Modelos de probabilidad Modelos de probabilidad Modelos de ...

1

Modelos de probabilidad

Proceso de BernoulliDistribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin Geomtrica

Proceso de PoissonDistribucin de PoissonDistribucin Exponencial

Distribucin Normal

La Normal como aproximacin de otras distribuciones

Distribuciones relacionadas con la NormalDistribucin 2 de PearsonDistribucin t de StudentDistribucin F de Fisher

Estadstica, Profesora. Mara Durbn

Objetivos del tema:

2

Al final del tema el alumno ser capaz de:

Comprender las hiptesis de las distintas distribuciones presentadas

Seleccionar la distribucin discreta o continua correcta en aplicacionesespecficas

Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para lasdistribuciones ms comunes



3



Distribucin Normal





4

Proceso de Bernoulli

Cuando un experimento tiene las siguientes caractersticas:

Slo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)

La proporcin de A y D es constante en la poblaciny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

Las observaciones son independientes

Pr( )

Pr( ) 1

D p

A q p

== =


5



Slo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)

La proporcin de A y D es constante en la poblaciny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada


Pr( )

Pr( ) 1

D p

A q p

== =

Estadstica, Profesora. Mara Durbn 6


Ejemplos

Observar el resultado al lanzar una moneda

Si una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricacin

Observar el sexo de un recin nacido

Si se transmite correctamente un bit a travs de un canal digital


7


Distribucin de Bernoulli

0 si el suceso no ocurre A 1 Pr( 0)

1 si el suceso ocurre A Pr( 1)

q p XX

p X

= = == = =

La funcin de probabilidad es:

1( ) (1 ) 0,1x xp x p p x= =

[ ]

[ ] 2 2

0 (1 ) 1

(0 ) (1 ) (1 ) (1 )

E X p p p

Var X p p p p p p

= = + =

= = + =



Distribucin Binomial

X = Nmero de veces que ocurre un suceso en las n pruebas

X toma valores 0,1,2,,n

Si se repite un nmero fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parmetro p, el nmero de xitos sigue una distribucin Binomial de parmetros (n,p).

~ ( , )X B n p


9

[ ][ ] (1 )

E X np

Var X np p

=

=

( ) (1 ) , 0,1, ,r n rn

P X r p p r nr

= = =

K




n=5

n=25 p=0.75 p=0.5 p=0.2



11


Ejemplo

Un aparato electrnico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona slo si no hay ningn circuito defectuoso.

Cul es la probabilidad de que el aparato funcione?

X = Nmero de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

Pr( 0)X =



Ejemplo




Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces

Son independientes

La probabilidad de ser defectuoso es constante, 0.01


13


Ejemplo




~ (40,0.01)X B

0 4040

Pr( 0) 0.01 (1 0.01) 0.6690

X

= = =



Distribucin Geomtrica


Slo hay dos resultados posibles

La probabilidad de xito se mantieneconstante


Se repite el experimento hasta que ocurre el primerxito

X = Nmero de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer xito

~ ( )X Ge p


15



1,..... son Bernoulli iX i n=


1( ) (1 ) , 1, 2,rP X r p p r= = = KEstadstica, Profesora. Mara Durbn

( )( )( )

( ) qqqpXXqqpXX

qpXX

pXX

XXXXX

============

4Pr41000

3Pr3100

2Pr210

1Pr11

4321 L

16



[ ][ ] 2

1/

(1 ) /

E X p

Var X p p

=

=

1,..... son Bernoulli iX i n=


( )( )( )

( ) qqqpXXqqpXX

qpXX

pXX

XXXXX

============

4Pr41000

3Pr3100

2Pr210

1Pr11

4321 L

17



( ) ( ) 1Pr (1 )xp x X x p p= = =



Ejemplo

La probabilidad de que un bit transmitido a travs de un canal de transmisin digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes,

Cul es el nmero medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error?

X = Nmero de transmisiones que hay que observar hasta encontrarel primer error

[ ] 1/ 1/ 0.1 10E X p= = =


19




Distribucin Normal




Proceso de Poisson


Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo

La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo

Es la misma para los intervalos del mismo tamaoEs proporcional a la longitud del intervalo

Los sucesos ocurren de forma independiente. El nmero desucesos que ocurren en un intervalo es independiente delnmero de sucesos que ocurren en otro intervalo


21

Proceso de Poisson

X = Nmero de sucesos en un intervalo de longitud fija

La distribucin de Poisson se puede obtener como lmite de unaBinomial cuando

Distribucin de Poisson

y 0n p

np = Nmero medio de sucesos en ese intervalo


( ) , 0,1,!

reP X r r

r

= = = K

[ ] [ ]

[ ]

1

0 1

1 2 1 2

! ( 1)!

~ ( ) ~ ( ) independientes ~ ( )

r reE X E X r e

r r

Var X

X P Y P X Y P

= = = =

=

+ +



Proceso de Poisson


23

Proceso de Poisson



Proceso de Poisson

Ejemplos

Nmero de defectos en un milmetro de cable.

Nmero de llamadas de telfono que se reciben en una centralitaen una hora.

Nmero de erratas por pgina en un documento


25

Proceso de Poisson

Ejemplo

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por trmino medio llega un clientecada minuto.

Cul es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos?

X = Nmero de clientes por minuto

Y = Nmero de clientes en 3 minutos

~ ( 1)X P =

~ ( 3)Y P =

3 033Pr( 0)

0!

eY e

= = =


Proceso de Poisson

Ejemplo


Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al da cuesta6000 euros diarios. Cul debe ser el precio mnimo que se cobre acada cliente para que sea rentable?

Y = Nmero de clientes en 8 horas ~ ( 60 8 480)Y P = =Beneficio = Tarifa x Y -6000

[ ]Beneficio Esperado = Tarifa 6000 0 = Tarifa 480 6000 0

E Y > >

Tarifa > 12.5


27

Proceso de Poisson

La distribucin exponencial se puede utilizar para modelizar

Tiempo entre llamadas telefnicasTiempo entre llegadas a un puesto de servicioTiempo de vida de un componente elctrico

Cuando el nmero de sucesos sigue una distribucin de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribucin exponencial

M

Distribucin de exponencial

Estadstica, Profesora. Mara Durbn Estadstica, Prof. Bernardo D'Auria 28

Proceso de Poisson


X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo

T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso

Podemos calcular su funcin de distribucin:

0 0( ) (cero sucesos en (0,t ))P T t P> =

~ ( )X P

X= Nmero de sucesos en una unidad de tiempoY = Nmero de sucesos en (0,t0) 0~ ( )Y P t

0

0 0( ) ( ) 1t

F t P T t e= =

~ ( )X P

0

0( ) Pr( 0)t

P T t Y e> = = =


29

Proceso de Poisson


X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo

T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos

~ ( )X P

( )( ) , 0t

dF tf t e t

dt

= =

[ ][ ] 2

1/

1/

E X

Var X

=

=

Si hay sucesos por trmino medio en un intervalo de tiempo

El tiempo medio entre dos sucesos es 1/


Proceso de Poisson

0.1( ) 0.1 xf x e=

0.5( ) 0.5 xf x e=

2( ) 2 xf x e=

( ) xf x e =


31

Proceso de Poisson

Ejemplo


Cul es la probabilidad de que pasen ms de 3 minutos entre la llegada de dos clientes?

X = Nmero de clientes por minuto

T = Tiempo entre dos clientes

~ ( 1)X P =

~ ( 1)T Exp =

( )1 3 3Pr( 3) 1 Pr( 3) 1 (3) 1 1T T F e e > = = = =Pr(No haya clientes en 3 minutos)=


Proceso de Poisson

Propiedad

1 2 1 2Pr(T > t +t | T > t ) = Pr( T > t )

1 2

2

1

(t +t )

1 2 1 1 2

t

1 1

Pr(T > t +t T > t ) Pr( T > t +t ) =

Pr( T > t ) Pr( T > t )

te ee

= =I

Si no ha habido clientes en 4 minutos, cul es la probabilidad de que no haya clientes en los prximos 3 minutos?

3Pr( 7 | 4) Pr( 3) 1 (3)Y Y Y F e> > = > = =


33



Distribucin Normal





34

Distribucin Normal

La distribucin Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios

Errores de medidaRuido en una seal digitalCorriente elctrica en un trozo de cable

En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal

Es la base para la inferencia estadstica


35

Distribucin Normal

Est caracterizada por dos parmetros: La media, , y la desviacin tpica, .

Toma valores en toda la recta real

Su funcin de densidad es:

2

2

( )

2

2

1( ) e

2

[ ] [ ]

x

f x x

E X Var X

= < <

= =

( , )N


Tiene forma de campana y es simtrica respecto de la media

( )f x

Distribucin Normal

0.5 0.5

La media, mediana ymoda coinciden


37

El El efectoefecto dede yy

Cmo afecta la deviacin tpica la forma de f(x)?

= 2

=3 =4

= 10 = 11 = 12Cmo afecta el valor esperado a la posicin de f(x)?

Distribucin Normal

Es un factorde escala

Es un factor detraslacin


Pr(c d)X

38

La probabilidad es el rea bajo la curva

c dx

f(x)

Distribucin Normal

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la funcin de densidad


39

Densidad de X

Densidad de X-

0

Densidad de (X-)/

1

Distribucin Normal

Todas las distribuciones normalesse pueden transformar en N(0,1)

XX Z

=


6 3Pr Pr( 1.5)

2Z Z

= Estadstica, Prof. Bernardo D'Auria 40

Distribucin Normal

~ (3,2)X N

Pr( 6)X 3 6

0 1.5

Mismorea

~ (0,1)Z N


41

Distribucin Normal

La funcin de distribucin de la Normal estndar tiene una notacin propia:

Existen ciertas cotas para la funcin Q que se utilizan para calcular cotas en error de probabilidad de varios sistemas de comunicaciones

( ) Pr( ) ( )

( ) Pr( ) 1 ( )

F x X x x

Q x X x x

= == > =

( ) 1 ( )Q x Q x =

2

2

2

2

1( ) 0

2

1( ) 0

2

x

x

Q x e x

Q x e xx

<


Distribucin Normal

Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribucin Normal con media7000 horas y desviacin tpica 600 horas

Cul es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

Qu tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?

Pr( 6000)X =


43

Distribucin Normal

Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

600X Z Z

< = < = <

-1.66


Distribucin Normal

Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

600X Z Z

< = < = <

1.66


45

Distribucin Normal

Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

600X Z Z

< = < = <

1.66

1 Pr( 1.66)Z=


1 Pr( 1.66)Z= = > =

a

0.9505


Distribucin Normal

Ejemplo



7000Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505

600

aX a Z

> = > =

-b

0.9505

-b Valor negativo


49

Distribucin Normal

Ejemplo



( 7000)Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505

600

aX a Z

> = < =

b

0.9505

b


( 7000)Pr( ) Pr 0.9505

600

aX a Z

> = < =


Ejemplo

Distribucin Normal

( 7000)1.65

600

6010

a

a

=

=

El 95.05% de los semiconductoresduran ms de 6010 horas


51

Pr( -0.6 < Z < 1.83 )=

Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z -0.6 )

Pr ( Z 0.6 ) =1 - Pr (Z < 0.6 ) =1 0.7257 =

0.2743

Pr( Z < 1.83 ) =0.9664

= 0.7257 - 0.0336= 0.6921

1.83-0.6

Distribucin Normal

Ms ejemplos de clculo de probabilidades


La Normal es importante, no slo porque muchas variables comunes sigan esa distribucin, sino porque aunque una v.a. no posea distribucin normal, ciertos estadsticos/estimadores calculados sobremuestras elegidas al azar s poseen una distribucin Normal.

52

Distribucin Normal


53

Distribucin Normal

50 55 60 65 70

010

2030

4050

60

x

Ilustracin

Sea X una variable Uniforme enel intervalo [50,70].Tenemos una muestra de tamao2000.

La muestra tiene media 59.9 ydesviacin tpica 4.57

El histograma no se parece a una distribucin normal con la misma media y desviacin tpica

xx


Elegimos aleatoriamente grupos de 10 observaciones.

Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral.

Las medias de cada muestra estn ms o menos cerca de la media de la variable original.

Muestra

1 2 359 63 59

60 60 69

66 58 60

54 53 65

51 51 69

54 59 54

51 53 59

63 62 65

66 57 56

70 69 55

5459.4 58.5 61.1

Distribucin Normal


55

55.22075556.160009

57.09926458.038518

58.97777359.917028

60.85628261.795537

62.73479263.674046

64.613301

aa$x

0

10

20

30

40

a

Distribucin Normal

La distribucin de las medias muestrales tiene distribucin aproximadamente normal.

La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original.

Las observaciones de la nueva variable estn menos dispersas. La desviacin tpica es menor, en este caso 1.92 xxx


Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xiindependientes con medias () y desviaciones tpicas (i) ydistribucin cualquiera

Cuando n crece,

Teorema Central del Lmite

Distribucin Normal

2(0,1)

i

i

YN

1 2 nY X X X= + + +K

( )2~ ,i iY N la distribucin de


57

Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xiindependientes con medias () y desviaciones tpicas (i) ydistribucin cualquiera

Teorema Central del Lmite

Distribucin Normal

Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural la distribucin Normal


4.5 Proceso de BernoulliDistribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin Geomtrica

4.6 Proceso de PoissonDistribucin de PoissonDistribucin Exponencial

4.8 Distribucin Normal

4.9 La Normal como aproximacin de otras distribuciones

4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribucin 2 de PearsonDistribucin t de StudentDistribucin F de Fisher



59


La variable Binomial es suma de variables de Bernoulli, que toman el valor 0 1.

Binomial-Normal

1 2 nY X X X= + +K [ ][ ] (1 )

i

i

E X p

Var X p p

==

T.C.L.

( ), (1 )Y N np np p 305

n

npq

>>


5.000 7.625 10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000

x

0.00

0.04

0.08

0.12


Binomial-Normal

( )15, 10.5N

50 0.3

10.5

n p

npq

= ==


61

La distribucin Normal es continua pero la Binomial es discreta.

Para mejorar la aproximacin introducimos un factor de correccin que consiste en aadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad.


Factor de correccin

0.5Pr( ) Pr( 0.5) Pr

(1 )

0.5Pr( ) Pr( 0.5 ) Pr

(1 )

x npX x X x Z

np p

x npx X x X Z

np p

+ = + =



Ejemplo

Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chipsdefectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para suventa.Un comprador rechazar un lote si contiene 25 o ms chips defectuosos

Cul es la probabilidad de rechazar un lote?

~ (2000,0.02)

30

40

(1 ) 39.2

X B

n

np

np p

>=

=

(40,6.26)X N


( )

( )( ) 9932.047.2Pr

47.2Pr

26.6

5.04025Pr

25Pr

===

Z

Z

Z

X

63


Poisson-Normal

La distribucin de Poisson surge como lmite de la Binomial cuandoel nmero de experimentos tiende a infinito.

Aproximamos a una Normal cuando grande ( > 5)

( )~ ( )

,

X P

X N



Poisson-Normal


65


Ejemplo

El nmero de defectos en la superficie de un material por metro cuadradosigue una distribucin de Poisson con media 100.

Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, Cul es la probabilidad de encontrar 95 defectos o ms?


( )

( ) ( ) 7088.055.0Pr55.0Pr10

5.010095Pr

95Pr

===

ZZZ

X

66



Distribucin Normal





67

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tiene un slo parmetro denominado grados de libertad.

La funcin de densidad es asimtrica. Slo toma valores positivos.

La funcin de densidad se hace ms simtrica cuando aumenta el nmerode grados de libertad.

2

g

[ ] [ ]

2

2

1

2

2

1

~ (0,1) ~

~ 2

i i

g igi

X XN

XY E Y g Var Y g

=

= = =

~ ( , )iX N

independientes



Tiene un slo parmetro denominado grados de libertad.

La funcin de densidad es asimtrica positiva. Slo toma valores positivos.

La funcin de densidad se hace ms simtrica cuando aumenta el nmerode grados de libertad.

2

g

0 5 10 15 20 25

x0.

00.

10.

20.

30.

40.

5

f(x)

2 grados de libertad3 grados de libertad4 grados de libertad5 grados de libertad


69


t de Student

Tiene un slo parmetro denominado grados de libertad.La funcin de densidad es simtrica respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La funcin de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el nmerode grados de libertad.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

2 ~ (0,1) ~/

g g

Zt Z N Y

Y g=



t de Student

Tiene un slo parmetro denominado grados de libertad.La funcin de densidad es simtrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La funcin de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el nmerode grados de libertad.

-10 -5 0 5

x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x)

5 grados de libertad20 grados de libertad100 grados de libertad


71


F de Fisher

Tiene un dos parmetros denominados grados de libertad.

La funcin de densidad es asimtrica. Slo toma valores positivos.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

1 2 1 2

2 21,

2

/ X ~ ~

/g g g g

X gF Y

Y g =


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