Teorema de Galois e Aplicações - ime. engler/aulas_VIII_mm445.pdf · PDF...

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Teorema de Galois e Aplicaes

Iniciamos esta seo recordado algumas denies que j introduzimos anteriormente. Nas Notas

V encontramos na pgina 23 que um isomorsmo : K K de um corpo nele mesmo chamado

de automorsmo. Caso K seja uma extenso de um corpo F e a restrio de a F seja a identidade,

dizemos que um F -automorsmo de K. Na pgina 24 encontramos a denio de grupo de

Galois de uma extenso K de um corpo F , mais precisamente G(K; F ) o conjunto de todos os

F -automorsmos de K. Temos que G(K; F ) com a operao de composio de funes um grupo,

o grupo de Galois.

Tambm na pgina 24 encontramos que o corpo de razes K de um polinmio separvel f(x)

F [x] chamado de extenso galoisiana de F . Pelo Corolrio da pgina 17 temos que |G(K; F )| =

[K : F ].

Vamos escrever f(x) = ao + a1x + + anxn e sejam 1, 2, . . . , m o conjunto de todas as razes

distintas de f(x) em alguma extenso K de F (Relembre a denio de polinmio separvel e que

um polinmio separvel pode ter razes mltiplas). Logo f(i) = 0 qualquer que seja i. Tomemos

agora G(K; F ). Como ao + a1i + + anni = 0 aplicando-se aos dois lados da igualdade

obtemos ao+a1(i)+ +an(i)n = 0, pois (aj) = aj, para todo j = 1, . . . , n. Consequentemente

(i) = t para alguma outra raiz t de f(x). Portanto a restrio de ao conjunto {1, 2, . . . , m }

induz uma funo desse conjunto nele mesmo. Esse fato j tinha sido observado na demonstrao do

item (3) da Proposio da pgina 11, Notas VII, mas agora vamos aprofundar um pouco mais essa

observao. Observe que essa funo vai ser injetiva, pois automorsmo. Como o conjunto nito,

essa funo induzida vai ser sobrejetiva tambm, isto , a restrio de ao conjunto {1, 2, . . . , m }

um bijeo do conjunto nele mesmo, ou ento, uma permutao do conjunto.

Recorde que na pgina 2 das Notas V denotamos o conjunto das permutaes de um conjunto com

m elementos por Sm. Temos ento uma correspondncia : G(K; F ) Sm onde () = restrio de

a {1, 2, . . . , m }. Verica-se trivialmente que um homomorsmo de grupos. Por outro lado,

pelo Corolrio da Proposio, pgina 14, Notas V, sabemos que K = F (1, 2, . . . , m). Resulta

disso que se () = 1 = id ento = 1, tambm. Logo injetiva e acabamos de demonstrar que

Proposio. Seja K o corpo de razes de um polinmio separvel f(x) F [x] que tem m razes

distintas. Ento G(K; F ) isomorfo a um subgrupo de Sm.

1

Mais precisamente seja : G(E; F ) Sm a funo que associa a cada G(E; F ) a permutao

do conjunto {1, 2, . . . , m }, (Poderamos ser mais formais denindo () : { 1, 2, . . . , n }

{ 1, 2, . . . , n } onde (i) = j se e somente se (i) = j.) Ento o homomorsmo injetivo e

portanto G(K; F ) ' Im subgrupo de Sm.

Podemos ento concluir que [K : F ] = |G(K; F )| m!.

Vamos vericar a validade da armao se () = 1 = id ento = 1 que zemos acima.

Estamos dizendo que se (t) = t, para todo 1 t m, ento = id. Lembre-se que temos uma

cadeia

F = Fo Fo(1) = F1 F1(2) = F (1, 2) Fi(i+1) Fm1(m) = F (1, . . . , m) = K.

Temos que a restrio de a cada um dos Ft a identidade. De fato, = id : Fo(1) Fo(1), ou

= id : F1 F1. Igualmente para F2, e assim por diante at Fm = K.

Vejamos um exemplo. Seja E = Q() com raiz primitiva quinta da unidade (5 = 1 e

wr 6= 1, para todo 1 r 4). Temos que raiz do polinmio x5 1 e conforme vimos na

Armao 1, pgina 2 das Notas VI, o polinmio mnimo de 5(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

e temos que [Q() : Q] = gr 5 = 4. Tambm vimos que Q() o corpo de razes de 5(x) e

G(Q(); Q) ' Z/(p 1)Z

Embora o clculo do grupo de Galois tenha sido abordado nas Notas VI, vamos reexamin-lo

agora, tendo em vista que queremos imergir o grupo em S4.

Sabemos que um G tem que levar uma raiz de 5(x) em outra raiz. Alm disso sabemos que

{ 1, , 2, 3, 4} uma base de E como Q espao vetorial. Tomemos ento uma funo : E E

caracterizada por () = 2 e vamos estende-la a base de E: (1) = 1,() = 2, (2) = 4,

(3) = , e (4) = 3. Observe que estamos impondo o que natural para um automorsmo

de E. Isto , como queremos que venha a ser um Q-automorsmo de E devemos impor que

(2) = ()2 = 4, e assim por diante, mas lembrando que 5 = 1 e portanto vo ocorrer redues

do tipo (3) = ()3 = 6 = . Vamos em seguida estender por linearidade a uma Q-linear de

E, pondo

(ao1+a1+a22 +a3

3 +a44) = ao1+a1

2 +a24 +a3+a4

3 = ao1+a3+a12 +a4

3 +a24.

Como leva base de espao vetorial em base de espao vetorial, como Q-transformao linear, j

2

ganhamos que bijetora e vale (x + y) = (x) + (y), x, y E. Tambm verdade que para

todo x Q Q1 E temos (x) = x. S falta vericar que a funo que construmos tambm

satisfaz (xy) = (x)(y).

Questo 1. Mostre que que a funo construda acima tambm tem a propriedade: (xy) =

(x)(y), x, y E.

Podemos repetir o que acabamos de fazer para construir o grupo de Galois G(Q(); Q) dos Q-

automorsmo de E. Chamemos de 1 o automorsmo que acabamos de construir. Observe que

iniciamos com 1() = 2. Seguindo pelo mesmo caminho podemos tambm construir 2 e 3 a

partir de 2() = 3 e 3() = 4. Vamos ento obter G(Q(); Q) = { 1, 1, 2, 3}. Podemos

tambm vericar que 3 = 21 e 2 = 31 e assim 1 um gerador do grupo de Galois.

Vamos agora olhar que permutaes de S4 vo corresponder aos automorsmos que construmos.

Vamos enumerar as razes de 5(x) da seguinte maneira:

1 = , 2 = 2, 3 =

3, 4 = 4.

teremos ento que

1(1) = 2, 1(2) = 4, 1(3) = 1, 1(4) = 3.

Logo 1 corresponde a permutao 1 2 4 3 1. Prosseguindo com esse trabalho vamos

encontrando as permutaes de S4 que correspondem aos outros dois elementos 2 e 3. Dessa forma

vamos megulhar G(Q(); Q) dentro de S4 como um sugbrupo de ordem 4. Mais ainda, pelo que

vimos a imagem de G(Q(); Q) dentro de S4 so as potncias da permutao (1243), onde estamos

apenas indicando a sequncia 1 2 4 3 1. Uma permutao desse tipo chamada de um 4-

ciclo (Sugerimos consultar o livro Elementos de lgebra de A. Garcia e Y. Lequain, Projeto Euclides,

IMPA, 2002, nas pginas 198 a 214 para recordar as propriedades dos grupos de permutao).

1 O Grupos de Simtrico Sn

Embora no haja tempo nem espao para tratarmos do grupo simtrico Sn vamos recordar alguns

poucos fatos que usaremos. Sugerimos novamente a leitura do livro Garcia-Lequain mencionado

acima.

3

O grupo Sn um objeto tpico da matemtica combinatorial. Essa parte da matemtica trata de

problemas como o chamado problema das quatro cores relacionado a colorir os estados, ou pases,

de um mapa de forma que no hajam duas guras com a mesma cor tendo fronteira em comum. O

Sn em particular est relacionado com o estudo das simetrias de um polgono regular.

Recordemos que Sn = { : {1, 2, . . . , n} {1, 2, . . . , n} | bijetiva }. Vamos a seguir iniciar o

estudo das permutaes.

Para cada permutao vamos recordar que o signicado de s:

s = s vezes

Isto , uma composio de funes. Sabemos que a composio de funes bijetivas tambm bijetiva.

Por isso todas as potncias de so funes bijetivas de {1, 2, . . . , n} em {1, 2, . . . , n}. Logo s tem

inverso (em Sn) para todo s 1.

Qual seria o inverso de s?

(s)1 = 1 1 1 s vezes

= s. (1)

Vamos ento denotar expoentes negativos como sendo a inversa de (1)s. Isto : Para toda Sne todo s Z denimos

s =

s vezes

se s 1;

1 = funo identidade se s = 0;

1 1 1 |s| vezes

se s < 0

Questo 2. Usando a denio acima mostre que as seguintes igualdades valem:

1. r, s Z e toda Sn, rs = r+s.

2. r, s Z e toda Sn, (r)s = rs. Em particular (r)1 = r.

3. r, s, t Z e toda Sn, (r+s)t = rt+st.

Nas Notas V, quando introduzimos grupos vimos que para toda Sn temos || = | < > | e

que || divide n! = |Sn|. Essa informao no parece grande coisa neste caso. Anal n! divisvel

4

por muita gente, Vamos detalhar um pouco mais a natureza de uma permutao discutindo o que

chamamos de estrutura de ciclos.

Para cada Sn chamamos de suporte de ao conjunto sup() = { j {1, 2, . . . , n} | (j) 6= j }.

Isto sup() o conjunto de elementos que a funo move. Claro que para todo i {1, 2, . . . , n},

com i 6 sup(), temos (i) = i. Tomemos como exemplo as permutaes , , S4 dadas por

(1) = 2 (2) = 1 (3) = 4 (4) = 3;

(1) = 3, (3) = 4, (4) = 1, (2) = 2

(1) = 3, (3) = 1, (2) = 4 (4) = 2.

Temos ento sup() = { 1, 2, 3, 4 }, sup() = { 1, 3, 4 }, sup() = { 1, 2, 3, 4 }. Encontre agora, como

exerccio sup( ) e sup(1).

A primeira coisa que queremos destacar que uma bijeo de sup() nele mesmo, isto ,

j sup() vale que (j) sup(). Reciprocamente, j sup() existe i sup() tal que

j = (i). ()

Vejamos: sejam j sup() e i { 1, . . . , n } tal que (j) = i. Temos que mostrar que (i)

sup(). Procurando por um absurdo, vamos supor que (i) = i (i 6 sup() (i) = i). Logo

i = (i) = 2(j). Como tambm (j) = i, vamos ter 2(j) = (j). Aplicando-se 1 nos dois

lados da igualdade obtemos (j) = j, uma contradio com j sup().

Logo (sup()) sup() e tomando-se a restrio : sup() sup() temos um funo injetiva

( injetiva de { 1, . . . , n } em { 1, . . . , n }). Mas uma funo injetiva de um conjunto nito nele