calculo bsico

download calculo bsico

of 87

  • date post

    15-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    1.690
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of calculo bsico

Clculo Bsico

Professores Ana Clara da Mota ureo Pereira de Melo Maria de Ftima dos Santos Monteiro Lemke So Jos dos Campos Janeiro 2010

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

1

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Aula 11. Funes 1.1 - Definio Uma Relao um conjunto de pares ordenados (x, y) de nmeros reais. Veja no exemplo abaixo: 2 3 ( 2; ) ;8 3 ; (0 ;0 ,6 ) 5 2 Encontramos em nosso cotidiano diversas relaes que envolvem grandezas, sendo que o valor que se obtm para uma delas depende do valor de uma ou mais outras grandezas. Aqui, vamos trabalhar com situaes que relacionem entre si apenas duas grandezas. Observe os exemplos a) O valor de imposto a ser pago ( I ) (ISS - Imposto Sobre Servio) sobre um servio depende do seu preo ( p ). Reflita: Como o valor do Imposto ( I ) depende do preo do Servio ( p )? b) O preo a ser pago por uma refeio em um self--service ( P ) depende da quantidade de comida colocada no prato ( k ). Reflita: Como o preo a ser pago ( P ) depende do peso ( k )? c) A receita obtida na venda de uma mercadoria ou servio ( R ) depende da quantidade vendida dessa mercadoria ou desse servio ( q ). Reflita: Como a receita ( R ) depende da quantidade ( q )? As letras I, P e R so chamadas de VARIVEIS DEPENDENTES, pois seus valores dependem dos valores de p, k e q. As variveis p, k e q recebem o nome de VARIVEIS INDEPENDENTES. As situaes descritas nos exemplos acima estabelecem uma relao de DEPENDNCIA entre duas variveis. Substituindo, nas frases, a palavra DEPENDE pela palavra FUNO , temos: a) O Imposto (I) FUNO do seu preo de venda (p); b) O preo da refeio (P) FUNO de seu peso (k); c) A receita (R) FUNO da quantidade vendida (q).

-1-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Simbolicamente, usaremos uma notao que indica a existncia de uma relao de dependncia entre duas variveis. Notao a b cI = f( p) P= f ( k ) R= f ( q )

Interpretao O imposto ( I ) funo do preo ( p ) O preo ( P ) funo do peso ( k ) A receita ( R ) funo da quantidade( q )

Funo um modo especial de relacionar grandezas. Logo abaixo vamos observar um grfico que relaciona o consumo de feijo por habitante em funo do tempo.

23 22 20 18 16

0

86

90

93 94

95

1.2. Domnio e Imagem Podemos agrupar as variveis independentes e dependentes em dois conjuntos distintos. 1.2.1 Domnio - Conjunto A o conjunto formado pelas DIFERENTES quantidades q que podem ser vendidas de uma determinada mercadoria ou servio. Este conjunto formado pelas possveis quantidades q (variveis independentes) recebe o nome de DOMNIO.

-2-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Domnio Variveis Independentes q1 q2 q4 Variveis Independentes = Quantidades Vendidas 1.2.2 Imagem - Conjunto B O conjunto formado pelas diferentes RECEITAS obtidas da venda de possveis QUANTIDADES de mercadorias ou servios recebe o nome de CONJUNTO IMAGEM. A Receita recebe o nome de varivel dependente (R), pois seus valores dependem das quantidades vendidas (variveis independentes). Imagem Variveis Dependentes R1 R2 R4 R3 q3

Variveis Dependentes = Receitas Obtidas O uso das letras x e y. x a varivel independente da funo. Domnio o conjunto de todos os valores possveis de x. y a varivel dependente da funo. Imagem o conjunto de todos os valores possveis de y, isto , todos os valores gerados pela funo por cada um dos valores do domnio. Um conjunto de dois nmeros reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.

Ento o que uma funo? Uma funo um conjunto de pares ordenados de nmeros (x,y), no qual dois pares distintos no tm o primeiro nmero do par em comum.

-3-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Funo

Relao

Sejam os conjuntos A = {a, b,c, d} e B = {e, f, g, h, i} e as relaes binrias R1, R2, R3, R4, R5 vamos analisar cada uma delas: a) R1 = {(a, g),(b, h),(c, i)} O domnio da relao D(R) = {a, b, c} A e a imagem o conjunto Im (R1)={g, h, i}. O domnio dessa relao diferente de A, pois o conjunto A possui o elemento d e a relao R1 tem origem nos elementos a, b, c. Observa-se, nesse caso, que nem todos os elementos dos conjuntos A (elemento d) e B (elementos e e f) so usados.

x D( R1 ), ! y B /( x, y) R1 .( ! significa existe um nico) b)

R2 = {(a, f),(b, e),(b, g),(c, h),(d, i)}

O domnio da relao D(R2) = {a, b, c, d} = A e a imagem o conjunto Im(R2) = {e, f, g, h, i} = B. O domnio dessa relao igual a A, pois todos os elementos de A so originrios da relao R2. Observase, nesse caso, que todos os elementos dos conjuntos A e B so usados. O elemento b do conjunto A tem duas imagens (e e g).

x D( R2 ), y B /( x, y ) R2 ,mas no imagem nica, pois (b , e) R2 e (b, g) R2 . c) R3 = {(a, f), (b, e), (c, i), (d, g)}

O domnio da relao D(R3)= {a, b, c, d} = A e a imagem o conjunto Im(R3) = {e, f, g, i}. O domnio da relao R3 igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A so todos usados e o elemento h, do conjunto B, no utilizado. x D( R3 ), ! y B /( x, y ) R3 .

-4-

Pr-Clculo d) R4 = {(a, i), (b, h), (c, g), (d, f)}

ETEP-Faculdades

O domnio da relao D(R4) = {a, b, c, d} = A e a imagem o conjunto Im(R4)={f, g, h, i}. O domnio da relao R4 igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A so todos usados e os elementos do conjunto B no so utilizados.

x D( R4 ), ! y B /( x, y ) R4 .R5 = {(a, g), (b, g), (c, g), (d, g)} O domnio da relao D(R5)= {a, b, c, d} = A e a imagem o conjunto Im (R5)={g}. O domnio da relao R5 igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A so todos usados e somente o elemento g do conjunto B utilizado. x D( R5 ), ! y B /( x, y ) R5 . As relaes R3, R4, R5 apresentam a particularidade de, para todo elemento de A, associar um nico elemento de B. Essas relaes recebem o nome de aplicao de A em B ou funo definida em A com imagens em B ou, simplesmente, funo de A em B.

1.3 Definio Formal Dados dois conjuntos A, B , no-vazios, uma relao f de A em B recebe o nome de aplicao de A em B ou funo definida em A com imagens em B ou, simplesmente, funo de A em B se, e somente se, para todo elemento x de A existir um nico elemento y em B, tal que (x, y) f . Notao: f funo de A em B x A, ! y B /( x, y ) f . Como toda funo uma relao binria de A em B, existe, geralmente, uma sentena aberta y = f(x) que expressa a lei de correspondncia entre os elementos dos dois conjuntos. Para indicarmos uma funo f, definida em A com imagens em B, segundo a lei de correspondnciay = f(x) , usamos a notao:

f :AB x a f ( x) = y

Por motivo de simplificao, muitas vezes usamos somente a lei de correspondncia, y=f(x), para indicar a funo, ficando claro que x A e y B , sendo f uma funo de A em B. Exemplos: 1)f :A B x a f ( x) = y = 7 x

f :AB 2) 1 x a f ( x) = y = 2x + 4 -5-

Pr-Clculo f :AB x a f ( x) = y = x 13

ETEP-Faculdades

3)

4)

f :AB x a f ( x) = y = x 8

Observaes: x denominada varivel independente da funo (varia sem depender de nenhuma outra varivel). y chamada varivel dependente da funo (como y = f(x) , temos que y depende da varivel x). Seja y = f ( x ) uma funo. Definimos D(f) = A como o domnio, CD(f) = B , o contradomnio eIm(f) CD( f ) = B , o conjunto imagem da funo f.

Como a funo uma relao, esse conceito uma extenso do anterior. Para determinarmos o domnio (leia o maior domnio) de uma funo, estaremos procurando qual o maior conjunto possvel A que satisfaa a lei de correspondncia definida (lembrete: para termos uma funo, todos os elementos do conjunto A tm de estar associados a um elemento em B). Exemplos: Seja y = f ( x ) uma funo. Vamos determinar o (maior) domnio das seguintes leis de correspondncia: a)f(x) = y = 7x

Nesse caso, no existe nenhum valor de x que no possa ser multiplicado por 7. Logo, qualquer x

ter um valor y associado a ele. Da,D(f)=A= . b) f ( x ) =1 . Como a diviso por zero impossvel, 2x + 4 0 . Temos, ento, que x 2. Logo, 2x + 4

D(f)= A = {2}. c) y = x 3 - 1 . Da mesma forma que no exemplo da letra (a), no existe nenhuma restrio para x. Ento, D(f)= A= . d) f(x) = x 8 . Sabe-se que s existe raiz de ndice par (no caso 2) de nmeros positivos ou iguais a zero. x 8 0 x 8. Da, D(f) = A = [8, + ). Observao: Uma funo f com valores em s est bem definida quando sabemos seu (maior) domnio e sua lei de correspondncia.

-6-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Exemplo

y = senx

D( f ) = Im( f ) = {y | 1 y 1}1.4 Grfico de uma funo: Dada a funo y = f ( x ) , construir seu grfico representar, no sistema cartesiano ortogonal (ou plano x y), o conjunto de pontos {( x , y ) / x A e y = f ( x )} . Faremos, agora, alguns exemplos apenas como ilustrao. Exemplos: Construir os grficos das funes: 1) f ( x ) = y = 2) y =x . O grfico dessa funo uma reta, onde D(f) = e Im(f) = . 2

x2 . O grfico dessa funo uma curva chamada parbola, onde D(f) = e Im (f) = +. 2

2 , x 1 3) y = f ( x ) , onde f ( x ) = 1,1 < x 1 . O grfico dessa funo um conjunto de retas, ou seja, para 2 , x > 1 valores de x 1 , o valor da funo -2; para valores de x entre -1 e 1, o valor da funo 1; e para valores de x > 1, o valor da funo 2, podendo ser visualizado no grfico ( esboce!), onde D(f) = e Im (f) = {-2, 1, 2}. -7-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

1.4.1 Sistema Cartesiano Par Ordenado e Plano Numrico Um conjunto de dois nmeros reais em uma determinada ordem forma um par ordenado. Exemplos: ( 1 ; 2 ) , ( 2 ; 3 5 ), ( x ; y ) O conjunto de todos os pares ordenados, formados por nmeros reais, chama-se Plano Numrico, lR 2 . Cada par ordenado (x, y) denomina-se Ponto do Plano Numrico.

y

2o Quadrante

1o Quadrante

(x,y)