RESISTENCIA

2016

EL CALCULO FRACCIONARIO.Una historia de α

Siglos (3<α<4)

Dr. Juan E. Nápoles V.

La Función Gamma

0),1()1()()1(

,,)!1(!)1(

>−Γ−=Γ=+Γ∈−==+Γ

aaaaaaa

Nnnnnn

∫∞

−−=Γ0

1)( dxexa xa

La Función Gamma extiende el factorial a valores no enteros.

Binomio Generalizado

€

u

v

=

Γ(u+1)Γ(v+1)Γ(u−v+1)

€

(1+z)γ = γk

zk

k=0

+∞

∑

Definición de la Función de Mittag-Lefler

G. M. Mittag-LeflerG. M. Mittag-Lefler

,0

( ) , , 0( )

k

k

xE x

kα β α βα β

∞

==

Γ +∑ f

0

( ) , 0( 1)

k

k

xE x

kα αα

∞

==

Γ +∑ f

E1,1(z)=ez

E2,1(z2)=coshz; E2,2(z

2)=senhz/z

))'('()(''),()(' xfxfxfdx

dxf ==

dx

dD =

2

22

dx

dD = RaDDD a ∈= ,,2/1

2/1, =nDn

Integral de Cauchy

Reemplazando n por 0.5 y por q>0

02/12/12/1

2/1

2/112/1

2/1

)(

1

)1(

)2/3(2

)12/12/1(

)12/1(2)

2(

2

)12/11(

1

)1(

)1(

,)!(

!)()(

...,,)(',)(

xxxdt

d

xxxdt

d

xak

kx

dt

d

Naxak

kxf

dt

dxf

kxxfxxf

akka

a

aka

aa

kk

ΓΓ=

+−Γ+Γ=

=+−Γ

=

+−Γ+Γ=

∈−

==

==

−

−

−

−

−

πππ

π

,)()(0∫=t

dxxftfJ

∫ ∫∫ ==t xt

dxdfdxxfJtfJJ0 00

)))(())(())(( ττ

Operador Integral Fraccionario de Riemann-Liouville de orden α

,0,)()()(

1)(

0

1 >−Γ

= ∫ − αα

αα dxxfxtxfJt

),()( xfJJxfJJ αββα =

0,),(

),(1,

),()(

)(

1

,),(0

1

>

∫

=∂

∂=<<−

∂∂−

−Γ

=∂

∂

−−

αατ

τττ

α

αα

αα

α mmdxu

tm

mt

txu

t

m

mm

m

m

t

txutxuD

Derivada Fraccionaria en el sentido Caputo

Nm

matu

mamdxdx

xudxt

amdt

tdtD

m

t

m

mam

m

mm

∈

>

=

<<−∫ −−Γ==

−−

,0,

),(

1,)(

)()(

1

)(0

1

α

tCeytyty == ),()('

AytytyDa == )0(),()(

∫ −−Γ

=t

0

a- )(')1(

1)( dxxtyx

atyDa

Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville

• Erdelyi-Kober• Hadamard• Grunwald-Letnikov• Riesz• Derivada Fractal Fraccional • Derivada Fraccional Compleja

¿Cómo se debe decir Derivada de Orden Fraccional o Derivada de Orden No Entero?

Orden Fraccional significa que el orden es un número fraccional, no irracional.

Obviamente, las definiciones discutidas son de Orden No entero, e incluyen valores reales o complejos.

Cuando se alude al Cálculo Fraccionario se entiende el Cálculo de Orden No entero.

¿Quién se preocupa por el cálculo fraccional?

2d con 534.2Hd1D ==−+=

¿Alguna pregunta?

Muchas Gracias¡¡¡¡¡¡¡