α es inyectiva, supongamos que α(x) =α(y). Entonces, Hx−1 = Hy−1 y existe h ∈ H tal que x−1 = hy−1. Ası,y−1x = h−1 ∈ H y por tanto xH = yH. La sobreyectividad se deduce de que,para todo x ∈ G, α(x−1H) = Hx. � Q.E.D.

2.2. Teorema de Lagrange

Definicion 2.2.1 Se llama ındice de H en G, y se denota [G : H], al numerode clases por la izquierda de G modulo H.

Teorema 2.2.2 (Lagrange) Sea H un subgrupo de un grupo finito G. En-tonces, |H| divide a |G|. En particular, se tiene que

|G| = [G : H]|H|

Demostracion. Basta observar que la relacion de equivalencia ∼H parti-ciona G en [G : H] clases distintas, todas ellas con el mismo cardinal |H|.� Q.E.D.

Corolario 2.2.3 Sean H y K subgrupos de un grupo G tales que H ≤ K ≤ G.Entonces,

[G : H] = [G : K][K : H]

Demostracion. Del teorema de Lagrange,

[G : K][K : H] =|G||K|

|K||H|

=|G||H|

= [G : H]

� Q.E.D.

2.3. Producto interno de subgrupos 9

2.3. Producto interno de subgrupos

Definicion 2.3.1 Dados dos subgrupos A y B de un grupo G. Se llama pro-ducto interno de A y B al conjunto

AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}

.

Proposicion 2.3.2 Sean A y B subgrupos de un grupo G. AB es un subgrupode G si y solo si AB = BA, en cuyo caso se dice que A y B conmutan.

Demostracion. Supongamos que AB es un subgrupo. Sea ab ∈ AB. Existeentonces un elemento a′b′ ∈ AB tal que a′b′ = (ab)−1 de donde

ab = (a′b′)−1 = (b′)−1(a′)−1 ∈ BA

lo cual demuestra que AB ⊆ BA. Por otro lado, para todo ba ∈ BA se tiene

ba = (a−1b−1)−1 ∈ AB

por lo que BA ⊆ AB y, finalmente, AB = BA.Recıprocamente, sean a1b1, a2b2 ∈ AB. Como AB = BA, existe elementos

a′ ∈ A, b′ ∈ B tales que b1a2 = a′b′. Ası,

(a1b1)(a2b2) = (a1a′)(b′b2) ∈ AB

demostrando (G1). La asociatividad (G2), se deduce de la de la operaciondefinida en G. (G3) es evidente, ya que e ∈ A, e ∈ B ⇒ e ∈ AB. Por ultimo,para probar (G4) basta observar que (ab)−1 = b−1a−1 ∈ BA = AB. �Q.E.D.

Proposicion 2.3.3 Sean A y B subgrupos finitos de un grupo G. Entonces,

|AB| = |A||B||A ∩B|

Demostracion. Sea {xi(A ∩B) : i = 1, . . . , k} el conjunto de clases por laizquierda de A modulo A ∩B, de modo que xix

−1j /∈ A ∩B. Puesto que estas

establecen una particion en A, para todo a ∈ A podemos escribir a = xig paraalgun 1 ≤ i ≤ k y algun g ∈ A ∩B.

Ası, todo elemento ab ∈ AB puede escribirse segun ab = xi(gb) ∈ xiB.Ademas, xiB 6= xjB, ya que, en caso contrario, xix

−1j ∈ B, y, como xix

−1j ∈ A

por definicion, se tendrıa xix−1j ∈ A ∩B.

Esto demuestra que {xiB : i = 1, . . . , k} es el conjunto de clases por laizquierda de AB modulo B, de manera que

[A : A ∩B] =|A|

|A ∩B|= k =

|AB||B|

= [AB : B]

de donde se deduce la afirmacion del enunciado. � Q.E.D.

Capıtulo 3

Grupos cıclicos

3.1. Definicion de grupo cıclico

Definicion 3.1.1 Se dice que un grupo (G, ∗) es cıclico si existe al menos unelemento a ∈ G tal que 〈a〉 = G. Entonces, se dice que a es un generador deG.

Definicion 3.1.2 Sea (G, ∗) un grupo. Se define el orden de a ∈ G comoord(a) = |〈a〉|.

Definicion 3.1.3 Sea (G, ∗) un grupo. Se dice que a ∈ G es un elemento detorsion de G si ord(a) es finito.

Proposicion 3.1.4 Sea (G, ∗) un grupo finito y a ∈ G. Si n = ord(a), en-tonces an = e y

〈a〉 = {a, a2, . . . , an−1, an = e}siendo distintos todos los elementos de este conjunto.

Demostracion. Puesto que (G, ∗) es un grupo finito, el conjunto {xr : r ∈ Z}debe contener repeticiones. Existen, pues, enteros positivos i < j tales quexi = xj . Entonces,

e = xj ∗ x−j = xj ∗ x−i = xj−i

Tomando n como el menor entero positivo tal que xn = e, veamos que loselementos del conjunto {x, x2, . . . , xn−1, xn = e} son todos distintos.

En efecto, si existieran en el dos elementos iguales xr = xs con r < s < n,se tendra que xs−r = e con s− r < n, en contradiccion con la definicion de n.

� Q.E.D.

3.2. Propiedades de los elementos de torsion

Proposicion 3.2.1 Sea (G, ∗) un grupo y a, b ∈ G elementos de torsion. Secumplen las siguientes propiedades:

11

12 Grupos cıclicos

1. ak = e ⇐⇒ ord(a)|k,

2. ord(a) = 1 ⇐⇒ a = e,

3. ord(a−1) = ord(a),

4. ord(ak) = ord(a)(ord(a),k) (donde (m,n) denota el maximo comun divisor de

m y n),

5. si ord(ab) es finito, entonces ord(ab) = ord(ba), y

6. si ab = ba, entonces ord(ab)|[ord(a), ord(b)]; ademas, si ord(a) y ord(b)son coprimos, ord(ab) = ord(a)ord(b) (siendo [m,n] el mınimo comunmultiple de m y n).

Demostracion.

1. Sea k = cn+ r : c, r ∈ N, 0 ≤ r < n. Entonces,

xk = xcn+r = xcnxr = xr

de donde, necesariamente, ha de ser r = 0 y k = cn. El recıproco esevidente.

2. Si ord(a) = 1, entonces a1 = a = e. Recıprocamente, si a = e, 〈a〉 = {e}y ord(a) = |〈a〉| = 1.

3. Basta observar que (a−1)m = e ⇐⇒ (am)−1 = e ⇐⇒ am = e.

4. Denotando n = ord(a), d = (n, k), podemos hacer n = n′d, k = k′d. Si(ak)m = akm = e, se tiene que n|km, o equivalentemente, n′|k′m. Como(n′, k′) = 1, n′|m. Ası, ord(ak) = n′.

5. Sea m = ord(ab), de modo que (ab)m = e. Entonces,

(ab)m = (ab)(ab) . . . (ab)(ab) = a(ba) . . . (ba)b = e

⇐⇒ (ba)m−1 = a−1b−1 ⇐⇒ (ba)m−1 = (ba)−1 ⇐⇒ (ba)m = e

6. Si a y b conmutan, se tiene (ab)k = akbk. Por tanto, siM = [ord(a), ord(b)],el primer apartado implica que (ab)M = aMbM = e y M |ord(ab).

Ademas, si n = ord(a),m = ord(b), (m,n) = 1, hacemos s = ord(ab), yutilizamos los resultados anteriores,

(ab)s = asbs = e ⇐⇒ as = b−s ⇐⇒ ord(as) = ord(bs) ⇐⇒

⇐⇒ n

(n, s)=

m

(m, s)⇒ n|s,m|s⇒M |s

Como tambien s|M , se tiene s = M .

� Q.E.D.

3.3. Corolarios del teorema de Lagrange 13

3.3. Corolarios del teorema de Lagrange

Corolario 3.3.1 Para todo g ∈ G con G finito, ord(g)||G|

Demostracion. Se deduce de la definicion del orden de x como |〈x〉|.� Q.E.D.

Corolario 3.3.2 Sea G un grupo de orden p primo. Entonces G es cıclico.

Demostracion. Sea g ∈ G, g 6= e. Puesto que los unicos divisores de unnumero primo son la unidad y el mismo, y ord(g) = 1 implicarıa g = e, sedebe tener |〈g〉| = p. � Q.E.D.

3.4. Teoremas de Euler y Fermat

Proposicion 3.4.1 Sea a ∈ Z∗n. Se dice que a es una unidad de Zn si existeb ∈ Z∗n tal que ab = ba = 1.

El conjunto de unidades de Zn se denota U(Zn), y cumple

U(Zn) = {p ∈ N : p ≤ n, (p, n) = 1}

Demostracion. De la definicion, es claro que el inverso multiplicativo deuna unidad de Zn es tambien una unidad de Zn.

Ası, sean a, b ∈ U(Zn) inversos recıprocos. Entonces, ab ≡ 1 (mod n), dedonde (ab, n) = (1, n) = 1 y, por tanto, (a, n) = (b, n) = 1.

Recıprocamente, sea a ∈ Z∗n tal que (a, n) = 1. La ecuacion ax ≡ 1(mod n) tiene entonces una solucion unica hasta congruencia. � Q.E.D.

Proposicion 3.4.2 (U(Zn), ·) es un grupo abeliano.

Demostracion. La asociatividad se deduce de la asociatividad del productode numeros enteros, y el axioma (G4) es consecuencia directa de la definicionde U(Zn).

Sean a, b ∈ U(Zn), y sean c, d sus respectivos inversos. Entonces,

ab dc = a bd c = a 1 c = ac = 1

dc ab = d ca b = d 1 b = db = 1

lo que demuestra que ab ∈ U(Zn) y 1 ∈ U(Zn). � Q.E.D.

Definicion 3.4.3 Se llama funcion ϕ de Euler a la aplicacion ϕ : N −→ Ndefinida segun ϕ(n) = |U(Zn)|

Proposicion 3.4.4 La funcion ϕ de Euler cumple las siguientes propiedades:

1. Si (m,n) = 1, entonces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n),

14 Grupos cıclicos

2. ϕ(pk) = pk−1(p− 1) si p es primo, y

3. ϕ(n) = n∏

(1− 1pi

), donde pi son los divisores primos de n.

Demostracion.

1. Consideremos los numeros 1, 2, 3, . . . ,mn, y formemos la tabla

0, 1, 2, . . . k, . . . n− 1,n, n+ 1, n+ 2, . . . n+ k, . . . 2n− 1,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

(m− 1)n, (m− 1)n+ 1, (m− 1)n+ 2, . . . (m− 1)n+ k, . . . mn− 1

Si (mn, 1) = 1, entonces se debe tener (m, 1) = (n, 1) = 1. En cada filahay ϕ(n) numeros primos con n. Observando que los numeros de unamisma columna son congruentes entre sı modulo n, deducimos que, si(k, n) = 1, entonces todos los numeros de la k-esima columna son primoscon n.

Consideremos una de estas columnas con (k, n) = 1:

n, n+ k, 2n+ k, . . . , (m− 1)n+ k

Estos numeros pueen considerarse como los valores de la funcion linealnx + k : (n,m) = 1, donde x recorre un sistema completo de restosmodulo m,

x = 0, 1, 2, . . . ,m− 1

Entonces, cada columna de la forma anterior forma un sistema completode restos modulo m, y, por tanto, contiene ϕ(m) numeros que son primoscon m.

2. Es claro que ϕ(p) = p − 1 con p primo. Sea ahora n = pk, k > 1. Elsistema completo de restos modulo pk consta de pk−1 sistemas completosde restos modulo p, y en cada uno de ellos hay ϕ(p) numeros primos conp.

3. Sea n =∏pki

i . Utilizando los apartados anteriores,

ϕ(n) =∏

ϕ(pkii ) =

∏pki−1

i (pi − 1)

=∏

pkii (1− 1

pi) = n

∏(1− 1

pi)

� Q.E.D.

Teorema 3.4.5 (Euler) Para todos a ∈ Z, n ∈ N tales que (a, n) = 1, setiene

aϕ(n) ≡ 1 (mod n)

3.5. Clasificacion de grupos cıclicos 15

Demostracion. Por el teorema de Lagrange, ord(a)||U(Zn)| = ϕ(n), dedonde aϕ(n) = 1 en U(Zn). � Q.E.D.

Teorema 3.4.6 (Pequeno Teorema de Fermat) Para todo a ∈ Z y todop ∈ N primo con p - a, se tiene

ap−1 ≡ 1 (mod p)

Demostracion. Aplicando el segundo apartado de la proposicion 3.4.4 alteorema de Euler,

aϕ(p) ≡ 1 (mod p) =⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p)

� Q.E.D.

3.5. Clasificacion de grupos cıclicos

Proposicion 3.5.1 Todo grupo cıclico es abeliano.

Demostracion. Puesto que todo elemento de un grupo cıclico G = 〈g〉 esde la forma gn para algun n ∈ Z, se tiene

gigj = gi+j = gj+i = gjgi

� Q.E.D.

Teorema 3.5.2 (Teorema de clasificacion de grupos cıclicos) Si (G, ∗)es un grupo cıclico infinito, entonces es isomorfo a (Z,+)

Si (H, ∗) es un grupo cıclico de orden finito |H| = n, entonces es isomorfoa (Zn,+).

Demostracion. Sea (G, ∗) un grupo cıclico infinito y φ : (Z,+) −→ (G, ∗) laaplicacion dada por φ(r) = gr. La aplicacion φ es un homomorfismo, ya queφ(r + s) = gr+s = φ(r) + φ(s), y es evidentemente biyectiva. Por tanto φ esun isomorfismo.

Sea (H, ∗) un grupo cıclico de orden finito |H| = n y ψ : (Zn,+) −→ (H, ∗)la aplicacion dada por ψ(r) = gr.

Veamos que ψ esta bien definida. Sean r, s ∈ Z tales que r ≡ s (mod n),i.e., r = s+ kn. Entonces,

ψ(r) = gr = gs+kn = gs = ψ(s)

El mismo argumento prueba que esta aplicacion es inyectiva. Ademas, es unhomomorfismo, ya que

ψ(r + s) = gr+s = grgs = ψ(r)ψ(s)

Puesto que una aplicacion inyectiva entre conjuntos con la misma cardinalidades biyectiva, ψ es un isomorfismo de grupos. � Q.E.D.

16 Grupos cıclicos

3.6. Subgrupos de grupos cıclicos

Proposicion 3.6.1 Todo subgrupo de un grupo cıclico es cıclico.

Demostracion. Sea G = 〈g〉 un grupo cıclico, y sea H ≤ G. Es claro que siH es un subgrupo impropio de G es cıclico. Supongamos queH es un subgrupopropio. Sea gk ∈ H tal que gm /∈ H para m < k, y sea gs otro elemento de H.Utilizando el algoritmo de division de Euclides, podemos escribir s = ck + rcon 0 ≤ r < k. Como H es un subgrupo, (gk)−1 = g−k ∈ H. Por tanto,

gs(g−k)c = gs−ck = gr ∈ H

en contra de la definicion de k, a menos que r = 0.Ası, cada elemento de H es de la forma (gk)n para algun n ∈ Z, y H es

cıclico generado por gk. � Q.E.D.

Proposicion 3.6.2 Sea G = 〈g〉 un grupo cıclico de orden n. Entonces,

1. Para cada divisor d de n, existe un unico subgrupo de G de orden d,〈g

nd 〉.

2. Si d y e son divisores de n, entonces la interseccion de los subgrupos deordenes d y e es el subgrupo de orden (d, e).

3. Si d y e son divisores de n, entonces el producto interno de los subgruposde ordenes d y e es el subgrupo de orden [d, e].

Demostracion.

1. Es claro que el elemento gnd tiene d potencias distintas, de donde 〈g

nd 〉 es

un subgrupo de orden d. Supongamos que existiese otro subgrupo H deorden d, generado por un elemento x = gr para algun r ∈ Z. Entonces,xrd = e, por lo que n|rd. Ası, r debe ser de la forma kn

d para algunk ∈ Z y x es una potencia de g

nd . Por lo tanto, H debe ser un subgrupo

de 〈gnd 〉, y, puesto que tiene el mismo cardinal, coinciden.

2. Sea x = gr ∈ 〈gnd 〉 ∩ 〈g

ne 〉. Como n

d |r,ne |r, se tiene que [n

d ,ne ]|r. Pero, si

d = d′(d, e), e = e′(d, e),

[nd,n

e

]=

n

(d, e)[ 1d′,1e′

]=

n

(d, e)

Por tanto, n(d,e) |r y x ∈ 〈g

n(d,e) 〉.

Recıprocamente, sea y = gs ∈ 〈gn

(d,e) 〉, de modo que n(d,e) |s. Como n

d |n

(d,e)

y ne |

n(d,e) , se tiene que n

d |s y ne |s, de donde y ∈ 〈g

nd 〉 ∩ 〈g

ne 〉.

3.6. Subgrupos de grupos cıclicos 17

3. Sea x ∈ 〈gnd 〉〈g

ne 〉. Entonces, existen enteros k1, k2 tales que

x = gk1nd+k2

ne = g

nde

(k1e+k2d)

y, evidentemente, nde(k1e+ k2d)| n

[d,e] , de donde x ∈ 〈gn

[d,e] 〉.

Recıprocamente, sea y ∈ 〈gn

[d,e] 〉. Entonces, existe un entero k tal quey = g

k n[d,e] . Utilizando la ecuacion ab = (a, b)[a, b] y la propiedad lineal

del maximo comun divisor,

y = gk n

[d,e] = gk nde

(k1d+k2e) = gkk2nd gkk1

ne ∈ 〈g

nd 〉〈g

ne 〉

� Q.E.D.

Proposicion 3.6.3 Sea G = 〈g〉 un grupo cıclico infinito. Entonces,

1. Para cada d ∈ N, existe exactamente un subgrupo de G de ındice d, 〈gd〉.Ademas, todo subgrupo no trivial de G es de ındice finito.

2. Sean d, e ∈ N. La interseccion de los subgrupos de ındices d y e es elsubgrupo de ındice [d, e].

3. Sean d, e ∈ N. El producto interno de los subgrupos de ındices d y e esel subgrupo de ındice (d, e).

Demostracion.

1. Es claro que 〈gd〉 tiene ındice d. Basta observar que las clases por laizquierda de G modulo 〈gd〉 son gk〈gd〉 para cada 0 ≤ k < d.

Supongamos que existiese otro subgrupo H = 〈gs〉 de ındice d. Entonces,gl〈gs〉 con 0 ≤ k < s son las clases por la izquierda de G modulo H, dedonde, necesariamente, s = d.

2. Es claro que si x = gr ∈ 〈gd〉 ∩ 〈ge〉, se debe tener d|r, e|r y, por tanto,[d, e]|r y x ∈ 〈g[d,e]〉.Recıprocamente, si y = gs ∈ 〈g[d,e]〉, entonces [d, e]|s, y, por tanto,d|s, e|s, de donde y ∈ 〈gd〉 ∩ 〈ge〉.

3. Sea x = gr ∈ 〈gd〉〈ge〉. Existen, entonces, enteros k1, k2 tales que r =k1d+ k2e. Es evidente que (d, e)|s, de donde x ∈ 〈g(d,e)〉.Recıprocamente, sea y = gs ∈ 〈g(d,e)〉. Entonces, existe un entero k talque s = k(d, e). Ası, utilizando la propiedad lineal del maximo comundivisor,

y = gk(d,e) = gkk1d+kk2e = gkk1dgkk2e ∈ 〈gd〉〈ge〉

� Q.E.D.

18 Grupos cıclicos

3.7. Generadores de grupos cıclicos

Proposicion 3.7.1 Los enteros 1 y −1 son los unicos generadores del grupo(Z,+).

Demostracion. Es claro que todo entero n puede ponerse en cualquiera delas dos formas

n = n · 1n = −n · (−1)

de modo que 1 y −1 generan efectivamente (Z,+). Sin embargo, el elemento1 no puede ponerse en la forma 1 = m +m + · · · +m = nm con n ∈ Z paraningun m 6= 1,−1. � Q.E.D.

Proposicion 3.7.2 Un elemento gk es un generador de un grupo cıclico G =〈g〉 de orden finito n si y solo si (k, n) = 1.

Demostracion. Basta utilizar la proposicion 3.2.1, segun la cual

ord(gk) =ord(g)

(k, ord(g))=

n

(k, n)

de donde ord(gk) = n si y solo si (k, n) = 1. � Q.E.D.

Corolario 3.7.3 Todo grupo cıclico de orden finito n tiene ϕ(n) generadores

Demostracion. De entre todos los elementos de G = 〈g〉, solamente serangeneradores aquellos que sean de la forma gk, k < n, (k, n) = 1. Este conjuntoes U(Zn), cuyo cardinal es ϕ(n). � Q.E.D.

3.8. Imagen homomorfica de grupos cıclicos

Proposicion 3.8.1 Sea G = 〈g〉 un grupo cıclico, y sea f : G −→ G′ unhomomorfismo. Entonces, f(G) = 〈f(g)〉.

Demostracion. Basta observar que todo x ∈ f(G) es de la forma x =f(gn) = f(g)n. � Q.E.D.

Proposicion 3.8.2 Sea a un elemento de torsion de un grupo G, y seaf : G −→ G′ un homomorfismo. Entonces, ord(f(a))|ord(a), con igualdad sif es inyectiva.

Demostracion. Sea a ∈ G tal que ord(a) = n, ord(f(a)) = m. Entonces,e = f(an) = f(a)n, de donde m|n. Ademas, si f es inyectiva, f(a)m = eimplica am = e, y n|m. � Q.E.D.

3.9. Automorfismos de grupos cıclicos 19

3.9. Automorfismos de grupos cıclicos

Proposicion 3.9.1 Sea G ∼= (Z,+). Se tiene que

AutG ∼= Z2

Demostracion. Sea f : G −→ G un automorfismo, y sea g un generadorde G. Puesto que G = f(G) = 〈f(g)〉, se tiene que f(g) debe ser tambien ungenerador. Como G posee unicamente dos generadores, AutG es un grupo deorden dos, y, por tanto, isomorfo a Z2. � Q.E.D.

Proposicion 3.9.2 Sea G ∼= (Zn,+). Se tiene que

AutG ∼= U(Zn)

Demostracion. Sea f : G −→ G un automorfismo, y sea g un generadorde G. Puesto que todo automorfismo es inyectivo, ord(f(g)) = ord(g) = n, dedonde f(g) debe ser tambien un generador de G. Ası,

AutG = {fi : G −→ G, fi(g) = gi : (i, n) = 1}

Sea ζ : AutG −→ U(Zn) definida segun ζ(fi) = i. Utilizando el hecho de queAutG es un grupo,

ζ(fifj) = ζ(fij) = ij = ζ(fi)ζ(fj)

lo que prueba que ζ es un homomorfismo. Puesto que ζ es evidentementebiyectiva, es un isomorfismo. � Q.E.D.

Capıtulo 4

Acciones de grupos.Subgrupos normales

4.1. El teorema de orbita-estabilizador

Definicion 4.1.1 Sea G un grupo, y X un conjunto. Una accion de G sobreX es una familia de aplicaciones

Φ = {φg : X −→ X : g ∈ G}

que cumple las siguientes propiedades:

(A1) φe(x) = x, y

(A2) φa(φb(x)) = φab(x).

Definicion 4.1.2 Dada una accion Φ de un grupo G sobre un conjunto X, yun elemento x ∈ X, se llama estabilizador de x al conjunto

Gx = {g ∈ G : φg(x) = x}

Proposicion 4.1.3 En las condiciones de la definicion anterior, Gx ≤ G

Demostracion. El axioma (A1) asegura que el elemento neutro de G per-tenece a Gx. (A2) asegura que, si a, b ∈ Gx, entonces,

φab(x) = φa(φb(x)) = φa(x) = x

por lo que ab ∈ Gx. Por ultimo, si a ∈ Gx, se tiene que

φa−1(x) = φa−1(φa(x)) = φe(x) = x

demostrando que a−1 ∈ Gx. � Q.E.D.

21

22 Acciones de grupos. Subgrupos normales

Proposicion 4.1.4 Dada una accion Φ de un grupo G sobre un conjunto X,la relacion definida segun

x ∼Φ y ⇐⇒ ∃g ∈ G : φg(x) = y

es de equivalencia.

Demostracion. El axioma (A1) asegura que x ∼Φ x.Si x ∼Φ y, entonces φg(x) = y para algun g ∈ G. Ası,

φg−1(y) = φg−1(φg(x)) = φg−1g(x) = φe(x) = x

demostrando que y ∼Φ x.Por ultimo, si x ∼Φ y, y ∼Φ z, entonces φg(x) = y, φh(y) = z y

z = φh(y) = φh(φg(x)) = φhg(x)

de donde se deduce la transitividad de la relacion. � Q.E.D.

Definicion 4.1.5 La clase de equivalencia de un elemento x ∈ X bajo larelacion de la proposicion anterior recibe el nombre de orbita de x.

orb(x) = {y ∈ X : y ∼Φ x}

Teorema 4.1.6 (Orbita-estabilizador) Sea Φ una accion de un grupo Gsobre un conjunto X. Para cada x ∈ X,

|orb(x)| = [G : Gx]

Demostracion. Dado x ∈ X, definimos una aplicacion θ de la orbita de x enel conjunto de clases por la izquierda de G modulo Gx segun θ(φg(x)) = gGx.

Comprobemos que θ esta bien definida. Supongamos que φg(x) = φh(x).Entonces, φh−1g(x) = x y, por tanto, h−1g ∈ Gx, de donde gGx = hGx.

Veamos que es inyectiva. Si θ(φg(x)) = θ(φh(x)), se tiene que gGx = hGx

y h−1g ∈ Gx. Ası,

φh(x) = φh(φh−1g(x)) = φhh−1g(x) = φg(x)

Por ultimo, θ es suprayectiva, ya que cada gGx es θ(φg(x)) por definicion.Por tanto, θ es una biyeccion, y sus conjuntos dominio e imagen poseen el

mismo cardinal. � Q.E.D.

4.2. Elementos conjugados y clases de conjugacion 23

4.2. Elementos conjugados y clases de conjugacion

Definicion 4.2.1 Sea G un grupo. Dado H ≤ G, la accion de H sobre Gdefinida segun

Conj(G,H) = {κh : G −→ G, κh(g) = hgh−1 : h ∈ H}

recibe el nombre de conjugacion de G por H.La orbita de un elemento g ∈ G se denomina clase de conjugacion de g en

H.ClH(g) = {κh(g) : h ∈ H}

El estabilizador de g ∈ G recibe el nombre de centralizador de g en H.

CH(g) = {h ∈ H : κh(g) = g}

Proposicion 4.2.2 Sea G un grupo. La familia de aplicaciones que forma laaccion Conj(G,H) posee estructura de grupo bajo la operacion de composicion.Este grupo, Int G recibe el nombre grupo de automorfismos internos de G, yse tiene

IntG ≤ AutG

Demostracion. Es claro que Int G ⊆ Aut G. El axioma (A2) asegura queIntG es cerrado por la operacion de composicion. El axioma (A1) asegura laexistencia del elemento neutro, κe. Por ultimo,

(κa−1 ◦ κa)(x) = κa−1a(x) = κe(x)(κa ◦ κa−1)(x) = κaa−1(x) = κe(x)

asegura la existencia de inversos. � Q.E.D.

Proposicion 4.2.3 Sea G un grupo, y sean x, y ∈ G. Entonces,

1. y ∈ ClG(x) ⇐⇒ ∃a, b ∈ G : x = ab, y = ba,

2. y ∈ ClG(x) =⇒ ord(x) = ord(y), y

3. Ges abeliano ⇐⇒ ClG(x) = x ∀x ∈ G.

Demostracion. Sea y = zxz−1.

1. Haciendo a = z−1 y b = zx, se tiene x = ab e y = ba. Recıprocamente,sea x = ab. Entonces, y = ba = b(ab)b−1 = bxb−1, de modo quey ∈ ClG(x).

2. Sea ord(x) = n, ord(y) = m. Entonces,

ym = e ⇐⇒ (zxz−1)m = zxmz−1 = e ⇐⇒ xn = e


3. Sea G abeliano. Entonces, para cada x ∈ G se tiene gxg−1 = xgg−1 = xcon g ∈ G. Recıprocamente, si ClG(x) = x, entonces gxg−1 = x paratodos x, g ∈ G, o, equivalentemente, gx = xg.

� Q.E.D.

Proposicion 4.2.4CH(g) = CG(g) ∩H

Demostracion. Basta observar que

CH(g) = {h ∈ H : κh(g) = g}= {h ∈ G : κh(g) = g} ∩H = CG(g) ∩H

� Q.E.D.

Definicion 4.2.5 Se llama centro de G al subgrupo

Z(G) =⋂g∈G

CG(g) = {g ∈ G : gh = hg ∀h ∈ G}

Proposicion 4.2.6 Z(G) es un subgrupo abeliano de G.

Demostracion. De la propia definicion de Z(G) com interseccion de sub-grupos, se deduce que es un subgrupo, y la caracterizacion Z(G) = {g ∈ G :gh = hg ∀h ∈ G} demuestra que este es abeliano.

De hecho, se puede demostrar que Z(G) es el mayor subgrupo abelianocontenido en G, en el sentido de que todo subgrupo abeliano de G esta conte-nido en el, de modo que G es abeliano si y solo si G = Z(G). � Q.E.D.

Proposicion 4.2.7 (Ecuacion de clases de conjugacion) Sea G un gru-po finito, y sea C = {x1, x2, . . . , xm} una coleccion completa de representantesde clases de conjugacion de G en G. Entonces,

|G| = |Z(G)|+∑x∈C

x/∈Z(G)

|Cl(x)|

Demostracion. G puede escribirse como union disjunta de clases de conju-gacion segun

G =⋃x∈C

Cl(x)

=⋃x∈C

x∈Z(G)

Cl(x) ∪⋃x∈C

x/∈Z(G)

Cl(x)

4.3. Subgrupos normales 25

Ahora bien, las clases de conjugacion de los elementos de Z(G) constan de ununico elemento. Por tanto,

|G| = |Z(G)|+ |⋃x∈C

x/∈Z(G)

Cl(x)|

= |Z(G)|+∑x∈C

x/∈Z(G)

|Cl(x)|

� Q.E.D.

Definicion 4.2.8 Sea G un grupo. Dado H ≤ G, la accion de H sobre elconjunto de subgrupos de G, denotado ℘(G), definida segun

Conj(℘(G),H) = {χh : ℘(G) −→ ℘(G), χh(K) = hKh−1 : h ∈ H}

recibe el nombre de conjugacion de subgrupos de G por H.La orbita de un subgrupo K ⊆ G se denomina clase de conjugacion de K

en H.ClH(K) = {χh(K) : h ∈ H}

El estabilizador de K ⊆ G recibe el nombre de normalizador de K en H.

NH(K) = {h ∈ H : χh(K) = K}

4.3. Subgrupos normales

Definicion 4.3.1 Sea G un grupo, y sea H ≤ G. Se dice que H es normalen G, y se denota H �G si, para todo g ∈ G, se tiene gHg−1 = H.

Proposicion 4.3.2 Son equivalentes:

1. H es normal en G.

2. Para todo g ∈ G, gH = Hg.

3. G = NG(H).

4. ClG(H) = H.

Demostracion.(1 ⇒ 2) Componiendo gHg−1 = H por la derecha con g, obtenemos gH =

Hg.(2 ⇒ 3) El normalizador de H en G es

NG(H) = {g ∈ G : χg(H) = H}= {g ∈ G : gHg−1 = H}= {g ∈ G : Hgg−1 = He = H} utilizando la hipotesis= H


(3 ⇒ 4) Si G = NG(H), entonces gHg−1 = H para todo g ∈ G,de dondeClG(H) = H.

(4 ⇒ 1) Sea gHg−1 un conjugado de H. Entonces, gHg−1 ∈ ClG(H) = H,de donde gHg−1 = H y H �G. � Q.E.D.

Proposicion 4.3.3 Sea G un grupo. Entonces,

1. {e}�G,G�G.

2. Si H ≤ G, entonces H �NG(H).

3. Si H ≤ Z(G), entonces H �G.

4. Si H ≤ G y G abeliano, entonces H �G.

5. Si H ≤ G y [G : H] = 2, entonces H �G.

6. Si H es el unico subgrupo de G de orden n, entonces H �G.

Demostracion.

1. Para todo g ∈ G, g{e}g−1 = {e}, luego {e} � G. Para todo g ∈G, gGg−1 = G, luego G�G.

2. Basta observar el tercer apartado de la proposicion 4.3.2. De hecho,NG(H) es el mayor subgrupo en el cual H es normal, en el sentido deque cualquier otro subgrupo en el que H sea normal debe estar contenidoen NG(H).

3. Si H ≤ Z(G), todo h ∈ H conmuta con todo g ∈ G. Por tanto, gH = Hgy, por el segundo apartado de la proposicion 4.3.2, H �G.

4. Si G es abeliano, es claro que gH = Hg y H�G por el segundo apartadode la proposicion 4.3.2.

5. Si [G : H] = 2, las clases por la izquierda y por la derecha de G moduloH deben coincidir: G y G\H. Aplicando ahora el segundo apartado dela proposicion 4.3.2, H �G.

6. Para todo g ∈ G, se tiene |gHg−1| = |H|. Puesto que H es el unicosubgrupo de G de orden n, gHg−1 = H, demostrando la normalidad deH en G.

� Q.E.D.

Proposicion 4.3.4 Sean H y K subgrupos de un grupo G. Si K�G, entoncesHK ≤ G y H ∩K �H; si ademas H �G, entonces HK �G y H ∩K �G.

4.3. Subgrupos normales 27

Demostracion. Como K �G, se tiene que hK = Kh para todo h ∈ G. Enparticular, HK = KH, y, por la proposicion 2.3.2, HK ≤ G.

Para todo x ∈ H ∩K y todo h ∈ H, hxh−1 ∈ H por ser H subgrupo deG. Ademas, puesto que x ∈ K y K es normal en G, hxh−1 ∈ K. Por tanto,hxh−1 ∈ H ∩K.

Si tanto H como K son normales en G, sus clases por la izquierda y porla derecha coinciden, de donde, para todo g ∈ G

gHKg−1 = HgKg−1 = HKgg−1 = HK

demostrando la normalidad de HK en G.Por ultimo, si x ∈ H ∩ K, entonces gxg−1 ∈ H ∩ K para todo g ∈ G.

� Q.E.D.

Definicion 4.3.5 Se dice que un grupo G es simple si sus unicos subgruposnormales son sus subgrupos impropios.

Capıtulo 5

Grupos cociente y teoremasde isomorfıa

5.1. Grupo cociente y teorema de correspondencia

Proposicion 5.1.1 Sea N un subgrupo normal de un grupo G. El conjun-to de clases por la izquierda de G modulo N es un grupo bajo la operacion(xN)(yN) = xyN . Este grupo recibe el nombre de grupo cociente de G sobreN y se denota G/N .

Demostracion. En primer lugar, es necesario comprobar que la operacionesta bien definida. Si xN = uN e yN = vN , entonces, u−1x, v−1y ∈ N y setiene

(uv)−1(xy) = v−1u−1xy

= v−1ny donde n = u−1x ∈ N= v−1y(y−1ny)

Dado queN es normal, y−1ny ∈ N . Como v−1y ∈ N , tambien (uv)−1(xy) ∈ Ny xyN = uvN .

Los axiomas de grupo se cumplen, entonces, de manera evidente: el ele-mento neutro es 1N = N , y el inverso de gN es g−1N . � Q.E.D.

Teorema 5.1.2 (Teorema de correspondencia) Sea N un subgrupo nor-mal de un grupo G. Existe una correspondencia biyectiva entre los subgruposde G/N y los subgrupos de G que contienen a N . Ademas, H �G si y solo siH/N �G/N .

Demostracion. Sea H? un subgrupo de G/N . Definimos la aplicacion β delconjunto de las partes de G/N en el conjunto de las partes de G segun

β(H?) = {g ∈ G : gN ∈ H?}

29

30 Grupos cociente y teoremas de isomorfıa

β(H?) es un subgrupo de G, ya que es no vacıo (N ⊆ β(H?), pues, para todon ∈ N se tiene nN ∈ N ∈ H? por ser H? ≤ G/N)

a, b ∈ β(H?) =⇒ aN, b−1N ∈ H?

=⇒ ab−1N ∈ H?

=⇒ ab−1 ∈ β(H?)

Recıprocamente, sea N ≤ H ≤ G. Definimos la aplicacion α del conjuntode las partes de G/N en el conjunto de las partes de G segun

α(H) = {hN ∈ G/N : h ∈ H} = H/N

α(H) es un subgrupo de G/N , ya que es no vacıo (e ∈ α(H)) y

h1N,h2N ∈ α(H) ⇒ h1, h2 ∈ H ⇒ h1h−12 ∈ H ⇒ h1h

−12 N ∈ α(H)

Veamos ahora que tanto α como β son biyecciones, inversas la una de laotra. En efecto, sea N ≤ H ≤ G. Entonces,

β ◦ α(H) = β(H/N) = {g ∈ G : gN ∈ H/N} = H

Recıprocamente, si H? ≤ G/N , entonces

α ◦ β(H?) = α({g ∈ G : gN ∈ H?}) = {gN ∈ H?} = H?

Si H �G, entonces ghg−1 ∈ H para todo g ∈ G, de donde

(gN)(hN)(gN)−1 = (ghg−1)N ∈ H/N ∀gN ∈ G/N

demostrando la normalidad de H/N en G/N . Recıprocamente, si H/N�G/N ,entonces (gN)(hN)(gN)−1 = (ghg−1)N ∈ H/N para todo gN ∈ G/N implicaque ghg1 ∈ H para todos h ∈ H y g ∈ G, de modo que H �G. � Q.E.D.

5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas deisomorfıa

Proposicion 5.2.1 Sean G1 y G2 grupos, y f : G1 −→ G2 un homomorfismo.

1. H1 ≤ G1 =⇒ f(H1) ≤ G2.

2. H2 ≤ G2 =⇒ f−1(H2) ≤ G1.

3. H1 �G1 y f suprayectivo =⇒ f(H1) �G2.

4. H2 �G2 =⇒ f−1(H2) �G1.

Demostracion.

5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorfıa 31

1. Sean u, v ∈ f(H1), de modo que existen x, y ∈ H1 tales que u = f(x), v =f(y). Entonces,

uv−1 = f(x)f(y)−1 = f(xy−1) ∈ f(H1)

2. Sean u, v ∈ H2, de modo que existen x, y ∈ H1 tales que u = f(x), v =f(y). Entonces,

uv−1 = f(x)f(y)−1 = f(xy−1) ∈ H2 ⇒ xy−1 ∈ f−1(H2)

3. Sea u ∈ f(H1), de modo que existe x ∈ H1 tal que f(x) = u. Para todov ∈ G2, existe g ∈ G1 tal que f(g) = v, por ser f suprayectiva. Ası,

vuv−1 = f(g)f(x)f(g)−1 = f(gxg−1) ∈ f(H1)

ya que H1 es normal, de donde gxg−1 ∈ H1.

4. Sea x ∈ f−1(H2), de modo que existe u ∈ H2 tal que f(x) = u. Paratodo g ∈ G1, existe v ∈ G2 tal que f(g) = v. Como H2 �G2,

vuv−1 = f(g)f(h)f(g)−1 = f(gxg−1) ∈ H2

de donde gxg−1 ∈ f−1(H2) para todo g ∈ G1, luego f−1(H2) �G1.

� Q.E.D.

Teorema 5.2.2 (Primer teorema de isomorfıa) Sean G y H grupos, yf : G −→ H un homomorfismo. Entonces,

1. imf ≤ H,

2. kerf �G, y

3. G/kerf ∼= imf .

Demostracion.

1. Basta aplicar el primer apartado de la proposicion anterior al subgrupoimpropio G.

2. Aplıquese el ultimo apartado de la proposicion anterior al subgrupo im-propio {e}.

3. Sea θ : G/N −→ imf la aplicacion tal que θ(xN) = f(x).

Supongamos que xN = yN , de modo que x−1y ∈ N . Entonces,

θ(xN) = f(x) = f(x)e = f(x)f(x−1y) = f(y) = θ(yN)

demostrando que θ esta bien definida.

32 Grupos cociente y teoremas de isomorfıa

El hecho de que f sea un homomorfismo implica que θ tambien lo es,segun

θ((xN)(yN)) = θ(xyN) = f(xy) = f(x)f(y) = θ(xN)θ(yN)

Ademas, es suprayectiva, ya que cada f(x) ∈ imf es θ(xN) por defini-cion, e inyectiva, ya que

θ(xN) = θ(yN) ⇒ f(x) = f(y) ⇒ f(xy−1) = e

⇒ xy−1 ∈ N ⇒ xN = yN

Por tanto, θ es un isomorfismo.

� Q.E.D.

Teorema 5.2.3 (Segundo teorema de isomorfıa) Sean H ≤ G, N � G.Entonces,

H

N ∩H∼=HN

N

Demostracion. Sea ϕ : G −→ G/N el homomorfismo canonico con nucleoN definido segun ϕ(g) = gN . Si consideramos la restriccion de ϕ a H, tenemosϕ(H) = HN/N y kerϕ|H = H∩N . Basta, entonces, aplicar el primer teoremade isomofıa a ϕ|H . � Q.E.D.

Teorema 5.2.4 (Tercer teorema de isomorfıa) Sean H, N�G, N ≤ H.Entonces,

G/N

H/N∼= G/H

Demostracion. Considerese la aplicacion χ : G/N −→ G/H definida segunχ(gN) = gH. Se tiene im χ = G/H y ker χ = H/N . Basta aplicar ahora elprimer teorema de isomorfıa. � Q.E.D.

5.3. Corolarios de los teoremas de isomorfıa

Proposicion 5.3.1G/Z(G) ∼= IntG

Demostracion. Sea ξ : G −→ IntG la aplicacion definida segun ξ(g) = κg.Esta aplicacion es un homomorfismo, pues

ξ(gh)(x) = κgh(x) = [κg ◦ κh](x) = [ξ(g) ◦ ξ(h)](x)

5.3. Corolarios de los teoremas de isomorfıa 33

y es suprayectiva, ya que κg es ξ(g) por definicion. Basta ahora aplicar elprimer teorema de isomorfıa, ya que

ker ξ = {g ∈ G : κg = κe}= {g ∈ G : κg(x) = κe(x) ∀x ∈ G}= {g ∈ G : gxg−1 = x ∀x ∈ G}= Z(G)

� Q.E.D.

Corolario 5.3.2 Sea G un grupo. Son equivalentes:

1. G es abeliano,

2. IntG es trivial, y

3. IntG es cıclico.

Demostracion.(1 ⇒ 2) Para todos a, g ∈ G, κa(g) = aga−1 = gaa−1 = a.(2 ⇒ 3) Evidente.(3⇒ 1) Supongamos que IntG es cıclico. Utilizando la proposicion anterior,

existe un elemento a ∈ G tal que G/Z(G) ∼= 〈aZ(G)〉. Para todos x, y ∈G existen enteros i, j y elementos b, c ∈ Z(G) tales que x = aib, y = ajc.Entonces, xy = aibajc, y, puesto que todos estos elementos conmutan entresı, xy = aibajc = ajcaib = yx. � Q.E.D.

Capıtulo 6

Grupos simetricos, alternadosy diedricos

6.1. Permutaciones. Descomposicion en ciclosdisjuntos

Definicion 6.1.1 Se llama grupo simetrico de orden n, Sn, al grupo de per-mutaciones del conjunto {1, 2, . . . , n}.

Proposicion 6.1.2|Sn| = n!

Demostracion. Existen n! permutaciones en un conjunto de n elementos.� Q.E.D.

Proposicion 6.1.3 Sean π ∈ Sn, e i ∈ {1, 2, . . . , n}. Si k es el menor enteropositivo tal que πk(i) ∈ {i, π(i), . . . , πk−1(i)}, entonces πk(i) = i.

Demostracion. Supongamos que πk(i) = πr(i) para algun 0 < r < k.Entonces, πk−r(i) = i, en contra de la definicion de k. Por tanto, r = 0.� Q.E.D.

Definicion 6.1.4 Una permutacion ρ se llama k-ciclo si existen k ∈ N ei ∈ {1, 2, . . . , n} tales que

k es el menor entero positivo tal que ρk(i) = i, y

ρ(j) = j para todo j /∈ {i, ρ(i), . . . , ρk−1(i)}.

Se denota entonces ρ = (iρ(i) . . . ρk−1(i)). Un 2-ciclo recibe el nombre detransposicion.

Proposicion 6.1.5 Sea ρ un k-ciclo. Entonces, ord(ρ) = k.

35

36 Grupos simetricos, alternados y diedricos

Demostracion. Basta observar que ρ un k-ciclo si k es el mınimo enteropositivo tal que ρk(i) = i, por la proposicion 6.1.3. � Q.E.D.

Definicion 6.1.6 Se dice que ρ, σ son permutaciones disjuntas si no existei ∈ {1, 2, . . . , n} tal que ρ(i) 6= i y σ(i) 6= i.

Proposicion 6.1.7 Toda permutacion puede escribirse como producto de ci-clos disjuntos.

Demostracion. Sea σ ∈ Sn. Definamos una relacion en {1, 2, . . . , n} segun

iRj ⇐⇒ ∃k ∈ N : σk(i) = j

Esta relacion es de equivalencia.iRi, i.e., existe r ∈ N tal que σr(i) = i, ya que, en caso contrario, el

conjunto {σk(i) : k ∈ N} serıa infinito. Si iRj, entonces existe k ∈ N talque σk(i) = j, de donde i = σr(i) = σr−kσk(i) = σr−k(j). Por ultimo, siiRj y jRk, se tienen k,m ∈ N tales que σk(i) = j y σm(j) = k, de dondeσk+m(i) = k.

Por la proposicion 6.1.3, cada una de las clases de equivalencia de estarelacion es un ciclo. La disjuncion de estas clases implica la disjuncion de losciclos. � Q.E.D.

Proposicion 6.1.8 Sean ρ, σ permutaciones disjuntas. Entonces ρσ = σρ, y,para todo k ∈ N, (ρσ)k = ρkσk.

Demostracion. Sea i ∈ {1, 2, . . . , n} que queda fijo por ρ. Entonces, σr(i)queda tambien fijo por ρ, de donde ρσ(i) = σ(i) = σρ(i).

Anlogamente, si j ∈ {1, 2, . . . , n} queda fijo por σ, ρr(j) queda tambienfijo por σ y ρσ(j) = ρ(j) = σρ(j).

Por ultimo, si k ∈ {1, 2, . . . , n} queda fijo por ambas, es evidente queρσ(k) = σρ(k) = k.

Si ρ y σ conmutan, es evidente entonces que (ρσ)k = ρkσk para todo k ∈ N.� Q.E.D.

Corolario 6.1.9 Sean ρ, σ permutaciones disjuntas. Entonces,

ord(ρσ) = [ord(ρ), ord(σ)]

Demostracion. Si (ρσ)m = ρmσm = e, entonces ρm = e;σm = e, por serpermutaciones disjuntas. Ası m = ord(ρσ) es el mınimo entero positivo talque ord(ρ)|m y ord(σ)|m, es decir, m = [ord(ρ), ord(σ)]. � Q.E.D.

6.2. Descomposicion en transposiciones. Sistemas de generadores de Sn 37

6.2. Descomposicion en transposiciones. Sistemasde generadores de Sn

Proposicion 6.2.1 Todo k-ciclo en Sn puede descomponerse en un productode k − 1 transposiciones.

Demostracion. Basta observar que el k-ciclo π = (12 . . . k) admite la fac-torizacion π = (1k) . . . (13)(12), de donde

(i1i2 . . . ik) = (i1ik) . . . (i1i3)(i1i2)

� Q.E.D.

Corolario 6.2.2 Las transposiciones generan Sn.

Demostracion. Evidente de la proposicion anterior � Q.E.D.

Proposicion 6.2.3 Sean ρ, π ∈ Sn. La descomposicion en ciclos disjuntos deπρπ−1 se obtiene de la de ρ sustituyendo cada entero i en la descomposicionde ρ por el entero π(i).

Demostracion. En efecto, πρπ−1(π(i)) = πρ(i). Por tanto, πρπ−1 aplicaπ(i) en π(ρ(i)), mientras que ρ aplica i en ρ(i). � Q.E.D.

Corolario 6.2.4 Para todo n ∈ N, las transposiciones de la forma (k k + 1)con 1 ≤ k ≤ n− 1 generan Sn.

Demostracion. Veamos que toda transposicion (ij) con i < j puede escri-birse como producto de transposiciones de la forma (k k + 1). Utilizando laproposicion anterior, vemos que

(i i+ 2) = (i+ 1 i+ 2)(i i+ 1)(i+ 1 i+ 2)−1

En general,

(ij) = (j − 1 j)(j − 2 j − 1) . . . (i+ 1 i+ 2)(i i+ 1)

(i+ 1 i+ 2)−1 . . . (j − 2 j − 1)−1(j − 1 j)−1

Basta ahora utilizar las proposiciones 6.2.1 y 6.1.7. � Q.E.D.

6.3. Signatura de una permutacion

Proposicion 6.3.1 Sea Fn el conjunto de los polinomios en n variables, ysea Ξ la familia de aplicaciones ξσ : Fn −→ Fn con σ ∈ Sn definidas segun

ξσ(f(x1, x2, . . . , xn)) = f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n))

Ξ es una accion de Sn sobre Fn.


Demostracion. En efecto, si denotamos I la permutacion identidad,

ξI(f(x1, x2, . . . , xn)) = f(x1, x2, . . . , xn)

verificando (A1). Para comprobar (A2), basta observar que

ξρ ◦ ξσ(f(x1, x2, . . . , xn)) = ξρ(f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)))

= f(xρσ(1), xρσ(2), . . . , xρσ(n))

= ξρσ(f(x1, x2, . . . , xn))

� Q.E.D.

Proposicion 6.3.2 Si

∆n =∏

1≤i<j≤n

(xi − xj) ∈ Fn

se define la signatura de σ como la aplicacion sgn : Sn −→ {−1, 1} definidasegun

sgn(σ)∆n = ξσ(∆n)

Esta aplicacion sgn es un homomorfismo.

Demostracion. Es claro que, para todo λ ∈ R, ξσ(λf) = λξσ(f). Por tanto,utilizando la proposicion anterior,

sgn(ρσ)∆n = ξρσ∆n por definicion= ξρ ◦ ξσ(∆n) por el axioma (A2)= ξρ(sgn(σ)∆n) por definicion= sgn(σ)ξρ(∆n)= sgn(σ)sgn(ρ)∆n por definicion

� Q.E.D.

Definicion 6.3.3 Se dice que σ ∈ Sn es una permutacion par si sgn(σ) = 1.Se dice que σ ∈ Sn es una permutacion impar si sgn(σ) = −1.

Corolario 6.3.4 Sean π, σ ∈ Sn. Entonces,

1. sgn(π) = sgn(π−1), y

2. sgn(πσπ−1) = sgn(σ).

Demostracion. Utilizando que sgn es un homomorfismo,

1 = sgn(I) = sgn(ππ−1) = sgn(π)sgn(π−1)

de donde sgn(π) = sgn(π−1), y

sgn(πσπ−1) = sgn(π)sgn(σ)sgn(π) = sgn(σ)

� Q.E.D.

6.4. Grupos alternados 39

Corolario 6.3.5 Sea σ un k-ciclo. Entonces, sgn(σ) = (−1)k−1

Demostracion. Es claro que la transposicion (12) es impar, puesto que pro-duce un unico cambio de signo en ∆n, la del factor (x1−x2). Una transposicionde la forma (1k) puede escribirse como

(1k) = (2k)(12)(2k)−1

luego es impar por el corolario 6.3.4. Finalmente,

(lk) = (1l)(1k)(1l)−1

por lo queda demostrado que toda transposicion es impar.Por la proposicion 6.2.1, todo k-ciclo puede factorizarse en un producto de

k − 1 transposiciones. Del hecho de que sgn es un homomorfismo se sigue elenunciado. � Q.E.D.

Proposicion 6.3.6 Sea σ ∈ Sn una permutacion par. Entonces, toda des-composicion de σ en transposiciones posee un numero par de transposiciones.

Anlogamente, si σ ∈ Sn es una permutacion impar, toda descomposicionde σ en transposiciones posee un numero impar de transposiciones.

Demostracion. Supongamos que σ ∈ Sn posee dos factorizaciones distintascon k y l transposiciones, respectivamente. Entonces, las signaturas de cadauna de ellas debe coincidir con la signatura de σ. Ası, si σ es par,

sgn(σ) = 1 = (−1)k = (−1)l

de manera que tanto k como l deben ser pares. Analogamente, si σ es impar,

sgn(σ) = −1 = (−1)k = (−1)l

y k y l deben ser impares. � Q.E.D.

6.4. Grupos alternados

Definicion 6.4.1 Se llama grupo alternado de orden n, An al subgrupo detodas las permutaciones pares de Sn.

Proposicion 6.4.2 An = ker(sgn).

Demostracion. En efecto,

ker(sgn) = {σ ∈ Sn : sgn(σ) = 1}

es efectivamente el conjunto de todas las permutaciones pares de Sn. �Q.E.D.


Corolario 6.4.3

1. An � Sn.

2. |An| = n!2 .

Demostracion. Por el primer teorema de isomorf´a, aplicado al homo-morfismo sgn, An � Sn y Sn/An

∼= {−1, 1}. Aplicando ahora el teorema deLagrange,

|An| =|Sn|

[Sn : An]=

|Sn||Sn/An|

=n!2

� Q.E.D.

Proposicion 6.4.4

1. A2 = I.

2. A3∼= Z3.

Demostracion.

1. Es evidente del hecho de que S2 = {I, (12)}.

2. Puesto que S3 = {I, (12), (13), (23), (123), (132)}, se tiene que A3 ={I, (123), (132)}. Pero

(123)(123) = (132)(123)(123)(123) = I

Ası, A3 es un grupo cıclico de orden 3, y, por tanto, isomorfo a Z3.

� Q.E.D.

Proposicion 6.4.5 Para cada n ≥ 3, los 3-ciclos generan An.

Demostracion. De la propia definicion de grupo alternado, cada permuta-cion de An puede escribirse como producto de un numero par de transposicio-nes. Agrupando las transposiciones por pares, (ij)(kl), se tienen dos casos. Sii, j, k, l son enteros distintos,

(ij)(kl) = (ikj)(ikl)

Si alguno de ellos coincide,

(ij)(il) = (ilj)

Por tanto, todo elemento de An con n ≥ 3 puede escribirse como producto de3-ciclos. � Q.E.D.

6.5. Estructura de los grupos simetricos y alternados 41

Corolario 6.4.6 Para cada par r0, s0 ∈ {1, 2, . . . , n} con r0 6= s0, los 3-ciclosde la forma (r0s0i) generan An.

Demostracion. El resultado se sigue de la proposicion anterior, observandoque

(ijk) = (r0ij)(r0jk)(r0jk) = (r0s0j)(r0s0i)(r0s0i)

� Q.E.D.

6.5. Estructura de los grupos simetricos yalternados

Proposicion 6.5.1 Sean n,m ∈ N tales que n ≤ m. Entonces,

1. Sn ≤ Sm, y

2. An ≤ Am.

Demostracion. Basta ver que Sn ⊆ Sm y An ⊆ Am, y que Sn y An poseenestructura de grupo. � Q.E.D.

Proposicion 6.5.2 Sn es no abeliano para n ≥ 3.

Demostracion. S3 no es conmutativo, ya que (12), (13) ∈ S3 y

(12)(13) = (132)(13)(12) = (123)

Como S3 ≤ Sn para n ≥ 3, Sn es no abeliano para n ≥ 3. � Q.E.D.

Proposicion 6.5.3 An es no abeliano para n ≥ 4.

Demostracion. A4 no es conmutativo, ya que (123), (134) ∈ A4 y

(123)(134) = (234)(134)(123) = (124)

Como A4 ≤ An para n ≥ 4, An es no abeliano para n ≥ 4. � Q.E.D.

Proposicion 6.5.4 Para n ≥ 3, Z(Sn) = I.


Demostracion. Sea σ ∈ Sn, σ 6= I. Entonces, existen i, j ∈ 1, 2, . . . , n talesque σ(i) = j 6= i. Sea k ∈ 1, 2, . . . , n distinto de i y de j, y sea τ = (jk).Entonces,

στ(i) = σ(i) = j

τσ(i) = τ(j) = k

Por tanto, Z(Sn) = I. � Q.E.D.

Proposicion 6.5.5 Para n ≥ 4, Z(An) = I.

Demostracion. Sea σ ∈ An, σ 6= I. Entonces, existen i, j ∈ 1, 2, . . . , n talesque σ(i) = j 6= i. Sea k, l ∈ 1, 2, . . . , n distintos de i y de j, y sea τ = (jkl).Entonces,

στ(i) = σ(i) = j

τσ(i) = τ(j) = k

Por tanto, Z(An) = I. � Q.E.D.

Corolario 6.5.6 Sn y An no tienen subgrupos normales de orden dos.

Demostracion. A3 no puede tener subgrupos de orden dos, pues contradirıael teorema de Lagrange, ya que |A3| = 3.

En el resto de casos, el centro de los grupos considerados es el subgrupotrivial. Supongamos, entonces, que existiese un subgrupo normal de orden dos,H = {e, a}. Para cualquier elemento b 6= a del grupo considerado, se tendrıabab−1 = a, o, equivalentemente, ab = ba, en contra de que el centro del grupoes trivial. � Q.E.D.

6.6. Teorema de Abel

Proposicion 6.6.1 Sea N�An con n ≥ 3. Si N contiene un 3-ciclo, entoncesN = An.

Demostracion. Sea (r0s0i) ∈ N . Entonces todo 3-ciclo de la forma (r0s0j)pertenece a N , ya que

((ij)(r0s0))−1(r0s0i)2((ij)(r0s0)) = (r0s0j)

y N es normal. Ası,〈(r0s0i), (r0s0j), ...〉 ⊆ N

Pero, por el corolario 6.4.6, el primer miembro de la ultima inclusion es An.� Q.E.D.

6.7. Teorema de Cayley 43

Proposicion 6.6.2 A5 es simple.

Demostracion. Sea N � A5, N 6= {I}, y sea σ ∈ N, σ 6= I. Se tienen trescasos:

1. σ = (ab)(cd): tomando un entero e distinto de a, b, c, d, sea ρ = (abe) ∈An. Entonces,

σ[ρσρ−1] = (abe) ∈ N

por ser N un subgrupo normal de An.

2. σ = (abc).

3. σ = (abcde): puesto que N es un subgrupo normal,

σ−1[(abc)σ(abc)−1] = (ace) ∈ N

Ası pues, aplicando la proposicion anterior, se debe tener N = An. � Q.E.D.

Teorema 6.6.3 (Abel) An es simple si n ≥ 5.

Demostracion. Segun la proposicion anterior, A5 es simple. Supongamosque Ak es simple para todo 5 ≤ k ≤ n− 1.

Sea N �An, N 6= {I}. Veamos que existe una permutacion σ ∈ N, σ 6= Ital que σ(i) = i para algun i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Supongamos que no existiese tal σ. Sea π ∈ An. Entonces existen tresenteros distintos a, b, c ∈ {2, . . . , n} tales que π(1) = a, π(b) = c. Si ρ =(1a)(bcde), entonces (ρπρ−1)σ ∈ N , por ser N normal. Pero

(ρπρ−1)π(1) = 1

(ρπρ−1)π(c) = d

de manera que (ρπρ−1)π fija 1 y no es la permutacion identidad, en contra dela hipotesis.

Ası pues, sea G(i) = {σ ∈ An : σ(i) = i} ∼= An−1, que es simple por lahipotesis de induccion. Entonces, N(i) = N∩G(i), que es un subgrupo normalde G(i), debe ser N(i) = G(i).

Por tanto, todo subgrupo normal de An contiene a A5, de donde debetambien contener un 3-ciclo. Por el corolario 6.4.6, se tiene entonces N = An.

� Q.E.D.

6.7. Teorema de Cayley

Teorema 6.7.1 (Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupode las biyecciones de G. En particular, si G es finito, G es isomorfo a unsubgrupo de un grupo de permutaciones.


Demostracion. Sea F una aplicacion que asigna a cada g ∈ G la aplicacionFg : G −→ G definida segun Fg(x) = gx. Cada Fg es inyectiva, pues

Fg(x) = Fg(y) =⇒ gx = gy =⇒ x = y

y tambien suprayectiva, ya que x = Fg(g−1x). Ası, F : G −→ B(G), dondeB(G) es el grupo de las biyecciones de G con la operacion de composicion.

F es un homomorfismo, puesto que

Fgh(x) = ghx = Fg(hx) = Fg ◦ Fh(x)

Ademas, kerf = {e}. Por el primer teorema de isomorfıa, G es isomorfo a suimagen, que es un subgrupo de B(G). � Q.E.D.

6.8. Grupos diedricos

Definicion 6.8.1 Se llama grupo diedrico de orden 2n, D2n al grupo de si-metrıas de un polıgono regular de n lados.

Proposicion 6.8.2 Sea A la rotacion de angulo 2πn alrededor del centro de

un polıgono regular de n lados, y sea B la simetrıa con respecto a la recta quepasa por el centro del mismo y por uno cualquiera de sus vertices. Entonces,

A,A2, . . . , An;A ◦B,A2 ◦B, . . . , An ◦B

son todas las simetrıas del polıgono, i.e.,

D2n = {A,A2, . . . , An;A ◦B,A2 ◦B, . . . , An ◦B}

Demostracion. Los movimientos del plano que dejan invariante un polıgonoregular de n lados, es decir, sus simetrıas, son:

Las rotaciones de angulo k 2πn para k ∈ Z:

Como la composicion de giros alrededor de un centro comun es tambienun giro alrededor del mismo centro, estas rotaciones estan generadas porel giro A. Puesto que An = I, se tiene ord(A) = n y

〈A〉 = {A,A2, . . . , An = I}

es el conjunto de rotaciones que dejan invariante el citado polıgono.

Las simetrıas con respecto a cada una de las rectas que pasan por elcentro del polıgono y por uno de sus vertices, o por el centro del polıgonoy por el punto medio de uno de sus lados:Numerando los vertices con los n primeros numeros naturales, el giro Aviene determinado poer las ecuaciones

A(n) = 1A(i) = i+ 1 para todo 1 ≤ i < n

6.8. Grupos diedricos 45

Si elegimos B como la simetrıa con respecto a la recta que pasa por elcentro y por el vertice 1, entonces

B(1) = 1B(i) = n− i+ 2 para todo 1 < i ≤ n

Veamos que A ◦B es tambien una simetrıa con respecto a una recta. Enefecto,

A ◦B(1) = 2A ◦B(2) = 1A ◦B(i) = n− i+ 3 para todo 3 ≤ i ≤ n

son las ecuaciones de la simetrıa con respecto a la recta que pasa por elcentro y por el punto medio del lado que determinan los vertices 1 y 2.

Analogamente, puede mostrarse que el resto de composiciones de la for-ma Ak ◦ B son simetrıas con respecto a rectas. Estas, junto con B, sonlas n simetrıas con respecto a rectas del polıgono regular de n lados.

� Q.E.D.

Proposicion 6.8.3 En las condiciones de la proposicion anterior,

A ◦B = B ◦A−1

Demostracion. El movimiento A−1 viene dado por las ecuaciones

A−1(1) = n

A−1(i) = i− 1 para todo 1 < i ≤ n

Entonces,

B ◦A−1(1) = 2

B ◦A−1(2) = 1

B ◦A−1(i) = n− i+ 3 para todo 2 < i ≤ n

ecuaciones que coinciden con las de A ◦ B, dadas en la demostracion de laproposicion anterior. � Q.E.D.

Proposicion 6.8.4 El grupo diedrico D2n es isomorfo a un subgrupo de Sn.

Demostracion. En efecto, basta definir el homomorfismo inyectivo F :Dn −→ Sn segun

F (A) = (12 . . . n)F (B) = (2 n)(3 n− 1) . . .

� Q.E.D.

Capıtulo 7

Producto directo ysemidirecto

7.1. Producto directo de grupos

Proposicion 7.1.1 Sean Gi, i = 1, 2, . . . , n grupos. El producto cartesianoG1 ×G2 × . . .×Gn dotado de la operacion

(g1, g2, . . . , gn)(g′1, g′2, . . . , g

′n) = (g1g′1, g2g

′2, . . . , gng

′n)

posee estructura de grupo, y recibe el nombre de producto directo de los gruposGi, i = 1, 2, . . . , n.

Demostracion. La operacion interna y la asociatividad son evidentes de laestructura de grupo de G y H. El elemento neutro de G×H es (e1, e2, . . . , en).El elemento inverso de (g1, g2, . . . , gn) es (g−1

1 , g−12 , . . . , g−1

n ). � Q.E.D.

Proposicion 7.1.2 Sean G y H grupos. Entonces,

1. G×H ∼= H ×G,

2. G ∼= G = {(g, eH) : g ∈ G}, y

3. G�G×H.

Demostracion.

1. Basta considerar la aplicacion ϕ : G × H −→ H × G definida segunϕ(g, h) = (h, g), que es claramente un isomorfismo.

2. Basta considerar la aplicacion ψ1 : G −→ G definida segun ψ1(g) =(g, eH), que es de nuevo un isomorfismo.

3. Si consideramos la proyeccion canonica sobre la segunda componenteπ2 : G × H −→ H definida segun π2(g, h) = h, podemos observar quekerπ2 = G, de modo que, por el primer teorema de isomorfıa, G�G×H.

47

48 Producto directo y semidirecto

� Q.E.D.

Proposicion 7.1.3 Sea G un grupo, y sean M,N � G. Si M ∩ N = {e}, yMN = G, entonces G ∼= M ×N .

Demostracion. Puesto que G = MN , para cada g ∈ G existen n ∈ N, m ∈M tales que g = mn. Como M ∩N = {e}, esta representacion debe ser unica.En efecto, si mn = m′n′, entonces (m′)−1m = n′n−1 ∈ M ∩ N , de dondem = m′ y n = n′. Ası, la aplicacion f : G −→ M × N tal que f(g) = (m,n)esta bien definida y es biyectiva.

Falta comprobar que f es un homomorfismo de grupos. Para ello, bastaobservar que si n ∈ N, m ∈ M , se cumple nm = mn, ya que la normalidadde M y N implican

n−1m−1nm = n−1(m−1nm) ∈ NN = N

n−1m−1nm = (n−1m−1n)m ∈MM = M

y puesto que M ∩ N = {e}, se debe tener n−1m−1nm = e. Entonces, sig = mn, g′ = m′n′,

f(gg′) = f((mn)(m′n′)) por la definicion de f= f(m(nm′)n′) por la propiedad asociativa= f(m(m′n)n′)= f((mm′)(nn′)) por la propiedad asociativa= (mm′, nn′) por la definicion de f= (m,n)(m′, n′) por la definicion de producto directo= f(g)f(g′)

� Q.E.D.

Proposicion 7.1.4 Un grupo G es isomorfo al producto directo de sus sub-grupos Hi, i = 1, 2, . . . , n si

1. Hj �G para cada j = 1, 2, . . . , n,

2. Hj ∩ (∏

i6=j Hi) = {e} para cada j = 1, 2, . . . , n, y

3.∏n

i=1Hi = G.

Demostracion. Debido a la condicion tercera, para cada g ∈ G existenhj ∈ Hj , j = 1, 2, . . . , n tales que g = h1h2 . . . hn. Esta descomposicion esunica, ya que, si h1h2 . . . hn = (h′1h

′2 . . . h

′n), entonces

(h′1)−1h1 = (h′2 . . . h

′n)(h1 . . . hn)−1

7.1. Producto directo de grupos 49

De la normalidad de los Hj se sigue que el segundo miembro pertenece a∏i6=1Hi, y, como el primero pertenece a H1, la segunda condicion del enun-

ciado nos lleva a que h1 = h′1. Continuando con este argumento, se llega a quehj = h′j para todo j ∈ {1, 2, . . . , n}.

Ası, podemos definir la aplicacion f : G −→ H1 × . . .×Hn segun

f(g) = (h1, h2, . . . , hn)

Esta aplicacion es evidentemente biyectiva, y es un homomorfismo, pues, sig = h1h2 . . . hn y g′ = h′1h

′2 . . . h

′n,

f(gg′) = (h1h′1, h2h

′2, . . . , hnh

′n)

= (h1, h2, . . . , hn)(h′1, h′2, . . . , h

′n)

= f(g)f(g′)

� Q.E.D.

Proposicion 7.1.5 Sea A�G, B �H. Entonces, A×B �G×H y

G×H

A×B∼=G

A× H

B

Demostracion. Si ϕG : G −→ G/A y ϕH : H −→ H/B son los homomorfis-mos canonicos con nucleos A y B, respectivamente, consideremos la aplicacion

ϕG×H ≡ ϕG × ϕH : G×H −→ G/A×H/B

Esta aplicacion es un homomorfismo suprayectivo con nucleo A×B. El enun-ciado se sigue entonces de la aplicacion del primer teorema de isomorfıa.� Q.E.D.

Proposicion 7.1.6 Sean m,n ∈ Z tales que (m,n) = 1. Entonces,

Zm × Zn∼= Zmn

Demostracion. Sea x un generador de Zm, e y un generador de Zn. Enton-ces, los elementos (x, 0), (0, y) ∈ Zm×Zn tiene ordenes m,n, respectivamente.Por tanto, por la proposicion 3.2.1, se tiene

ord((x, y)) = [ord(x, 0), ord(0, y)] = [m,n] = mn

� Q.E.D.

50 Producto directo y semidirecto

7.2. Producto semidirecto de grupos

Proposicion 7.2.1 Sean G,H grupos, y sea φ : H −→ AutG un homomor-fismo. El producto cartesiano G×H dotado de la operacion

(a, b) oφ (c, d) = (aφb(c), bd)

posee estructura de grupo, y recibe el nombre de producto semidirecto de G yH con respecto a φ, y se denota Goφ H.

Demostracion. Es claro que la operacion es cerrada en el producto carte-siano G×H.

La asociatividad se demuestra segun

[(a, b) oφ (c, d)] oφ (e, f) = (aφb(c), bd) oφ (e, f)= (aφb(c)φbd(e), bdf)= (aφb(c)φb(φd(e)), bdf)= (aφb(cφd(e)), bdf)= (a, b) oφ (cφd(e), df)= (a, b) oφ [(c, d) oφ (e, f)]

El elemento neutro es, claramente, (eG, eH), pues

(a, b) oφ (eG, eH) = (aφb(eG), beH) = (a, b)

El inverso de un elemento (a, b) es (φb−1(a−1), b−1). En efecto,

(a, b) oφ (φb−1(a−1), b−1) = (aφb(φb−1(a−1)), bb−1)

= (aφbb−1(a−1), bb−1)

= (aa−1, bb−1) = (eG, eH)

(φb−1(a−1), b−1) oφ (a, b) = (φb−1(a−1)φb−1(a), b−1b)

= (φb−1(a−1a), b−1b) = (eG, eH)

� Q.E.D.

Proposicion 7.2.2 Sean G y H grupos. Entonces,

1. G ∼= G = {(g, eH) : g ∈ G}, y G�Goφ H.

2. H ∼= H = {(eG, h) : h ∈ H}

Demostracion.

7.2. Producto semidirecto de grupos 51

1. La aplicacion biyectiva f : G −→ G definida segun f(g) = (g, eH) es unhomomorfismo, pues

f(gg′) = (gg′, eH) = (gφeH (g′), eH) = (g, eH) oφ (g′, eH) = f(g) oφ f(g′)

Ademas, para todos (g, eH) ∈ G, (a, b) ∈ Goφ H, se tiene

(a, b) oφ (g, eH) oφ (a, b)−1 = (aφb(g), b) oφ (φb−1(a−1), b−1)

= (aφb(g)φb(φb−1(a−1)), eH)

= (aφb(g)a−1, eH) ∈ G

2. La aplicacion biyectiva f : H −→ H definida segun f(h) = (eG, h) es unhomomorfismo, pues

f(hh′) = (eG, hh′) = (eGφh(eG), hh′) = (eG, h)oφ(eG, h′) = f(h)oφf(h′)

� Q.E.D.

Proposicion 7.2.3 Sea G un grupo, y sean M�G, N ≤ G. Si M ∩N = {e},y MN = G, entonces G ∼= M oκ N , donde κ : N −→ AutM viene dada porκn(m) = nmn−1.

Demostracion. Al igual que en la demostracion de la proposicion 7.1.3, cadag ∈ G posee una factorizacion unica g = mn. La aplicacion f : G −→M oφNdada por f(g) = (m,n) esta, por tanto, bien definida, y es biyectiva.

Sean g1 = m1n1 y g2 = m2n2. Entonces,

g1g2 = m1n1m2n2 = m1n1m2(n−11 n1)n2 = m1κn1(m2)n1n2

Por tanto,

f(g1g2) = (m1κn1(m2), n1n2) = (m1, n1) oκ (m2, n2) = f(g1) oκ f(g2)

lo cual muestra que f es un isomorfismo. � Q.E.D.

Capıtulo 8

p-grupos y teoremas deSylow. Grupos solubles

8.1. p-grupos y p-subgrupos de Sylow

Definicion 8.1.1 Sea G un grupo, y p un divisor primo de |G|. Denotamospor |G|p la maxima potencia de p que divide a |G|.

Se dice que g ∈ G es un p-elemento si ord(g) es una potencia de p.

Se dice que G es un p-grupo si |G| es una potencia de p.

Se dice que H ≤ G es un p-subgrupo si |H| es una potencia de p.

Se dice que H ≤ G es un p-subgrupo de Sylow si |H| = |G|p.

Proposicion 8.1.2 Sea G un p-grupo finito no trivial. Entonces, Z(G) es notrivial.

Demostracion. Sean C1, C2, . . . , Cr las distintas clases de conjugacion de G,de modo que

|G| = |C1|+ |C2|+ · · ·+ |Cr| (∗)

Sin perdida de generalidad, tomamos C1 = {e}. Por el teorema de orbita-estabilizador, si xi ∈ Ci con i 6= 1, se tiene

|Ci| =|G|

|CG(xi)|

de modo que |Ci| debe ser una potencia de p.Pero entonces, se tendrıa que el segundo miembro de (*) es congruente

con 1 modulo p, mientras que el primero es divisible por p. Ası pues, debeexistir un valor de i (distinto de 1) tal que CG(xi) = G, por lo que xi ∈ Z(G).

� Q.E.D.

53

54 p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles

Proposicion 8.1.3 Sea G un grupo de orden p2 con p primo. Entonces, Ges abeliano.

Demostracion. Por el teorema anterior, Z(G) es no trivial. Por el teoremade Lagrange, se debe tener |Z(G)| = p o |Z(G)| = p2. Si |Z(G)| = p2, es claroque G = Z(G), por lo que G es abeliano. Si |Z(G)| = p, entonces G/Z(G) escıclico de orden p. Por el corolario 5.3.2, G es abeliano. � Q.E.D.

8.2. Teoremas de Sylow

Proposicion 8.2.1 Sea p numero primo, y sea m ∈ Z, (m, p) = 1. Entonces,(pnm

pn

)≡ m (mod p)

Demostracion. El numero combinatorio(pnmpn

)es el coeficiente del termino

xpnen la expansion binomial de

(1 + x)pnm = ((1 + x)pn)m

Ahora bien,(1 + x)pn ≡ 1 + xpn

(mod p)

ya que los coeficientes de los demas terminos de la expansion son divisibles porp. Ası, el coeficiente

(pnmpn

)es congruente al coeficiente de xpn

de (1 + xpn)m,

y, por tanto, es congruente con m modulo p. � Q.E.D.

Teorema 8.2.2 (Teorema de Sylow) Sea p un numero primo, y G un gru-po finito de orden pnm con (p,m) = 1. Entonces,

1. G tiene, al menos, un p-subgrupo de Sylow.

2. El numero de p-subgrupos de Sylow de G es congruente a 1 modulo p, ydivide a m.

3. Todo p-subgrupo de G esta contenido en un p-subgrupo de Sylow.

4. Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados.

Demostracion.

1. Sea X la coleccion de los subconjuntos de G con |G|p = pn elementos, yconsideremos la accion de G sobre X definida segun

φg(S) = gS

Sean O1,O2, . . . ,Or las orbitas de esta accion, de modo que se tiene launion disjunta

X = O1 ∪ O2 ∪ · · · ∪ Or

8.2. Teoremas de Sylow 55

Como, por la proposicion 8.2.1, |X| =(pnmpn

)≡ 1 (mod p), debe existir

alguna orbita O tal que p - |O|. Sea A ∈ O tal que 1 ∈ A. Entonces,GA ⊆ GAA = A, de donde |GA| ≤ |A| = |G|p. Ademas, por el teoremade orbita-estabilizador, |G| = |O||GA|, de donde |G|p||GA|.Por tanto, GA = A, de donde |GA| = |G|p y GA es un p-subgrupo deSylow de G. Ademas,

G/GA = {gGA : g ∈ G}= {gA : g ∈ G}= O

Por otro lado, sea P es un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces, G/Pes una coleccion de subconjuntos de G con cardinal |G|p, y, por tan-to, G/P ⊆ X. Ademas, |G/P | es la orbita en X de P , y (p, |G/P |) =(p,m) = 1. Por tanto, existe una correspondencia biyectiva entre lacoleccion de los p-subgrupos de Sylow de G y las orbitas en X cuya car-dinalidad es coprima con p, siendo cada una de estas orbitas los gruposcociente de G sobre el p-subgrupo de Sylow correspondiente.

2. Sea X ′ el conjunto de los elementos de X que pertenecen a una orbitacuya cardinalidad es coprima con p. Entonces, |X ′| = rm, donde r es elnumero de tales orbitas. Como |X\X ′| es divisible por p,

|X ′| ≡ |X| (mod p)

rm ≡(pnm

pn

)(mod p)

rm ≡ 1 (mod p) por la proposicion 8.2.1r ≡ 1 (mod p) ya que (p,m) = 1

Basta ahora recordar la correspondencia biyectiva entre orbitas de cardi-nalidad coprima con p y p-subgrupos de Sylow, de donde r es el numerode estos ultimos.

3. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G, y Q un p-subgrupo cualquiera deG con |Q| = pr. Sea

Y = {gPg−1 : g ∈ G}Consideremos la accion de Q sobre Y dada por

φx(gPg−1) = x(gPg−1)x−1 = (xg)P (xg)−1

Por el teorema de orbita-estabilizador, la cardinalidad de cada una delas orbitas de esta accion debe ser una potencia (quiza trivial) de p. Enefecto,

|orb(gPg−1)| = [Q : QgPg−1 ] =|Q|

|QgPg−1 |=

pr

|QgPg−1 |


Ademas,

|Y | = [G : NG(P )] =[G : P ]

[NG(P ) : P ]=

m

[NG(P ) : P ]

por lo que |Y ||m. Como p - m, se tiene, entonces, p - |Y |. Ası, debeexistir alguna orbita con un unico elemento, pues, en caso contrario, setendrıa p||Y |, ya que Y puede escribirse como union disjunta de orbitas.

Sea {P1 = gPg−1} una de tales orbitas. Entonces, para todo x ∈Q, xPx−1 = P . Por tanto, QP1 = P1Q y QP1 ≤ G por la proposicion2.3.2. Utilizando la proposicion 2.3.3, es claro que QP1 es un p-subgrupo,de donde, necesariamente, QP1 = P1, y, por tanto, Q ≤ P1.

4. Si Q es tambien un p-subgrupo de Sylow, Q ≤ P1 y |Q| = |P1| implicanQ = P1 = gPg−1.

� Q.E.D.

8.3. Corolarios de los teoremas de Sylow

Proposicion 8.3.1 Sean G un grupo finito, P un p-subgrupo de Sylow de G,y N �G. Entonces,

1. PN/N es un p-subgrupo de Sylow de G/N .

2. P ∩N es un p-subgrupo de Sylow de N , y

Demostracion. En primer lugar, observemos que para demostrar que unsubgrupo H de un grupo G es un p-subgrupo de Sylow, basta comprobar queH es un p-subgrupo y que [G : H] no es divisible por p.

1. Por el teorema de correspondencia, [G : PN ] = [G/N : PN/N ]. Pero,como [G : PN ] divide a [G : P ] por factorizacion de ındices) y p - [G : P ],se tiene p - [G/N : PN/N ]. Puesto que PN/N ∼= P/(P ∩ N) por elsegundo teorema de isomorfıa, PN/N es un p-grupo, ya que P/(P ∩N)lo es. Ası, PN/N es un p-subgrupo de G/N .

2. De la proposicion 2.3.3, se tiene que [N : P ∩N ] = [PN : P ]. Como PNes un subgrupo de G por la proposicion 4.3.4, y P es un p-subgrupo deSylow de G, p - [PN : P ]. Por tanto, P ∩N es un p-subgrupo de G cuyoındice en N es coprimo con p, i.e., P ∩N es un p-subgrupo de Sylow deN .

� Q.E.D.

Teorema 8.3.2 (Cauchy) Sea G un grupo finito. Para todo p primo tal quep||G| existe un elemento de orden p.

8.4. Grupos solubles 57

Demostracion. Por el teorema de Sylow, existe en G un p-subgrupo de Sy-low, P . Por el teorema de Lagrange, todos los elementos de P son p-elementos,y, por tanto, alguna potencia de ellos posee orden p. � Q.E.D.

Corolario 8.3.3 Sea G un grupo finito. G no tiene subgrupos propios si ysolo si |G| es primo.

Demostracion. Supongamos que |G| no fuese primo. Entonces, por el teo-rema de Cauchy, debe existir un elemento g de orden p para cada primo p quedivide a |G|, y 〈g〉 serıa un subgrupo propio de G.

El recıproco es evidente del teorema de Lagrange. � Q.E.D.

Corolario 8.3.4 Un grupo finito G es un p-grupo si y solo si todos sus ele-mentos son p-elementos.

Demostracion. Por el teorema de Lagrange, si |G| = pn, el orden de todoelemento de G debe ser una potencia de p.

Recıprocamente, supongamos que todos los elementos deG son p-elementos.Si existiese un numero primo q 6= p tal que q||G|, el teorema de Sylow impli-carıa que existe un q-subgrupo de Sylow, en contra de la hipotesis. � Q.E.D.

Corolario 8.3.5 Sea G un p-grupo de orden finito pn. Para cada entero i =0, 1, . . . , n existe un subgrupo normal en G de orden pi.

Demostracion. Para n = 0 la proposicion es evidente. Supongamos que elenunciado es cierto para todo k < n.

Sea |G| = pn. Por la proposicion 8.1.2, Z(G) es no trivial. Por tanto, existe0 < r ≤ n tal que |Z(G)| = pr. Por el teorema de Cauchy, Z(G) posee unelemento g de orden p. Ası, H = |〈g〉| = p y H �G.

Por la hipotesis de induccion, G/H (que tiene orden pn−1) posee subgruposnormales Ji de orden pi para cada i = 0, 1, . . . , n − 1. Por el teorema decorrespondencia, cada Ji � G/H es de la forma Ji = Hi/H, donde Hi � G y|Hi| = pi+1. � Q.E.D.

8.4. Grupos solubles

Definicion 8.4.1 Sea G un grupo finito. Se llama serie de composicion a unacadena de subgrupos

{e} = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ · · · ≤ Hk−1 ≤ Hk = G

tal que Hi�Hi+1, y Hi+1/Hi es un grupo simple para todo i = 0, 1, 2, . . . , k−1.Los grupos cociente Hi+1/Hi reciben el nombre de factores de composicion.


Teorema 8.4.2 (Jordan-Holder) Sea G un grupo finito. Si G posee dosseries de composicion,

{e} = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ · · · ≤ Hk−1 ≤ Hk = G

{e} = J0 ≤ J1 ≤ J2 ≤ · · · ≤ Jr−1 ≤ Jr = G

entonces k = r y existe σ ∈ Sk tal que Hi+1/Hi∼= Jσ(i)+1/Jσ(i).

Definicion 8.4.3 Un grupo G es soluble si existe en el una serie de compo-sicion

{e} = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ · · · ≤ Hk−1 ≤ Hk = G

en la cual los factores de composicion Hi+1/Hi, i = 0, 1, 2, . . . , k − 1 sonabelianos.

Proposicion 8.4.4 S3, S4, A3 y A4 son solubles.

Demostracion. Basta exhibir las series de composicion

{I} ≤ A3 ≤ S3

{I} ≤ 〈(12)(34), (13)(24)〉 ≤ A4 ≤ S4

{I} ≤ A3

{I} ≤ 〈(12)(34), (13)(24)〉 ≤ A4

cuyos factores de composicion son abelianos. � Q.E.D.

Proposicion 8.4.5 Sn y An no son solubles para n ≥ 5.

Demostracion. Para todo n ≥ 5, el teorema de Abel asegura que An essimple. Por tanto,

{I} ≤ An ≤ Sn

es una serie de composicion en Sn, pero el factor de composicion An/{e} ∼= An

no es abeliano. Por el teorema de Jordan-Holder, cualquier otra serie de com-posicion en Sn posee algun factor de composicion isomorfo a An, y, por tanto,no puede existir en Sn una serie de composicion con factores de composicionabelianos.

Analogamente,{I} ≤ An

es una serie de composicion en An con un unico factor de composicion noabeliano, An. De nuevo, el teorema de Jordan-Holder asegura la imposibili-dad de la existencia de una serie de composicion con factores de composicionabelianos. � Q.E.D.

8.4. Grupos solubles 59

Definicion 8.4.6 Sea G un grupo, y sean x, y ∈ G

[x, y] = x−1y−1xy

Se llama subgrupo conmutador de G al subgrupo generado por todos los con-mutadores de elementos de G.

G′ = 〈{[x, y] : x, y ∈ G}〉

Proposicion 8.4.7 Sea G un grupo, y G′ su subgrupo conmutador. Entonces,G′ � G y G/G′ es abeliano. Ademas, si N � G, G/N es abeliano si y solo siG′ ≤ N .

Demostracion. Sean a, b,∈ G, de modo que [a, b] ∈ G′. Para todo g ∈ G,

[gag−1, gbg−1] = (ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1) = ga−1b−1abg−1 = g[a, b]g−1

demostrando la normalidad de G′ en G.Sean ahora xG′, yG′ ∈ G/G′. Entonces,

(xG′)(yG′) = xyG′ = xy[x, y]G′ = yxG′ = (yG′)(xG′)

Supongamos que N � G y que G/N es abeliano. Entonces, para todosx, y ∈ G se tiene (xN)(yN) = (yN)(xN), de donde x−1y−1xyN = N y[x, y] ∈ N , mostrando que G′ ≤ N . Recıprocamente, si G′ ≤ N entonces

(xN)(yN) = xyN = xy[x, y]N = yxN = (yN)(xN)

y G/N es abeliano. � Q.E.D.

Definicion 8.4.8 Se llama serie derivada de G a la cadena de subgrupos

G(0) ≥ G(1) ≥ G(2) ≥ · · · ≥ G(k) ≥ · · ·

donde G(0) = G y G(k) = (G(k−1))′.

Proposicion 8.4.9 Un grupo G es soluble si y solo si G(k) = {e} para algunk ≥ 0.

Demostracion. Supongamos que G es soluble, de manera que existe unaserie de composicion

{e} = Hn ≤ Hn−1 ≤ · · · ≤ H1 ≤ H0 = G

en la que cada factor Hi−1/Hi es abeliano. G(i) es un subgrupo de Hi parai = 0, y para i = 1 por la proposicion 8.4.7. Si G(i−1) ≤ Hi−1, entonces,G(i) ≤ (Hi−1)′. Como Hi−1/Hi es abeliano, la proposicion 8.4.7 asegura que(Hi−1)′ ≤ Hi, y, por tanto, G(i) ≤ (Hi−1)′ ≤ Hi. Como Hn = {e}, se tiene,finalmente, G(n) = {e}.

Recıprocamente, si G(k) = {e} para algun k ≥ 0, entonces

{e} = G(k) ≤ G(k−1) ≤ · · · ≤ G(1) ≤ G(0) = G

es una serie de composicion con factores abelianos, segun la proposicion 8.4.7.� Q.E.D.

Capıtulo 9

Grupos abelianos finitos

9.1. Factorizacion de elementos de gruposabelianos finitos

Proposicion 9.1.1 Sea G un grupo, y x ∈ G un elemento de orden mncon (m,n) = 1. El elemento x puede escribirse de manera unica como elproducto de dos elementos y, z que conmutan entre sı, con ordenes n y m,respectivamente. Ademas, y, z son potencias de x.

Demostracion. Utilizando la propiedad lineal del maximo comun divisor,existen enteros u, v tales que 1 = um+ vn. Entonces, x = xum+vn = xumxvn.Tomando y = xum, z = xvn se tiene que y, z son potencias de x, y, por tanto,conmutan entre sı.

Sean n′ = ord(y), m′ = ord(z). Dado que yn = xumn = e, zm = xvmn = e,se tiene que n′|n, m′|m. Por otro lado,

xn′m′= (yz)n′m′

= yn′m′zn′m′

= e

implica que mn|m′n′, de donde n = n′,m = m′.Supongamos ahora que existen dos elementos y1, z1 que cumplen tambien

los requerimientos del enunciado. Entonces, es claro que y1, z1 conmutan conx, pues

xy1 = y1z1y1 = y1x

xz1 = z1y1z1 = z1x

Por tanto, y1, z1 conmutan con y, z, puesto que estos ultimos son potencias dex.

Por otro lado, yz = x = y1z1 implica w = y−11 y = z1z

−1. Entonces,

wn = (y−11 )nyn = e

wm = xm1 (z−1)m = e

61

62 Grupos abelianos finitos

Como (m,n) = 1, se debe tener, necesariamente, w = e, de donde y = y1 yz = z1. � Q.E.D.

Corolario 9.1.2 Para cada elemento x ∈ G de orden pn11 pn2

2 . . . pnkk , donde

los pj son numeros primos distintos, existe una unica factorizacion

x = x1x2 . . . xk

de modo que xixj = xjxi para todos i, j ∈ {1, 2, . . . , k} y cada xi es unapotencia de x de orden pni

i .

Demostracion. Basta aplicar repetidas veces la proposicion anterior. �Q.E.D.

Proposicion 9.1.3 Todo grupo abeliano finito es isomorfo al producto directode todos sus p-subgrupos de Sylow.

Demostracion. Sea G un grupo abeliano con |G| = n = pn11 pn2

2 . . . pnkk .

Puesto que G es abeliano, aplicando la proposicion 4.2.3 y el teorema deSylow, deducimos que, para cada pi, existe un unico pi-subgrupo de Sylow, alque denotaremos Spi , que, ademas, es normal en G.

Ademas, sig ∈ Spj ∩ (

∏i6=j

Spi)

se tiene ord(g) = pmj

j con 0 ≤ mj ≤ nj . Por otro lado, utilizando el corolario9.1.2, podemos escribir g =

∏i6=j yi con yi ∈ Spi , de modo que

ord(g) = [ord(yi)]i6=j =∏i6=j

pmii

Se sigue entonces que g = e.Del corolario 9.1.2 se deduce que G = Sp1Sp2 . . . Spk

. Finalmente, aplicandola proposicion 7.1.4 se obtiene el enunciado. � Q.E.D.

9.2. Clasificacion de los grupos abelianos finitos

Definicion 9.2.1 Dado un grupo abeliano G, se dice que {a1, a2, . . . , ar} esun sistema de generadores de G si todo elemento x ∈ G puede escribirse enla forma

x = n1a1 + n2a2 + · · ·+ nrar

con nj ∈ Z.Si la expresion anterior es unica, se dice que {a1, a2, . . . , ar} es una base

de G.

Proposicion 9.2.2 Sea G un grupo abeliano, y {a1, a2, . . . , ar} un sistemade generadores de G. Son equivalentes:

9.2. Clasificacion de los grupos abelianos finitos 63

1. {a1, a2, . . . , ar} es una base de G.

2. Si existen n1, n2, . . . , nr ∈ Z tales que

n1a1 + n2a2 + · · ·+ nrar = 0

se debe tener njaj = 0 para todo j = 1, 2, . . . , r.

Demostracion.(1 ⇒ 2) Supongamos que {a1, a2, . . . , ar} es una base de G. Entonces,

n1a1 + n2a2 + · · ·+ nrar = 0 = 0a1 + 0a2 + · · ·+ 0ar

y, de la unicidad de la representacion, se deduce que njaj = 0 para todoj = 1, 2, . . . , r.

(2 ⇒ 1) Recıprocamente, supongamos que x ∈ G posee dos descomposi-ciones

n1a1 + n2a2 + · · ·+ nrar = x = n′1a1 + n′2a2 + · · ·+ n′rar

Se tiene entonces

(n1 − n′1)a1 + (n1 − n′2)a2 + · · ·+ (n1 − n′3)ar = 0

y la hipotesis asegura que (nj −n′j)aj = 0 para todo j = 1, 2, . . . , r. �Q.E.D.

Proposicion 9.2.3 Sea {a1, a2, . . . , ar} una base de un grupo abeliano finitoG. Entonces,

G ∼=r⊕

i=1

〈ai〉

Demostracion. Como G es abeliano, cada 〈aj〉 es normal en G. Puesto que{a1, a2, . . . , ar} es un sistema de generadores de G, G = 〈a1〉+〈ar〉+ · · ·+〈ar〉.Finalmente, si

x ∈ 〈aj〉 ∩ (∏i6=j

〈ai〉)

se tiene quex = njaj =

∑i6=j

niai

y, de la proposicion anterior, se tiene x = 0. El resultado se deduce entoncesde la proposicion 7.1.4. � Q.E.D.

Teorema 9.2.4 (Teorema de estructura de los grupos abelianos finitos)Todo grupo abeliano finito es isomorfo a una suma directa de grupos cıclicosde ordenes potencias de primos.


Demostracion. Por las proposiciones 9.1.3 y 9.2.3, basta demostrar quecualquier p-subgrupo de Sylow tiene una base. Ası pues, sea G un p-grupo.

Elegimos a1 ∈ G de orden maximo pm1 . Si G1 = 〈a1〉 = G, entonces {a1}es una base de G.

Supongamos entonces que G1 ( G. Supongamos que tenemos k elementosa1, a2, . . . , ak de ordenes pm1 , pm2 , . . . , pmk

tales que

1. m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk y todo elemento de G que no pertenezca a Gk =〈a1〉 ⊕ 〈a2〉 ⊕ · · · ⊕ 〈ak〉 tiene orden pt con t ≤ mk, y

2. {a1, a2, . . . , ak} es una base de Gk.

Si Gk ( G, tomamos b ∈ G\Gk de orden pt. Sea r el menor entero positivotal que rb ∈ Gk (existe, pues ptb = 0 ∈ Gk). Utilizando el algoritmo deEuclides, podemos escribir

pt = cr + r′ con 0 ≤ r′ < r

Por tanto, r′b = ptb− crb ∈ Gk, por lo que r′ = 0. Por tanto, r|pt. Pongamos,entonces, r = pmk+1 , y puesto que t ≥ mk+1 se tiene

m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk ≥ mk+1

Puesto que rb ∈ Gk, se tiene

rb =k∑

i=1

niai

Multiplicando esta igualdad por pt

r = pt−mk+1 ,

ptb = 0 =k∑

i=1

nipt

rai

Utilizando (2), se sigue que nipt

r ai = 0, y, por tanto, nipt

r es un multiplo depmi . Ası,

nipt

r= n′ip

mi , n′i ∈ N, i = 1, 2, . . . , k

Entonces, ni = r(n′ipmi−t) = rn′′i , donde n′′i ∈ N.

Definimos

ak+1 = b−k∑

i=1

n′′i ai

Se tiene que rak+1 = rb −∑k

i=1 rn′′i ai = rb −

∑ki=1 niai = 0, y, por tanto,

ord(ak+1)|r. Por otro lado, sak+1 = 0 implica sb ∈ Gk, de donde r ≤ s por ladefinicion de r. Ası, ord(ak+1) = r = pmk+1 .

9.2. Clasificacion de los grupos abelianos finitos 65

Si

0 =k+1∑i=1

ciai

entonces ck+1ak+1 ∈ Gk, de donde, por la definicion de ak+1, se tiene queck+1b ∈ Gk.

Dividiendo ck+1 entre r, se tiene ck+1 = cr+ r′′ con 0 ≤ r′′ < r. Debe ser,entonces, r′′ = 0, ya que r′′b = ck+1b− crb ∈ Gk. Por ello, ck+1 es un multiplode r = pmk+1 , y, por tanto,

ck+1 = pmk+1c′k+1

Por tanto, ck+1ak+1 = 0, lo cual, unido a (2), implica que {a1, a2, . . . , ak, ak+1}es una base de Gk+1. � Q.E.D.

Proposicion 9.2.5 Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a una sumadirecta de la forma

G ∼= Zpn11⊕ Zp

n22⊕ · · · ⊕ Zpnr

r

Esta descomposicion es unica, salvo por el orden.

Demostracion. La existencia es consecuencia directa del teorema de estruc-tura, pues todo grupo cıclico finito de orden k es isomorfo a (Zk,+).

Puesto que, para cada primo p que divide a G, existe un unico p-subgrupode Sylow, basta demostrar la unicidad para estos, i.e., basta hacerlo parap-grupos.

Sea, por tanto, G un p-grupo abeliano finito, de orden pt. Supongamos queG posee dos descomposiciones

G ∼= A1 ⊕A2 ⊕ · · · ⊕Ar

G ∼= B1 ⊕B2 ⊕ · · · ⊕Bs

donde Ai = (Zpei ,+) y Bj = (Zpfj ,+), y

e1 ≥ e2 ≥ . . . ≥ er

f1 ≥ f2 ≥ . . . ≥ fs

Para t = 1, el enunciado de la proposicion se cumple trivialmente. Supon-gamos que tambien es cierto para todo p-grupo de orden pk con k < t.

Sea pG = {py : y ∈ G} ≤ G (no es una clase por la izquierda). SipG = {e}, todo elemento de G (excepto el neutro e) es de orden p, y, portanto, ei = fj = 1 para todos i = 1, 2, . . . , r y j = 1, 2, . . . , s, de dondept = |G| = pr = ps.

Si pG 6= {e}, veamos que podemos escribir

pG ∼= 〈pa1〉 ⊕ 〈pa2〉 ⊕ · · · ⊕ 〈par〉pG ∼= 〈pb1〉 ⊕ 〈pb2〉 ⊕ · · · ⊕ 〈pbs〉


donde 〈ai〉 = Ai y 〈bj〉 = Bj .Si px ∈ pG, x ∈ G, y, por tanto,

x =r∑

i=1

niai =⇒ px =r∑

i=1

nipai

Supongamos que px = 0. Entonces,∑r

i=1 nipai = 0, y, puesto que {ai}ri=1

es una base de G, se debe tener nipai = 0 para cada i = 1, 2, . . . , r. Ası,{pai}r

i=1 es una base de pG, y, aplicando la proposicion 9.2.3 se obtiene elprimer isomorfismo.

El segundo se demuestra de forma analoga.Finalmente,

|pG| = pe1−1pe2−1 . . . per−1 = pt−r

|pG| = pf1−1pf2−1 . . . pfs−1 = pt−s

de donde r = s y ei = fi para cada i = 1, 2, . . . , r. � Q.E.D.

Definicion 9.2.6 Sea G un grupo abeliano finito

G ∼= Zpn11⊕ Zp

n22⊕ · · · ⊕ Zpnr

r

Los numeros (pn11 , pn2

2 , . . . , pnrr ) se llaman divisores elementales del grupo G.

Corolario 9.2.7 Dos grupos abelianos finitos con divisores elementales dis-tintos no son isomorfos.

Demostracion. El enunciado es una reformulacion de la proposicion 9.2.5en terminos de la definicion anterior. � Q.E.D.

Corolario 9.2.8 Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a una suma directade la forma

G ∼= Zm1 ⊕ Zm2 ⊕ · · · ⊕ Zmt

donde m1 ≥ 2 y mi divide a cada mj con j ≥ i.

Demostracion. Con todos los divisores elementales de G, construimos lamatriz

pn111 pn12

2 · · · pn1rr

pn211 pn22

2 · · · pn2rr

......

. . ....

pnt11 pnt2

2 · · · pntrr

en la cual nij ≤ ni+1,j .

Entonces, definimos mi = pni11 pni2

2 . . . pnirr . Es claro que mi divide a cada

mj con j ≥ i. Ademas, por la proposicion 7.1.6,

Zmi∼= Zp

ni11

⊕ Zpni22

⊕ · · · ⊕ Zpnirr

Ası, el enunciado se sigue trivialmente de la proposicion 9.2.5. � Q.E.D.

9.3. Cuerpos finitos 67

Definicion 9.2.9 Sea G un grupo abeliano finito

G ∼= Zm1 ⊕ Zm2 ⊕ · · · ⊕ Zmt

donde m1 ≥ 2 y mi divide a cada mj con j ≥ i. Los numeros mi reciben elnombre de coeficientes de torsion o invariantes de G.

Corolario 9.2.10 Dos grupos abelianos finitos con coeficientes de torsion dis-tintos no son isomorfos.

Demostracion. De nuevo, este enunciado es una reformulacion del corolario9.2.8 en terminos de la definicion anterior. � Q.E.D.

Corolario 9.2.11 Sea G un grupo abeliano finito de orden n. Para cada di-visor d de n existe un elemento de orden d.

Demostracion. Por el corolario 9.1.2, si d =∏n

i=1 pnii , el elemento x tiene

una factorizacion unica x =∏n

i=1 xi, donde cada xi es de orden pnii - Estos

ultimos existen por el corolario 8.3.5. � Q.E.D.

9.3. Cuerpos finitos

Definicion 9.3.1 Un cuerpo (F,+, ·) es un conjunto no vacıo F , dotado condos operaciones, suma (+) y multiplicacion (·), tales que

(F,+) y (F× = F\{0}, ·) son grupos abelianos, y

∀x, y, z ∈ F, x · (y + z) = x · y + x · z (propiedad distributiva).

Los elementos neutros con respecto a la suma y a la multiplicacion sedenotan 0 y 1, respectivamente. El inverso aditivo de un elemento x ∈ F sedenota −x, y su inverso multiplicativo, x−1.

Definicion 9.3.2 Se llama caracterıstica de un cuerpo (F,+, ·) al orden adi-tivo del elemento neutro de la multiplicacion.

Proposicion 9.3.3 La caracterıstica de un cuerpo (F,+, ·) es cero o un nume-ro primo.

Demostracion. Sea F un cuerpo de caracterıstica positiva k, y supongamosque d1 y d2 son divisores propios de k. Entonces

0 = k1 = d1d21 = (d11)(d21)

Puesto que no existen en F divisores de cero, alguno de los dos factores debeser cero, en contra de la definicion de k. � Q.E.D.


Proposicion 9.3.4 Sea F un cuerpo finito de caracterıstica p. Entonces, exis-te n ∈ N tal que

(F,+) ∼=n⊕

i=1

Zp

Demostracion. Para todo x ∈ F , utilizando la definicion de caracterıstica,

px = p(1x) = (p1)x = 0

de donde todo elemento de F tiene orden p. Basta, entonces, aplicar la pro-posicion 9.2.5. � Q.E.D.

Proposicion 9.3.5 El grupo multiplicativo de todo cuerpo finito es cıclico.

Demostracion. Aplicando el corolario 9.2.8,

F× ∼= Zm1 ⊕ Zm2 ⊕ · · · ⊕ Zmr

donde mi|mj para todo j ≥ i. Por tanto, para cada x ∈ F se tiene ord(x)|mr

y xmr = 1. Sin embargo, el polinomio xmr − 1 tiene, como maximo, mr solu-ciones. Se sigue, entonces, que |F×| = mr, luego F× es cıclico. � Q.E.D.

9.4. Grupos abelianos de orden bajo

Para elaborar la siguiente tabla se han utilizado las proposiciones 7.1.6 y9.2.5 y los corolarios 3.3.2 y 9.2.7.

n Grupos abelianos de orden n2 Z2

3 Z3

4 Z4, Z2 × Z2

5 Z5

6 Z6∼= Z2 × Z3

7 Z7

8 Z8, Z4 × Z2, Z2 × Z2 × Z2

9 Z9, Z3 × Z3

10 Z10∼= Z2 × Z5

11 Z11

12 Z4 × Z3, Z2 × Z2 × Z3

13 Z13

14 Z14∼= Z2 × Z7

15 Z15∼= Z3 × Z5

16 Z16, Z8 × Z2, Z4 × Z2 × Z2, Z2 × Z2 × Z2 × Z2

Capıtulo 10

Clasificacion de grupos deorden menor que 16

10.1. Primeros grupos clasificados

A partir de lo demostrado en los capıtulos anteriores, podemos clasificarya los siguientes grupos.

Grupos de orden primo. Por el corolario 3.3.2, los grupos de orden primoson cıclicos simples, y, por tanto, abelianos.

Son de este tipo los grupos de orden 2, 3, 5, 7, 11 y 13.

Grupos de orden p2. Segun la proposicion 8.1.3, todo grupo de orden elcuadrado de un primo p es abeliano. Ası pues, el corolario 9.2.7 aseguraque todo grupo de orden p2 es isomorfo a Zp2 o a Zp × Zp.

En esta clase se encuadran los grupos de orden 4 y 9.

10.2. Grupos de orden pq

Proposicion 10.2.1 Sean p y q primos con p > q, y G un grupo de ordenpq. Entonces,

Si p 6≡ 1 (mod q), entonces G ∼= Zpq.

Si p ≡ 1 (mod q) y G es abeliano, entonces G ∼= Zpq.

Si p ≡ 1 (mod q) y G no es abeliano, entonces G ∼= Zp oκ Zq.

Demostracion. Sean np, nq el numero de p-subgrupos y q-subgrupos deSylow, respectivamente. Por el teorema de Sylow, np ≡ 1 (mod p) y np|q.Como p > q, esto implica np = 1. Entonces, si P es el unico p-subgrupo deSylow de G, se tiene P �G.

69

70 Clasificacion de grupos de orden menor que 16

Sea Q un p-subgrupo de Sylow de G. Como tambien nq ≡ 1 (mod q) ynq|p, el subgrupo Q puede tener o bien un unico conjugado (el mismo), o bienp conjugados.

El primer caso se da si p 6≡ 1 (mod q), o si p ≡ 1 (mod q) y G esabeliano. Entonces, Q�G. Puesto que, por el teorema de Lagrange, P ∩Q ={e}, la proposicion 2.3.3 asegura que PQ = G. Aplicando la proposicion 7.1.3,G ∼= P × Q. Pero P ∼= Zp y Q ∼= Zq, por ser P y Q grupos de orden primo.Finalmente, basta observar que Zp × Zq

∼= Zpq por la proposicion 7.1.6.Si p ≡ 1 (mod q) y G no es abeliano, G tiene p q-subgrupos de Sylow.

Como, por el teorema de Lagrange, P ∩Q = {e}, de nuevo la proposicion 2.3.3asegura que PQ = G. Entonces, por la proposicion 7.2.3, G ∼= P oκ Q, dondeκ : N −→ AutM viene dada por κn(m) = nmn−1. Finalmente, basta observarque P ∼= Zp y Q ∼= Zq. � Q.E.D.

Esta proposicion nos permite clasificar los grupos de orden 6 = 3×2, 10 =5× 2, 14 = 7× 2 y 15 = 5× 3.

Grupos de orden 2p. Si q = 2 y p es un primo impar, se tiene que p ≡1 (mod q). Aplicando la proposicion anterior, se tiene que todo grupoabeliano de orden 2p es isomorfo a Z2p.

El grupo diedrico de orden 2p, D2p, es no abeliano. Puesto que la propo-sicion anterior asegura que existe una unica clase de isomorfıa de gruposno abelianos de orden 2p, llegamos a la conclusion de que todo grupo noabeliano de orden 2p es isomorfo a D2p

∼= Zp oκ Z2.

Quedan ası clasificados los grupos de orden 6, 10 y 14.

Notese que S3 es un grupo no abeliano de orden 6, por lo que S3∼= D6.

Grupos de orden 15. Si p = 5 y q = 3, se tiene que p 6≡ 1 (mod q), dedonde todo grupo de orden 15 debe ser cıclico, y, por tanto, abeliano.

10.3. Grupos de orden 8

Segun los resultados del capıtulo anterior, existen tres clases de isomorfıade grupos abelianos de orden 8, a saber:

Z8, Z4 × Z2, Z2 × Z2 × Z2

Investiguemos ahora los grupos no abelianos de orden 8.

Proposicion 10.3.1 Sea G un grupo no abeliano de orden p3 con p primo.Entonces, |Z(G)| = p y G/Z(G) ∼= Zp × Zp

10.3. Grupos de orden 8 71

Demostracion. Por la proposicion 8.1.2, Z(G) es no trivial. Por el teoremade Lagrange, debe ser, entonces, |Z(G)| = p o |Z(G)| = p2. Pero |Z(G)| = p2

implicarıa que Int G ∼= G/Z(G) es cıclico, y, por el corolario 5.3.2, G serıaabeliano. Por tanto, |Z(G)| = p.

Entonces, |G/Z(G)| = p2. Si G/Z(G) ∼= Zp2 , el corolario 5.3.2 implicarıade nuevo la conmutatividad de G, por lo que G/Z(G) ∼= Zp × Zp. � Q.E.D.

Proposicion 10.3.2 Sea G un grupo no abeliano de orden 8. Entonces, existeen G algun elemento de orden 4.

Demostracion. En efecto, sea H = 〈g, h〉 con g, h ∈ G elementos de orden2. Entonces,

H = {e, g, h, gh, hg}

Entonces, el teorema de Lagrange implica que gh = hg. � Q.E.D.

Sea G un grupo no abeliano de orden 8, de modo que Z(G) = {e, z}.Supongamos que z es el unico elemento de orden 2 en G. Por el corolario8.3.5, podemos escoger un elemento y ∈ G de orden 4 tal que Q = 〈y〉 � G.Entonces, G/Q = 〈xQ〉, y como x no puede ser un elemento de orden 2, setiene que x2 = z. Ademas, tambien y2 = z. Por tanto,

G = {e, z, x, x3, y, y3}

Ademas, xyx−1 ∈ Q = {e, z, y, y3}. Pero

Si xyx−1 = e se tendrıa y = e.

Si xyx−1 = z se tendrıa y = z.

Si xyx−1 = y se tendrıa xy = yx, de donde G serıa abeliano.

Por tanto, xyx−1 = y3, de donde xy = y3x. Por tanto, encontramos la presen-tacion

〈x, y : x4 = e, x2 = y2, xy = y3x〉

Este grupo recibe el nombre de grupo cuaternionico, y se denota Q8. Suselementos suelen denotarse 1,−1, i,−i, j,−j, k,−k, cumpliendo las siguientesrelaciones:

i2 = j2 = k2 = −1ij = k jk = i ki = j

ji = −k kj = −i ik = −j


Sea, de nuevo, G un grupo no abeliano de orden 8, de modo que Z(G) ={e, z}. Supongamos ahora que existe en G un elemento x de orden 2 distintode z. Si y es un elemento de orden 4, entonces

G = {e, y, y2, y3, x, xy, xy2, xy3}

Puesto que yx ∈ G, la unica posibilidad que no lleva a contradiccion con lashipotesis es yx = xy3. Por tanto, este grupo es isomorfo a D8.

10.4. Grupos de orden 12

Proposicion 10.4.1 Sea G un grupo de orden 12. Entonces, G tiene un sub-grupo de Sylow normal.

Demostracion. Por el teorema de Sylow, el numero de 3-subgrupos deSylow de G debe ser uno o cuatro.

Supongamos que G posee cuatro 3-subgrupos de Sylow, P1, P2, P3, P4. Ca-da interseccion Pi ∩ Pj con i 6= j debe ser un subgrupo propio de Pi. ComoPi

∼= Z3, es necesario que Pi ∩ Pj = {e}. Por tanto, G contiene el neutro,y ocho elementos de orden 3, incluidos en sus 3-subgrupos de Sylow. Que-dan, por tanto, tres elementos de orden 2, por lo cual solo puede existir un2-subgrupo de Sylow. � Q.E.D.

Sea G un grupo de orden 12, V un 2-subgrupo de Sylow y T un 3-subgrupode Sylow. Segun resultados anteriores, se tiene T ∼= Z3, y V ∼= Z4 o V ∼=Z2 ×Z2. Ademas, por la proposicion anterior, uno de los dos debe ser normalen G.

Analicemos los distintos casos.

1. V �G, T �G, V ∼= Z4:Por la proposicion 7.1.3, G ∼= Z4 × Z3

∼= Z12.

2. V �G, T �G, V ∼= Z2 × Z2:Por la proposicion 7.1.3, G ∼= Z2 × Z2 × Z3.

3. V �G, T ≤ G, V ∼= Z4:Por la proposicion 7.2.3, G ∼= Z4 oκ Z3. Sin embargo κ : Z3 −→ AutZ4

∼=Z2 solo puede ser el homomorfismo trivial, por lo cual Z4oκZ3 = Z4×Z3.En este caso, tambien T �G, repitiendo el primer caso.

4. V �G, T ≤ G, V ∼= Z2 × Z2:Por la proposicion 7.2.3, G ∼= (Z2×Z2) oκ Z3. Si κ : Z3 −→ Aut Z2×Z2

10.4. Grupos de orden 12 73

esta definida segun

κ0(01) = 01 κ0(10) = 10 κ0(11) = 11κ1(01) = 10 κ1(10) = 11 κ1(11) = 01κ2(01) = 11 κ2(10) = 01 κ2(11) = 10

y denotamos a = (01, 0), b = (10, 0), c = (00, 1), este grupo admite lapresentacion

〈a, b, c : a2 = b2 = c3 = e, ab = ba, cac−1 = a, cbc−1 = ab〉

El homomorfismo que aplica

a 7−→ (12)(34)b 7−→ (14)(23)c 7−→ (123)

establece un isomorfismo de este grupo con el cuarto grupo alternado,A4.

5. V ≤ G, T �G, V ∼= Z4:Por la proposicion 7.2.3, G ∼= Z3 oκ Z4, donde el homomorfismo κ :Z4 −→ Aut Z3 viene dado por

κ0(1) = κ2(1) = 1κ1(1) = κ3(1) = 2

Tomando a = (1, 2), b = (1, 1), concluimos que este grupo admite lapresentacion

〈a, b : a6 = e, a3 = b2, bab−1 = a−1〉

Suele denominarse grupo cuaternionico generalizado de orden 12, Q12.

6. V ≤ G, T �G, V ∼= Z2 × Z2:Por la proposicion 7.2.3, G ∼= Z3 oκ (Z2×Z2). Si κ : Z2×Z2 −→ Aut Z3

viene dado por

κ00(1) = κ11(1) = 1κ01(1) = κ10(1) = 2

la eleccion a = (1, (1, 1)), b = (1, (1, 0)) nos lleva a la presentacion

〈a, b : a6 = b2 = e, ab = ba−1〉

es decir, al grupo D12 de simetrıas de un hexagono regular.


10.5. Resumen

La siguiente tabla muestra las distintas clases de isomorfıa de grupos deorden menor que 16, resumiendo los resultados de este capıtulo, ası como losdel anterior.

n Grupos abelianos de orden n Grupos no abelianos de orden n2 Z2 -3 Z3 -4 Z4, Z2 × Z2 -5 Z5 -6 Z6

∼= Z2 × Z3 D6∼= S3

7 Z7 -8 Z8, Z4 × Z2, Z2 × Z2 × Z2 D8, Q8

9 Z9, Z3 × Z3 -10 Z10

∼= Z2 × Z5 D10

11 Z11 -12 Z4 × Z3, Z2 × Z2 × Z3 D12, Q12, A4

13 Z13 -14 Z14

∼= Z2 × Z7 D14

15 Z15∼= Z3 × Z5 -

Bibliografıa

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[2] Jose Dorronsoro, Eugenio Hernandez. Numeros, grupos y anillos.Addison-Wesley / Universidad Autonoma de Madrid, Salamanca, 1996,ISBN 0-201-65395-8, ISBN 84-7829-009-5.

[3] John F. Humphreys. A Course in Group Theory. Oxford Science Publica-tions, Oxford University Press Inc., New York, 1996, ISBN 0-19-853459-0.

[4] Serge Lang. Algebra. Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading,Massachusetts, 3rd edition, 1993, ISBN 0-201-55540-9.

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