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  • CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D

    HOJA DE PROBLEMAS 1

    1. En este ejercicio se trata de dibujar el siguiente subconjunto de R3 llamado hiper- boloide de una hoja (a, b, c > 0):

    V = {

    (x, y, z) ∈ R3 : x 2

    a2 +

    y2

    b2 − z

    2

    c2 = 1

    }

    a) Estudiar los cortes de V con planos horizontales z = α. ¿Cómo vaŕıan los cortes en función de α? Deducir que la figura es simétrica respecto al plano z = 0.

    b) Estudiar ahora los cortes con los planos verticales: x = 0, y = 0, y en general y = λx, observando que el resultado son hipérbolas.

    c) Esbozar un dibujo.

    2. Realizar un estudio como el del ejercicio anterior para los siguientes conjuntos: (a, b, c, p > 0)

    (1) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2a2 + y 2

    b2 + z2

    c2 = 1} (Elipsoide) (2) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2a2 + y

    2

    b2 = 1} (Cilindro Eĺıptico) (3) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2a2 + y

    2

    b2 − z 2

    c2 = 0} (Cono) (4) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2a2 − y

    2

    b2 = 1} (Cilindro Hiperbólico) (5) V = {(x, y, z) ∈ R3 : z2c2 = 1 + x

    2

    a2 + y2

    b2 } (Hiperboloide de dos hojas) (6) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2a2 − y

    2

    b2 = 0} (Planos que se cortan) (7) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2a2 + y

    2

    b2 − 2cz = 0} (Paraboloide eĺıptico) (8) V = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 − 2px = 0} (cilindro parabólico) (9) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2a2 − y

    2

    b2 − 2cz = 0} (Paraboloide hiperbólico o silla de montar)

    (10) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − a2 = 0} (par de planos paralelos) 3. Dibujar el conjunto:

    M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 − z2 ≥ 1} 4. Dibujar el conjunto

    M = {(x, y) ∈ R2 : (y2 − 1)(x2 − y) ≤ 0} 5. Dibujar el conjunto

    M = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 + x2 + y2 ≤ z2 ≤ 4} 6. Dibujar el conjunto

    M = {(x, y, z) ∈ R3 : (y2 + z4)(x2 − y2 − 1) = 0}

  • Cálculo Diferencial. Grupo D Hoja 2

    1. Consideremos E un espacio vectorial con un producto escalar 〈·, ·〉. Probar que 〈x, 0〉 = 0 para todo x ∈ E.

    2. Si 〈·, ·〉 es un producto escalar definido en un espacio vectorial E, y || · || es la norma asociada a este producto escalar (es decir || · || =

    √ 〈x, x〉, para todo x ∈ E), demostrar que

    (i) (Ley del paralelogramo) 2||x||2 + 2||y||2 = ||x + y||2 + ||x− y||2, (ii) ||x + y|| ||x− y|| ≤ ||x||2 + ||y||2; ¿Cuando se obtiene la igualdad?

    (iii) (Indentidad de Polarización) 4〈x, y〉 = ||x + y||2 − ||x− y||2, para todo x, y ∈ E. Interpretar geométricamente estos resultados en el caso de R2 en términos del paralelogramo formado por los vectores x e y.

    3. Probar que si E es un espacio vectorial y || · || una norma en E, entonces para todo x, y ∈ E se verifica que ∣∣ ||x|| − ||y|| ∣∣ ≤ ||x− y||.

    4. Comprobar que la expresión

    |(x, y)| := (x2 + y2 + xy)1/2

    define una norma en R2. (Indicación: | · | está inducida por un producto escalar en R2.)

    5. Consideremos dos conjuntos A,B ⊂ Rn, siendo A abierto. Probar que el conjunto A+B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} es abierto en Rn.

    6. Utilizando argumentos únicamente geométricos, justificar que R2 \{(0, 0)} y S = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1} son conjuntos abiertos en R2.

    7. Demostrar que todo conjunto finito de Rn es un conjunto cerrado en Rn. 8. Utilizando argumentos únicamente geométricos, justificar que el subconjunto de R3, A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + 1 < z2} es abierto en R3.

    9. Prueba que toda bola cerrada en Rn es un conjunto cerrado en Rn. ¿Es esto cierto en todo espacio métrico?

    10. Prueba que la adherencia de cualquier bola abierta B(x, r) en Rn (x ∈ Rn y r > 0) es la bola cerrada B(x, r). ¿Es esto cierto en todo espacio métrico?

    11. ¿Es el conjunto de los números racionales Q abierto o cerrado en R? 12. En un espacio métrico (M,d), denotamos por inte(C) al interior de un subconjunto C de

    M . Demostrar que para cualesquiera subconjuntos A,B ⊂M : (i) inte(A ∩B) = inte(A) ∩ inte(B).

    (ii) inte(A ∪ B) ⊃ inte(A) ∪ inte(B). Probar con un ejemplo que la inclusión puede ser estricta.

    (iii) A ∪B = A ∪B. (iv) A ∩B ⊂ A ∩B. Probar con un ejemplo que la inclusión puede ser estricta. (iv) inte(A) es abierto, A y A′ son cerrados, (v) inte(A) es el mayor abierto contenido en A,

    (vi) A es el menor cerrado que contiene a A,

    (vii) inte(inte(A)) = inte(A) y A = A.

    13. Decimos que un punto x ∈ A, donde A es un subconjunto de un espacio métrico (M,d) es un punto aislado de A si existe ε > 0 tal que B(x, ε) ∩ A = {x}. Da un ejemplo de un subconjunto A en R2 con infinitos puntos de acumulación, tal que todos los puntos de A son aislados.

  • CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D

    HOJA 3

    1 Determinense (usando argumentos geométricos) el interior, la adherencia, la acumu- lación, la frontera y los puntos aislados de los siguientes conjuntos:

    a) {(x, y) : x2 − y2 = 1} ⊂ R2

    b) {(x, y) : xy ≥ 1} ⊂ R2

    c) {(x, y, z) : z2 = x2 + y2} ⊂ R3

    d) {(x, y) : x2 ≤ y3} ⊂ R2

    e) {(mn , 1m ) : m,n ∈ Z,m, n 6= 0} ⊂ R2

    f) {(x, y, z) : x = y = z} ⊂ R3

    g) {(x, y, z) : x + y + z = 0, x2 + y2 ≤ 1} ⊂ R3

    h) {(x, y, z) : x2 + y2 ≤ 1, z2 < 1} ⊂ R3

    2 Calcúlese A, siendo A = ∪∞n=1An, en los siguientes casos: a) An = {(x, y, n) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1n} b) An = {(x, y) ∈ R2 : ny = x, x2 + y2 ≥ 1n2 }

    3 Sea A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 < |y|}. Hállense (con argumentos geométricos) su interior, su adherencia y su frontera.

    4 Estúdiese la compacidad de los siguientes conjuntos:

    a) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 2x, y ≥ x} b)

    ⋃∞ n=1{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = n−1}

    c) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : ∑n

    i=1 |xi| ≤ 1} d) {(x, y) ∈ R2 : x2 + |y| ≥ 1} e)

    ⋃ n∈N{(x, y, 1n ) : x2 + y2 ≤ 1n2 } ⊂ R3

    f) {(x, y) : 2xx2−y2 ≤ 1, |x| > |y|} ⊂ R2

    g) ⋃∞

    n=1{(x, 1n ) : 1− 1n ≤ x ≤ 2 + 1n} ⋃

    ([1, 2]× {0}) ⊂ R2

  • Cálculo Diferencial. Grupo D. Hoja 4

    1. Demostrar que una sucesión en Rn no puede converger a dos puntos distintos. ¿Es esto cierto en todo espacio métrico?

    2. Consideremos las sucesiones en R2, {an}∞n=1 y {bn}∞n=1, siendo

    an =

    ( n

    n+ 1 sin(

    π

    2 n),

    n+ 1

    n cos(

    π

    2 n)

    ) , bn =

    ( e−n

    2

    , n2 + n+ 1

    3n2 + 1

    ) .

    (a) Encontrar dos subsucesiones de {an}∞n=1 convergentes a distintos ĺımites. (b) Estudiar si son acotadas y si son convergentes.

    3. Consideremos en R2 la serie ∑∞

    i=1 vi , siendo vi = ( cos(iπ)

    i , (sen i)

    i

    i2 ). ¿Es esta serie convergente? ¿Es

    absolutamente convergente? 4. Consideremos en Rn una sucesión {xk} convergente a un punto x. Pruébese que el conjunto {xk : k ∈

    N} ∪ {x} es compacto. 5. ¿Es la unión de dos compactos en Rn un conjunto compacto? ¿Es todo conjunto finito en Rn un

    conjunto compacto? 6. (i) Se consideran los subconjuntos de R2 definidos como

    M1 =

    {( (−1)n+1

    n2 , e(−1)

    nn

    ) : n ∈ N

    } ∪ {(0, 0)},

    M2 =

    {( (−1)n+1

    n2 , n cos(nπ)

    n+ 1

    ) : n ∈ N

    } ∪ {(0, 1), (0,−1)}.

    Estudiar si son acotados y si son cerrados. ¿Son compactos? (ii) Hacer lo mismo en R3 para el subconjunto

    M3 =

    {( n+ 1

    n (−1)n, 1

    2n , (−1)n

    ) : n ∈ N

    } ∪ {(1, 0, 1), (−1, 0, 1), (−1, 0,−1)}.

    7. Probar que la frontera de un conjunto acotado en Rn es siempre compacta. 8. Sea A ⊂ Rn un subconjunto no vaćıo. Se define d(x,A) := ı́nf{||x − a|| : a ∈ A}. Demostrar que

    A = {x ∈ X : d(x,A) = 0}. 9. Demuestra que todo conjunto infinito y acotado de Rn posee al menos un punto de acumulación. (Esta

    es otra formulación del Teorema de Bolzano-Weirstrass). 10. En R, consideramos el conjunto A = ([0, 1] ∩ Q) ∪ {2}. Dar tres abiertos relativos y tres cerrados

    relativos de A. 11. En R2, consideramos los conjuntos A = [0, 3) × [0, 3) y B = ([0, 3) ∩ Q) × [0, 3). Dar tres abiertos

    relativos y tres cerrados relativos de A y B. 12. Determinar las componentes conexas de los siguientes subconjuntos de Rn:

    (a) [0, 1] ∪ [2, 3] (en R). (b) Z (en R). (c) Q ∩ [0, 1] (en R). (d) Rn \ {x ∈ Rn : ||x|| = 1} (en Rn).

    13. Probar que en la definición de conjunto conexo por caminos siempre podemos considerar que los caminos están definidos en un intervalo prefijado [r, s] con r < s.

    14. Supongamos que existen caminos continuos en Rn, p1 que une x ∈ Rn con y ∈ Rn y p2 que une y con z ∈ Rn. Probar que existe un camino continuo en Rn que une x con z.

    15. (i) Sea p : [0, 1] −→ Rn un camino continuo en Rn tal que p(0) = x ∈ Rn y p(1) = y ∈ Rn. Dar una expresión de un camino continuo q : [0, 1] −→ Rn, tal que q(0) = y y q(1) = x.

    16. (i) Consideremos el subconjunto de R2 definido como A = {(x, y) ∈ R2 : x ó y son naturales }. Hacer un dibujo aproximado de este conjunto y definir un camino continuo en A que vaya del punto (1, 1) al (4, 2). ¿Es A conexo por caminos? (ii) Consideremos la circunferencia C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}. Para cualesquiera dos puntos v, w ∈ C, encontrar la expresión expĺıcita de un camin