SÉRIES DE FOURIER

Bruno Ern Engenharia Elétrica bruno_ern@hotmail.com

Felipe Rodrigues Engenharia Elétrica feliperluff@gmail.com

Filipe Belini Engenharia Mecânica filipebelini@yahoo.com.br

Italo Engenharia Mecânica italovtomaz@gmail.com

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Resumo

O presente artigo tem por objetivo discutir Séries de Fourier desde seus conceitos básicos, passando pelas formas trigonométricas e complexas, utilizando mudanças de intervalos. Analisamos brevemente o uso das Séries Duplas de Fourier.

Ao longo do trabalho foi possível comprovar a aplicabilidade da aproximação de funções através das Séries de Fourier.

Introdução

Em matemática, uma série de Fourier, nomeada em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) como uma soma de funções periódicas da forma

que são harmônicas de eix. De acordo com a fórmula de Euler, as séries podem ser expressas equivalentemente em termos de funções seno e co-seno.

Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries infinitas, após investigações preliminares de Euler, D'Alembert, e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas séries à solução da equação do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e publicando a sua Théorie analytique de la chaleur em 1822. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier são algo informais, em boa parte devido à falta de uma notação concisa de funções e integrais no início do século XIX. Mais tarde, Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande precisão e rigor formal.

Muitas outras transformadas de Fourier foram definidas desde então, estendendo a outras aplicações a ideia inicial de representar qualquer função periódica pela sobreposição de harmônicas. A área genérica destes estudos é hoje por vezes definida como a análise harmônica.

Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de exponenciais ou senóides. As séries de Fourier podem ser calculadas pela forma trigonométrica ou pela forma complexa.

2

1. SÉRIES DE FOURIER

1.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS

Uma função f(x) é dita periódica com um período T se f(x+T) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x+nT) = f(x) para n inteiro n=0 , ±1 , ±2,…

Exemplo:

1) Se f(x) = tan x, temos que tan(x+π) = tan x logo T =π .2) Achar o período da função f(x) = sen nx

Se a função for periódicasen n(x+T) = sem nxsen nx cos NT + sen nT cos nx = sen nx

cos nT = 1 cos nT = cos 2π T = 2πn

sen nT = 0 sen nT = cos 2π

Logo, T = 2πn

OBS: Se as duas funções g(x) e h(x) possuem período T então a função f(x) = a g(x) + b h(x) é periódica com período T.

1.2. SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS

É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x por coeficiente, que não dependem da variável x e são admitidos reais.

12a0+a1cos x+a2cos 2x+¿ ... +b1 sen x+b2 sen2 x+¿ ...

OU

12a0+∑

n=1

∞

(ancos nx+bn sennx ) 1

Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de período 2π , a soma S(x) será uma fincão periódica de de período 2π . De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comportamento 2π , por exemplo: (−π ,π ) ou (0,2π ).

As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.

3

f ( x )=12a0+∑

n=1

∞

¿¿

Esta representação é possível se f(x) satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet.

1.3. CONDIÇÕES DE DIRICHLET

Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica; as condições de suficiência de Direchlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função.

(a) A função f(x) deve ser contínua e portanto limitada no intervalo (−π ,π ), com exceção, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).

Exemplo: f(x) = 1 para – π<x<0

0 para 0<x<π

Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x=0.

Contra-exemplo: f(x) = (9−x2)−1 no intervalo (0,2 π)Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto t = 3.

(b) Efetuando-se uma partição no intervalo (−π ,π ) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles será monótona. A função f(x) tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.

Exemplo:

Podemos considerar 3 sub-intervalos:

no 1º f(x) é crescenteno 2º f(x) é decrescenteno 3º f(x) é crescenteApresenta no período um ponto de máximo e

4

um de mínimo

Contra-exemplo: f ( x )= sen1x

,−π<x<π

Esta função apresenta um número infinito de máximo e mínimo na vizinhança de t = 0.

1.4. ORTOGONALIDADE – Integrais de EULER

Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período T = 2π , isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula.

INTEGRAIS DE EULER

1) ∫−π

π

cosnx dx=0 n = 1,2,3,...

2) ∫−π

π

sennxdx=0 n = 0,1,2,...

3) ∫−π

π

cos pxcos qxdx=0 (p ≠ q) inteiros

4) ∫−π

π

cos ² px dx=π p = 1,2,…

5) ∫−π

π

sen px sen qxdx=0 (p ≠ q) inteiros

6) ∫−π

π

sen ² px dx=π p = q ≠ 0

7) ∫−π

π

sen px cosqx dx=0 p = q

P ≠ q

Demonstrando:

1) ∫−π

π

cosnx dx=0 n = 1,2,3,...

5

∫−π

π

cosnx dx=[ sennxn ] π−π

=1n [cosnπ−sen (– nπ ) ]=0

2) ∫−π

π

sennxdx=0 n = 0,1,2,...

∫−π

π

sennxdx=−[ consnxn ] π−π

=−1n

¿

3) ∫−π

π

cos pxcos qxdx=0 (p ≠ q)

cos ( p+q ) x=cos pxcos qx−sen px senq x 1cos ( p−q ) x=cos px cosqx+sen px senq x 2Somando membro a membro 1 + 2

cos px cosqx=12¿¿

∫−π

π

cos pxcos qxdx=12∫−π

π

[cos ( p+q ) x+cos ( p−q ) x ] dx=0

4) ∫−π

π

cos ² px dx=π q = p = 1,2,...

cos ² px+sen ² px=1 1cos ² px−sen ² px=cos2 px 2Somando 1 + 22cos ² px=1+cos2 px

∫−π

π

cos ² px dx=12∫−π

π

(1+co s2 px )dx=12∫−π

π

dx+ 12∫−π

π

cos ² px dx=12

[2π ]+5=π

5) ∫−π

π

sen px sen qxdx=0 (p ≠ q)

cos ( p+q ) x=cos pxcos qx−sen px senqxcos ( p−q ) x=cos px cosqx+sen px senqx

sen px sen qx=12

¿

6

∫−π

π

sen px sen qxdx=12∫−π

π

¿¿

6) ∫−π

π

sen ² px dx=π p = q ≠ 0

∫−π

π

sen ² px dx=∫−π

π 1−cos2 px2

=12∫−π

π

dx−12∫−π

π

cos2 px dx=π

7) ∫−π

π

sen px cosqx dx=0 p = q

P ≠ q

sen (p+q ) x=sen px cosqx+senqxcos px 1sen (p−q ) x=sen pxcos qx−sen qxcos px 2

1 + 2 sen px cosqx=12[sen ( p+q ) x+sen (p−q ) x ]

∫−π

π

sen px cosqx dx=12∫−π

π

sen ( p+q ) x dx+ 12∫−π

π

sen ( p−q ) x dx=0

1.5. DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE FOURIER

Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar an e bn em termos de f(x) de maneira que no intervalo (−π ,π ) a série trigonométrica 1 seja igual à função f(x), isto é,

f ( x )=12a0+∑

n=1

∞

¿¿ 1

Integrando os dois membros de 1 entre (−π ,π )

∫−π

π

f ( x ) dx=∫− π

π 12a0dx+∑

n=1

∞ [∫−π

π

ancos nxdx+∫−π

π

bn sennx dx ]

∫−π

π

f ( x ) dx= 12a0∫

− π

π

dx=12a0 [2π ]=a0π

= 0 = 0

1ª I.E. 2ª I.E.

7

a0=1π∫−π

π

f ( x )dx

Cálculo de an:

Multiplicando 1 por cos px, sendo p, número fixo dado e integremos entre os limites (−π ,π ).

∫−π

π

f ( x ) cos pxdx

∫−π

π 12a0 cos px dx+∑

n=1

∞

¿¿

= 0 = 0 = 0

1ª I.E. 3ª I.E. 7ª I.E.

Se n = p

∫−π

π

f ( x ) cos pxdx=an∫−π

π

cos ² nxdx=anπ

an=1π∫−π

π

f ( x ) cosnx dx

Cálculo de bn:

Multiplique 1 por sem px e integremos entre (−π ,π ).

∫−π

π

f ( x ) sen px dx=¿

∫−π

π 12a0 sen px dx+∑

n=1

∞ [∫−π

π

ancosnx sen pxdx+∫−π

π

bn sennx sen px dx ] = 0 = 0 se n ≠ p

Se n = p

∫−π

π 12a0 sen px dx=∫

−π

π

bn sen ²nx dx=bnπ

8

bn=1π ∫−π

π

f ( x ) sennx dx

Exemplo:

Determinar a série de Fourier de função f(x) que supomos possuir o período 2π e fazer esboços gráficos de f(x) e das primeiras três somas parciais.

f ( x )={ 1 ,0<x<π0 ,−π< x<0

an=1π∫−π

π

f ( x ) cosnx dx=1π [∫

−π

0

0cos nxdx+∫0

π

1cosnx dx]= 1π [ 1π sen nx]=0

a0=1π [∫

−π

0

0 dx+∫0

π

1dx ]= 1π [ π ]=1

bn=1π [∫

−π

0

0 sennx dx+∫0

π

1 sen nxdx ]= 1nπ

[−cosnx ] π0=0

bn=−1nπ

[ (−1 )n−1 ]{n=ímpar ;bn=2nπ

n=par ;bn=0

f ( x )=12+ 2π

(sen x+ 13sen3 x+…)

As somas parciais são:

S1=12

9

S2=12+ 2πsen x

S3=12+ 2π

(sen x+ 13sen3 x)

Vimos que para f ( x )={1 ,∧0<x<π0 ,−π< x<0 a série de Fourier representa

f ( x )=12+ 2π

(sen x+ 13sen3 x+…)

Vamos determinar a série de Fourier para:

f 1 ( x )={ 12 ,∧0<x<π−12

,−π<x<0

A função f 1 ( x ) é a f ( x ) deslocada 12

unidades

para baixo, logo

f 1 ( x )= f ( x )−12= 2π(sen x+ 1

3sen 3x+…)

f 2 ( x )={1 ,∧0<x<2π0 ,−2π<x<0

10

A função f 2 ( x ) é a mesma f ( x ), exceto por uma alteração na escala do tempo.

f 2 ( x )= f (x)2

=12+ 2π(sen x

2+ 13sen 3 x

2+…)

EXERCÍCIOS

1.6. Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet.

1. f (t )= t−2t ²−t−2

0<t<2π

2. f (t )=(4−t 2 )−1−π<t<π

3. f ( x )= 1x−1

0<x<2π

4. f ( x )={0 ,∧−π<x<0x ² ,∧0<x<π

5. f ( z )=sen 1z−1

0<z<2 π

1.7 – Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π.

1. f ( x )={−x ,−π<x<0+x ,+0<x<π

2. f ( x )=x ³ , −π<x<π

3. f ( t )=et , −π<t<π

4. f ( t )={k ,−π< t<0k ,+0<t<π , onde k é constante

PARA CONFERIR

1.6.1 – Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie.

Para t = 2 , f ( t )=00

f ( t )=limt→2

12t−1

=13

11

2 – Não, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t = -2.

3 – Não, descontinuidade infinita na vizinhança de x = 1.

4 – Sim, as duas condições são satisfeitas.

5 – Não, pois na vizinhança de z = 1 temos um número infinito de máximos mínimos.

1.7.1 – f ( x )={−x ,−π<x<0+x ,+0<x<π

A f ( x ) satisfaz as condições de Dirichlet.

CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER:

a0=1π ∫−π

π

f (x)dx= 1π ∫

−π

0

−x dx+ 1π∫0

π

x dx=−1π

x ²2 | 0

−π+ 1π

x ²2 |π0= π ²

2 π+ π ²2π

=π

an=1π ∫−π

π

f (x)cosnx dx= 1π ∫

−π

0

−x cosnx dx+ 1π∫0

π

x cosnx dx

Fazendo a integração por partes:

∫udv=uv−∫v du

u ¿ x∴du=dx

an=−1π {x sennxn | 0

−π−∫−π

0 sennxn

dx}+ 1π {x sen nxn | π

0−∫0

π sin nxn

dx }an=

−1πcosnxn ² |0π + 1

πcosnxn ² |π0

12

an=+1πcos nxn ² | π

0+ 1π

cosnxn ² |π0

an=2πn ²

(cosnπ−cos0 )= 2n ²π

( (−1 )n−1)

an={ 0 paran par−4n ² π

paran ímpar

bn=1π ∫−π

π

f (x)sen nxdx= 1π ∫−π

0

−x sen nxdx+ 1π∫0

π

x sennx dx

u=x∴du=dx

dv=sin nx∴ v=−cosnxn

bn=−1π

¿

bn=+1π {π cosnπn

+ sennxn ² | 0−π }+ 1π {−π cos nπ

n+ sennx

n ² |π0 }=0Logo f ( x )=π

2−4πcos x− 4

9πcos3x−…

1.7 .2−f ( x )=2[( π ²1 −61³ )sin x−( π ²2 −

623 )sen2x+( π ²3 −

63³ )sin 3 x−…]

f (t )=e−αt 2,0< t<T ,∝ ϵ R2

1.7 .3−f (t )=et ,−π<t<π

A f(t) satisfaz as condições de Dirichlet.

CÁLCULO DOS COEFICIENTES:

a0=1π∫−π

π

f (t )dt=1π∫−π

π

e t dt=1πet| π

−π= 1π

(eπ−e−π )

13

an=1π∫−π

π

f ( t ) cosnt dt= 1π∫−π

π

et cos nt dt

Sabemos que∫ udv=uv−∫ vdu

u=e t∴du=e t dt ;dv=cosnt dt ∴v= senntn

∫ et cos nt dt=e t senntn

−1n∫e t sen nt dt

u=e t∴du=e t dt ;dv=sin nt dt∴ v= cosntn

∫ et cos nt dt=e t senntn

− 1n [−et cosnt

n−∫−e t cosnt

ndt ]

∫ et cos nt dt=1ne t sennt+ 1

n ²et cosnt− 1

n ²∫e t cosnt dt

∫ et cos nt dt+ 1n ²∫e t cosnt dt=1

ne t sennt+ 1

n ²e t cos nt

(1+ 1n ² )∫et cosnt dt=1ne t sen nt+ 1

n ²et cos nt

Multiplicando por n²

(n2−1 )∫ et cos nt dt=ne t sennt+et cos nt

∫−π

π

e t cosnt dt= net sennt+et cos ntn2+1 | π

−π

Mas , sennπ=sen (−nπ )=0

cos nπ=cos (−nπ )=(−1 )n

∫−π

π

e t cosnt dt= eπ (−1 )n−e t (−1 )n

n2−1=(−1 )n e

π−e−π

n2+1

an=1π

(−1 )n eπ−e−π

n2+1

De modo análogo calculamos bn

bn=1π ∫−π

π

f (t)sennt dt=−(−1 )nn (eπ−e−π )π (n2+1 )

Logo,

14

f ( t )=et= 12π

(eπ−e−π )+∑n=1

∞ [ (−1 )n(eπ−e−π)π (n2+1 )

cos nt− (−1 )nn (eπ−e− π )π (n2+1)

sennt ]oue t= eπ−e−π

π [ 12+∑n=1∞ (−1 )n

n ²+1(cosnt−n sennt )]

1.7 .4−f ( t )=4 kπ (sen t+ 13 sen3 t+ 15 sen5 t+…)

1.8 – FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (−π ,π )

g(x) é par se g(-x) = g(x), para todo xh(x) é ímpar se h(-x) = -h(x), para todo x

Observações: O gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.O valor da função ímpar no ponto zero: h(0) = 0Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar verifiquemos que:

I ¿∫−π

π

g (x)dx=2∫0

π

g (x )dx

De fato :∫−π

π

g (x)dx=∫− π

0

g (x)dx+∫0

π

g (x)dx

¿−∫0

π

g (x)dx+∫0

π

g(x )dx=−∫0

π

g (−x)d (−x )+∫0

π

g (x)dx

Então:∫−π

π

g(x )dx=−∫0

π

g (x) . (−dx )+∫0

π

g(x)dx

15

∫−π

π

g(x )dx=∫0

π

g (x)dx+∫0

π

g (x)dx=2∫0

π

g(x )dx

I I ¿∫−π

π

h(x )dx=0

De fato :∫−π

π

h(x)dx=∫−π

0

h(x)dx+∫0

π

h(x )dx

¿−∫0

π

h(x )dx+∫0

π

h( x)dx=−∫π

π

h(−x)d (−x )+∫0

π

h (x)dx

Então:∫−π

π

h(x )dx=−∫0

π

h(x ). (−d ( x ) )+∫0

π

h(x )dx=0

III) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x) é ímpar.q(x) = g(x).h(x)

q(-x) = g(-x).h(-x)q(-x) = g(x).-h(x)q(-x) = -g(x).h(x)

q(-x) = -q(x)IV) O produto de uma função par x função par é função par.

q(x) = g(x).g(x)q(-x) = g(-x).g(-x)q(-x) = g(x).g(x)

q(-x) = q(x)V) O produto de uma função ímpar x função ímpar é função par.

q(x) = h(x).h(x)q(-x) = h(-x).h(-x)q(-x) = -h(x).-h(x)q(-x) = +h(x).h(x)

q(-x) = q(x)

16

CONCLUSÃO:Se f ( x ) é uma função par , f ( x ) sennxé umafunção ímpar e

bn=1π∫−π

π

f (x)sen nxdx=0

Se f ( x ) é uma funçãoímpar , f ( x )cos nxé uma função ímpar e an=

1π∫−π

π

f (x)cosnx dx=0

TEOREMA I

A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em cossenos.

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

an cosnx

comoscoeficientes :a0=2π∫0

π

f (x)dx ean=2π∫0

π

f (x )cosnxdx

A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) que possui período 2π é uma série de Fourier em senos.

f ( x )=∑n=1

∞

bn sen nx

comocoeficiente : bn=2π∫0

π

f (x)sennx dx

Consideremos f(x) par.

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

(an cosnx+bn sen nx ) 1

f (−x )=a02

+∑n=1

∞

(ancos (−nx)+bn sen(−nx))

Mas como f é par, f(-x) = f(x)

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

(an cosnx−bn sennx ) 2

1 + 2

17

2 f ( x )=a0+2∑n=1

∞

ancosnx ou f ( x )=a02

+∑n=1

∞

an cosnx

Por outro lado,

an=1π ∫−π

π

f (x)cosnx dx

Como f(x) e cos nx são funções pares, temos:

an=1π [∫

−π

0

f (x)cosnx dx+∫0

π

f (x)cosnx dx]¿ 1π [∫π

0

f (−x)cos (−nx )d (−x )+∫0

π

f (x )cos nxdx ]¿ 1π [∫

−π

0

−f (x )cos nxdx+∫0

π

f (x)cosnx dx ]= 1π [2∫0π

f (x)cosnx dx]Consideremos f(x) ímpar

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

(an cosnx+bn sen nx ) 1

f (−x )=a02

+∑n=1

∞

(ancos (−nx)+bn sen(−nx))

Como f é ímpar, f(-x) = - f(x)

−f ( x )=a02

+∑n=1

∞

(an cosnx−bn sennx ) 2

1 - 2

2 f ( x )=2∑n=1

∞

(bn sennx )

f ( x )=∑n=1

∞

(bn sen nx )

Por outro lado, bn=1π∫−π

π

f (x)sen nxdx=0

Como f(x) e sem nx são funções ímpares,

bn=1π ∫−π

0

f (x)sen nxdx+ 1π∫0

π

f (x )sennx dx

18

bn=1π∫π

0

f (−x )sen(−nx)d (−x )+ 1π∫0

π

f (x) sennxdx

bn=1π∫π

0

[−f ( x ) ] [−sennx ] [−dx ]+ 1π∫0

π

f (x) sennxdx

bn=1π∫0

π

f (x )sennx dx+ 1π∫0

π

f (x)sen nxdx

bn=2π∫0

π

f ( x ) sennx dx

Logo, ao calcular os coeficientes na Série de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de −π aπ ao invés de 0a2π .

Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal, ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas.

Exemplos:

1) Determinar a Série de Fourier da função:

f ( x )={ xπ,0<x<π

2− xπ, π<x<2π

Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo (−π ,π ).

Cálculo dos coeficientes:

Como f(x) é par; bn=0

a0=2π∫0

π

f ( x )dx=2π∫0

π xπdx= 2

π2x2

2 |π0=1

an=2π∫0

π

f ( x )cos nxdx= 2π∫0

π xπcosnx dx= 2

π 2∫0

π

x cosnx dx

Integral que foi calculada anteriormente.

19

an={ 0 , paran par−4n2π2

, para nímpar

Portanto f ( x )=12− 4π 2

(cos x+ 19cos3 x+ 1

25cos5x+… )

2) Determine a Série de Fourier para f (t )

Embora pudéssemos determinar a série de

f (t) diretamente vamos relocalizar os

eixos a fim de usar as relações de simetria, pois a f (t) não é nem par nem ímpar.

1° CASO: A subtração de uma constante de 12

produz uma função ímpar f 1(t )

Logo a0=an=0

bn=∫0

π

f 1( t )sennt dt

bn=∫0

π 12sennt dt= 1

nπ(−cos nt )|π0= 1

nπ(1−cos nπ )

bn={ 0 , paran par2nπ

, paran ímpar

f 1 ( t )= 2π

(sen t+ 13sen3 t+1

5sen5 t+…)

Portanto f 1 ( t )=12+ 2π(sent+ 1

3sen3 t+ 1

5sen5 t+…)

2° CASO: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par f 2(t)

20

Logo bn=0

a0=2π∫0

π

f 2(t )dt ;

an=2π∫0

π

f 2(t )cos nt d t

an=2π

¿

an=2π∫0

π2

(1)cos nt dt= 2nπsin nt|π20 = 2

nπ(sen n π

2−sen 0)

an={ 0 , paran par2nπ

(−1)n−12 , paran ím=par

f 2 (t )=12+ 2π

(cos t−13cos3 t+1

5cos5 t∓…)

Portanto f ( t )=12+ 2π [cos(t− π

2)− 13cos3(t− π

2)+…]

Como, cos (t−π2 ¿)=cos t cos π2

+sin t sen π2=sen t ¿

cos (3 t−3 π2 ¿)=cos3 t cos 3π2

+sen3 t sen 3 π2

=−sen3t ¿

Podemos reescrever f (t)

f ( t )=12+ 2π [sen t+13 sen3 t+…] como no resultado anterior.

1.9 – FUNÇÕES COM PERÍODO ARBITRÁRIO

Até agora consideramos funções periódicas de período 2π. Por uma simples mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier de uma função f (t) de período T qualquer.

Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear.

Seja f (t) definida no intervalo (−T2

, T2

)

21

t=ax+b ,−π<x<π

T2=aπ+b ,−T

2< x< T

2 1 ;−T2

=−aπ+b2

Somando membro a membro de 1 e 2

0=0+2b∴a= T2π

Então t= T2π

x→x=2πT

t

Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde x=2πTt , logoa f ( T

2πx ) é definida no intervalo

(−π ,π ) assim, f (t )=f ( T2π

x)=a02

+∑n=1

∞

(an cosnx+bnsin nx )

Onde a0=1π∫−π

π

f ( T2π

x )dx ,

an=1π∫−π

π

f ( T2π

x )cos nxdx e bn=1π∫−π

π

f ( T2 π

x )sin nx dx

Para simplificar os cálculos façamos x=2πTt∴dx=2π

Tdt

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

(ancos2nπT

t+bn sin2nπT

t)

Onde a0=1π ∫

−T2

T2

f ( t ) 2πT

dt ∴a0=2T ∫

−T2

T2

f ( t )dt,

an=2T ∫

−T2

T2

f (t)cos 2nπT

tdt e bn=2T ∫

−T2

T2

f (t)sin 2nπT

tdt

O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo, 0<t<T .

O teorema 1 se verifica para funções pares e ímpares, periódicas e de período T qualquer.

EXEMPLO:

22

Determinar a Série de Fourier da função f (t), periódica de período T=4

f (t )={0quando−2<t←1 ,K quando−1< t<1 ,0 quando1<t<2 ,

Temos que

an=2T ∫

−T2

T2

f (t)cos 2nπT

tdt

Como f (t) é par, bn=0 e an=2.2T ∫

0

T2

f (t)cos 2nπT

tdt

a0=∫0

2

f ( t )dt=∫0

1

Kdt+∫1

2

0dt=Kt|10=K

an=∫0

2

f (t)cos nπ2tdt=∫

0

1

K cos nπ2tdt=2K

nπsin nπ

2t|10

an=2Knπsin nπ

2

an={ 0 , paran par2Knπ

(−1)n−12 , paran ímpar

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

(ancos2nπT

t)f (t )=K

2+ 2K

π(cos π

2t−13cos 3π

2t+ 15cos 5π

2t−…)

1.10 – SÉRIES EM SENOS E SÉRIES EM COSSENOS

Desenvolvimento de meio período.

Seja f (t) de período T=2 L

23

Se f (t) for par a série de Fourier fica:

f ( t )=a02

+∑n=1

∞

(an cos 2nπT t) ou

f ( t )=a02

+∑n=1

∞

(an cosnπLt ) →1

Com coeficientes:

an=1L∫−L

L

f (t)cos nπL

tdt como f (t) é par →

→an=2L∫0

L

f (t)cos nπLtdt→2 , a0=

2L∫0

L

f ( t )dt

Se f (t) for ímpar:

f ( x )=∑n=1

∞

(bnsinnπLt ) →3

Com coeficientes:

bn=2L∫0

L

f (t )sin nπL

tdt→4

f (t) prolongada como função par.

Prolongamento periódico ímpar.

24

OBS: Constatamos que 2 e 4 empregam unicamente os valores de f (t) do intervalo (0 , L).

Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries 1 e 3. Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0 , L). Fora deste intervalo, a série 1 representará o prolongamento periódico par da f (t), tendo período 2 L; e a 3 o prolongamento periódico ímpar da f (t).

EXEMPLO:

Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f (t) definida no intervalo (0 , L) e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente.

f (t )={1 se 0<t< L2

0 se L2<t<L

a0=2L∫0

L

f ( t )dt= 2L [∫0

L2

dt+∫L2

L

0dt ]=2L t|L20 →a0=1

an=2L∫0

L

f (t )cos nπLtdt= 2

L [∫0L2

cos nπL

tdt+∫L2

L

0cos nπLtdt ]

an=2L

Lnπsin nπ

Lt|L20 = 2

nπ¿

an=2nπsin nπ

2∴an={ 0 , paran par

2nπ

(−1)n−12 , paran ímpar

Logo,

f (t )=12+ 2π

(cos πLt−13cos 3π

Lt+ 15cos 5 π

Lt−…)

EXERCÍCIOS:

1.11 – Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares.

25

1. f ( x )=sin x+cos x

2. f ( x )=x2 cosnx

3. f ( x )=x|x|

4. f ( x )=ex

5. f ( x )=x3 sin x

1.12 – Desenvolver em Série de Fourier as funções, supostas periódicas de período 2π :

1. f ( x )=x2 ,−π<x<π e obter o seguinte resultado devido a Euler:

∑n=1

∞ 1n2

=1+ 14+ 19+ 116

+…=π 2

6

2. f ( x )=−1,−π<x<0 , f ( x )=1 ,0< x<π ;f (0 )=0 e mostrar que π4=1−1

3+ 15−17+…

3. f (t )=¿¿

4. f ( x )=|t|,−π<t<π e mostrar que π 2

8=1+ 1

32+ 152

+…

1.13 – Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T:

1. f (t )=1 (−1<t<0 ) , f (t )=−1 (0<t<1 ) , f (0 )=0 , T=2

2. f (t )=1 (−1<t<1 ) , f (t )=0 , (1<t<3 ) , T=2

3. f ( x )=x (0≤x ≤2 ) , T=2

4. f ( x )=x (o<x<1 ) , f ( x )=1−x , (1<x<2 ) , T=2

1.14 – Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1. e 2. e por meio da Série de Fourier em senos as funções 3. e 4.; e fazer o prolongamento periódico correspondente:

1. f ( x )=x (0<x<2 ) , f ( x )=x−2(2<x<4)

2. f (t )=t 3 (0<t<L )

3. f ( x )=cos x (0<x<π )

26

4. f (t )=et (0< t<π )

PARA CONFERIR:

1.11

1.11.1 f ( x )=sin x+cos x

f (−x )=sin(−x )+cos(−x )

f (−x )=−sin (x )+cos(−x ) logo função nem par nem ímpar

2. Par

3. f ( x )=x|x|

f (−x )=−x|−x|

f (−x )=−x|x|

f (−x )=−f ( x) logo função ímpar

4. Nem par nem ímpar

5. f ( x )=x3 sin x

f (−x )=(−x )3sin (−x)

f (−x )=−x3 .−sin (x)

f (−x )=x3 sin(x )

f (−x )=f ( x ) logo função par

1.12

1.12.1 f ( x )=x2 ,−π<x<π

Como f ( x ) é par, bn=0

a0=2π∫0

π

x2dx= 2π [ x33 ]π0→a0=

23π2

an=2π∫0

π

x2 cosnx dx= 2π [ x2n sin nx+ 2xn2 cosnx− 2

n3sinnx ]π0

27

an=2π2 πn2

(−1)n→an=4n2

(−1)n

f ( x )= π2

3+4∑

n=1

∞ (−1)n

n2cos nx

Ou f ( x )= π2

3+4(−cos x+ 1

4cos2x−1

9cos3 x+…)

Fazendo x=π, temos:

π2=π 2

3+4∑

n=1

∞ (−1)n

n2.(−1)n

23π2=4∑

n=1

∞ (−1)2n

n2

π 2

6=∑

n=1

∞ 1n2

1.12.2 f ( x )= 4π

(sin x+ sin 3 x3

+…)

Fazendo x=π2 obtém-se o resultado.

1.12.3 f ( t )=¿¿

Como f (t ) é par, bn=0

a0=1π ∫−π

π

(sent )2dt= 1π ∫

−π

π

¿¿¿

a0=12π∫−π

π

dt− 12π ∫−π

π

cos (2 t )dt

a0=12π2 π∴a0=1

Calculando an:

an=1π ∫−π

π

sen2(t)cos (nt)dt=1π∫−π

π

¿¿¿

an=12π ∫−π

π

cos(nt)dt− 12 π ∫−π

π

cos (2 t)cos (nt ) dt

28

Paran≠2∴an=0

Para n=2∴an=−12 π

π∴an=−12

Portanto, f (t )=12−12cos (2t )

1.12.4 - f (t )= π2−4π

¿

Fazendo x = 0, obtém-se o resultado

1.13

1.13.1

f (t )=1 (−1<t<0 ) , f (t )=−1 (0<t<1 ) ,

f (0 )=0 , T=2

Como f (t ) é ímpar a0=an=0

bn=2T ∫

−T2

T2

f (t)sin 2nπT

t dt

Ou

bn=22T∫

0

T2

f (t)sin 2nπT

t dt

bn=222∫01

−1sin 2nπ2

t dt=2∫0

1

−sin (nπ ) tdt

bn=2nπ

¿

Logo, f (t )=∑n=1

∞

bn sin2πT

t∴ f (t )=−4π

¿

1.13.2

1

1

-1

-1

29

f (t )=12+ 2π

¿

1.13.3 f ( x )=x∴ (0≤ x≤2 ) ,T=2

a0=22∫02

xdx=2

an=∫0

2

xcos (nπx )dx=0

bn=∫0

2

x sin (nπx ) dx=−2nπ

Logo f ( x )=1−2π

¿

1.13.4

f ( t )=−4π2

¿

1.14

1.14.1

f ( x )={ x ,0<x<2x−2 ,2<x<4

2

2

2-2

2

30

a0=12∫04

f ( x )dx=12 [∫0

2

xdx+∫2

4

( x−2 )dx]=12 (2− (−2 ) )∴a0=2

an=12∫04

f ( x ) cos( nπx4 )dx=12 [∫02

x cos(nπx4 )dx+∫2

4

( x−2 ) cos(nπx4 )dx ]Cálculo da Integral:

∫ x cos nπx4

dx=4 xnπsin nπx

4−∫ 4

nπsin nπx

4xdx

u=x∴du=dx

dv=cos nπx4

dx∴ v= 4nπsin nπx

4

∫ x cos nπx4

xdx=4 xnπsin nπx

4+ 16nπcos nπx

4

Logo,

an=12 {[ 4 xnπ sin nπx4 +

16n2π2

cos nπx4 ]

0

2

+[4 xnπ sin nπx4 +16n2π 2

cos nπx4 ]

2

4

−8nπ [sin nπx4 ]

2

4}an=

12 {−16n2π 2

+ 16n2π2

(−1)n+ 8nπsin nπ

2 }an=

8n2π2

(−1+(−1)n )+ 4nπ sinnπ2

an=0, para n par

an=16n2π2

+ 4nπ

(−1)n−12 n=2k+1 , para n ímpar

f ( x )=1+∑k=0

∞

( −16(2k+1)2π2

+ 4(2k+1 )π

(−1)k)cos (2K+1) πx4

1.14.2

f (t )= L3

4+6 L3

π2 [( 4π2−1)cos πtL +14cos 2πt

L+( 481π2

−19 )cos 3πtL +…]

1.14.3

f ( x )=cos x (0<x<π)

an=a0=0 , porque f (x) é par

31

bn=2L∫0

L

f (x )sen nπxπ

dx

bn=2π∫0

π

cos x sennxdx

Usando sin acos b=12 [ sen (a+b )+sen (a−b)]

∫0

π

sennx cos xdx=12∫0

π

[ sen (n+1 ) x+sen (n−1 ) x ] dx=¿¿

¿12 {[ −1

n+1 cos(n+1 ) x− 1

n−1 cos(n−1 ) x ]

0

π}=¿

¿ 12 {−cos (n+1)πn+1

−cos (n−1)π

n−1+ 1n+1

+ 1n−1 }

bn=1π [ 1−cos(n+1)πn+1

+1−cos(n−1)π

n−1 ]cos (n+1 )π={1 se n=2k+1−1 sen=2k

b2k=1π [ 22K+1

+ 22K−1 ]= 1π 8K

4K 2−1

Logo,

cos x=∑k=1

∞ 8π

k(4k 2−1)

sen2kx

1.14.4

f ( t )= 2π∑n=1

∞ nn2+1

(1+(−1 )n+1 eπ)sennt

2. SÉRIES DE FOURIER – MUDANÇA DE INTERVALOS

32

Até aqui tratamos exclusivamente de funções nos intervalos [ – π , π ] e [0 , π ]. Para muitas

finalidades, entretanto, esta colocação é muito restritiva, e agora nos propomos generalizar

nossos resultados para um intervalo arbitrário [a ,b ]. Mas ao invés de começar imediatamente

com o caso mais geral, será mais simples considerarmos primeiro intervalos de forma [ – p , p ]

e seus espaços euclidianos associados CP[ – p , p ]. Porque, aqui, a situação pode ser tratada

com presteza.

Com efeito, é obvio que se as funções

cos πxp, sen πx

p,cos 2πx

p, sen 2πx

p,…(2 .1)

são mutuamente ortogonais em CP[ – p , p ]. Além disso, justamente como no caso em que

p=π , pode-se mostrar que essas funções formam uma base deste espaço e, por conseguinte,

que as suas séries ortogonais associadas (as quais, diga-se de passagem, denominam-se ainda

séries de Fourrier) convergem em média. E, finalmente, levando-se na devida consideração o

comprimento do intervalo, todas as nossas observações concernentes à convergência pontual

são válidas neste contexto.

Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função de CP [ – p , p ], notemos que

∫−p

p

dx=2 p

∫−p

p

cos2 kπxp

dx=∫−p

p

sen2 kπxp

=p

Então, pela Fórmula da série de Fourier

f ( x )=a02

+∑k=1

∞

(akcoskπxp

+bk senkπxp )(2.2)

Onde

ak=1p∫−p

p

f ( x ) cos kπxp

dx (2 .3)

bk=1p∫−p

p

f (x ) sen kπxp

dx

33

Para todo k.

A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano CP [a ,b ].

Com efeito, se fizermos 2 p=a−b, de modo que [a ,b ]=[a ,a+2 p] conseguiremos obter

bases semelhantes as anteriores.

Realmente, todo o problema consiste em fazer uma mudança de coordenadas no eixo dos

x, substituindo-se πxp por x nas funções empregadas anteriormente para CP[a ,a+2 p ] . Isto

nos leva imediatamente às seguinte fórmulas para o cálculo do desenvolvimento em série de

Fourrier de uma função f em CP[a ,b ].

f ( x )=a02

+∑k=1

∞

(akcos2kπxb−a

+bk sen2kπxb−a )(2 .4)

Em que,

ak=2

b−a∫ab

f (x)cos 2kπxb−a

dx (2 .5)

bk=2

b−a∫ab

f (x ) sen 2kπxb−a

dx

Para todo k.

Exemplo 1: Determine a série de Fourier em CP[0,1 ] da função f ( x )=x .

Aqui, b−a=1 e torna-se:

ak=2∫0

1

xcos2kπx dx

bk=2∫0

1

xsen 2kπx dx

A integração por partes dá, então:

a0=1 , ak=0 , k≠0 , bk=−1kπ

Portanto,

2 3 4

34

f ( x )=12− 1π (sen2πx+ sen 4 πx

2+ sen6 πx

3+…)

O gráfico desta série é dado por

Fig 2.1

Fig 2.2 Fig 2.3

Exemplo 2: Determine a série de Fourier da função f, mostrada na Fig 2.2

Neste caso:

f ( x )={x−2 ,2≤ x≤3 ,4−x ,3≤x ≤4 ,

E as Fórmulas 2.5 temos:

ak=∫2

4

f ( x ) coskπx dx=∫2

3

(x−2)cos kπxdx+∫3

4

(4−x)cos kπxdx

bk=∫2

4

f ( x ) sen kπxdx=∫2

3

(x−2 ) senkπx dx+∫3

4

(4−x)senkπx dx

Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem se

simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio.

Designemos por F a extensão periódica de f a todo o eixo dos x (Fig2.3). Então, as funções

F (x)coskπx e F (x)sin kπx são periódicas com período 2, e temos

1 2 3-1-2-3

1

2 3 41

35

∫a

a+2

F(x )cos k πx dx=∫2

4

f (x)coskπx dx (2 .6)

∫a

a+2

F(x )senkπx dx=∫2

4

f (x)sen kπx dx

Para qualquer número real a. Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio de g ser contínua por

partes em(−∞,∞ ) com período 2p. Então,

∫a

a+2p

g ( x )dx= ∫b

b+2 p

g (x )dx

Para qualquer par de números reais a, b. Fazemos agora a=−1 em 2.6 para obter:

ak=∫−1

1

F (x)coskπx dx

bk=∫−1

1

F (x)sen kπx dx

Mas, no intervalo [−1,1 ], F coincide com a função par |x|. Donde bk=0 para to k,

ak=2∫0

1

xcos kπxdx. Portanto,

a0=1

ak={ −4k2π2

, k í mpar

0 , k par e k ≠0

3. SÉRIE DUPLA DE FOURIER

Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo R do plano se;

i. f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exceção de um

número finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos

diferenciáveis simples, ou em ambos e;

36

ii. existe lim( x , y )→( x0 , y0 )

f (x , y ) quando (x0 , y0) é um ponto de descontinuidade de f

e (x,y) tende a (x0 , y0) pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é

dividida pelos arcos de descontinuidade

¿ f , g>¿∬ f ( x , y ) g (x , y )dR

¿ f , g>¿∫a

b

∫c

d

f (x , y )g ( x , y )dx dy

¿ f , g>¿∭… f (x , y , z ,… )g ( x , y , z ,… )dx dy dz…

Teorema: Sejam {f i ( x ) } e {g j ( y )} bases ortogonais dos espaços euclidianos

CP [a,b] e CP [c,d], respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos {f i ( x ) g j ( y ) }

, i = 1,2,... uma base de CP(R), onde R é o retângulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.

1. SÉRIE DUPLA DE FOURIER GERAL

f ( x , y )=∑i , j∝i , jhi , j(x , y)

1) Base para CP [-π, π]

f(x) Є CP [-π, π], x Є [-π, π]

{cos nx, sen mx} n=0,1,2,…m=1,2,3 ,…

2) Base para CP[-π, π]

f(y) Є CP [-π, π], y Є [-π, π]

{cos px, sen qx} j=0,1,2,…q=1,2,3 ,…

37

Assim,

3) Base para CP(R)

{cosnxcos py ,cosnx senqy , senmx cos py , senmx senqy }

2. CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER

f ( x , y )ЄCP (R )

f ( x , y )=∑i , j∝i , jhi , j ( x , y )

∝i , j=¿ f , hi , j> ¿‖hi , j‖²

¿

∝i , j=1

‖hi , j‖²∫−π

π

∫−π

π

f ( x , y )hi , j ( x , y )dxdy

ϑ i ( x )ϑ j( y )

Assim,

f ( x , y )=∑n=0

∑p=0

∝np cosnx cos py+∑n=0

∑q=1

∝nqcos nx senqy

+∑m=1

∑p=0

∝mp senmx cos py+¿∑m=1

∑q=1

∝mq senmx senqy¿

onde,

‖cos (ix)cos( jy)‖²={ 4 π ²2t ²

π ² , i≠0e j≠0

Exemplo: F(x,y) = xy

α np=1

‖cos nxcos py‖²∫−π

π

∫−π

π

xy cosnx cos py dxdy=0

α nq=1

‖cos nx senqy‖²∫−π

π

∫−π

π

xy cosnx sen qydxdy=0

αmp=1

‖senmx sen py‖²∫− π

π

∫−π

π

xy senmx sen py dxdy=0

38

αmq=1

‖senmx senqy‖²∫−π

π

∫−π

π

xy senmx sen qydxdy=¿

αmq=∫−π

π

∫−π

π

xy senmx senqy dxdy

∫−π

π

∫− π

π

sen ²mx sen ²qy dxdy=¿

αmq=1π ²∫−π

π

∫−π

π

x senmx dx y senqy dy=¿

αmq=1π ²∫−π

π

x sen mxdx∫−π

π

y senqy dy=¿αmq=4π ²∫0

π

x senmxdx∫0

π

y senqy dy=¿

αmq=4π ² [(−1)m+1 π

m ][(−1)q+1 πq ]=¿

αmq=(−1)m+1 4mq

xy= f ( x , y )=4 [sen x sen y− sen x sen 2x1.2

− sen2 x sen y2.1

+ sen x sen3 y1.3

+…]xy=f ( x , y )=4∑

m=1

∞

∑q=1

∞

(−1)m+q senmx senqymq

De um modo mais geral, o conjunto de funções

sen(mπa x) sen( nπb y ) , sen (mπa x )cos(qπb y) ,cos( pπa x )sen( nπb y) ,cos( pπa x )cos (qπb y)é uma base de espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo

–a ≤ x ≤ a, -b ≤ x ≤ b.

TEOREMA

Seja R o retângulo –π ≤ x ≤ π, –π ≤ y ≤ π e suponhamos que seja contínua em R e que ∂F∂ x

, ∂F∂ y

e ∂ ² F∂x ∂ y existam e sejam limitadas em R. Então, a série dupla de Fourier de F

converge pontualmente para F em R.

4. FORMA COMPLEXA DAS SÉRIES DE FOURIER E DESENVOLVIMENTO DE FOURIER

39

f ( x )=a0+∑n=1

∞

(an cos nπxL +bn sinnπxL )

Onde –L ≤ x ≤ L,

Pode ser escrito sob a forma complexa. Escreva:

cos N πxL

=12

(e j N πxL +e

j N πxL )

sin N πxL

= 12 j

(e j N πxL −e

− j N πxL )

e introduza estas expressões na Série. É conveniente definir:

CN={12 (an− j bn ) ,N>0

12 (an+ jbn ) ,N<0

12a0 ,N=0

Então a Série de Fourier pode ser escrita em sua forma complexa

f (x)= ∑N=−∞

∞

CN ej N πx

L ,−L≤x ≤L

CN=12L∫−L

L

f (x )e− j

N πxL dx

∫−L

L

ej N πx

L e− j N πx

L dx={ 0 , N ≠m2 L,m=N

Exemplo: Ache a Série Complexa de Fourier de:

f (x)={1 ,−π<x ≤00 ,0<x≤ π

C0=12π∫0

π

dx=12

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CN=12π∫0

π

e− jNxdx=1−e− jNπ

2Nπj={ 01N πj

f (x)=12+ 1πj ∑

N=−∞M=impar

∞ 1Ne jNx

41

Conclusão

A partir dos estudos desenvolvidos ao longo do trabalho pode-se concluir que a Série de Fourier é uma ferramenta matemática que pode ser amplamente utilizada para descrever fenômenos físicos como, ondas e propagação de calor, importantes para a solução de problemas do campo da engenharia.

Agradecimentos

Dedico este trabalho aos colegas de classe que nos auxiliaram no desenvolvimento deste artigo. Agradecemos especialmente ao professor Altair Souza de Assis que nos ajudou a compreender a importância do modelo matemático para descrever o comportamento dos elementos da natureza.

Esse estudo será de grande importância para o nosso futuro profissional.

Referências

Introdução à análise linear Kreider, Dr. Ostberg, R.C. Keiller e F.W. Perkins Editora UNB e ao livro técnico, RJ, 7972 Notas de aulas – Séries de Fourier, A.S. Assis, 2010 Apostila de Séries de Fourier, R.O. Sacramento, 1980 Wikipédia, a enciclopédia livre