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UNLP – FIEstructuras IV - Aeronáutica

Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase

Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero1

Secciones de paredes delgadas abiertascon alabeo restringido

Resolución del ejercicio:

Se estudiarán las deformaciones y el estado tensional debidas a un momento torsor con alabeo restringido sobre el larguero principal de un avión de mediano porte similar al Piper Azteca, con las siguientes características geométricas:

* Dimensiones en mm** Material: Aluminio 7075 – T6




Interpretación conceptual de C.C.:

Equilibrio de fuerzas y momentos en todos los puntos del sólido (principios de la estática).

INT EXT

INT EXT

M M

F F

=

=∑ ∑∑ ∑

Qyz

y

En la sección transversal:

x x

y

y

A¿Cuánto vale ?τ

y x

x

Q SJ t

τ =

τ

Válido para los ejes principales de la sección.

Repaso





¿Dónde debe aplicarse la carga de corte para que se cumplan éstas condiciones de equilibrio en flexión simple?

A

Qy

lA¿Cuánto es el giro de la sección en su plano?

0φ =

INT EXT

a aA

M M

r dA Q lτ

=

=

∑ ∑∫

INT EXT

A

F F

dA Qτ

=

=

∑ ∑∫

RepasoEn la sección transversal:





¿Se cumple el equilibrio de fuerzas con las tensiones de corte de flexión simple?

¿Se cumple el equilibrio de momentos en la sección?

NO HAY EQUILIBRIO DE MOMENTOS

Por lo tanto, la sección gira: 0φ ≠

AQy

lA e

Otro caso:

HAY EQUILIBRIO DE FUERZAS

El estado tensional planteado es incompleto si la

resultante (Q) no pasa por el Centro de Corte de la sección.

y x

x

Q SJ t

τ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠





Si Q no está aplicado en el CC, las tensiones tangenciales totales son:

2

h ty x

Q Mtx

Q S MtJ t

τ τα

= =

Q +Total Mtτ τ τ=

+

y x x y

Totalx y

Q S Q SJ t J t

τ =

Considere un caso general de Q:

El equilibrio de esfuerzos en la sección se satisface cuando la resultante pasa por el C.C.





Qy

C.C.

Qx

C.C.

A

A

x

x yQ

y

Q SJ t

τ =

y

y xQ

x

Q SJ t

τ =




Interpretación conceptual de C.C.

Recordar:

Centro de flexión = Centro de corte (C.C.):

Es el punto donde aplicada una carga de corte la sección transversal de una viga no se genera un giro de la sección en el plano de la misma (torsión).

Ante una solicitación de momento torsor puro, todos los puntos de la sección giran alrededor del C.C.




Calcular:1. Obtener el diagrama de área sectorial con polo (P) en el

C.C. (centro de flexión)

2. Considerando que la viga se encuentra libre de alabear y que la fuerza de sustentación excéntrica respecto del C.C. genera un Mt de 25Nm sobre la viga, determine y grafique el diagrama de alabeo de la sección. (Calcule el giro unitario a partir de la teoría de Saint Venant de torsión)

3. Si la raíz del ala se encuentra impedida de alabearse, obtenga y grafique la variación del giro unitario de las secciones en función de z.

4. Calcule las tensiones normales, tangenciales principales y secundarias para el inciso 3 en las estaciones indicadas en el esquema.Considerando los puntos donde la tensión tangencial resultante es máxima en las secciones analizadas, indique en una tabla el valor de las tensiones de cada sección analizada e indique el valor porcentual de las tensiones tangenciales principales y secundarias referidas a la tensión tangencial total.

Est “4.5”

Est “2”

Est “0”

z




Resolución inciso 1:

Recordar:

Válido para el sistema de ejes principales de la sección con origen en el baricentro de la sección

. `. . `.; c c

x y

y w dA x w dAx y

I I

−= =∫ ∫





Baricentro de la sección:

Momento de inercia y

.0,112 i i

cgt

y Ay m

A= =∑

-06 42,77epyI m= x

xp

y=yp





Diagrama de área sectorial con polo y origen en el baricentro:

CG P O≡ ≡

+

-

-

-+

W´





Como el diagrama w´ es antisimétricoy el diagrama de “y” es simétrico la integral es igual a cero.

Recordar que el C.C. se ubica en los ejes de simetría de la sección, si ésta los tiene -> xc.c.= 0

. `.y w dA∫





. .

. `.0,071c c

y

x w dAy m

I= =∫

Referido a los ejes principales de inercia con origen en el baricentro

-

-

xp

+

- +

CG P O≡ ≡

+

-

-

-+

W´





Punto w´ [m2] w [m2]

1 -4,4E-03 -8,8E-04

2 -6,9E-03 -3,4E-03

cg 0 0

3 0 0

0 0 0

4 2,8E-03 4,6E-03

5 3,8E-03 5,6E-03

CG P O≡ ≡

+

-

-

-+

W´

CG P O≡ ≡

+

-

-

-+

CG P O≡ ≡

+

-

-

-+

W´

ccy P O≡ ≡

+

-

-

-+

ccy P O≡ ≡

+

-

-

-+

W





Alabeo de la sección:W= -θsv.w

Punto Alabeo (m) Alabeo (mm)

1 1,4E-05 0,01

2 5,4E-05 0,05

cg 0 0

3 0 0

0 0 0

4 -7,2E-05 -0,07

5 -8,8E-05 -0,09

31 . . .3

tSV

i i

M

G S tθ =

∑





1 3 . ( . )1/ 3. . .

t

i i

MC tanh LG S t

α=∑

1 2. ( ) . ( )

SV

C senh z C cosh z SPSPθ

θ= + +

=

0ddZ

θ=

Condiciones de borde1. Z=0, W=0 entonces θ = 0

2. Z=L, σ =0 entonces

2 31/ 3. . .t

i i

MCG S t−

=∑

)z.(senoh..C)z.cosh(..Cdzd

21 ααααθ+=





A partir de la obtención de las constantes se podrán obtener las derivada primera y segunda del giro unitario o específico:

E.It.S1/3.G.

t.S.G.3/1M..

dzd

w

3ii

3ii

t2

22

2

∑∑

=

−=−

α

αθαθ

∑∑−++= 3

ii

t3

ii

t21

t.S..G.3/1)L.tanh(.Mz.

t.S.G.3/1M)z.(senoh.C)z.cosh(.C

ααα

αα

αϕ





-2.0E-02

-1.5E-02

-1.0E-02

-5.0E-03

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

1.5E-02

2.0E-02

0 1 2 3 4 5

z (m)

theta

theta.

theta..

theta SV

θ

θ θS.V. θ





0.0E+00

1.0E-02

2.0E-02

3.0E-02

4.0E-02

5.0E-02

6.0E-02

7.0E-02

8.0E-02

0 1 2 3 4 5

z (m)

Rad

.

Phi - Alabeo restringido "Phi - SV





Tensiones normales originadas por la restricción del alabeo:

dzd.w.E θσ −=

Tensiones tangenciales originadas por la restricción del alabeo:

]m[2.4edA.wI ,dA.wt.I

M 608-2w

w

22 ==

−= ∫∫τ





ccy P O≡ ≡

+

-

-

-+

ccy P O≡ ≡

+

-

-

-+

W ∫ dA.w





Estación1 2 cg 3 0 4 5

0 950 3644 0 0 0 -4913 -59910.5 585 2243 0 0 0 -3023 -36871 360 1379 0 0 0 -1860 -2268

1.5 221 848 0 0 0 -1143 -13932 135 519 0 0 0 -700 -853

2.5 82 315 0 0 0 -425 -5193 49 187 0 0 0 -253 -308

3.5 27 105 0 0 0 -141 -1724 12 47 0 0 0 -63 -77

4.5 0 0 0 0 0 0 0

σ (KPa)


0 112 0 0 -331 135 -212 00.5 69 0 0 -204 83 -130 01 42 0 0 -126 51 -80 0

1.5 26 0 0 -77 31 -50 02 16 0 0 -48 19 -31 0

2.5 10 0 0 -30 12 -19 03 6 0 0 -19 8 -12 0

3.5 4 0 0 -13 5 -8 04 3 0 0 -9 4 -6 0

4.5 3 0 0 -8 3 -5 0

τ2 (KPa)




¿Por qué τ2 no es cero en el extremo libre?

Las tensiones normales producto de la restricción del alabeo varían a lo largo de la sección, así como en la dirección longitudinal de la viga. La tensión tangencial secundaria aparece para equilibrar estas variaciones en las tensiones normales. x

y

dxa dxb

σa+dσa

σb+dσb

σa

σbτ2a

τ2b

z

z

y x




¿Por qué τ2 no es cero en el extremo libre?

En el extremo libre, la tensión normal es cero. A pesar de esto, debe aparecer una tensión τ2 para equilibrar la variación longitudinal de las tensiones normales:

x

y

dxa dxb

dσa

τ2a

τ2b

dσb

z

z

y x





Tensiones normales

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

0 1 2 3 4 5

z (m)

KPa

Tension normalpto 1Tension normalpto 2Tension normalpto cg - 3 & 0Tension normalpto 4Tension normalpto 5





Tensiones tangenciales secundarias

-400

-300

-200

-100

0

100

200

0 1 2 3 4 5

z(m)

KPa

Tension de corte2 - pto 1

Tension de corte2 - pto 2-cg -5Tension de corte2 - pto 3

Tension de corte2 - pto 4





Alabeo de las secciones

-1.0E-01

-8.0E-02

-6.0E-02

-4.0E-02

-2.0E-02

0.0E+00

2.0E-02

4.0E-02

6.0E-02

0 1 2 3 4 5

z (m)

w (m

)

Alabeo punto 1Alabeo punto 2Alabeo punto cgAlabeo punto 3Alabeo punto 4Alabeo punto 5





Valores porcentuales de τ2


0 3.7 0.0 0.0 -10.3 4.5 -6.8 0.00.5 2.3 0.0 0.0 -6.6 2.8 -4.3 0.01 1.4 0.0 0.0 -4.2 1.7 -2.7 0.0

1.5 0.9 0.0 0.0 -2.6 1.1 -1.7 0.02 0.6 0.0 0.0 -1.6 0.7 -1.0 0.0

2.5 0.3 0.0 0.0 -1.0 0.4 -0.7 0.03 0.2 0.0 0.0 -0.7 0.3 -0.4 0.0

3.5 0.1 0.0 0.0 -0.4 0.2 -0.3 0.04 0.1 0.0 0.0 -0.3 0.1 -0.2 0.0

4.5 0.1 0.0 0.0 -0.3 0.1 -0.2 0.0

τ2 %




Momento torsor de SV y momento torsor por restricción de alabeo

∑=

−=

θ

θ

.t.S.G.31M

dzd.I.EM

3ii1

2

2

w2




Variación del momento torsor

Momento torsor

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

0 1 2 3 4 5

z(m)

Nm

M1M2Mtotal

En la raíz de la viga el momento es absorbido únicamente por la restricción del alabeo producto que el giro unitario de esa sección es 0.




Simulación numérica

Modelo de Elementos Finitos (FEM)





Tensiones Normales





Tensiones Normales. Comparación con resultados analíticos

¿Tiene sentido el valor de tensión normal encontrado para el extremo libre en el modelo de elementos finitos?

Estación [m] 2 5 2 5 2 50 3644212 -5990723 3770000 -6080000 3.5% 1.5%2 519166 -853457 480000 -790000 -7.5% -7.4%

4.5 0 0 285000 -240000 - -

Error %Punto en la secciónPunto en la sección Punto en la sección

FEMAnalítico

Tensiones Normales en Pascales





Tensiones Tangenciales





Tensiones Tangenciales. Comparación con resultados analíticos

¿Son confiables los resultados del modelo de elementos finitos en los extremos de la viga? ¿Por qué?

Estación [m] 2 5 2 5 2 50 2887948 2887948 180000 170000 -93.8% -94.1%2 2887948 2887948 2160000 2150000 -25.2% -25.6%

4.5 2887948 2887948 300000 365000 -89.6% -87.4%

Analítico FEM Error %Punto en la sección Punto en la sección Punto en la sección

Tensiones Tangenciales en Pascales





Tensiones de Von Mises





Giro de la sección

Giro en el extremo [Rad.]Analítico FEM Error %0.0551 0.0574 4.25%





Alabeo





Alabeo de la sección. Comparación con resultados analíticos

Estación [m] 2 5 2 5 2 50 0 0 0 0 0% 0%2 4.59E-05 -7.55E-05 4.75E-05 -7.83E-05 3.5% 3.8%

4.5 5.23E-05 -8.60E-05 5.00E-05 -8.78E-05 -4.4% 2.1%

Punto en la sección Punto en la sección Punto en la secciónAnalítico FEM Error %

Alabeo en metros.




Simulación numéricaConclusiones:

• La simulación numérica es una herramienta que debe ser utilizada con precaución dado que sus resultados pueden no ser correctos.

•La resolución numérica del problema no asegura la obtención del resultado exacto de las incógnitas (desplazamientos y rotaciones). Es de esperar que, si las variables del problema tienen error, los parámetros obtenidos a partir de éstas (por ej. tensiones), tengan mayor error.

• Los resultados de una simulación numérica deben validarse mediante otro tipo de cálculos o mediante ensayos.

• Sin criterio, la simulación numérica es otra herramienta mal usada.

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