Cálculo Diferencial e INtegral-Unidade_5

Unidade 5

Diferenciação

Incremento e taxa média de variação

Consideremos uma função f dada por ( )y f x= . Quando x varia de um valor inicial de x para um valor final de x , temos o incremento em x . O símbolo matemático para a variação em x , chamada incremento em x , será xΔ (leia-se delta x ). Logo,

xΔ = valor final de x – valor inicial de x . Por exemplo, quando x passa de um valor inicial 2 para um valor final 2,5, o incremento em x será 2,5 2 0,5xΔ = − = . O incremento em y , yΔ (leia-se delta y ), será

yΔ = valor final de y – valor inicial de y . Por exemplo, quando y passa de um valor inicial 5 para um valor final 7,25, o incremento em y será 7,25 5 2,25yΔ = − = . Consideremos agora a função 2( ) 1y f x x= = + . Vamos calcular xΔ quando x varia do valor 1x = para 3x = e também calcular yΔ . Inicialmente temos

3 1 2xΔ = − = . Para calcularmos o valor de yΔ , temos • para 21 (1) 1 1 2x y f= ⇒ = = + = e • para 22 (2) 2 1 5x y f= ⇒ = = + = . Assim, 5 2 3yΔ = − = . Portanto, 2xΔ = e 3yΔ = . De um modo geral, temos Valor inicial de 0x x= e valor final de 0x x x= + Δ ; Valor inicial de 0( )y f x= e valor final de ( )0y f x x= + Δ . Assim,

( )0 0( )y f x x f xΔ = + Δ − . Para a função 2( ) 1y f x x= = + , temos

( )0 0( )y f x x f xΔ = + Δ −

( ) ( )2 20 01 1x x x= + Δ + − +

______________________________________________________ Este trabalho foi elaborado por

Professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja para os cursos de Ciências Contábeis e Economia.

2

( )22 20 0 02 1 1x x x x x= + Δ + Δ + − −

( )202x x x= Δ + Δ

Portanto, ( )2

02y x x xΔ = ⋅ ⋅Δ + Δ . O que acabamos de mencionar, o conceito de incremento, nos motiva a seguinte

definição.

Definição. Seja ( )f x uma função definição em um intervalo [ , ]a b e 0 [ , ]∈x a b , [ , ]x a b∀ ∈ com 0x x≠ . Quando a variável x passa para o valor 0x x= para o valor

0x x x= + Δ sofrendo uma variação xΔ , 0x x xΔ = − , o correspondente valor da função passa de 0( )f x para o valor ( )0f x x+ Δ sofrendo, portanto, uma variação

( ) ( )0 0y f x x f xΔ = + Δ − , conforme a abaixo:

O quociente

( ) ( )0 00

0

( ) ( ) f x x f xf x f xyx x x x

+ Δ −−Δ= =

Δ − Δ,

recebe o nome de taxa média de variação da função ( )f x quando x passa do valor 0x para o valor 0x x x= + Δ e expressa a variação média sofrida pelos valores da função ( )f x entre estes dois pontos.

Exemplo 5.1. Seja a função f tal que ( ) 2 1f x x= + , para x∈ . Determine a taxa média de variação de f quando x passa de 0 1x = para 0 4x x+ Δ = . Resolução: Como 0 4x x+ Δ = temos 1 4 4 1 3x x+ Δ = ⇒ Δ = − = ;

0( ) (1) 2 1 1 3f x f= = × + = e 0( ) (4) 2 4 1 9f x x f+ Δ = = × + = . Logo,



3

0 0( ) ( ) 9 3 6 33 2

f x x f xyx x

+ Δ −Δ −= = = =

Δ Δ.

Exemplo 5.2. Seja a função f tal que 2( ) 4f x x= + , para x∈ . Determine a taxa média de variação de f quando x passa de 0 2x = para 0 5x x+ Δ = . Resolução: Como 0 5x x+ Δ = temos 2 5 5 2 3x x+ Δ = ⇒ Δ = − = ;

20( ) (2) 2 4 4 4 8f x f= = + = + = e 2

0( ) (5) 5 4 25 4 29f x x f+ Δ = = + = + = . Logo,

0 0( ) ( ) 29 8 21 73 3

f x x f xyx x

+ Δ −Δ −= = = =

Δ Δ.

Exemplo 5.3. A função custo total para produzir x unidades de uma mercadoria,

( )C x , em reais, é dada pela equação 2( ) 2 0,5 10C x x x= − + . Determinar a taxa média de variação do custo total em relação a x , quando x varia de 0x unidades para 0x x+ Δ unidades. Resolução: Sabemos pela definição de taxa média de variação do custo total é dada por

( )0 0( )C x x C xCx x

+ Δ −Δ=

Δ Δ.

Assim, ( ) ( )2

0 0 0( ) 2 0,5 10C x x x x x x+ Δ = + Δ − + Δ +

( )220 0 02 4 2 (0,5) (0,5) 10x x x x x x= + Δ + Δ − − Δ +

e 2

0 0 0( ) 2 0,5 10C x x x= − + Logo,

( )0 0( )C x x C xCx x

+ Δ −Δ=

Δ Δ

( ) ( )22 2

0 0 0 0 02 4 2 (0,5) (0,5) 10 2 (0,5) 10x x x x x x x xx

+ Δ + Δ − − Δ + − − +=

Δ

( )22 20 0 0 0 02 4 2 (0,5) (0,5) 10 2 (0,5) 10x x x x x x x x

x+ Δ + Δ − − Δ + − + −

=Δ

( )22 20 0 0 0 02 4 2 (0,5) (0,5) 10 2 (0,5) 10x x x x x x x x

x+ Δ + Δ − − Δ + − + −

=Δ

( )20

0

4 2 (0,5)4 2 0,5

x x x xx x

xΔ + Δ − Δ

= = + Δ −Δ

.



4

Portanto, a taxa média de variação da função custo total 2( ) 2 0,5 10C x x x= − +

quando x varia de 0x unidades para 0x x+ Δ unidades é 04 2 0,5C x xx

Δ= + Δ −

Δ.

Exercícios propostos

1) Determinar a taxa média de variação das funções seguintes entre os

pontos indicados: a) ( ) 3f x = ; 2 e 4 b) 2( )f x x x= + ; 2 e 2−

c) 1( ) 1f xx

= − ; 3 e 6

d) 2( )f x x= − ; 4 e 1− − e) ( ) 1f x x= − + ; 2 e 6−

2) Determinar a taxa média de variação da função ( ) 1f x x= + entre os pontos

0x e 0x x+ Δ . 3) Uma fábrica de doces verificou que o custo total diário para produzir x

caixas de doces cristalizados, em reais, era dado por 21( ) 22

C x x x= + + .

Determinar a taxa média de variação do custo em relação a x .

Derivada de uma função Na seção anterior compreendemos o significado de taxa média de variação de uma função ( )f x quando x passa do valor 0x para o valor 0x x+ Δ e isto nos leva a seguinte definição.

Definição. (Derivada). A derivada de uma função f em relação à variável x do domínio de f é a função '( )f x dada por

0

( ) ( )'( ) limx

f x x f xf xxΔ →

+ Δ −=

Δ,

se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função )(xf é derivável em x . Definição. Derivada de uma função no ponto 0x . Se 0x for um número particular no domínio de f , então a derivada da função f no ponto 0x , denotada por 0'( )f x , é dada por

0'( )f x 0 00

( ) ( )limx

f x x f xxΔ →

+ Δ −=

Δ,



5

se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função )(xf é derivável em 0x , ou seja, existe 0'( )f x .

Notação: Há várias maneiras de representar a derivada, por exemplo,

0'( )f x , 0( )Df x , 0( )y x′ , 0

( )xdfdx

, 0

( )xdydx

, '( )f x , 'y , dfdx

, dydx

, etc.

Exemplo 5.4. Dada 2( ) 4 8f x x= + , calcular a derivada de f . Resolução: Se x é algum número no domínio de f , então pela definição 4.2 vem

0

( ) ( )´( ) limx

f x x f xf xxΔ →

+ Δ −=

Δ

( ) ( )2 2

0

4 8 4 8limx

x x x

xΔ →

⎡ ⎤+ Δ + − +⎣ ⎦=Δ

( )2 2 2

0

4 2 ( ) 8 4 8limx

x x x x xxΔ →

+ Δ + Δ + − −=

Δ

2 2 2

0

4 8 4( ) 4limx

x x x x xxΔ →

+ Δ + Δ −=

Δ

2

0

8 4( )limx

x x xxΔ →

Δ + Δ=

Δ

( )0

8 4limx

x x xxΔ →

Δ + Δ=

Δ

0lim(8 4 ) 8x

x x xΔ →

= + Δ =

Portanto, a derivada de 2( ) 4 8f x x= + , em relação a x , é 8x , ou seja, ' ( ) 8f x x= . Exemplo 5.5. Dada 2( ) 5 3f x x= + , encontrar a derivada de f no ponto 0 2x = , ou seja, '(2)f . Resolução: Pela definição acima, vem

( )0

2 (2)'(2) lim

x

f x ff

xΔ →

+ Δ −=

Δ

( ) ( )2 2

0

5 2 3 5 2 3limx

x

xΔ →

⎡ ⎤+ Δ + − ⋅ +⎣ ⎦=Δ

( )2 2

0

5 2 2 2 ( ) 3 23limx

x xxΔ →

+ ⋅ ⋅ Δ + Δ + −=

Δ



6

2

0

20 20 5 ( ) 20limx

x xxΔ →

+ ⋅Δ + ⋅ Δ −=

Δ

2

0

20 5 ( )limx

x xxΔ →

⋅Δ + ⋅ Δ=

Δ

( )0

20 5limx

x xxΔ →

Δ + ⋅Δ=

Δ

( )0

lim 20 5 20x

xΔ →

= + ⋅Δ =

Portanto,

'(2) 20f = . Observações (i) Se não existe o limite ou se é igual a ±∞ , dizemos que a função não é derivável

no ponto 0x , isto é, ∃ ′ 0( )f x . (ii) Uma função é derivável num intervalo [ , ]a b , se existem derivadas em qualquer

ponto do intervalo [ , ]a b .

Interpretação geométrica da derivada A derivada de uma função num dado ponto, quando existe, tem um significado geométrico importante que é o discutido nesta seção. Seja ( )f x uma função definida e contínua em [ , ]a b . Seja G o gráfico da função ( )f x . Seja [ , ]x a b∈ e 0 [ , )x a b∈ , 0x x≠ . Veja a figura abaixo



7

A reta s determinada pelos pontos 0 0( , ( ))P x f x e ( , ( ))Q x f x é uma secante à curva G e o se o coeficiente angular α é

0

0

( ) ( ) f x f xtgx x−

α =−

.

Se f é derivável no ponto x , quando 0x x→ , Q P→ e s t→ , onde t é tangente geométrica à curva G no ponto P , isto é,

0

0

( ) ( ) ( ) f x f xtg f xx x−′β = =−

.

Assim, podemos dizer que a derivada de uma função ( )f x quando existe, assume em cada ponto 0x , um valor que é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de ( )f x , no ponto de abscissa 0x .

Observação. Sabemos que a equação de uma reta não vertical passando em um ponto

0 0( , )x y é dada por

0 0( )y y m x x− = − , onde m é o coeficiente angular da reta. Se ( )f x é uma função derivável em 0x x= segue da interpretação geométrica da derivada que a reta tangente ao gráfico de ( )f x no ponto ( )0 0, ( )x f x tem coeficiente angular 0(́ )a f x= . Portanto, a equação da reta tangente é

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x′− = − .

Cálculo das derivadas O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da função, pode ser bastante complicado. Contudo, com base na definição de derivada da função ( )f x em relação a variável x , é possível obter várias regras que facilitam muito o trabalho. São as chamadas regras de derivação para soma, produto e quociente de funções. Elas são importantes no cálculo de derivadas de qualquer função.

A seguir apresentaremos alguns exemplos de cálculo de derivada usando a definição. Posteriormente, estes exemplos vão ser utilizados como regras de derivação.



8

Derivada da função constante Se ( )f x k= , onde k é uma constante, então ( ) 0f x′ = . Por exemplo, se ( ) 4f x = , então ( ) 0f x′ = . Derivada da função afim

Se ( )f x ax b= + , onde a e b são constante e 0a ≠ , então ( )f x a′ = . Por exemplo: (i) Se ( ) 5 4f x x= + , então ( ) 5f x′ = ; (ii) Se ( ) 2 6f x x= − , então ( ) 6f x′ = − . Derivada da função potência

Se ( ) nf x x= , onde n∈ , então 1( ) nf x nx −′ = . Por exemplo: (i) Se 4( )f x x= , então 3( ) 4f x x′ = ; (ii) Se 2( )f x x= , então ( ) 2f x x′ = . Observação. Podemos estender a potência n∈ , para qualquer n que seja inteiro ou

racional. Por exemplo, se =34( )f x x , então

3 114 43 3'( )

4 4f x x x

− −= = , aqui 3

4n = .

Derivada da função soma

Sejam ( )g x e ( )h x duas funções deriváveis no ponto x , então ( ) ( ) ( )= +f x g x h x também é derivável no ponto x e

( ) ( ) ( )′ ′ ′= +f x g x h x . Logo, se ( ) ( ) ( )= +f x g x h x , então

( ) ( ) ( )′ ′ ′= +f x g x h x . Observação. Podemos estender a propriedade dada acima para a soma de n funções, isto é, se



9

1 2( ) ( ) ( ) ( )nf x f x f x f x= + + +… , então

1 2( ) ( ) ( ) ( )nf x f x f x f x′ ′ ′′ = + + +… . Por exemplo, se 4 2( ) 3f x x x x= + + , então 3( ) 4 6 1f x x x′ = + + . Derivada da função produto

Sejam ( )u x e ( )v x duas funções deriváveis em x , então ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ também é derivável em x e

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x u x v x′ ′ ′= ⋅ + ⋅ . Logo, se ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ , então

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x v x u x′ ′ ′= ⋅ + ⋅ . Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente,

f u v v u′ ′ ′= ⋅ + ⋅ . Observação. Podemos estender a propriedade dada acima para o produto de n funções, ou seja, se

1 2( ) ( ) ( ) ( )nf x f x f x f x= … , então

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x f x f x f x f x f x f x′ ′′ = +… …

1 2( ) ( ) ( )nf x f x f x′+ +… … . Em particular, se 1 2( ) ( ) ( ) ( )nf x f x f x u x= = = =… , então

1( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )n nf x u x f x n u x u x−′ ′= ⇒ = . Por exemplo: (i) 2( ) 5f x x= ( ) 10f x x′⇒ = ; (ii) 3 2( ) 7 4 5f x x x x= + + 2( ) 21 8 5f x x x′⇒ = + + ; (iii) 2 5( ) ( 1)f x x x= + + 2 4( ) 5( 1) (2 1)f x x x x′⇒ = + + + .



10

Derivada da função quociente

Sejam ( )u x e ( )v x duas funções deriváveis no ponto x . Seja ( )( )( )

u xf xv x

= com

( ) 0v x ≠ . Então

2

( ) ( ) ( ) ( )( )( ( ))

v x u x u x v xf xv x

′ ′−′ = .

Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente,

2

v u u vfv′ ′⋅ − ⋅′ = .

Por exemplo:

(i) 1( )f xx

= 2 2

0 1 1 1( ) xf xx x

⋅ − ⋅′⇒ = = − ;

(ii) 2( )1

xf xx

=+

2

( 1) 2 2 1( )( 1)

x xf xx

+ ⋅ − ⋅′⇒ =+ 2 2

2( 1) 2 2( 1) ( 1)x x

x x+ −

= =+ +

;

(iii) 2

1( ) xf xx+

= 2

4

1 ( 1) 2( ) x x xf xx

⋅ − + ⋅′⇒ =2 2

4 3

2 2 2x x x xx x

− − − −= = .

Resumindo, temos as seguintes fórmulas de derivação. Seja ( )f x uma função de x , então temos as seguintes regras de derivação: (i) ( )f x k= ( ) 0f x′⇒ = , onde k é uma constante; (ii) ( )f x ax b= + ( )f x a′⇒ = , onde a e b são constantes; (iii) ( ) nf x x= 1( ) nf x nx −′⇒ = , onde n ∈ , racionais; (iv) ( ) ( ) ( )= +f x g x h x ( ) ( ) ( )f x g x h x′ ′ ′⇒ = + ; (v) ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x v x u x′ ′ ′⇒ = ⋅ + ⋅ , (vi) ( ) ( ( ))nf x u x= 1( ) ( ( )) ( )nf x n u x u x−′ ′⇒ = ;

(vii) ( )( )( )

u xf xv x

= ′⇒ ( )f x 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

v x u x u x v xv x

′ ′−= , ( ) 0v x ≠ .

Derivadas das funções exponencial e logarítmica A seguir apresentaremos as fórmulas (sem demonstração) para o cálculo de derivadas de algumas funções trigonométricas, da exponencial e logarítmica.



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Derivada da função exponencial

Seja ( ) xf x a= , a +∈ e 1a ≠ , então

( ) ( ) ' lnx xf x a a a′ = = .

Em particular, quando a e= , então ( ) ( )x xf x e f x e′= ⇒ = .

Derivada da função logarítmica

Seja ( ) logaf x x= , a +∈ e 1a ≠ , então

1( ) (log ) 'lnaf x x

x a′ = =

⋅.

Em particular,

( ) log lnef x x x= =1( )f xx

′⇒ = .

Vamos agora resolver alguns exemplos para calcular a derivada de algumas funções utilizando as regras apresentadas.

Exemplo 5.6. Calcular a derivada de

3 2( ) 7 3 5 6f x x x x= − + − . Resolução: Usando as regras acima, vem

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2'( ) 7 3 5 6 ' 7 ' 3 ' 5 ' 6 'f x x x x x x x= − + − = − + + , ou,

3 1 2 1 1 1 2'( ) 7 3 3 2 5 0 21 6 5f x x x x x x− − −= ⋅ − ⋅ + ⋅ + = − + . Portanto, a derivada da função 3 2( ) 7 3 5 6f x x x x= − + − é dada por

2'( ) 21 6 5f x x x= − + . Exemplo 5.7. Calcular a derivada de

( ) ( )3 2 2( ) 2 5 3 1 3 2 5f x x x x x x= − + − ⋅ − + . Resolução: Inicialmente, vamos considerar

3 2( ) 2 5 3 1u x x x x= − + − e 2( ) 3 2 5v x x x= − + . Assim,



12

( )3 2 2 2'( ) 2 5 3 1 ' 6 10 3 0 6 10 3u x x x x x x x x= − + − = − + − = − + , ou

2'( ) 6 10 3u x x x= − + e

( )2'( ) 3 2 5 ' 6 2 0 6 2v x x x x x= − + = − + = − . Agora, usando a regra acima,vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x v x u x′ ′ ′= ⋅ + ⋅

( )( ) ( ) ( )3 2 2 22 5 3 1 6 2 3 2 5 6 10 3x x x x x x x x= − + − − + − + − + 4 3 230 76 87 68 17x x x x= − + − + .

Portanto, a derivada da função

( ) ( )3 2 2( ) 2 5 3 1 3 2 5f x x x x x x= − + − − + é dada por

4 3 2'( ) 30 76 87 68 17f x x x x x= − + − + . Exemplo 5.8. Determinar a derivada de

2

1( )4

xf xx+

=−

.

Resolução: Pela regra acima, temos

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

22 2

4 1 ' 1 4 '1'( )4 4

x x x xxf xx x

′ − ⋅ + − + ⋅ −+⎛ ⎞= =⎜ ⎟−⎝ ⎠ −

( ) ( ) ( )( )

2

22

4 1 1 2

4

x x x

x

− ⋅ − + ⋅=

−

( )2 2

22

4 2 2

4

x x x

x

− − −=

−

( )2

22

2 4

4

x x

x

− − −=

−

Portanto, a derivada da função

2

1( )4

xf xx+

=−

é a função dada por

( )2

22

2 4'( )4

x xf xx

− − −=

−.



13

Exercícios propostos Obtenha a derivada de cada função a seguir: 4) ( ) 5f x = − .

5) 3 21 1( ) 4 83 2

f x x x x= − + − .

6) 43( )f x x

−= .

7) 2 13 5( )f x x x= + .

8) ( ) lnf x x x= ⋅ .

Derivada de função composta Sejam ( )y f x= e ( )u g x= duas funções tais que suas derivadas existem e exista

a derivada da função ( ( ))y f g x= que indicaremos por dydx

, então

( ( )) ( )dyy f g x g xdx

′ ′ ′= = ⋅ ,

ou ainda, dy dy duydx du dx

′ = = ⋅ .

Logo,

( ( ))y f g x= ⇒ ( ( )) ( )y f g x g x′ ′ ′= ⋅ . A derivada obtida acima da função composta também é conhecida como regra da cadeia. Exemplo 5.9. Determinar a derivada da função 4 xy e= .

Resolução: Temos, 4 xy e= , então uy e= , onde 4u x= , udy edu

= e 4dudx

= .

Logo,

4udy dy duy edx du dx

′ = = ⋅ = 44 xe= ,

Portanto, a derivada de 4 xy e= é a função 44 xy e′ = . Alternativamente, podemos calcular a derivada função composta assim:



14

Exemplo 5.10. Determinar a derivada de

( )43 24 2y x x x= − + − . Resolução: Aqui,

3 24 2u x x x= − + − , 4n = e 2' 3 8 1u x x= − + . Assim, 4y u= . Logo,

( ) ( ) ( )34 1 3 3 2 2' 4 ' 4 ' 4 4 2 3 8 1y u u u u x x x x x−= ⋅ = ⋅ ⋅ = − + − − + . Portanto, a derivada de ( )43 24 2y x x x= − + − é a função

( ) ( )33 2 2' 4 4 2 3 8 1y x x x x x= ⋅ − + − ⋅ − + . Alternativamente, podemos calcular a derivada função composta assim: Exemplo 5.11. Encontrar a derivada de

21y x= + . Resolução: Sabemos que

( )1

2 2 21 1y x x= + = + , onde

21u x= + , 12

n = e ' 0 2 2u x x= + = .

Assim, 12y u= .

Logo,

1 112 2

1 2 22

1 1 ' ' 2' ' '2 2 2 2 1 12

u u x xy u u u uu x xu

− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = =

⋅ ⋅ + +⋅.

Portanto,

21y x= + ⇒21

xyx

′ =+

.

Exemplo 5.12. Determinar a derivada de

21ln2

y x⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.



15

Resolução: Aqui temos 212

u x= − e 1' 22

u x x= − ⋅ ⋅ = − .

Logo,

2 2

' 1 2' 1 12 2 2

u x xy xu xx x

−= = = = =

−.

Portanto, a derivada de 21ln2

y x⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

é a função 2'yx

= .

Em resumo temos as seguintes derivadas importantes: 1. ny u= 1' 'ny n u u−⇒ = . 2. y u v= ' ' 'y u v v u⇒ = + .

3. uyv

= 2

' '' u v v uyv−

⇒ = .

4. uy a= ( )' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a⇒ = > ≠ . 5. uy e= ' 'uy e u⇒ = .

6. logay u= '' logauy eu

⇒ = .

7. lny u= 1' 'y uu

⇒ = .

8. vy u= 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v−⇒ = + , onde u e v são funções deriváveis de x e n constante.


Obtenha a derivada de cada função a seguir: 9) 3ln( 1)y x= + . 10) 3 5( ) (2 4 1)h x x x= + + .

11) 3 5

1( )(2 4 1)

h xx x

=+ +

.

12) 3 2( )1

xf xx−

=+

.

13) ( )4( ) log 1 5h x x= − .



16

Derivada de função inversa Seja ( )y f x= uma função inversível, derivável no ponto x , onde ( ) 0f x′ ≠ . A função inversa de ( )y f x= que representaremos por ( )x g y= é derivável no ponto y sendo ( )y f x= , sua derivada é

1( )( )

g yf x

′ =′

.

Ou seja, se ( )y f x= , função dada, e ( )x g y= , sua inversa, então 1( )( )

g yf x

′ =′

.

Exemplo 5.13. Calcular a derivada da função inversa de ( ) 5 7y f x x= = − . Resolução: Inicialmente vamos calcular a função inversa de ( ) 5 7y f x x= = − que é ( )x g y= . Aplicando a regra prática para encontrarmos a função inversa de uma dada função, estudada na seção 3.7, temos

75 7 5 7 5 7

5xy x x y y x y +

= − ⇒ = − ⇒ = + ⇒ = ,

ou ainda 7( )

5yx g y +

= = .

Assim, a função inversa de ( ) 5 7f x x= − é 7( )5

yx g y += = e ( ) 5f x′ = .

Logo, 1 1 1( ) ( )( ) 5 5

g y g yf x

′ ′= = ⇒ =′

.

De fato, calculando a derivada da função ( )g y em relação a y , temos

'7 1( )5 5

yg y +⎛ ⎞′ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Portanto, a derivada da função inversa de

( ) 5 7y f x x= = − , 7( )5

yg y +=

é dada por 1( )5

g y′ = .

Exemplo 5.14. Determine a derivada da inversa da função 3( )y f x x= = para 0x > .



17

Resolução. Vamos calcular a função inversa de 3( )y f x x= = aplicando a regra prática estudada no capítulo anterior. Assim, a função inversa da função

3( )y f x x= = é 3( )x g y y= = , (0, )y∈ ∞ e 2´( ) 3 0f x x= ≠ para todo 0x > , logo

( )223

1 1 1(́ )(́ ) 3 3

g yf x x y

= = = .

Portanto, a derivada da inversa da função 3( )f x x= para 0x > , 3( )g y y= é

( )23

1(́ )3

g yy

= .


14) Calcular a derivada da função inversa de 5( )y f x x= = no ponto 1y = . 15) Determinar a derivada da função inversa de 2( ) 2 3y f x x= = − . 16) Determinar a derivada da função inversa de ( ) 5 7y f x x= = − . 17) Determinar a derivada da função inversa de 4( ) 1y f x x= = + .

Derivadas sucessivas Suponha que f é uma função derivável no intervalo I . Se a função )´(xf , chamada de derivada primeira de )(xf , é derivável no mesmo intervalo, então existe a função derivada de )´(xf , indicada como )´´(xf que é chamada de derivada segunda de )(xf . Diz-se então que )(xf é duas vezes derivável.

Seguindo esse procedimento sucessivamente e, supondo que )(xf é n vezes derivável, obtém-se a função derivada n -ésima, ou derivada de ordem n , de

)(xf indicada como )(nf )(x . As funções )´(xf , )´´(xf ,..., )(nf )(x , são as derivadas sucessivas de )(xf .

Exemplo 5.15. Determinar todas as derivadas da função

3 2( ) 2 1f x x x= + + . Resolução: Aplicando as regras de derivação estudadas, temos

3 2( ) 2 1f x x x= + + ,



18

2( ) 3 4f x x x′ = + , ( ) 6 4f x x′′ = + , ( ) 6f x′′′ = , ( ) 0ivf x = , ( ) 0nf x = , 4n∀ ≥ .

Portanto, todas as derivadas da função 3 2( ) 2 1f x x x= + + é ( ) 0nf x = , 4n∀ ≥ . Exemplo 5.16. Obtenha a derivada terceira da função

1( )f xx

= .

Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos

1( )f xx

= ,

2

1( )f xx

′ = − ,

3

2( )f xx

′′ = ,

4

6( )f xx

′′′ = − .

Portanto, a derivada terceira de 1( )f xx

= é 4

6( )f xx

′′′ = − .

Exemplo 5.17. Obtenha a derivada de ordem 4 da função

2( ) xf x e−= . Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos

2( ) xf x e−= , 2'( ) 2 xf x e−= − ⋅ ,

2''( ) 4 xf x e−= ⋅ , 2'''( ) 8 xf x e−= − ⋅ , 2''''( ) 16 xf x e−= ⋅ .

Portanto, a derivada de ordem 4 ou a quarta derivada da função 2( ) xf x e−= é

2''''( ) 16 xf x e−= ⋅ e consequentemente, ( ) 2( ) ( 1) 2 ,n n n nf x e n−= − ⋅ ⋅ ∀ ∈ .



19


18) Calcular todas as derivadas da função 1( )f xx

= .

19) Determinar a segunda derivada da função 4 3 2( ) 2 3 4 2f x x x x x= − + − + .

20) Determinar a segunda derivada da função 1( ) 2f x xx

= + .

A Diferencial Suponha que a função f seja definida por ( )y f x= e f seja derivável em 0x . A variação sofrida por f , quando se passa do ponto 0x ao ponto 0x x+ Δ é

( )0 0( )y f f x x f xΔ = Δ = + Δ − .

Usando o símbolo ≈ , significando "é aproximadamente igual a", dizemos que

0( )f f x x′Δ ≈ Δ , se xΔ for suficientemente pequeno. O lado direto da expressão acima é definido como a diferencial de y . Isto nos motiva a seguinte definição. Definição. Se a função f é definida por ( )y f x= , então a diferencial de y , no ponto

0x , denotada por dy ou df é dada por

0( )df f x x′= Δ onde 0x está no domínio de f ′ e xΔ é um incremento arbitrário de 0x . Observação. Note que df depende de xΔ e é fácil perceber que quanto menor for xΔ , mais próximo df estará de fΔ . Assim, podemos dizer que df f≅ Δ para pequenos valores de xΔ . Dessa forma, a diferencial de uma função pode ser usada para calcular aproximadamente variações de f , para pequenos valores de xΔ . Exemplo. Consideremos a função 2( ) 3f x x= , 0 1x = e 0 1,01x x+ Δ = , logo

1,01 1 0,01xΔ = − = . Calcular fΔ e df . Resolução: Vamos calcular inicialmente fΔ dado por ( )0 0( )f f x x f xΔ = + Δ − , assim

( )0 0( )f f x x f xΔ = + Δ −



20

(1,01) (1)f f= −

( )2 23 1,01 3 13 1,0201 3 13,0603 3 0,0603

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅= − =

.

Para calcularmos a diferencial de f no ponto 0 1x = e 0,01xΔ = temos

'( ) 6f x x= e '(1) 6 1 6f = ⋅ = ,

Assim, 0( ) '(1) 0,01 6 0,01 0,06df f x x f′= ⋅Δ = ⋅ = ⋅ = .

Não é difícil de observar que df f≅ Δ . Portanto,

0,0603fΔ = e 0,06df = . Exemplo. Calcule a diferencial de 2( )y f x x= = no ponto 0 2x = e 0,01xΔ = . Resolução: Sabemos que a diferencial de uma função f no ponto 0x é dada por

0( )df f x x′= Δ ou (2) 0,01df f ′= ⋅ . Como

'( ) 2f x x= e '(2) 2 2 4f = ⋅ = , vem

(2) 0,01 4 0,01 0,04df f ′= ⋅ = ⋅ = . Portanto, a diferencial de 2( )y f x x= = no ponto 0 2x = e 0,01xΔ = é 0,04df = . Exemplo. Seja a função 2( ) 4 3 1y f x x x= = − + , encontre yΔ e dy para (i) qualquer x e xΔ ; (ii) 2x = , 0,1xΔ = ; (iii) 2x = , 0,01xΔ = ; (iv) 2x = , 0,001xΔ = . Resolução: (i) Vamos calcular inicialmente yΔ . Como 24 3 1y x x= − + , temos

24( ) 3( ) 1 ( )y x x x x f xΔ = + Δ − + Δ + −

( ) ( )2 2 2 24 2 ( ) 3 4 1 4 3 1x x x x x x x x= + Δ + Δ − − + − − +

( )22 24 8 4 3 3 1 4 3 1x x x x x x x x= + ⋅Δ + ⋅ Δ − − ⋅Δ + − + −



21

( )28 3 4x x x x= ⋅Δ − ⋅Δ + Δ

( ) ( )28 3 4x x x= − ⋅Δ + Δ . Portanto,

( ) ( )28 3 4y x x xΔ = − ⋅Δ + ⋅ Δ . Agora, vamos calcular dy . Sabemos que ( )dy f x x′= ⋅Δ . A derivada de

2( ) 4 3 1y f x x x= = − + em relação a x é

'( ) 8 3f x x= − . Assim,

'( ) (8 3)dy f x x x x= ⋅Δ = − Δ Portanto,

(8 3)dy x x= − ⋅Δ . Os resultados para as partes (ii), (iii) e (iv) são apresentados no quadro abaixo, onde

2(8 3) 4( )y x x xΔ = − Δ + Δ e (8 3)dy x x= − Δ

x xΔ yΔ dy 2 0,1 1,34 1,3 2 0,01 0,1304 0,13 2 0,001 0,013004 0,013


21) Calcular dy da função

2

( ) xy f x e−= = no ponto 0 0x = para 0,01xΔ = .

22) Obtenha a diferencial de ( )1

xy f xx

= =−

no ponto 0 2x = para 0,1xΔ = .

23) Seja a função 2( ) 5y f x x x= = − . Calcular yΔ e dy para 0 1x = − e 0,01xΔ = .

Respostas 1) a) 0. b) 1. c) 1

18.

d) 73

. e) 1− .

2) ( )0 0

11 1

yx x x x

Δ=

Δ + Δ + + +.



22

3) 0 0,5 1C x xx

Δ= + ⋅Δ +

Δ.

4) '( ) 0f x = . 5) 2'( ) 4f x x x= − + .

6) 734'( )

3f x x

−= − .

7) 1 43 52 1'( )

3 5f x x x

− −= + .

8) 1 1'( ) 1 ln2

f x xx⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

9) 2

3

31

xyx

′ =+

.

10) 3 4 2(́ ) 5 (2 4 1) (6 4)h x x x x= ⋅ + + ⋅ + .

11) ( )

( )

2

63

5 6 4'( )

2 4 1

xh x

x x

− ⋅ +=

+ +.

12)

( )12 2

5 1'( )2 3 2 1

1

f xx xx

= ⋅−⎛ ⎞ ⋅ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

13) 20'( )(1 5 ) ln10

h xx−

=− ⋅

.

14) 5.

15) 1'( )34

2

g yy

=⎛ ⎞+⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

16) 17

− .

17) ( )3

4

1'( )4 1

g yy

=⋅ −

.

18) 1

!( ) ( 1)n nn

nf xx += − , n∀ ∈ .

19) 2''( ) 24 18 8f x x x= − + .

20) 3 52 21 3''( )

2 4f x x x

− −= − + .

21) 0dy = .

22) 0,1df = .

23) 0,0699yΔ = − e 0,0700dy = − .

Cálculo Diferencial e INtegral-Unidade_5

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