Modelos de probabilidad Modelos de probabilidad Modelos de ...

1

Modelos de probabilidad

Proceso de BernoulliDistribución de BernoulliDistribución BinomialDistribución Geométrica

Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial

Distribución Normal

La Normal como aproximación de otras distribuciones

Distribuciones relacionadas con la NormalDistribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher

Estadística, Profesora. María Durbán

Objetivos del tema:

2

Al final del tema el alumno será capaz de:

� Comprender las hipótesis de las distintas distribuc iones presentadas

� Seleccionar la distribución discreta o continua cor recta en aplicacionesespecíficas

� Calcular probabilidades, determinar medias y varian zas para lasdistribuciones más comunes



3








4

Proceso de Bernoulli

Cuando un experimento tiene las siguientes características:

Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)

La proporción de A y D es constante en la poblacióny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

Las observaciones son independientes

Pr( )

Pr( ) 1

D p

A q p

== = −


5



Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)

La proporción de A y D es constante en la poblacióny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada


Pr( )

Pr( ) 1

D p

A q p

== = −

Estadística, Profesora. María Durbán 6


Ejemplos

Observar el resultado al lanzar una moneda

Si una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación

Observar el sexo de un recién nacido

Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital


7


Distribución de Bernoulli

0 si el suceso no ocurre A 1 Pr( 0)

1 si el suceso ocurre A Pr( 1)

q p XX

p X

→ = − = == → = =

La función de probabilidad es:

1( ) (1 ) 0,1x xp x p p x−= − =

[ ]

[ ] 2 2

0 (1 ) 1

(0 ) (1 ) (1 ) (1 )

E X p p p

Var X p p p p p p

µ

σ

= = × − + × =

= = − − + − = −



Distribución Binomial

X = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas

X toma valores 0,1,2,…,n

� Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial de parámetros (n,p).

~ ( , )X B n p


9

[ ][ ] (1 )

E X np

Var X np p

=

= −

( ) (1 ) , 0,1, ,r n rn

P X r p p r nr

− = = − =

K




n=5

n=25 p=0.75 p=0.5 p=0.2



11


Ejemplo

Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.

¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

Pr( 0)X =



Ejemplo




Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces

Son independientes

La probabilidad de ser defectuoso es constante, 0.01


13


Ejemplo




~ (40,0.01)X B

0 4040

Pr( 0) 0.01 (1 0.01) 0.6690

X

= = − =



Distribución Geométrica


Sólo hay dos resultados posibles

La probabilidad de éxito se mantieneconstante


Se repite el experimento hasta que ocurre el primeréxito

X = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito

~ ( )X Ge p


15



1,..... son Bernoulli iX i n=


1( ) (1 ) , 1, 2,rP X r p p r−= = − = K


( )( )( )

( ) qqqpXX

qqpXX

qpXX

pXX

XXXXX

===⇒

===⇒

===⇒

===⇒

↓↓↓↓↓

4Pr41000

3Pr3100

2Pr210

1Pr11

4321 L

16



[ ][ ] 2

1/

(1 ) /

E X p

Var X p p

=

= −

1,..... son Bernoulli iX i n=


( )( )( )

( ) qqqpXX

qqpXX

qpXX

pXX

XXXXX

===⇒

===⇒

===⇒

===⇒

↓↓↓↓↓

4Pr41000

3Pr3100

2Pr210

1Pr11

4321 L

17



( ) ( ) 1Pr (1 )xp x X x p p−= = = −



Ejemplo

La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes,

¿Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error?

X = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrarel primer error

[ ] 1/ 1/ 0.1 10E X p= = =


19








Proceso de Poisson


Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo

La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo

Es la misma para los intervalos del mismo tamañoEs proporcional a la longitud del intervalo

Los sucesos ocurren de forma independiente. El número desucesos que ocurren en un intervalo es independiente delnúmero de sucesos que ocurren en otro intervalo


21

Proceso de Poisson

X = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija

La distribución de Poisson se puede obtener como límite de unaBinomial cuando

Distribución de Poisson

y 0n p→ ∞ →

npλ = → Número medio de sucesos en ese intervalo


( ) , 0,1,!

reP X r r

r

λλ−

= = = K

[ ] [ ]

[ ]

1

0 1

1 2 1 2

! ( 1)!

~ ( ) ~ ( ) independientes ~ ( )

r reE X E X r e

r r

Var X

X P Y P X Y P

λλλ λλ λ λ

λλ λ λ λ

− −∞ ∞−= → = = =

−=

+ +

∑ ∑



Proceso de Poisson


23

Proceso de Poisson



Proceso de Poisson

Ejemplos

Número de defectos en un milímetro de cable.

Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralitaen una hora.

Número de erratas por página en un documento


25

Proceso de Poisson

Ejemplo

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por término medio llega un clientecada minuto.

¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos?

X = Número de clientes por minuto

Y = Número de clientes en 3 minutos

~ ( 1)X P λ→ =

~ ( 3)Y P λ→ =

3 033

Pr( 0)0!

eY e

−−= = =


Proceso de Poisson

Ejemplo


Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta6000 euros diarios. ¿Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre acada cliente para que sea rentable?

Y = Número de clientes en 8 horas ~ ( 60 8 480)Y P λ→ = × =

Beneficio = Tarifa x Y -6000

[ ]Beneficio Esperado = Tarifa 6000 0

= Tarifa 480 6000 0

E Y× − >× − >

Tarifa > 12.5


27

Proceso de Poisson

La distribución exponencial se puede utilizar para mo delizar

Tiempo entre llamadas telefónicasTiempo entre llegadas a un puesto de servicioTiempo de vida de un componente eléctrico

Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribuci ón exponencial

M

Distribución de exponencial

Estadística, Profesora. María Durbán Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 28

Proceso de Poisson


X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo

T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso

Podemos calcular su función de distribución:

0 0( ) (cero sucesos en (0,t ))P T t P> =

~ ( )X P λ

X= Número de sucesos en una unidad de tiempoY = Número de sucesos en (0,t0) 0~ ( )Y P tλ

0

0 0( ) ( ) 1t

F t P T t eλ−= ≤ = −

~ ( )X P λ

0

0( ) Pr( 0)t

P T t Y eλ−> = = =


29

Proceso de Poisson


X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo

T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos

~ ( )X P λ

( )( ) , 0tdF tf t e t

dt

λλ −= = ≥

[ ][ ] 2

1/

1/

E X

Var X

λ

λ

=

=

Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo

El tiempo medio entre dos sucesos es 1/λ


Proceso de Poisson

0.1( ) 0.1 xf x e−=

0.5( ) 0.5 xf x e−=

2( ) 2 xf x e−=

( ) xf x e λλ −=


31

Proceso de Poisson

Ejemplo


¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes?

X = Número de clientes por minuto

T = Tiempo entre dos clientes

~ ( 1)X P λ→ =

~ ( 1)T Exp λ→ =

( )1 3 3Pr( 3) 1 Pr( 3) 1 (3) 1 1T T F e e− × −> = − ≤ = − = − − =

Pr(No haya clientes en 3 minutos)=Estadística, Profesora. María Durbán 32

Proceso de Poisson

Propiedad

1 2 1 2Pr(T > t +t | T > t ) = Pr( T > t )

1 2

2

1

(t +t )

1 2 1 1 2

t

1 1

Pr(T > t +t T > t ) Pr( T > t +t ) =

Pr( T > t ) Pr( T > t )

tee

e

λλ

λ

−−

−= =I

Si no ha habido clientes en 4 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos?

3Pr( 7 | 4) Pr( 3) 1 (3)Y Y Y F e−> > = > = − =


33








34


La distribución Normal describe gran cantidad de proceso s aleatorios

Errores de medidaRuido en una señal digitalCorriente eléctrica en un trozo de cable…

En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal

Es la base para la inferencia estadística


35


Está caracterizada por dos parámetros: La media , µ, y la desviación típica , σ.

Toma valores en toda la recta real

Su función de densidad es:

2

2

( )

2

2

1( ) e

2

[ ] [ ]

x

f x x

E X Var X

µσ

πσµ σ

− −

= − ∞ < < ∞

= =

( , )N µ σ


Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media

µ

( )f x


0.5 0.5

La media, mediana ymoda coinciden


37

El El efectoefecto dede µµµµµµµµ yy σσσσσσσσ

¿Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)?

σ= 2

σ =3

σ =4

µ = 10 µ = 11 µ = 12

¿Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)?


Es un factorde escala

Es un factor detraslación


Pr(c d)X≤ ≤

38

La probabilidad es el área bajo la curva

c dx

f(x)


No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad


39

µ

σ

Densidad de X

Densidad de X-µ

0

Densidad de (X-µ)/σ

1


Todas las distribuciones normalesse pueden transformar en N(0,1)

XX Z

µσ−→ =


6 3Pr Pr( 1.5)

2Z Z

− ≤ = ≤ Estadística, Prof. Bernardo D'Auria 40


~ (3,2)X N

Pr( 6)X ≤3 6

0 1.5

Mismoºárea

~ (0,1)Z N


41


La función de distribución de la Normal estándar tiene una notación propia:

Existen ciertas cotas para la función Q que se utilizan para calcular cotas en error de probabilidad de varios sistemas de comunicaciones

( ) Pr( ) ( )

( ) Pr( ) 1 ( )

F x X x x

Q x X x x

φφ

= ≤ == > = −

( ) 1 ( )Q x Q x− = −

2

2

2

2

1( ) 0

2

1( ) 0

2

x

x

Q x e x

Q x e xxπ

−

−

≤ ≥

< ≥



Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?

Pr( 6000)X <

Pr( ) 0.9505X a> =


43


Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

600X Z Z

− < = < = < −

-1.66



Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

600X Z Z

− < = < = < −

1.66


45


Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

600X Z Z

− < = < = < −

1.66

1 Pr( 1.66)Z= − ≤


1 Pr( 1.66)Z= − <


Ejemplo

1 0.9515

0.0485

= −=



47


Ejemplo



7000Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505

600

aX a Z

− > = → > =

a

0.9505



Ejemplo



7000Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505

600

aX a Z

− > = → > =

-b

0.9505

-b Valor negativo


49


Ejemplo



( 7000)Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505

600

aX a Z

− − > = → < =

b

0.9505

b


( 7000)Pr( ) Pr 0.9505

600

aX a Z

− − > = < =


Ejemplo


( 7000)1.65

600

6010

a

a

− − =

⇓

=

El 95.05% de los semiconductoresduran más de 6010 horas


51

Pr( -0.6 < Z < 1.83 )=

Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z -0.6 )

Pr ( Z <-0.6) =Pr ( Z >0.6 ) =1 - Pr (Z < 0.6 ) =1 – 0.7257 =

0.2743

Pr( Z < 1.83 ) =0.9664

= 0.7257 - 0.0336= 0.6921

1.83-0.6


Más ejemplos de cálculo de probabilidades

≤


� La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobremuestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal.

52



53


50 55 60 65 70

010

2030

4050

60

x

Ilustración

Sea X una variable Uniforme enel intervalo [50,70].Tenemos una muestra de tamaño2000.

La muestra tiene media 59.9 ydesviación típica 4.57

El histograma no se parece a una distribución normal con la misma media y desviación típica

xx


Elegimos aleatoriamente grupos de 10 observaciones.

Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral.

Las medias de cada muestra están más o menos cerca de la media de la variable original.

Muestra

1ª 2ª 3ª59 63 59

60 60 69

66 58 60

54 53 65

51 51 69

54 59 54

51 53 59

63 62 65

66 57 56

70 69 55

5459.4 58.5 61.1



55

55.22075556.160009

57.09926458.038518

58.97777359.917028

60.85628261.795537

62.73479263.674046

64.613301

aa$x

0

10

20

30

40

a


La distribución de las medias muestrales tiene distribución aproximadamente normal.

La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original.

Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. La desviación típica es menor, en este caso 1.92 xxx


Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xi

independientes con medias (µι) y desviaciones típicas (σi) y

distribución cualquiera

Cuando n crece,

Teorema Central del Límite


2(0,1)

i

i

YN

µ

σ

−≈∑

∑

1 2 nY X X X= + + +K

( )2~ ,i iY N µ σ∑ ∑la distribución de


57

Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xi

independientes con medias (µι) y desviaciones típicas (σi) y

distribución cualquiera

Teorema Central del Límite


Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural la distribución Normal


4.5 Proceso de BernoulliDistribución de BernoulliDistribución BinomialDistribución Geométrica

4.6 Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial

4.8 Distribución Normal

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher



59


La variable Binomial es suma de variables de Bernoulli, que toman el valor 0 ó 1.

Binomial-Normal

1 2 nY X X X= + +K [ ][ ] (1 )

i

i

E X p

Var X p p

== −

T.C.L.

( ), (1 )Y N np np p≈ − 30

5

n

npq

>>


5.000 7.625 10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000

x

0.00

0.04

0.08

0.12


Binomial-Normal

( )15, 10.5N

50 0.3

10.5

n p

npq

= ==


61

La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta.

Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad.


Factor de corrección

0.5Pr( ) Pr( 0.5) Pr

(1 )

0.5Pr( ) Pr( 0.5 ) Pr

(1 )

x npX x X x Z

np p

x npx X x X Z

np p

+ −≤ = ≤ + ≅ ≤ −

− −≤ = − ≤ ≅ ≤ − Estadística, Profesora. María Durbán 62


Ejemplo

Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chipsdefectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para suventa.Un comprador rechazará un lote si contiene 25 o más chips defectuosos

¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote?

~ (2000,0.02)

30

40

(1 ) 39.2

X B

n

np

np p

>=

− =

(40,6.26)X N≈


( )

( )( ) 9932.047.2Pr

47.2Pr

26.6

5.04025Pr

25Pr

=≤=−≥=

−−≥

↓≥

Z

Z

Z

X

63


Poisson-Normal

La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuandoel número de experimentos tiende a infinito.

Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5)

( )~ ( )

,

X P

X N

λ

λ λ≈



Poisson-Normal


65


Ejemplo

El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadradosigue una distribución de Poisson con media 100.

Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más?


( )

( ) ( ) 7088.055.0Pr55.0Pr10

5.010095Pr

95Pr

=≤=−≥=

−−≥

↓≥

ZZZ

X

66








67

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.

La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el númerode grados de libertad.

2

gχ

[ ] [ ]

2

2

1

2

2

1

~ (0,1) ~

~ 2

i i

g igi

X XN

XY E Y g Var Y g

µ µ χσ σ

µ χσ=

− −

− = = =

∑~ ( , )iX N µ σ

independientes



Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos.

La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el númerode grados de libertad.

2

gχ

0 5 10 15 20 25

x0.

00.

10.

20.

30.

40.

5

f(x)

2 grados de libertad3 grados de libertad4 grados de libertad5 grados de libertad


69


t de Student

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.La función de densidad es simétrica respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el númerode grados de libertad.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

2 ~ (0,1) ~/

g g

Zt Z N Y

Y gχ=



t de Student

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.La función de densidad es simétrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el númerode grados de libertad.

-10 -5 0 5

x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x)

5 grados de libertad20 grados de libertad100 grados de libertad


71


F de Fisher

Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

1 2 1 2

2 21,

2

/ X ~ ~

/g g g g

X gF Y

Y gχ χ=


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