NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI · 5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri...
Transcript of NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI · 5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri...
1 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI
1. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 0o
Jika titik ),( yxP menuju )0,(rA , maka = 0, maka rx dan 0y , sehingga
r
yαsin 0
00sin
r
r
xαcos 10cos
r
r
x
yαtan 0
00tan
r
y
xαcot TD
r
00cot (Tidak Didefinisikan)
x
rαsec 10sec
r
r
y
rαcsc TD
r
00csc (Tidak Didefinisikan)
2. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 90o
Jika titik ),( yxP menuju ),0( rB , maka = 90o, maka 0x dan ry , sehingga
r
yαsin 109sin
r
r
r
xαcos 0
090cos
r
x
yαtan TD
r
090tan (Tidak Didefinisikan)
y
xαcot 0
090cot
r
x
rαsec TD
r
090sec (Tidak Didefinisikan)
y
rαcsc 190csc
r
r
3. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 180o
Jika titik ),( yxP menuju )0,( rC , maka = 180o, maka rx dan 0y , sehingga
r
yαsin 0
0801sin
r
r
xαcos 1180cos
r
r
x
yαtan 0
0180tan
r
y
xαcot TD
r
0180cot (Tidak Didefinisikan)
x
rαsec 1180sec
r
r
y
rαcsc TD
r
0180csc (Tidak Didefinisikan)
X
Y
O A(r,0)
B(0,r)
C(r,0)
D(0,r)
P(x,y) r
Gambar 1
x
y
X
Y
O A(r,0)
B(0,r)
C(r,0)
D(0,r)
P(x,y) r
Gambar 2
x
y
X
Y
O A(r,0)
B(0,r)
C(r,0)
D(0,r)
P(x,y)
r
Gambar 3
y
x
2 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
4. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 270o
Jika titik ),( yxP menuju ),0( rD , maka = 270o, maka 0x dan ry , sehingga
r
yαsin 1270sin
r
r
r
xαcos 0
0270cos
r
x
yαtan TD
r
0270tan (Tidak Didefinisikan)
y
xαcot 0
0270cot
r
x
rαsec TD
r
0270sec (Tidak Didefinisikan)
y
rαcsc 1270csc
r
r
5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 360o
Jika titik ),( yxP menuju ),0( rA , maka = 360o, maka rx dan 0y , sehingga
r
yαsin 0
0360sin
r
r
xαcos 1360cos
r
r
x
yαtan 0
0360tan
r
y
xαcot TD
r
0360cot (Tidak Didefinisikan)
x
rαsec 1360sec
r
r
y
rαcsc TD
r
0360csc (Tidak Didefinisikan)
6. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 30o dan 60
o
Definisi:
Jika sudut-sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku besarnya adalah 30o dan 60
o, maka
perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa)
adalah 2:3:1 . Sebaliknya, Jika perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku
terpanjang, dan sisi miring dalam suatu segitiga siku-siku adalah 2:3:1 , maka sudut-sudut
dihadapan sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa) berturut-turut
adalah 30o, 60
o, dan 90
o.
X
Y
O A(r,0)
B(0,r)
C(r,0)
D(0,r)
P(x,y)
r
Gambar 4
y x
X
Y
O A(r,0)
B(0,r)
C(r,0)
D(0,r) P(x,y)
r
Gambar 5
A
B
C
2
1
3
30o
60o
Gambar 6
2
103sin 3
1
330cot
32
1
2
330cos 3
3
2
3
230sec
33
1
3
130tan
1
230csc
3 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
7. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 45o
Definisi:
Jika kedua sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku masing-masing besarnya sama dengan 45o,
maka perbandingan (rasio) sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) adalah 2:1:1 .
Sebaliknya:
Jika perbandingan (rasio) kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) dalam suatu segitiga siku-
siku adalah 2:1:1 , maka sudut-sudut dihadapan kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa)
berturut-turut adalah 45o, 45
o, dan 90
o.
22
1
2
245sin
22
1
2
245cos
11
145tan
11
145cot
21
245sec
21
245csc
8. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 15o dan 75
o
1. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75
o
Menggunakan Pertolongan Geometri
Alternatif 1:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di C, dengan 60A dan 30B .
2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, segitiga ABD sama kaki.
Akibatnya 15BDABAD .
3. Ambillah AC = 1, maka AB = BD = 2, dan BC = 3 . Sehingga 32 CD .
Menurut Pythagoras:
22 CDACAD 22 321 348
2
8
2
8 pp
, dengan 4348
22 p (harus bilangan rasional)
2
48
2
48
26
Dengan demikian,
Perhatikan ACD siku-siku di C.
A
B
C
1
1
2
45o
45o
Gambar 7
32
1
2
360sin 3
3
1
3
160cot
2
106 osc
1
260sec
31
360tan 3
3
2
3
260csc
4 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
264
1
26
115sin
AD
AC
264
1
26
3215cos
AD
CD
3232
115tan
CD
AC
264
1
26
3275sin
AD
CD
264
1
26
175cos
AD
AC
321
3275tan
AC
CD
Alternatif 2:
1. Buatlah ACD siku-siku sama kaki, 90D dan AD = CD.
2. Buatlah BCD siku-siku di D, 30DBC dan 60BCD .
3. Perpanjang AC dan tarik garis tegak lurus dari titik B, sehingga memotong perpanjangan garis AC di
E, sehingga 15EBC dan 75BCE .
4. Ambillah AD = 1, maka
Perhatikan ADC , CD = AD = 1, dan AC = 2 .
Perhatikan BDC , 3BD dan 2BC .
Sehingga 31AB .
Perhatikan BEA siku-siku sama kaki,
dengan 90E dan BEAE .
262
1
2
31
2
ABBE
BECEACAE
262
12 CE
262
1CE
Dengan demikian,
Perhatikan BCE siku-siku di E:
26
4
1
2
262
1
15sin
BC
CE
26
4
1
2
262
1
15cos
BC
BE
32
262
1
262
1
15tan
BE
CE
26
4
1
2
262
1
75sin
BC
BE
60o
30o
15o
75o
A
D
C
E
45o
45o
Gambar 9
B
Gambar 8
60o
30o
75o
75o
75o
15o
15o
A
30o
15o
15o
A
B
C
D
5 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
26
4
1
2
262
1
75cos
BC
CE
32
262
1
262
1
75tan
CE
BE
Alternatif 3:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90B dan AB = BC.
2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, 30DAB dan 60ADB .
3. Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya
15DAC dan 75ADE .
4. Ambillah 3BCAB , maka
Perhatikan ABC : AC = 23 .
Perhatikan ABD : 3BD dan 32AD .
Sehingga 33 BDBCCD .
Perhatikan DEC siku-siku sama kaki, 90E , dengan DECE .
6232
1
2
33
2
CDDECE
6232
123 CEACAE 623
2
1
Dengan demikian,
Perhatikan ADE siku-siku di E:
26
4
1
32
6232
1
15sin
AD
DE
26
4
1
32
6232
1
15cos
AD
AE
32
6232
1
6232
1
15tan
AE
DE
26
4
1
32
6232
1
75sin
AD
AE
26
4
1
32
6232
1
75cos
AD
DE
32
6232
1
6232
1
75tan
DE
AE
Alternatif 4:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .
2. Buatlah segitiga ABD siku-siku sama kaki, 90B dan BDAB .
A
D
C
B
E
30o
15o
60o
45o
45o
75o
Gambar 10
6 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
3. Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya
15DAC dan 75ADE .
4. Ambillah 1AB , maka
Perhatikan ABC : 2AC dan 3BC .
Perhatikan ABD : 1BD dan 2AD .
Sehingga 13 BDBCCD .
Perhatikan DEC siku-siku di E.
132
1
2
CDDE
332
1313
2
13 DECE
312
133
2
12 CEACAE
Dengan demikian,
Perhatikan ADE siku-siku di E:
26
4
1
2
132
1
15sin
AD
DE
26
4
1
2
312
1
15cos
AD
AE
32
312
1
132
1
15tan
AE
DE
26
4
1
2
312
1
75sin
AD
AE
26
4
1
2
132
1
75cos
AD
DE
32
132
1
312
1
75tan
DE
AE
Alternatif 5:
1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, 75CB , 30A dan AB = AC.
2. Tarik garis tegak lurus dari titik B, ke sisi AC sehingga memotongnya di D. Akibatnya
15DBC dan 75BCD .
3. Ambillah 2 ACAB , maka
Perhatikan ABD : 1BD dan 3AD .
Sehingga 32 ADACCD .
Perhatikan BCD siku-siku di D.
Menurut Pythagoras:
22 CDBDBC 22 321 348
A
D
C
B
E
75o
45o
15o
45o
30o
60o
Gambar 11
7 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
2
8
2
8 pp
, karena 4348
22 p (harus bilangan rasional)
2
48
2
48
26
Dengan demikian,
Perhatikan BCD siku-siku di D:
264
1
26
3215sin
BC
CD
264
1
26
115cos
BC
BD
321
3215tan
BD
CD
264
1
26
175sin
BC
BD
264
1
26
3275cos
BC
CD
3232
175tan
CD
BD
Alternatif 6:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .
2. Buatlah garis bagi CD. Akibatnya 15BCD dan 75BDC .
3. Ambillah 2AC , maka 1AB dan 3BC
4. Menentukan panjang CD menggunakan Dalil Garis Bagi:
3:2:: CBCADBDA
DBDA 23
32
1ADBD
1AB
1 BDAD
132
1 ADAD
232 AD
32
2
AD 324
33232432
13
2
1 ADBD
DBADBCACCD 2
332324322 CD 3612123832 31224
31224 CD 3362 , karena 333622 p (harus bilangan rasional)
2
36
2
362 623
2
12 623
A
D
C
B
60o
15o
30o
75o
Gambar 12
A D
B
C
15o 15
o
60o
75o
Gambar 13
8 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
Menentukan panjang CD dengan menggumakan Dalil Pythagoras:
Perhatikan BCD siku-siku di B, dengan 3BC dan 332 BD
222 BDBCCD
222 3323 CD 31224
31224 CD2
8
2
8 pp
, karena 1231224
22 p (harus bilangan rasional)
2
1224
2
1224
623
Dengan demikian,
Perhatikan BCD siku-siku di B:
264
1
623
33215sin
CD
BD
264
1
623
315cos
CD
BC
323
33215tan
BC
BD
264
1
623
375sin
CD
BC
264
1
623
33275cos
CD
BD
32332
375tan
BC
BD
Alternatif 7:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .
2. Bagilah sudut A menjadi 4 bagian yang sama besar.
Akibatnya 15FACEAFDAEBCD , 75BAD , dan 60BEA .
3. Ambillah 2AC , maka 1AB dan 3BC
4. Perhatikan segitiga BEA siku-siku di B, dengan
60BEA , 30BAE , dan 1AB
3
1BE dan
3
2AE
3
2:1:: AEABDEBD
DEBD3
2
3
1BE
3
1 DEBD
3
1
3
2 BDBD
E
D
B
F
A
C
75o
15o
15o
15o
15o
30o
Gambar 14
9 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
132 BD
32 BD
Perhatikan ABD siku-siku di B, dengan 32 BD dan 1AB
22 BDABAD 22 321 348
2
8
2
8 pp
, karena 4348
22 p (bilangan rasional)
2
48
2
48
26
Dengan demikian,
Perhatikan ABD siku-siku di B:
264
1
26
3215sin
AD
BD
264
1
26
115cos
AD
AB
321
3215tan
AB
BD
264
1
26
175sin
AD
AB
264
1
26
3275cos
AD
BD
3232
175tan
BD
AB
2. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75
o
Menggunakan Pertolongan Geometri Aturan Kosinus atau Aturan Sinus, dan Sudut
Berelasi.
Alternatif 1:
1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan 75BA , 30C , dan BCAC .
2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D. Akibatnya BDAD .
3. Ambillah 1BCAC .
Menurut Aturan Kosinus:
CBCACBCACAB cos2222
30cos11211 222AB 32
32 AB
2
2
2
2 pp
, dengan 132
22 p (rasional)
2
12
2
12
26
2
1
264
1
2
1 ABBDAD
4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan 75DAC , D
B
A
C
15o 15
o
75o
75o
Gambar 15
10 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
15ACD , 1AC , dan 264
1AD
Menurut Pythagoras:
22 ADACCD 2
2 264
11
32
2
1
2
8
2
8
2
1 pp , karena karena 132
22 p (harus bilangan rasional)
2
12
2
12
2
1 264
1
Dengan demikian,
Perhatikan ACD siku-siku di B:
26
4
1
1
264
1
15sin
AC
AD
26
4
1
1
264
1
15cos
AC
CD
32
264
1
264
1
15tan
CD
AD
26
4
1
1
264
1
75sin
AC
CD
26
4
1
1
264
1
75cos
AC
AD
32
264
1
264
1
75tan
AD
CD
Alternatif 2:
1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan 15BA , 150C , dan BCAC .
2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D, sehingga BDAD .
3. Ambillah 1BCAC .
Menurut Aturan Kosinus:
CBCACBCACAB cos2222
150cos11211 222AB
322 AB
32 AB2
8
2
8 pp
, karena 132
22 p (harus bilangan rasional)
2
12
2
12
26
2
1
11 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
264
1
2
1 ABBDAD
4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan 15DAC ,
75ACD , 1AC , dan 264
1AD
Menurut Pythagoras:
22 ADACCD 2
2 264
11
32
2
1
2
8
2
8
2
1 pp, karena karena 132
22 p (harus bilangan rasional)
2
12
2
12
2
1 264
1
Dengan demikian,
Perhatikan ACD siku-siku di B:
26
4
1
1
264
1
15sin
AC
CD
26
4
1
1
264
1
15cos
AC
AD
32
264
1
264
1
15tan
AD
CD
26
4
1
1
264
1
75sin
AC
AD
26
4
1
1
264
1
75cos
AC
CD
32
264
1
264
1
75tan
CD
AD
Alternatif 3:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90B dan AB = BC.
2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, 30DAB dan 60ADB . Sehingga 15DAC dan
120ADC .
3. Ambillah 3BCAB , maka
Perhatikan ABC : AC = 23 .
Perhatikan ABD : 3BD dan 32AD .
Sehingga 33 BDBCCD .
Menurut Aturan Kosinus dalam ADC .
C D
B
A
15o
15o
75o
75o
Gambar 16
12 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
ADAC
CDADACDAC
2cos
222
32232
33322315cos
222
612
36121218
62
33
264
1
Menggunakan Aturan Sinus.
Menurut Aturan Sinus dalam ADC .
ACD
AD
DAC
CD
sinsin
45sin
32
15sin
33
45sin32
3315sin 2
2
1
32
33
26
4
1
Selanjutnya kita dapat menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan
perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.
22 BCACAB 22 264 348
2
8
2
8 pp
, karena 4348
22 p (harus bilangan rasional)
2
48
2
48
26
264
1
4
2615sin
PR
PQ
3226
2615tan
QR
PQ
264
1
4
2675sin
PR
QR
264
1
4
2675cos
PR
PQ
3226
2675tan
PQ
QR
Setelah diperoleh 264
115cos , kita dapat menentukan perbandingan fungsi
trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoran dan sudut berelasi.
xx 22 cos1sin
15cos115sin 22 2
264
11
32
4
11
4
32
A
D
C
B
30o
15o
60o
45o
120o
Gambar 17
P
R
Q
75o
15o
26 4
Gambar 18
13 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
4
3215sin
32
2
1
2
2
2
2
2
1 pp, dengan 132
22 p (harus bilangan rasional)
2
12
2
12
2
1 264
1
32
264
1
264
1
15cos
15sin15tan
264
115sin 26
4
17590sin
264
175cos
264
115cos 26
4
17590cos
264
175sin
3215tan 327590tan
3275cot
3232
175tan
Alternatif 4:
1. Buatlah ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .
2. Buatlah ABD siku-siku sama kaki, 90B dan BDAB .
Sehingga 15DAC dan 135ADC .
3. Ambillah 1AB , maka
Perhatikan ABC : AC = 2 dan 3BC .
Perhatikan ABD : 1 BDAB dan 2AD .
Sehingga 13 BDBCCD .
Menurut Aturan Kosinus dalam ADC .
ADAC
CDADACDAC
2cos
222
222
132215cos
222
24
32424
24
322 26
4
1
Kita juga dapat menggunakan Aturan Sinus sebagai berikut.
Menurut Aturan Sinus dalam ADC .
ACD
AD
DAC
CD
sinsin
30sin
2
15sin
13
A
D
C
B
135o
45o
15o
45o
30o
Gambar 19
14 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
30sin2
1315sin
2
1
2
13
26
4
1
Selanjutnya kita dapat menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan
perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.
22 QRPRPQ 22 264 348
2
2
2
2 pp
, denan 4348
22 p (harus bilangan rasional)
2
48
2
48
26
264
1
4
2615sin
PR
PQ
3226
2615tan
QR
PQ
264
1
4
2675sin
PR
QR
264
1
4
2675cos
PR
PQ
3226
2675tan
PQ
QR
Setelah ditemukan 264
115cos , kita dapat menentukan perbandingan fungsi
trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoras dan sudut berelasi.
xx 22 cos1sin
15cos115sin 22 2
264
11
32
4
11
4
32
4
3215sin
32
2
1
2
2
2
2
2
1 pp, dengan 132
22 p (harus bilangan rasional)
2
12
2
12
2
1 264
1
32
264
1
264
1
15cos
15sin15tan
264
115sin 26
4
17590sin
264
175cos
264
115cos 26
4
17590cos
P
R
Q
75o
15o
26 4
Gambar 20
15 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
264
175sin
3215tan 327590tan
3275cot
3232
175tan
3. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75
o
Menggunakan Pertolongan Perbandingan Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
dan Sudut Rangkap
1. Menentukan 15sin
Alternatif 1:
3045sin15sin 30sin45cos30cos45sin2
12
2
13
2
12
2
1 26
4
1
Alternatif 2:
4560sin15sin 45sin60cos45cos60sin 22
1
2
12
2
13
2
1 26
4
1
Alternatif 3:
xxx 22 sincos2cos
xx 2sin212cos 2
2cos1sin
xx
, x sudut lancip
2
30cos115sin
2
2
31
322
1
2
2
2
2
2
1 pp, denan 132
22 p (hrus bilangan rasional)
2
12
2
12
26
2
1
Alternatif 4:
15x
906x
xx 4902
xx 490sin2sin
xx 4cos2sin
xx 2sin212sin 2
012sin2sin2 2 xx
4
8112sin
x
4
31 , dengan ( 02sin x )
2
12sin x
1cossin4 xx
1sin1sin4 2 xx
1sin1sin16 22 xx
16 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
01sin16sin16 24 xx
32
6425616sin2
x32
3816
4
32 , dengan 0sin x
4
32sin2
x (diterima) atau 4
32sin2
x (ditolak)
4
32sin
x 32
2
1
2
2
2
2
2
1 pp, karena 132
22 p (bilangan rasional)
2
12
2
12
2
1 264
1
264
115sin
2. Menentukan 15cos
Alternatif 1:
3045cos15cos 30sin45sin30cos45cos2
12
2
13
2
12
2
1
264
1
Alternatif 2:
4560cos15cos 45sin60sin45cos60cos 22
13
2
12
2
1
2
1
264
1
Alternatif 3:
xxx 22 sincos2cos
1cos22cos 2 xx 2
2cos1cos
xx
, x sudut lancip
2
30cos115cos
2
2
31
322
1
2
2
2
2
2
1 pp , karena 132
22 p (harus bilangan rasional)
2
12
2
12
26
2
1
Alternatif 4:
15x
906x
xx 4902
xx 490cos2cos
xx 4sin2cos
17 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
xxx 2cos2sin22cos , dengan 02cos x
12sin2 x
012sin2 x
01cossin4 xx
1cos1cos4 2 xx
1cos1cos16 22 xx
01cos16cos16 24 xx
32
6425616cos2
x32
3816
4
32 , dengan 0cos x
4
32cos2
x (ditolak) atau 4
32cos2
x (diterima)
4
32cos
x 32
2
1
2
2
2
2
2
1 pp, karena 132
22 p (bilangan rasional)
2
12
2
12
2
1 264
1
264
115cos
3. Menentukan 15tan
Alternatif 1:
3045tan15tan
30tan45tan1
30tan45tan
33
111
33
11
33
33
32
Alternatif 2:
4560tan15tan
45tan60tan1
45tan60tan
131
13
13
13
32
Alternatif 3:
x
xx
cos1
cos1
2tan
30cos1
30cos115tan
32
11
32
11
32
32
34
322
32
Alternatif 4:
x
xx
2tan1
tan22tan
xxxx tan2tan2tan2tan 2
02tantan2tan2tan 2 xxxx
18 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
x
xx
2tan2
2tan442tan
2
x
x
2tan
2tan11 2
Karena x sudut lancip, maka x
xx
2tan
2tan11tan
2
30tan
30tan1115tan
2
3
1
3
111
2
3
1
33
21
32
Alternatif 5:
15x
906x
xx 4902
xx 490tan2tan
xx 4cot2tan
14tan2tan xx
12tan1
2tan22tan
2
x
xx
xx 2tan12tan2 22
12tan3 2 x , dengan 02tan x
3
12tan x
3
1
tan1
tan22
x
x
xx 2tan1tan32
01tan32tan 2 xx
2
41232tan
x
2
432 23 , dengan 0tan x
32tan x (ditolak) atau 32tan x (diterima)
3215tan
4. Menentukan 75sin
Alternatif 1:
3045sin75sin 30sin45cos30cos45sin2
12
2
13
2
12
2
1 26
4
1
Alternatif 2:
xxx 22 sincos2cos
xx 2sin212cos 2
2cos1sin
xx
, x sudut lancip
2
150cos175sin
2
2
31
322
1
19 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
2
2
2
2
2
1 pp, karena 132
22 p (hrus bilangan rasional)
2
12
2
12
26
2
1
5. Menentukan 75cos
Alternatif 1:
3045cos75cos 30sin45sin30cos45cos2
12
2
13
2
12
2
1 26
4
1
Alternatif 2:
xxx 22 sincos2cos
1cos22cos 2 xx
2
2cos1cos
xx
, x sudut lancip
2
150cos175cos
2
2
31
322
1
2
2
2
2
2
1 pp , karena 132
22 p (harus bilangan rasional)
2
12
2
12
26
2
1
6. Menentukan 75tan
Alternatif 1:
3045tan75tan
30tan45tan1
30tan45tan
33
111
33
11
33
33
32
Alternatif 2:
x
xx
cos1
cos1
2tan
150cos1
150cos175tan
32
11
32
11
32
32
34
322
32
Alternatif 3:
x
xx
2tan1
tan22tan
xxxx tan2tan2tan2tan 2
02tantan2tan2tan 2 xxxx
x
xx
2tan2
2tan442tan
2
x
x
2tan
2tan11 2
Karena x2 sudut tumpul, maka x
xx
2tan
2tan11tan
2
20 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014
150tan
150tan1175tan
2
3
1
3
111
2
3
1
33
21
32
9. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 22,5o dan 67,5
o
1. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 22,5o dan 67,5
o
Menggunakan Pertolongan Geometri
Alternatif 1:
1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90C dan BCAC .
2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, ABD sama kaki.
Akibatnya 5,22BDABAD .
3. Ambillah AC = BC = 1, maka AB = 2 dan 21CD .
Perhatikan segitiga ACD siku-siku di C.
Menurut Pythagoras:
22 CDACAD 22 211 224
Dengan demikian,
Perhatikan ACD siku-siku di C.
224
1
224
15,22sin
AD
AC
224
224
224
1
8
224 22
2
1
224
223
224
215,22cos
AD
CD
224
224
224
223
8
8282612 22
2
1
1221
15,22tan
CD
AC
224
215,67sin
AD
CD22
2
1
224
15,67cos
AD
AC22
2
1
211
215,67tan
AC
CD
Alternatif 2:
1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, 45A , 5,67CB , dan ABAC .
2. Tarik garis tegak lurus dari titik B ke sisi AC dan memotongnya di titik D. Sehingga 45ABD ,
5,22DBC , dan 5,67BCD .
3. Ambillah 2 ACAB , maka 1 BDAD . Sehingga 12 CD .
Menurut Pythagoras:
22 CDBDBC 22 121 224
Dengan demikian,
Perhatikan BCD siku-siku di D.
45o
45o
22,5o
22,5o
A
D
C
B
Gambar 21