Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É...

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Conceito Função densidade de probabilidade e função de distribuição Variáveis aleatórias contínuas distribuição Valor esperado e variância Distribuições de probabilidade χ 1 Uniforme Exponencial Normal χ 2 t F

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  • � Conceito� Função densidade de probabilidade e função de

    distribuição

    Variáveis aleatórias contínuas

    distribuição� Valor esperado e variância

    Distribuições de probabilidade

    χ

    1

    � Uniforme

    � Exponencial

    � Normal

    � χ2

    � t

    � F

  • Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas

    DefiniçãoDefinição:: São contínuas todas as variáveis cujo espaçoamostral SSXX é nãonão enumerávelenumerável .�������� Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir�������� Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir

    qualquer valor num intervalo [a[a;; b]b] ou no intervalo ((--∞∞∞∞∞∞∞∞;;++∞∞∞∞∞∞∞∞)).�������� O espaço SSXX será sempre definido como um intervalo do

    conjunto dos reaisreais , sendo, portanto, um conjunto infinito.

    Exemplos:Exemplos:

    �������� tempo de reação de uma mistura

    2

    �������� tempo de reação de uma mistura�������� vida útil de um componente eletrônico �������� peso de uma pessoa�������� produção de leite de uma vaca�������� quantidade de chuva que ocorre numa região

  • 11.. FunçãoFunção densidadedensidade dede probabilidadeprobabilidade

    DefiniçãoDefinição:: Seja X uma variável aleatória contínua e SX oseu espaço amostral. Uma função ff associada a variável Xé denominada funçãofunção densidadedensidade dede probabilidadeprobabilidade (fdp)(fdp)

    1.1. f(x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SX

    se satisfizer duas condições:

    2.2. 1 f(x)dxXS∫ = = P(X∈∈∈∈SX)

    Esta área corresponde Esta área corresponde à probabilidade de a à probabilidade de a

    variável variável XX pertencer ao pertencer ao

    3

    XSespaço amostral espaço amostral SSXX

    É toda a função que não assuma valores negativos, ou cujo gráfico É toda a função que não assuma valores negativos, ou cujo gráfico esteja acima do eixo das abscissas, e cuja área compreendida entre a esteja acima do eixo das abscissas, e cuja área compreendida entre a função e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um).função e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um).

  • área = 1

    f (x)

    área = 1

    f (x)

    SX

    x0

    4

    área = 1

    SX

    x0

  • Exemplo:

    Seja a função f (x) = 2x, no intervalo SX = [0,1]. Verifique se f (x)é uma função densidade de probabilidade.

    PrimeiraPrimeira condiçãocondição:: f (x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SXf (x)Como a função é linear, são necessários

    f (x=0) = 2××××0 = 0

    f (x) = 2x

    2

    1

    Como a função é linear, são necessáriosdois pontos para traçar a reta.Por conveniência esses pontos são oslimites do intervalo SX.

    5

    f (x=0) = 2××××0 = 0

    f (x=1) = 2××××1 = 2

    x0 1Todos os valores da função Todos os valores da função f (x) f (x) são não são não

    negativos no intervalo de 0 a 1.negativos no intervalo de 0 a 1.SX

  • 1 f(x)dxXS∫ =Segunda condição:Segunda condição:

    12

    212

    hb =×=×Área: 122

    ==

    A área sob a função A área sob a função f (x) f (x) no no intervalointervalo SSXX, que equivale a , que equivale a P(XP(X∈∈∈∈∈∈∈∈SSXX)), é igual a 1., é igual a 1.

    Área:

    6

    A função A função ff (x) = 2x(x) = 2x, no intervalo , no intervalo SSXX =[0, 1] é uma função =[0, 1] é uma função

    densidade de probabilidade!!densidade de probabilidade!!

  • Seja A=[0, 1/2]. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A?

    Área: 41

    211/2

    2hb =×=×

    Probabilidade = área

    Área: 422

    ==

    P(0 ≤ X ≤ 1/2) = 1/4

    7

    A

  • Importante!!!Importante!!!

    No caso de variáveis contínuas, as representações aa≤≤xx≤≤bb, aa≤≤xx

  • 2. Função de distribuição ou probabilidade

    acumulada

    DefiniçãoDefinição:: Seja X uma variável aleatória contínua e SX oseu espaço amostral. A função de distribuição, denotada porF(x)F(x) ou P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) , é a funçãofunção queque associaassocia aa cadacada pontoponto xx∈∈∈∈∈∈∈∈SS

    ∫∞−

    x

    f(t)dt

    F(x)F(x) ou P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) , é a funçãofunção queque associaassocia aa cadacada pontoponto xx∈∈∈∈∈∈∈∈SSXXaa probabilidadeprobabilidade P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) . Desta forma, tem-se

    F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) =

    Se S =[a, b], então

    , para SX = (-∞;+∞).

    9

    Se SX =[a, b], então

    F(a) = P(X ≤ a) = 0F(b) = P(X ≤ b) = 1 a b

  • x

    F(x) f(t) dt −∞

    = ∫

    Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]

    x

    0

    2t dt = ∫

    x2

    0

    t2

    2

    =

    10

    2xF(x) =

  • 2xF(x) =

    Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]

    000)P(XF(0) 2 ==≤=

    111)P(XF(1) 2 ==≤=

    ( ) ( ) ( ) 1/41/21/2XP1/2F 2 ==≤=

    P(A) = F(1/2)=1/4

    000)P(XF(0) ==≤=

    11

    A=[0, 1/2]

    B=[1/2, 1]

    P(A) = F(1/2)=1/4

    P(B) = F(1)-F(1/2) =1-1/4=3/4

  • Medidas descritivasMedidas descritivas

    Definição:Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral. O valor esperado de X, denotado por E(X)E(X) ou µµµµµµµµ , será dado por

    �������� MédiaMédia ouou valorvalor esperadoesperado

    ∫XS

    f(x)dxx por

    E(X) = µ =

    = µ = ∫E(X) xf(x) dx

    Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]

    12

    = µ = ∫xS

    E(X) xf(x) dx

    = ∫1

    0

    x2x dx

    = ∫1

    2

    0

    2x dx = ∫1

    2

    0

    2 x dx

    =

    13

    0

    x2

    3= 23

  • ∫ −=−==222 f(x)dxµ)(xµ)E(XσV(X)

    Medidas descritivasMedidas descritivas

    (Fórmula de definição)

    Definição:Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral. A variância de X, denotada por V(X)V(X) ou σσσσσσσσ22, será dada por

    �������� VariânciaVariância

    ∫ −=−==XS

    f(x)dxµ)(xµ)E(XσV(X) (Fórmula de definição)

    2

    S

    2222µf(x)dxxµ)E(XσV(X)

    X

    =−== ∫ (Fórmula prática)

    Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]

    = σ = − µ2 2 2V(X) E(X )

    13

    = σ = − µV(X) E(X )

    = − µ ∫1

    2 2

    0

    x 2x dx = −

    213

    0

    22x dx

    3

    = −

    14

    0

    x 42

    4 9= −1 42 9

    −= =9 8 118 18

  • Exercício:

    Determinar a média e a variância da vac cuja fdp é dadapor:

    f(x) = 3x2 se -1 ≤ x ≤ 0µ = -3/4 e σ2 = 3/80

    Solução:

    µ = E(X)0

    1x f(x) dx

    −= ∫

    0 2

    1x (3x ) dx

    −= ∫

    0 3

    1(3x ) dx

    −= ∫

    04

    1

    34x

    =

    3

    4= −

    14

    σ2 = V(X)

    1−

    0 2 2

    1x f(x) dx µ

    −= −∫ ( )

    20 2 2

    13x (3x ) dx 4−= − −∫

    ( )0 41 93x dx 16−= −∫ ( )05

    1

    x 93 165 −

    = −

    3 95 16

    = − 380

    =

  • Distribuições de probabilidade de variáveis contínuas

    �������� É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínuade uma variável contínua

    �������� pesquisa bibliográfica �������� observação do campo de variação da variável

    Existem vários tipos de distribuições contínuas:

    �������� Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

    �������� Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial

    �������� Distribuição NormalDistribuição Normal

    15

    �������� Distribuição Distribuição χ2

    �������� Distribuição tDistribuição t

    �������� Distribuição FDistribuição F

  • 1. Distribuição Uniforme

    Definição: Seja X uma variável aleatória contínua que assume valores no intervalo [α, β]. Se a probabilidade de X assumir valores num subintervalo é a mesma que para X assumir valores num subintervalo é a mesma que para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento, então, esta variável tem distribuição uniforme.

    16

  • Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade

    1 , para x f(x)

    0, em caso contrário

    ≤ ≤−=α ββ α

    Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada

    ∫ ∞−x

    dx f(x)

    0, se x

    x, se x

    1, se x

    < − ≤ ≤ − >

    αα α β

    β αβ

    F(x) = P(X ≤ x) = =

    x17

  • ParâmetrosParâmetros

    A distribuição uniforme tem dois parâmetros:

    α: menor valor para o qual a variável X está definidaβ: maior valor para o qual a variável X está definida

    X ~ U (α, β)

    Medidas descritivasMedidas descritivas

    � Média ou valor esperado: ( )E(X)2+= = β αµ

    X ~ U (α, β)

    � Variância:

    2

    22 ( )V(X)

    12−= = β ασ

    18

  • Descrição probabilística de uma variável aleatória contínua queassume valores no intervalo [α, β], cuja probabilidade de assumirvalores num subintervalo é a mesma que para qualquer outrosubintervalo de mesmo comprimento.

    RESUMO - Distribuição Uniforme

    x

    subintervalo de mesmo comprimento.

    Função dens. probabilidadeFunção dens. probabilidade

    ParâmetrosParâmetros α: menor valor para o qual a variável X está definida

    1 , para x f(x)

    0, em caso contrário

    ≤ ≤−=α ββ α

    ParâmetrosParâmetros

    Medidas descritivas Medidas descritivas ( )

    E(X)2+= = β αµ

    22 ( )V(X)

    12−= = β ασ

    α: menor valor para o qual a variável X está definidaβ: maior valor para o qual a variável X está definida

    19

  • Exemplo: Seja X uma variável aleatória contínua comdistribuição uniforme no intervalo [5, 10]. Determinar asprobabilidades:

    a) P(X < 7)b) P(X > 8,5)

    αβα

    −−==< xxFxXP )()(

    c) P(8 < x < 9)

    Utilizando a função de distribuição acumulada:

    a)

    x

    αβ −

    0,452

    51057

    7)P(X ==−−=

    −−=<

    αβαx

    b)

    c)

    20

    0,35

    1,5510

    8,5108,5)P(X ==

    −−=

    −−=>

    αββ x

    0,251

    51058

    51059

    8)P(X-9)P(X9)XP(8 ==−

    −−−

    −=−−−

    −−=

  • Exercício: Uma variável X é uniformemente distribuída no intervalo [10, 20]. Determine:a) valor esperado e variância de X

    20 e 10 == βα15

    210)(20

    2E(X) =+=+== α)(βµ

    b) P(12,31 < X < 16,50)

    22

    8,3312

    10)(2012

    )(V(X)

    222 =−=−== αβσ

    αβα

    −−==< xxFxXP )()(

    0,419010

    12,3116,501020

    1012,4311010

    1016,50

    F(12,31)F(16,50)16,50)XP(12,31

    =−=−

    −−−

    −=

    −=

  • 2. Distribuição Exponencial

    Definição: Seja X uma variável aleatória contínua que só assume valores não negativos . Se esta variável é o tempodecorrido entre ocorrências sucessivas de um processo de decorrido entre ocorrências sucessivas de um processo de Poisson, então ela tem distribuição exponencial.

    22

  • Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é definidacomo o número de ocorrências (sucessos) em determinadoperíodo de tempo, sendo a média das ocorrências noperíodo definida como λ.

    Na distribuição exponencial, a variável aleatória é definidaNa distribuição exponencial, a variável aleatória é definidacomo o tempo entre duas ocorrências, sendo a média detempo entre ocorrências igual a 1/λ.

    Por exemplo, se a média de atendimentos no caixa de umaloja é de λ = 6 clientes/min, então o tempo médio entreatendimentos é 1/λ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.atendimentos é 1/λ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.

    A distribuição exponencial é muito utilizada no campo daconfiabilidade para a modelagem do tempo até a ocorrênciade falha em componentes eletrônicos, bem como do tempode espera em sistemas de filas.

    23

  • Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade

    Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada

    xe , para x 0f(x)

    0, em caso contrário

    −λ

    >=

    λ

    Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada

    x

    0, se x 0

    1 e , se x 0−λ

  • ParâmetrosParâmetros

    A distribuição exponencial tem apenas um parâmetro:

    λ: número médio de ocorrências em determinadoperíodo de tempo (λ>0)

    X ~ Exp(λ)

    Medidas descritivasMedidas descritivas

    � Média ou valor esperado: 1E(X) = =µλ

    X ~ Exp(λ)

    � Variância:

    λ

    1V(X) 2

    2= =σ

    λ

    25

  • Descrição probabilística de uma variável aleatória contínua queé o tempo decorrido entre ocorrências sucessivas de umprocesso de Poisson.

    RESUMO - Distribuição exponencial

    x

    1-e-λx

    e-λx

    Função dens. probabilidadeFunção dens. probabilidade

    ParâmetrosParâmetros λ: número médio de ocorrências em

    xe , para x 0f(x)

    0, em caso contrário

    −λ

    >=

    λ

    ParâmetrosParâmetros

    Medidas descritivas Medidas descritivas 1

    E(X) = =µλ

    1V(X) 2

    2= =σ

    λ

    λ: número médio de ocorrências em determinado período de tempo (λ>0)

    26

  • Exemplo: Os tempos até a falha de um dispositivoeletrônico seguem o modelo exponencial, com uma taxade falha λ = 0,012 falhas/hora. Indique qual a probabilidadede um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 50horas? E a 100 horas?

    x

    1-e-λx

    e-λxX: tempo até a falha (horas)

    X ~ Exp(0,012)

    54880ee50XP 6050x0120 ,)( ,, ===> −−

    30120ee100XP 21100x0120 ,)( ,, ===> −−

    27

  • Exercício: Suponha que um componente eletrônico tenha umtempo de vida X (em unidades de 1000 horas) que segue umadistribuição exponencial de parâmetro λ = 1. Suponha que ocusto de fabricação do item seja 2 reais e que o preço de vendaseja 5 reais. O fabricante garante devolução total se X < 0,90.Qual o lucro esperado por item?Qual o lucro esperado por item?

    X ~ Exp(1)

    x

    1-e-λx

    e-λxA probabilidade de um componente durar menos de 900 horas é dada por:

    Assim, o lucro do fabricante será uma variável aleatória discreta Y com a seguinte distribuição:

    0,9P(X 0,9) F(0,9) 1 e 0,5934−< = = − =

    discreta Y com a seguinte distribuição:

    Então o lucro esperado será:

    E(Y) = -2 × 0,5934 + 3 × 0,4066 = R$ 0,03

    Y y= -2 3 Σ P(Y y)= 0,5934 0,4066 1

    28

  • É importante tanto no aspecto teórico como nas aplicações. Essa importância se deve a um conjunto de aspectos:

    �������� É útil para descrever uma grande quantidade de fenômenos naturais físicos, ambientais, etc.

    3. Distribuição Normal

    naturais físicos, ambientais, etc.

    �������� Muitas variáveis não normais podem ser aproximadas como normais após transformações simples.

    �������� Propriedades matemáticas.

    �������� Distribuições de um grande número de variáveis aleatórias convergem para a distribuição normal.

    �������� Uma grande quantidade de métodos e procedimentos de inferência estatística são derivados tendo-a como pressuposição básica.

    O conjunto de métodos desenvolvidos para tratar variáveis que têm distribuição normal forma a chamada Estatística ClássicaEstatística Clássica ou Estatística ParamétricaEstatística Paramétrica .

    29

  • Distribuição normal

    DefiniçãoDefinição:: É uma distribuição teórica de frequências, onde amaioria das observações se situa em torno da médiamédia (centro) ediminui gradual e simetricamente no sentido dos extremos.

    A distribuição normal é representada graficamente pela curvanormal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e é simétricasimétricaem relação ao centro, onde se localiza a média µ.

    30

  • Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade

    De modo geral, se X é uma variável contínua que tem distribuição normal, sua função densidade de probabilidade será:

    2

    2

    2

    )(x

    e1

    f(x) σµ−−

    =parâmetrosparâmetros

    2e2

    1f(x) σ

    πσ= , para SX = (-∞∞∞∞,+∞∞∞∞)

    ParâmetrosParâmetros

    A distribuição normal tem dois parâmetros:

    µ = média (determina o centro da distribuição)σ2 = variância (determina a dispersão da distribuição)

    X ~ N (µ, σ2)

    XX tem distribuição normal com parâmetros tem distribuição normal com parâmetros µµ ee σσ2231

  • Populações normais Populações normais com médias diferentes com médias diferentes

    e mesma variânciae mesma variância

    Populações normais Populações normais Populações normais Populações normais com variâncias com variâncias

    diferentes e mesma diferentes e mesma médiamédia

    32

  • Existe um número infinito de curvas normaisExiste um número infinito de curvas normais

    33

  • Propriedades da distribuição normalPropriedades da distribuição normal

    11.. O máximo da função densidade de probabilidade se dáno ponto xx==µµµµµµµµ .

    máximo

    no ponto xx==µµµµµµµµ .

    µµµµµµµµ

    34

  • 22.. A distribuição é simétrica em relação ao centro ondecoincidem a média, a moda e a mediana.

    Md=Md=µµµµµµµµ=Mo=Mo

    35

  • 33.. Verifica-se na distribuição normal que:

    P(P(µµ--σσ < < XX < < µµ++σσ) ) == 0,68250,6825

    P(P(µµ--22σσ < < XX < < µµ+2+2σσ) ) == 0,95440,9544

    P(P(µµ--33σσ < < XX < < µµ+3+3σσ) ) == 0,99740,9974

    36

  • �������� Para cada valor de µµµµµµµµ e de σσσσσσσσ,existe uma distribuição normaldiferente

    Cálculo de áreasCálculo de áreas

    �������� O cálculo de áreas sob acurva normal, deverá ser feitosempre em função dosvalores particulares de µµµµµµµµ e σσσσσσσσ

    �������� Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi�������� Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foideterminada uma distribuição normal padrãopadrão ou reduzidareduzida

    �������� As áreas sob a distribuiçãodistribuição normalnormal padrãopadrão foramcalculadas e apresentadas numa tabela

    37

  • Distribuição normal padrão

    Definição:Definição: é a distribuição normal de uma variável Z que tem média igual a zero (µµµµµµµµ=0=0) e desvio padrão igual a um (σσσσσσσσ=1=1).

    A curva normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas áreas foram calculadas e apresentadas numa tabela.

    Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar as áreas correspondentes aos intervalos de 0 a z.

    38

  • Tabela - Área sob a curva normal padrão de 0 a z, P(0 ≤ Z ≤ z).

    z)ZP(0

  • �������� Os valores negativos não são apresentados na tabela porque a curva é simétrica; assim, as áreas correspondentes a esses valores são exatamente iguais às dos seus simétricos positivos, por exemplo P(P(--1

  • -∞ +∞0-2,17 2,17-∞ +∞0

    =

    0,48500,4850?0)ZP(-2,17 =

  • Seja Z uma N(0,1). Determinar as seguintes probabilidades:

    (a) P(Z < 2,23) (a) 0,9871

    Exercício proposto:

    (a) P(Z < 2,23)

    (b) P(Z > -1,45)

    (c) P(-2 < Z ≤ 2)

    (d) P(-1 ≤ Z ≤ 1)

    (a) 0,9871

    (b) 0,9265

    (c) 0,9544

    (d) 0,6826

    (e) 0,4582(e) P(0 < Z < 1,73)

    (f) P(Z > 0,81)

    (g) P(-1,25 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ -0,63)

    (e) 0,4582

    (f) 0,2090

    (g) 0,1587

  • Alguns valores importantes

    43

  • ��������Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizarpadronizar

    �������� Através da distribuição normal padrão é possível estudarqualquer variável X que tenha distribuição normal, comquaisquer valores para µµµµµµµµ e σσσσσσσσ.

    ��������Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizarpadronizara variável X, ou seja, transformar X em Z.

    XX ~ ~ N (N (µµ, , σσ22))

    transformarσ

    µXZ

    −=→→→→→→→→

    �������� Após a transformação, procuramos na tabela a área compreendida entre 00 e zz, que corresponderá a área entre µµµµµµµµ e xx .

    σ

    ZZ ~ ~ N (N (00, , 11))

    44

  • A transformação muda as variáveis, mas não altera a área sob a curva.

    45

  • Exemplo:

    Sabendo que as notas de 450 alunos estão normalmente distribuídas, com média µ = 3,9 e desvio padrão σ = 0,28, determine:a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27.

    46

  • Para encontrar essa área, vamos utilizar a tabela da distribuição normal padrão. Inicialmente, fazemos a transformação da variável X para a variável Z.

    3,94,27 −1,32

    0,283,94,27

    z =−=

    47

  • P(Z > 1,32) = P(Z > 0) – P(0 4,27) = 0,0934

    48

  • b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27.

    No item (a), vimos que este percentual é de 9,34%. Sendo assim, através de uma regra de três simples, podemos determinar quantos estudantes correspondem a 9,34% de uma população de 450 estudantes. população de 450 estudantes.

    Esse valor pode ser obtido facilmente multiplicando o tamanho da população pela probabilidade de ocorrer uma nota maior que 4,27.

    Assim, temos:Assim, temos:450 × 0,0934 = 42,03

    Concluímos, então, que, dos 450 estudantes, 42 têm nota superior a 4,27.

    49

  • Exemplo: Uma fábrica de carros sabe que os motores de

    sua fábrica tem duração normal com média de 150.000km e

    desvio padrão de 5.000km. Qual a probabilidade de que um

    carro escolhido ao acaso, tenha um motor que dure:

    a) entre 140.000 e 160.000km?

    b) menos de 170.000km?

    c) Se o fabricante deseja oferecer uma garantia, tal que ele c) Se o fabricante deseja oferecer uma garantia, tal que ele

    tenha que substituir no máximo 1% dos motores, qual deve

    ser o valor desta garantia?

    50

  • Solução:

    a) P(140.000

  • Exercício: Suponha que a estatura de recém-nascidos do

    sexo feminino é uma variável com distribuição normal de média µ = 48 cm e σ = 3 cm. Determine:

    a) a probabilidade de um recém-nascido ter estatura entre 42 e 49 cm;

    b) a probabilidade de um recém-nascido ter estatura superior a 52 cm;

    c) o número que de recém-nascidos que têm estatura inferior c) o número que de recém-nascidos que têm estatura inferior

    à µ+σcm, dentre os 532 que nasceram numa determinada maternidade, no período de um mês.

    a) 0,6065 b) 0,0918 c) 448

    52

  • Exercício:

    O consumo de gasolina por Km rodado para certo tipo de carro tem distribuição normal com média de 100 ml com

    desvio padrão de 5 ml.

    a) calcular a probabilidade de um carro consumir entre 92 e 106 ml.

    b) sabe-se que 73,24% dos carros consumem menos que certa quantidade de gasolina qual é essa quantidade?

    c) num grupo de 5 carros qual a probabilidade de dois c) num grupo de 5 carros qual a probabilidade de dois

    consumirem mais que 107 ml?

    a) 0,8301 b) 103,1 c) 0,0507

    53

  • Exercício: O diâmetro do eixo principal de um discorígido segue a distribuição Normal com média 25,08 in edesvio padrão 0,05 in.

    Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 in,determine o percentual de unidades produzidas emconformidades com as especificações.

    { } { } { }24,85xP25,15xP25,15x24,85P ≤−≤=≤≤

    −≤−

    −≤=

    0,0525,0824,85

    ZP0,05

    25,0825,15ZP

    0,050,05

    { } { } 0,91920,00000,91924,60ZP1,40ZP =−=−≤−≤=

    ou seja, 91,92% dentro das especificações e 8,08% fora das especificações.

    54

  • ν ≤ 2ν > 2

    4. Distribuição χ2 (qui-quadrado)

    ( ) 0 xex2νΓ1

    f(x) 2x

    12

    ν

    2ν≥=

    2

    (lê-se: X tem distribuição qui-quadradocom ν graus de liberdade)

    0 +∞0 +∞

    ( )2νΓ2ν2

    2~2)(

    )(νχν

    νX

    XV

    XE

    ==

    Propriedades:

    55

    21

    2 ~Z então ~Z se a) χ N (0,1)

    2n

    n

    1ii

    21i ~X então ~X se b) χχ ∑

    =

  • 025,0)25,3( 210 =

    =<

    χ

    χ

    P

    P

    01,0)21,23( 210 =>χP

    2χ +∞2νχ0 +∞

    56

  • 025,0)25,3(

    ?)25,3(

    210

    210

    =<

    =<

    χ

    χ

    P

    P

    2χ +∞ 025,0?)(2 =>χP

    025,0)48,20( 210 =>χP

    2νχ0 +∞ 025,0?)(

    210 =>χP

    57

  • tν5. Distribuição t-student

    ( )[ ]( ) ∞

  • ?)764,2( 10 =>TP

    01,0)764,2( 10 =>TP

    02,0)764,2()764,2( 1010 =>+−< TPTP

    59

  • 05,0?)(?)( 1010 =>+−< TPTP025,0?)( 10 =>TP025,0)228,2( 10 =>TP 05,0)228,2()228,2( 1010 =>+−< TPTP025,0)228,2( 10 =−TP

    01,0)764,2( 10 =>TP

    60

    10

  • 6. Distribuição F (de Snedecor)

    [ ]( ) ( ) 01

    )(2)(

    2

    112

    2

    2

    1

    21

    21

    21

    1

    1

    +

    +=+−

    − xxν

    νx

    ν

    ν

    2νΓ2νΓ

    2ννΓf(x)

    νν

    ν

    ν

    (lê-se: X tem distribuição F com ν1 e ν2graus de liberdade)

    Propriedades:

    0 +∞

    21 ,

    22

    21

    2122

    2

    2

    ~

    )4()2(

    )2(2)(

    2)(

    νν

    νννννν

    νν

    FX

    XV

    XE

    −−−+=

    −=

    ,ννFPropriedades:

    61

    2121 ,~ νννν ν

    νχχ F2

    122

    VU

    então ~ Ve ~U se a)

    )()(12211221 ,,,, F

    1F~

    F1

    então ~F se b) ⇒ νννννννν FPFPFF

    0 +∞F

    21 ,ννF

    0 +∞1F

    12 ,ννF

  • 0 +∞F

    05,0?)( 4,5 =>FP

    05,0)26,6( 4,5 =>FP

    ?)52,15( 4,5 =>FP

    01,0)52,15( 4,5 =>FP

    0 +∞F

  • 025,0)( 4,5 =< aFFP0,0250,025

    +∞F F

    0,95

    4,5F025,0)( 4,5 => bFFP

    025,0)1

    ( 5,4 =>⇒aF

    FP

    7,39

    0 +∞aF bF

    ?? 6,2617,39

  • � A verificação do ajuste de um modelo estatístico a umdeterminado conjunto de valores de uma variável é umadas mais relevantes atribuições do método estatístico.

    Ajustamento de distribuições a dados reais

    das mais relevantes atribuições do método estatístico.

    � Verificar o ajustamento significa verificar se o modelopressuposto de fato pode ser utilizado para representar adistribuição de uma variável num determinado contexto.

    � Diversos métodos estão disponíveis para essaverificação e, dentre eles, podemos citar:verificação e, dentre eles, podemos citar:

    � métodos visuais, dentre os quais se destacam o histograma, ográfico de probabilidade e o box-plot;

    � testes de aderência, dentre os quais podemos citar os testes deKolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilks.

    64