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CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D

HOJA DE PROBLEMAS 1

1. En este ejercicio se trata de dibujar el siguiente subconjunto de R3 llamado hiper-boloide de una hoja (a, b, c > 0):

V ={

(x, y, z) ∈ R3 :x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1

}

a) Estudiar los cortes de V con planos horizontales z = α. ¿Como varıan los cortesen funcion de α? Deducir que la figura es simetrica respecto al plano z = 0.

b) Estudiar ahora los cortes con los planos verticales: x = 0, y = 0, y en generaly = λx, observando que el resultado son hiperbolas.

c) Esbozar un dibujo.

2. Realizar un estudio como el del ejercicio anterior para los siguientes conjuntos:(a, b, c, p > 0)

(1) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1} (Elipsoide)

(2) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2

a2 + y2

b2 = 1} (Cilindro Elıptico)

(3) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2

a2 + y2

b2 − z2

c2 = 0} (Cono)

(4) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2

a2 − y2

b2 = 1} (Cilindro Hiperbolico)

(5) V = {(x, y, z) ∈ R3 : z2

c2 = 1 + x2

a2 + y2

b2 } (Hiperboloide de dos hojas)

(6) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2

a2 − y2

b2 = 0} (Planos que se cortan)(7) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2

a2 + y2

b2 − 2cz = 0} (Paraboloide elıptico)

(8) V = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 − 2px = 0} (cilindro parabolico)

(9) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2

a2 − y2

b2 − 2cz = 0} (Paraboloide hiperbolico o silla demontar)

(10) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − a2 = 0} (par de planos paralelos)

3. Dibujar el conjunto:

M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 − z2 ≥ 1}4. Dibujar el conjunto

M = {(x, y) ∈ R2 : (y2 − 1)(x2 − y) ≤ 0}5. Dibujar el conjunto

M = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 + x2 + y2 ≤ z2 ≤ 4}6. Dibujar el conjunto

M = {(x, y, z) ∈ R3 : (y2 + z4)(x2 − y2 − 1) = 0}

Calculo Diferencial. Grupo DHoja 2

1. Consideremos E un espacio vectorial con un producto escalar 〈·, ·〉. Probar que 〈x, 0〉 = 0para todo x ∈ E.

2. Si 〈·, ·〉 es un producto escalar definido en un espacio vectorial E, y || · || es la norma asociada

a este producto escalar (es decir || · || =√〈x, x〉, para todo x ∈ E), demostrar que

(i) (Ley del paralelogramo) 2||x||2 + 2||y||2 = ||x + y||2 + ||x− y||2,(ii) ||x + y|| ||x− y|| ≤ ||x||2 + ||y||2; ¿Cuando se obtiene la igualdad?

(iii) (Indentidad de Polarizacion) 4〈x, y〉 = ||x + y||2 − ||x− y||2,para todo x, y ∈ E. Interpretar geometricamente estos resultados en el caso de R2 enterminos del paralelogramo formado por los vectores x e y.

3. Probar que si E es un espacio vectorial y || · || una norma en E, entonces para todo x, y ∈ Ese verifica que ∣∣ ||x|| − ||y|| ∣∣ ≤ ||x− y||.

4. Comprobar que la expresion

|(x, y)| := (x2 + y2 + xy)1/2

define una norma en R2. (Indicacion: | · | esta inducida por un producto escalar en R2.)

5. Consideremos dos conjuntos A,B ⊂ Rn, siendo A abierto. Probar que el conjunto A+B ={x + y : x ∈ A, y ∈ B} es abierto en Rn.

6. Utilizando argumentos unicamente geometricos, justificar que R2 \{(0, 0)} y S = {(x, y) ∈R2 : xy > 1} son conjuntos abiertos en R2.

7. Demostrar que todo conjunto finito de Rn es un conjunto cerrado en Rn.

8. Utilizando argumentos unicamente geometricos, justificar que el subconjunto de R3, A ={(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + 1 < z2} es abierto en R3.

9. Prueba que toda bola cerrada en Rn es un conjunto cerrado en Rn. ¿Es esto cierto en todoespacio metrico?

10. Prueba que la adherencia de cualquier bola abierta B(x, r) en Rn (x ∈ Rn y r > 0) es labola cerrada B(x, r). ¿Es esto cierto en todo espacio metrico?

11. ¿Es el conjunto de los numeros racionales Q abierto o cerrado en R?

12. En un espacio metrico (M,d), denotamos por inte(C) al interior de un subconjunto C deM . Demostrar que para cualesquiera subconjuntos A,B ⊂M :(i) inte(A ∩B) = inte(A) ∩ inte(B).

(ii) inte(A ∪ B) ⊃ inte(A) ∪ inte(B). Probar con un ejemplo que la inclusion puede serestricta.

(iii) A ∪B = A ∪B.(iv) A ∩B ⊂ A ∩B. Probar con un ejemplo que la inclusion puede ser estricta.(iv) inte(A) es abierto, A y A′ son cerrados,(v) inte(A) es el mayor abierto contenido en A,

(vi) A es el menor cerrado que contiene a A,

(vii) inte(inte(A)) = inte(A) y A = A.

13. Decimos que un punto x ∈ A, donde A es un subconjunto de un espacio metrico (M,d)es un punto aislado de A si existe ε > 0 tal que B(x, ε) ∩ A = {x}. Da un ejemplo de unsubconjunto A en R2 con infinitos puntos de acumulacion, tal que todos los puntos de Ason aislados.

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D

HOJA 3

1 Determinense (usando argumentos geometricos) el interior, la adherencia, la acumu-lacion, la frontera y los puntos aislados de los siguientes conjuntos:

a) {(x, y) : x2 − y2 = 1} ⊂ R2

b) {(x, y) : xy ≥ 1} ⊂ R2

c) {(x, y, z) : z2 = x2 + y2} ⊂ R3

d) {(x, y) : x2 ≤ y3} ⊂ R2

e) {(mn , 1

m ) : m,n ∈ Z,m, n 6= 0} ⊂ R2

f) {(x, y, z) : x = y = z} ⊂ R3

g) {(x, y, z) : x + y + z = 0, x2 + y2 ≤ 1} ⊂ R3

h) {(x, y, z) : x2 + y2 ≤ 1, z2 < 1} ⊂ R3

2 Calculese A, siendo A = ∪∞n=1An, en los siguientes casos:

a) An = {(x, y, n) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1n}

b) An = {(x, y) ∈ R2 : ny = x, x2 + y2 ≥ 1n2 }

3 Sea A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 < |y|}. Hallense (con argumentosgeometricos) su interior, su adherencia y su frontera.

4 Estudiese la compacidad de los siguientes conjuntos:

a) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 2x, y ≥ x}b)

⋃∞n=1{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = n−1}

c) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn :∑n

i=1 |xi| ≤ 1}d) {(x, y) ∈ R2 : x2 + |y| ≥ 1}e)

⋃n∈N{(x, y, 1

n ) : x2 + y2 ≤ 1n2 } ⊂ R3

f) {(x, y) : 2xx2−y2 ≤ 1, |x| > |y|} ⊂ R2

g)⋃∞

n=1{(x, 1n ) : 1− 1

n ≤ x ≤ 2 + 1n}

⋃([1, 2]× {0}) ⊂ R2

Calculo Diferencial. Grupo D. Hoja 4

1. Demostrar que una sucesion en Rn no puede converger a dos puntos distintos. ¿Es esto cierto en todoespacio metrico?

2. Consideremos las sucesiones en R2, {an}∞n=1 y {bn}∞n=1, siendo

an =

(n

n+ 1sin(

π

2n),

n+ 1

ncos(

π

2n)

), bn =

(e−n

2

,n2 + n+ 1

3n2 + 1

).

(a) Encontrar dos subsucesiones de {an}∞n=1 convergentes a distintos lımites.(b) Estudiar si son acotadas y si son convergentes.

3. Consideremos en R2 la serie∑∞

i=1 vi , siendo vi = ( cos(iπ)i

, (sen i)i

i2). ¿Es esta serie convergente? ¿Es

absolutamente convergente?4. Consideremos en Rn una sucesion {xk} convergente a un punto x. Pruebese que el conjunto {xk : k ∈

N} ∪ {x} es compacto.5. ¿Es la union de dos compactos en Rn un conjunto compacto? ¿Es todo conjunto finito en Rn un

conjunto compacto?6. (i) Se consideran los subconjuntos de R2 definidos como

M1 =

{((−1)n+1

n2, e(−1)nn

): n ∈ N

}∪ {(0, 0)},

M2 =

{((−1)n+1

n2,n cos(nπ)

n+ 1

): n ∈ N

}∪ {(0, 1), (0,−1)}.

Estudiar si son acotados y si son cerrados. ¿Son compactos?(ii) Hacer lo mismo en R3 para el subconjunto

M3 =

{(n+ 1

n(−1)n,

1

2n, (−1)n

): n ∈ N

}∪ {(1, 0, 1), (−1, 0, 1), (−1, 0,−1)}.

7. Probar que la frontera de un conjunto acotado en Rn es siempre compacta.8. Sea A ⊂ Rn un subconjunto no vacıo. Se define d(x,A) := ınf{||x − a|| : a ∈ A}. Demostrar que

A = {x ∈ X : d(x,A) = 0}.9. Demuestra que todo conjunto infinito y acotado de Rn posee al menos un punto de acumulacion. (Esta

es otra formulacion del Teorema de Bolzano-Weirstrass).10. En R, consideramos el conjunto A = ([0, 1] ∩ Q) ∪ {2}. Dar tres abiertos relativos y tres cerrados

relativos de A.11. En R2, consideramos los conjuntos A = [0, 3) × [0, 3) y B = ([0, 3) ∩ Q) × [0, 3). Dar tres abiertos

relativos y tres cerrados relativos de A y B.12. Determinar las componentes conexas de los siguientes subconjuntos de Rn:

(a) [0, 1] ∪ [2, 3] (en R). (b) Z (en R).(c) Q ∩ [0, 1] (en R). (d) Rn \ {x ∈ Rn : ||x|| = 1} (en Rn).

13. Probar que en la definicion de conjunto conexo por caminos siempre podemos considerar que los caminosestan definidos en un intervalo prefijado [r, s] con r < s.

14. Supongamos que existen caminos continuos en Rn, p1 que une x ∈ Rn con y ∈ Rn y p2 que une y conz ∈ Rn. Probar que existe un camino continuo en Rn que une x con z.

15. (i) Sea p : [0, 1] −→ Rn un camino continuo en Rn tal que p(0) = x ∈ Rn y p(1) = y ∈ Rn. Dar unaexpresion de un camino continuo q : [0, 1] −→ Rn, tal que q(0) = y y q(1) = x.

16. (i) Consideremos el subconjunto de R2 definido como A = {(x, y) ∈ R2 : x o y son naturales }. Hacerun dibujo aproximado de este conjunto y definir un camino continuo en A que vaya del punto (1, 1) al(4, 2). ¿Es A conexo por caminos?(ii) Consideremos la circunferencia C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}. Para cualesquiera dos puntosv, w ∈ C, encontrar la expresion explıcita de un camino continuo en C que une v con w. Hacer lo

mismo para la elipse E = {(x, y) ∈ R2 : x2

a2 + y2

b2= 1} (a, b > 0).

17. Consideremos {Ai}i∈I una familia arbitraria de subconjuntos de Rn conexos por caminos. Probar quesi ∩i∈IAi 6= ∅, entonces ∪i∈IAi es conexo por caminos.

18. Demostrar que un subconjunto A de Rn es conexo si y solo si los unicos subconjuntos de A que son ala vez abiertos y cerrados relativos en A son A y ∅.

19. Sea A ⊂ Rn un subconjunto no vacıo, abierto y conexo. Probar que entonces A es conexo porcaminos Indicacion: Seleccionamos un punto a ∈ A y consideramos el subconjunto B = {x ∈ A :existe un camino continuo en A que conecta a y x}. Probar que B y A \B son abiertos.

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D

HOJA 5

1. En los siguientes casos, estudiese si M y M \ {(0, 0)} son conexos:

a) M = {(x, y) : x2 + (y + 1)2 ≤ 1} ∪ {(0, y) : 0 ≤ y < 1}b) M = {(x, y) : x ∈ Q , 0 < y ≤ 1} ∪ {(x, y) : x 6∈ Q , −1 ≤ y < 0} ∪R × {1} ∪

R× {−1} ∪ {(0, 0)}c) M = {(x, y) ∈ R2 : y = αx, x ∈ R, α ∈ R \Q}

2. Estudiese si son conexos o conexos por caminos los conjuntos:

a) R2 \M , siendo M numerable.b) {(x, y) : 1 < 4x2 + 9y2 < 9;x 6= 1

n , n ∈ N, n > 1} ∪ {(x, y) : 1 = 4x2 + 9y2} ⊂ R2.

3. Sea A un subconjunto conexo de Rn que contiene mas de un punto, pruebese quetodos sus puntos son de acumulacion.

4. Estudiese la existencia de lımite en el origen para las funciones:

a) f(x, y) = exy

x+1 b) f(x, y) = yx sin(x2 + y2)

c) f(x, y) = sin(x2+y2)x2+y2 d) f(x, y) = (x + y) sin 1

x sin 1y

e) f(x, y) = x2yx2+y2 f) f(x, y) = x2y2

x2y2+(x−y)2

g) f(x, y) = x4yx4+y4 h) f(x, y) = 1

x sin xy

i) f(x, y) = x3

x2+y2 j) f(x, y) = x2|y|1/2 log(x2 + y2)

k) f(x, y) = exy−1x l) f(x, y) = y2

x sin(x2 + y2)

m) f(x, y) = x|y|(x2+y2)1/2 n) f(x, y) = (y2−x)2

y4+x2

o) f(x, y) = sin(x−y)(x2+y2)1/2 p) f(x, y, z) = xy2z

x2+y2+z2

q) f(x, y) = x2+y2

sin xy r) f(x, y) = x2y2 log(x2 + y2)

5. Estudiese la existencia del limıte en (1,−1) de las siguientes funciones :

F (x, y) =(

exy−y+x−1

x,

(x− 1)2(y + 1)(x− 1)2 + (y + 1)2

)

G(x, y) =(

x2 − 2x + 1(x− 1)2 + (y + 1)2

,sen((x− 1)2 + (y + 1)2)

(x− 1)2 + (y + 1)2

)

7. Determinar, si existen, los limites iterados y el lımite doble en (0,0) de la funcion:

f(x, y) =(xy)2

(xy)2 + (x− y)2.

8. Comprobar si existe lim(x,y)→(0,0) f(x, y), donde f(x, y) ={

sin yy(x2+1) si y 6= 0

0 si y = 0

9. Sea f : R2 −→ R, definida por f(x, y) ={

xy2

|xy2|+|x2−y4| si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Calculense, si existen, los lımites reiterados en (0, 0). ¿Es f continua en (0, 0)?

10. Sea f(x, y) = y−x3

y2+x6 sin(y − x3) cos(xy) si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 1. Estudiese lacontinuidad en el origen.

11. Sea f(x, y) = xpyq

x2+y2−xy con p, q ≥ 0. Discutir la existencia de lim(x,y)→(0,0) f(x, y) enfuncion de los valores de p y q.

12. a) Sea f : Rn −→ Rm continua. Pruebese que Gf = {(x, f(x)) : x ∈ Rn} es cerradoen Rn+m.b) Sea f : R −→ [0, 1]. Pruebese que si Gf es cerrado en R2, entonces f es continua.

13. Pruebese que la funcion definida en R2 por:

f(x, y) ={

y5+x3+x2+x−y5+x3+x2−x si − y5 + x3 + x2 − x 6= 0

−1 si − y5 + x3 + x2 − x = 0

no es continua en (0, 0).

14. Estudiese la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = (x + y)2 cos1

x + ysi x + y 6= 0 f(x, y) = 0 si x + y = 0

b) f(x, y) =1

x + ysi x + y 6= 0 f(x, y) = 0 si x + y = 0

c) f(x, y) =|x|+ |y|

(x2 + y2)12

si (x, y) 6= (0, 0) f(0, 0) = 0

d) f(x, y) =1− cos

√x2 + y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) f(0, 0) = 0

e) f(x, y) = xyx2 − y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) f(0, 0) = 0

f) f(x, y) =1√|x− y|e

− 1x2+y2 si x 6= y f(x, y) = 0 si x = y

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO DHOJA DE PROBLEMAS 6

1. Dar la definicion de lim||(x,y)||→∞ f(x, y) para una funcion f de dos variables, de formaanaloga al caso de funciones de una variable, ası como una caracterizacion de estos lımites a traves de sucesiones. Estudiar la existencia de los lımites siguientes:

a) lim||(x,y)||→∞

cos(x + y)ex + ey

b) lim||(x,y)||→∞

(y − x2) log(1 + x2 + y2)1 + sin2 x

c) lim||(x,y)||→∞

(x + y)ex2+y2d) lim

||(x,y)||→∞3− x2 cos(y − x3)

x2 + y4

e) lim||(x,y)||→∞

(x2 + y2)e−(x2+y2)

2. Estudiese la continuidad uniforme de las siguientes funciones:

a) f : R −→ R2 f(t) =(

11 + t2

,t

1 + t4

)b) f : R2 −→ R f(x, y) = xy2

3. Estudiese la continuidad uniforme de f en M en los siguientes casos:

a) f(x, y) =(

x2yx2+y2 , sin(x2+y2)

x2+y2

)en M = {(x, y) : y < x2 < 4x− y2}

b) f(x, y) =(

2x2

x2+y2 − 1, x2y2 log(x2 + y2))

M = {(x, y) : x < x2 + y2 < 2x}c) f(x, y) = y

x sin(x2 + y2) M = {(x, y) : 0 < y < x < 1}

4. Se considera el conjunto:

A = {(x, y) ∈ R2 : y2 − 1 < x <√

1− y2, y ∈ [−1, 1]} \ {(0, 0)}

a) Se considera f : A −→ R definida por f(x, y) = xy tan(x2+y2)x2+y2 . Pruebese que f es

continua.b) ¿ Existe g : A −→ R continua tal que la restriccion de g a A sea f?d) ¿Es f uniformemente continua?

5. Sea la funcion

f(x, y) ={

x4yx8+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) Estudiese si f es continua en (0, 0).

b) Sea M = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x5 ≤ 1}. ¿Es f restringida a M uniformementecontinua?

c) ¿Es f(M) compacto?

6. Sea M = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≥ x2 + y2 ≥ 2|y|} y sea f : M −→ R2 definida por

f(x, y) =

{ (y2

x2+y2 , sin(x + y))

si (x, y) 6= (0, 0), (x, y) ∈ M

(0, 0) si (x, y) = (0, 0)a) Pruebese que M es compacto.b) Estudiese la continuidad y continuidad uniforme de f en M .c) ¿Es f(M) compacto?

7. Se consideran el conjunto D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x2+y2 < 1} y la funcion f : D −→ Rdefinida por f(x, y) = xy√

x2+y2. Estudiese si f es uniformemente continua.

8. Pruebese el siguiente Teorema: Si F ⊂ Rn es un conjunto cerrado no acotado yf : F −→ R es una funcion continua que verifica que

lim||x||→+∞

f(x) = a, a ∈ R,

entonces f es uniformemente continua en F .

9. Estudiese la continuidad uniforme de la funcion f(x, y) = (2x2 + 2y2)e−(x+y) en elconjunto M = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}. ¿Es f uniformemente continua en R2?

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D. HOJA DE PROBLEMAS 7

1. Calculense las derivadas direccionales de las funciones siguientes en los puntos y di-recciones indicados:a) f(x, y) = ex cos(πy) en el punto (0,−1); direccion (−1√

5, 2√

5)

b) f(x, y, z) = ex + yz, en el punto (1,1,1); direccion ( 1√3, −1√

3, 1√

3)

2. Calculese la matriz Jacobiana en los puntos que se indican de las funciones siguientes:f(t) = (tan t, sin t, et) en t = 0;f(u, v) = (u2v3, u3v, u4v2) en (u, v) = (1, 2);f(x, y) = (ex + sin y, x2 cos y) en (x, y) = (π, π/2);f(x, y, z) = ex2+y2+z3

en (x, y, z) = (0, 0, 0);f(x, y, z) = (x4y cos z, xez) en (x, y, z) = (π/2, 0, 0);f(x, y) = (sin x + log(1 + y2), cos(xy)) en (x, y) = (π, 0).

3. ¿Son tangentes las graficas de las funciones f(x, y) = x2 +y2 y g(x, y) = x2−y2 +xy3

en el punto (0, 0)?

4. Sea γ : R −→ Rn una curva diferenciable con γ′(t) 6= 0, ∀t ∈ R. Sea p ∈ Rn unpunto que no pertenezca a γ(R). Supongamos que existe q = γ(t0) el punto de lacurva mas cercano a p. Demuestrese que el vector p− q es ortogonal a la curva en q.

5. Sean f, g : R −→ Rn dos curvas diferenciables con f ′(t) 6= 0, g′(t) 6= 0, ∀t ∈ R.Supongamos que existen p = f(s0) y q = g(t0) tales que

||p− q|| ≤ ||f(s)− g(t)||, ∀t, s ∈ R.

Pruebese que p− q es un vector ortogonal a las curvas f y g en p y q respectivamente.

6. Calculese la derivada direccional de la funcion

f(x, y, z) = x2 − y2 + xy2z − zx

en el punto (1,3,2) segun la direccion del vector (√

22 ,−

√2

2 , 0). ¿En que direccion esmaxima la derivada direccional? ¿Cual es el valor de la derivada direccional maxima?

7. Sea f : R2 −→ R, definida por: f(x, y) ={

x2y4

x4+y6 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Estudiese la

existencia de derivadas direccionales y la diferenciabilidad de f en R2.

8. Estudiese la diferenciabilidad en (0, 0) de las siguiente funciones:

(i) f(x, y) = exy

x+1definida en el abierto U = {(x, y) ∈ R2 : x 6= −1}.

(ii) f(x, y) =

{sin(x2+y2)

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0), (iii) f(x, y) =

{x2y

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

(iv) f(x, y) =

{x4y

x4+y4 (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0), (v) f(x, y) =

{x3

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

(vi) f(x, y) =

{(x + y) sin 1

xcos 1

yx 6= 0, y 6= 0

0, x = 0 o y = 0, (vii) f(x, y) =

{x2y2

x2y2+(x−y)2(x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

(viii) f(x, y) =

{1x

sin(xy), x 6= 0

0, x = 0, (ix) f(x, y) =

{x2|y|1/2 log(x2 + y2) (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

(x) f(x, y) =

{exy−1

x, x 6= 0

0, x = 0, (xii) f(x, y) =

{x|y|√x2+y2

(x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

(xiii) f(x, y, z) =

{xy2z

x2+y2+z2 , (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

0, (x, y, z) = (0, 0, 0), (xiv) f(x, y) =

{x2y2 log(x2 + y2) (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D

HOJA DE PROBLEMAS 8

1. Calculese la diferencial en el punto (0, 0, 0) de la funcion:

f(x, y, z) =∫ xy2

z

(t2 + 1)e−t2dt

2. Sean n un numero natural y f : R2 −→ R la funcion definida por:

f(x, y) =

{(x + y)n cos 1

(x2+y2)12

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Encontrar los numeros naturales n para los que: a) f sea continua; b) f sea diferen-ciable; c) f tenga derivadas parciales continuas.

3. Sea f(x, y, z) = x2−z2

x2+y2+z2 sin(x−y), si (x, y, z) ∈ R3\{0}. ¿ Que valor habrıa que dara f(0, 0, 0), para que f fuese continua en todo R3? ¿ Es en este caso f diferenciable?

4. Sean g(t) = (t, 2t) y

f(x, y) ={

xy2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

a) Pruebese que f admite derivadas parciales en (0, 0) y calculense.b) Pruebese que f ◦ g es diferenciable.c) Compruebese que (f ◦ g)′(0) 6=< ∇f(0, 0), g′(0) >.

5. Sean

f(x, y) ={

xy sin xy si y 6= 0

0 si y = 0 y g(x, y) =1π

ex+y +∫ x

0

t2

(1 + t4)12dt

a) Pruebese que F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) es diferenciable en (0, 0) y (0, r).b) Deduzcase que G = F ◦ F es diferenciable en (0, 0) y calculese DG(0, 0).

6. En los siguientes casos, estudiese si f es diferenciable y si es de clase C1:

a) f(x, y) ={

x sin2 yx2+2y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)b) f(x, y) =

{log(1+x2y2)

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

7. Sea f(x, y, z) = (exz + x− 1, z + aey), y g(u, v) = v + usen 1u2+v2 , g(0, 0) = 0.

a) Estudiese la diferenciabilidad de f y g.b) ¿Para que valores de a puede asegurarse, utilizando la regla de la cadena, que

g ◦ f es diferenciable en (0, 0, 0)? Calculese, en ese caso, D(g ◦ f)(0, 0, 0).

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D

HOJA DE PROBLEMAS 9

1. Sea f : R2 → R definida por f(x, y) = y2+sin x2

y2+x2 si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 1.Estudiese si f es diferenciable en el origen.

2. Calculese la matriz jacobiana de las siguientes transformaciones:a) f(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) b) f(ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θ cosϕ, ρ cos θ sin ϕ, ρ sin θ)c) f(x, y) = (ex + ey, ex − ey) d) f(x, y, z) = (x + y2, y + z2, z + x2)

3. Calculese ∂h∂x , siendo h(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)), y

f(u, v) =u2 + v2

u2 − v2, u(x, y) = e−x−y, v(x, y) = exy,

(a) utilizando la regla de la cadena; (b) directamente.

4. Sea f : Rn −→ R de clase C1 y sean a, b ∈ Rn tales que f(a) = f(b). ¿Existe x ∈ [a, b]tal que Df(x) = 0?

5. Sea F : R2 −→ R2, definida por F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)), en donde

f(x, y) = y2 sin(x/y) si y 6= 0; f(x, 0) = 0,

y g es diferenciable en (0,0), verificandose: g(0, 0) = 0, Dug(0, 0) = 1, Dvg(0, 0) = 0,siendo u y v los vectores ( 1√

2, 1√

2) y (− 1√

2, 1√

2), respectivamente.

a) Calculese ∇g(0, 0).b) Estudiese la diferenciabilidad de F en (0,0).c) Demuestrese que la funcion G = (F ◦ F ) + F de R2 en R2 es diferenciable en

(0, 0) y calculese DG(0, 0).d) Demuestrese que ∂2f

∂x∂y (0, 0) 6= ∂2f∂y∂x (0, 0).

6. ¿Se cumple el Teorema de Schwarz sobre las parciales cruzadas para la siguientefuncion?

f(x, y) = xyx2 − y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) f(0, 0) = (0, 0)

7. Calculese el Polinomio de Taylor de grado menor o igual que 3 para las siguientesfunciones en los puntos que se indica:

a) f(x, y) = e(x−1)2 cos y en (1, 0), b) f(x, y) = x sin y + y sinx en (0, 0).c) f(x, y) = xy2 en (0, 0), d) f(x, y) = log(x + y) en (1, 1).e) f(x, y) = 1

x2+y2+1 en (0, 0), f) f(x, y) = y2

x3 en (1,−1)

8. Consideremos la funcion f(x, y) = yx definida en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : y >0} (en el que f es de clase C∞). Encuentrese un polinomio P (x, y) en dos variables,de grado menor o igual que 3, tal que

lim(x,y)→(0,1)

f(x, y)− P (x, y)(x2 + (y − 1)2)3/2

= 0.

9. (i) Si f, g, h : R2 → R son funciones diferenciables y definimos V : R2 → R, V (x, y) =f(x2g(x, y), e3y + h(x, y)), ¿Es V diferenciable en R2? Si es ası, calcula las parcialesde V (en terminos de las parciales de f, g, h).(ii) Supongamos que f, g, h son de clase C2(R2), ¿Es V de clase C2(R2)? Si es ası,

calcula las parciales de orden dos de V (en terminos de las parciales de f, g, h).

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO DHOJA DE PROBLEMAS 10

1. Estudiense los puntos crıticos, maximos y mınimos relativos de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x− x2 − y2, b) f(x, y) = x2 − y2 + xy, c) f(x, y) = x2 + y2 + 3xy,d) f(x, y) = y2 − x3, e) f(x, y) = x3 + y3 − 3axy, f) f(x, y) = sen(x2 + y2),g) f(x, y) = xyex+2y, h) f(x, y) = e1+x2−y2

, i) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2,j) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2x + yz.

2. Decidir si existen maximo y/o mınimo absolutos de las siguientes funciones en losconjuntos que se indican y calcularlos en caso afirmativo.

a) f(x, y) = x− x2 − y2, en K = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||∞ ≤ 1}.b) f(x, y) = sen(xy), en K = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||∞ ≤ 1}.

3. Decidir si existen maximo y/o mınimo absolutos de las siguientes funciones en losconjuntos que se indican y calcularlos en caso afirmativo.

a) f(x, y) = 4x2 + y2 − 4x− 3y en K = {y ≥ 0, 4x2 + y2 ≤ 4}.b) f(x, y) = (x + y)e−(x2+y2) en R2.

4. Sea f(x, y) = (y − 3x2)(y − x2)a) Pruebese que (0,0) es un punto crıtico de f .b) Pruebese que f tiene un mınimo relativo en (0,0) sobre cada recta que pasa por

(0,0).c) Pruebese que (0,0) no es un mınimo relativo de f .

5. Encuentrense los puntos (x, y) ∈ R2 y las direcciones para las que la derivada direc-cional de f(x, y) = 3x2 + y alcanza el maximo valor, suponiendo que (x, y) verificax2 + y2 ≤ 1.

6. Sea D un abierto acotado de Rn, y sea f : D −→ R una funcion continua, diferenciableen D. Si f se anula en la frontera de D, demuestrese que existe al menos un puntoa ∈ D tal que Df(a) = 0.

7. Hallese la ecuacion del plano que pasa por (1, 1, 2) y determina con los ejes de coor-denadas un tetraedro de volumen mınimo (no nulo). (El volumen de un tetraedro esBh/3 siendo B el area de la base y h la altura).

8. Sean f(x, y) = eax+y2+ bsen(x2 + y2)

a) Determınense los valores de los parametros a y b para que f tenga un extremorelativo en (0, 0), y que el polinomio de Taylor de grado 2 de f en el origen tomael valor 6 en el punto (1, 2).

b) Con los resultados obtenidos en (a), ¿que clase de extremo es el punto (0, 0) paraf?

9. Sea f(x, y) = a[2xy + y2 + yx2 + cos(x + y)] + x2(a2 − y). Discutase la existencia deextremos relativos en el origen, segun los valores de a.

10. Hallar los extremos absolutos, si existen, de la funcion f(x, y) = (ax2 + by2)e−(x2+y2),siendo a, b > 0.

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO DHOJA DE PROBLEMAS 11

1. Estudiese si la funcion f(x, y) =(

x2−y2

x2+y2 , xyx2+y2

)tiene inversa en algun abierto que

contiene al punto (0, 1).

2. Pruebese que la funcion f(x, y, z) = (z cos(xy), z sin(xy), x + z) admite una inversalocal g de clase infinito en algun abierto que contiene al punto (x, y, z) = (1, 0, 1);calculese Dg(f(1, 0, 1)).

3. Pruebese que la funcion f(x, y) = (ex cos y, ex sin y) admite una inversa local de claseinfinito en un entorno de cada punto. Comprobar que, sin embargo, f no admite unainversa global.

4. Sea ϕ(r, θ) = (rcosθ, rsenθ). Pruebese que ϕ admite una inversa local de clase C∞ enun entorno de cada punto (r, θ) con r > 0. Calculese una inversa de ϕ en el conjuntoA = {(x, y) ∈ R2, x > 0, y > 0}.

5. Sea g : R3 −→ R3 definida por g(x, y, z) = (e2y + e2z, e2x − e2z, x− y)a) Pruebese que g admite inversa de clase C∞ en un entorno de cada punto.b) ¿Admite g inversa global?

6. Sea f : R5 → R2 definida por

f(x, y, z, u, v) = (u + v + x2 − y2 + z2, u2 + v2 + u− 2xyz)

Pruebese que el sistema de ecuaciones f = 0 define, en un entorno de (0, 0, 0,− 12 , 1

2 ),una funcion implıcita de clase infinito (u, v) = (h1(x, y, z), h2(x, y, z)) = h(x, y, z) ycalculese Dh(0, 0, 0).

7. Sea h : R2 → R la funcion definida por h(x, y) = x3 + y3 + x2 + xy + ay siendo a 6= 0un parametro real.a) Consideremos la ecuacion h(x, y) = 0. ¿Se puede obtener y como funcion

implıcita de clase C∞ de x, en un entorno de (0, 0)?b) Sea y = f(x) la funcion implıcita determinada por h(x, y) = 0, definida en un

cierto abierto U con 0 ∈ U . Calculese el valor de a para que el polinomio deTaylor de segundo grado de f en el origen valga 1 en el punto x = 1. ¿Para quevalores de a tiene f un extremo en x = 0?

c) Sea F : U × R → R2 la funcion F (x, y) = (ex+y + x2 − 1, f(x) + y cos x).Demuestrese que F admite funcion inversa diferenciable en un entorno de (0, 0)y que G = F ◦ F + F−1 es diferenciable en (0, 0) y calculese DG(0, 0).

8. Calculese el desarrollo de Taylor hasta el orden 2 de la funcion z = f(x, y) de claseinfinito, definida implıcitamente por 2x2 + 2y2 + z4 − 8xz − z + 8 = 0 en un entornode (2, 0, 1).

9. Definimos f : B(0, 1) −→ Rn como f(x) = x√1−x2

1−...−x2n

. Pruebese que es f es un

C∞-difeomorfismo de B(0, 1) en Rn.

10. Demuestrese que las ecuaciones: x2 − y2 + uv = 0, xy + u2 − v2 = 0, definen fun-ciones implıcitas de clase C∞, u(x, y), v(x, y), en un entorno del punto (x, y, u, v) =(0, 1, 1, 1). Considerese ahora la funcion: ϕ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), definida en unentorno de (0, 1).a) Calculese Dϕ(0, 1). ¿Admite ϕ inversa local alrededor de (0, 1)?b) Calculese la derivada direccional de ϕ−1 en (1, 1), segun la direccion ( 1√

2,− 1√

2).

c) Si γ(t) = (t, t2), ¿cuanto vale (ϕ−1 ◦ γ)′(1)?

11. Consideremos la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x + 2x2 sin 1x para x 6= 0 y

f(0) = 0. Probar que f ′(0) 6= 0 y que f no es localmente invertible en ningun abiertoque contenga al punto 0. ¿Por que no contradice esto el teorema de la funcion inversa?

12. Utilizando el teorema del punto fijo para aplicaciones contractivas, demostrar que elsistema de ecuaciones x = 1

4 sin(x+y)+ 13 , y = − 1

4 sin(x−y)+ 15 tiene solucion unica

para |x| ≤ 1, |y| ≤ 1.

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO DHOJA DE PROBLEMAS 12

1 Demuestrese que las ecuaciones x2− y2 + xyz2 − 11 = 0, x3 + y3 + z3− xyz− 30 = 0;definen una variedad de clase C∞ y dimension 1 en R3, en un entorno del punto(3, 2, 1). Hallense las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la variedaden dicho punto.

2 Demuestrese que las ecuaciones: 2x+y +2z +u− v−1 = 6, xy + z−u+2v−1 = −2,yz + xz + u2 + v = 2; definen una variedad en R5 de clase C∞ en un entorno de(1,1,1,1,-1). Determınese su dimension y calculese el espacio tangente y normal en(1,1,1,1,-1).

3 Calculense las tangentes a las curvas siguientes en los puntos indicados:ϕ(t) = (t− sin t, 1− cos t) en t = π/2, t = π/4 y t = 1; ϕ(t) = (1 + t3, 1 + 2t3) en

t = 0 y t = 1.

4 Calculense las tangentes a las curvas siguientes en los siguientes puntos: xyz = 1, y =z en (1, 1, 1); xy + z2 = 1, x + y = 0 en (0, 0, 1).

5 Sea M = {(x, y, z) ∈ R3 : (x + y)2 − z2 = 16} (cilindro hiperbolico).a) Demuestrese que M es una variedad.b) Sea f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Calculense, si existen, los extremos absolutos de f

en M .

6 Indıquese en que puntos las ecuaciones dadas definen variedades diferenciables dedimension 2 en R3 y calculense el plano tangente y la recta normal en los puntos quese indican: z2 = x2 + y2 en (1, 0, 1); z3 = x2 + y2 en (0,−1, 1); z = x2 + y2 en(1,−2, 5); x2

16 + y2

9 − z2

8 = 0 en (4, 3, 4).

7 Hallense en la superficie x2 + y2 − z2 − 2x = 0 los puntos en que los planos tangentesa ella sean paralelos a los planos coordenados.

8 Calculese el plano tangente a la superficie: x = r cos t, y = r sin t, z = t en el puntocorrespondiente a r = 1, t = 2π.

9 Hallense los planos tangentes a la superficie x2 + 2y2 + 3z2 = 21, paralelos al planox + 4y + 6z = 0.

10 Estudiense los extremos absolutos de las siguientes funciones con las condiciones quese indican:

a)f(x, y, z) = x− y + z; x2 + y2 + z2 = 2 b)f(x, y) = x; x2 + 2y2 = 3c)f(x, y, z) = x2+y2+z2; x2−xy+y2−z2 = 1 d)f(x, y) = 3x+2y; 2x2+3y2 = 3e)f(x, y, z) = x + y + z; x2 − y2 = 1; 2x + z = 1 f)f(x, y) = x− y; x2 − y2 = 2

11 Calculese la distancia de los siguientes conjuntos al origen de coordenadas:A = {(x, y, z); x2+y2 = 1; x+y+z = 1}; B = {(x, y, z); x2+y2−z2 = 1; x+y+z = 1}

12 Calculense los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = (x− y)n , con la condicionx2 + y2 = 1 (n ≥ 1).

13 Sea f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + x + y + z.a) Pruebese que el conjunto M = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 ≤ 4; ; z ≤ 1} es

compacto.b) Calculense los puntos de maximo y mınimo absoluto de f sobre M .

14 Estudiense los extremos absolutos de la funcion f(x, y, z) = xyz3 sobre la porcion deesfera x2 + y2 + z2 = 5r2 en la que x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

15 Se considera la funcion f(x, y, z) = x + y + z. Calculense los extremos absolutos de fsobre el compacto

K = {(x, y, z) : x2 + y2 − 2z2 ≤ 6, 0 ≤ z ≤ 2}

16 Demuestrese que el volumen maximo de un paralelepıpedo rectangular (con ladosparalelos a los planos coordenados) inscrito en el elipsoide x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1, es 8abc3√

3

(a, b, c > 0).