Teorema de Thales

Macarena FicaEstudiante en práctica de Pedagogía en Matemática

Considera el ΔABC, y un segmento de recta, paralelo a AB, tal que interseca a los lados del triángulo en los puntos D y E.

¿Se cumple que ∢ CDE y ∢ CAB tienen igual medida?, ¿porqué?

¿Hay otros pares de ángulos que tengan igual medida en la figura?, ¿cuáles?

¿ΔABC y ΔDEC son congruentes?, ¿son semejantes?

¿AC, DC, BC y EC son proporcionales?, ¿por qué?

Observa que DE // AB, y CA es transversal a ellos, entonces:∢CAB = ∢CDE, son ángulos correspondientes entre paralelas.∢ACB = ∢DCE, por construcción, son el mismo ángulo.ΔABC ~ ΔDEC, por el criterio AA de semejanza.Luego, los segmentos AC, DC, BC y EC son proporcionales.

*Rectas paralelas: rectas que no se interceptan

Teorema de Thales

Toda recta paralela a un lado de un triángulo y que corte a los otros dos lados

divide a estos últimos en segmentos proporcionales.

¿si un segmento DE corta a los lados AC y BC en segmentos proporcionales, se cumple que DE // AB?

En el ΔABC, sea DE el segmento que cumple la hipótesis, esto es, tal que sobre los lados AC y BC se cumple la proporción . Entonces:

∢ ACB = ∢ DCE, ya que, por construcción, ΔABC y ΔDEC tienen en común el ángulo con vértice en el punto C. , por hipótesis y componiendo

ΔABC ~ ΔDEC, por el criterio LAL de semejanza.

Como consecuencia de la semejanza, los ángulos correspondientes restantes de cada triángulo son iguales. Dicho de otra forma, ∢ CDE = ∢ CAB y

∢ DEC = ∢ ABC. Por lo tanto, los segmentos DE y AB son paralelos.

* * Hipótesis: suposición o condición a partir de la cual se pretende establecer una consecuencia.

Recíproco del teorema de Thales

Si una recta divide dos lados de un triángulo en una misma proporción, la recta es paralela al tercer lado del triángulo.

A practicar!!!

A partir de la conclusiones anteriores, considera ahora la siguiente figura, con AB // DE:

¿Se cumple que ∢ CDE y ∢ CAB tienen igual medida?, ¿por qué?

¿Hay otros pares de ángulos que tengan igual medida en la figura?, ¿cuáles?

¿ΔABC y ΔDEC son semejantes?

¿AC, DC, BC y EC son proporcionales?, ¿por qué?

∢ ACB y ∢ DCE tienen la misma medida, ya que son ángulos opuestos por el vértice. Por otra parte, ∢ CAB y ∢ CDE tienen la misma medida, ya que son ángulos alternos internos entre paralelas. Entonces, por criterio AA.

ΔABC ~ ΔDEC, y los segmentos AC y DC, BC y EC son proporcionales.

Pero no se cumple solo en un triángulo con una paralela, sino que, en general, si existen rectas paralelas cortadas por transversales, siempre se obtienen segmentos proporcionales.

Teorema general de Thales

Si tres o más rectas paralelas cortan a dos o más secantes, entonces los segmentos que se determinan en las secantes son proporcionales.

En resumen en un triángulo…• Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento

paralelo B´C´, a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo A´B´C´ cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC

A

B´ C´

BB

Desafío!!

Teorema de Thales

Macarena FicaEstudiante en práctica de Pedagogía en Matemática