Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran

satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik

asal.

X2 + y2 = 1

Panjang busur AP = t

y

C

y

xxA (1,0)

Keliling C = 2π

Jika t = π, maka P setengah

jalan mengelilingi ligkaran,

P(-1,0).

t = 3/2π, maka P(0,-1)

t = 2π, maka P(1,0)

t>2π , perlu lebih 1 putaran

t<2π, maka = t

P(x,y)

t

Fungsi sinus dan kosinus

t bilangan real menetukan titik P(x,y), maka:

sin t = y cos t = x

Sifat dasar sinus dan kosinus

Daerah hasil atau x dan y (antara 1 dan -1) atau [-

1,1]

Keliling Lingkaran = 2π, nilai t dan t + 2π

menentukan titik P(x,y) yang sama;

sin (t + 2π) = sin t cos (t + 2π) = cos t

y

x(1,0)

P1(x,y)t

P2(x,-y) -t

Titik P1 dan P2 berkorespondensi dengan t dan –t,

masing-masing simetri terhadap sumbu x. Jadi

koordinat x dari P1 dan P2 adalah sama, dan y hanya

berbeda tanda.

Sin (-t) = -sin t cos (-t) = cos t

y

x(1,0)

P4(y,x)t

-t

(0,1)

P3(x,y)

Y=x

t

Titik P3 dan P4 berkorespondensi dengan t dan π/2 –

t simetri terhadap garis y = x, sehingga koordinat

saling tukar.

Sin (π/2 –t) = cos t cos (π/2 –t) = sin t

Sehingga

sin2t + cos2t = 1

y

x

P

-t

(0,1)

Y=x

π/4xx

1

B

t= π/4, maka:

1 = x2 + y2 = cos2π/4 + cos2π/4

Sama sisi, sisi r = 1, garis tinggi h=½ membagi 2 sisi r.

Sin 30 = ½ = cos 60

Cos 30 = ½ = sin 60

Tg 30 = 1/3 = cotg 60

sec 30 = 2/3 = cosec 60

cosec 30= 2 = sec 60

cotg 30 = = tg 60

Grafik Sinus dan Kosinus

t Sin t Cos t

0 0 0

𝜋/6 ½ 3 /2

𝜋/4 2/2 2 /2

𝜋/3 3/2 1/2

𝜋/2 1 0

2𝜋/31

3/2-1/2

3𝜋/4 2 /2 - 2 /2

5𝜋/6 1/2 - 3 /2

𝜋 0 -1

4 hal:1. Sin t dan cos t berkisar -1 sampai 1.2. Kedua grafik berulang pada interval

yang berdampingan di sepanjang 2𝜋.3. Grafik y = sin t simetri terhadap titik

asal, dan y = cos t simetri terhadapsumbu y.

4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi digeser 𝜋/2 satuan ke kanan

Tambahkan gambar grafik…..

Periode dan amplitude Fungsi trigonometri

o Fungsi f dikatakan periodic jika terdapat suatu

bilangan p sedemikian rupa sehingga:

o F(x+P) = f(x)

o P = periode f.

o Fungsi sinus adalah periodic karena sin (x+12𝜋) =

sin x.

o Sin (x+4𝜋) = sin (x-2𝜋) = sin(x+12𝜋) = sin x

o Fungsi sinus dan cosinus periodic dengan 2𝜋.

o Fungsi sin(at) memiliki periode 2𝜋/a:

o Sin[a(t+2𝜋

𝑎)] = sin[at + 2𝜋] = sin (at)

Berapakah fungsi periodic berikut?a. Sin (2𝜋t) b. cos (2t) c. sin (2𝜋𝑡/12)

Jawab:

a.

Derajat Radian

0 0

30 𝜋/6

45 𝜋/4

60 𝜋/3

90 𝜋/2

120 2𝜋/3

135 3𝜋/4

150 5𝜋/6

180 𝜋

360 2𝜋

1800 = 𝜋 = 3.1415927 radian1 radian ≈ 57.2950

10= 0.0174533 radian

Fungsi trigonometri sudut yang lebih besar 90

atau yang negatif dapat diperoleh:

Sin (-α) = -sinα = -y/r

Cos (-α) = cos α = x/r

Tg (-α) = -tg α

Sin (180-α) = y/r = sin α

Cos (180-α) = -x/r = cos α

Tg (180-α) = ctg α

Sin (90 + α) = x/r = cos α

Cos (90 + α) = -y/r = -sin α

Tg (90 + α) = -cotg α

Sin (α± k2π) = sin α; k = 1,2,3

Fungsi dari jumlah sudut

Cos (α-β) = cos α . Cos β + sin α. Sinβ

Cos (α+β) = cos α . Cos β - sin α. Sinβ

Sin (α-β) = sin α . Cos β - cos α. Sinβ

sin (α+β) = sin α . Cos β + cos α. Sinβ

Identitas sudut ganda

Sin 2x = 2 sin x cos x

Cos 2x = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥

Limit

Luas lingkaran adalah limit dari poligon-poligon

beraturan ketika n (banyaknya sisi poligon)

meningkat tanpa batas.

grafik fungsi y = f(x) untuk a ≤ x ≤ b. grafik

berupa garis lurus, maka mudah dicari dengan

rumus jarak. Bagaimana dengan grafik

melengkung?

Makna Limit secara Intuisi

Bahwa ; berarti bahwa ketika x dekat

tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.

Limit dihubungkan dengan perilaku fungsi di dekat

c, bukan di c. makna dekat? Seberapa dekat adalah

dekat?.

Tak terdefinisi jika x = 1, karena

x

1,25 3,813

1,1 3,310

1,01 3,030

1,001 3,003

1,0 ?

0,999 2,997

0,99 2,970

0,9 2,710

0,75 2,313

1,25

1,1

1,011, 0010,9990,99

0,9

0,75

x y

3,813

3,310

3,030

3,003

2,997

2,970

2,710

2,313

Diagram skematis

= 12 +1+1 = 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

LIMIT SATU SISI

x c+ (x mendekati c dari kanan)

x c- (x mendekati c dari kiri)

LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN

berarti bahwa ketika x dekat

tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) dekat

ke L.

berarti bahwa ketika x dekat

tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) dekat ke

L.

4

3

2

1

1 2 3 4-4 -3 -2 -1

Pengkajian Mendalam Tentang Limit

Gunakan plot dari y = f(x) = 3x2 untuk menentukan

seberapa dekat x seharusnya ke 2 untuk menjamin

bahwa f(x) berada di dalam 0,05 dari 12.

Jawab:

11,95<f(x)<12,05.

Garis y = 11.95 dan 12,05. y = 3x2 , ,

sehingga

Interval untuk x = 1,99583 < x < 2,00416

14

13

12

11

10

1,6 1,8 2 2,2 2,4

y= 12,05

y= 11,95

y = 3x2

12,1512,112,051211,9511,911,85

y= 12,05

y= 11,95

1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,03 x

y = 3x2

x = 1,99583 < x < 2,00416

Pengertian presisi Limit

limx→c

f x = L, berarti bahwa untuk tiap ε > 0 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑝𝑢𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎 ,

𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝛿 > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehinggga |𝑓 𝑥 − 𝐿 | < εasalkan bahwa 0 < |𝑥 − 𝑐 | < 𝛿;

0 < |𝑥 − 𝑐 | < 𝛿 |𝑓 𝑥 − 𝐿 | < ε

Teorema Limit

1. lim𝑥→𝑐

𝑘 =𝑘

2. lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐

3. lim𝑥→𝑐

𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

4. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 + lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

5. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 − lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

6. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 . lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

7.lim𝑥→𝑐

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥

lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥, asalkan lim

𝑥→𝑐g(x) ≠ 0

8.lim𝑥→𝑐

[𝑓 𝑥 ]𝑛= [lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 ]𝑛

9. lim𝑥→𝑐

𝑛 lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥), asalkan lim𝑥→𝑐

f(x) > 0 ketka n genap.

Soal

1. limx→3

2x4 = 2 limx→3

x4 = 2 [limx→c

x]4 = 2[3]4= 162

2. limx→4

(3x2−2x) = limx→4

3x2 − limx→4

2x = 3 limx→4

x2− 2 limx→4

x

= 3 [limx→4

x]2− 2 limx→4

x = 3 4 2 − 2 4 = 40

3.limx→4

x2+9

x=

limx→4

x2+9

limx→4

x=

limx→4

(x2 +9)

4= 1/4 [lim

x→4x ]2+lim

x→49 =

1/4 [limx→4

x]2 + 9

= 1/4 42 + 9 =5

4

4. lim𝑥→3

𝑓 𝑥 = 4 𝑑𝑎𝑛 lim𝑥→3

𝑔 𝑥 = 8, 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑙𝑎ℎ

lim𝑥→3

[𝑓2 𝑥 .3𝑔 𝑥 ]

lim𝑥→3

[𝑓2 𝑥 .3𝑔 𝑥 ] = lim

𝑥→3𝑓2(x). lim

𝑥→3

3 𝑔(𝑥)

= [lim𝑥→3

𝑓(𝑥)]2. 3 lim𝑥→3

𝑔(𝑥)

= [4]2.38

= 32

Jika f(x) fungsi polynomial atau fungsi rasional

maka:

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)

lim𝑥→2

7𝑥5−10𝑥4−13𝑥+6

3𝑥2−6𝑥−8=

7.25−10.24−13.2+6

3.22−6.2−8= -

11

2

o lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥−1= lim

𝑥→1

𝑥−1 𝑥+1

𝑥−1= lim

𝑥→1𝑥 + 1 = 1+1=2

Carilah lim𝑥→1

𝑥2+3𝑥−10

𝑥2+𝑥−6

Limit di Tak hingga

Fungsi g(x) =𝑥

(1+𝑥2)

Ketika x semakin besar?

limt→∞

g x .

X ∞ : bahwa x semakin membesar tanpa batas.

x𝑥

(1 + 𝑥2)

10 0.099

100 0.010

1000 0.001

10000 0.0001

∞ ?

g(x) semakin kecil ketika x

semakin besar.

limx→∞

x

1+x2= 0

limx→−∞

x

1+x2= 0

limx→∞

x

1+x2= lim

x→∞

𝑥

𝑥2

1+𝑥2

𝑥2

= limx→∞

1

𝑥1

𝑥2+1

= limx→∞

limx→∞

1

𝑥

limx→∞

1

𝑥2+ limx→∞

1=

0

0+1=0

Soal:

limx→∞

2𝑥3

1+𝑥3

Limit Barisan

o Daerah asal beberapa fungsi adalah himpunan

bilangan asli {1,2,3…}.

o an ketimbang a(n), untuk menyatakan suku ke-n

atau {an}.o Barisan oleh an = n/(n+1)

o Ketika n menjadi besar :

a1=½, a2 =2/3, a3=¾, a4 =4/5,…. a100= 100/101,…

o Nilainya mendekati 1, sehingga limn→∞

an = 1

o limn→∞

n+1

n+2= lim

n→∞

n+1

n+2

1/2= lim

n→∞

n/n+1/n

n/n+2/n

1/2=

1+0

1+0

1/2=1

Limit Tak-Hingga

lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = ∞

F(x) dibuat sebesar yang diinginkan dengan mengambil xcukup dekat tetapi di kanan c.Contoh:

lim𝑥→1−

𝟏

𝒙−𝟏 𝟐 dan lim𝑥→1+

𝟏

𝒙−𝟏 𝟐

x y

2 1

3 0.25

4 0.111111

5 0.0625

6 0.04

7 0.027778

Sehingga:

lim𝑥→1−

1

𝑥−1 2 = ∞ dan lim𝑥→1+

1

𝑥−1 2 = ∞

o limx→2+

x+1

x2−5x+6= lim

x→2+

x+1

(x−3)(x−2)=

2+1

(2−3)(2−2)=

3

(−1)(0)=- ∞

o 1/ ∞ = 0

o 1/0 = ∞

Limit melibatkan fungsi Trigonometri

lim𝑡→𝑐

sin t = sin c

lim𝑡→𝑐

cos t = cos c

lim𝑡→𝑐

tan t = tanc c

lim𝑡→𝑐

sec t = sec c

lim𝑡→𝑐

csc t = csc c