U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística

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(3.d) ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN MODELOS DE COLAS

• TEST DE χ2 PARA LOS PROCESOS DE LLEGADA YSERVICIO.

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA λ, µ, ρ.

• SIMULACIÓN DE UNA COLA M/M/1.

• PRÁCTICA 3.

3.3. ASIGNATURA INVESTIGACION OPERATIVA ESTOCASTICA 77

Semana 6

1. Sesion de laboratorio. 2h. Entrega de cuestionario

- Practica 2. Modelos de reemplazamiento. Obtener el punto de reemplazamiento segun laspolıticas de Barlow-Hunter para un dispositivo tipo k de entre n conocidas las funciones defiabilidad de sus componentes. Utilizacion de macros MINITAB para la resolucion grafica delproblema.

2. EXAMEN PARCIAL

2-TEORIA DE COLAS

Semana 7

1. Sesion de teorıa. 2h.- (3.a) Introduccion y propiedades basicas. Estructura general de los modelos de colas.Elementos de un sistema de espera y sus caracterısticas: poblacion, cola, sistema de servicio.Caracterısticas de los procesos de llegada y de servicio. Notacion de Kendall-Lee. Magnitudesfundamentales: Longitudes de cola y tiempo medio de espera por cliente. Formula de Little.

2. Sesion de laboratorio. 2h. Entrega de cuestionario

- (3.d) Practica 3. Ilustracion del comportamiento de una cola M/M/1. Intervalos de confi-anza para el factor de carga ρ y las tasas de llegada y servicio y test de χ2 para los procesosde llegada y servicio.

Semana 8

1. Sesion de teorıa. 2h.- (3.b) Modelos exponenciales. Procesos de nacimiento y muerte y estado estacionario.Tasas de llegada y de servicio dependientes del estado del sistema. Propiedades y ecuacionesde equilibrio. La cola M/M/1.

2. Sesion de problemas. 2h.

- Problemas relacionados con las ecuaciones de equilibrio en modelos exponenciales generales.

Semana 9

1. Sesion de teorıa. 2h.- (3.b) Casos importantes de colas exponenciales. colas M/M/s, M/M/s/K con ca-pacidad finita y colas M/M/s//N con poblacion finita; derivacion de las longitudes de cola ytiempos de espera por cliente.

2. Sesion de problemas. 2h. (En aula informatica)

- Problemas de modelos de colas vistos en la sesion de teorıa anterior mediante paquetes desoftware. El paquete qts excel.

Semana 10

1. Sesion de teorıa. 2h.- (3.c) Introduccion a los modelos no exponenciales y redes de colas. Las cola M/G/1y GI/M/1. Formula de Pollaczeck-Khintchine. Uso de aproximaciones. Formulas de Koller-strom y de Allen-Cuneen. Redes abiertas de colas. Teorema de Jackson.

2. Sesion de laboratorio. 2h.- Practica 4. Utilizacion del modelo de tiempo de vida desarrollado en la practica 2 y delpaquete qts excel para evaluar un modelo de un taller de reparaciones con un servidor medianteuna cola GI/M/1.

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EJEMPLOS COTIDIANOS

• PERSONAS QUE ACUDEN A UNA TIENDA PARA COMPRARUN PRODUCTO EN LA QUE HAY UN NÚMERO LIMITADODE EMPLEADOS QUE ATIENDEN A LOS COMPRADORES.

• AUTOMÓVILES QUE ENTRAN EN UNA ESTACIÓN DE PEAJEDE UNA AUTOPISTA .

• SISTEMA INFORMÁTICO CON UNA IMPRESORA EN UNCENTRO DE TRABAJO DONDE DEBEN IMPRIMIRSE LOSDOCUMENTOS DE LOS EMPLEADOS.

• OFICINA BANCARIA CON UN NÚMERO LIMITADO DEVENTANILLAS PARA ATENDER A LOS CLIENTES DELBANCO.

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ESTRUCTURA GENERAL DE LOS SISTEMAS DE ESPERA (S.E.)

Población Sistema de Espera

Cola Sistema de servicio

Control de Entrada

COMPONENTES:

POBLACIÓN de CLIENTES: GENERA CLIENTES/PETICIONES DE SERVICIO

CONTROL de ENTRADA: CRITERIO QUE PERMITE O DENIEGA LA ENTRADA DE LOS CLIENTES

SISTEMA de ESPERA: COLA: Lugar físico donde se espera servicio.

SISTEMA DE SERVICIO: Lugar donde se recibe el servicio.

POLÍTICA DE SERVICIO: REGLA QUE DETERMINA CUÁL DE LOS CLIENTES EN ESPERA ("HACIENDO COLA") PASARÁ A SER ATENDIDO PRIMERO.

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CARACTERÍSTICAS COMUNES EN LOS S.E.

Tiempo de permanencia en el S.E. = tiempo de espera (en cola) + tiempo de servicio

Proceso de llegadas: Los instantes en los que se producen las peticiones son aleatorios: (P.ej. los instantes de llegada de los clientes a una tienda)

Proceso de servicio: Los tiempos de servicio son también aleatorios: (v.a. continua)

τ1 τ2 τ3 τk-1 τk … …

t

Tiempo de servicioTiempo de espera en cola

Tiempo de permanencia en el S.E.Instante deentrada en el S.E.

Instante desalida del S.E.

Modelización:

Intervalo τ entrellegadas:

Proceso de renovación

Máquina 1

Máquina 2τ1

τ2

τN=2 N=3 N=5

N=20 N=50Palm(1943)

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NOTACIÓN de KENDALL-LEE

X/Y/s/[K]/[N]

Sigla que especifica elproceso de llegadas

Sigla que especifica lav.a. tiempo de servicio deun servidor

Número deservidores.Idénticos entresí, con tiempode servicio Y

Capacidad del S.E.(Opcional).

Si no aparece seentiende K=∞

Población.(Opcional).

Si no aparece seentiende N=∞

X, Y

• M - v.a. exponencial.• D - v.a. degenerada E[τ]=T, Var[τ]=0.• En - v.a. n-Erlang.• G - v.a. cualquiera (tiempos correlacionados

entre sí o no)• GI - v.a. cualquiera. Tiempos mútuamente

independientes.

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E.

SERVIDOR

COLA

Cn Cn+1 Cn+2 τn τn+1

Cn Cn+1 Cn+2

wq,n

Cn-1 Cn+2Cn Cn+1

xn+1 xn xn+2

wn

TIEMPO

wn+2

τn - Tiempo entre llegada delcliente n y n+1.

wn - Tiempo de permanenciaen el S.E. del cliente n.

wq n - Tiempo de permanenciaen cola. del cliente n.

xn - Tiempo de servicio delcliente n.N (t) - Número de clientes enel instante t en el S.E.

Nq(t) - Número de clientes enel instante t en Cola.

Pn(t) = P (N(t) =n)

N(t)

t

1

2

3

0

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E.

COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones:

1. En promedio la afluenciade clientes al S.E.sobrepasa la capacidad detrabajo del Sistema deServicio:

N(t) PRESENTA UNATENDENCIA CRECIENTE

2. El Sistema de Servicio tienesuficiente capacidad detrabajo frente a la afluenciade clientes:

N(t) puede crecer en ocasiones,pero el S.E. siempre retorna al

estado 0 (vacío)

t

N(t)

N(t)

t

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E.

Tiempo medio de espera por cliente en el S.E.

Tiempo medio de espera por cliente en Cola.

Número de llegadas en [0,t]: e(t)

Tasa media de llegadas en [0,t], Tasa media de llegadas a largo término:

Teorema de renovación

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E.

Resultado de Little. Para cualquier N(t) posible se verifica:

Análogamente, para cualquier Nq(t) posible se verifica:

N(t)

Ocupación media(nº medio de clientes) delS.E. a lo largo del tiempo.

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FÓRMULA DE LITTLE Situación 2.

siempre existe un número ilimitado de intervalos Io =[t', t''] con N(t)=0, t ∈ Io.

N(t)

t

1

2

3

0

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Práctica 3

Objetivo: Se dispone de una muestra de los tiempos entrellegadas a un S.E. y de los tiempos de servicio del servidor deeste S.E. En ambos casos el tamaño de la muestra es de 1000observaciones. Se sabe que corresponden a distribucionesexponenciales de tiempo. Se pretende:

a) Verificar mediante el test de χ2 que efectivamentecorresponden a una distribución exponencial.

b) Obtener los intervalos de confianza para la tasa dellegadas por unidad de tiempo (parámetro λ de ladistribución exponencial del proceso de llegadas) y para elfactor de carga ρ del S.E.

c) Simular mediante la macro mm1.mtb el comportamientodel S.E. comparando las magnitudes L, W, Wq obtenidasmediante la simulación con los que proporciona la teoría decolas.

x0 x1 x2 x3 ….

1F(x)

TEST DE BONDAD DE AJUSTE DE χ2

Se quiere comprobar la bondad de ajuste de una muestrat1, t2, …, tn a una distribución (p.ej: k-Erlang de parámetros: ketapas y 1/λ=tiempo medio por etapa=E[t]/k (o Gamma(λ,k)).a) Se fijan un conjunto de subintervalos [xi, xi+1] en número

total N que recubren todo el intervalo de valores posiblespara la v.a. t de forma que P(xi ≤ t ≤ xi+1) =1/N. El númeroesperado de elementos de la muestra que deberían estarcomprendidos en cada subintervalo debería ser constante:

ne = n/N.

( )∑

−

==

N

i en

neniX

1

22

X 2 se distribuye aproximadamente según una ley χ 21−−mN ,

siendo m el número de parámetros de la distribución quehayan sido estimados utilizando la misma muestra.

c) Se cuenta el número de elementos ni de la muestra quecaen en cada subintervalo i.

Se calcula una medida global de la discrepancia entre ni y ne :

Se rechazará ladistribución propuesta si

P (x ≥ X 2) = p-valor < α

Procedimiento para usar la macro "x2.mtb":

Supongamos, por ejemplo, que se dispone de una muestrapara la que las estadísticas básicas son:

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Meansample 500 19,914 19,607 19,702 5,990 0,268

Variable Minimum Maximum Q1 Q3sample 6,607 41,172 15,660 23,373

1) Estimación de los parámetros de la distribución: Etapas

05,1199,591,19

22

=

=

=

s t

tk; se adopta 11; tiempo medio por etapa 19,91/11= 1,81036

2) Estableced los valores de las constantes k100, k101, k102, k103. MTB> let k100=11 Nº de etapas MTB> let k101=1,81036 Tiempo medio por etapa MTB> let k102=500 Tamaño de muestra MTB> let k103=7 Grados de libertad MTB> exec "x2.mtb" Proporciona: - El p-valor en la constante k105 y el resto de constantes k100-k104 bajo las que

ha ejecutado. - El valor de X2 en k104

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Se dispone de dos muestras t1, t2, …, tn y s1, s2, …, sm paralos procesos de llegada y de servicio (tiempos distribuidosexponencialmente).

Se quiere encontrar un intervalo de confianza de probabilidad1-α para las tasas de llegada λ , de servicio µ y para el factorde carga ρ de un S.E. M/M/1 partir de las dos muestras.

El estimador máximo verosímil para λ y µ es:

Tt nn

ii

nn ==∑=1

λSs m

m

ii

mm ==∑=1

µ

Intervalos de confianza para las tasas λ y µ y para elfactor de carga ρ = λ/µ.

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Dado que Tn se distribuye según una ley n-Erlang deparámetro θ = λ/k (o también una Gamma(λ, n) ),

[ ] [ ] χλλλ 221 2

12222 nnnn

ii nGammanEE TTt =

⇒==∑

=,~

Fmn mnmn 2222

22 22 ,~

ˆˆ

ˆ~ˆ

,~ˆ ρρ

µµ

λλ

χµµχ

λλ =⇒

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Tabla con los tamaños de muestra necesarios para obtener I.C. del95% y su amplitud.

n=m f- f+ ef(%) x-/2n x+/2n ex(%) . 10 0,405 2,461 143 0,479 1,708 112 100 0,757 1,321 54 0,813 1,205 38 1000 0,916 1,091 17 0,939 1,062 1210000 0,972 1,028 5 0,980 1,019 3

I.C. al 1-α para λ:

+− xnxn 22

λλ ˆ,

ˆ [ ]ff +− ρρ ˆ,ˆI.C. al 1-α para ρ :

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Simulación del S.E. M/M/1.La simulación puede efectuarse mediante la macromm1.mtb. Préviamente require que las constantesK1, K2, K3, K4 estén debidamente inicializadas:

K1 = N, número de clientes.K2 = 1/λ, tiempo medio entre llegadas.K3 = 1/µ tiempo medio de servicio.

MTB> let K1= 500MTB> let K2= 20,0MTB> let K3= 8,0MTB> exec "mm1.mtb"

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RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN

K1 500,000 N=Número de clientes que han entrado en el S.E.K2 20,0000 1/λK3 8,00000 1/µP0 0,578429 P0 Fracción de tiempo que el servidor está ocioso.rho 0,421571 ρ (estimación por simulación)inrate 0,049953 λ (estimación por simulación)WaitS 13,4386 WWaitQ 4,98271 WqLsistavg 0,67130 LLastWs 1,60498 Permanencia del último cliente en el S.E.T_H 10009,3 Tiempo entre la 1ª y última entrada.

∫= t dNt

tL 01 ττ )()(

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EJEMPLO DE LA EVOLUCIÓN DE UNA COLA M/M/1COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones:

1. En promedio la afluenciade clientes al S.E.sobrepasa la capacidad detrabajo del Sistema deServicio:

N(t) PRESENTA UNATENDENCIA CRECIENTE

2. El Sistema de Servicio tienesuficiente capacidad detrabajo frente a la afluenciade clientes:

N(t) puede crecer en ocasiones,pero el S.E. siempre retorna al

estado 0 (vacío)

t

N(t)

N(t)

t

ρ ≥ 1

ρ <1

Diagrama de tasas de transición

Muestra las posibles transiciones permitidas en el estado del sistema enun instante.

La distribución de probabilidades del estado del sistema, N(t), en régimenestacionario es relativamente intuitivo de deducir a partir del diagrama detasas de transición.

0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •

λ0 λn-1λ2λ1 λn λn+1

µ1 µ2 µ3 µn µn+1 µn+2

Tasas del proceso de llegadas al S.E.

Tasas del proceso de servicio en el S.E.