Il Teorema Di Bernoulli

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Descrizione del teorema di Bernoulli ed esempi di applicazione.

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  • 1

    IL TEOREMA DI BERNOULLI DEDUZIONE DALLEQUAZIONE INDEFINITA

    Proiettando sulla tangente alla traiettoria lequazione indefinita dellidrodinamica per fluidi perfetti, incomprimibili in campo gravitazionale [ (

    F

    A)= grad(p)] si ottiene lequazione,

    (1)

    s

    z+ p

    #

    $%

    &

    '( = 1

    gDV

    s

    Dt

    Chiamando Vs semplicemente V e ricordando che lequazione vale solo per il moto isotermico di un fluido perfetto, incomprimibile, omogeneo e pesante, sviluppiamo la componente dellaccelerazione sostanziale lungo la tangente alla traiettoria secondo la regola di derivazione euleriana:

    2

    2V V VDV VV

    Dt t s t s = + = +

    possiamo quindi scrivere:

    s

    z+ p

    #

    $%

    &

    '( = 1

    gVt

    + s

    V2

    2

    #

    $%

    &

    '(

    oppure:

    s

    z+ p+ V

    2

    2g

    #

    $%

    &

    '( = 1

    gVt

    Nel caso particolare di moto permanente la derivata locale V/t si annulla e lespressione (1) diventa:

    (2)

    s

    z+ p+ V

    2

    2g

    #

    $%

    &

    '( = 0

    integrando lungo la traiettoria si ottiene immediatamente:

    (3) z+ p

    + V

    2

    2g= costante

    Gli addendi del trinomio a primo membro della (3) hanno tutti le dimensioni di lunghezze. La

    somma dei primi due la nota quota piezometrica, il terzo addendo si denomina altezza cinetica. La equazione (3) esprime l'enunciato del Teorema di Bernoulli: nel moto permanente di un

    fluido perfetto, pesante e avente = cost (cio omogeneo, incomprimibile e in condizioni isoterme), la somma della quota piezometrica e dellaltezza cinetica costante lungo ciascuna traiettoria. Tale somma prende il nome di carico totale:

    (4) H = z+ p

    + V

    2

    2g

    La raffigurazione geometrica di questo enunciato si ottiene riportando uno dopo laltro sulla

    verticale condotta per ciascun punto della traiettoria, i tre segmenti: la quota geometrica o geodetica z contata a partire da un prefissato piano orizzontale di riferimento, laltezza piezometrica p/ e laltezza cinetica V2/2g come mostrato in Fig. 1.

  • 2

    Landamento del moto lungo la traiettoria viene cos rappresentato da tre linee:

    la traiettoria, luogo dei punti di quota z ;

    la linea piezometrica, luogo dei punti di pressione nulla e quota (z+p/) ;

    la linea dei carichi totali, luogo dei punti di quota H.

    Dalla (3) risulta che la linea dei carichi totali sempre orizzontale, mentre la linea

    piezometrica pu alzarsi o abbassarsi lungo il percorso, disponendosi pi alta dove la velocit minore, pi bassa dove la velocit maggiore; laltezza piezometrica (e con essa la pressione) risulta minore dove la linea piezometrica si avvicina alla traiettoria, maggiore dove se ne allontana. Si noti che la costanza del carico totale H lungo la singola traiettoria non implica affatto che il suo valore sia lo stesso per tutte le traiettorie, anzi spesso vero il contrario

    Nel caso di corrente lineare la quota piezometrica la stessa per tutte le traiettorie che

    attraversano una stessa sezione, di conseguenza, la quota piezometrica unica per tutta la corrente; il carico totale sar invece unico, soltanto se la velocit di tutte le traiettorie che attraversano la sezione la medesima.

    La linea piezometrica di una corrente lineare di liquido perfetto che fluisce in una condotta

    si pu materializzare applicando dei piezometri in varie sezioni e collegandone idealmente i menischi come mostra la Fig. 2. Anche la linea dei carichi totali pu materializzarsi analogamente, ricorrendo alluso di particolari piezometri ricurvi, denominati Tubi di Pitot, inseriti in varie sezioni della corrente con lestremit immersa rivolta contro corrente: infatti la quota che raggiunge il liquido dentro un tubo di Pitot quella del carico totale nel punto di misurazione.

    z

    traiettoria

    piezometrica

    linea dei carichi totali

    z=0

    z

    H

    Q

    piezometrica

    l.c.t.

    Tubo di Pitot piezometro

    Fig. 1

    Fig. 2

  • 3

    INTERPRETAZIONE ENERGETICA. Lespressione

    z+ V

    2

    2g= cost

    descrive la caduta dei gravi nel vuoto, il termine z rappresenta la quota, ovvero, lenergia posizionale del peso unitario (energia potenziale) rispetto al piano orizzontale di riferimoento z=0, mentre il termine V2/2g rappresenta lenergia cinetica specifica (per unit di peso). Questa espressione pu essere letta come il principio di conservazione dellenergia meccanica. Anche il Teorema di Bernoulli pu essere letto come espressione del principio di conservazione dellenergia meccanica al moto di una particella fluida di peso unitario, a patto di attribuire un

    significato energetico anche al termine p

    .

    In effetti, facile constatare che laltezza piezometrica p

    pu essere assunta a misura di una

    forma di energia potenziale, che la particella di peso unitario possiede quando non isolata, bens sottoposta da parte delle particelle contigue alla pressione p. Nel caso dellidrostatica, (Fig.3)

    Fig. 3 a) Fig. 3 b)

    consideriamo la particella A di peso unitario avente quota z1 rispetto al piano orizzontale di quota z=0 e pertanto, energia posizionale z1. Se applichiamo alla parete del serbatoio un piezometro di fronte alla particella A, questa vi sinfila e risale fino alla posizione A dove risulta possedere lenergia di posizione z2=z1+h. La particella ha subito quindi, un incremento di energia posizionale

    h= p

    passando dalla posizione A alla A. Nella posizione A la particella si trova alla pressione p=h

    (esercitata contro di lei dalle particelle circostanti), mentre nella posizione A, si trova alla

    pressione atmosferica p=0; laumento di h metri pari allaltezza piezometrica p

    , dimostra che

    questa energia di pressione una forma di energia potenziale scambibile con quella posizionale.

    Si noti che tanto z quanto p

    sono forme di energia potenziale, perch dovute alla presenza

    di altri corpi: per z il corpo Terra, per p

    le particelle contigue.

    In conclusione si pu dire che lequazione indefinita dellidrostatica valida per un fluido con = costante nel campo gravitazionale, si pu leggere come il principio di conservazione dellenergia meccanica applicato alla particella di peso unitario in quiete. Nel caso del fluido in movimento va aggiunta anche lenergia cinetica, che per la particella di peso unitario (di massa

    1mg

    = ) , vale 2

    2Vg

    .

    A

    z2

    A

    z=0

    =h

    z1

  • 4

    QUALCHE APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI BERNOULLI Efflusso da una luce a battente.

    Sul fondo di un serbatoio si apre una luce in parete sottile, cio a spigolo vivo rivolto verso

    linterno del serbatoio. Supponiamo che il serbatoio sia alimentato con la stessa portata Q che effluisce dalla luce, sicch il livello liquido si mantiene invariato nel tempo e il moto permanente.

    Fig.4

    Tutte le traiettorie, salvo quella assiale, in corrispondenza del piano della luce sono curve e diventano rettilinee e parallele solo a partire da una sezione situata pi a valle, che prende il nome di sezione contratta. la prima sezione nella quale la pressione uguale in tutti punti a quella che si ha al contorno del getto, in particolare, se lefflusso avviene nellatmosfera, la pressione relativa nella sezione contratta nulla. Larea Ac della sezione contratta minore di quella A della luce, e si ottiene da questa moltiplicandola per un coefficiente cc < 1, detto coefficiente di contrazione.

    Applichiamo il Teorema di Bernoulli lungo una traiettoria come quella tratteggiata nella

    Fig.4 da un punto abbastanza lontano dalla luce perch lacqua vi si possa considerare in quiete, a un punto situato sulla sezione contratta. Nel punto siamo in condizioni idrostatiche, perci il carico totale H1 si riduce alla quota piezometrica del serbatoio, pari alla quota z0 del piano dei carichi idrostatici; nel punto la pressione nulla, e il carico totale H2 si riduce alla somma

    della quota zc e dellaltezza cinetica 2cV2g della sezione contratta. Poich il teorema di Bernoulli

    impone H1=H2, si ha, dunque:

    2c

    0 c

    vz z

    2g= +

    e quindi, chiamando h = z0 - zc il carico o battente sulla luce si ha:

    (3) cv 2gh= La velocit espressa dalla (3) che si verifica in tutti i punti della sezione contratta (il punto

    infatti un punto generico di tale sezione), nota come velocit Torricelliana. In pratica la velocit nella sezione contratta un po minore del valore Torricelliano, perch

    non essendo mai soddisfatta rigorosamente la condizione di fluido perfetto, lungo il percorso - si esercitano delle modeste resistenze che rallentano il moto: perci si introduce un coefficiente riduttivo cv < 1, detto coefficiente di velocit,

    Vc = cv 2gh

    La portata scaricata dalla luce dunque:

    zc

    z=0 Q

    Q

    c

    h

    z0

    z1

    1

    2

  • 5

    Q = AcVc = cccvA 2gh .

    Il prodotto =cccv chiamasi coefficiente di efflusso. Il coefficiente di efflusso pu essere assunto in pratica per le luci in parete sottile pari a 0,60.

    Un caso tipico di moto a pressione costante quello di un getto nellatmosfera; Allora laltezza piezometrica p/ costante lungo la traiettoria e quindi pu essere raccolta nella costante del secondo membro della (1) e questa equazione assume la forma

    2V

    z cost2g

    + =

    che coincide con lequazione del moto dei gravi nel vuoto. Pertanto la singola particella si muove nel campo gravitazionale come se fosse isolata, non scambiando energia con le particelle circostanti, e il suo moto governato dalle leggi della caduta libera dei gravi, in particolare, la traiettoria sempre contenuta in un piano verticale ed un arco di una parabola ad asse verticale concava verso il basso.

    Nel caso di un getto rivolto verticalmente verso il basso, come quello della Fig.5, che rappresenta il proseguimento della corrente dopo la sezione contratta, le traiettorie assumono la configurazione limite rettilinea.

    Fig.5

    Lungo il getto la velocit aumenta verso il basso, giacch se z2 < z1 , segue 2 2

    2 1V V>2g 2g . Tale aumento di velocit segue la legge del moto naturalmente accelerato, cio avviene con laccelerazione di gravit, g come se ciascuna particella cadesse liberamente isolata dalle circostanti.

    Come si veduto studiando la sezione contratta, tutte le traiettorie del getto hanno il medesimo carico totale H, perci dalleguaglianza della quota z in tutti i punti di una stessa sezione orizzontale segue che tutte le traiettorie attraversano tale sezione con la stessa velocit V che in questo caso anche il valore della velocit media sulla sezione. Allora, considerando l'equazione di continuit, essendo V2 > V1, si ha A2 < A1, vale a dire: il getto si restringe indefinitamente verso il basso. Va per detto che, via via che ci si allontana dalla sezione contratta, allaumento di velocit si accompagnano gli effetti della resistenza dellaria, circostanza che lo schema di liquido perfetto, ipotesi di base del Teorema di Bernoulli,non mette in conto, cosicch il getto assume un aspetto sempre pi irregolare e finisce col frangersi.

    Se il getto rivolto verticalmente verso lalto, come nella Fig.6, la velocit Vc nella sezione contratta si calcola applicando il Teorema di Bernoulli in modo analogo a quello del sopra e risulta ancora espressa dalla formula (3). Procedendo verso lalto, allaumentare della z la velocit diminuisce, e la sezione del getto si allarga: ne segue che in questo caso la sezione contratta la sezione di area minima fra tutte quelle del getto. Nellipotesi di liquido perfetto la velocit arriverebbe ad annullarsi per z = H, cio nella sezione del getto situata alla quota del piano dei carichi totali, in realt anche in questo caso si fa sentire la resistenza dellaria, per cui in pratica la quota raggiunta un po minore.

    z2 z=0

    z1

    h

    H

    Q

  • 6

    Fig.6

    Quando il getto esce da una luce in una parete non orizzontale, si pu ancora assumere, con ottima approssimazione, che la pressione sia costante su tutta la sezione contratta. Con questa semplificazione, il calcolo della velocit nella sezione contratta della singola traiettoria, fornisce valori crescenti dal punto pi alto al punto pi basso della sezione; tuttavia, se il diametro della sezione contratta abbastanza piccolo rispetto al carico, si pu con buona approssimazione assumere su tutta la sezione contratta un valore di velocit uniforme, pari a quello calcolato per la traiettoria passante per il baricentro della luce. In altre parole, si pu assumere come velocit media nella sezione la velocit della traiettoria assiale. A valle della sezione contratta si sviluppano poi le traiettorie paraboliche volute dalla legge di caduta libera dei gravi.

    Facendo riferimento alla traiettoria assiale, possiamo dire che larco di parabola che la rappresenta al tempo stesso anche la linea piezometrica, mentre la linea dei carichi totali una retta orizzontale alla quota del piano dei carichi idrostatici del serbatoio di alimentazione. In questottica immediato verificare che le sezioni trasversali dei getti variano con la quota secondo gli andamenti qualitativamente rappresentati nella Fig.7 allargandosi lungo i tronchi in salita e restringendosi lungo quelli in discesa.

    Fig.7 Di seguito si propongono alcuni esempi teorici dellapplicazione del T. di Bernoulli a brevi tratti di condotta allo scopo di illustrare landamento della linea piezometrica in diversi casi. Si ricordi che lipotesi di fluido perfetto non e in generale valida per le correnti in tubi. Efflusso da una breve condotta.

    Se studiamo una breve condotta cilindrica alimentata da un serbatoio a livello costante che

    sbocca nellatmosfera (Fig. 8), possiamo idealizzare la corrente e considerare che la linea dei carichi totali, essendo fissata dalla quota del pelo libero di alimentazione, sia comune a tutte le traiettorie; inoltre, essendo la corrente lineare, anche la piezometrica sar comune a tutte le traiettorie. Ne consegue che la velocit non solo costante lungo ciascuna traiettoria, ma altres eguale da una traiettoria allaltra.

    zc

    Z=0

    l.c.t

    H

    h

    Q

    H

    z=0

    z

    l.c.t

    Q

    piezometrica

    z=0

    z

    l.c.t piezometrica

    Q

  • 7

    Fig. 8 Trattando la corrente come ununica traiettoria, applichiamo il Teorema di Bernoulli fra un

    punto del serbatoio dove lacqua possa considerarsi in quiete e la sezione di sbocco dove p=0. Si ha:

    21 2

    1 2

    p Vz 0 z 0

    2g+ + = + +

    da cui:

    11 2

    pV 2g z z 2gh

    = + = .

    Quindi il valore V della velocit, risulta costante lungo tutta la condotta, pari a quello

    torricelliano relativo allaffondamento h del baricentro della sezione di sbocco sotto al pelo libero nel serbatoio. E conseguentemente anche la portata Q=VA determinata dalla quota della sezione di sbocco, mentre la posizione della sezione dimbocco della condotta dal serbatoio non ha alcuna influenza sulle caratteristiche del moto.

    Si noti ancora che allo sbocco nellatmosfera (sezione ), non si ha contrazione perch le traiettorie allinterno della tubazione sono gi avviate con andamento rettilineo verso luscita, sicch non devono subire cambiamenti di direzione fin dopo luscita.

    Tutte le considerazioni svolte a proposito della Fig.8 valgono anche nel caso che la

    condotta di sezione costante abbia lasse curvilineo, come nella Fig.9, purch con curvature abbastanza modeste per poter trattare la corrente come lineare e sufficientemente corta per potere ipotizzare liquido perfetto. Come prima, la piezometrica unica per tutte le traiettorie e coincide con lorizzontale passante per il baricentro della sezione di sbocco. Come mostra la Fig. 9, pu accadere che in qualche tronco la condotta sovrasti la piezometrica in un questo caso il tronco di condotta svrastato in depressione, cio la pressione assoluta della corrente vi minore della pressione atmosferica e quella relativa negativa. Va da s che la depressione in valore assoluto non pu essere maggiore della pressione atmosferica, cio che il massimo dislivello a fra la condotta e la linea piezometrica non pu superare il valore pa*/ (per lacqua al livello del mare 10.33 m), perch altrimenti si avrebbe p*< 0 e, non resistendo i liquidi a sforzi di trazione, la corrente sinterromperebbe e il flusso non potrebbe aver luogo.

    Quando la quota geometrica z costante lungo la traiettoria, il T eorema di Bernoulli equazione assume la forma

    che dimostra come la pressione aumenti nei tronchi di corrente ritardata e diminuisca in quelli di corrente accelerata como in Fig.10 dove si vede diminuire laltezza piezometrica p/ lungo il tronchetto conico convergente applicato allo sbocco della condotta orizzontale.

    + =

    2p Vcost.

    2g

    piezometrica

    l.c.t.

    traiettoria

    z1

    1p

    z2

    2Vh =2g

    H

    Q

  • 8

    Fig.9

    Fig.10

    In Fig.11 stato inserito nella condotta di Fig.10 un breve tronco a sezione variabile, in cui

    un convergente seguito da un breve tronco cilindrico di piccolo diametro (area della sezione 4) e subito dopo da un divergente che riporta il diametro al valore iniziale. Conseguentemente la piezometrica comprende tre segmenti orizzontali raccordati da due tratti curvilinei in corrispondenza del convergente e del divergente. Nella Fig.11b rappresentata la situazione in cui il restringimento cos marcato, da far discendere la piezometrica al disotto dellasse della condotta, cosicch un tratto va in depressione: in questa situazione, come gi detto sopra il moto pu aver luogo soltanto se labbassamento a della piezometrica al disotto del punto pi alto della

    condotta minore di *ap

    (per lacqua 10,33 m).

    Fig.11a

    l.c.t.

    c

    c piezometrica

    p=0

    p>0

    p

  • 9

    Fig.11b

    Tutte le considerazioni appoggiate fatte per le condotte di Fig10-11 non sono condizionate dallorizzontalit o dalla rettilineit dellasse e varrebbero inalterate anche se questo fosse inclinato e/o curvilineo come si mostra in Fig.12,

    Fig.12 Misurazione della portata..

    PIEZOMETRO E TUBO DI PITOT. Il principio di funzionamento considera una corrente uniforme rettilinea che investe un

    ostacolo costituito da un corpo con testa tondeggiante con l'asse di simmetria parallelo alla direzione del flusso.

    Fig. 13

    piezometrica

    l.c.t.

    h

    Q Ac

    H

    Z=0

    2

    1

    l.c.t.

    z1

    piezometrica

    z2

    Ac

    A4

    z2

    z2

    A2 a

  • 10

    Le traiettorie della corrente nelle vicinanze dellostacolo divergono (Fig.13), in particolare la traiettoria - presenta una zona di ristagno nel punto . Applicando il T. di Bernoulli fra i punti ,a monte dellostacolo dove si considera la corrente sia indisturbata e le traiettorie perfettamente rettilinee, ed il punto dove si verifica il ristagno e pertanto la velocit nulla (V2=0) , si ha:

    (5)

    21 1 2

    1 2

    p V pz z 0

    2g+

    + + = + +

    quindi:

    21 2 1

    2 1

    V p pz z

    2g = + +

    cio significa che nota la differenza piezometrica fra i due punti possibile determinare laltezza cinetica della corrente indisturbata. Questo attuabile inserendo un piezometro nella sezione e un tubo di pitot nel punto ovvero, collegando il naso dellostacolo a un piezometro mediante lapertura di un foro in in maniera che il menisco di questultimo piezometro materializzi la quota piezometrica in che corrisponde al carico totale della corrente. Il dislivello fra i due menischi indicato nella figura 14 corrisponde allaltezza cinetica della traiettoria a monte del dispositivo, che nel caso di flusso permanente, si puo in molti casi approssimare al valore della velocit media della corrente.

    Fig.14

    In pratica i due strumenti (piezometro e tubo di Pitot) possono essere incorporati in unico dispositivo chiamato tubo di Prandtl, nel quale la presa che materializza la linea dei carichi totali o presa dinamica costituita dalla bocca aperta dello strumento rivolta contro corrente (punto nella figura 15), mentre la presa statica che materializza il livello della piezometrica costituita da una serie di fori praticati sul corpo del tubo (punto nella figura 15) a una distanza sufficiente dalla presa dinamica, perch si possa considerare che le traiettorie abbiano riacquistato la loro direzione parallela allasse del dispositivo. Il diametro di questo strumento deve essere molto piccolo rispetto al diametro della corrente per non disturbarla, e potere considerare la quota piezometrica misurata dalla presa statica coincidente con quella a monte dellapparecchio.

    Fig. 15

    Q

    piezometrica in

    l.c.t.

    Tubo di Pitot piezometro

    Presa statica

    Presa dinamica

  • 11

    VENTURIMETRO

    Il venturimetro un dispositivo per la misura della portata di una condotta in pressione

    mediante una semplice lettura manometrica, questo E una tipica applicazione della situazione studiata in Fig.11. che consente di ricavare la portata dallapplicazione simultanea del Teorema di Bernoulli e dellequazione di continuit fra due sezioni della corrente di sezione diversa. Infatti il Venturimetro Fig. 16 introduce nella tubazione cilindrica di sezione A1 un breve tronco cilindrico di sezione A2 < A1, raccordato alla tubazione mediante due tronchi di cono, uno convergente a monte e uno divergente a valle.

    Per la lettura della differenza di quota piezometrica fra le due sezioni si applica di solito un manometro differenziale a cavallo del convergente ( fondamentale che le prese manometriche siano praticate nei tronchi cilindrici e non in quelli conici, perch solamente nei tronchi cilindrici la corrente lineare e quindi la quota piezometrica costante su ciascuna sezione trasversale.) Questa configurazione sfrutta la circostanza che nei tronchi di corrente accelerati le dissipazioni di energia sono sempre molto modeste, per cui lo schema di fluido perfetto, che alla base del Teorema di Bernoulli, applicabile con ottima approssimazione. Non sarebbe invece ammissibile lapplicazione del manometro differenziale a cavallo del tronco di cono divergente, perch la corrente ritardata sempre sede di dissipazioni importanti, che vi renderebbero inapplicabile il Teorema di Bernoulli. Di regola il divergente molto pi lungo del convergente, come si nota in figura, cio sagomato in modo da accompagnare con una certa gradualit la corrente ritardata; questa disposizione non ha evidentemente alcuna conseguenza sul funzionamento del dispositivo misuratore n sulla precisione della misura, ma la si adotta allo scopo di limitare il pi possibile le dissipazioni di energia provocate dallinserzione del Venturimetro nella condotta.

    Nella figura 16 le linee piezometrica e dei carichi totali sono disegnate condiderando il fluido

    liquido perfetto, e per tanto si trascura ogni perdita di carico.

    Fig. 16 Applicando il teorema di Bernoulli e lequazione di continuit fra le sezioni e si ha:

    z1 z2

    z=0

    piezometrica

    l.c.t

    A1

    A1 A2

  • 12

    z1+

    p1

    +

    V1

    2

    2g= z

    2+

    p2

    +

    V2

    2

    2g

    z1+

    p1

    z2 +

    p2

    =V

    2

    2

    2g

    V1

    2

    2g

    V1 =

    QA1

    e V2 =QA2

    Q2

    2g1

    A22 -

    1A1

    2

    =

    cio:

    Q = 2g1

    A22 -

    1A1

    2

    Introducendo la lettura del manometro differenziale inserito fra le sezioni e si ha:

    2 22 1

    2 2

    = =

    mV Vg g

    pertanto:

    Q = A2A12g

    A12 - A2

    2m -

    POTENZA DI UNA CORRENTE IN UNA SEZIONE. Si definisce potenza di una corrente in una sezione lenergia posseduta dal liquido che

    attraversa quella sezione nellunit di tempo, ovviamente misurata rispetto a un piano orizzontale di riferimento delle quote.

    Fig. 17 Suddivisa la sezione normale s della corrente in areole infinitesime ds, consideriamo il tubo di flusso elementare che ha per sezione la generica ds. Attraverso lareola ds passa nellunit di tempo il peso liquido:

    VdA = dq

    e poich lunit di peso possiede lenergia: 2

    2p VH z g= + +

    dA Q

  • 13

    il prodotto dW HVd= definisce la potenza del tubo di flusso elementare. Mediante integrazione allintera sezione s, o all'intera portata q, si ottiene da qui la potenza della corrente nella sezione considerata:

    (6) W = z + p

    + V

    2

    2g

    A VdA

    oppure:

    (7) (4) 2

    2 = + + q

    p VW z dqg

    (evidentemente nel sistema SI di unit di misura W espresso in Watt). POTENZA DI UNA CORRENTE LINEARE IN UNA SEZIONE. Lintegrale al secondo membro dellespressione generale si pu dividere in due integrali come segue:

    (8) 2

    2q q

    p VW z dq dqg = + +

    Nel caso di corrente lineare la quota piezometrica costante lungo la sezione traversale, quindi il

    primo addendo del secondo membro si pu calcolare subito e vale + pz q . La soluzione

    dellintegrale del secondo addendo (9) 2 3

    = q

    V dq V d

    richiede la conoscenza della distribuzione delle velocit V sulla sezione, ma introducendo la velocit media Vm, definita come Vm=Q/A, un coefficiente numerico definito come:

    (10)

    3

    3

    =

    m

    V d

    V

    possiamo scrivere quel secondo addendo nella forma 3 mV e in definitiva l'integrale di eq. (4) risulta:

    (11) 2

    2 = + +

    mVpW z qg .

    Il coefficiente si chiama coefficiente di ragguaglio della potenza cinetica alla velocit media, o primo coefficiente di Coriolis. La sua introduzione consente di definire per una corrente lineare il carico totale medio di una sezione:

    (12) (6) 2

    2= + +

    mm

    VpH z g

    che rappresenta lenergia posseduta in media da ciascuna particella di peso unitario che attraversa la sezione. Con questa notazione la potenza della corrente lineare assume lespressione:

    (13) (7) mW qH= .

    ESTENSIONE DEL TEOREMA DI BERNOULLI ALLE CORRENTI. Anche se in pratica non sempre se ne tiene conto, si deve avere ben presente che le diverse traiettorie che compongono una corrente lineare posseggono carichi totali diversi, in conseguenza della disuniforme distribuzione della velocit, che si annulla sempre in contatto con le pareti solide e presenta un massimo nella zona centrale della sezione. Lintroduzione del concetto di potenza di una corrente in una sezione espressa dalla (7), consente di estendere il teorema di Bernoulli dalla forma originale valida per ogni singola traiettoria ad una forma pi utile nelle applicazioni in cui figurano quantit relative allintera sezione trasversale della corrente di liquido perfetto, pesante, incomprimibile ed omogeneo, che defluisca di moto permanente e in condizioni isotermiche, entro un condotto, ovverosia:

  • 14

    (14) 2

    mm

    VpH z cost

    2g= + + =

    Quando, con unapprossimazione quasi sempre sempre accettabile in pratica, si faccia =1, questa si semplifica ulteriormente nella:

    (15) 2

    mm

    VpH z cost

    2g= + + =

    ,

    Questa forma approssimata dellequazione di Bernoulli la pi usata nei calcoli pratici.

    POTENZA DI UNA MACCHINA INSERITA IN UNA CORRENTE. Se fra due sezioni di una corrente fluida viene inserita una macchina idraulica ha luogo uno scambio di potenza fra la macchina e la corrente, ci sono due categorie di macchine idrauliche: le turbine, macchine motrici che estraggono dalla corrente una parte della potenza che essa possiede nella sezione di ingresso nella macchina, e le pompe, macchine operatrici che forniscono alla corrente un incremento di potenza che va ad aggiungersi a quella che essa possiede nella sezione dingresso nella macchina. Conseguentemente la linea dei carichi totali della corrente presenta un dislivello fra le due sezioni dingresso e di uscita dalla macchina.

    Fig. 18a

    Fig.18b

    Nel caso della Fig.18a che quello di una turbina, la linea dei carichi totali perde quota fra le due sezioni, mentre nel caso della Fig.18b, che quello di una pompa, la acquista.

    La Fig.19 mostra i flussi di potenza scambiati da una turbina con la corrente fluida che la attraversa, con limpianto di cui la turbina fa parte e con lambiente. Si riconoscono nella figura una potenza che entra nella macchina e tre che ne escono. Quella entrante la potenza W1=qH1 della corrente nella sezione dingresso alla macchina, mentre le tre uscenti sono: la potenza W2=qH2 della corrente nella sezione di uscita dalla macchina, la potenza meccanica WM che la turbina eroga allimpianto di cui fa parte (e che poi utilizzata nellimpianto sotto forma meccanica o elettrica) e la potenza Wd che si dissipa allinterno della macchina stessa, a causa di perdite di energia meccaniche e idrauliche. Il bilancio fra la potenza entrante e uscente si scrive

    P

    l.c.t. l.c.t

    H1

    H

    piezometrica piezometrica

    z=0

    H2

    h

    l.c.t.

    l.c.t H piezometrica

    piezometrica

    z=0

    H2 T H1

  • 15

    1 2= + +M dW W W W

    e la potenza della turbina WM risulta: (16) ( )1 2 1 2 = = M d dW W W W q H H W

    introducendo un coefficiente M < 1 detto rendimento della turbina, che tenga conto della potensa disipata possiamo scrivere la potenza della turbina come:

    (17) (8) ( ) ( )d

    M M M

    WW q H H conq H H

    = =

    1 21 2

    1

    Fig.19

    La Fig.20 mostra i flussi di potenza scambiati da una pompa con la corrente fluida che la

    attraversa, con il motore che la mantiene in rotazione e con lambiente. Si riconoscono nella figura due potenze che entrano nella macchina e due che ne escono. Le due entranti sono la potenza W1=qH1 della corrente nella sezione dingresso alla macchina e la potenza meccanica WP proveniente dal motore, mentre le due uscenti sono: la potenza W2=qH2 della corrente nella sezione di uscita dalla macchina e la potenza Wd che si dissipa allinterno della macchina stessa e si disperde nellambiente sotto forma di calore. Il bilancio fra le potenze entranti e uscenti si scrive questa volta:

    1 2+ = +P dW W W W ,

    da cui la potenza della pompa: (18) ( )P d dW W W W q H H W = + = +2 1 2 1

    Analogamente a quanto fatto nel caso della turbina,introducendo un coefficiente P < 1 detto rendimento della pompa la potenza della poma si sicrive:

    (19) (9) ( ) dP PP P

    WW q H H con W = = 2 11 1 ,

    Fig.20 In ciascuna delle espressioni (8) e (9) i due valori del carico totale H1 e H2 vanno misurati a

    partire del medesimo piano orizzontale di riferimento delle quote.

    W

    Wd

    W

    WP

    P

    W

    W

    WM

    W

    T

  • 16

    APPENDICE IL PRIMO CORFFICIENTE DI CORIOLI

    Lutilizzo della velocit media attravesrso lintroduzione del coefficiente di ragguaglio nellespressione della potenza della corrente in una sezione

    2

    2 = + +

    mVpW z qg

    rappresenta una semplificazione soltanto formale dal momento che per il calcolo del coefficiente sempre richiesta la conoscenza della distribuzione delle velocit sulla sezione: tuttavia, questa espressione si presta meglio ai calcoli pratici. Il coefficiente si chiama coefficiente di ragguaglio della potenza cinetica alla velocit media, o primo coefficiente di Coriolis. La sua introduzione consente di definire per una corrente lineare il carico totale medio di una sezione:

    (20) 2

    2= + +

    mm

    VpH z g

    che rappresenta il valore medio dellenergia posseduta da ciascuna particella di peso unitario che attraversa la sezione. Con questa notazione la potenza della corrente lineare assume lespressione:

    (21) mW qH= . Tuttavia, sul piano pratico, per i tipi di correnti pi comuni si possono assegnare ad valori sufficientemente approssimati, senza dover determinare ogni volta le leggi distribuzione delle velocit sulle sezioni. Intanto facile vedere che nella massima parte dei casi il coefficiente definito come

    3

    3

    =

    m

    V d

    V

    maggiore dellunit. Infatti (Figura) chiamando lo scarto della velocit in un punto qualsiasi della sezione rispetto alla velocit media Vm, ossia ponendo:

    (22) mV V= + ovvero:

    3 3 2 2 3m m mV V 3V 3V= + + +

    per si ha: 2 3

    m m m

    3 3 11 d d d

    V V V

    = + + +

    In termini del valore della portata possiamo scrivere:

    ,

    Il termine dalla definizione di portata necess: 13

    13 la nota proposizione, secondo cui gli scarti dalla media hanno media nulla.

    mq Vd V d

    = = +

    d 0 =

  • 17

    per cui il terzo addendo dellespressione di svanisce. Se i rapporti /Vm sono piccoli di fronte allunit, molto pi lo sono i loro cubi, i quali inoltre - al pari degli - sono in parte positivi e in parte negativi: perci l'ultimo addendo dell'espressione di piccolo, salvo casi assolutamente eccezionali, pu essere trascurato. Vale cos per l'espressione approssimata:

    (23) 2

    m

    31 d

    V

    + ,

    nella quale, lintegrale positivo, dimostra essere > 1. Nel moto di Poiseuille, cio nel moto regolare in condotti cilindrici, si ha esattamente =2, mentre nelle ordinarie correnti turbolente uniformi che percorrono condotte in pressione e canali a pelo libero, si ha =1.06 1.08. La vicinanza di questi ultimi valori allunit autorizza quasi sempre a porre a=1 nei calcoli relativi alle correnti turbolente, ossia a scrivere il carico totale medio della corrente semplicemente introducendo nellespressione di Bernoulli il valore della velocit media, senza farvi comparire alcun coefficiente correttivo. Lo stesso non potrebbe farsi per le correnti in moto laminare, dove peraltro la piccolezza delle velocit in gioco toglie importanza agli effetti di . Il valore =2 relativo al moto di Poiseuille non il massimo che il coefficiente pu raggiungere, giacch vi possono essere distribuzioni di velocit cosi irregolari, da superare largamente tale valore: ci accade, per, solo nelle correnti non uniformi, specialmente quando in certe parti delle sezioni il flusso rovescio, come per esempio nelle sezioni situate a valle di un brusco allargamento.

    Hm

    Q

    P

    z=0

    r

    Vm

    V

    D