04 Fungsi Vektorexpertcourse.net/assets/document/modul/Teknik/Kalkulus-2/BAB4.pdf · Definisi...

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

[MA1124] KALKULUS II

Fungsi VektorFungsi Vektor

DefinisiDefinisi

� Definisi fungsi vektor

Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t ε R dengan tepat satu vektor

g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=

2(3)R(t)F ∈

Notasi : F : R � R2(3)

t �

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

2

g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=t �

atauh(t)g(t),f(t), kh(t) jg(t) if(t) (t)F =++=t �

dengan f(t), g(t), h(t) fungsi bernilai real

Contoh, Daerah Asal dan Daerah NilaiContoh, Daerah Asal dan Daerah Nilai

� Contoh

jtittF ˆ)3(ˆ2)(.1 1−−+−=

kjtittF ˆˆsinˆcos)(2. ++=r

jtittF ˆcosˆ)1ln()(.3 12 −++=

jtit

tF ˆ6ˆ2ln)(4. −−

=r


3

� Daerah Asal (Df )

{ }321

| ffffDDDtRtD ∩∩∈∈=r

ktfjtfitftf ˆ)(ˆ)(ˆ)()( Misal 321 ++=

� Daerah Hasil (Rf )

{ }ff

DtRtfR ∈∈= |)( 3r

r

ContohContoh

Tentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya

jtittF ˆ)3(ˆ2)(.1 1−−+−=Misalkan 2)(1 −= ttf ( )3

1)(2 −=t

tfdan

Diperoleh ),2[1

∞=fD dan { }32

−= RDf


4

Sehingga

{ }21 ffF

DDtRtD ∩∈∈=

{ }{ }3),2[ −∩∞∈∈= RtRt

{ }{ } ),3()3,2[3),2[ ∞∪=−∞∈= t

ContohContoh

Misalkan ttf cos)(1 =

Sehingga

ttf sin)(2 =,

{ }321 fffF

DDDtRtD ∩∩∈∈=

Diperoleh RDf =1

, RDf =2

kjtittF ˆˆsinˆcos)(2. ++=r

1)(3 =tfdan

dan RDf =3


5

{ }321 fffF

DDDtRtD ∩∩∈∈=

{ } RRRRtRt =∩∩∈∈=

Misalkan )1ln()( 21 += ttf

Sehingga

ttf 12 cos)( −=dan

{ } [ ]{ } ]1,1[1,121 −=−∩∈∈=∩∈∈= RtRtDDtRtD ffF

Diperoleh RDf =1

jtittF ˆcosˆ)1ln()(3. 12 −++=r

dan ]1,1[2

−=fD

ContohContoh

jtit

tF ˆ6ˆ2ln)(.4 −−

=

Misalkan

=t

tf2

ln)(1

Sehingga

ttf −−= 6)(2dan

Diperoleh ),0(1

∞=fD dan ]6,(2

−∞=fD


6

Sehingga

{ }21 ffF

DDtRtD ∩∈∈=

{ }]6,(),0( −∞∩∞∈∈= tRt

]6,0(=

LatihanLatihan

Tentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya

jtittf ˆˆ)4()(1. +−=r

jtittf ˆ4ˆ)(2. 2−−−=r

jtit

tf ˆˆ)4(

1)(3. +

−=

r


7

t )4( −

jtit

tf ˆˆ4

1)(4. 2+

−=

r

Grafik Fungsi Bernilai VektorGrafik Fungsi Bernilai Vektor

� Misalkan

Df=[a,b]

jtfitftf ˆ)(ˆ)()( 21 +=

][ (b)f

(t)fr(a)f

rc

y


8

][a≤t≤b

(b)f

x

Jika t berubah sepanjang [a,b] � ujung-ujung )t(fmenjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu

disebut titik pangkal lengkungan C )(af

disebut titik ujung lengkungan C )(bf

� kurva C disebut kurva tertutup)()( bfafJika =

Grafik fungsi vektorGrafik fungsi vektor

� Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu

� Cara menggambar grafik fungsi vektor

1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C

2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan


9

2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva)

3. Tentukan arahnya

ContohContoh

Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:

π20;ˆsin2ˆcos3)(.1 ≤≤+= tjtittF

Persamaan parameter

x = 3 cos t

y = 2 sin t��

x/3 = cos t

y/2 = sin t

cos2 t + sin2 t =1

123

22

=

+

yx(ellips)


10

� 23 Arahnya

)0,3(ˆ3)0( == iF

)2,0(ˆ2)2

( == jFπ

)0,3(ˆ3)( −=−= iF π)2,0(ˆ2)

2

3( −=−= jF

π

)0,3(ˆ3)2( == iF π

3-3

2

-2

x

y

C

ContohContoh

Persamaan parameter

x = t – 4

y =� t = x+4

y =

42 −= yx

Arahnya

(parabola)

y

40;ˆˆ)4()(2. ≤≤+−= tjtittFr

t

4+x


11

Arahnya

)0,4(ˆ4)0( −=−= iF

)2,0(ˆ2)4( == jF

-4

2

x

y

C

ContohContoh

Persamaan parameter

x = – t

y = 0,222 ≥=+ yayx

Arahnya

(1/2 lingkaran)

y

atajtaittF ≤≤−−+−= ;ˆˆ)(3. 22r

22 ta −

( ) 0,22222 ≥−=⇒−−= yxayxay


12

Arahnya

)0,(ˆ)( aiaaF ==−

),0(ˆ)0( ajaF ==)0,(ˆ)( aiaaF −=−=

a

x

y

a–a

C

LatihanLatihan

22;ˆˆ4)(.2 2 ≤≤−+−= tjtittF

22;ˆ4ˆ)(1. 2 ≤≤−−−= tjtittFr

Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:

( ) ( )ˆˆ

( ) 30;ˆ2ˆ14)(3. ≤≤−−= tjtittFr


13

( ) ( ) 32;ˆ3ˆ2)(.4 2 ≤≤−−++= tjtitttF

Persamaan Parameter di RPersamaan Parameter di R33

Persamaannya adalah sebagai berikut:x = f1(t) ; y = f2(t) ; z = f3(t) , t ε I

Contoh:

ktjtittF ˆˆsinˆcos)(1. ++=r

2. Garis P(x,y,z)z

�x = cos t; y = sin t; z = t , t ε R


14

2. Garis

0wr

wr

vr

P0=(x0,y0,z0)

P(x,y,z)

x

z

y

Garis (ljt)Garis (ljt)

� Garis adalah himpunan semua titik P sehingga

vtww 0

rrr +=vtww- 0 =+ rr

garisdengan sejajar yangvektor v =rvtPP0

r=


15

vtww 0 +=Jika w =(x, y, z) dan w0 =(x0,y0,z0) serta v = <a,b,c>maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulissebagai berikut

ctzzbtyyatxx 000 +=+=+=

Sedangkan persamaan simetrinya adalah

cbc000 zzyyxx −=−=−

ContohContoh

1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor <-1, -2, -3>

Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah

x = 1 – t

y = 2 - 2 t

z = 3 - 3 t


16

z = 3 - 3 t

2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4)

Jawab: vektor yang sejajar dengan garis tersebut:

vr

=<5 – 2, –1 + 3, –4 + 1> = <3, 2, –3>

Pilih titik (x0, y0, z0) = (2, –3, –1)

maka persamaan parameter garis tersebut adalahx = 2 + 3t , y = –3 + 2t , z = – 1 – 3t

LatihanLatihan

1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan:

a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)

b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)

c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)

2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri


17

2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan

a. (4, -6, 3), <-2, 1, 5>

b. (-1, 3, 2), <4, 2, -1>

c. (2, 5, -4), <-3, 4, 2>

EkivalenEkivalen

� Fungsi

dan)t(fr

menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan

arah yang sama.

disebut ekivalen jika )t(gr

dan)t(fr

)t(gr

� Contoh

π≤≤+= t0,jtsinaitcosa)t(fr


18

π≤≤+= t0,jtsinaitcosa)t(f

ata,jtait)t(g 22 ≤≤−−+−=r

dan)t(fr

)t(gr

ekivalen

Norm

k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r

( ) ( ) ( )23

22

21 )t(f)t(f)t(f)t(f ++=

r

Misalkan maka norm dari adalah)t(fr

SifatSifat

ktfjtfitftf ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321 ++=r

Misalkan ktgjtgitgtg ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321 ++=r

dan

αcos)()()()()()()()()().( 332211 tgtftgtftgtftgtftgtfrrrr

=++=1.

kji ˆˆˆ

α adalah sudut antara dua vektor tersebut


19

ktgtg

tftfj

tgtg

tftfi

tgtg

tftf

tgtgtg

tftftf

kji

tgxtf ˆ)()(

)()(ˆ)()(

)()(ˆ

)()(

)()(

)()()(

)()()(

ˆˆˆ

)()(21

21

31

31

32

32

321

321 +−==rr

2.

( ) ( ) ( ) ( )ktgtfcjtgtfcitgtfctgtfc ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()()()( 332211 ±+±+±=±rr

3.

c =konstanta

LimitLimit

Definisi

εδδε <−→<−<∋>∃>∀→=→

LtfatLtfat

)(000)(limrr

Ilustrasiy


20

Ilustrasi

)(a

L

(t)fr

L -(t)fr

x

.a+δa-δ

ε

TeoremaTeorema

jtfitftf ˆ)(ˆ)()( 21 +=r

Misalkan )(tfr

, maka mempunyai limit di a

↔ f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a. Dan

( ) ( ) jtfitftfatatat

ˆ)(limˆ)(lim)(lim 21 →→→+=

r


21

Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada,(Jika tidak ada beri alasan):

−−++

+−

−→j

t

tti

t

t

t

ˆ9

6ˆ3

9lim.1

2

22

3

+→

je

ti

t

tt

t

ˆˆsinlim.2

0

tttt

ln),ln(lim.3 2

0+→

Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)

−−++

+−

−→j

t

tti

t

t

t

ˆ9

6ˆ3

9lim.1

2

22

3j

t

tti

t

t

tt

ˆ9

6limˆ

3

9lim

2

2

3

2

3 −−++

+−=

−→−→

( )( ) ( )( )( )( ) j

tt

tti

t

tt

tt

ˆ33

23limˆ

3

33lim

33 −+−++

++−=

−→−→

( ) jt

it ˆ2limˆ3lim

−+−=


22

( ) jt

tit

tt

ˆ3

2limˆ3lim

33

−−+−=

−→−→

ji ˆ6

5ˆ6 +−=

+→

je

ti

t

ttt

ˆˆsinlim.2

0j

e

ti

t

tttt

ˆlimˆsinlim

00 →→+=

iji ˆˆ0ˆ =+=

Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)

tttt

ln),ln(lim.3 2

0+→ttt

ttlnlim),ln(lim

0

2

0 ++ →→=

−∞=+→

)ln(lim 2

0t

tkarena (tidak ada)

Jadi tidak adatttt

ln),ln(lim 2

0+→


23

t 0+→

LatihanLatihan

Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):

−−++

−−

→j

t

tti

t

t

t

ˆ2

6ˆ4

2lim.1

2

22

−++ j

tt

ti

t

t ˆ32

1ˆsinlim.2

2

2

te t

t

1,lim.3 /1

0+→


24

−

+∞→

jtt

itt 32

lim.22

KekontinuanKekontinuan

)t(f.ar

Definisi

fDr∈kontinu di a jika )a(f)t(flim

at

rr=

→

)t(f.br

kontinu pada himpunan A ⊂ R jika )t(fr

kontinu

di setiap titik pada A


25

↔ f1(t), f2(t) , f3(t) kontinu pada B

di setiap titik pada A

Teorema


Fungsi kontinu pada B⊂f

Dr

TurunanTurunan


MisalkanDefinisi:

[ ] [ ]h

k)t(fj)t(fi)t(fk)ht(fj)ht(fi)ht(flim)t('f 321321

0h

++−+++++=→

r

−++−++−+= k)t(f)ht(f

j)t(f)ht(f

i)t(f)ht(f

lim 332211


26

−++−++−+=→

kh

)t(f)ht(fj

h

)t(f)ht(fi

h

)t(f)ht(flim 332211

0h

kh

)t(f)ht(flimj

h

)t(f)ht(flimi

h

)t(f)ht(flim 33

0h

22

0h

11

0h

−++−++−+=→→→

k)t('fj)t('fi)t('f 321 ++=

k)t('fj)t('fi)t('f)t('f 321 ++=r

Jadi

Contoh Contoh

jei)3t2()t(f t22 −+=r

. Tentukan1. Diketahui )0(fDt

r

dan )0(2 fDt

r

Jawab

)(')( tftfDt

rr

= ( ) jeit tˆ2ˆ2322 2−+=

( ) jeit tˆ2ˆ128 2−+=

i.


27

jeitftfD tt

ˆ4ˆ8)(")( 22 −==rr

( ) jeit tˆ2ˆ128 2−+=

jifDtˆ2ˆ12)0( −=

r

jifDtˆ4ˆ8)0(2 −=

rii.

Contoh Contoh

jeit2cos)t(f t+=r

. Tentukan2. Diketahui

)t('f.ar

dan )t("fr

)0('fantarasudut.br

dan )0("fr

Jawab

a. )(' tfr

jeit t ˆˆ2sin2 +−=


28

a. )(' tf

)(" tfr

jeit ˆˆ2sin2 +−=

jeit t ˆˆ2cos4 +−=

b. )0('fr

)0("fr

j=

ji ˆˆ4 +−=

)0(")0('

)0(").0('cos

ff

ffrr

rr

=θ17

1= �

= −

17

1cos 1θ

LatihanLatihan

( ) ktjetittf t ˆ1lnˆˆtan)( 221 +++= −−r

Tentukan

1. Diketahui

)0(fDt

r

dan )0(2 fDt

r

jtietr t ˆ)ln(ˆ)( 32 +=r

Tentukan

2. Diketahui

)](').([ trtrDt

rr


29

Tentukan )](').([ trtrDt

3. Tentukan )(' trr

dan )(" trr

a.

b.

( ) jeieetr ttt ˆˆ)(2

−+= −r

jtittr ˆ2ˆtan)( 3/5−=r

Arti GeometrisArti Geometris

Df=[a,b]

][a≤ t ≤b

h)(tf +r

(t)fr

(t)f-h)(tfrr

+

c

z

yx

O

P


30

a≤ t ≤b yx

O

Vektor 0h,h

)t(f)ht(f >−+rr

searah dengan vektor (t)f-h)(tfrr

+

Jika h� 0, maka

Merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada

saat

)t('fh

)t(f)ht(flim

0h

rrr

=−+→

fDr∈t

Arti Geometris : Vektor Singgung)t('fr

Garis SinggungGaris Singgung

Df=[a,b]

][a≤t≤b

)(tf 0

r

)(t'f 0

r

c

z

yO

P


31

a≤t≤b yx

O

Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah

)t('ft)t(f)t(x 00

rrr +=atau

<x, y, z>=<f1(t0), f2(t0), f3(t0) >+t<f1’ (t0), f2’ (t0), f3’(t0) >

ContohContoh

ktjtittf ˆˆsinˆcos)( ++=r

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, π).

Diketahui

kjtittf ˆˆcosˆsin)(' ++−=r

Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 = π


32

kjif ˆˆ)1(ˆ0)(' +−+=πr

kjif ˆˆ0ˆ)1()( ππ ++−=r

>−=< 1,1,0

>−=< π,0,1

Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, π) adalah x = –1, y = – t , z = π + t

LatihanLatihan

jtittf ˆcos4ˆsin3)( +=r

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).

1. Diketahui

( )ktjteitetf tt ˆ1ˆcosˆsin)( 2+++=r

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).

2. Diketahui


33

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).

( ) ( ) jtittf ˆ23ˆ22)( 2 −+−=r

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2).

3. Diketahui

Gerak Sepanjang KurvaGerak Sepanjang Kurva

Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka

menyatakan vektor posisi dari titik P.

j)t(gi)t(f)t(r +=r


34

menyatakan vektor posisi dari titik P.

Jika t berubah � ujung vektor bergerak sepanjang)t(rr

lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)

DefinisiDefinisi

1. Kecepatan

2. Percepatan

j)t('gi)t('f)t('r)t(v +==rr

titik P adalah)t(vr

di sebut laju titik P)t(vr

titik P)t(ar

1. Gerak Linear

q)t(hp)t(rrrr

+=

2. Gerak pada Lingkaran

realfungsi)t(h;tetapvektorq,prr

ContohContoh


35

2. Percepatan

j)t(''gi)t(''f)t(''r)t(a +==rr

titik P)t(a

di sebut besar percepatan)t(ar

pada saat t

3. Gerak pada ellips

0a,jtsinaitcosa)t(r >+=r

0b,a,jtsinbitcosa)t(r >+=r

4. Gerak pada heliks

Lingkaran

ktbjtsinaitcosa)t(r ω+ω+ω=r

Contoh Gerak Sepanjang KurvaContoh Gerak Sepanjang Kurva

Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah

x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu)

a. Gambarkan grafik lintasan P.


36


b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan

percepatan

c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan

pada saat mana nilai itu dicapai

JawabJawab

a. Persamaan parameter

x = 3 cos t

y = 2 sin t��

x/3 = cos t

y/2 = sin t

cos2 t + sin2 t =1

123

22

=

+

yx(ellips)

2y

. P(t)vr


37

3-3

-2

x

.(t)ar

b. jtittr ˆsin2ˆcos3)( +=r

jtittvtr ˆcos2ˆsin3)()(' +−==rr

)(ˆsin2ˆcos3)()(" trjtittatrrrr

−=−−==

Jawab (Lanjutan)Jawab (Lanjutan)

tttv 22 cos4sin9)( +=r

( )tttttt 222222 cossin4sin5cos4sin4sin5 ++=++=

4sin5 2 += t

b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = π/2, 3π/2


38

b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = π/2, 3π/2

yaitu pada titik (0, ±2)

Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, πyaitu pada titik (±3, 0)

LatihanLatihan

Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah

x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu)



39


b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan

percepatan

c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan

pada saat mana nilai itu dicapai

KelengkunganKelengkungan

Andaikan a≤t≤b, vektor posisi titik P.j)t(gi)t(f)t(r +=r

Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah

( ) ( )∫ ∫=+=t

a

t

a

duurduugufs )(')(')(' 22 r


40

Laju titik yang bergerak itu adalah

)t(v)t('rdt

ds rr==

)t(v

1

ds

dtr=

Kelengkungan (Ljt)Kelengkungan (Ljt)

� Definisi. Vektor Singgung Satuan di P.

Notasi didefinisikan sbb)t(Tr

)t(v

)t(v

)t('r

)t('r)t(T r

r

r

rr

==

xo

y


41

Apabila P bergerak � berubah arah)t(Tr

xo

disebut vektor kelengkungan di Pds

Tdr

Kelengkungan (Ljt)Kelengkungan (Ljt)

� Kelengkungan di P; κ (kappa).

Dengan aturan rantai diperoleh

)t(v

)t('T

)t(v

1)t('T

ds

dt

dt

Td

ds

Tdr

r

r

rrr

===

ds

Tdr

=κ

)t('TTdrr


42

Jadi

dan

disebut jari-jari kelengkungan

)t(v

)t('T

ds

Tdr

r

==κ

κ= 1

R

ContohContoh

12,ˆsin8ˆcos8)(.1 33 π=+= tpadaPtitikdijtittr

rTentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari

Jawab:

jttitttvtr ˆcossin24ˆsincos24)()(' 22 +−==rr

tttttv 2424 cossinsincos24)( +=r

tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222 =+=


43

jtittv

tvtT ˆsinˆcos

)(

)()( +−== r

rr

tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222 =+=

jtittT ˆcosˆsin)(' +=r

ttttt

tt

tv

tTt

2sin12

1

sincos24

1

sincos24

cossin

)(

)(')(

22

==+== r

r

κ

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

6

1

2

1.12

1

6sin12

1

122sin12

1)

12( =

=

=

=

πππκ

61 ==κ

R (Jari-jari kelengkungan)

Jadi kelengkungan (κ) kurva diatas di t= π/12 adalah 1/6,


44

κSedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6

ContohContoh

Jawab:( ) ( ) kejteteitetetvtr ttttt ˆˆsincosˆcossin)()(' +−++==

rr

( ) ( ) 1sincossincos)(22 +−++= ttttetv t

r

tt etttte 31sincos21sincos21 =+−++=

2,ˆˆcosˆsin)(.2 π=++= tpadaPtitikdikejteitetr ttt

r


45

( ) ( )[ ]kjttitttv

tvtT ˆˆsincosˆcossin

3

1

)(

)()( +−++== r

rr

tt etttte 31sincos21sincos21 =+−++=

( ) ( )[ ]kjttitttT ˆ0ˆcossinˆsincos3

1)(' +−−+−=

r

( ) ( )tt ee

tttt

tv

tTt

3

2

3

cossinsincos

)(

)(')(

22

=++−

== r

r

κ

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

2

23

2

3

2

2

π

ππκ

−==

e

e

2

231 2

π

κe

R == (Jari-jari kelengkungan)

Jadi kelengkungan (κ) kurva diatas di t= π/12 adalah , 2π−


46

Jadi kelengkungan (κ) kurva diatas di t= π/12 adalah ,

Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah

2

3

2π−

e

2

23 2

π

e

LatihanLatihan

Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan

2,ˆcosˆsin)(.1 π=+= tpadaPtitikdijteitetr tt

r

( ) 1,ˆ1ˆ2)(.2 2 =−+= tpadaPtitikdijtittrr

1,ˆ4ˆ4)(.3 2 =+= tpadaPtitikdijtittrr


47

21,ˆ4ˆ4)(.3 2 =+= tpadaPtitikdijtittr

r

9,ˆˆ3cosˆ3sin)(.5 π=++= tpadaPtitikdiktjtittr

r6

,4ˆcos8ˆsin8)(.4 π=++= tpadaPtitikdiktjtittrr

TeoremaTeorema

Andaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka

( ) ( )[ ] 23

22''

"'"'

yx

xyyx

+

−=κ

Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku


48

berlaku

( )[ ] 23

2'1

"

y

y

+=κ

ContohContoh

1. Tentukan kelengkungan elips

x = 2 cos t, y = 3 sin t

pada titik t = 0 dan t = π/2

Jawab:

x’ = –2 sin t

x” = –2 cos t

y’ = 3 cos t

y” = –3 sin t


49

x” = –2 cos t y” = –3 sin t

Kita peroleh

( ) ( )[ ] 23

22''

"'"'

yx

xyyx

+

−=κ

( ) ( )[ ] 2322

22

cos3sin2

cos6sin6

tt

tt

+−

+= [ ] 23

22 cos9sin4

6

tt +=

Sehingga

[ ] 23

22 0cos90sin4

6)0(

+=κ

[ ] 9

2

9

6

23

==2

322

2cos9

2sin4

6)

2(

+

=

πππκ

4

3=

ContohContoh

2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 0)

Jawab:

y’ = 2x y” = 2

Kita peroleh

"y=κ [ ]

2=


50

( )[ ] 23

2'1

"

y

y

+=κ

( )[ ] 232

21

2

x+=

Sehingga

25

52

5

22/3

==( )( )[ ] 2

321.21

21

+=κ

LatihanLatihan

Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P

1. y = x2 – x, di P(1,0)

2. r(t)=(t+t3) i + (t+t2) j , di P(2,2)

3. r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2)

4. r(t)=4(1 – sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8,8π/3)


51

04 Fungsi Vektorexpertcourse.net/assets/document/modul/Teknik/Kalkulus-2/BAB4.pdf · Definisi...

Documents

Transcript of 04 Fungsi Vektorexpertcourse.net/assets/document/modul/Teknik/Kalkulus-2/BAB4.pdf · Definisi...