04 Fungsi · PDF fileDefinisi Definisi fungsi vektor Fungsi vektor merupakan aturan yang...

Click here to load reader

  • date post

    28-Apr-2019
  • Category

    Documents

  • view

    243
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of 04 Fungsi · PDF fileDefinisi Definisi fungsi vektor Fungsi vektor merupakan aturan yang...

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

[MA1124] KALKULUS II

Fungsi VektorFungsi Vektor

DefinisiDefinisi

Definisi fungsi vektor

Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t R dengan tepat satu vektor

g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=

2(3)R(t)F

Notasi : F : R R2(3)

t

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

2

g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=t

atauh(t)g(t),f(t), kh(t) jg(t) if(t) (t)F =++=t

dengan f(t), g(t), h(t) fungsi bernilai real

Contoh, Daerah Asal dan Daerah NilaiContoh, Daerah Asal dan Daerah Nilai

Contoh

jtittF )3(2)(.1 1+=

kjtittF sincos)(2. ++=r

jtittF cos)1ln()(.3 12 ++=

jtit

tF 62

ln)(4.

=r

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

3

Daerah Asal (Df )

{ }321

| ffff DDDtRtD =r

ktfjtfitftf )()()()( Misal 321 ++=

Daerah Hasil (Rf )

{ }ff

DtRtfR = |)( 3r

r

ContohContoh

Tentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya

jtittF )3(2)(.1 1+=Misalkan 2)(1 = ttf ( )31)(2 = ttfdanDiperoleh ),2[

1=fD dan { }32 = RDf

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

4

Sehingga

{ }21 ffF

DDtRtD =

{ }{ }3),2[ = RtRt{ }{ } ),3()3,2[3),2[ == t

ContohContoh

Misalkan ttf cos)(1 =

Sehingga

ttf sin)(2 =,

{ }321 fffF

DDDtRtD =

Diperoleh RDf =1 , RDf =2

kjtittF sincos)(2. ++=r

1)(3 =tfdan

dan RDf =3

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

5

{ }321 fffF

DDDtRtD =

{ } RRRRtRt ==

Misalkan )1ln()( 21 += ttf

Sehingga

ttf 12 cos)(=dan

{ } [ ]{ } ]1,1[1,121 === RtRtDDtRtD ffF

Diperoleh RDf =1

jtittF cos)1ln()(3. 12 ++=r

dan ]1,1[2

=fD

ContohContoh

jtit

tF 62

ln)(.4

=

Misalkan

=t

tf2

ln)(1

Sehingga

ttf = 6)(2dan

Diperoleh ),0(1

=fD dan ]6,(2 =fD

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

6

Sehingga

{ }21 ffF

DDtRtD =

{ }]6,(),0( = tRt]6,0(=

LatihanLatihan

Tentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya

jtittf )4()(1. +=r

jtittf 4)(2. 2=r

jtit

tf )4(

1)(3. +

=

r

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

7

t )4(

jtit

tf 4

1)(4. 2+

=

r

Grafik Fungsi Bernilai VektorGrafik Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan

Df=[a,b]

jtfitftf )()()( 21 +=

][ (b)f

(t)fr(a)f

rc

y

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

8

][atb

(b)f

x

Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung )t(fmenjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu

disebut titik pangkal lengkungan C )(af

disebut titik ujung lengkungan C )(bf

kurva C disebut kurva tertutup)()( bfafJika =

Grafik fungsi vektorGrafik fungsi vektor

Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu

Cara menggambar grafik fungsi vektor

1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C

2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

9

2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva)

3. Tentukan arahnya

ContohContoh

Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:

20;sin2cos3)(.1 += tjtittF

Persamaan parameter

x = 3 cos t

y = 2 sin t

x/3 = cos t

y/2 = sin t

cos2 t + sin2 t =1

123

22

=

+

yx(ellips)

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

10

23 Arahnya

)0,3(3)0( == iF)2,0(2)

2( == jF

)0,3(3)( == iF )2,0(2)

2

3( == jF

)0,3(3)2( == iF

3-3

2

-2

x

y

C

ContohContoh

Persamaan parameter

x = t 4

y = t = x+4

y =

42 = yx

Arahnya

(parabola)

y

40;)4()(2. += tjtittFr

t

4+x

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

11

Arahnya

)0,4(4)0( == iF

)2,0(2)4( == jF

-4

2

x

y

C

ContohContoh

Persamaan parameter

x = t

y = 0,222 =+ yayx

Arahnya

(1/2 lingkaran)

y

atajtaittF += ;)(3. 22r

22 ta

( ) 0,22222 == yxayxay

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

12

Arahnya

)0,()( aiaaF ==

),0()0( ajaF ==)0,()( aiaaF ==

a

x

y

aa

C

LatihanLatihan

22;4)(.2 2 += tjtittF

22;4)(1. 2 = tjtittFr

Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:

( ) ( )( ) 30;214)(3. = tjtittF

r

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

13

( ) ( ) 32;32)(.4 2 ++= tjtitttF

Persamaan Parameter di RPersamaan Parameter di R33

Persamaannya adalah sebagai berikut:x = f1(t) ; y = f2(t) ; z = f3(t) , t I

Contoh:

ktjtittF sincos)(1. ++=r

2. Garis P(x,y,z)z

x = cos t; y = sin t; z = t , t R

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

14

2. Garis

0wr

wr

vr

P0=(x0,y0,z0)

P(x,y,z)

x

z

y

Garis (ljt)Garis (ljt)

Garis adalah himpunan semua titik P sehingga

vtww 0rrr +=

vtww- 0 =+rr

garisdengan sejajar yangvektor v =rvtPP0r=

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

15

vtww 0 +=Jika w =(x, y, z) dan w0 =(x0,y0,z0) serta v = maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulissebagai berikut

ctzzbtyyatxx 000 +=+=+=

Sedangkan persamaan simetrinya adalah

cbc000 zzyyxx ==

ContohContoh

1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor

Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah

x = 1 t

y = 2 - 2 t

z = 3 - 3 t

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

16

z = 3 - 3 t

2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4)

Jawab: vektor yang sejajar dengan garis tersebut:

vr

= =

Pilih titik (x0, y0, z0) = (2, 3, 1)

maka persamaan parameter garis tersebut adalahx = 2 + 3t , y = 3 + 2t , z = 1 3t

LatihanLatihan

1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan:

a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)

b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)

c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)

2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

17

2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan

a. (4, -6, 3),

b. (-1, 3, 2),

c. (2, 5, -4),

EkivalenEkivalen

Fungsi

dan)t(fr

menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan

arah yang sama.

disebut ekivalen jika )t(gr

dan)t(fr

)t(gr

Contoh

+= t0,jtsinaitcosa)t(fr

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

18

+= t0,jtsinaitcosa)t(fata,jtait)t(g 22 +=

r

dan)t(fr

)t(gr

ekivalen

Norm

k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r

( ) ( ) ( )232221 )t(f)t(f)t(f)t(f ++=r

Misalkan maka norm dari adalah)t(fr

SifatSifat

ktfjtfitftf )()()()( 321 ++=r

Misalkan ktgjtgitgtg )()()()( 321 ++=r

dan

cos)()()()()()()()()().( 332211 tgtftgtftgtftgtftgtfrrrr

=++=1.

kji

adalah sudut antara dua vektor tersebut

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

19

ktgtg

tftfj

tgtg

tftfi

tgtg

tftf

tgtgtg

tftftf

kji

tgxtf )()(

)()()()(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)()(21

21

31

31

32

32

321

321 +==rr

2.

( ) ( ) ( ) ( )ktgtfcjtgtfcitgtfctgtfc )()()()()()()()( 332211 ++= rr3.c =konstanta

LimitLimit

Definisi

TeoremaTeorema

jtfitftf )()()( 21 +=r

Misalkan )(tfr

, maka mempunyai limit di a

f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a. Dan

( ) ( ) jtfitftfatatat

)(lim)(lim)(lim 21 +=

r

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

21

Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada,(Jika tidak ada beri alasan):

++

+

j

t

tti

t

t

t

9

63

9lim.1

2

22

3

+

je

ti

t

tt

t

sinlim.20

tttt

ln),ln(lim.3 20+

Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)

++

+

j

t

tti

t

t

t

9

63

9lim.1

2

22

3j

t

tti

t

t

tt

9

6lim

3

9lim

2

2

3

2

3 ++

+=

( )( ) ( )( )( )( ) jtt

tti

t

tt

tt

33

23lim

3

33lim

33 +++

++=

( ) jtit 2lim3lim +=

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

22

( ) jt

tit

tt

3

2lim3lim

33