Il Teorema Di Bernoulli

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1 IL TEOREMA DI BERNOULLI DEDUZIONE DALL’EQUAZIONE INDEFINITA Proiettando sulla tangente alla traiettoria l’equazione indefinita dell’idrodinamica per fluidi perfetti, incomprimibili in campo gravitazionale [ ρ ( F A) = grad ( p) ] si ottiene l’equazione, (1) s z + p γ # $ % & ' ( = 1 g DV s Dt Chiamando V s semplicemente V e ricordando che l’equazione vale solo per il moto isotermico di un fluido perfetto, incomprimibile, omogeneo e pesante, sviluppiamo la componente dell’accelerazione sostanziale lungo la tangente alla traiettoria secondo la regola di derivazione euleriana: 2 2 V V V DV V V Dt t s t s = + = + possiamo quindi scrivere: s z + p γ # $ % & ' ( = 1 g V t + s V 2 2 # $ % & ' ( oppure: s z + p γ + V 2 2g # $ % & ' ( = 1 g V t Nel caso particolare di moto permanente la derivata locale V/t si annulla e l’espressione (1) diventa: (2) s z + p γ + V 2 2g # $ % & ' ( = 0 integrando lungo la traiettoria si ottiene immediatamente: (3) z + p γ + V 2 2g = costan te Gli addendi del trinomio a primo membro della (3) hanno tutti le dimensioni di lunghezze. La somma dei primi due è la nota quota piezometrica, il terzo addendo si denomina altezza cinetica. La equazione (3) esprime l'enunciato del Teorema di Bernoulli: “nel moto permanente di un fluido perfetto, pesante e avente ρ = cost (cioè omogeneo, incomprimibile e in condizioni isoterme), la somma della quota piezometrica e dell’altezza cinetica è costante lungo ciascuna traiettoria. Tale somma prende il nome di carico totale: (4) H = z + p γ + V 2 2g La raffigurazione geometrica di questo enunciato si ottiene riportando uno dopo l’altro sulla verticale condotta per ciascun punto della traiettoria, i tre segmenti: la quota geometrica o geodetica z contata a partire da un prefissato piano orizzontale di riferimento, l’altezza piezometrica p/γ e l’altezza cinetica V 2 /2g come mostrato in Fig. 1.

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Descrizione del teorema di Bernoulli ed esempi di applicazione.

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1

IL TEOREMA DI BERNOULLI DEDUZIONE DALL’EQUAZIONE INDEFINITA

Proiettando sulla tangente alla traiettoria l’equazione indefinita dell’idrodinamica per fluidi perfetti, incomprimibili in campo gravitazionale [ ρ(

F−A)= grad(p)] si ottiene l’equazione,

(1)

∂∂s

z+ pγ

#

$%

&

'( = − 1

gDV

s

Dt

Chiamando Vs semplicemente V e ricordando che l’equazione vale solo per il moto isotermico di un fluido perfetto, incomprimibile, omogeneo e pesante, sviluppiamo la componente dell’accelerazione sostanziale lungo la tangente alla traiettoria secondo la regola di derivazione euleriana:

2

2V V VDV VV

Dt t s t s∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂

possiamo quindi scrivere:

∂∂s

z+ pγ

#

$%

&

'( = − 1

g∂V∂t

+ ∂∂s

V2

2

#

$%

&

'(

oppure:

∂∂s

z+ pγ+ V2

2g

#

$%

&

'( = − 1

g∂V∂t

Nel caso particolare di moto permanente la derivata locale ∂V/∂t si annulla e l’espressione (1) diventa:

(2)

∂∂s

z+ pγ+ V2

2g

#

$%

&

'( = 0

integrando lungo la traiettoria si ottiene immediatamente:

(3) z+ p

γ+ V2

2g= costante

Gli addendi del trinomio a primo membro della (3) hanno tutti le dimensioni di lunghezze. La

somma dei primi due è la nota quota piezometrica, il terzo addendo si denomina altezza cinetica. La equazione (3) esprime l'enunciato del Teorema di Bernoulli: “nel moto permanente di un

fluido perfetto, pesante e avente ρ = cost (cioè omogeneo, incomprimibile e in condizioni isoterme), la somma della quota piezometrica e dell’altezza cinetica è costante lungo ciascuna traiettoria. Tale somma prende il nome di carico totale:

(4) H = z+ p

γ+ V2

2g

La raffigurazione geometrica di questo enunciato si ottiene riportando uno dopo l’altro sulla

verticale condotta per ciascun punto della traiettoria, i tre segmenti: la quota geometrica o geodetica z contata a partire da un prefissato piano orizzontale di riferimento, l’altezza piezometrica p/γ e l’altezza cinetica V2/2g come mostrato in Fig. 1.

Page 2: Il Teorema Di Bernoulli

2

L’andamento del moto lungo la traiettoria viene così rappresentato da tre linee:

• la traiettoria, luogo dei punti di quota z ;

• la linea piezometrica, luogo dei punti di pressione nulla e quota (z+p/γ) ;

• la linea dei carichi totali, luogo dei punti di quota H.

Dalla (3) risulta che la linea dei carichi totali è sempre orizzontale, mentre la linea

piezometrica può alzarsi o abbassarsi lungo il percorso, disponendosi più alta dove la velocità è minore, più bassa dove la velocità è maggiore; l’altezza piezometrica (e con essa la pressione) risulta minore dove la linea piezometrica si avvicina alla traiettoria, maggiore dove se ne allontana. Si noti che la costanza del carico totale H lungo la singola traiettoria non implica affatto che il suo valore sia lo stesso per tutte le traiettorie, anzi spesso è vero il contrario

Nel caso di corrente lineare la quota piezometrica è la stessa per tutte le traiettorie che

attraversano una stessa sezione, di conseguenza, la quota piezometrica è unica per tutta la corrente; il carico totale sarà invece unico, soltanto se la velocità di tutte le traiettorie che attraversano la sezione è la medesima.

La linea piezometrica di una corrente lineare di liquido perfetto che fluisce in una condotta

si può materializzare applicando dei piezometri in varie sezioni e collegandone idealmente i menischi come mostra la Fig. 2. Anche la linea dei carichi totali può materializzarsi analogamente, ricorrendo all’uso di particolari piezometri ricurvi, denominati Tubi di Pitot, inseriti in varie sezioni della corrente con l’estremità immersa rivolta contro corrente: infatti la quota che raggiunge il liquido dentro un tubo di Pitot è quella del carico totale nel punto di misurazione.

z

traiettoria

piezometrica

linea dei carichi totali

z=0

z

H

Q

piezometrica

l.c.t.

Tubo di Pitot piezometro

Fig. 1

Fig. 2

Page 3: Il Teorema Di Bernoulli

3

INTERPRETAZIONE ENERGETICA. L’espressione

z+ V2

2g= cost

descrive la caduta dei gravi nel vuoto, il termine z rappresenta la quota, ovvero, l’energia posizionale del peso unitario (energia potenziale) rispetto al piano orizzontale di riferimoento z=0, mentre il termine V2/2g rappresenta l’energia cinetica specifica (per unità di peso). Questa espressione può essere letta come il principio di conservazione dell’energia meccanica. Anche il Teorema di Bernoulli può essere letto come espressione del principio di conservazione dell’energia meccanica al moto di una particella fluida di peso unitario, a patto di attribuire un

significato energetico anche al termine pγ

.

In effetti, è facile constatare che l’altezza piezometrica pγ

può essere assunta a misura di una

forma di energia potenziale, che la particella di peso unitario possiede quando non è isolata, bensì sottoposta da parte delle particelle contigue alla pressione p. Nel caso dell’idrostatica, (Fig.3)

Fig. 3 a) Fig. 3 b)

consideriamo la particella A di peso unitario avente quota z1 rispetto al piano orizzontale di quota z=0 e pertanto, energia posizionale z1. Se applichiamo alla parete del serbatoio un piezometro di fronte alla particella A, questa vi s’infila e risale fino alla posizione A’ dove risulta possedere l’energia di posizione z2=z1+h. La particella ha subito quindi, un incremento di energia posizionale

h= pγ

passando dalla posizione A alla A’. Nella posizione A la particella si trova alla pressione p=γh

(esercitata contro di lei dalle particelle circostanti), mentre nella posizione A’, si trova alla

pressione atmosferica p=0; l’aumento di h metri pari all’altezza piezometrica pγ

, dimostra che

questa “energia di pressione” è una forma di energia potenziale scambibile con quella posizionale.

Si noti che tanto z quanto pγ

sono forme di energia potenziale, perchè dovute alla presenza

di altri corpi: per z il corpo Terra, per pγ

le particelle contigue.

In conclusione si può dire che l’equazione indefinita dell’idrostatica valida per un fluido con ρ = costante nel campo gravitazionale, si può leggere come il principio di conservazione dell’energia meccanica applicato alla particella di peso unitario in quiete. Nel caso del fluido in movimento va aggiunta anche l’energia cinetica, che per la particella di peso unitario (di massa

1mg

= ) , vale 2

2Vg

.

A’

z2

A

z=0

=h

z1

Page 4: Il Teorema Di Bernoulli

4

QUALCHE APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI BERNOULLI Efflusso da una luce a battente.

Sul fondo di un serbatoio si apre una luce in parete sottile, cioè a spigolo vivo rivolto verso

l’interno del serbatoio. Supponiamo che il serbatoio sia alimentato con la stessa portata Q che effluisce dalla luce, sicché il livello liquido si mantiene invariato nel tempo e il moto è permanente.

Fig.4

Tutte le traiettorie, salvo quella assiale, in corrispondenza del piano della luce sono curve e diventano rettilinee e parallele solo a partire da una sezione situata più a valle, che prende il nome di sezione contratta. É la prima sezione nella quale la pressione è uguale in tutti punti a quella che si ha al contorno del getto, in particolare, se l’efflusso avviene nell’atmosfera, la pressione relativa nella sezione contratta è nulla. L’area Ac della sezione contratta è minore di quella A della luce, e si ottiene da questa moltiplicandola per un coefficiente cc < 1, detto coefficiente di contrazione.

Applichiamo il Teorema di Bernoulli lungo una traiettoria come quella tratteggiata nella

Fig.4 da un punto ① abbastanza lontano dalla luce perché l’acqua vi si possa considerare in quiete, a un punto ② situato sulla sezione contratta. Nel punto ① siamo in condizioni idrostatiche, perciò il carico totale H1 si riduce alla quota piezometrica del serbatoio, pari alla quota z0 del piano dei carichi idrostatici; nel punto ② la pressione è nulla, e il carico totale H2 si riduce alla somma

della quota zc e dell’altezza cinetica 2cV

2g della sezione contratta. Poiché il teorema di Bernoulli

impone H1=H2, si ha, dunque:

2c

0 c

vz z

2g= +

e quindi, chiamando h = z0 - zc il carico o battente sulla luce si ha:

(3) cv 2gh= La velocità espressa dalla (3) che si verifica in tutti i punti della sezione contratta (il punto ②

è infatti un punto generico di tale sezione), è nota come “velocità Torricelliana”. In pratica la velocità nella sezione contratta è un po’ minore del valore Torricelliano, perché

non essendo mai soddisfatta rigorosamente la condizione di fluido perfetto, lungo il percorso ①-② si esercitano delle modeste resistenze che rallentano il moto: perciò si introduce un coefficiente riduttivo cv < 1, detto coefficiente di velocità,

Vc = cv 2gh

La portata scaricata dalla luce è dunque:

zc

z=0 Q

Q

σc

h

z0

z1

1

2

Page 5: Il Teorema Di Bernoulli

5

Q = AcVc = cccvA 2gh .

Il prodotto µ=cccv chiamasi “coefficiente di efflusso”. Il coefficiente di efflusso µ può essere assunto in pratica per le luci in parete sottile pari a 0,60.

Un caso tipico di moto a pressione costante è quello di un getto nell’atmosfera; Allora l’altezza piezometrica p/γ è costante lungo la traiettoria e quindi può essere raccolta nella costante del secondo membro della (1) e questa equazione assume la forma

2V

z cost2g

+ =

che coincide con l’equazione del moto dei gravi nel vuoto. Pertanto la singola particella si muove nel campo gravitazionale come se fosse isolata, non scambiando energia con le particelle circostanti, e il suo moto è governato dalle leggi della caduta libera dei gravi, in particolare, la traiettoria è sempre contenuta in un piano verticale ed è un arco di una parabola ad asse verticale concava verso il basso.

Nel caso di un getto rivolto verticalmente verso il basso, come quello della Fig.5, che rappresenta il proseguimento della corrente dopo la sezione contratta, le traiettorie assumono la configurazione limite rettilinea.

Fig.5

Lungo il getto la velocità aumenta verso il basso, giacché se z2 < z1 , segue 2 2

2 1V V>

2g 2g. Tale

aumento di velocità segue la legge del moto naturalmente accelerato, cioè avviene con l’accelerazione di gravità, g come se ciascuna particella cadesse liberamente isolata dalle circostanti.

Come si è veduto studiando la sezione contratta, tutte le traiettorie del getto hanno il medesimo carico totale H, perciò dall’eguaglianza della quota z in tutti i punti di una stessa sezione orizzontale segue che tutte le traiettorie attraversano tale sezione con la stessa velocità V che in questo caso è anche il valore della velocità media sulla sezione. Allora, considerando l'equazione di continuità, essendo V2 > V1, si ha A2 < A1, vale a dire: il getto si restringe indefinitamente verso il basso. Va però detto che, via via che ci si allontana dalla sezione contratta, all’aumento di velocità si accompagnano gli effetti della resistenza dell’aria, circostanza che lo schema di liquido perfetto, ipotesi di base del Teorema di Bernoulli,non mette in conto, cosicché il getto assume un aspetto sempre più irregolare e finisce col frangersi.

Se il getto è rivolto verticalmente verso l’alto, come nella Fig.6, la velocità Vc nella sezione contratta si calcola applicando il Teorema di Bernoulli in modo analogo a quello del sopra e risulta ancora espressa dalla formula (3). Procedendo verso l’alto, all’aumentare della z la velocità diminuisce, e la sezione del getto si allarga: ne segue che in questo caso la sezione contratta è la sezione di area minima fra tutte quelle del getto. Nell’ipotesi di liquido perfetto la velocità arriverebbe ad annullarsi per z = H, cioè nella sezione del getto situata alla quota del piano dei carichi totali, in realtà anche in questo caso si fa sentire la resistenza dell’aria, per cui in pratica la quota raggiunta è un po’ minore.

z2 z=0

z1

h

H

Q

Page 6: Il Teorema Di Bernoulli

6

Fig.6

Quando il getto esce da una luce in una parete non orizzontale, si può ancora assumere, con ottima approssimazione, che la pressione sia costante su tutta la sezione contratta. Con questa semplificazione, il calcolo della velocità nella sezione contratta della singola traiettoria, fornisce valori crescenti dal punto più alto al punto più basso della sezione; tuttavia, se il diametro della sezione contratta è abbastanza piccolo rispetto al carico, si può con buona approssimazione assumere su tutta la sezione contratta un valore di velocità uniforme, pari a quello calcolato per la traiettoria passante per il baricentro della luce. In altre parole, si può assumere come velocità media nella sezione la velocità della traiettoria assiale. A valle della sezione contratta si sviluppano poi le traiettorie paraboliche volute dalla legge di caduta libera dei gravi.

Facendo riferimento alla traiettoria assiale, possiamo dire che l’arco di parabola che la rappresenta è al tempo stesso anche la linea piezometrica, mentre la linea dei carichi totali è una retta orizzontale alla quota del piano dei carichi idrostatici del serbatoio di alimentazione. In quest’ottica è immediato verificare che le sezioni trasversali dei getti variano con la quota secondo gli andamenti qualitativamente rappresentati nella Fig.7 allargandosi lungo i tronchi in salita e restringendosi lungo quelli in discesa.

Fig.7 Di seguito si propongono alcuni esempi teorici dell’applicazione del T. di Bernoulli a brevi tratti di condotta allo scopo di illustrare l’andamento della linea piezometrica in diversi casi. Si ricordi che l’ipotesi di fluido perfetto non e in generale valida per le correnti in tubi. Efflusso da una breve condotta.

Se studiamo una breve condotta cilindrica alimentata da un serbatoio a livello costante che

sbocca nell’atmosfera (Fig. 8), possiamo idealizzare la corrente e considerare che la linea dei carichi totali, essendo fissata dalla quota del pelo libero di alimentazione, sia comune a tutte le traiettorie; inoltre, essendo la corrente lineare, anche la piezometrica sarà comune a tutte le traiettorie. Ne consegue che la velocità è non solo costante lungo ciascuna traiettoria, ma altresì eguale da una traiettoria all’altra.

zc

Z=0

l.c.t

H

h

Q

H

z=0

z

l.c.t

Q

piezometrica

z=0

z

l.c.t piezometrica

Q

Page 7: Il Teorema Di Bernoulli

7

Fig. 8 Trattando la corrente come un’unica traiettoria, applichiamo il Teorema di Bernoulli fra un

punto ① del serbatoio dove l’acqua possa considerarsi in quiete e la sezione di sbocco ② dove p=0. Si ha:

21 2

1 2

p Vz 0 z 0

2g+ + = + +

γ

da cui:

11 2

pV 2g z z 2gh

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − =⎢ ⎥⎜ ⎟γ⎝ ⎠⎣ ⎦.

Quindi il valore V della velocità, risulta costante lungo tutta la condotta, pari a quello

torricelliano relativo all’affondamento h del baricentro della sezione di sbocco sotto al pelo libero nel serbatoio. E conseguentemente anche la portata Q=VA è determinata dalla quota della sezione di sbocco, mentre la posizione della sezione d’imbocco della condotta dal serbatoio non ha alcuna influenza sulle caratteristiche del moto.

Si noti ancora che allo sbocco nell’atmosfera (sezione ②), non si ha contrazione perché le traiettorie all’interno della tubazione sono già avviate con andamento rettilineo verso l’uscita, sicché non devono subire cambiamenti di direzione fin dopo l’uscita.

Tutte le considerazioni svolte a proposito della Fig.8 valgono anche nel caso che la

condotta di sezione costante abbia l’asse curvilineo, come nella Fig.9, purché con curvature abbastanza modeste per poter trattare la corrente come lineare e sufficientemente corta per potere ipotizzare liquido perfetto. Come prima, la piezometrica è unica per tutte le traiettorie e coincide con l’orizzontale passante per il baricentro della sezione di sbocco. Come mostra la Fig. 9, può accadere che in qualche tronco la condotta sovrasti la piezometrica in un questo caso il tronco di condotta svrastato è in depressione, cioè la pressione assoluta della corrente vi è minore della pressione atmosferica e quella relativa è negativa. Va da sé che la depressione in valore assoluto non può essere maggiore della pressione atmosferica, cioè che il massimo dislivello a fra la condotta e la linea piezometrica non può superare il valore pa*/γ (per l’acqua al livello del mare 10.33 m), perché altrimenti si avrebbe p*< 0 e, non resistendo i liquidi a sforzi di trazione, la corrente s’interromperebbe e il flusso non potrebbe aver luogo.

Quando la quota geometrica z è costante lungo la traiettoria, il T eorema di Bernoulli equazione assume la forma

che dimostra come la pressione aumenti nei tronchi di corrente ritardata e diminuisca in quelli di corrente accelerata como in Fig.10 dove si vede diminuire l’altezza piezometrica p/γ lungo il tronchetto conico convergente applicato allo sbocco della condotta orizzontale.

+ =γ

2p Vcost.

2g

piezometrica

l.c.t.

traiettoria

z1

1p

γ ①

z2

② 2Vh =2g

H

Q

Page 8: Il Teorema Di Bernoulli

8

Fig.9

Fig.10

In Fig.11 è stato inserito nella condotta di Fig.10 un breve tronco a sezione variabile, in cui

un convergente è seguito da un breve tronco cilindrico di piccolo diametro (area della sezione σ4) e subito dopo da un divergente che riporta il diametro al valore iniziale. Conseguentemente la piezometrica comprende tre segmenti orizzontali raccordati da due tratti curvilinei in corrispondenza del convergente e del divergente. Nella Fig.11b è rappresentata la situazione in cui il restringimento è così marcato, da far discendere la piezometrica al disotto dell’asse della condotta, cosicché un tratto va in depressione: in questa situazione, come già detto sopra il moto può aver luogo soltanto se l’abbassamento a della piezometrica al disotto del punto più alto della

condotta minore di γ*ap

(per l’acqua 10,33 m).

Fig.11a

l.c.t.

c

c piezometrica

p=0

p>0

p<0

Q

piezometrica

l.c.t.

z1

z2

z2

A2

z2

Ac

traiettoria

δ

z=0

H

Q

A3

l.c.t.

z1

piezometrica

z2

Ac

A4

z2

z2

A2

δ’

A3

z=0 Q

A2

Page 9: Il Teorema Di Bernoulli

9

Fig.11b

Tutte le considerazioni appoggiate fatte per le condotte di Fig10-11 non sono condizionate dall’orizzontalità o dalla rettilineità dell’asse e varrebbero inalterate anche se questo fosse inclinato e/o curvilineo come si mostra in Fig.12,

Fig.12 Misurazione della portata..

PIEZOMETRO E TUBO DI PITOT. Il principio di funzionamento considera una corrente uniforme rettilinea che investe un

ostacolo costituito da un corpo con testa tondeggiante con l'asse di simmetria parallelo alla direzione del flusso.

Fig. 13

② ③

④④

piezometrica

l.c.t.

h δ

Q Ac

H

Z=0

2

1

l.c.t.

z1

piezometrica

z2

Ac

A4

z2

z2

A2 a<10.33

δ

A2

Page 10: Il Teorema Di Bernoulli

10

Le traiettorie della corrente nelle vicinanze dell’ostacolo divergono (Fig.13), in particolare la traiettoria ①-② presenta una zona di ristagno nel punto ②. Applicando il T. di Bernoulli fra i punti ①,a monte dell’ostacolo dove si considera la corrente sia indisturbata e le traiettorie perfettamente rettilinee, ed il punto ② dove si verifica il ristagno e pertanto la velocità è nulla (V2=0) , si ha:

(5)

21 1 2

1 2

p V pz z 0

2g+

+ + = + +γ γ

quindi:

21 2 1

2 1

V p pz z

2g⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟γ γ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cioè significa che nota la differenza piezometrica fra i due punti è possibile determinare l’altezza cinetica della corrente indisturbata. Questo è attuabile inserendo un piezometro nella sezione ① e un tubo di pitot nel punto ② ovvero, collegando il naso dell’ostacolo a un piezometro mediante l’apertura di un foro in ② in maniera che il menisco di quest’ultimo piezometro materializzi la quota piezometrica in ② che corrisponde al carico totale della corrente. Il dislivello δ fra i due menischi indicato nella figura 14 corrisponde all’altezza cinetica della traiettoria a monte del dispositivo, che nel caso di flusso permanente, si puo in molti casi approssimare al valore della velocità media della corrente.

Fig.14

In pratica i due strumenti (piezometro e tubo di Pitot) possono essere incorporati in unico dispositivo chiamato tubo di Prandtl, nel quale la presa che materializza la linea dei carichi totali o presa dinamica è costituita dalla bocca aperta dello strumento rivolta contro corrente (punto ② nella figura 15), mentre la presa statica che materializza il livello della piezometrica è costituita da una serie di fori praticati sul corpo del tubo (punto ① nella figura 15) a una distanza sufficiente dalla presa dinamica, perché si possa considerare che le traiettorie abbiano riacquistato la loro direzione parallela all’asse del dispositivo. Il diametro di questo strumento deve essere molto piccolo rispetto al diametro della corrente per non disturbarla, e potere considerare la quota piezometrica misurata dalla presa statica coincidente con quella a monte dell’apparecchio.

Fig. 15

Q

piezometrica in ①

l.c.t.

Tubo di Pitot piezometro

① ②

δ

Presa statica

Presa dinamica

Page 11: Il Teorema Di Bernoulli

11

VENTURIMETRO

Il venturimetro è un dispositivo per la misura della portata di una condotta in pressione

mediante una semplice lettura manometrica, questo E’ una tipica applicazione della situazione studiata in Fig.11. che consente di ricavare la portata dall’applicazione simultanea del Teorema di Bernoulli e dell’equazione di continuità fra due sezioni della corrente di sezione diversa. Infatti il Venturimetro Fig. 16 introduce nella tubazione cilindrica di sezione A1 un breve tronco cilindrico di sezione A2 < A1, raccordato alla tubazione mediante due tronchi di cono, uno convergente a monte e uno divergente a valle.

Per la lettura della differenza di quota piezometrica fra le due sezioni si applica di solito un manometro differenziale a cavallo del convergente (è fondamentale che le prese manometriche siano praticate nei tronchi cilindrici e non in quelli conici, perché solamente nei tronchi cilindrici la corrente è lineare e quindi la quota piezometrica è costante su ciascuna sezione trasversale.) Questa configurazione sfrutta la circostanza che nei tronchi di corrente accelerati le dissipazioni di energia sono sempre molto modeste, per cui lo schema di fluido perfetto, che è alla base del Teorema di Bernoulli, è applicabile con ottima approssimazione. Non sarebbe invece ammissibile l’applicazione del manometro differenziale a cavallo del tronco di cono divergente, perché la corrente ritardata è sempre sede di dissipazioni importanti, che vi renderebbero inapplicabile il Teorema di Bernoulli. Di regola il divergente è molto più lungo del convergente, come si nota in figura, cioè è sagomato in modo da accompagnare con una certa gradualità la corrente ritardata; questa disposizione non ha evidentemente alcuna conseguenza sul funzionamento del dispositivo misuratore né sulla precisione della misura, ma la si adotta allo scopo di limitare il più possibile le dissipazioni di energia provocate dall’inserzione del Venturimetro nella condotta.

Nella figura 16 le linee piezometrica e dei carichi totali sono disegnate condiderando il fluido

liquido perfetto, e per tanto si trascura ogni perdita di carico.

Fig. 16 Applicando il teorema di Bernoulli e l’equazione di continuità fra le sezioni ➀ e � si ha:

z1

z2

z=0

δ

piezometrica

l.c.t

Δ

A1

A1

A2

Page 12: Il Teorema Di Bernoulli

12

z1+

p1

γ+

V1

2

2g= z

2+

p2

γ+

V2

2

2g

z1+

p1

γ

⎝⎜

⎠⎟ − z

2+

p2

γ

⎝⎜

⎠⎟

δ

=V

2

2

2g−

V1

2

2g

⎝⎜

⎠⎟

V1 = Q

A1

e V2 =QA2

→ Q2

2g1

A22 - 1

A12

⎝⎜⎞

⎠⎟= δ

cioè:

Q = 2gδ1

A22 - 1

A12

Introducendo la lettura Δ del manometro differenziale inserito fra le sezioni ① e � si ha:

2 22 1

2 2γ − γ

− = δ = Δγ

mV Vg g

pertanto:

Q = A2A1

2gA1

2 - A22Δγm - γγ

POTENZA DI UNA CORRENTE IN UNA SEZIONE. Si definisce “potenza di una corrente in una sezione” l’energia posseduta dal liquido che

attraversa quella sezione nell’unità di tempo, ovviamente misurata rispetto a un piano orizzontale di riferimento delle quote.

Fig. 17 Suddivisa la sezione normale s della corrente in areole infinitesime ds, consideriamo il tubo di flusso elementare che ha per sezione la generica ds. Attraverso l’areola ds passa nell’unità di tempo il peso liquido:

γVdA = γdq

e poiché l’unità di peso possiede l’energia: 2

2p VH z g= + +γ

σ

dA Q

Page 13: Il Teorema Di Bernoulli

13

il prodotto dW HVd= γ σ definisce la potenza del tubo di flusso elementare. Mediante integrazione all’intera sezione s, o all'intera portata q, si ottiene da qui la potenza della corrente nella sezione considerata:

(6) W = γ z + p

γ+ V2

2g⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟A∫ VdA

oppure:

(7) (4) 2

2⎛ ⎞= γ + +⎜ ⎟γ⎝ ⎠∫q

p VW z dqg

(evidentemente nel sistema SI di unità di misura W è espresso in Watt). POTENZA DI UNA CORRENTE LINEARE IN UNA SEZIONE. L’integrale al secondo membro dell’espressione generale si può dividere in due integrali come segue:

(8) 2

2q q

p VW z dq dqg⎛ ⎞= γ + + γ⎜ ⎟γ⎝ ⎠∫ ∫

Nel caso di corrente lineare la quota piezometrica è costante lungo la sezione traversale, quindi il

primo addendo del secondo membro si può calcolare subito e vale ⎛ ⎞+⎜ ⎟γ⎝ ⎠pz q . La soluzione

dell’integrale del secondo addendo (9) 2 3

σ

= σ∫ ∫q

V dq V d

richiede la conoscenza della distribuzione delle velocità V sulla sezione, ma introducendo la velocità media Vm, definita come Vm=Q/A, un coefficiente numerico definito come:

(10)

3

σα = σ

∫m

V d

V

possiamo scrivere quel secondo addendo nella forma 3α σmV e in definitiva l'integrale di eq. (4) risulta:

(11) 2

2⎛ ⎞= γ + + α⎜ ⎟γ⎝ ⎠

mVpW z qg .

Il coefficiente α si chiama “coefficiente di ragguaglio della potenza cinetica alla velocità media”, o primo coefficiente di Coriolis. La sua introduzione consente di definire per una corrente lineare il carico totale medio di una sezione:

(12) (6) 2

2= + + αγ

mm

VpH z g

che rappresenta l’energia posseduta in media da ciascuna particella di peso unitario che attraversa la sezione. Con questa notazione la potenza della corrente lineare assume l’espressione:

(13) (7) mW qH= γ .

ESTENSIONE DEL TEOREMA DI BERNOULLI ALLE CORRENTI. Anche se in pratica non sempre se ne tiene conto, si deve avere ben presente che le diverse traiettorie che compongono una corrente lineare posseggono carichi totali diversi, in conseguenza della disuniforme distribuzione della velocità, che si annulla sempre in contatto con le pareti solide e presenta un massimo nella zona centrale della sezione. L’introduzione del concetto di “potenza di una corrente in una sezione” espressa dalla (7), consente di estendere il teorema di Bernoulli dalla forma originale valida per ogni singola traiettoria ad una forma più utile nelle applicazioni in cui figurano quantità relative all’intera sezione trasversale della corrente di liquido perfetto, pesante, incomprimibile ed omogeneo, che defluisca di moto permanente e in condizioni isotermiche, entro un condotto, ovverosia:

Page 14: Il Teorema Di Bernoulli

14

(14) 2

mm

VpH z cost

2g= + + α =

γ

Quando, con un’approssimazione quasi sempre sempre accettabile in pratica, si faccia α=1, questa si semplifica ulteriormente nella:

(15) 2

mm

VpH z cost

2g= + + =

γ,

Questa forma approssimata dell’equazione di Bernoulli è la più usata nei calcoli pratici.

POTENZA DI UNA MACCHINA INSERITA IN UNA CORRENTE. Se fra due sezioni di una corrente fluida viene inserita una macchina idraulica ha luogo uno scambio di potenza fra la macchina e la corrente, ci sono due categorie di macchine idrauliche: le turbine, macchine motrici che estraggono dalla corrente una parte della potenza che essa possiede nella sezione di ingresso nella macchina, e le pompe, macchine operatrici che forniscono alla corrente un incremento di potenza che va ad aggiungersi a quella che essa possiede nella sezione d’ingresso nella macchina. Conseguentemente la linea dei carichi totali della corrente presenta un dislivello fra le due sezioni d’ingresso e di uscita dalla macchina.

Fig. 18a

Fig.18b

Nel caso della Fig.18a che è quello di una turbina, la linea dei carichi totali perde quota fra le due sezioni, mentre nel caso della Fig.18b, che è quello di una pompa, la acquista.

La Fig.19 mostra i flussi di potenza scambiati da una turbina con la corrente fluida che la attraversa, con l’impianto di cui la turbina fa parte e con l’ambiente. Si riconoscono nella figura una potenza che entra nella macchina e tre che ne escono. Quella entrante è la potenza W1=γqH1 della corrente nella sezione d’ingresso alla macchina, mentre le tre uscenti sono: la potenza W2=γqH2 della corrente nella sezione di uscita dalla macchina, la potenza meccanica ΔWM che la turbina eroga all’impianto di cui fa parte (e che è poi utilizzata nell’impianto sotto forma meccanica o elettrica) e la potenza Wd che si dissipa all’interno della macchina stessa, a causa di perdite di energia meccaniche e idrauliche. Il bilancio fra la potenza entrante e uscente si scrive

P

l.c.t. l.c.t

H1

ΔH

piezometrica piezometrica

z=0

H2

Δh

� �

l.c.t.

l.c.t ΔH piezometrica

piezometrica

z=0

H2 T H1

� �

Page 15: Il Teorema Di Bernoulli

15

1 2= +Δ +M dW W W W

e la “potenza della turbina” ΔWM risulta: (16) ( )1 2 1 2Δ = − − = γ − −M d dW W W W q H H W

introducendo un coefficiente ηM < 1 detto “rendimento della turbina”, che tenga conto della potensa disipata possiamo scrivere la potenza della turbina come:

(17) (8) ( ) ( )d

M M M

WW q H H conq H H

Δ = η γ − η = −γ −

1 21 2

1

Fig.19

La Fig.20 mostra i flussi di potenza scambiati da una pompa con la corrente fluida che la

attraversa, con il motore che la mantiene in rotazione e con l’ambiente. Si riconoscono nella figura due potenze che entrano nella macchina e due che ne escono. Le due entranti sono la potenza W1=γqH1 della corrente nella sezione d’ingresso alla macchina e la potenza meccanica ΔWP proveniente dal motore, mentre le due uscenti sono: la potenza W2=γqH2 della corrente nella sezione di uscita dalla macchina e la potenza Wd che si dissipa all’interno della macchina stessa e si disperde nell’ambiente sotto forma di calore. Il bilancio fra le potenze entranti e uscenti si scrive questa volta:

1 2+Δ = +P dW W W W ,

da cui la “potenza della pompa”: (18) ( )P d dW W W W q H H WΔ = − + = γ − +2 1 2 1

Analogamente a quanto fatto nel caso della turbina,introducendo un coefficiente ηP < 1 detto “rendimento della pompa” la potenza della poma si sicrive:

(19) (9) ( ) dP P

P P

WW q H H con WΔ = γ − η = −η Δ 2 11 1 ,

Fig.20 In ciascuna delle espressioni (8) e (9) i due valori del carico totale H1 e H2 vanno misurati a

partire del medesimo piano orizzontale di riferimento delle quote.

W

Wd

W

ΔWP

P

W

W

ΔWM

W

T

Page 16: Il Teorema Di Bernoulli

16

APPENDICE IL PRIMO CORFFICIENTE DI CORIOLI

L’utilizzo della velocità media attravesrso l’introduzione del coefficiente di ragguaglio α nell’espressione della potenza della corrente in una sezione

2

2⎛ ⎞= γ + + α⎜ ⎟γ⎝ ⎠

mVpW z qg

rappresenta una semplificazione soltanto formale dal momento che per il calcolo del coefficiente α è sempre richiesta la conoscenza della distribuzione delle velocità sulla sezione: tuttavia, questa espressione si presta meglio ai calcoli pratici. Il coefficiente α si chiama “coefficiente di ragguaglio della potenza cinetica alla velocità media”, o primo coefficiente di Coriolis. La sua introduzione consente di definire per una corrente lineare il carico totale medio di una sezione:

(20) 2

2= + + αγ

mm

VpH z g

che rappresenta il valore medio dell’energia posseduta da ciascuna particella di peso unitario che attraversa la sezione. Con questa notazione la potenza della corrente lineare assume l’espressione:

(21) mW qH= γ . Tuttavia, sul piano pratico, per i tipi di correnti più comuni si possono assegnare ad α valori sufficientemente approssimati, senza dover determinare ogni volta le leggi distribuzione delle velocità sulle sezioni. Intanto è facile vedere che nella massima parte dei casi il coefficiente α definito come

3

σα = σ

∫m

V d

V

è maggiore dell’unità. Infatti (Figura) chiamando ε lo scarto della velocità in un punto qualsiasi della sezione rispetto alla velocità media Vm, ossia ponendo:

(22) mV V= + ε ovvero:

3 3 2 2 3m m mV V 3V 3V= + ε + ε + ε

per α si ha: 2 3

m m m

3 3 11 d d d

V V Vσ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε ε εα = + σ + σ + σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

In termini del valore della portata possiamo scrivere:

,

Il termine dalla definizione di portata è necess: 13

13 É la nota proposizione, secondo cui gli scarti dalla media hanno media nulla.

mq Vd V dσ σ

= σ = σ + ε σ∫ ∫

d 0σε σ =∫

Page 17: Il Teorema Di Bernoulli

17

per cui il terzo addendo dell’espressione di α svanisce. Se i rapporti ε/Vm sono piccoli di fronte all’unità, molto più lo sono i loro cubi, i quali inoltre - al pari degli ε - sono in parte positivi e in parte negativi: perciò l'ultimo addendo dell'espressione di α è piccolo, salvo casi assolutamente eccezionali, può essere trascurato. Vale così per α l'espressione approssimata:

(23) 2

m

31 d

⎛ ⎞εα ≅ + σ⎜ ⎟σ ⎝ ⎠∫ ,

nella quale, l’integrale è positivo, dimostra essere α > 1. Nel moto di Poiseuille, cioè nel moto regolare in condotti cilindrici, si ha esattamente α=2, mentre nelle ordinarie correnti turbolente uniformi che percorrono condotte in pressione e canali a pelo libero, si ha α=1.06 ÷ 1.08. La vicinanza di questi ultimi valori all’unità autorizza quasi sempre a porre a=1 nei calcoli relativi alle correnti turbolente, ossia a scrivere il carico totale medio della corrente semplicemente introducendo nell’espressione di Bernoulli il valore della velocità media, senza farvi comparire alcun coefficiente correttivo. Lo stesso non potrebbe farsi per le correnti in moto laminare, dove peraltro la piccolezza delle velocità in gioco toglie importanza agli effetti di α. Il valore α=2 relativo al moto di Poiseuille non è il massimo che il coefficiente può raggiungere, giacché vi possono essere distribuzioni di velocità cosi irregolari, da superare largamente tale valore: ciò accade, però, solo nelle correnti non uniformi, specialmente quando in certe parti delle sezioni il flusso è rovescio, come per esempio nelle sezioni situate a valle di un brusco allargamento.

Hm

Q

P

z=0

r

Vm

V

ε

D