NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI · 5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri...

of 20/20
1 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014 NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 0 o Jika titik ) , ( y x P menuju ) 0 , (r A , maka = 0, maka r x dan 0 y , sehingga r y α sin 0 0 0 sin r r x α cos 1 0 cos r r x y α tan 0 0 0 tan r y x α cot TD r 0 0 cot (Tidak Didefinisikan) x r α sec 1 0 sec r r y r α csc TD r 0 0 csc (Tidak Didefinisikan) 2. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 90 o Jika titik ) , ( y x P menuju ) , 0 ( r B , maka = 90 o , maka 0 x dan r y , sehingga r y α sin 1 0 9 sin r r r x α cos 0 0 90 cos r x y α tan TD r 0 90 tan (Tidak Didefinisikan) y x α cot 0 0 90 cot r x r α sec TD r 0 90 sec (Tidak Didefinisikan) y r α csc 1 90 csc r r 3. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 180 o Jika titik ) , ( y x P menuju ) 0 , ( r C , maka = 180 o , maka r x dan 0 y , sehingga r y α sin 0 0 80 1 sin r r x α cos 1 180 cos r r x y α tan 0 0 180 tan r y x α cot TD r 0 180 cot (Tidak Didefinisikan) x r α sec 1 180 sec r r y r α csc TD r 0 180 csc (Tidak Didefinisikan) X Y O A(r,0) B(0,r) C(r,0) D(0,r) P(x,y) r Gambar 1 x y X Y O A(r,0) B(0,r) C(r,0) D(0,r) P(x,y) r Gambar 2 x y X Y O A(r,0) B(0,r) C(r,0) D(0,r) P(x,y) r Gambar 3 y x
  • date post

    02-Jul-2018
  • Category

    Documents

  • view

    245
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI · 5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri...

  • 1 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI

    1. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 0o

    Jika titik ),( yxP menuju )0,(rA , maka = 0, maka rx dan 0y , sehingga

    r

    ysin 0

    00sin

    r

    r

    xcos 10cos

    r

    r

    x

    ytan 0

    00tan

    r

    y

    xcot TD

    r

    00cot (Tidak Didefinisikan)

    x

    rsec 10sec

    r

    r

    y

    rcsc TD

    r

    00csc (Tidak Didefinisikan)

    2. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 90o

    Jika titik ),( yxP menuju ),0( rB , maka = 90o, maka 0x dan ry , sehingga

    r

    ysin 109sin

    r

    r

    r

    xcos 0

    090cos

    r

    x

    ytan TD

    r

    090tan (Tidak Didefinisikan)

    y

    xcot 0

    090cot

    r

    x

    rsec TD

    r

    090sec (Tidak Didefinisikan)

    y

    rcsc 190csc

    r

    r

    3. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 180o

    Jika titik ),( yxP menuju )0,( rC , maka = 180o, maka rx dan 0y , sehingga

    r

    ysin 0

    0801sin

    r

    r

    xcos 1180cos

    r

    r

    x

    ytan 0

    0180tan

    r

    y

    xcot TD

    r

    0180cot (Tidak Didefinisikan)

    x

    rsec 1180sec

    r

    r

    y

    rcsc TD

    r

    0180csc (Tidak Didefinisikan)

    X

    Y

    O A(r,0)

    B(0,r)

    C(r,0)

    D(0,r)

    P(x,y) r

    Gambar 1

    x

    y

    X

    Y

    O A(r,0)

    B(0,r)

    C(r,0)

    D(0,r)

    P(x,y) r

    Gambar 2

    x

    y

    X

    Y

    O A(r,0)

    B(0,r)

    C(r,0)

    D(0,r)

    P(x,y)

    r

    Gambar 3

    y

    x

  • 2 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    4. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 270o

    Jika titik ),( yxP menuju ),0( rD , maka = 270o, maka 0x dan ry , sehingga

    r

    ysin 1270sin

    r

    r

    r

    xcos 0

    0270cos

    r

    x

    ytan TD

    r

    0270tan (Tidak Didefinisikan)

    y

    xcot 0

    0270cot

    r

    x

    rsec TD

    r

    0270sec (Tidak Didefinisikan)

    y

    rcsc 1270csc

    r

    r

    5. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 360o

    Jika titik ),( yxP menuju ),0( rA , maka = 360o, maka rx dan 0y , sehingga

    r

    ysin 0

    0360sin

    r

    r

    xcos 1360cos

    r

    r

    x

    ytan 0

    0360tan

    r

    y

    xcot TD

    r

    0360cot (Tidak Didefinisikan)

    x

    rsec 1360sec

    r

    r

    y

    rcsc TD

    r

    0360csc (Tidak Didefinisikan)

    6. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 30o dan 60o

    Definisi:

    Jika sudut-sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku besarnya adalah 30o dan 60

    o, maka

    perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa)

    adalah 2:3:1 . Sebaliknya, Jika perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku

    terpanjang, dan sisi miring dalam suatu segitiga siku-siku adalah 2:3:1 , maka sudut-sudut

    dihadapan sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa) berturut-turut

    adalah 30o, 60

    o, dan 90

    o.

    X

    Y

    O A(r,0)

    B(0,r)

    C(r,0)

    D(0,r)

    P(x,y)

    r

    Gambar 4

    y x

    X

    Y

    O A(r,0)

    B(0,r)

    C(r,0)

    D(0,r) P(x,y)

    r

    Gambar 5

    A

    B

    C

    2

    1

    3

    30o

    60o

    Gambar 6

    2

    103sin 3

    1

    330cot

    32

    1

    2

    330cos 3

    3

    2

    3

    230sec

    33

    1

    3

    130tan

    1

    230csc

  • 3 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    7. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 45o

    Definisi:

    Jika kedua sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku masing-masing besarnya sama dengan 45o,

    maka perbandingan (rasio) sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) adalah 2:1:1 .

    Sebaliknya:

    Jika perbandingan (rasio) kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) dalam suatu segitiga siku-

    siku adalah 2:1:1 , maka sudut-sudut dihadapan kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa)

    berturut-turut adalah 45o, 45

    o, dan 90

    o.

    22

    1

    2

    245sin

    22

    1

    2

    245cos

    11

    145tan

    11

    145cot

    21

    245sec

    21

    245csc

    8. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 15o dan 75o

    1. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75o

    Menggunakan Pertolongan Geometri

    Alternatif 1:

    1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di C, dengan 60A dan 30B .

    2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, segitiga ABD sama kaki.

    Akibatnya 15BDABAD .

    3. Ambillah AC = 1, maka AB = BD = 2, dan BC = 3 . Sehingga 32 CD .

    Menurut Pythagoras:

    22 CDACAD 22 321 348

    2

    8

    2

    8 pp

    , dengan 4348 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    48

    2

    48

    26

    Dengan demikian,

    Perhatikan ACD siku-siku di C.

    A

    B

    C

    1

    1

    2

    45o

    45o

    Gambar 7

    32

    1

    2

    360sin 3

    3

    1

    3

    160cot

    2

    106 osc

    1

    260sec

    31

    360tan 3

    3

    2

    3

    260csc

  • 4 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    264

    1

    26

    115sin

    AD

    AC

    264

    1

    26

    3215cos

    AD

    CD

    3232

    115tan

    CD

    AC

    264

    1

    26

    3275sin

    AD

    CD

    264

    1

    26

    175cos

    AD

    AC

    321

    3275tan

    AC

    CD

    Alternatif 2:

    1. Buatlah ACD siku-siku sama kaki, 90D dan AD = CD.

    2. Buatlah BCD siku-siku di D, 30DBC dan 60BCD .

    3. Perpanjang AC dan tarik garis tegak lurus dari titik B, sehingga memotong perpanjangan garis AC di

    E, sehingga 15EBC dan 75BCE .

    4. Ambillah AD = 1, maka

    Perhatikan ADC , CD = AD = 1, dan AC = 2 .

    Perhatikan BDC , 3BD dan 2BC .

    Sehingga 31AB .

    Perhatikan BEA siku-siku sama kaki,

    dengan 90E dan BEAE .

    262

    1

    2

    31

    2

    ABBE

    BECEACAE

    262

    12 CE

    262

    1CE

    Dengan demikian,

    Perhatikan BCE siku-siku di E:

    26

    4

    1

    2

    262

    1

    15sin

    BC

    CE

    26

    4

    1

    2

    262

    1

    15cos

    BC

    BE

    32

    262

    1

    262

    1

    15tan

    BE

    CE

    26

    4

    1

    2

    262

    1

    75sin

    BC

    BE

    60o

    30o

    15o

    75o

    A

    D

    C

    E

    45o

    45o

    Gambar 9

    B

    Gambar 8

    60o

    30o

    75o

    75o

    75o

    15o

    15o

    A

    30o

    15o

    15o

    A

    B

    C

    D

  • 5 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    26

    4

    1

    2

    262

    1

    75cos

    BC

    CE

    32

    262

    1

    262

    1

    75tan

    CE

    BE

    Alternatif 3:

    1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90B dan AB = BC.

    2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, 30DAB dan 60ADB .

    3. Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya

    15DAC dan 75ADE .

    4. Ambillah 3BCAB , maka

    Perhatikan ABC : AC = 23 .

    Perhatikan ABD : 3BD dan 32AD .

    Sehingga 33 BDBCCD .

    Perhatikan DEC siku-siku sama kaki, 90E , dengan DECE .

    6232

    1

    2

    33

    2

    CDDECE

    6232

    123 CEACAE 623

    2

    1

    Dengan demikian,

    Perhatikan ADE siku-siku di E:

    26

    4

    1

    32

    6232

    1

    15sin

    AD

    DE

    26

    4

    1

    32

    6232

    1

    15cos

    AD

    AE

    32

    6232

    1

    6232

    1

    15tan

    AE

    DE

    26

    4

    1

    32

    6232

    1

    75sin

    AD

    AE

    26

    4

    1

    32

    6232

    1

    75cos

    AD

    DE

    32

    6232

    1

    6232

    1

    75tan

    DE

    AE

    Alternatif 4:

    1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .

    2. Buatlah segitiga ABD siku-siku sama kaki, 90B dan BDAB .

    A

    D

    C

    B

    E

    30o

    15o

    60o

    45o

    45o

    75o

    Gambar 10

  • 6 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    3. Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya

    15DAC dan 75ADE .

    4. Ambillah 1AB , maka

    Perhatikan ABC : 2AC dan 3BC .

    Perhatikan ABD : 1BD dan 2AD .

    Sehingga 13 BDBCCD .

    Perhatikan DEC siku-siku di E.

    132

    1

    2

    CDDE

    332

    1313

    2

    13 DECE

    312

    133

    2

    12 CEACAE

    Dengan demikian,

    Perhatikan ADE siku-siku di E:

    26

    4

    1

    2

    132

    1

    15sin

    AD

    DE

    26

    4

    1

    2

    312

    1

    15cos

    AD

    AE

    32

    312

    1

    132

    1

    15tan

    AE

    DE

    26

    4

    1

    2

    312

    1

    75sin

    AD

    AE

    26

    4

    1

    2

    132

    1

    75cos

    AD

    DE

    32

    132

    1

    312

    1

    75tan

    DE

    AE

    Alternatif 5:

    1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, 75CB , 30A dan AB = AC.

    2. Tarik garis tegak lurus dari titik B, ke sisi AC sehingga memotongnya di D. Akibatnya

    15DBC dan 75BCD .

    3. Ambillah 2 ACAB , maka

    Perhatikan ABD : 1BD dan 3AD .

    Sehingga 32 ADACCD .

    Perhatikan BCD siku-siku di D.

    Menurut Pythagoras:

    22 CDBDBC 22 321 348

    A

    D

    C

    B

    E

    75o

    45o

    15o

    45o

    30o

    60o

    Gambar 11

  • 7 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    2

    8

    2

    8 pp

    , karena 4348 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    48

    2

    48

    26

    Dengan demikian,

    Perhatikan BCD siku-siku di D:

    264

    1

    26

    3215sin

    BC

    CD

    264

    1

    26

    115cos

    BC

    BD

    321

    3215tan

    BD

    CD

    264

    1

    26

    175sin

    BC

    BD

    264

    1

    26

    3275cos

    BC

    CD

    3232

    175tan

    CD

    BD

    Alternatif 6:

    1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .

    2. Buatlah garis bagi CD. Akibatnya 15BCD dan 75BDC .

    3. Ambillah 2AC , maka 1AB dan 3BC

    4. Menentukan panjang CD menggunakan Dalil Garis Bagi:

    3:2:: CBCADBDA

    DBDA 23

    32

    1ADBD

    1AB

    1 BDAD

    132

    1 ADAD

    232 AD

    32

    2

    AD 324

    33232432

    13

    2

    1 ADBD

    DBADBCACCD 2

    332324322 CD 3612123832 31224

    31224 CD 3362 , karena 3336 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    36

    2

    362 623

    2

    12 623

    A

    D

    C

    B

    60o

    15o

    30o

    75o

    Gambar 12

    A D

    B

    C

    15o 15

    o

    60o

    75o

    Gambar 13

  • 8 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    Menentukan panjang CD dengan menggumakan Dalil Pythagoras:

    Perhatikan BCD siku-siku di B, dengan 3BC dan 332 BD

    222 BDBCCD

    222 3323 CD 31224

    31224 CD2

    8

    2

    8 pp

    , karena 1231224 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    1224

    2

    1224

    623

    Dengan demikian,

    Perhatikan BCD siku-siku di B:

    264

    1

    623

    33215sin

    CD

    BD

    264

    1

    623

    315cos

    CD

    BC

    323

    33215tan

    BC

    BD

    264

    1

    623

    375sin

    CD

    BC

    264

    1

    623

    33275cos

    CD

    BD

    32332

    375tan

    BC

    BD

    Alternatif 7:

    1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .

    2. Bagilah sudut A menjadi 4 bagian yang sama besar.

    Akibatnya 15FACEAFDAEBCD , 75BAD , dan 60BEA .

    3. Ambillah 2AC , maka 1AB dan 3BC

    4. Perhatikan segitiga BEA siku-siku di B, dengan

    60BEA , 30BAE , dan 1AB

    3

    1BE dan

    3

    2AE

    3

    2:1:: AEABDEBD

    DEBD3

    2

    3

    1BE

    3

    1 DEBD

    3

    1

    3

    2 BDBD

    E

    D

    B

    F

    A

    C

    75o

    15o

    15o

    15o

    15o

    30o

    Gambar 14

  • 9 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    132 BD 32 BD

    Perhatikan ABD siku-siku di B, dengan 32 BD dan 1AB

    22 BDABAD 22 321 348

    2

    8

    2

    8 pp

    , karena 4348 22 p (bilangan rasional)

    2

    48

    2

    48

    26

    Dengan demikian,

    Perhatikan ABD siku-siku di B:

    264

    1

    26

    3215sin

    AD

    BD

    264

    1

    26

    115cos

    AD

    AB

    321

    3215tan

    AB

    BD

    264

    1

    26

    175sin

    AD

    AB

    264

    1

    26

    3275cos

    AD

    BD

    3232

    175tan

    BD

    AB

    2. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75o

    Menggunakan Pertolongan Geometri Aturan Kosinus atau Aturan Sinus, dan Sudut

    Berelasi.

    Alternatif 1:

    1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan 75BA , 30C , dan BCAC .

    2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D. Akibatnya BDAD .

    3. Ambillah 1BCAC .

    Menurut Aturan Kosinus:

    CBCACBCACAB cos2222

    30cos11211 222AB 32

    32 AB

    2

    2

    2

    2 pp

    , dengan 132 22 p (rasional)

    2

    12

    2

    12

    26

    2

    1

    264

    1

    2

    1 ABBDAD

    4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan 75DAC , D

    B

    A

    C

    15o 15

    o

    75o

    75o

    Gambar 15

  • 10 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    15ACD , 1AC , dan 264

    1AD

    Menurut Pythagoras:

    22 ADACCD 2

    2 264

    11

    32

    2

    1

    2

    8

    2

    8

    2

    1 pp , karena karena 132 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    2

    1 264

    1

    Dengan demikian,

    Perhatikan ACD siku-siku di B:

    26

    4

    1

    1

    264

    1

    15sin

    AC

    AD

    26

    4

    1

    1

    264

    1

    15cos

    AC

    CD

    32

    264

    1

    264

    1

    15tan

    CD

    AD

    26

    4

    1

    1

    264

    1

    75sin

    AC

    CD

    26

    4

    1

    1

    264

    1

    75cos

    AC

    AD

    32

    264

    1

    264

    1

    75tan

    AD

    CD

    Alternatif 2:

    1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan 15BA , 150C , dan BCAC .

    2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D, sehingga BDAD .

    3. Ambillah 1BCAC .

    Menurut Aturan Kosinus:

    CBCACBCACAB cos2222

    150cos11211 222AB

    322 AB

    32 AB2

    8

    2

    8 pp

    , karena 132 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    26

    2

    1

  • 11 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    264

    1

    2

    1 ABBDAD

    4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan 15DAC ,

    75ACD , 1AC , dan 264

    1AD

    Menurut Pythagoras:

    22 ADACCD 2

    2 264

    11

    32

    2

    1

    2

    8

    2

    8

    2

    1 pp, karena karena 132 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    2

    1 264

    1

    Dengan demikian,

    Perhatikan ACD siku-siku di B:

    26

    4

    1

    1

    264

    1

    15sin

    AC

    CD

    26

    4

    1

    1

    264

    1

    15cos

    AC

    AD

    32

    264

    1

    264

    1

    15tan

    AD

    CD

    26

    4

    1

    1

    264

    1

    75sin

    AC

    AD

    26

    4

    1

    1

    264

    1

    75cos

    AC

    CD

    32

    264

    1

    264

    1

    75tan

    CD

    AD

    Alternatif 3:

    1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90B dan AB = BC.

    2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, 30DAB dan 60ADB . Sehingga 15DAC dan

    120ADC .

    3. Ambillah 3BCAB , maka

    Perhatikan ABC : AC = 23 .

    Perhatikan ABD : 3BD dan 32AD .

    Sehingga 33 BDBCCD .

    Menurut Aturan Kosinus dalam ADC .

    C D

    B

    A

    15o

    15o

    75o

    75o

    Gambar 16

  • 12 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    ADAC

    CDADACDAC

    2cos

    222

    32232

    33322315cos

    222

    612

    36121218

    62

    33

    264

    1

    Menggunakan Aturan Sinus.

    Menurut Aturan Sinus dalam ADC .

    ACD

    AD

    DAC

    CD

    sinsin

    45sin

    32

    15sin

    33

    45sin32

    3315sin 2

    2

    1

    32

    33

    26

    4

    1

    Selanjutnya kita dapat menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan

    perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.

    22 BCACAB 22 264 348

    2

    8

    2

    8 pp

    , karena 4348 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    48

    2

    48

    26

    264

    1

    4

    2615sin

    PR

    PQ

    3226

    2615tan

    QR

    PQ

    264

    1

    4

    2675sin

    PR

    QR

    264

    1

    4

    2675cos

    PR

    PQ

    3226

    2675tan

    PQ

    QR

    Setelah diperoleh 264

    115cos , kita dapat menentukan perbandingan fungsi

    trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoran dan sudut berelasi.

    xx 22 cos1sin

    15cos115sin 22 2

    264

    11

    32

    4

    11

    4

    32

    A

    D

    C

    B

    30o

    15o

    60o

    45o

    120o

    Gambar 17

    P

    R

    Q

    75o

    15o

    26 4

    Gambar 18

  • 13 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    4

    3215sin

    32

    2

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1 pp, dengan 132 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    2

    1 264

    1

    32

    264

    1

    264

    1

    15cos

    15sin15tan

    264

    115sin 26

    4

    17590sin

    264

    175cos

    264

    115cos 26

    4

    17590cos

    264

    175sin

    3215tan 327590tan

    3275cot

    3232

    175tan

    Alternatif 4:

    1. Buatlah ABC siku-siku di B, 60A dan 30C .

    2. Buatlah ABD siku-siku sama kaki, 90B dan BDAB .

    Sehingga 15DAC dan 135ADC .

    3. Ambillah 1AB , maka

    Perhatikan ABC : AC = 2 dan 3BC .

    Perhatikan ABD : 1 BDAB dan 2AD .

    Sehingga 13 BDBCCD .

    Menurut Aturan Kosinus dalam ADC .

    ADAC

    CDADACDAC

    2cos

    222

    222

    132215cos

    222

    24

    32424

    24

    322 26

    4

    1

    Kita juga dapat menggunakan Aturan Sinus sebagai berikut.

    Menurut Aturan Sinus dalam ADC .

    ACD

    AD

    DAC

    CD

    sinsin

    30sin

    2

    15sin

    13

    A

    D

    C

    B

    135o

    45o

    15o

    45o

    30o

    Gambar 19

  • 14 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    30sin2

    1315sin

    2

    1

    2

    13

    26

    4

    1

    Selanjutnya kita dapat menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan

    perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.

    22 QRPRPQ 22 264 348

    2

    2

    2

    2 pp

    , denan 4348 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    48

    2

    48

    26

    264

    1

    4

    2615sin

    PR

    PQ

    3226

    2615tan

    QR

    PQ

    264

    1

    4

    2675sin

    PR

    QR

    264

    1

    4

    2675cos

    PR

    PQ

    3226

    2675tan

    PQ

    QR

    Setelah ditemukan 264

    115cos , kita dapat menentukan perbandingan fungsi

    trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoras dan sudut berelasi.

    xx 22 cos1sin

    15cos115sin 22 2

    264

    11

    32

    4

    11

    4

    32

    4

    3215sin

    32

    2

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1 pp, dengan 132 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    2

    1 264

    1

    32

    264

    1

    264

    1

    15cos

    15sin15tan

    264

    115sin 26

    4

    17590sin

    264

    175cos

    264

    115cos 26

    4

    17590cos

    P

    R

    Q

    75o

    15o

    26 4

    Gambar 20

  • 15 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    264

    175sin

    3215tan 327590tan

    3275cot

    3232

    175tan

    3. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75o

    Menggunakan Pertolongan Perbandingan Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

    dan Sudut Rangkap

    1. Menentukan 15sin

    Alternatif 1:

    3045sin15sin 30sin45cos30cos45sin2

    12

    2

    13

    2

    12

    2

    1 26

    4

    1

    Alternatif 2:

    4560sin15sin 45sin60cos45cos60sin 22

    1

    2

    12

    2

    13

    2

    1 26

    4

    1

    Alternatif 3:

    xxx 22 sincos2cos

    xx 2sin212cos 2

    2cos1sin

    xx

    , x sudut lancip

    2

    30cos115sin

    2

    2

    31

    322

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1 pp, denan 132 22 p (hrus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    26

    2

    1

    Alternatif 4:

    15x

    906x

    xx 4902

    xx 490sin2sin

    xx 4cos2sin

    xx 2sin212sin 2

    012sin2sin2 2 xx

    4

    8112sin

    x

    4

    31 , dengan ( 02sin x )

    2

    12sin x

    1cossin4 xx

    1sin1sin4 2 xx

    1sin1sin16 22 xx

  • 16 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    01sin16sin16 24 xx

    32

    6425616sin2

    x

    32

    3816

    4

    32 , dengan 0sin x

    4

    32sin2

    x (diterima) atau

    4

    32sin2

    x (ditolak)

    4

    32sin

    x 32

    2

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1 pp, karena 132 22 p (bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    2

    1 264

    1

    264

    115sin

    2. Menentukan 15cos

    Alternatif 1:

    3045cos15cos 30sin45sin30cos45cos2

    12

    2

    13

    2

    12

    2

    1

    264

    1

    Alternatif 2:

    4560cos15cos 45sin60sin45cos60cos 22

    13

    2

    12

    2

    1

    2

    1

    264

    1

    Alternatif 3:

    xxx 22 sincos2cos

    1cos22cos 2 xx 2

    2cos1cos

    xx

    , x sudut lancip

    2

    30cos115cos

    2

    2

    31

    322

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1 pp , karena 132 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    26

    2

    1

    Alternatif 4:

    15x

    906x

    xx 4902

    xx 490cos2cos

    xx 4sin2cos

  • 17 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    xxx 2cos2sin22cos , dengan 02cos x

    12sin2 x

    012sin2 x

    01cossin4 xx

    1cos1cos4 2 xx

    1cos1cos16 22 xx 01cos16cos16 24 xx

    32

    6425616cos2

    x

    32

    3816

    4

    32 , dengan 0cos x

    4

    32cos2

    x (ditolak) atau

    4

    32cos2

    x (diterima)

    4

    32cos

    x 32

    2

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1 pp, karena 132 22 p (bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    2

    1 264

    1

    264

    115cos

    3. Menentukan 15tan

    Alternatif 1:

    3045tan15tan

    30tan45tan1

    30tan45tan

    33

    111

    33

    11

    33

    33

    32

    Alternatif 2:

    4560tan15tan

    45tan60tan1

    45tan60tan

    131

    13

    13

    13

    32

    Alternatif 3:

    x

    xx

    cos1

    cos1

    2tan

    30cos1

    30cos115tan

    32

    11

    32

    11

    32

    32

    34

    322

    32

    Alternatif 4:

    x

    xx

    2tan1

    tan22tan

    xxxx tan2tan2tan2tan 2

    02tantan2tan2tan 2 xxxx

  • 18 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    x

    xx

    2tan2

    2tan442tan

    2

    x

    x

    2tan

    2tan11 2

    Karena x sudut lancip, maka x

    xx

    2tan

    2tan11tan

    2

    30tan

    30tan1115tan

    2

    3

    1

    3

    111

    2

    3

    1

    33

    21

    32

    Alternatif 5:

    15x

    906x

    xx 4902

    xx 490tan2tan

    xx 4cot2tan

    14tan2tan xx

    12tan1

    2tan22tan

    2

    x

    xx

    xx 2tan12tan2 22

    12tan3 2 x , dengan 02tan x

    3

    12tan x

    3

    1

    tan1

    tan22

    x

    x

    xx 2tan1tan32

    01tan32tan 2 xx

    2

    41232tan

    x

    2

    432 23 , dengan 0tan x

    32tan x (ditolak) atau 32tan x (diterima)

    3215tan

    4. Menentukan 75sin

    Alternatif 1:

    3045sin75sin 30sin45cos30cos45sin2

    12

    2

    13

    2

    12

    2

    1 26

    4

    1

    Alternatif 2:

    xxx 22 sincos2cos

    xx 2sin212cos 2

    2cos1sin

    xx

    , x sudut lancip

    2

    150cos175sin

    2

    2

    31

    322

    1

  • 19 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    2

    2

    2

    2

    2

    1 pp, karena 132 22 p (hrus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    26

    2

    1

    5. Menentukan 75cos

    Alternatif 1:

    3045cos75cos 30sin45sin30cos45cos2

    12

    2

    13

    2

    12

    2

    1 26

    4

    1

    Alternatif 2:

    xxx 22 sincos2cos

    1cos22cos 2 xx

    2

    2cos1cos

    xx

    , x sudut lancip

    2

    150cos175cos

    2

    2

    31

    322

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1 pp , karena 132 22 p (harus bilangan rasional)

    2

    12

    2

    12

    26

    2

    1

    6. Menentukan 75tan

    Alternatif 1:

    3045tan75tan

    30tan45tan1

    30tan45tan

    33

    111

    33

    11

    33

    33

    32

    Alternatif 2:

    x

    xx

    cos1

    cos1

    2tan

    150cos1

    150cos175tan

    32

    11

    32

    11

    32

    32

    34

    322

    32

    Alternatif 3:

    x

    xx

    2tan1

    tan22tan

    xxxx tan2tan2tan2tan 2

    02tantan2tan2tan 2 xxxx

    x

    xx

    2tan2

    2tan442tan

    2

    x

    x

    2tan

    2tan11 2

    Karena x2 sudut tumpul, maka x

    xx

    2tan

    2tan11tan

    2

  • 20 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

    150tan

    150tan1175tan

    2

    3

    1

    3

    111

    2

    3

    1

    33

    21

    32

    9. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 22,5o dan 67,5o

    1. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 22,5o dan 67,5o

    Menggunakan Pertolongan Geometri

    Alternatif 1:

    1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, 90C dan BCAC .

    2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, ABD sama kaki.

    Akibatnya 5,22BDABAD .

    3. Ambillah AC = BC = 1, maka AB = 2 dan 21CD .

    Perhatikan segitiga ACD siku-siku di C.

    Menurut Pythagoras:

    22 CDACAD 22 211 224 Dengan demikian,

    Perhatikan ACD siku-siku di C.

    224

    1

    224

    15,22sin

    AD

    AC

    224

    224

    224

    1

    8

    224 22

    2

    1

    224

    223

    224

    215,22cos

    AD

    CD

    224

    224

    224

    223

    8

    8282612 22

    2

    1

    1221

    15,22tan

    CD

    AC

    224

    215,67sin

    AD

    CD22

    2

    1

    224

    15,67cos

    AD

    AC22

    2

    1

    211

    215,67tan

    AC

    CD

    Alternatif 2:

    1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, 45A , 5,67CB , dan ABAC .

    2. Tarik garis tegak lurus dari titik B ke sisi AC dan memotongnya di titik D. Sehingga 45ABD ,

    5,22DBC , dan 5,67BCD .

    3. Ambillah 2 ACAB , maka 1 BDAD . Sehingga 12 CD .

    Menurut Pythagoras:

    22 CDBDBC 22 121 224 Dengan demikian,

    Perhatikan BCD siku-siku di D.

    45o

    45o

    22,5o

    22,5o

    A

    D

    C

    B

    Gambar 21