NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI · 5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri...

20
1 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014 NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 0 o Jika titik ) , ( y x P menuju ) 0 , (r A , maka = 0, maka r x dan 0 y , sehingga r y α sin 0 0 0 sin r r x α cos 1 0 cos r r x y α tan 0 0 0 tan r y x α cot TD r 0 0 cot (Tidak Didefinisikan) x r α sec 1 0 sec r r y r α csc TD r 0 0 csc (Tidak Didefinisikan) 2. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 90 o Jika titik ) , ( y x P menuju ) , 0 ( r B , maka = 90 o , maka 0 x dan r y , sehingga r y α sin 1 0 9 sin r r r x α cos 0 0 90 cos r x y α tan TD r 0 90 tan (Tidak Didefinisikan) y x α cot 0 0 90 cot r x r α sec TD r 0 90 sec (Tidak Didefinisikan) y r α csc 1 90 csc r r 3. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 180 o Jika titik ) , ( y x P menuju ) 0 , ( r C , maka = 180 o , maka r x dan 0 y , sehingga r y α sin 0 0 80 1 sin r r x α cos 1 180 cos r r x y α tan 0 0 180 tan r y x α cot TD r 0 180 cot (Tidak Didefinisikan) x r α sec 1 180 sec r r y r α csc TD r 0 180 csc (Tidak Didefinisikan) X Y O A(r,0) B(0,r) C(r,0) D(0,r) P(x,y) r Gambar 1 x y X Y O A(r,0) B(0,r) C(r,0) D(0,r) P(x,y) r Gambar 2 x y X Y O A(r,0) B(0,r) C(r,0) D(0,r) P(x,y) r Gambar 3 y x

Transcript of NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI · 5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri...

1 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 0o

Jika titik ),( yxP menuju )0,(rA , maka = 0, maka rx dan 0y , sehingga

r

yαsin 0

00sin

r

r

xαcos 10cos

r

r

x

yαtan 0

00tan

r

y

xαcot TD

r

00cot (Tidak Didefinisikan)

x

rαsec 10sec

r

r

y

rαcsc TD

r

00csc (Tidak Didefinisikan)

2. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 90o

Jika titik ),( yxP menuju ),0( rB , maka = 90o, maka 0x dan ry , sehingga

r

yαsin 109sin

r

r

r

xαcos 0

090cos

r

x

yαtan TD

r

090tan (Tidak Didefinisikan)

y

xαcot 0

090cot

r

x

rαsec TD

r

090sec (Tidak Didefinisikan)

y

rαcsc 190csc

r

r

3. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 180o

Jika titik ),( yxP menuju )0,( rC , maka = 180o, maka rx dan 0y , sehingga

r

yαsin 0

0801sin

r

r

xαcos 1180cos

r

r

x

yαtan 0

0180tan

r

y

xαcot TD

r

0180cot (Tidak Didefinisikan)

x

rαsec 1180sec

r

r

y

rαcsc TD

r

0180csc (Tidak Didefinisikan)

X

Y

O A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y) r

Gambar 1

x

y

X

Y

O A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y) r

Gambar 2

x

y

X

Y

O A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y)

r

Gambar 3

y

x

2 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

4. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 270o

Jika titik ),( yxP menuju ),0( rD , maka = 270o, maka 0x dan ry , sehingga

r

yαsin 1270sin

r

r

r

xαcos 0

0270cos

r

x

yαtan TD

r

0270tan (Tidak Didefinisikan)

y

xαcot 0

0270cot

r

x

rαsec TD

r

0270sec (Tidak Didefinisikan)

y

rαcsc 1270csc

r

r

5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 360o

Jika titik ),( yxP menuju ),0( rA , maka = 360o, maka rx dan 0y , sehingga

r

yαsin 0

0360sin

r

r

xαcos 1360cos

r

r

x

yαtan 0

0360tan

r

y

xαcot TD

r

0360cot (Tidak Didefinisikan)

x

rαsec 1360sec

r

r

y

rαcsc TD

r

0360csc (Tidak Didefinisikan)

6. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 30o dan 60

o

Definisi:

Jika sudut-sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku besarnya adalah 30o dan 60

o, maka

perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa)

adalah 2:3:1 . Sebaliknya, Jika perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku

terpanjang, dan sisi miring dalam suatu segitiga siku-siku adalah 2:3:1 , maka sudut-sudut

dihadapan sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa) berturut-turut

adalah 30o, 60

o, dan 90

o.

X

Y

O A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y)

r

Gambar 4

y x

X

Y

O A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r) P(x,y)

r

Gambar 5

A

B

C

2

1

3

30o

60o

Gambar 6

2

103sin 3

1

330cot

32

1

2

330cos 3

3

2

3

230sec

33

1

3

130tan

1

230csc

3 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

7. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 45o

Definisi:

Jika kedua sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku masing-masing besarnya sama dengan 45o,

maka perbandingan (rasio) sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) adalah 2:1:1 .

Sebaliknya:

Jika perbandingan (rasio) kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) dalam suatu segitiga siku-

siku adalah 2:1:1 , maka sudut-sudut dihadapan kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa)

berturut-turut adalah 45o, 45

o, dan 90

o.

22

1

2

245sin

22

1

2

245cos

11

145tan

11

145cot

21

245sec

21

245csc

8. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 15o dan 75

o

1. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75

o

Menggunakan Pertolongan Geometri

Alternatif 1:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di C, dengan 60A dan 30B .

2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, segitiga ABD sama kaki.

Akibatnya 15BDABAD .

3. Ambillah AC = 1, maka AB = BD = 2, dan BC = 3 . Sehingga 32 CD .

Menurut Pythagoras:

22 CDACAD 22 321 348

2

8

2

8 pp

, dengan 4348

22 p (harus bilangan rasional)

2

48

2

48

26

Dengan demikian,

Perhatikan ACD siku-siku di C.

A

B

C

1

1

2

45o

45o

Gambar 7

32

1

2

360sin 3

3

1

3

160cot

2

106 osc

1

260sec

31

360tan 3

3

2

3

260csc

4 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

264

1

26

115sin

AD

AC

264

1

26

3215cos

AD

CD

3232

115tan

CD

AC

264

1

26

3275sin

AD

CD

264

1

26

175cos

AD

AC

321

3275tan

AC

CD

Alternatif 2:

1. Buatlah ACD siku-siku sama kaki, 90D dan AD = CD.

2. Buatlah BCD siku-siku di D, 30DBC dan 60BCD .

3. Perpanjang AC dan tarik garis tegak lurus dari titik B, sehingga memotong perpanjangan garis AC di

E, sehingga 15EBC dan 75BCE .

4. Ambillah AD = 1, maka

Perhatikan ADC , CD = AD = 1, dan AC = 2 .

Perhatikan BDC , 3BD dan 2BC .

Sehingga 31AB .

Perhatikan BEA siku-siku sama kaki,

dengan 90E dan BEAE .

262

1

2

31

2

ABBE

BECEACAE

262

12 CE

262

1CE

Dengan demikian,

Perhatikan BCE siku-siku di E:

26

4

1

2

262

1

15sin

BC

CE

26

4

1

2

262

1

15cos

BC

BE

32

262

1

262

1

15tan

BE

CE

26

4

1

2

262

1

75sin

BC

BE

60o

30o

15o

75o

A

D

C

E

45o

45o

Gambar 9

B

Gambar 8

60o

30o

75o

75o

75o

15o

15o

A

30o

15o

15o

A

B

C

D

5 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

26

4

1

2

262

1

75cos

BC

CE

32

262

1

262

1

75tan

CE

BE

Alternatif 3:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90B dan AB = BC.

2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, 30DAB dan 60ADB .

3. Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya

15DAC dan 75ADE .

4. Ambillah 3BCAB , maka

Perhatikan ABC : AC = 23 .

Perhatikan ABD : 3BD dan 32AD .

Sehingga 33 BDBCCD .

Perhatikan DEC siku-siku sama kaki, 90E , dengan DECE .

6232

1

2

33

2

CDDECE

6232

123 CEACAE 623

2

1

Dengan demikian,

Perhatikan ADE siku-siku di E:

26

4

1

32

6232

1

15sin

AD

DE

26

4

1

32

6232

1

15cos

AD

AE

32

6232

1

6232

1

15tan

AE

DE

26

4

1

32

6232

1

75sin

AD

AE

26

4

1

32

6232

1

75cos

AD

DE

32

6232

1

6232

1

75tan

DE

AE

Alternatif 4:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .

2. Buatlah segitiga ABD siku-siku sama kaki, 90B dan BDAB .

A

D

C

B

E

30o

15o

60o

45o

45o

75o

Gambar 10

6 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

3. Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya

15DAC dan 75ADE .

4. Ambillah 1AB , maka

Perhatikan ABC : 2AC dan 3BC .

Perhatikan ABD : 1BD dan 2AD .

Sehingga 13 BDBCCD .

Perhatikan DEC siku-siku di E.

132

1

2

CDDE

332

1313

2

13 DECE

312

133

2

12 CEACAE

Dengan demikian,

Perhatikan ADE siku-siku di E:

26

4

1

2

132

1

15sin

AD

DE

26

4

1

2

312

1

15cos

AD

AE

32

312

1

132

1

15tan

AE

DE

26

4

1

2

312

1

75sin

AD

AE

26

4

1

2

132

1

75cos

AD

DE

32

132

1

312

1

75tan

DE

AE

Alternatif 5:

1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, 75CB , 30A dan AB = AC.

2. Tarik garis tegak lurus dari titik B, ke sisi AC sehingga memotongnya di D. Akibatnya

15DBC dan 75BCD .

3. Ambillah 2 ACAB , maka

Perhatikan ABD : 1BD dan 3AD .

Sehingga 32 ADACCD .

Perhatikan BCD siku-siku di D.

Menurut Pythagoras:

22 CDBDBC 22 321 348

A

D

C

B

E

75o

45o

15o

45o

30o

60o

Gambar 11

7 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

2

8

2

8 pp

, karena 4348

22 p (harus bilangan rasional)

2

48

2

48

26

Dengan demikian,

Perhatikan BCD siku-siku di D:

264

1

26

3215sin

BC

CD

264

1

26

115cos

BC

BD

321

3215tan

BD

CD

264

1

26

175sin

BC

BD

264

1

26

3275cos

BC

CD

3232

175tan

CD

BD

Alternatif 6:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .

2. Buatlah garis bagi CD. Akibatnya 15BCD dan 75BDC .

3. Ambillah 2AC , maka 1AB dan 3BC

4. Menentukan panjang CD menggunakan Dalil Garis Bagi:

3:2:: CBCADBDA

DBDA 23

32

1ADBD

1AB

1 BDAD

132

1 ADAD

232 AD

32

2

AD 324

33232432

13

2

1 ADBD

DBADBCACCD 2

332324322 CD 3612123832 31224

31224 CD 3362 , karena 333622 p (harus bilangan rasional)

2

36

2

362 623

2

12 623

A

D

C

B

60o

15o

30o

75o

Gambar 12

A D

B

C

15o 15

o

60o

75o

Gambar 13

8 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

Menentukan panjang CD dengan menggumakan Dalil Pythagoras:

Perhatikan BCD siku-siku di B, dengan 3BC dan 332 BD

222 BDBCCD

222 3323 CD 31224

31224 CD2

8

2

8 pp

, karena 1231224

22 p (harus bilangan rasional)

2

1224

2

1224

623

Dengan demikian,

Perhatikan BCD siku-siku di B:

264

1

623

33215sin

CD

BD

264

1

623

315cos

CD

BC

323

33215tan

BC

BD

264

1

623

375sin

CD

BC

264

1

623

33275cos

CD

BD

32332

375tan

BC

BD

Alternatif 7:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .

2. Bagilah sudut A menjadi 4 bagian yang sama besar.

Akibatnya 15FACEAFDAEBCD , 75BAD , dan 60BEA .

3. Ambillah 2AC , maka 1AB dan 3BC

4. Perhatikan segitiga BEA siku-siku di B, dengan

60BEA , 30BAE , dan 1AB

3

1BE dan

3

2AE

3

2:1:: AEABDEBD

DEBD3

2

3

1BE

3

1 DEBD

3

1

3

2 BDBD

E

D

B

F

A

C

75o

15o

15o

15o

15o

30o

Gambar 14

9 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

132 BD

32 BD

Perhatikan ABD siku-siku di B, dengan 32 BD dan 1AB

22 BDABAD 22 321 348

2

8

2

8 pp

, karena 4348

22 p (bilangan rasional)

2

48

2

48

26

Dengan demikian,

Perhatikan ABD siku-siku di B:

264

1

26

3215sin

AD

BD

264

1

26

115cos

AD

AB

321

3215tan

AB

BD

264

1

26

175sin

AD

AB

264

1

26

3275cos

AD

BD

3232

175tan

BD

AB

2. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75

o

Menggunakan Pertolongan Geometri Aturan Kosinus atau Aturan Sinus, dan Sudut

Berelasi.

Alternatif 1:

1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan 75BA , 30C , dan BCAC .

2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D. Akibatnya BDAD .

3. Ambillah 1BCAC .

Menurut Aturan Kosinus:

CBCACBCACAB cos2222

30cos11211 222AB 32

32 AB

2

2

2

2 pp

, dengan 132

22 p (rasional)

2

12

2

12

26

2

1

264

1

2

1 ABBDAD

4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan 75DAC , D

B

A

C

15o 15

o

75o

75o

Gambar 15

10 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

15ACD , 1AC , dan 264

1AD

Menurut Pythagoras:

22 ADACCD 2

2 264

11

32

2

1

2

8

2

8

2

1 pp , karena karena 132

22 p (harus bilangan rasional)

2

12

2

12

2

1 264

1

Dengan demikian,

Perhatikan ACD siku-siku di B:

26

4

1

1

264

1

15sin

AC

AD

26

4

1

1

264

1

15cos

AC

CD

32

264

1

264

1

15tan

CD

AD

26

4

1

1

264

1

75sin

AC

CD

26

4

1

1

264

1

75cos

AC

AD

32

264

1

264

1

75tan

AD

CD

Alternatif 2:

1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan 15BA , 150C , dan BCAC .

2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D, sehingga BDAD .

3. Ambillah 1BCAC .

Menurut Aturan Kosinus:

CBCACBCACAB cos2222

150cos11211 222AB

322 AB

32 AB2

8

2

8 pp

, karena 132

22 p (harus bilangan rasional)

2

12

2

12

26

2

1

11 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

264

1

2

1 ABBDAD

4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan 15DAC ,

75ACD , 1AC , dan 264

1AD

Menurut Pythagoras:

22 ADACCD 2

2 264

11

32

2

1

2

8

2

8

2

1 pp, karena karena 132

22 p (harus bilangan rasional)

2

12

2

12

2

1 264

1

Dengan demikian,

Perhatikan ACD siku-siku di B:

26

4

1

1

264

1

15sin

AC

CD

26

4

1

1

264

1

15cos

AC

AD

32

264

1

264

1

15tan

AD

CD

26

4

1

1

264

1

75sin

AC

AD

26

4

1

1

264

1

75cos

AC

CD

32

264

1

264

1

75tan

CD

AD

Alternatif 3:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90B dan AB = BC.

2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, 30DAB dan 60ADB . Sehingga 15DAC dan

120ADC .

3. Ambillah 3BCAB , maka

Perhatikan ABC : AC = 23 .

Perhatikan ABD : 3BD dan 32AD .

Sehingga 33 BDBCCD .

Menurut Aturan Kosinus dalam ADC .

C D

B

A

15o

15o

75o

75o

Gambar 16

12 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

ADAC

CDADACDAC

2cos

222

32232

33322315cos

222

612

36121218

62

33

264

1

Menggunakan Aturan Sinus.

Menurut Aturan Sinus dalam ADC .

ACD

AD

DAC

CD

sinsin

45sin

32

15sin

33

45sin32

3315sin 2

2

1

32

33

26

4

1

Selanjutnya kita dapat menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan

perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.

22 BCACAB 22 264 348

2

8

2

8 pp

, karena 4348

22 p (harus bilangan rasional)

2

48

2

48

26

264

1

4

2615sin

PR

PQ

3226

2615tan

QR

PQ

264

1

4

2675sin

PR

QR

264

1

4

2675cos

PR

PQ

3226

2675tan

PQ

QR

Setelah diperoleh 264

115cos , kita dapat menentukan perbandingan fungsi

trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoran dan sudut berelasi.

xx 22 cos1sin

15cos115sin 22 2

264

11

32

4

11

4

32

A

D

C

B

30o

15o

60o

45o

120o

Gambar 17

P

R

Q

75o

15o

26 4

Gambar 18

13 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

4

3215sin

32

2

1

2

2

2

2

2

1 pp, dengan 132

22 p (harus bilangan rasional)

2

12

2

12

2

1 264

1

32

264

1

264

1

15cos

15sin15tan

264

115sin 26

4

17590sin

264

175cos

264

115cos 26

4

17590cos

264

175sin

3215tan 327590tan

3275cot

3232

175tan

Alternatif 4:

1. Buatlah ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .

2. Buatlah ABD siku-siku sama kaki, 90B dan BDAB .

Sehingga 15DAC dan 135ADC .

3. Ambillah 1AB , maka

Perhatikan ABC : AC = 2 dan 3BC .

Perhatikan ABD : 1 BDAB dan 2AD .

Sehingga 13 BDBCCD .

Menurut Aturan Kosinus dalam ADC .

ADAC

CDADACDAC

2cos

222

222

132215cos

222

24

32424

24

322 26

4

1

Kita juga dapat menggunakan Aturan Sinus sebagai berikut.

Menurut Aturan Sinus dalam ADC .

ACD

AD

DAC

CD

sinsin

30sin

2

15sin

13

A

D

C

B

135o

45o

15o

45o

30o

Gambar 19

14 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

30sin2

1315sin

2

1

2

13

26

4

1

Selanjutnya kita dapat menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan

perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.

22 QRPRPQ 22 264 348

2

2

2

2 pp

, denan 4348

22 p (harus bilangan rasional)

2

48

2

48

26

264

1

4

2615sin

PR

PQ

3226

2615tan

QR

PQ

264

1

4

2675sin

PR

QR

264

1

4

2675cos

PR

PQ

3226

2675tan

PQ

QR

Setelah ditemukan 264

115cos , kita dapat menentukan perbandingan fungsi

trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoras dan sudut berelasi.

xx 22 cos1sin

15cos115sin 22 2

264

11

32

4

11

4

32

4

3215sin

32

2

1

2

2

2

2

2

1 pp, dengan 132

22 p (harus bilangan rasional)

2

12

2

12

2

1 264

1

32

264

1

264

1

15cos

15sin15tan

264

115sin 26

4

17590sin

264

175cos

264

115cos 26

4

17590cos

P

R

Q

75o

15o

26 4

Gambar 20

15 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

264

175sin

3215tan 327590tan

3275cot

3232

175tan

3. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75

o

Menggunakan Pertolongan Perbandingan Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

dan Sudut Rangkap

1. Menentukan 15sin

Alternatif 1:

3045sin15sin 30sin45cos30cos45sin2

12

2

13

2

12

2

1 26

4

1

Alternatif 2:

4560sin15sin 45sin60cos45cos60sin 22

1

2

12

2

13

2

1 26

4

1

Alternatif 3:

xxx 22 sincos2cos

xx 2sin212cos 2

2cos1sin

xx

, x sudut lancip

2

30cos115sin

2

2

31

322

1

2

2

2

2

2

1 pp, denan 132

22 p (hrus bilangan rasional)

2

12

2

12

26

2

1

Alternatif 4:

15x

906x

xx 4902

xx 490sin2sin

xx 4cos2sin

xx 2sin212sin 2

012sin2sin2 2 xx

4

8112sin

x

4

31 , dengan ( 02sin x )

2

12sin x

1cossin4 xx

1sin1sin4 2 xx

1sin1sin16 22 xx

16 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

01sin16sin16 24 xx

32

6425616sin2

x32

3816

4

32 , dengan 0sin x

4

32sin2

x (diterima) atau 4

32sin2

x (ditolak)

4

32sin

x 32

2

1

2

2

2

2

2

1 pp, karena 132

22 p (bilangan rasional)

2

12

2

12

2

1 264

1

264

115sin

2. Menentukan 15cos

Alternatif 1:

3045cos15cos 30sin45sin30cos45cos2

12

2

13

2

12

2

1

264

1

Alternatif 2:

4560cos15cos 45sin60sin45cos60cos 22

13

2

12

2

1

2

1

264

1

Alternatif 3:

xxx 22 sincos2cos

1cos22cos 2 xx 2

2cos1cos

xx

, x sudut lancip

2

30cos115cos

2

2

31

322

1

2

2

2

2

2

1 pp , karena 132

22 p (harus bilangan rasional)

2

12

2

12

26

2

1

Alternatif 4:

15x

906x

xx 4902

xx 490cos2cos

xx 4sin2cos

17 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

xxx 2cos2sin22cos , dengan 02cos x

12sin2 x

012sin2 x

01cossin4 xx

1cos1cos4 2 xx

1cos1cos16 22 xx

01cos16cos16 24 xx

32

6425616cos2

x32

3816

4

32 , dengan 0cos x

4

32cos2

x (ditolak) atau 4

32cos2

x (diterima)

4

32cos

x 32

2

1

2

2

2

2

2

1 pp, karena 132

22 p (bilangan rasional)

2

12

2

12

2

1 264

1

264

115cos

3. Menentukan 15tan

Alternatif 1:

3045tan15tan

30tan45tan1

30tan45tan

33

111

33

11

33

33

32

Alternatif 2:

4560tan15tan

45tan60tan1

45tan60tan

131

13

13

13

32

Alternatif 3:

x

xx

cos1

cos1

2tan

30cos1

30cos115tan

32

11

32

11

32

32

34

322

32

Alternatif 4:

x

xx

2tan1

tan22tan

xxxx tan2tan2tan2tan 2

02tantan2tan2tan 2 xxxx

18 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

x

xx

2tan2

2tan442tan

2

x

x

2tan

2tan11 2

Karena x sudut lancip, maka x

xx

2tan

2tan11tan

2

30tan

30tan1115tan

2

3

1

3

111

2

3

1

33

21

32

Alternatif 5:

15x

906x

xx 4902

xx 490tan2tan

xx 4cot2tan

14tan2tan xx

12tan1

2tan22tan

2

x

xx

xx 2tan12tan2 22

12tan3 2 x , dengan 02tan x

3

12tan x

3

1

tan1

tan22

x

x

xx 2tan1tan32

01tan32tan 2 xx

2

41232tan

x

2

432 23 , dengan 0tan x

32tan x (ditolak) atau 32tan x (diterima)

3215tan

4. Menentukan 75sin

Alternatif 1:

3045sin75sin 30sin45cos30cos45sin2

12

2

13

2

12

2

1 26

4

1

Alternatif 2:

xxx 22 sincos2cos

xx 2sin212cos 2

2cos1sin

xx

, x sudut lancip

2

150cos175sin

2

2

31

322

1

19 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

2

2

2

2

2

1 pp, karena 132

22 p (hrus bilangan rasional)

2

12

2

12

26

2

1

5. Menentukan 75cos

Alternatif 1:

3045cos75cos 30sin45sin30cos45cos2

12

2

13

2

12

2

1 26

4

1

Alternatif 2:

xxx 22 sincos2cos

1cos22cos 2 xx

2

2cos1cos

xx

, x sudut lancip

2

150cos175cos

2

2

31

322

1

2

2

2

2

2

1 pp , karena 132

22 p (harus bilangan rasional)

2

12

2

12

26

2

1

6. Menentukan 75tan

Alternatif 1:

3045tan75tan

30tan45tan1

30tan45tan

33

111

33

11

33

33

32

Alternatif 2:

x

xx

cos1

cos1

2tan

150cos1

150cos175tan

32

11

32

11

32

32

34

322

32

Alternatif 3:

x

xx

2tan1

tan22tan

xxxx tan2tan2tan2tan 2

02tantan2tan2tan 2 xxxx

x

xx

2tan2

2tan442tan

2

x

x

2tan

2tan11 2

Karena x2 sudut tumpul, maka x

xx

2tan

2tan11tan

2

20 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

150tan

150tan1175tan

2

3

1

3

111

2

3

1

33

21

32

9. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 22,5o dan 67,5

o

1. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 22,5o dan 67,5

o

Menggunakan Pertolongan Geometri

Alternatif 1:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90C dan BCAC .

2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, ABD sama kaki.

Akibatnya 5,22BDABAD .

3. Ambillah AC = BC = 1, maka AB = 2 dan 21CD .

Perhatikan segitiga ACD siku-siku di C.

Menurut Pythagoras:

22 CDACAD 22 211 224

Dengan demikian,

Perhatikan ACD siku-siku di C.

224

1

224

15,22sin

AD

AC

224

224

224

1

8

224 22

2

1

224

223

224

215,22cos

AD

CD

224

224

224

223

8

8282612 22

2

1

1221

15,22tan

CD

AC

224

215,67sin

AD

CD22

2

1

224

15,67cos

AD

AC22

2

1

211

215,67tan

AC

CD

Alternatif 2:

1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, 45A , 5,67CB , dan ABAC .

2. Tarik garis tegak lurus dari titik B ke sisi AC dan memotongnya di titik D. Sehingga 45ABD ,

5,22DBC , dan 5,67BCD .

3. Ambillah 2 ACAB , maka 1 BDAD . Sehingga 12 CD .

Menurut Pythagoras:

22 CDBDBC 22 121 224

Dengan demikian,

Perhatikan BCD siku-siku di D.

45o

45o

22,5o

22,5o

A

D

C

B

Gambar 21