Calculo Diferencial-Capitulo 1 - Jesus del Valle

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Captulo 1Lmite de funciones de variable realContenido breve Mdulo 1 Nocin intuitiva del lmite Mdulo 2 Definicin de Cauchy (rigurosa) del lmite de una funcin Mdulo 3 Escogencia del delta () dado el psilon ( ) Mdulo 4 Teoremas sobre lmites Mdulo 5 Lmites laterales Ejercicios Captulo 1, mdulos 1 al 5

1

La velocidad en cada libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por v =

64 1 pies 1 - kt . seg k 4

e

El tlimv =

64 pies se conoce con el nombre de velocidad terminal, la cual depende de k (k = 3: posicin de guila extendida; k k seg

= 1: posicin plegada) y es la que debe controlar el paracaidista al llegar al suelo.

PresentacinLos temas tratados hasta ahora en el curso de lgebra y Trigonometra de esta misma serie constituyen lo que se conoce como preclculo; es decir, proporcionan las herramientas bsicas para el clculo, pero no son clculo. Nuestro propsito ahora es establecer inicialmente de una manera intuitiva por medio de ejemplos, y posteriormente mediante la definicin precisa, el concepto ms importante del clculo, como es el lmite. Algunos autores definen el clculo como el estudio de los lmites. La nocin de lmite no solamente aparece en los temas siguientes del clculo que se presentan en este curso (continuidad, derivacin e integracin), sino tambin en los temas de prximos cursos de clculo (series, funciones de varias variables, integrales mltiples y clculo vectorial). El mapa conceptual que se adjunta tiene la palabra lmite en el centro, y se ve cmo los temas principales del clculo emanan de l.

20 U de @ - Educacin no presencial

1Nocin intuitiva del lmiteIntroduccinMaria Gaetana Agnesi

Entre todos los conceptos del clculo infinitesimal, el de lmite es sin duda el ms importante y quizs tambin el ms difcil. Por esta razn iniciamos su estudio de una manera intuitiva. Lo que vamos a definir no es la palabra lmite sino la nocin de funcin que tiende hacia un lmite.

Maria Agnesi naci en Miln el 16 de mayo de 1718 y muri en esa misma ciudad el 9 de enero de 1799.

Objetivos del mdulo1. Empezar a familiarizar al estudiante con el lenguaje propio del clculo y hacer ver la necesidad de dicho lenguaje al abordar el estudio de cualquiera de sus reas. 2. Establecer de una manera intuitiva el concepto ms importante del clculo: el lmite de una funcin.

Preguntas bsicas1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso: si f (a) no existe, entonceslim f ( x ) no existe? xa

2. Considere la funcin f ( x ) =

x2 x 2 . x2

a. Existe f (2)? b. Elabore una tabla de valores de f (x), con x cercanos a 2 (por ejemplo, x =2.1, 2.01, 2.001, 1.9, 1.99, 1.999) y de esta forma estime el valor del lmite lim f ( x). x 2

Contenidos del mdulo1.1 Nocin intuitiva del lmiteUna cada con altura Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la seccin Sitios de Inters del curso Elementos Bsicos de Clculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/ lms/moodle/

Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Captulo 1: Lmite de funciones de variable real

1.1 Nocin intuitiva del lmiteNuestro propsito ahora es acercarnos intuitivamente a la definicin rigurosa del lmite de una funcin.Vea el mdulo 1 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

2x2 x 1 , con x 1 . El nico vax 1 lor para el cual f (x) no est definida es x = 1, pero en puntos tan cercanos a 1 como se quiera la funcin se encuentra definida. Esta situacin da lugar a la siguiente pregunta: se aproxima f (x) a algn valor especfico, cuando x se aproxima a 1?Considrese la funcin definida por y = f ( x) = En la tabla 1 se hace un seguimiento de f (x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha (valores mayores que 1).Tabla 1. Valores de f (x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha

1 x 0 0.3 0.5 0.75 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 1.0001 1.0005 1.001 1.005 1.01 1.05 1.1 1.25 1.5 1.7 2 f (x) 1 1.6 2 2.5 2.8 2.9 2.98 2.99 2.998 2.999 2.9998 NO DEF 3.0002 3.001 3.002 3.01 3.02 3.1 3.2 3.5 4 4.4 5

* Acercarse a 1 por la izquierda

Acercarse a 1 por la derecha *

**

** La observacin atenta de la tabla 1 sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Ntese que a medida que los valores de x se acercan a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f (x) se acercan a 3. Dndole a la palabra lmite un significado intuitivo, se dice que: El lmite de la funcin f (x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmacin anterior frecuentemente se expresa simblicamente por cualquiera de las formasf ( x) 3 cuando x 1 (se lee: f (x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O tambin,lim f ( x) = 3 (se lee: el lmite de f (x), cuando x tiende a 1, es 3). x 1

De una manera ms general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra lmite, se dice que:lim f ( x) = L , si se puede hacer que f (x) est tan cerca de L como se quiera, xa

haciendo que x est suficientemente cerca de a, pero siendo distinta de a. Volviendo al ejemplo inicial, supngase que se quiere que f (x) difiera de 3 en valor absoluto en menos de 1. Es decir, se quiere que:

22 U de @ - Educacin no presencial

Mdulo 1: Nocin intuitiva del lmite

f ( x) 3 < 1.Pregunta Cmo elegir los valores de x para que se cumpla (1)?

(1)

En primer lugar, ntese que la desigualdad (1) puede escribirse en las formas equivalentes:f ( x) 3 < 1 1 < f ( x) 3 < 1, 2 < f ( x) < 4.

(2)

En la tabla 1 se sealaron con asterisco (*) los valores de x para los cuales f (x) = 2 y f (x) = 4. Para que la desigualdad (2) se cumpla, ntese que se pueden elegir los valores de x de tal modo que

0.5 < x < 1.5, x 1,o equivalentemente,

(3)

0.5 < x < 1.5,

x 1 0.5 1 < x 1 < 1.5 1,

x 1,

0.5 < x 1 < 0.5, x 1 < 0.5, 0 < x 1 < 0.5.

x 1,

x 1,(4)

El anterior procedimiento nos indica que para que se satisfaga la desigualdad (2) basta que se satisfaga la desigualdad (4). Esto es, si 0 < x 1 < 0.5, entonces f ( x) 3 < 1. Supngase ahora que se quiere que f ( x) 3 < 0.01. (5) (6)Maria Gaetana Agnesi Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, Maria Agnesi fue la mayor de seis hermanos (cuatro hermanas y dos hermanos). En 1738 le publicaron Propositiones philosophicae, que abordaba los problemas de filosofa natural que habitualmente se discutan en los salones. Despus escribi el libro Instituciones analticas al uso de la juventud italiana, en el que explicaba una parte novedosa de las matemticas: el clculo analtico. El libro tuvo muy buena crtica. Se dedic en profundidad al estudio del lgebra y la geometra y nueve aos ms tarde aparecieron publicadas las Instituzioni analitiche, sin duda la obra ms importante de toda su carrera como matemtica. Fue editado en varios idiomas y se utiliz como manual universitario en las universidades de distintos pases, siendo an cincuenta aos ms tarde el texto matemtico ms completo. Se encarg en Italia de los cursos de su padre, convirtindose as en la primera mujer de la historia que haba dado clase de matemticas en una institucin de este nivel. El primer texto que incluy el clculo diferencial e integral, junto a la geometra analtica, las series infinitas y las ecuaciones diferenciales, fue escrito en la dcada de 1740 por la matemtica italiana Maria Gaetana Agnesi.

La pregunta que surge nuevamente es la siguiente: cmo elegir los valores de x para que se cumpla (6)? Un procedimiento similar al del caso anterior permite escribir la desigualdad (6) en la forma equivalente

f ( x) 3 < 0.01 2.99 < f ( x) < 3.01.

(7)

En la tabla se sealaron con doble asterisco (**) los valores de x para los cuales f (x) = 2.99 y f (x) = 3.01. Ahora, para que la desigualdad (7) se cumpla, los valores de x deben elegirse de tal manera que:

0.995 < x < 1.005,

x 1 0.995 1 < x 1 < 1.005 1,

x 1,

Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

23

Captulo 1: Lmite de funciones de variable real

0.005 < x 1 < 0.005, 0 < x 1 < 0.005.

x 1,(8)

Escuche el audio Historia del clculo en las culturas antiguas en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Esto nos indica nuevamente que para que se cumpla la desigualdad (7) es suficiente que se cumpla la desigualdad (8). Esto es, si 0 < x 1 < 0.005, entonces f ( x) 3 < 0.01. (9)

De manera similar a las dos preguntas anteriores, se podra preguntar cmo elegir los valores de x de tal forma que la diferencia f ( x) 3 sea menor que cualquier nmero positivo, tan pequeo como se quiera. Se usa frecuentemente la letra griega (psilon) para denotar tales nmeros positivos. La pregunta entonces formulada de manera general sera la siguiente: para cules valores de x, x 1 , se cumple que f ( x) 3 < ? Un procedimiento similar al desarrollado en los dos casos anteriores permite verificar que es suficiente elegir los valores de x de tal manera que la diferencia x 1 sea menor que cierto nmero positivo, corrientemente denotado por la letra griega (delta). Resumiendo: Si 0 < x 1 < , entonces f ( x) 3 < . La cantidad de ensayos que se pueden efectuar con valores pequeos dados de es innumerable y no se demostrara nada con respecto a la existencia del lmite de f (x). Slo servira para convencernos intuitivamente de que f (x) tiende al valor 3 cuando x tiende a 1. nicamente cuando se logre demostrar que para cualquier nmero positivo dado, existe al menos otro nmero positivo tal que si

0 < x 1 < , entonces f ( x) 3 < , se le dar a nuestra intuicin una formulacin exenta de ambigedades. Observac