Modelos de probabilidad Modelos de probabilidad Modelos de ...

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1 Modelos de probabilidad Proceso de Bernoulli Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Geométrica Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial Distribución Normal La Normal como aproximación de otras distribuciones Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ 2 de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Estadística, Profesora. María Durbán Objetivos del tema : 2 Al final del tema el alumno será capaz de: Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicaciones específicas Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para las distribuciones más comunes Modelos de probabilidad Estadística, Profesora. María Durbán 3 Proceso de Bernoulli Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Geométrica Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial Distribución Normal La Normal como aproximación de otras distribuciones Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ 2 de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher Estadística, Profesora. María Durbán Modelos de probabilidad 4 Proceso de Bernoulli Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada Las observaciones son independientes Pr( ) Pr( ) 1 D p A q p = = = - Estadística, Profesora. María Durbán

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  • 1

    Modelos de probabilidad

    Proceso de BernoulliDistribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin Geomtrica

    Proceso de PoissonDistribucin de PoissonDistribucin Exponencial

    Distribucin Normal

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Distribuciones relacionadas con la NormalDistribucin 2 de PearsonDistribucin t de StudentDistribucin F de Fisher

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    Objetivos del tema:

    2

    Al final del tema el alumno ser capaz de:

    Comprender las hiptesis de las distintas distribuciones presentadas

    Seleccionar la distribucin discreta o continua correcta en aplicacionesespecficas

    Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para lasdistribuciones ms comunes

    Modelos de probabilidad

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    3

    Proceso de BernoulliDistribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin Geomtrica

    Proceso de PoissonDistribucin de PoissonDistribucin Exponencial

    Distribucin Normal

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Distribuciones relacionadas con la NormalDistribucin 2 de PearsonDistribucin t de StudentDistribucin F de Fisher

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    Modelos de probabilidad

    4

    Proceso de Bernoulli

    Cuando un experimento tiene las siguientes caractersticas:

    Slo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)

    La proporcin de A y D es constante en la poblaciny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

    Las observaciones son independientes

    Pr( )

    Pr( ) 1

    D p

    A q p

    == =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 5

    Proceso de Bernoulli

    Cuando un experimento tiene las siguientes caractersticas:

    Slo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)

    La proporcin de A y D es constante en la poblaciny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

    Las observaciones son independientes

    Pr( )

    Pr( ) 1

    D p

    A q p

    == =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 6

    Proceso de Bernoulli

    Ejemplos

    Observar el resultado al lanzar una moneda

    Si una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricacin

    Observar el sexo de un recin nacido

    Si se transmite correctamente un bit a travs de un canal digital

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    7

    Proceso de Bernoulli

    Distribucin de Bernoulli

    0 si el suceso no ocurre A 1 Pr( 0)

    1 si el suceso ocurre A Pr( 1)

    q p XX

    p X

    = = == = =

    La funcin de probabilidad es:

    1( ) (1 ) 0,1x xp x p p x= =

    [ ]

    [ ] 2 2

    0 (1 ) 1

    (0 ) (1 ) (1 ) (1 )

    E X p p p

    Var X p p p p p p

    = = + =

    = = + =

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    Proceso de Bernoulli

    Distribucin Binomial

    X = Nmero de veces que ocurre un suceso en las n pruebas

    X toma valores 0,1,2,,n

    Si se repite un nmero fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parmetro p, el nmero de xitos sigue una distribucin Binomial de parmetros (n,p).

    ~ ( , )X B n p

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  • 9

    [ ][ ] (1 )

    E X np

    Var X np p

    =

    =

    ( ) (1 ) , 0,1, ,r n rn

    P X r p p r nr

    = = =

    K

    La funcin de probabilidad es:

    Proceso de Bernoulli

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 10

    n=5

    n=25 p=0.75 p=0.5 p=0.2

    Proceso de Bernoulli

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    11

    Proceso de Bernoulli

    Ejemplo

    Un aparato electrnico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona slo si no hay ningn circuito defectuoso.

    Cul es la probabilidad de que el aparato funcione?

    X = Nmero de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

    Pr( 0)X =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 12

    Proceso de Bernoulli

    Ejemplo

    Un aparato electrnico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona slo si no hay ningn circuito defectuoso.

    Cul es la probabilidad de que el aparato funcione?

    X = Nmero de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

    Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces

    Son independientes

    La probabilidad de ser defectuoso es constante, 0.01

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  • 13

    Proceso de Bernoulli

    Ejemplo

    Un aparato electrnico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona slo si no hay ningn circuito defectuoso.

    Cul es la probabilidad de que el aparato funcione?

    X = Nmero de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

    ~ (40,0.01)X B

    0 4040

    Pr( 0) 0.01 (1 0.01) 0.6690

    X

    = = =

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    Proceso de Bernoulli

    Distribucin Geomtrica

    Cuando un experimento tiene las siguientes caractersticas:

    Slo hay dos resultados posibles

    La probabilidad de xito se mantieneconstante

    Las observaciones son independientes

    Se repite el experimento hasta que ocurre el primerxito

    X = Nmero de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer xito

    ~ ( )X Ge p

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    15

    Proceso de Bernoulli

    Distribucin Geomtrica

    1,..... son Bernoulli iX i n=

    La funcin de probabilidad es:

    1( ) (1 ) , 1, 2,rP X r p p r= = = KEstadstica, Profesora. Mara Durbn

    ( )( )( )

    ( ) qqqpXXqqpXX

    qpXX

    pXX

    XXXXX

    ============

    4Pr41000

    3Pr3100

    2Pr210

    1Pr11

    4321 L

    16

    Proceso de Bernoulli

    Distribucin Geomtrica

    [ ][ ] 2

    1/

    (1 ) /

    E X p

    Var X p p

    =

    =

    1,..... son Bernoulli iX i n=

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    ( )( )( )

    ( ) qqqpXXqqpXX

    qpXX

    pXX

    XXXXX

    ============

    4Pr41000

    3Pr3100

    2Pr210

    1Pr11

    4321 L

  • 17

    Proceso de Bernoulli

    Distribucin Geomtrica

    ( ) ( ) 1Pr (1 )xp x X x p p= = =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 18

    Proceso de Bernoulli

    Ejemplo

    La probabilidad de que un bit transmitido a travs de un canal de transmisin digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes,

    Cul es el nmero medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error?

    X = Nmero de transmisiones que hay que observar hasta encontrarel primer error

    [ ] 1/ 1/ 0.1 10E X p= = =

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    19

    Modelos de probabilidad

    Proceso de BernoulliDistribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin Geomtrica

    Proceso de PoissonDistribucin de PoissonDistribucin Exponencial

    Distribucin Normal

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Distribuciones relacionadas con la NormalDistribucin 2 de PearsonDistribucin t de StudentDistribucin F de Fisher

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 20

    Proceso de Poisson

    Cuando un experimento tiene las siguientes caractersticas:

    Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo

    La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo

    Es la misma para los intervalos del mismo tamaoEs proporcional a la longitud del intervalo

    Los sucesos ocurren de forma independiente. El nmero desucesos que ocurren en un intervalo es independiente delnmero de sucesos que ocurren en otro intervalo

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  • 21

    Proceso de Poisson

    X = Nmero de sucesos en un intervalo de longitud fija

    La distribucin de Poisson se puede obtener como lmite de unaBinomial cuando

    Distribucin de Poisson

    y 0n p

    np = Nmero medio de sucesos en ese intervalo

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 22

    ( ) , 0,1,!

    reP X r r

    r

    = = = K

    [ ] [ ]

    [ ]

    1

    0 1

    1 2 1 2

    ! ( 1)!

    ~ ( ) ~ ( ) independientes ~ ( )

    r reE X E X r e

    r r

    Var X

    X P Y P X Y P

    = = = =

    =

    + +

    La funcin de probabilidad es:

    Distribucin de Poisson

    Proceso de Poisson

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    23

    Proceso de Poisson

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 24

    Distribucin de Poisson

    Proceso de Poisson

    Ejemplos

    Nmero de defectos en un milmetro de cable.

    Nmero de llamadas de telfono que se reciben en una centralitaen una hora.

    Nmero de erratas por pgina en un documento

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  • 25

    Proceso de Poisson

    Ejemplo

    El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por trmino medio llega un clientecada minuto.

    Cul es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos?

    X = Nmero de clientes por minuto

    Y = Nmero de clientes en 3 minutos

    ~ ( 1)X P =

    ~ ( 3)Y P =

    3 033Pr( 0)

    0!

    eY e

    = = =

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    Proceso de Poisson

    Ejemplo

    El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por trmino medio llega un clientecada minuto.

    Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al da cuesta6000 euros diarios. Cul debe ser el precio mnimo que se cobre acada cliente para que sea rentable?

    Y = Nmero de clientes en 8 horas ~ ( 60 8 480)Y P = =Beneficio = Tarifa x Y -6000

    [ ]Beneficio Esperado = Tarifa 6000 0 = Tarifa 480 6000 0

    E Y > >

    Tarifa > 12.5

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    27

    Proceso de Poisson

    La distribucin exponencial se puede utilizar para modelizar

    Tiempo entre llamadas telefnicasTiempo entre llegadas a un puesto de servicioTiempo de vida de un componente elctrico

    Cuando el nmero de sucesos sigue una distribucin de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribucin exponencial

    M

    Distribucin de exponencial

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn Estadstica, Prof. Bernardo D'Auria 28

    Proceso de Poisson

    Distribucin de exponencial

    X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo

    T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso

    Podemos calcular su funcin de distribucin:

    0 0( ) (cero sucesos en (0,t ))P T t P> =

    ~ ( )X P

    X= Nmero de sucesos en una unidad de tiempoY = Nmero de sucesos en (0,t0) 0~ ( )Y P t

    0

    0 0( ) ( ) 1t

    F t P T t e= =

    ~ ( )X P

    0

    0( ) Pr( 0)t

    P T t Y e> = = =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 29

    Proceso de Poisson

    Distribucin de exponencial

    X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo

    T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos

    ~ ( )X P

    ( )( ) , 0t

    dF tf t e t

    dt

    = =

    [ ][ ] 2

    1/

    1/

    E X

    Var X

    =

    =

    Si hay sucesos por trmino medio en un intervalo de tiempo

    El tiempo medio entre dos sucesos es 1/

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 30

    Proceso de Poisson

    0.1( ) 0.1 xf x e=

    0.5( ) 0.5 xf x e=

    2( ) 2 xf x e=

    ( ) xf x e =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    31

    Proceso de Poisson

    Ejemplo

    El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por trmino medio llega un clientecada minuto.

    Cul es la probabilidad de que pasen ms de 3 minutos entre la llegada de dos clientes?

    X = Nmero de clientes por minuto

    T = Tiempo entre dos clientes

    ~ ( 1)X P =

    ~ ( 1)T Exp =

    ( )1 3 3Pr( 3) 1 Pr( 3) 1 (3) 1 1T T F e e > = = = =Pr(No haya clientes en 3 minutos)=

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 32

    Proceso de Poisson

    Propiedad

    1 2 1 2Pr(T > t +t | T > t ) = Pr( T > t )

    1 2

    2

    1

    (t +t )

    1 2 1 1 2

    t

    1 1

    Pr(T > t +t T > t ) Pr( T > t +t ) =

    Pr( T > t ) Pr( T > t )

    te ee

    = =I

    Si no ha habido clientes en 4 minutos, cul es la probabilidad de que no haya clientes en los prximos 3 minutos?

    3Pr( 7 | 4) Pr( 3) 1 (3)Y Y Y F e> > = > = =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 33

    Proceso de BernoulliDistribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin Geomtrica

    Proceso de PoissonDistribucin de PoissonDistribucin Exponencial

    Distribucin Normal

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Distribuciones relacionadas con la NormalDistribucin 2 de PearsonDistribucin t de StudentDistribucin F de Fisher

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    Modelos de probabilidad

    34

    Distribucin Normal

    La distribucin Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios

    Errores de medidaRuido en una seal digitalCorriente elctrica en un trozo de cable

    En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal

    Es la base para la inferencia estadstica

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    35

    Distribucin Normal

    Est caracterizada por dos parmetros: La media, , y la desviacin tpica, .

    Toma valores en toda la recta real

    Su funcin de densidad es:

    2

    2

    ( )

    2

    2

    1( ) e

    2

    [ ] [ ]

    x

    f x x

    E X Var X

    = < <

    = =

    ( , )N

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 36

    Tiene forma de campana y es simtrica respecto de la media

    ( )f x

    Distribucin Normal

    0.5 0.5

    La media, mediana ymoda coinciden

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  • 37

    El El efectoefecto dede yy

    Cmo afecta la deviacin tpica la forma de f(x)?

    = 2

    =3 =4

    = 10 = 11 = 12Cmo afecta el valor esperado a la posicin de f(x)?

    Distribucin Normal

    Es un factorde escala

    Es un factor detraslacin

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    Pr(c d)X

    38

    La probabilidad es el rea bajo la curva

    c dx

    f(x)

    Distribucin Normal

    No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la funcin de densidad

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    39

    Densidad de X

    Densidad de X-

    0

    Densidad de (X-)/

    1

    Distribucin Normal

    Todas las distribuciones normalesse pueden transformar en N(0,1)

    XX Z

    =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    6 3Pr Pr( 1.5)

    2Z Z

    = Estadstica, Prof. Bernardo D'Auria 40

    Distribucin Normal

    ~ (3,2)X N

    Pr( 6)X 3 6

    0 1.5

    Mismorea

    ~ (0,1)Z N

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 41

    Distribucin Normal

    La funcin de distribucin de la Normal estndar tiene una notacin propia:

    Existen ciertas cotas para la funcin Q que se utilizan para calcular cotas en error de probabilidad de varios sistemas de comunicaciones

    ( ) Pr( ) ( )

    ( ) Pr( ) 1 ( )

    F x X x x

    Q x X x x

    = == > =

    ( ) 1 ( )Q x Q x =

    2

    2

    2

    2

    1( ) 0

    2

    1( ) 0

    2

    x

    x

    Q x e x

    Q x e xx

    <

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 42

    Distribucin Normal

    Ejemplo

    El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribucin Normal con media7000 horas y desviacin tpica 600 horas

    Cul es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

    Qu tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?

    Pr( 6000)X =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    43

    Distribucin Normal

    Ejemplo

    El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribucin Normal con media7000 horas y desviacin tpica 600 horas

    Cul es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

    6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

    600X Z Z

    < = < = <

    -1.66

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 44

    Distribucin Normal

    Ejemplo

    El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribucin Normal con media7000 horas y desviacin tpica 600 horas

    Cul es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

    6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

    600X Z Z

    < = < = <

    1.66

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 45

    Distribucin Normal

    Ejemplo

    El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribucin Normal con media7000 horas y desviacin tpica 600 horas

    Cul es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

    6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)

    600X Z Z

    < = < = <

    1.66

    1 Pr( 1.66)Z=

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn Estadstica, Prof. Bernardo D'Auria 46

    1 Pr( 1.66)Z= = > =

    a

    0.9505

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 48

    Distribucin Normal

    Ejemplo

    El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribucin Normal con media7000 horas y desviacin tpica 600 horas

    Qu tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?

    7000Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505

    600

    aX a Z

    > = > =

    -b

    0.9505

    -b Valor negativo

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 49

    Distribucin Normal

    Ejemplo

    El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribucin Normal con media7000 horas y desviacin tpica 600 horas

    Qu tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?

    ( 7000)Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505

    600

    aX a Z

    > = < =

    b

    0.9505

    b

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn Estadstica, Prof. Bernardo D'Auria 50

    ( 7000)Pr( ) Pr 0.9505

    600

    aX a Z

    > = < =

    Qu tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?

    Ejemplo

    Distribucin Normal

    ( 7000)1.65

    600

    6010

    a

    a

    =

    =

    El 95.05% de los semiconductoresduran ms de 6010 horas

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    51

    Pr( -0.6 < Z < 1.83 )=

    Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z -0.6 )

    Pr ( Z 0.6 ) =1 - Pr (Z < 0.6 ) =1 0.7257 =

    0.2743

    Pr( Z < 1.83 ) =0.9664

    = 0.7257 - 0.0336= 0.6921

    1.83-0.6

    Distribucin Normal

    Ms ejemplos de clculo de probabilidades

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    La Normal es importante, no slo porque muchas variables comunes sigan esa distribucin, sino porque aunque una v.a. no posea distribucin normal, ciertos estadsticos/estimadores calculados sobremuestras elegidas al azar s poseen una distribucin Normal.

    52

    Distribucin Normal

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 53

    Distribucin Normal

    50 55 60 65 70

    010

    2030

    4050

    60

    x

    Ilustracin

    Sea X una variable Uniforme enel intervalo [50,70].Tenemos una muestra de tamao2000.

    La muestra tiene media 59.9 ydesviacin tpica 4.57

    El histograma no se parece a una distribucin normal con la misma media y desviacin tpica

    xx

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    Elegimos aleatoriamente grupos de 10 observaciones.

    Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral.

    Las medias de cada muestra estn ms o menos cerca de la media de la variable original.

    Muestra

    1 2 359 63 59

    60 60 69

    66 58 60

    54 53 65

    51 51 69

    54 59 54

    51 53 59

    63 62 65

    66 57 56

    70 69 55

    5459.4 58.5 61.1

    Distribucin Normal

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    55

    55.22075556.160009

    57.09926458.038518

    58.97777359.917028

    60.85628261.795537

    62.73479263.674046

    64.613301

    aa$x

    0

    10

    20

    30

    40

    a

    Distribucin Normal

    La distribucin de las medias muestrales tiene distribucin aproximadamente normal.

    La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original.

    Las observaciones de la nueva variable estn menos dispersas. La desviacin tpica es menor, en este caso 1.92 xxx

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 56

    Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xiindependientes con medias () y desviaciones tpicas (i) ydistribucin cualquiera

    Cuando n crece,

    Teorema Central del Lmite

    Distribucin Normal

    2(0,1)

    i

    i

    YN

    1 2 nY X X X= + + +K

    ( )2~ ,i iY N la distribucin de

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 57

    Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xiindependientes con medias () y desviaciones tpicas (i) ydistribucin cualquiera

    Teorema Central del Lmite

    Distribucin Normal

    Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural la distribucin Normal

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 58

    4.5 Proceso de BernoulliDistribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin Geomtrica

    4.6 Proceso de PoissonDistribucin de PoissonDistribucin Exponencial

    4.8 Distribucin Normal

    4.9 La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribucin 2 de PearsonDistribucin t de StudentDistribucin F de Fisher

    Modelos de probabilidad

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    59

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    La variable Binomial es suma de variables de Bernoulli, que toman el valor 0 1.

    Binomial-Normal

    1 2 nY X X X= + +K [ ][ ] (1 )

    i

    i

    E X p

    Var X p p

    ==

    T.C.L.

    ( ), (1 )Y N np np p 305

    n

    npq

    >>

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 60

    5.000 7.625 10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000

    x

    0.00

    0.04

    0.08

    0.12

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Binomial-Normal

    ( )15, 10.5N

    50 0.3

    10.5

    n p

    npq

    = ==

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 61

    La distribucin Normal es continua pero la Binomial es discreta.

    Para mejorar la aproximacin introducimos un factor de correccin que consiste en aadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad.

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Factor de correccin

    0.5Pr( ) Pr( 0.5) Pr

    (1 )

    0.5Pr( ) Pr( 0.5 ) Pr

    (1 )

    x npX x X x Z

    np p

    x npx X x X Z

    np p

    + = + =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 62

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Ejemplo

    Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chipsdefectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para suventa.Un comprador rechazar un lote si contiene 25 o ms chips defectuosos

    Cul es la probabilidad de rechazar un lote?

    ~ (2000,0.02)

    30

    40

    (1 ) 39.2

    X B

    n

    np

    np p

    >=

    =

    (40,6.26)X N

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    ( )

    ( )( ) 9932.047.2Pr

    47.2Pr

    26.6

    5.04025Pr

    25Pr

    ===

    Z

    Z

    Z

    X

    63

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Poisson-Normal

    La distribucin de Poisson surge como lmite de la Binomial cuandoel nmero de experimentos tiende a infinito.

    Aproximamos a una Normal cuando grande ( > 5)

    ( )~ ( )

    ,

    X P

    X N

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 64

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Poisson-Normal

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 65

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Ejemplo

    El nmero de defectos en la superficie de un material por metro cuadradosigue una distribucin de Poisson con media 100.

    Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, Cul es la probabilidad de encontrar 95 defectos o ms?

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    ( )

    ( ) ( ) 7088.055.0Pr55.0Pr10

    5.010095Pr

    95Pr

    ===

    ZZZ

    X

    66

    Proceso de BernoulliDistribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin Geomtrica

    Proceso de PoissonDistribucin de PoissonDistribucin Exponencial

    Distribucin Normal

    La Normal como aproximacin de otras distribuciones

    Distribuciones relacionadas con la NormalDistribucin 2 de PearsonDistribucin t de StudentDistribucin F de Fisher

    Modelos de probabilidad

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    67

    Distribuciones relacionadas con la Normal

    Tiene un slo parmetro denominado grados de libertad.

    La funcin de densidad es asimtrica. Slo toma valores positivos.

    La funcin de densidad se hace ms simtrica cuando aumenta el nmerode grados de libertad.

    2

    g

    [ ] [ ]

    2

    2

    1

    2

    2

    1

    ~ (0,1) ~

    ~ 2

    i i

    g igi

    X XN

    XY E Y g Var Y g

    =

    = = =

    ~ ( , )iX N

    independientes

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 68

    Distribuciones relacionadas con la Normal

    Tiene un slo parmetro denominado grados de libertad.

    La funcin de densidad es asimtrica positiva. Slo toma valores positivos.

    La funcin de densidad se hace ms simtrica cuando aumenta el nmerode grados de libertad.

    2

    g

    0 5 10 15 20 25

    x0.

    00.

    10.

    20.

    30.

    40.

    5

    f(x)

    2 grados de libertad3 grados de libertad4 grados de libertad5 grados de libertad

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

  • 69

    Distribuciones relacionadas con la Normal

    t de Student

    Tiene un slo parmetro denominado grados de libertad.La funcin de densidad es simtrica respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La funcin de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el nmerode grados de libertad.

    Se obtiene como el cociente entre dos variables:

    2 ~ (0,1) ~/

    g g

    Zt Z N Y

    Y g=

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn 70

    Distribuciones relacionadas con la Normal

    t de Student

    Tiene un slo parmetro denominado grados de libertad.La funcin de densidad es simtrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La funcin de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el nmerode grados de libertad.

    -10 -5 0 5

    x

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    f(x)

    5 grados de libertad20 grados de libertad100 grados de libertad

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn

    71

    Distribuciones relacionadas con la Normal

    F de Fisher

    Tiene un dos parmetros denominados grados de libertad.

    La funcin de densidad es asimtrica. Slo toma valores positivos.

    Se obtiene como el cociente entre dos variables:

    1 2 1 2

    2 21,

    2

    / X ~ ~

    /g g g g

    X gF Y

    Y g =

    Estadstica, Profesora. Mara Durbn