Diálogos com Professores -...

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2 Volume 7 Diálogos com Professores do Ensino Médio As Bases da Computação Gráfica + Do “Piauí” (π ao i)

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2 Volume 7Dilogoscom Professores do Ensino MdioAs Bases daComputaoGrfica + Do Piau( ao i)

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2Dilogos com Professoresdo Ensino MdioVolume 7As Bases da ComputaoGrfica + Do Piau ( ao i)

FIRJAN FEDERAO DAS INDSTRIAS DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

PresidenteEduardo Eugenio Gouva Vieira

Vice-Presidente ExecutivoRicardo Maia

Superintendente do SESIAlexandre dos Reis

Diretora de EducaoAndrea Marinho de Souza Franco

Gerente de Educao BsicaGiovanni Lima dos Santos

Gerente de Cursos e RecursosAllain Jos Fonseca

FICHA TCNICA

2018 - Programa de Educao Continuada para Professores de Matemtica

Gerncia de Educao Bsica - GEBGiovanni Lima dos Santos

Coordenao Geral - DICEBHelio Frana Braga

Coordenao de ProduoFernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da Silva

Elaborao tema 13Fernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da Silva Luana S de Azevedo

Elaborao tema 14Fernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da Silva Luana S de Azevedo

Produo de Recursos TecnolgicosAndr Luiz Souza Silva

Leitor CrticoVictor Giraldo

Reviso Pedaggica Rodrigo Ferreira Abraho

Reviso GramaticalRoberto Mauro Facce

Reviso TcnicaVincius do Nascimento Silva Mano

Projeto GrficoLiliane Duarte

Produo EditorialFellipe Camara Branco D'Oliveira Luis Gustavo GamaLuiz Felipe da Silva Ferreira Alexandre Figueiredo da Conceio

2

2Dilogos com Professoresdo Ensino MdioVolume 7As Bases da ComputaoGrfica + Do Piau ( ao i)

FICHA CATALOGRFICA

Firjan SESI

Diviso de Normas e Documentao - Biblioteca

S474s

Firjan SESISESI Matemtica formao de professores: 2 ano do

ensino mdio / Firjan SESI. Rio de Janeiro : [s.n], 2018. 175 p. : il., color. (Formao de professores ; Mdulo 7)

Inclui bibliografia e ndice remissivoNmero ISBN: 978-85-98246-11-6

1. Matemtica 2.Treinamento de pessoal 3. SESI Matemtica SENAI I.Ttulo II. Srie

CDD 510

Firjan SESI

Av. Graa Aranha, 1 - Centro - Rio de Janeiro

Cep: 20030-002

SUMRIO

Apresentao ......................................................................................................................................9

Tema 13 As Bases da Computao Grfica .................................................17Introduo ................................................................................................... 19Sala de Professores .................................................................................. 20

Dilogo. ................................................................................................. 20

Aprofundamento ........................................................................................21Diferentes Formas de Ver o Plano ..............................................23Transformaes do Plano ..................................................................29Transformando Imagens ....................................................................33

Atividades Prticas ...................................................................................45Experincias com Objetos ou Situaes da Vida Real ..............45Investigao de Erros .........................................................................52

Matemtica e Suas Tecnologias ............................................................59Recurso 1 Matrizes e Transformaes 1.......................................59Recurso 2 Matrizes e Transformaes 2 .....................................65

Ampliando Ideias ..................................................................................... 70Leitura Recomendada ....................................................................... 70Sugesto de Materiais Didticos ......................................................71Sugesto de Recursos Educacionais Digitais ...............................71Bibliografia Consultada .....................................................................74

Tema 14 Do Piau( ao i) ......................................................................... 77Introduo ...................................................................................................79Sala de Professores ....................................................................................81

Dilogo. ...................................................................................................81

Aprofundamento ........................................................................................81Resoluo de uma equao geral de terceiro grau: x3 + ax2 + bx + c = 0 ...........................................................................89Nmeros Sofisticados........................................................................ 94Incoerncias de uma Apresentao Escolar ............................... 99Nmeros Complexos no Contexto Escolar ..................................101A Reta j Est Preenchida. E Agora? ............................................104Complexos como Vetores ............................................................... 107Aplicaes dos Nmeros Complexos ........................................... 126

Atividades Prticas ................................................................................. 133Experincias com Objetos ou Situaes da Vida Real ............ 133Investigao de Erros .......................................................................146

Matemtica e Suas Tecnologias ........................................................... 151Recurso 1 Nmeros Complexos e Operaes Elementares 152Recurso 2 Jogo Operaes com Complexos .......................... 163

Ampliando Ideias ....................................................................................169Leitura Recomendada ...................................................................... 169Sugesto de Materiais Didticos .................................................... 171Sugesto de Recursos Educacionais Digitais ............................. 171Bibliografia Consultada ................................................................... 173

ndice Remissivo ............................................................................................................................176

Apresentao

A magia e a beleza da Matemtica nos encantam e surpreendem a cada dia. Somos professores apaixonados por essa rea do saber humano e reconhecemos na educao o espao para reflexo e melhoria do ser humano e, consequentemente, da sociedade. A transformao social requerida para um mundo com mais harmonia e paz se instancia em cada um de ns, professores ou alunos, cidados ou governantes, e depende da compreenso da complexidade da realidade. A Matemtica nos oferece ferramentas conceituais importantes para promover essa compreenso e a consequente transformao social. Esse fato, por si s, j justificaria a sua presena nos currculos escolares, mas acreditamos que o encantamento surpreendente da relao entre a abstrao e a realidade corresponda verdadeira inspirao para seu estudo na educao bsica.

O pblico-alvo dessa coleo so todos que, como ns, so apaixonados por essa cincia e, diariamente, contribuem para apresentar s novas geraes as belezas da Matemtica. Ns escrevemos esse material para voc, colega professor, de modo a refletirmos sobre conceitos matemticos e propostas pedaggicas.

Toda jornada comea com o primeiro passo.Lao-Tse

Li Er ou Lao

Dan, mais

conhecido

como Lao-tse

que em chins

significa velho

mestre, uma

das maiores

personalidades

da filosofia

oriental.

Reza a lenda

que ele viveu

por volta do

sculo VI antes

de Cristo, na

poca das Cem

Escolas de

Pensamento.

Foi atribudo

a Lao-Tse a

autoria do Tao

Te King ou Livro

do Caminho e

da Virtude, um

dos livros mais

traduzidos do

mundo, ficando

atrs apenas

da Bblia.

Em nossa concepo, a autonomia pedaggica docente essencial para a promoo de uma aprendizagem efetiva. Portanto, esse material foi concebido como um ponto de partida para reflexes sobre o ensino da Matemtica e do papel dessa cincia na integrao com os diversos campos do saber.

O primeiro passo...

Professor, a coleo Dilogos com Professores do Ensino Mdio, do SESI Matemtica, foi escrita por professores de matemtica atuantes na educao bsica e superior, nas redes municipal, estadual e federal, e que participaram de vrios projetos de formao continuada em diferentes Estados do Brasil. As diferentes realidades vivenciadas nessas experincias nos motivaram a escrever esse material tendo como foco a sala de aula real, com professores e alunos reais e no os ideais.

O professor real tem muito interesse na aprendizagem dos alunos e pouco tempo para preparar e criar aulas novas. O aluno real est imerso em um mundo tecnolgico com muitos atrativos e que precisa ser motivado e apresentado s belezas e encantamentos da Matemtica. Por isso, pensamos em um texto que agregue reflexes sobre a nossa sala de aula e que busque na Matemtica a magia capaz de aguar a mente e despertar nos estudantes o mesmo interesse que nos encantou.

Os desafios da sala de aula real so complexos e, por isso, preciso mais do que o conhecimento Matemtico para que os docentes consigam obter sucesso no ensino dessa cincia. No entanto, tal conhecimento fundamental. Nossa proposta no apresentar exaustivamente os conceitos matemticos, pois acreditamos que voc, professor,

j os tm e, caso necessite consultar alguma literatura, poder recorrer aos muitos materiais j existentes para este fim.

Nossa proposta se baseia na exposio e debate de ideias a fim de refletirmos sobre os aspectos pedaggicos da sala de aula real, os contedos matemticos e os recursos tecnolgicos disponveis, como se esse espao fosse a sala de professores na qual pudssemos compartilhar experincias e, aps esse dilogo, sairmos recarregados com a beleza e o encantamento da Matemtica, prontos para provocar, desafiar e motivar os estudantes.

Agradecemos por acreditar que juntos, nessa jornada, podemos fazer algo extraordinrio.

Obrigado por ter se aventurado nessa profisso magistral e por fazer diferena na sociedade!

Um grande abrao, Equipe Sesi Matemtica.

Caractersticas da Coleo Dilogos com Professores do Ensino Mdio

Os doze livros da coleo abordam contedos do ensino mdio sem, necessariamente, seguir a diviso curricular tradicional, mas buscando estabelecer relaes entre eles. Cada livro foi dividido em temas sobre conceitos matemticos e redigido como um dilogo entre os autores e os leitores. Por sua vez, os temas so divididos em quatro sees:

Atividades Prticas

Na Sala de Professores, apresentam-se dilogos entre personagens fictcios: professores que se encontram na hora do recreio ou em tempos vagos e conversam sobre como ensinar um determinado contedo da matemtica.

A seo Atividades Prticas pode se dividir em duas subsees:

Experincias com objetos ou situaes da vida real

Exemplos de atividades com objetos fsicos ou anlises de situaes cotidianas cujo objetivo abordar o contedo matemtico destacado na seo anterior. So situaes de fcil compreenso, criativas e motivadoras, que propiciam uma interao colaborativa entre alunos e professores.

Investigao de erros

Aprofundamento do debate sobre os conceitos matemticos abordados a partir da anlise e discusso de exemplos de erros e equvocoscomuns.

Na seo Matemtica e Suas Tecnologias so apresentados pelo menos dois recursos digitais elaborados especialmente para cada Tema, bem como orientaes metodolgicas de uso e algumas aplicaes pedaggicas para explorao dos conceitos matemticos abordados.

A seo Ampliando ideias poder se dividir em quatro subsees:

Leitura Recomendada

Textos comentados para aprofundamentos so-bre os conceitos matemticos abordados.

Sugesto de Materiais Didticos

Articulao do tema aos materiais disponibili-zados pelo programa SESI Matemtica.

Sugesto de Recursos EducacionaisDigitais

Apresentadas de forma resumida outras sugestes de uso de recursos digitais disponveis: em sites de universidades; no Portal do Professor; no Portal da TV Escola; no Portal Domnio Pblico; na plataforma de jogos on-line, etc; alm daqueles comentados na seo Matemtica e suas tecnologias.

Referncias bibliogrficas utilizadas na elabo-rao do tema.

TEMA

ano2 1

3

Mdulo 5 Mdulo 6 Mdulo 7 Mdulo 8

Danando conforme a msica

Viso Alm do Alcance

As Bases da Computao Grfica13O que est em cima...

Do Piau ( ao i)...

As Bases da Computao Grfica

Um conceito determinante...

AlgoogleritmoTouch screen, Mouse e Matemtica

19Mdulo 7

Introduo

Esticar, ampliar, rodar, repuxar e, enfim, transformar!

Quando se trata de imagens tudo isso pode ser muito interessante e at mesmo divertido.

Nos dias atuais as ferramentas de edio de imagens esto presentes nos mais diversos softwares. At mesmo editores de textos, de planilhas e de apresentaes j contam com estas ferramentas para ampliar a sua eficincia. Os celulares e tablets possuem aplicativos que so capazes de editar as

fotografias no momento em que so tiradas.

Transformamos nossas imagens a todo tempo, mas j paramos para pensar em como isso feito? Quais mistrios se escondem por trs da Computao Grfica? Qual a participao da Matemtica nesta sria brincadeira?

Pensemos juntos!

Obra intitulada Lizard de M.C. Escher, produzida em 1939.http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/no-25-lizard/

20Mdulo 7

Sala de Professores

Dilogo.

Durante o dilogo, o Professor Francisco mencionou o termo homotetia. Voc se lembra de seu significado?

Segundo o Dicionrio Houaiss, homotetia a transformao que multiplica por um fator constante a distncia de um ponto qualquer do espao a um ponto fixo, deslocando-o sobre a reta definida por estes dois pontos.

21Mdulo 7

Aprofundamento

O que so pixels? Vamos recordar?

Clique para ver a animao

Observe o exemplo a seguir.

Uma imagem de resoluo 800 600, por exemplo, tem pixels armazenados em 800 colunas e 600 linhas. Quando um programa grfico altera a posio, gira ou muda a escala de uma imagem, est mudando as informaes de cor dos pixels que a formam.

A base de tudo isso so as transformaes em 2.

22Mdulo 7

Quando Pedro pronuncia as palavras arrastar, rotacionar e aumentar, Francisco logo identifica a beleza matemtica por trs dessas transformaes na imagem. Ele vislumbra que Pedro, por meio do mouse, d um comando ao computador para transformar uma imagem plana e esse processo, que vai muito alm dos cliques do mouse, se baseia em conceitos de geometria analtica e lgebra linear.

Cada pixel da imagem pode ser representado por um ponto no plano, ento uma transformao em uma imagem resultado dessa transformao em cada ponto da imagem.

Cuidado para seu aluno no confundir o quadradinho

do pixel com o conceito de ponto. Afinal, esse

ltimo no possui rea.

No entanto, isso pode ser

visto de forma mais ampla.

Se o plano todo, onde a imagem est posta, for modificado, girado ou distorcido, o mesmo acontecer com a imagem. Por meio de uma analogia potica, queremos dizer que mudando o mundo, mudamos os seres que nele habitam.

Esses diferentes mundos coexistem, ou seja, as coordenadas que servem de orientao para a posio dos pixels so mantidas, mas acrescentam-se camadas correspondentes a cpias do plano tomadas a partir de outros referenciais.

Vamos esmiuar essas ideias para que fiquem mais claras no

decorrer do texto.

Voc aceita vir conosco nessa

viagem? Aperte o cinto e vamos partir!

23Mdulo 7

Diferentes Formas de Ver o Plano

O conjunto 2 pode ser visto como um conjunto de pares ordenados, mas quando definimos um par de eixos em um plano, como o sistema de eixos ortogonais xOy, passamos a ver 2 como o conjunto de pontos do plano, identificando, de forma nica, cada ponto com um par ordenado.

Esse processo de identificao to usual que passamos a chamar

o par ordenado de ponto e o ponto de par ordenado, sem cerimnias.

Para que seja possvel ver o plano de formas diferentes, no entanto, necessrio ter em mente a distino anterior, bem como liberar a mente para a possibilidade de sistemas de coordenadas variados.

Podemos interpretar cada ponto 2 como um vetor.

Mais ainda, se considerarmos os vetores cannicos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), sabemos que qualquer vetor (x, y) pode ser escrito como combinao linear de e1 e e2, ou seja:

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2

Desta forma, os vetores e1 e e2 geram 2. Nesse sentido, dizemos que o conjunto {e1, e2} forma uma base para 2.

24Mdulo 7

Vamos ver um exemplo?

O par de vetores u = (1, 1) e v = (1, 1) forma uma base para 2.

Por isso, podemos representar quaisquer vetores como combinao linear deles, ou seja, para cada (x, y) R2, existem , tais que:

(x, y) = u + v

Se (x, y) = (1,0) = e1, ento:

(1, 0) = 1u + 1v = 1(1, 1) + 1(1, 1) = (1 1, 1 + 1)

Para se determinar os valores de 1, 1, basta resolver o sistema:

Em Resumo...Para que um par de vetores forme uma base para 2, basta que esses vetores no sejam paralelos.

25Mdulo 7

1 = 1 10 = 1 + 1

obtendo-se 1 = 12

e 1 = 12

.

Apesar de j termos resolvido o sistema, consideramos til retornar a ele para

represent-lo com uma notao matricial.

Na representao a seguir, os termos independentes e os coeficientes de 1, 1 foram dispostos como vetores coluna, ou seja, as coordenadas dos vetores esto dispostas na vertical.

10 = 1

11 + 1

11

A partir da representao anterior, observa-se o porqu da definio da multiplicao de matrizes.

10 =

11

11

11

No preciso definir matrizes antes de se apresentar a escrita acima. Na verdade, a ideia justamente mostrar uma forma para dar significado s matrizes.

26Mdulo 7

Na abordagem que adotamos, as matrizes decorrem de uma forma de representao de um sistema 2 x 2. Pretendemos explorar as multiplicaes de matrizes deste tipo por meio de interpretaes geomtricas das transformaes em 2.

O que fizemos para (x, y) = e1 pode ser feito de forma anloga para (x, y) = e2, de modo a se obter 2 e 2 tais que:

01 = 2

11 + 2

11

10 =

11

11

22

Resolvendo-se o sistema correspondente chega-se a 2 = 1/2 e 2 = 1/2.

muito interessante saber que os dois sistemas anteriores podem ser representados, a um s tempo, por meio da multiplicao matricial:

10

01 =

11

11

11

22

Mais ainda, a matriz do lado esquerdo corresponde matriz linha C = [e1 e2] enquanto no lado direito tem-se o produto da matriz linha N = [u v ] pela matriz quadrada 11

22

= 1/21/2

1/21/2

. Essa ltima chamada matriz de

transformao da base {u , v } para a base {e1, e2}.

27Mdulo 7

Note que a matriz do lado esquerdo (C) a matriz identidade, porque os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais iguais a zero. Portanto, as matrizes do lado direito so inversveis e uma a inversa da outra.

Como e1, e2, u e v so vetores em 2, ento as matrizes linhas(e1 e2) e (u v) foram intepretadas como matrizes quadradas 2 x 2 nas quais as coordenadas dos vetores so dispostas em cada coluna.

Matrizes Inversas

Duas matrizes so inversveis se o produto delas for igual matriz identidade (I). Sabemos que a multiplicao de matrizes no comutativa, isto , existem matrizes quadradas A e B, tais que AB BA. Por isso faz sentido falar em inversa direita e esquerda. Assim, se AB = I, dizemos que B a inversa de A direita. Vamos provar que B tambm inversa de A esquerda (BA = I). Lembre-se de que a matriz identidade (I) tem a propriedade AI = IA = A, para qualquer matriz quadrada A. Seja E a matriz inversa de A esquerda

EA = I EAB = IB EI = B E = BConclumos que AB = I se, e somente se, BA = I. Assim, somente uma dessas condies precisa ser includa na definio de matriz invertvel.

Vamos denotar a matriz que transforma da base nova (N) para a base cannica (C) por:

MC = 11

22

N

Alm disso, devemos lembrar que a matriz C a igual matriz identidade 2 x 2. Assim, a equao matricial...

28Mdulo 7

10

01 =

11

11

11

22

...pode ser reescrita da forma:

C = N MCN

Multiplicando-se os dois membros pela direita pela inversa de MC, (MC)1, obtm-se:

C = N MC

C(MC )1 =N MC (MC )1

C(MC )1 = N

N

N NN

N

Portanto, a inversa da matriz MC transforma da base cannica (C) para a base nova (N). Isto :

(MC )1 = MN N C

Nesse momento, j temos conceitos suficientes para ver

o plano com outros olhos.

N N

N

29Mdulo 7

Mudar a base significa transformar o plano. As matrizes de mudana de base so matrizes de transformaes de 2 em 2.

A transformao da base C para a base N, em nosso exemplo anterior, corresponde a uma composio de duas transformaes:

uma rotao de 45o no sentido trigonomtrico;

uma homotetia de centro na origem e razo .

Voc poder constatar isso aps ler as prximas sees.

Transformaes do Plano

Vimos que podemos transformar imagens transformando todo o plano em que esto contidas.

Por isso, nos interessa estudar algumas transformaes de 2.

Uma transformao pode ser entendida como uma funo. Se essa funo for bijetiva, possvel transformar 2 em 2.

A translao um exemplo de transformao bijetiva. Tambm so funes bijetivas as chamadas transformaes lineares

30Mdulo 7

injetivas. Cabe destacar que as translaes diferentes da identidade no so transformaes lineares porque o zero de 2 (02 = (0, 0)) no levado no zero de 2.

Uma funo T: 2 2 chamada transformao linear se T(nu + mv)=nT(u) + mT(v), u, v 2, n, m .

Existem algumas particularidades relativas ao estudo das transformaes lineares. A primeira delas que T(02) = T(0, 0) = (0, 0) = 02 . Para transformaes de R2 em R2, se T injetiva, T sobrejetiva e vice-versa. (HEFEZ & FERNANDEZ, 2012, p.135)

Para verificar se T injetiva, basta mostrar que T(u) = 02 se, e somente se, u = 02.

O conjunto formado pela imagem inversa do 02 denominado ncleo de T e representado por Ker(T), derivado do termo em ingls para ncleo (kernel). Em outras palavras, Ker(T) = T1 (02), isto , todos os vetores que so levados na origem pela transformao T.Assim, T injetiva se, e somente se, Ker(T) = {02}.

Ao aplicarmos uma transformao linear T: 2 2 injetiva qualquer no plano, em particular estamos fazendo o mesmo em qualquer imagem contida neste plano.

Isto , estamos aplicando a transformao, no caso do computador, em cada pixel da

imagem e, consequentemente, realizarmos esta transformao T em todo o plano 2.

31Mdulo 7

Nesse caso, a imagem de 2 por T tambm 2, mas tomado a partir de uma nova base.

O novo plano 2 dado pelo conjunto de todos os vetores (x', y') gerados pelos vetores linearmente independentes (no paralelos) u = (a, b) = T(e1) = T(1, 0) e v = (c, d) = T(e2) = T(0, 1), em que u e v so as imagens dos vetores cannicos pela transformao T.

Vimos que possvel identificar cada ponto do plano com um vetor.

Portanto, existe uma relao entre o ponto (x, y) da base cannica e o ponto (x', y') da nova base, obtida aps a transformao T.

Observe as indicaes a seguir:

Chamaremos de: B = {(a, b), (c, d)} a base formada pelos vetores u = (a, b) e v = (c, d).

Denotaremos por [(x, y)]B o ponto (x, y) escrito na base B, ou seja, o ponto [(x, y)]B a imagem do ponto (x, y) pela transformao T.

Portanto:

(x, y) = (x', y') = [(x, y)]B = xu + yv = x(a, b) + y(c, d)

32Mdulo 7

Mas, os vetores u e v tambm podem ser escritos como uma combinao linear dos vetores e1 e e2 da base cannica, logo:

T(x, y) = (x', y') = [(x, y)]B = x(a, b) + y(c, d) = x(a e1 + b e2 )+y(c e1+d e2 ) = (x a + y c) e1 + (x b + y d) e2 = (x a + y c, x b + y d).

Com esta igualdade, percebemos que determinar posies transformadas equivale a resolver um sistema de equaes que sempre possui uma nica soluo, pois os vetores envolvidos no so paralelos e, por isso, geram todo 2.

x' = xa + ycy' = xb + yd'

Definio: Seja V um espao vetorial sobre um corpo K. Dizemos que um subconjunto B de V, #B = n, para algum n , uma base de V se:

1. B for um conjunto gerador de V; isto ; u V existem k1, k2, k3, , kn K tais que u = k1 b1 + k2 b2 + + k1 bn, onde B = {b1, b2, b3, , bn};

2. B for linearmente independente, isto ; se k1 b1 + k2 b2 + + k1 bn = 0 V; ento, k1 = k2 = k3 = = kn = 0 K; onde k1, k2, k3, , kn K e B = {b1, b2, b3, , bn}.

33Mdulo 7

Transformando Imagens

Vamos supor que a imagem que Francisco escolheu para colocar em suas notas de aula seja a que segue, com cada ponto desta imagem sendo representado em relao base cannica.

O que acontece com esses pontos se arrastarmos essa imagem pelo plano? Que transformaes eles sofrem?

A transformao mais simples que podemos fazer a de arrastar imagens. Esta transformao, apesar de no linear, bijetiva e pode ser interpretada como se fixssemos a imagem

34Mdulo 7

e arrastssemos todo o plano cartesiano, verificando as mudanas que ocorriam nas variveis ao construir esse plano baseado em um novo sistema de eixos.

Vamos ver um exemplo para esclarecer as ideias?

Clique para ver a animao

Considere dois sistemas de coordenadas xOy e uOv, de modo que os eixos x e u sejam paralelos e tenham o mesmos

sentido, bem como os eixos y e v. Alm disso, considere que a origem do sistema uOv esteja sobre o ponto (2,2) no sistema xOy.

Essa mudana de sistemas de coordenadas corresponde a uma translao. A origem do sistema xOy levada para o ponto (2, 2), para servir de origem para o sistema uOv.

35Mdulo 7

Assim, o ponto (5,4) no sistema de coordenadas xOy seria representado pelo par (3,2) quando considerarmos o sistema de coordenadas uOv. Com efeito, note que:

T(3, 2) = (3, 2) + (2, 2) = (5, 4)

O que acontece se refletirmos a imagem em torno do eixo das ordenadas? E se a reflexo fosse em torno dos eixos das abscissas?

Veja agora o movimento de espelhar uma imagem com relao ao eixo das ordenadas.

A transformao T: 2 2 que aplicamos na imagem ser a mesma aplicada a todo o plano.

Ento, para encontramos as coordenadas de cada ponto da nova imagem pensamos que:

u = e1 = (1, 0) e v = e2 = (0, 1)

36Mdulo 7

Mas como chegamos a essa concluso? Fcil! Acompanhem

o raciocnio a seguir.

Clique para ver a animao

Por se tratar de uma transformao linear, pois T(w) = 0 w = 0, podemos descobrir as novas coordenadas

atravs do sistema x' = x (1) + y 0y' = x 0 + y 1

, donde conclumos

que (x', y') = (x, y).

O sistema x' = xa + ycy' = xb + yd

tambm pode ser escrito no formato

matricial x'y'

= ab

cd

xy

, onde a matriz ab

cd

37Mdulo 7

composta pelos vetores u e v , da nova base, dispostos em

suas colunas.

Seja P = (x, y) um ponto do plano cartesiano (plano 2). Por meio de um produto matricial da forma

x'y'

= ab

cd

xy

obtm-se um novo ponto P' = (x', y') do plano, tal que x' = ax + by e y' = cx + dy.A matriz T =

ab

cd

chama-se matriz de transformao no plano.

Logo, a matriz T1 = 10

01

quando multiplicada ao ponto P

retorna o ponto P1 = 10

01

xy

= xy

fazendo com

que ocorra uma reflexo com relao ao eixo das ordenadas.

Analogamente, o mesmo ocorre com a reflexo da imagem em torno do eixo das abscissas.

38Mdulo 7

Agora as coordenadas dos pontos da nova imagem esto expressos em relao base de vetores u = e1 = (1, 0) e v = e2 = (0, 1), pois a reflexo de e1 em torno do eixo das ordenadas o prprio vetor e1, e a reflexo de e2 em torno do eixo das ordenadas um vetor com mesma direo, mas sentido contrrio de e2.

Portanto, T2 = 10

01

a matriz de transformao

que realiza a reflexo em torno do eixo das abscissas e

P2 = 10

01

xy

= xy

.

Outra transformao interessante de ser observada a que

reflete os pontos do plano em torno na reta y = x.

39Mdulo 7

Neste caso:

refletindo o vetor e1 em torno da reta y = x obtemos o vetor e2, logo u = e2 = (0, 1);

refletindo o vetor e2 em torno desta mesma reta obtemos e1, concluindo que v = e1 = (1, 0).

Portanto, a matriz de transformao T3 = 01

10

nos d o

ponto P3 = 01

10

xy

= yx

que a reflexo de P em

torno da reta y = x.

As transformaes aqui vistas so uma ampliao dos conceitos estudados anteriormente, uma vez que agora podemos aplic-las ao plano como um todo, sendo estes grficos de funo ou no.

interessante observarmos que estas transformaes j foram comentadas por ns

quando conversamos sobre o estudo das funes.

40Mdulo 7

Tomando como exemplo a reflexo do grfico de uma funo real em torno do eixo das abscissas podemos concluir que cada ponto desse grfico da forma (x, (x)), logo os pontos aps a transformao so dados por:

10

01

x(x) =

x(x)

Observemos que uma transformao no plano tambm est associada a uma funo com domnio e contradomnio iguais a 2, j que a transformao T 2 2 associa cada ponto do plano gerado pela base cannica a um nico ponto do plano gerado pela nova base.

Como ser que ficam as coordenadas dos pontos de uma imagem ampliada ou reduzida?

Vamos tentar uma ampliao ou reduo da imagem buscando mais uma vez utilizar uma mudana nas coordenadas dos pontos do plano.

41Mdulo 7

Clique para ver a animao

Referente animao anterior, podemos afirmar que a

matriz de transformao TA = k0

0k

(com k real e

positivo) quando aplicada ao ponto P o associa a um ponto

PA = k0

0k

xy

= kxky

. Esta transformao faz com

que as coordenadas do ponto P sofram:

uma expanso de um fator k, se k > 1;

uma contrao de um fator k, se 0 < k < 1.

As expanses e contraes tambm podem ser aplicadas de forma diferenciada nos vetores cannicos.

42Mdulo 7

Desta forma a matriz k0

0r

produz uma contrao ou expanso:

de um fator k somente na direo do eixo das abscissas;

de um fator r somente na direo do eixo das ordenadas.

E se existir uma nica direo do plano que seja preservada por uma transformao?

Esta transformao no plano se chama cisalhamento e possui dois tipos: horizontal e vertical.

Observe as imagens a seguir.

O cisalhamento horizontal associa o ponto P ao ponto PI = (x + ky, y) atravs da matriz de transformao

TI = 10

k1

.

O cisalhamento vertical associa o ponto P ao ponto

43Mdulo 7

PII = (x, kx + y) atravs da matriz de transformao

TII = 1k

01

.

E se rotacionarmos a imagem? O que ocorre com seus pontos?

Vamos imaginar que queremos aplicar uma transformao de rotao de um ngulo em uma imagem.

Como fizemos anteriormente, vamos rotacionar os vetores cannicos.

44Mdulo 7

Os vetores u e v podem ser obtidos a partir da rotao dos vetores cannicos levando em considerao que:

Do tringulo retngulo formado pelo vetor u e o eixo das abscissas tem-se:

cos () = a||u||

= a||e1||

= a e sen () = b||u||

= b||e1||

= b

onde u representa a norma (ou comprimento) do vetor u ; ou seja, se u = (a, b) ento u = a2 + b2. Como u o vetor cannico e1 rotacionado, ento u tem o mesmo comprimento de e1, isto , 1.

Do tringulo retngulo formado pelo vetor v e o eixo das ordenadas tem-se:

c = cos (90 + ) = sen ()d = sen (90 + ) = cos ()

Assim, para aplicar uma rotao em torno da origem,

no sentido anti-horrio, o ponto P ser levado no ponto P = (x cos y sen , x sen + y cos ) atravs da

matriz de transformao T = cos sen

sen cos

.

Na imagem a seguir, o exemplo de uma rotao de /4 rad do ponto P em torno da origem.

45Mdulo 7

Para ver isso mais de perto, nos despedimos da Sala dos

Professores e vamos experimentar uma atividade com esse fim.

Estas transformaes podem ocorrer de forma combinada, ou seja, podem ser aplicadas concomitantemente em

um mesmo conjunto de pontos.

Atividades Prticas

Experincias com Objetos ou Situaes da Vida Real

A atividade a seguir busca explorar com os alunos as diversas transformaes lineares existentes no plano, atravs do uso de material concreto e uma planilha eletrnica. Pretende-se com isso, associar as transformaes lineares a matrizes quadradas e as composies dessas transformaes ao produto dessas matrizes.

46Mdulo 7

Atividade 1: Transformando imagens

Material necessrio:

papel quadriculado;

lpis;

computador com software editor de planilhas instalado.

Objetivo: Construir os conceitos de transformao no plano

atravs do estudo de algumas matrizes de transformao e da

observao de imagens geradas por conjuntos de pontos em

um software editor de planilhas.

Descrio:

Leia atentamente o passo a passo seguir.

1. Divida a turma em grupos de 3 a 4 alunos para facilitar:

a interao entre eles;

a troca de ideias e pontos de vistas.

2. Pea que cada grupo desenhe no papel quadriculado um plano cartesiano e forme uma figura atravs da unio

de pontos por segmentos de reta.

47Mdulo 7

Instrua-os a no criarem figuras que possuam simetrias, pois dificulta a percepo da transformao.

Agora voc pode instig-los fazendo alguns questionamentos.

Onde estes pontos iriam bater se colocssemos um espelho em cima do eixo das abscissas?

E se colocssemos o espelho no eixo das ordenadas?

E, ainda, se colocssemos o espelho de forma a passar por cima da reta y = x no plano cartesiano?

Deixe que os alunos pensem e faam desenhos para

responder a essas perguntas; em seguida, passe para o

computador e abra o software editor de planilhas.

48Mdulo 7

Nesta atividade, vamos usar o Excel!

3. Solicite que eles digitem nas clulas da planilha:

os elementos da matriz de transformao 10

01

;

as coordenadas dos pontos que formam ordenadamente a figura que desenharam, dispostos nas colunas de uma matriz; ou seja, as coordenadas x de cada ponto iro compor a primeira linha da matriz, e as coordenadas y, a segunda linha.

importante que o primeiro ponto seja repetido na ltima coluna para que a imagem final seja formada corretamente.

Para calcular a matriz de pontos transformados pea aos alunos que selecionem a primeira entrada dessa matriz e digitem uma frmula para que o software calcule o produto entre a primeira linha da matriz de transformao e a primeira coluna da matriz de pontos iniciais estendida.

49Mdulo 7

Uma dica para facilitar a digitao fazer como no exemplo anterior, digitando a frmula = $A4 * D$4 + $B4 * D$5, ou seja, colocando o smbolo $ na frente das letras das clulas da matriz de transformao e o mesmo smbolo na frente dos nmeros das clulas da matriz de pontos. Desta forma, basta arrastar a primeira clula da matriz de pontos transformados atravs do quadrado no canto inferior direito desta, e o software adapta a frmula para as demais clulas.

4. O prximo passo visualizar a figura aps a transformao. Para isso pea aos alunos que selecionem todas as clulas

da matriz de pontos transformados, e na aba Inserir

clique em Grficos de disperso com linhas retas.

50Mdulo 7

Caso a figura no esteja adequada ao tamanhodos eixos, clique com o boto direito

do mouse em cada um deles, selecioneFormatar Eixo e ajuste a escala de cada um.

Solicite aos alunos que analisem a transformao que

a figura inicial sofreu, se esta se parece com algumas

daquelas que desenharam na tentativa de responder

s perguntas iniciais, at que cheguem concluso de

que houve uma reflexo dos pontos em torno do eixo

das abscissas.

necessrio deixar claro aos alunos que s possvel ver a transformao

ocorrida da figura porque estamos trabalhando com uma poligonal.

51Mdulo 7

O que os computadores fazem em programas de computao grfica tomar uma grande quantidade de pixels de forma que o buracos na figura ficam quase imperceptveis a olho nu.

As imagens so sempre formadas por um conjunto de pontos que so transformados a cada comando do usurio.

Repita o processo acima modificando a matriz de transformao, gerando novas figuras transformadas e instigando seus alunos a pensarem em qual (ou quais) transformao ocorreu.

Clique para ver a animao

No deixe de pedir a seus alunos que

faam combinaes de transformaes!

52Mdulo 7

Explore vontade esse recurso, transforme, deforme e ajude seus alunos a ter uma aprendizagem significativa!

Investigao de Erros

Baseado no estudo de Cardoso et. al. (2013), que prope alguns problemas para alunos que esto estudando o conceito de matrizes, vamos comentar sobre alguns erros frequentes nas nossas salas de aula.

Problema 1

Dadas A = 456

319

459

e B =

941

542

345

, calcule A B 4 B.

Ao responderem ao Problema 1, dois alunos apresentaram os seguintes erros.

53Mdulo 7

Erro I

Erro II

Os erros I e II esto relacionados a problemas nas operaes entre as matrizes.

O primeiro estudante (erro I) utiliza o algoritmo da soma entre matrizes para realizar a multiplicao, ou seja, multiplica elemento a elemento da matriz.

Fato muito comum para alunos que tendem a usar a operao de nmeros reais como base para as

operaes entre elementos diversos.

54Mdulo 7

O segundo estudante (erro II) realizou a multiplicao de

matrizes corretamente, mas errou na subtrao utilizando

para esta operao o mesmo algoritmo da multiplicao entre

matrizes. Este erro no to comum, uma vez que os alunos

no costumam apresentar muitos problemas com a soma e

subtrao de matrizes.

Isso mostra como o tecnicismo e a falta de um raciocnio crtico pode atrapalhar no

processo de aprendizagem.

Analisando esses erros, parece-nos que os alunos ainda estavam

construindo os conceitos de adio e multiplicao de matrizes;

o contato com situaes-problemas distintas envolvendo tais

operaes pode facilitar a superao destas dificuldades.

Problema 2

Seja a matriz B =

322

254

102

Efetue a operao B2.

55Mdulo 7

Erro III

Este aluno identifica que o quadrado de uma matriz o produto desta por ela mesma, mas na hora de realizar o produto calcula a potncia de termo a termo da matriz.

Mais uma vez parece que o aluno foi induzido pelas operaes

entre nmeros reais.

Problema 3

Determine, caso exista, a inversa da matriz A = 24

12

.

A questo solicita que o aluno calcule a inversa de uma matriz,

mas no afirma que esta invertvel.

Na busca por uma inversa, que no existe, pois det A = 0, os alunos encontram problemas na resoluo do sistema.

56Mdulo 7

Erro IV

Erro V

57Mdulo 7

Erro VI

Os alunos que cometeram os erros IV e V no souberam lidar com a igualdade 0 = 1.

O primeiro desses alunos sups que z = 0 ao encontrar a igualdade z + z = 0, conseguindo encontrar uma suposta inversa para a matriz A.

J o segundo aluno no soube continuar a resoluo do sistema aps encontrar a igualdade 0 = 1, no conseguindo concluir que este seria impossvel e, portanto, A no possui inversa.

Esses erros podem ser provenientes da escassez de situaes que

envolvam contradies, durante a vida escolar dos alunos.

58Mdulo 7

Como os alunos no esto acostumados a se deparar com um problema que apresente uma contradio, o recurso neste caso foi pensar que estavam desenvolvendo a situao de forma errada, o que fez com que desistissem de buscar a soluo para o problema ou atribussem de forma forada um valor para a varivel z.

O sexto aluno conclui que A no possui inversa, mas erra na multiplicao matricial, tambm no concluindo com xitooproblema.

Diante disso, e da observao nas nossas salas de aula, vemos a grande dificuldade de alguns alunos em trabalhar com problemas que envolvam matrizes, muito decorrente da algoritmizao nos processos operatrios e na memorizao das propriedades em detrimento do raciocnio crtico.

Desta forma, uma apresentao destes conceitos com muitos aspectos tcnicos, grande quantidade de regras, apresentao exaustiva e fragmentada de nomenclatura podem prejudicar a aprendizagem significativa por parte dos alunos.

Mas essa realidade pode mudar. Veja o que afirma o matemtico

francs Grard Vergnaud.

A operacionalidade de um conceito deve ser experimentada por meio de situaes variadas, e o investigador deve analisar uma grande variedade de condutas e de esquemas para compreender sua consistncia, do ponto de vista cognitivo.

Vergnaud. (1990)

Como Dizem

59Mdulo 7

Matemtica e Suas Tecnologias

Professor, nesta seo apresentaremos alguns applets criados

com o Geogebra que podem movimentar suas aulas. Como

sempre, dedicamos tudo de mais especial para que voc e

seus alunos desfrutem ao mximo desses recursos.

Esses recursos possibilitam aos alunos experimentar e

investigar transformaes lineares do 2 no 2.

O que subjaz esta experimentao o fato de, no computador,

cada imagem corresponder a um conjunto de milhares

de pixels, cujas informaes relativas cor e posio so

armazenadas, como elementos, em matrizes.

O grande acrscimo para a sua sala de aula est no fato de as alteraes nas imagens

corresponderem a operaes com matrizes.

Recurso 1 Matrizes e Transformaes 1

Esse applet sugere que cada matriz M M2 pode ser um operador que transforma, por exemplo, o 2 no prprio 2. Ou ainda, os subespaos vetoriais de 2 em subespaos vetoriais de 2.

Applets - Programa utilitrio que produz

pequenas aes ou funcionalidades simples.

60Mdulo 7

Para tanto, o applet oferece a possibilidade de transformar

um vetor do 2 em outro vetor deste conjunto, por meio da escolha das coordenadas desse vetor e dos elementos de uma

matriz M M2.

Para utiliz-lo, o usurio s precisa aprender a manipular os controles, conforme indicado na sequncia de imagens a seguir:

1. Modifique em cada caixa de texto o valor dos elementos da matriz M.

2. Utilize tambm os controles deslizantes para modificar o valor dos elementos da matriz M.

61Mdulo 7

3. Utilize a caixa de opo para exibir ou esconder as ncoras dos vetores u e Mu.4. Utilize a caixa de opo para exibir elementos textuais que associam as coordenadas de Mu aos elementos da matriz M.

5. Modifique o vetor u movimentando o ponto em sua extremidade.

Esse applet utiliza cores para identificar a transformao algbrica determinada pela multiplicao da matriz M pelo vetor u.

Com a observao das cores e suas associaes, o usurio pode concluir que as coordenadas do novo vetor dependem das coordenadas de u.

Ao utilizar este applet , voc deve considerar como um importante objetivo a possibilidade de que seus alunos

concluam e explicitem a operao de multiplicao de matrizes atravs da associao das cores.

62Mdulo 7

Percebendo a associao de cores, os alunos entendero e at justificaro as transformaes que podem ser admitidas tendo uma determinada matriz como operador.

Vamos ver um exemplo?

Se mantivermos fixos a11 = 1, a21 = 0, a22 = 0 e variarmos a12, o applet nos permite verificar que o vetor Mu varia horizontalmente.

Com estmulo, possvel perceber at que a variao por unidade em a12 corresponde uma variao somente na coordenada yMu. E que essa variao equivale ao acrscimo ou decrscimo de uma vez o valor da coordenada yu.

Variar somente o elemento a12 da matriz M no descreve o

cenrio da transformao determinada pela matriz 10

k1

, k . preciso variar tambm o vetor u.

Note que se u um vetor da forma (x, 0), e se M a matriz assinalada acima, qualquer que seja o valor real de k, u e Mu coincidem!

63Mdulo 7

Ou seja, u sempre ponto fixo.

Veja que, explorando devidamente diversos valores de u, os

alunos podem conjecturar que a transformao determinada

pela matriz acima corresponde a um cisalhamento horizontal.

Fique atento! Esse applet permite que, visualmente, seus alunos tenham contato com ideias que vistas a partir do trabalho algbrico, talvez, se fizessem distantes. Aproveitar ao mximo as possibilidades desse recurso requer que os seus objetivos sejam conquistados gradualmente e sempre a partir de exploraes guiadas por voc.

Com esse applet e suas orientaes os alunos podero associar

com riqueza de detalhes as respectivas transformaes

determinadas, por exemplo, pelas matrizes:

10

k1

,1k

01

, k0

0k

, 10

01

, 10

01

, 10

01

,

10

00

, 00

01

, 01

00

, 00

10

k .

Observe, em outro exemplo, quo especial pode ser esse recurso com a possibilidade de descrever a

imagem das transformaes descritas anteriormente.

64Mdulo 7

Movimentando u, e fixando os elementos de M, podemos

verificar que a matriz M = 01

00

transforma todo o

semiplano aberto que contm o ponto (1,0) e determinado pela reta r: y = 0, na semirreta s com origem em O = (0, 0) passando pelo ponto (0, 1) da mesma forma que transforma todo o outro semiplano aberto determinado pela reta r na semirreta oposta s.

M

Nessa transformao o vetor nulo o nico ponto fixo, e o nico cuja imagem a origem!

Voc, professor, ainda pode surpreender seus alunos oferecendo a eles a possibilidade de descrever transformaes como a determinada pela matriz

M= 0,20,4

0,40,8

= 1/52/5

2/54/5

Como em todos os outros applets que apresentamos aqui a notao decimal utilizada a que considera o ponto como separador das unidades e dos dcimos de unidade.

65Mdulo 7

Essa Matriz a que est associada a transformao que determina a projeo dos vetores de 2 sobre a reta y = 2x.

E seu aluno poder verificar este fato!

No entanto, CUIDADO!

Este recurso no ir fornecer exemplos significativos que ajudem seu aluno a entender como podemos determinar esta matriz ou, o contrrio, como fazemos para determinar o que ela faz quando a conhecemos.

Vale aqui o bom senso!

Clique aqui para acessar o Recurso 1:

Matrizes e Transformaes 1

Recurso 2 Matrizes e Transformaes 2

Este recurso complementa a ao do primeiro, com a sensacional possibilidade de o aluno associar as transformaes estudadas transformao de imagens, tal como, em alguns casos, so feitas pelo computador.

Com este applet o usurio pode alterar uma imagem com transformaes como:

http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod7/recursos/Tema_13_Recurso_01/

66Mdulo 7

o cisalhamento;

a ampliao;

a reduo;

as compresses e dilataes horizontais;

as rotaes.

Os controles para que o applet realize essas transformaes esto descritos na sequncia de imagens a seguir.

1. Modifique o valor dos elementos da matriz M utilizando caixas de texto ou controles deslizantes.

2. Selecione uma imagem ou uma sugesto de imagem a ser criado com o menu de lista suspensa.

3. Controle a exibio das malhas com esses controles.

67Mdulo 7

A seguir, mais informaes

sobre o applet.

Os botes Limpar e Preencher funcionam apenas no quadro destacado na rea grfica.

Eles descolorem todos os quadrados da malha ou pintam

esses quadrados com uma cor selecionada.

Nesta rea de desenho cada quadradinho a simulao de

um pixel.

O usurio tem tambm disposio o

quadro de cores da imagem a seguir.

Esse quadro ser utilizado para pintar os

quadradinhos da rea de desenho.

68Mdulo 7

Basta clicar sobre a cor desejada e clicar sobre o quadrado que deseja pintar.

O prprio applet sugere imagens que podem ser reproduzidas na rea de desenho.

Essas imagens foram construdas

com o prprio applet!

Alm dos desenhos, o applet permite que o usurio explore as transformaes matriciais utilizando transformaes sobre a imagem a seguir.

69Mdulo 7

Consideramos ser significativo na utilizao desses dois applets que os alunos repitam a explorao sobre as transformaes determinadas, por exemplo, pelas matrizes:

10

k1

, 1k

01

, k0

0k

, 10

01

, 10

01

, 10

01

,

10

00

, 00

01

, 01

00

, 00

10

k .

Por fim, um ltimo recurso muito interessante:

a animao das transformaes.

O usurio pode clicar no boto disponvel no canto inferior esquerdo da janela de controles.

Esse boto faz com que os elementos da matriz M variem, todos, no intervalo [-5, 5]. E com isso faz com que a imagem, ou desenho, se modifique.

Os vetores vermelhos do canto inferior direito da rea de desenho indicam a transformao dos vetores cannicos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1).

Durante a animao o usurio pode modificar livremente os valores dos elementos da matriz M. Isso deve ser explorado, pois a forma como diferem implica a forma como a imagem ou desenho varia no plano.

70Mdulo 7

Como sempre dizemos por aqui, divirta-se sem moderao!

Clique aqui para acessar o Recurso 2:

Matrizes e Transformaes 2

Ampliando Ideias

Leitura Recomendada

Relao de textos comentados para aprofundamentos sobre os conceitos matemticos abordados.

Matrizes e o Movimento da Matemtica Moderna

LOPES, M. R.. Matrizes: Histria de um Contedo Escolar. Dissertao de Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2012.

Este trabalho apresenta uma investigao histrica de como o conceito de matrizes foi introduzido no ensino secundrio brasileiro, a partir da anlise de livros didticos inseridos no perodo 1930-1980 juntamente com o estudo do contexto histrico educacional em que tais obras estavam compreendidas.

Disponvel em < http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/42%20Marcelo%20Lopes.pdf >

http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod7/recursos/Tema_13_Recurso_02/http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/42%20Marcelo%20Lopes.pdf

71Mdulo 7

Frmula Cannica de Jordan para Operadores Lineares do Plano Matrizes Reais 2x2

KAMPHORST, S. O.. Frmula Cannica de Jordan para Operadores Lineares do Plano Matrizes Reais 2 x 2. Universidade Federal de Minas Gerais, Minas Gerais, 2012.

Este trabalho apresenta uma abordagem sobre conceitos envolvendo as transformaes lineares e as matrizes 2 x 2, alm de exemplos de mudanas de base para as transformaes do plano.

Disponvel em < http://www.mat.ufmg.br/~syok/cursos/al/forma8.pdf >

Sugestes de Materiais Didticos

Nesta seo, busca-se articular o tema aos materiais disponibilizados na Sala SESI Matemtica.

Sugesto de Recursos Educacionais Digitais

Vdeo 1: Coordenadas com Respeito a uma Base

No vdeo Coordenadas com respeito a uma base, publicado em 01/12/14, o Instituto Khan Academy explora o conceito de coordenadas de um vetor em base diferente da padro. Comparam-se uma base dada e a base padro e feita a definio formal de coordenada.

http://www.mat.ufmg.br/~syok/cursos/al/forma8.pdf

72Mdulo 7

Disponvel em: < https://pt.khanacademy.org/math/

linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/linear-

algebra-coordinates-with-respect-to-a-basis >

O vdeo tambm est disponvel no Youtube em:

< https://www.youtube.com/watch?v=togzGb6O3NA >

Vdeo 2: Matriz de Mudana de Base

No vdeo Matriz de mudana de base, publicado em

01/12/14, o Instituto Khan Academy explora a construo da

matriz de mudana de base entre uma base dada e a base

padro. So desenvolvidos exemplos de mudana de base

com vetores dados.

Disponvel em: < https://pt.khanacademy.org/math/

linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/

linear-algebra-change-of-basis-matrix >

O vdeo tambm est disponvel no Youtube em:

< https://www.youtube.com/watch?v=N2IkjZ3DmCo >

Vdeo 3: Matriz de Transformao com Relao a uma Base

No vdeo Matriz de transformao com relao a uma base,

publicado em 01/12/14, o Instituto Khan Academy explora a

obteno da matriz de transformao linear em uma base B

diferente da base padro a partir da matriz de transformao na base padro e da matriz de mudana de base.

https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/linear-algebra-coordinates-with-respect-to-a-basishttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/linear-algebra-coordinates-with-respect-to-a-basishttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/linear-algebra-coordinates-with-respect-to-a-basishttps://www.youtube.com/watch?v=togzGb6O3NAhttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/linear-algebra-change-of-basis-matrixhttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/linear-algebra-change-of-basis-matrixhttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/linear-algebra-change-of-basis-matrixhttps://www.youtube.com/watch?v=N2IkjZ3DmCo

73Mdulo 7

Disponvel em: < https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/lin-alg-

transformation-matrix-with-respect-to-a-basis >

O vdeo tambm est disponvel no Youtube em: < https://www.youtube.com/watch?v=zaDVFII0XjY >

Vdeo 4: Mudana nos Sistemas de Coordenadas para Ajudar a Encontrar uma Matriz de Transformao

No vdeo Mudana nos sistemas de coordenadas para ajudar a encontrar uma matriz de transformao, publicado em 02/12/14, o Instituto Khan Academy explora a utilizao da mudana de sistema de coordenadas para obter, de maneira mais simples, a matriz de transformao de uma transformao linear do sistema padro de coordenadas.

Disponvel em: < https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/lin-alg-changing-

coordinate-systems-to-help-find-a-transformation-matrix >

O vdeo tambm est disponvel no Youtube em: < https://www.youtube.com/watch?v=RFIe4t3n620 >

Applet Matriz e Transformao Linear

No applet Matrix and Linear Transformation, publicado em 10/03/14, no site GeoGebra Tube, possvel movimentar os vetores cannicos aplicando a estes diversas transformaes.

https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/lin-alg-transformation-matrix-with-respect-to-a-basishttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/lin-alg-transformation-matrix-with-respect-to-a-basishttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/lin-alg-transformation-matrix-with-respect-to-a-basishttps://www.youtube.com/watch?v=zaDVFII0XjYhttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/lin-alg-changing-coordinate-systems-to-help-find-a-transformation-matrixhttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/lin-alg-changing-coordinate-systems-to-help-find-a-transformation-matrixhttps://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/change_of_basis/v/lin-alg-changing-coordinate-systems-to-help-find-a-transformation-matrixhttps://www.youtube.com/watch?v=RFIe4t3n620

74Mdulo 7

Ao lado da imagem transformada tambm possvel visualizar os vetores da nova base utilizada na transformao.

Disponvel no site do GeoGebraTube em: < http://tube.geogebra.org/student/m94321 >

Bibliografia Consultada

BRASIL, Ministrio da Educao, Secretaria de Educao Bsica. Guia de Livros Didticos PNLD 2015. Braslia, 2014.

CARDOSO, V. C. et. al. Um Estudo no Campo Conceitual de Vergnaud Aplicado s Matrizes: Uma Investigao acerca dos Invariantes Operatrios. 1a Edio, REVEMAT, Florianpolis, pg. 95-116, 2013.

CONCEIO, M. R. F. Transformaes no Plano: Uma Aplicao do Estudo de Matrizes com o Uso de Planilhas Eletrnicas. Dissertao de Mestrado, Universidade Federal do Rio Grande, Rio Grande do Sul, 2013.

HEFEZ, Abramo; FERNANDEZ, Ceclia de Souza. Introduo lgebra linear. Coleo PROFMAT, SBM, Rio de Janeiro. 2012. IEZZI, G. et. al. Fundamentos da Matemtica Elementar. 1a Edio, Vol. 4, Atual Editora, So Paulo, 1977.

IEZZI, G. et. al. Matemtica: volume nico. 6a Edio, Atual Editora, So Paulo, 1997.

IMA, E. L. et. al. . 1a Edio, Vol. 3. Sociedade Brasileira de Matemtica (Coleo do Professor de Matemtica), IMPA, Rio de Janeiro, 1998.

LIMA, E. L. et. al. Exame de Textos. 1a Edio, Sociedade Brasileira de Matemtica (Coleo do Professor de Matemtica), IMPA, Rio de Janeiro, 2001.

VERGNAUD, G. A Criana, a Matemtica e a Realidade: Problemas do Ensino da Matemtica na Escolar Elementar. 1a Edio, Editora da UFPR, Curitiba, 2009.

TEMA

ano2 1

3

Mdulo 5 Mdulo 6 Mdulo 7 Mdulo 8

Danando conforme a msica

Viso Alm do Alcance

Do Piau( ao i)...14O que est em cima... Do Piau ( ao i)...

As bases da computao grfica

Um conceito determinante...

AlgoogleritmoTouch screen, Mouse e Matemtica

Introduo

...a eptome da certeza, das verdades imutveis e dos mtodos irrefutveis... segura por meio da infalibilidade de seu mtodo supremo, a deduo... Os conceitos em Matemtica no so desenvolvidos, so descobertos... as verdades anteriores no so alteradas pela descoberta de uma nova verdade... a Matemtica assim prossegue pela acumulao de novas verdades matemticas, como tendo uma estrutura inflexvel, definida a priori. (Confrey apud Ernest, 1991.)

Aonde nos levar a curiosidade humana? Onde acabam as descobertas? O que julgamos real hoje no foi imaginado um dia?

Win

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m/p

ho

tos/

osk

ay/4

58

119

42

52

80Mdulo 7

Essas so as perguntas que permeiam a mente de qualquer pessoa interessada pela cincia. Ns, professores, fazemos parte desse grupo, e a cada nova descoberta ficamos abismados com o rpido avano que a cincia percorre hoje.

Mas a Matemtica criada ou descoberta?

Essa uma pergunta filosfica cujo contedo que se desdobra dela no caberia no escopo desse trabalho. Apesar disso, podemos tecer em algumas linhas o nosso ponto de vista que pode servir de base para um futuro debate mais aprofundado.

A chave para a pergunta, em nossa opinio, reside na semntica das palavras: criada e descoberta. A palavra criada se origina do verbo criar, cuja interpretao pode ser dar um princpio. Por outro lado, a palavra descoberta uma inflexo do verbo descobrir, cuja interpretao pode ser revelar algo ou algum.

Ento, por um lado, aqueles que acreditam que a Matemtica criada pensam que o ser humano tem a capacidade de dar princpio a algo que no existia. E os que creem que a Matemtica descoberta pensam que o ser humano apenas revela algo que sempre existiu.

De certa forma, podemos acreditar que a cincia ora criada, ora descoberta.

A sutil diferena que existe entre esses dois pensamentos no afeta a beleza das inmeras descobertas ou criaes que os matemticos realizam atualmente.

81Mdulo 7

Sala de Professores

Dilogo.

Aprofundamento

Voc j percebeu qual o foco deste texto?

Acertou quem respondeu...

82Mdulo 7

comum, logo na primeira aula sobre esse conceito, ser apresentada a sntese inclusiva ( ) que por uma opo didtica induz a falsa linearidade do desenvolvimento destes conceitos numricos na Matemtica.

Os nmeros naturais permitem a contagem do nmero de elementos de uma coleco de objectos. No entanto, so insuficientes para medir grandezas de natureza contnua, como comprimento, rea, volume e tempo, o que torna necessrio a introduo de uma nova classe de nmeros, os nmeros racionais (absolutos). Para descrever grandezas do mundo fsico e social que podem variar em sentidos opostos so necessrios os nmeros (inteiros ou racionais) relativos. Por consideraes internas prpria Matemtica, para se obter coerncia e se conseguir resolver alguns problemas (como o problema da razo entre o permetro e o raio da circunferncia ou encontrar a soluo geral da equao do 3 grau) chega-se mais tarde concluso de que os nmeros naturais, racionais e relativos, necessitam ser complementados com novas classes de nmeros, os nmeros reais e os nmeros complexos.

(PONTE, 2006, p. 3)

Como Dizem

83Mdulo 7

importante destacar que foram os processos de resoluo das equaes algbricas de 3 grau que implicaram a aceitao dos nmeros complexos. Vamos visitar um pouco essa histria, mas antes vamos tecer alguns comentrios sobre o questionamento feito no texto.

Uma vez que podem ser entendidos como pares ordenados ou vetores, os Complexos podem ser chamados de nmeros?

Essa pergunta mais motivadora de questionamentos do que precursora de uma resposta pacificadora. Para respond-la deveramos saber dizer, indubitavelmente, o que um nmero.

O problema que, apesar de ser o principal objeto de trabalho dos matemticos e professores de matemtica, o conceito de nmero no est na ponta da lngua desses profissionais.

Diversos filsofos e matemticos buscaram responder pergunta O que nmero?. (FONSECA, 2010).

No livro Introduo filosofia matemtica de Bertrand Russell, publicado pela primeira vez em 1919, o objeto principal o conceito de nmero e tudo o que se refere a esse conceito.

Para os filsofos ditos intuicionistas, a pura intuio da contagem seria o ponto de partida para a justificativa do conceito de nmero.

Para os conceitualistas, os nmeros so entidades abstratas produzidas pela mente.

84Mdulo 7

Nos debates filosficos em torno da natureza do

conceito de nmero, emergem questes relacionadas ao

conhecimentoapriori ou ao conhecimento emprico.

Frenge (1992, apud FONSECA, 2010), em relao aos nmeros complexos, afirma que necessrio definir univocamente o significado de um smbolo e manter-se coerente com tal significado ao longo do processo. Como Dizem

Os nmeros negativos e os nmeros complexos foram

considerados duvidosos durante muito tempo. Somente no

sculo XIX eles vo adquirir o status de nmero. A partir desse

mesmo sculo os nmeros reais foram logicamente bem

fundamentados por alguns matemticos como Dedekind,

Weierstrass, Mray e Cantor.

Para se obter os nmeros reais pode-se seguir o passo a passo axiomtico:

os nmeros naturais so caracterizados pelos axiomas de Peano;

em seguida, constri-se o conjunto dos nmeros inteiros por meio de classes de equivalncia de pares ordenados de nmeros naturais;

o prximo passo construir os nmeros racionais por meio de classes de equivalncia de pares ordenados de nmeros inteiros;

e por fim os nmeros reais por meio dos cortes Dedekind

Conhecimento a priori - Possvel de obter antes da experincia.

Conhecimento emprico - Baseado na experincia.

85Mdulo 7

ou por classes de equivalncia de sequncias de Cauchy (de nmeros racionais).

Conway critica essa forma de construir os reais, que necessita construir antes os racionais. Seu argumento que os racionais so reconstrudos como certos cortes de Dedekind, e que a distino entre o antigo e o novo racional parece artificial, mas essencial.

(FONSECA, 2010, p. 22)

Como Dizem

No final do sculo XX, Conway apresentou uma definio para nmero que engloba os nmeros:

inteiros;

racionais;

reais;

complexos.

Para um primeiro contato com as ideias de Conway, recomendamos que voc

leia a tese A Complementaridade entre os Aspectos Intensional e Extensional na

Conceituao de Nmero Real Proposta por John Horton Conway, de Rogrio Fonseca.

O link est disponvel na seo Bibliografia Consultada.

86Mdulo 7

Conway conceitua nmero utilizando a noo de corte, generalizando a definio de Dedekind, e tambm emprega como recurso uma classe especial de jogos e a teoria dos conjuntos. A teoria de Conway (2001) possibilita a construo dos nmeros de forma nica, dos naturais aos transfinitos. O sistema de nmeros definido por Conway recebe a denominao de Nmeros Surreais.

Esses nmeros podem ser representados por conjuntos ou por configuraes de uma classe de jogos. Por volta de 1974, o matemtico Donald E. Knuth chamou os nmeros de Conway de Nmeros Surreais; posteriormente o prprio Conway comeou a utilizar essa designao.

(FONSECA, 2010, p. 18)

Como Dizem

Atualmente, os nmeros complexos esto presentes nos currculos escolares e so aceitos como nmeros, sem questionamento. Mas, como vimos, o prprio conceito de nmero foi objeto de controvrsias.

Uma dica rpida: caso voc queira saber mais

sobre o tema, sugiro que leia Histria da

Matemtica: Uma Viso Crtica, Desfazendo Mitos e Lendas, de

Tatiana Roque.

Partindo dessa abordagem histrica sobre o

desenvolvimento dos nmeros complexos, vamos revisitar a

equao me desse conceito.

Uma Equao que Tem Histria!

A equao x3 15x = 4 tem uma raiz real igual a 4, que pode ser facilmente verificada por substituio.

O que ela tem de importante?

87Mdulo 7

Para responder a isso, vamos apresentar uma frmula pouco conhecida,

mas que foi deduzida para esse tipo de equao do terceiro grau.

Em 1545, Cardano , em seu livro Ars Magna , mostrou um mtodo de resoluo para uma equao cbica reduzida do tipo x3 = px + q.

Esse mtodo ficou conhecido como frmula de Cardano e deduz que o resultado a seguir uma soluo da equao cbica x3 = px + q:

Aplicando a frmula de Cardano equao x3 = 15x + 4:

Cardano - Girolamo Cardano foi um polmata italiano do sculo XVI,

pioneiro na introduo da teoria das equaes algbricas.

Ars Magna - Tratado do polmata Girolamo Cardano, publicado em latim

no ano de 1545, no qual so apresentados, pioneiramente, mtodos

de resolues de equaes de terceiro e quarto grau.

88Mdulo 7

Observe que para determinarmos o valor de x, temos que resolver um problema insolvel, para a poca, que a raiz quadrada de um nmero negativo.

Bombelli , discpulo de Cardano, em sua obra LAlgebra (1572), aplicou a frmula de Cardano a esta equao e encontrou este mesmo resultado, mas no parou por a.

Apesar de no se sentir vontade em relao s razes quadradas de nmeros negativos que surgiram, Bombelli continuava corajosamente usando a lgebra para oper-las, uma vez que sabia que a equao possua pelo menos uma raiz real: o 4.

Assumindo a manipulao algbrica de razes quadradas de nmeros negativos, Bombelli chegou seguinte igualdade:

(2+ 1)3 = 23 + 3 22 1 + 3 2 ( 1)2 + ( 1)3

= 8 + 12 1 6 1 == 2 + 11 1 =

=2 + 121

A partir da igualdade anterior, Bombelli determinou que as razes cbicas da frmula de Cardano aplicada equao x3 = 15x + 4 podem ser encontradas simplificando a primeira raiz cbica obtendo 2 + 121 = 2 + 1 e, analogamente, a segunda raiz cbica obtendo 2 121 = 2 1. Conclui-se que:

Bombelli - Rafael Bombelli foi um algebrista italiano do sculo

XVI, precursor nos estudos sobre nmeros imaginrios.

LAlgebra - Obra de autoria de Rafael Bombelli na qual

so apresentadas as regras algbricas dos nmeros negativos

e dos nmeros complexos.

89Mdulo 7

x = 2 + 121 + 2 121 = 2 + 1 + 2 1 = 4

Como possvel obter uma raiz real usando um mtodo que faz aparecer nmeros ilegtimos, como as razes quadradas de nmeros negativos?

Um fato a ser destacado desta histria o uso de nmeros ilegtimos para a resoluo de uma equao cbica, por meio da frmula de Cardano, obtendo-se uma resposta correta.

Observe que, apesar de manipular as razes quadradas negativas, elas no aparecem na resposta final, pois se anulam. E mais impressionante do que isso: a igualdade ( 1)2 = 1 utilizada, aparentemente, no gerou erro algum porque, ao final, conduziu a uma resposta correta.

Veja a seguir um exemplo de resoluo de equao do 3.

Resoluo de uma equao geral de terceiro grau: x3 + ax2 + bx + c = 0.

Para resolvermos essa equao faremos uma mudana de varivel para recairmos no caso particular estudado por Cardano, e a partir dele chegar a uma soluo geral.

90Mdulo 7

A. Aplicando a substituio x = y a/3 podemos reduzir a equao anterior para a forma y3 = py + q, com p, q , da seguinte maneira:

B. Definindo e temos:

y3 py q = 0 y3 = py + q (Equao de Cardano!)

Para resolvermos essa equao utilizaremos o mtodo apresentado por Cardano.

Observe que:

(u + v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 = 3uv (u + v) + (u3 + v3)

Assim, se existirem u e v tais que p = 3uv e q = u3 + v3 ento conseguiremos um y = u + v tal que:

91Mdulo 7

y3 = py + q,afinal,

(u+v)3 = 3uv (u+v) + (u3 + v3)y3 p y q

Portanto, basta descobrir valores para u e v que satisfaam a p = 3uv e q = u3 + v3.

C. Partindo das equaes p = 3uv e q = u3 + v3,

chegamos ao sistema u3 + v3 = qu v = p/3

.

Elevando ao cubo a equao u v = p/3 obtemos u3 + v3 = qu3 v3 = p3/27

.

Para simplificar um pouco as equaes, consideremos

U = u3 e V = v3 resultando em U + V = qU V = p3/27

.

Assim, buscam-se nmeros cuja soma e cujo produto so conhecidos.

Por isso, as solues do sistema U e V so tais que equivalem s solues de uma equao do segundo grau da forma Z2 qZ + p3/27 = 0, obtidas por meio das expresses de soma e produto de razes, ou seja, Z1 = U e Z2 = V.

D. Aplicando-se a frmula usual de resoluo de equaes do 2o grau obtm-se:

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U = Z1 = (q) + (q)2 4 1p3/27

(21) = q + q

2 4p3/27(21)

=

= q/2 + q2/4 p3/27e

V = Z2 = (q) + (q)2 4 1p3/27

(21) = q + q

2 4p3/27(21)

=

= q/2 + q2/4 p3/27

Como U = u3 e V = v3, ento temos que:

Chegando-se assim ao caso particular da frmula de Cardano:

93Mdulo 7

E. Para se chegar frmula da equao geral devemos reverter a substituio inicial.

Portanto, a soluo de qualquer equao da forma x3 + ax2 + bx + c = 0 dada por:

p = a2 / 3 b e q = ba / 3 (2a3) / 27 c.

Os nmeros complexos so frequentemente associados resoluo de equaes quadrticas cujas soluo so expressas por razes quadradas de nmeros negativos.

Porm, como vimos, o que tornou incontornvel admitir razes quadradas de nmeros negativos como nmeros legtimos na Matemtica foi o estudo da resoluo de equaes cbicas.

(...) s vsperas do sculo XVI, as quantidades imaginrias eram empregadas em clculos, possuindo nome e algoritmos definidos, mas seu emprego ainda causava incmodo.

Estas quantidades eram toleradas quando partiam do real para se chegar ao real e pelo fato de que a teoria sobre as equaes ainda no estava perfeitamente definida. Aos numerosos e longos clculos utilizados na resoluo das cbicas ir se substituir uma escrita formal que as reduzir e far os matemticos descobrirem a generalidade que lhes faltava. Todas essas pesquisas sero feitas no fim do sculo XVI e prosseguiro

94Mdulo 7

pelo sculo seguinte, ficando aparentemente ocultos os resultados que Bombelli tinha obtido. Mas, foi a partir dos trabalhos destes matemticos italianos que os nmeros sofisticados comearam a perder parte de sua caracterstica mstica, ainda que sua plena aceitao no universo dos nmeros comece a ser obtida apenas no sculo XIX com os trabalhos de Wallis, Wessel, Bue e Argand.

(Pinto, 2009, p. 12-14, 28)

Nmeros Sofisticados

Ao longo da histria, diferentes termos foram utilizados para designar os nmeros complexos no reais:

Bombelli os chamava de nmeros sofisticados;

Harriot e outros se referiam raiz quadrada de um nmero negativo como nmero inexplicvel;

Girard se referia a razes impossveis;

Descartes os chamou de nmeros imaginrios, no com o sentido de que eles no seriam reais, mas como nmeros que poderiam ser imaginados;

Gauss quem os designou como complexos.

Nem todas as razes verdadeiras e nem as falsas so sempre reais; s vezes elas so imaginrias; ou seja, enquanto ns podemos sempre conceber a quantidade de razes de uma equao como eu tinha atribudo, ainda assim nem sempre existe uma quantidade definida que corresponda a cada raiz obtida. Logo, mesmo concebendo que a equao x3 6x2 + 13x 10 = 0

Como Dizem

95Mdulo 7

tenha trs razes, ainda que s exista uma raiz real, 2, as outras duas, embora ns possamos som-las, diminu-las ou multiplic-las de acordo com as regras estabelecidas, permanecero sempre imaginrias.

(DESCARTES,1954, apud PINTO, 2009)

Como Dizem

No sculo XVIII os estudos em torno do imaginrio se

intensificam e dAlembert, em 1747, afirma na dissertao

Rflexions sur la cause gnrale des vents que uma quantidade

qualquer composta com tantos imaginrios quanto

desejarmos pode ser reduzida forma A + B 1, com A e B reais, de tal forma que se B = 0, ento a quantidade real.

A afirmao de dAlembert comea a dar sentido a um novo conjunto

que engloba os nmeros reais.

Assim, os imaginrios ganham cada vez mais espao e vrios

outros estudiosos da poca chegam a resultados semelhantes

a estes, como Euler que, alm destes resultados, introduz a

notao A + Bi, substituindo o imaginrio 1 pela letra i.

Joseph-Louis de Lagrange, percebendo a importncia das

realizaes de dAlember e Euler, mas sentido falta de um

carter mais rigoroso e de maior generalidade, retorna ao

estudo deste tema em sua obra Sobre a forma das razes

imaginrias das equaes (1772).

96Mdulo 7

Outras reflexes sobre a forma A + B 1 seriam exploradas por Jean-Robert Argand que interpreta os imaginrios geometricamente

Podemos considerar que a obra de Argand constituiu um importante marco na histria dos nmeros complexos uma vez que, na representao geomtrica das quantidades imaginrias, estas quantidades j comeam a ser concebidas como um ente matemtico distinto dos reais, que possuem um carter composto, que levar Gauss a designar essas quantidades como complexas.

(PINTO, 2009, p.80)

Como Dizem

Ainda no sculo XVIII, Abrahan de Moivre introduziu mtodos mais modernos para as operaes entre nmeros complexos, mas foi Willian Rowan Hamilton quem utilizou pela primeira vez a lgebra formal, que consiste em admitir o conjunto dos nmeros complexos como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a, b) de nmeros reais, conforme apresentado a seguir.

Considere o conjunto 2= {(x, y) | x, y R} e os pares ordenados P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) elementos desseconjunto.

Por definio, P = Q se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.

Assim, possvel definir as seguintes operaes de adio e multiplicao:

P + Q = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)e

P Q = (x1, y1) (x2, y2) = (x1 x2 y1 y2, x1 y2 + x2 y1)

97Mdulo 7

O conjunto dos nmeros complexos o conjunto dos pares ordenados (x, y) de nmeros reais x e y, munido dessas operaes de adio e multiplicao.

A partir das definies anteriores costuma-se identificar o nmero complexo (x, 0) com o nmero real x, mostrando-se que as operaes de soma e multiplicao definidas para os pares ordenados vo coincidir com as operaes correspondentes definidas em . Com isso, verifica-se que o conjunto dos nmeros reais um subconjunto dos complexos, ou seja, . A rigor, o que se faz uma imerso de em , de modo que h um subconjunto de que isomorfo a . De certa forma, h um carter circular nesse processo, uma vez que definido a partir de .

Ao se identificar i = (0, 1), chamada unidade imaginria, verifica-se que:

i2 = i i = (0, 1) (0, 1) = (0 0 1 1, 0 1 + 1 0) = (1, 0) 1

Como o par (-1, 0) pode ser identificado a 1, ento escreve-se i2 = 1. Com procedimentos anlogos, verifica-se que um nmero complexo qualquer z = (x, y) pode ser escrito da seguinte maneira:

z = (x, y) = (x, 0) + (y, 0) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi

Assim, todo nmero complexo z = (x, y) pode ser escrito de maneira nica na forma z = x + yi, com x, y e i2 = 1.

98Mdulo 7

Esta chamada atualmente de forma algbrica do nmero complexo z, em que:

x chamado de parte real de z e denotado por Re(z);

y chamado parte imaginria de z e denotado por Im(z).

Vale ressaltar que:

Se y = 0, ento z = x + yi um nmero real.

Se x = 0 e y 0, ento z = x + yi dito um nmero imaginrio puro.

A apresentao dos complexos tomando-se 2 munido de operaes de adio e multiplicao artificialmente construdas, pode se tornar um entrave pedaggico no qual se ganha maior rigor matemtico, mas se perde na clareza intuitiva da construo dos conceitos.

A seguir, apresentamos uma crtica bem posta a esse aspecto:

A Definio 2 [via pares ordenados] foi aquela utilizada para definir os nmeros complexos durante o perodo da Matemtica Moderna e segue sendo utilizada at os dias de hoje, ainda que sem a mesma popularidade. Sobre ela no repousam fragilidades to grosseiras [...], mas h uma questo filosfica importante que deve ser observada, por ter consequncias pedaggicas imediatas. A Definio 2 apresenta duas operaes sobre o conjunto 2, das quais segue, por exemplo, que (0, 1) (0, 1) = (1, 0). No entanto, antes mesmo que os alunos verifiquem tal igualdade formalmente, eles perguntam: que operao de produto essa? Se despirmos a Definio 2 da impecabilidade matemtica que a ela foi atribuda durante anos, nada mais...

Como Dizem

99Mdulo 7

...veremos alm da proposta Caro aluno, a fim de compreender a igualdade i2 = 1, de forma absolutamente trivial e sem sentido algum neste momento, voc acolheria a escolha injustificada do produto (x1, y1) (x2, y2) = (x1 x2 y1 y2 , x1 y2+ x2 y1)?.

Este um exemplo tpico do crculo hermenutico constantemente oferecido pelos caminhos formalistas: a escolha de axiomas justificada pela fora do resultado final a que eles servem e esse, por sua vez, aps tornar-se bvio intuitivamente ou inevitvel, por conta de sua demonstrao formal, revisita as suposies iniciais que nele se desdobraram, como a evidncia estrondosa e definitiva da coerncia alegada para legitim-las. assim que, ingenuamente, a cegueira se traveste de satisfao.

(MATHIAS, 2014)

Como Dizem

Incoerncias de uma Apresentao Escolar

muito comum os nmeros complexos serem apresentados da seguinte maneira no Ensino Mdio:

Define-se o conjunto dos nmeros complexos como sendo = {z = x + yi | x, y R e i2 = 1}, em que representa o conjunto dos nmeros reais.

Essa definio possui um carter circular, uma vez que se utiliza um nmero complexo, i para definir o conjunto dos nmeros complexos.

Por outro lado, observemos que medida que est bem definido, no existe problema nenhum em definir um conjunto da forma = {a + bi | a, b } e a partir desse novo conjunto definir as operaes:

100Mdulo 7

+

(a + bi; c + di)

(a + c) + (b + d)i

e

(a + bi; c + di)

(ac bd) + (ad + bc)i

Dessas definies decorre que i2 = 1. Para tal, basta tomarmos a = c = 0 e b = d = 1.

Note que o papel do i nessa definio servir como um marcador de

posio que estabelece uma ordem tal qual em um par ordenado.

O smbolo i utilizado poderia ser substitudo por qualquer outro. A grande diferena dessa definio para a anterior que chega-se concluso de que i2 = 1 a partir das operaes de adio e multiplicao definidas para = {a + bi | a, b }.

Apesar de esta ltima definio ser matematicamente consistente, ela ainda traz o problema pedaggico apontado por Mathias (2014).

Por que o produto realizado desta forma?

Acreditamos que um caminho para dar mais sentido s definies dessas operaes seja associ-las s transformaes de rotao e de homotetia no plano cartesiano.

101Mdulo 7

Veremos isso com detalhes na seo Complexos

como Matrizes.

Mas, antes disso, continuaremos refletindo sobre oportunidades de

abordagens dos nmeros complexos no contexto da sala de aula.

Nmeros Complexos no Contexto Escolar

A apresentao do problema histrico de resoluo de equaes cbicas a partir da frmula de Cardano pode oferecer aos alunos a oportunidade de experimentar a mesma surpresa tida por Bombelli.

Se essa for a escolha do professor, deve-se ter em mente que o uso de calculadoras para

resoluo de somas, produtos e potncias, deve ser recomendado aos alunos.

Apresentar algumas frmulas tambm necessrio. Mas lembre-se: os alunos devem manter o foco na anlise qualitativa do processo e no nos clculos envolvidos.

Essa opo didtica pode tornar mais natural a construo dos complexos, uma vez que os alunos iro se deparar com 121

102Mdulo 7

algo sem sentido para eles at ento e operar com esse nmero no real, simplificado expresses e encontrando a soluo para uma equao cbica.

Vamos olhar com detalhes a simplificao de 121?

121 = (121)(1) = 121 1 = 11 1

Note que as operaes utilizadas para essa raiz quadrada negativa so similares s utilizadas para simplificar, por exemplo, 363 = 11 3.

Cabe destacar, no entanto, que o uso arbitrrio dessa analogia pode induzir a erros conceituais.

Fique atento para no cair em pegadinhas como a demonstrada

na prxima pgina.

103Mdulo 7

Clique para ver a animao

Note que h uma diferena sutil entre ( 1)2 e (-1)2.

Em ambos os casos, os alunos costumam cortar a raiz quadrada com o quadrado gerando, nesse caso, a mesma resposta ( 1)2 = 1 = (-1)2.

Contudo, h um erro na segunda igualdade porque a funo raiz quadrada, : + , definida por (x) = x, sempre no negativa, (x) 0, x +, ou seja, (-1)2 = 1 = 1 > 0.

A afirmao: o quadrado de qualquer nmero positivo ou negativo positivo verdadeira? Sim.

U, mas o quadrado de i = 1 no negativo? Sim.

Como pode?!

104Mdulo 7

O fato que i no nem positivo, nem negativo.

Essas noes dependem de uma relao de ordem e no existe uma relao de ordem total em , como temos em . At podemos dizer que a parte imaginria do complexo i positiva, afinal, igual a 1, mas no podemos dizer que i positivo ou negativo, simplesmente porque tal afirmao no faz sentido.

Alis, voc no acha estranho dizer que a parte imaginria de

um complexo um nmero real? Pois , os alunos tambm!

A Reta j Est Preenchida. E Agora?

Sabemos que existe uma correspondncia bijetiva entre os nmeros reais e os pontos da reta real.

Isso significa dizer que os nmeros reais preenchem completamente a reta, assim como a reta real contm todos os nmeros reais representados por seus pontos.

No h espao para nmeros no reais na reta!

105Mdulo 7

O que fazer ento para representar esses novos nmeros imaginrios geometricamente?

Essa pergunta inspirou os matemticos Wallis, Wessel, Bue na busca de uma representao geomtrica de quantidades imaginrias.

Wessel (1897) props uma interpretao geomtrica para a multiplicao de complexos a partir da escolha de uma unidade de medida. A operao era fundamentada nas noes geomtricas de semelhana.

Essa interpretao foi reapresentada em Pinto (2009) :

A multiplicao de dois segmentos era perfeitamente definida a partir da escolha de uma unidade absoluta, o que seria representado por um segmento absoluto igual a 1. (...)

Clique para ver a animao

106Mdulo 7

Como diz Wessel, a multiplicao destes segmentos no depende da ordem em que os tomamos, caracterizando o que atualmente conhecemos como comutatividade.

A partir desta construo, Wessel constata que o segmento OC pode ser determinado da seguinte maneira:

1. A medida de seu comprimento o produto das medidas correspondentes aos comprimentos dos segmentos OA e OB.

2. A direo pode ser obtida, em termos trigonomtricos, a partir da semirreta OU de um ngulo igual soma dos ngulos que a mesma semirreta determina com os segmentos OA e OB.

(PINTO, 2009, pp.65-66)

Como Dizem

Apesar de tentativas anteriores de representao geomtrica dos complexos, como a de Wessel, foi Jean-Robert Argand quem publicou pela primeira vez um trabalho com o ttulo Ensaio sobre uma maneira de representar as quantidades imaginrias nas construes geomtricas no qual os nmeros complexos eram representados por vetores do plano euclidiano.

Essa representao s foi consagrada e aceita pela comunidade acadmica quando Gauss publicou o trabalho A Verdadeira Matemtica das Quantidades Imaginrias.

Por este motivo, o Plano Complexo, no qual so representados os nmeros complexos, conhecido com o Plano Argand-Gauss.

O cerne na interpretao geomtrica proposta por Argand est na adoo de um atributo a mais para qualificar um nmero: o sentido.

Atualmente comum explicarmos a alunos do 6o ou 7o ano do Ensino Fundamental que os nmeros negativos e positivos

107Mdulo 7

so representados simetricamente a partir do zero na reta numerada, adotando-se um sentido positivo e outro negativo.

A ideia revolucionria de Argand foi considerar uma nova direo, perpendicular reta real, na qual foram definidos novos sentidos.

Complexos como Vetores

A ideia estabelecer a correspondncia entre cada nmero complexo z = a + bi e um nico vetor = (a, b) no plano 2, imagem geomtrica de z.

Logo, a imagem geomtrica de z obtida pelo vetor que tem uma extremidade na origem do plano cartesiano e a outra no ponto P = (a, b), de forma que o eixo das abscissas entendido como o eixo real e o eixo das ordenadas como o eixo imaginrio, como mostra a figura a seguir.

108Mdulo 7

Com esta representao geomtrica algumas das operaes com

nmeros complexos so facilitadas pelas operaes com vetores.

A. Adio

Considere z1 = (a1, b1) e z2 = (a2, b2), com a1, b1, a2, b2 . Assim, z1 + z2 corresponde a somar os vetores e , logo:

z1 + z2 = (a1, b1) + (a2, b2) == (a1 + a2, b1 + b2) =

= (a1 + a2) + (b1 + b2)i

B. Subtrao

Da mesma forma que z1 z2 corresponde a subtrair os vetores e , obtendo:

109Mdulo 7

z1 + z2 = (a1, b1) + (a2, b2) == (a1 + a2, b1 + b2) =

= (a1 + a2) + (b1 + b2)i

C. Multiplicao

O produto de um nmero complexo pelo seu conjugado igual ao quadrado do mdulo desse complexo.

Esse fato fortemente utilizado na definio do quociente de dois nmeros complexos no reais. Comprove a seguir!

D. Diviso

O quociente z = z1z2

= a1+b1 ia2+b2 i

, com z1 e z2 nmeros

complexos no nulos dado por:

110Mdulo 7

z = z1z2

z = z1 z2z2 z2

Contudo, z2 . z2 = (a2 + b2 i) . (a2 b2 i) = = a22 a2 b2 i + a2 b2 i b22 i2 = a22 + b22 = |z|2. Portanto:

z = z1z2

= z1 z2|z|2 = (a1 a2 + b1 b2) + (a2 b1 a1 b2)i

a22 + b22

Vamos aprender um pouco mais sobre

complexos com vetores?

A. Conjugado z

O conjugado z de um nmero complexo z = a + bi; a, b , representado geometricamente pelo simtrico de z em relao ao eixo real, logo:

111Mdulo 7

B. Comprimento Oz

O comprimento de um vetor , com z = a + bi; a, b , chamado de mdulo do nmero complexo de z e denotado por |z|, logo:

|z| = a2 + b2

A Forma Polar ou Trigonomtrica

Seja z = a + bi; a ,b um nmero complexo.

Como feito anteriormente, vamos represent-lo geometricamente, no Plano Complexo, pelo vetor

= (a, b), de forma que chamaremos de:

r o mdulo de z;

argumento de z, denotado por arg(z), o ngulo formado entre o vetor e o e