Elementos de Cálculo Diferencial. Vol 2

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Elementos de Cálculo Diferencial. Vol 2

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  • CONTENIDO

    VOLUMEN II

    CAPITULO 6: LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICASY EL CALCULO

    1

    En primer lugar se realiza un repaso sobre las funcionestrigonometricas, algunas de sus propiedades basicas y sus graficas.Luego se calculan lmites y derivadas de funciones en las que aparecenlas funciones trigonometricas.

    -

    6 qx 1

    P (x, y)

    yO

    y

    y

    x

    x = cos y = sen

    6.1 Repaso sobre funciones trigonometricas 4

    6.2 Un lmite especial: limx0

    senx

    x11

    6.3 Derivadas de las funciones trigonometricas 17

    6.4 Ejercicios del Captulo 6 22

  • CAPITULO 7: LAS FUNCIONES LOGARITMICAS,EXPONENCIALES Y EL CALCULO 25

    En este captulo se repasan las funciones logartmicas y exponencialesy se calculan lmites y derivadas de funciones de este tipo. Comouna situacion especial se utiliza el metodo de derivacion logartmicapara calcular la derivada de cierto tipo de funciones. Se hace un ligeradiscusion sobre el desarrollo historico de la notacion en matematicas.

    -q q

    1

    a

    1 qqe

    y = ex

    y = lnx

    y

    x

    r r rr6

    7.1 Repaso sobre las funciones logartmicas 26

    7.2 Repaso sobre las funciones exponenciales 29

    7.3 Lmites especiales 30

    7.4 Derivadas de las funciones logartmicas y exponenciales 33

    7.5 La importancia de las notaciones 44

    7.6 Ejercicios del Captulo 7 46

    CAPITULO 8: ALGUNAS APLICACIONES 49

    Se resenan algunas de las aplicaciones del calculo diferencial: situa-ciones especiales en que aparecen los lmites y las funciones discon-tinuas, aplicaciones al calculo de la velocidad y la aceleracion, la con-struccion de graficas de funciones y la regla de LHopital. Se pro-porciona algunos datos biograficos de uno de los matematicos msprolficos: Leonhard Euler.

    6

    x

    ymaximo:derivada = 0

    maximo:derivadano existe

    mnimo:derivada = 0

    w?

    -

    -

    8.1 Algunas situaciones donde se aplican los lmites 50

    8.2 Funciones discontinuas aplicadas 52

    8.3 Velocidad y aceleracion 54

    8.4 La construccion de las graficas de las funciones 57

    8.5 Calcular lmites usando la derivada: La regla de LHopital63

    8.6 Euler y las matematicas aplicadas 67

    8.7 Ejercicios del Captulo 8 69

  • CAPITULO 9: TEMAS ADICIONALES: UNA INTRO-

    DUCCION 71

    Este captulo constituye una mirada a algunos temas especiales delCalculo. Estos temas forman partes de cursos de Calculo de nivelsuperior, pero sus rudimentos pueden ser comprendidos en este puntoy permiten conocer algunas de las potencialidades de esta tematica.Se hace una breve referencia a las series, la integracion, las ecuacionesdiferenciales y las funciones de varias variables.

    -

    6y

    x1an

    2an

    3an

    a

    f( 3an

    )

    largorectangulo

    subintervalo

    y = x2

    Ivalor inicial valor final

    ancho rectangulo 9.1 Series infinitas 72

    9.2 La integracion y la antiderivacion 75

    9.3 Ecuaciones diferenciales 83

    9.4 Funciones de varias variables y derivadas parciales 88

    9.5 Ejercicios del Captulo 9 92

    CAPITULO 10: DEFINICIONES Y METODOS FOR-MALES 97

    Este captulo hace referencia a uno de los aspectos fundamentales delas matematicas: la formalizacion. Se comenta sobre el significado yla importancia de la demostracion en matematicas y se demuestranalgunos de los teoremas estudiados a lo largo de los nueve captulosanteriores. Finalmente se presentan algunos comentarios sobre unanueva manera de formalizar estos conceptos: el analisis nostandard.

    -

    6y

    x

    cc

    L

    L+

    L

    c c+

    y = f(x) 10.1 El concepto de lmite 99

    10.2 El concepto de continuidad 104

    10.3 El concepto de derivada 106

    10.4 Infinitesimales y analisis nostandard 112

    10.5 Ejercicios del Captulo 10 113

    RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 115

    INDICE 119

  • VOLUMEN I

    PREFACIO i

    INTRODUCCION ix

    CAPITULO 1: LAS RAZONES DE CAMBIO Y LADERIVADA 2

    1.1 Razones de cambio 3

    1.2 Cada libre y calculo de rectas tangentes 9

    1.3 La derivada como razon de cambio instantaneo 16

    1.4 Galileo, la ciencia moderna y las matematicas 22

    1.5 Ejercicios del Captulo 1 23

    CAP ITULO 2: L IMITES

    2.1 Funciones y representacion grafica 27

    2.2 El proceso del lmite 32

    2.3 Calculo de lmites 39

    2.4 Coordenadas y Geometra Analtica 51

    2.5 Ejercicios del Captulo 2 54

    CAPITULO 3: LIMITES LATERALES Y CONTINUIDAD

    3.1 Los lmites laterales 61

    3.2 Continuidad 65

    3.3 Funciones discontinuas 70

    3.4 Newton, las matematicas y la revolucion cientfica 74

    3.5 Ejercicios del Captulo 3 77

    viii

    i

  • CAPITULO 4: LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO

    4.1 Lmites infinitos y asntotas verticales 81

    4.2 Lmites al infinito y asntotas horizontales 88

    4.3 Lmites al infinito y calculo de areas 96

    4.4 Ejercicios del Captulo 4 100

    CAPITULO 5: LA DERIVADA 105

    5.1 La definicion de derivada 107

    5.2 Reglas de derivacion 117

    5.3 Derivacion implcita 124

    5.4 Leibniz y el Calculo 127

    5.5 Ejercicios del Captulo 5 129

    RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 135

    INDICE 139

    ix

  • CAPITULO 6

    LAS FUNCIONESTRIGONOMETRICAS

    Y EL CALCULO

    .

    Quien se afirma a s mismo como juez en elcampo de la Verdad y el Conocimiento, sera hun-dido por la risa de los dioses.

    Albert Einstein

    En el Volumen I vimos los metodos del Calculo con funcionesalgebraicas. Esto es: polinomios y combinaciones de ellos me-diante sumas, restas, productos, cocientes, potencias y radicales.En este captulo veremos algunas de las reglas del calculo referi-das a otro tipo de funciones que usted ya conoce: las funcionestrigonometricas.

    La trigonometra

    Trigonometra significa medida del triangulo. Puede decirse queen ese sentido nace desde que las primeras mediciones daban lugara los triangulos. Se podra rastrear su origen desde el Egipto y laBabilonia de la era de las grandes Civilizaciones de Bronce. Peroestaramos hablando de una trigonometra muy rudimentaria.

    El origen mas elaborado de la trigonometra se desarrollo enla Grecia Antigua para ayudar en la astronoma. La astronomagriega ocupaba geometra esferica y, por eso, la trigonometra quedesarrollaron fue esferica (espacial y relativa a esferas).

  • 2 Elementos de calculo, volumen 2

    La creacion de la trigonometra fue la obra esencialmente detres matematicos del perodo alejandrino: Hiparco (circa 150 a.C.), Menelao (circa 98 d. C.) y Ptolomeo, este ultimo (168 d. C.)fue el gran astronomo que sustento la teora geocentrica (el Sol ylos planetas giran alrededor de la Tierra).

    La trigonometra plana, que es la que estudiamos normalmenteen los colegios y universidades, es mas bien util para las medicionestopograficas y los griegos antiguos (como por ejemplo Heron) pre-firieron aplicar la geometra euclideana y no la trigonometra plana.

    Ahora bien, la division de la circunferencia en 360 unidades(grados) se origino en la astronoma babilonica. Ptolomeo siguioen esto a los babilonicos y, ademas, dividio el grado en 60 minutos(minutae primae), y el minuto en 60 segundos (minutae secundae). r

    O

    C

    B

    A

    r

    r

    22

    /

    U

    O

    cuerda BCarco AB

    cuerda AB

    Figura 6.1.

    Veamos como estudiaban la trigonometra los griegos. Observeel diagrama representado en la figura 6.1.

    Los griegos trabajaban las funciones trigonometricas como cuer-das BC o AB asociadas respectivamente a un arco BC o arco AB.

    Observe que en nuestros terminos

    BC = 2[sen(

    2)] r

    sO

    C

    B

    r2

    2[sen(2

    )] r

    Figura 6.2.

    (pues sen(2) = BC

    2/r) y, tambien,

    AB = 2[cos(

    2)]r.

    Usando el teorema de Pitagoras tenemos:

    (AB)2 + (BC)2 = (2r)2

    Es decir:[2(cos(

    2))r]2 + [2

    (sen(

    2))r]2 = (2r)2

    4r2 cos2(

    2) + 4r2 sen2(

    2) = 4r2 =

    cos2(

    2) + sen2(

    2) = 1

  • 3 Elementos de calculo, volumen 2

    Lo que es la identidad trigonometrica que ya conocemos:

    sen2 + cos2 = 1

    Este resultado se encuentra en Menelao, pero de seguro era conocidopor sus predecesores.

    Las formulas

    sen( + ) = sen cos + cos sen

    y

    cos( ) = cos cos sen sen

    son todava llamadas formulas de Ptolomeo.

    Hindues y arabes

    Los hindues y los arabes perfeccionaron un poco la trigonometragriega, probablemente debido a que tambien la ocupaban en susestudios astronomicos. El enfasis aqu fue puesto en los calculosmas que en tratamientos generales abstractos (lo que fue tpico delpensamiento hindu y arabe en contraposicion con el griego).

    Se conoce una obra hindu del siglo IV d.C que daba una tablade senos calculado para cada 3, 750 de arco hasta los 900.

    Los arabes tomaron la trigonometra hindu y la desarrollaron.Desde el siglo IX d.C. con el astronomo Al-Battani se uso ademasdel seno de los hindues, la tangente y la cotangente. En el siglo Xse hicieron tablas de la tangente y la cotangente, y hasta se usaronla secante y la cosecante como razones trigonometricas.

    En el camino hacia una trigonometra como disciplina indepen-diente se puede citar tambien al arabe Abul-Welfa (fines del sigloX) y al persa Nasir Eddin (1201-1274); este ultimo escribio el primertexto arabe de trigonometra como ciencia autonoma.

    Vite

    No fue sino con el frances Franois Vite que la trigonometra ob-tendra su forma definitiva previa a la aplicacion del Calculo. Viteuso las 6 funciones trigonometricas usuales y, lo que es de ungran valor, establecio un tratamiento algebraico de la trigonometra(muchas de las identidades conocidas las extrajo algebraicamente).En 1579 Vite amplio una tabla de valores trigonometrica que habaelaborado el aleman Rhaeticus, dando los valores con 7 decimalespara las 6 funciones trigonometricas, para cada segundo de arco.

  • 4 Elementos de calculo, volumen 2

    Debe mencionarse que fue en este perodo (finales del siglo XVI yprincipios del XVII) que se empezo a usar el termino trigonometrapara esta parte de las matematicas.

    Dos recursos matematicos ampliaron las fronteras de la trigonometratal cual la dejo Vite: los logaritmos (creados en el mismo perodohistorico) y, especialmente, algun tiempo despues el uso del Calculoinfinitesimal (segunda mitad del siglo XVII).

    Esta seccion es un repasorapido de las funcionestrigonometricas: medidade angulos, definiciones,algunas formulas basicasy graficas de estas fun-ciones. Se intercalantambien algunas notashistoricas relacionadas conla trigonometra.

    6.1 REPASO SOBRE FUNCIONES TRIGO-

    NOMETRICAS

    En esta seccion realizaremos un repaso de los aspectos mas im-portantes de las funciones trigonometricas, que sera de gran utilidaden lo que sigue.

    Angulos

    En geometra se considera a un angulo como la unin de dos rayos`1 y `2 con el mismo punto inicial O. Si A es un punto de `1 y Bes un punto en `2 el angulo se denota por

  • 5 Elementos de calculo, volumen 2

    Mientras tanto, para obtener (gama), se hace una rotacioncompleta en el mismo sentido de y se sigue hasta llegar tambiena `2.

    Ahora nos ubicamos sobre un sistema de coordenadas rectangu-lares.Diremos que un angulo esta en posicion normal si su lado inicial esla parte positiva del eje x y el origen O es el punto (0, 0). En un sistema de

    coordenadas rectangu-lares

    Si el giro se hace en sentido contrario al movimiento de las manecil-las del reloj se dice que el angulo es positivo y si se hace en elmismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj se diceque es negativo.

    Medida de angulos -`1

    W

    Figura 6.6.

    En grados

    Hay dos unidades muy comunes para medir angulos. La mas cono-cida en este nivel es la medida en grados.

    Esta se define suponiendo que si un angulo se obtiene al girar

    -

    6

    -

    6

    o

    j

    El angulo es positivo

    El angulo es negativo

    Figura 6.7.

    en sentido positivo el rayo `1 exactamente una vuelta, llegando otravez a `1, entonces ese angulo mide 360 grados; de manera que: ungrado es la medida de un angulo que corresponde a 1

    360de vuelta

    en el sentido positivo; se denota 1o.

    En radianes

    La otra forma de medir angulos es en radianes.Consideremos en el sistema de coordenadas una circunferencia

    con centro (0, 0) y radio 1 (el llamado crculo unitario o trigonometrico)y suponga que es un angulo central de esta circunferencia, esto ry

    Y

    r = 1

    Figura 6.8.

    La circunferencia

    es, un angulo cuyo vertice es el centro de la circunferencia.La medida en radianes de se define como la longitud del arco delsector circular determinado por (figura 6.8).

    ryY

    r

    s = r

    Figura 6.9.

    Segun lo anterior, una rotacion completa corresponde a 360o

    y, puesto que la medida de una circunferencia de radio 1 es 2pi,entonces una rotacion completa son 2pi rad. Segun esto entonces setiene que

    360o = 2pi rad.

    La medida en radianes nos permite dar una formula simple paracalcular la longitud s de un arco circular de radio r como el de lafigura 6.9, esta es

    longitud de arco = s = r ( en radianes)

  • 6 Elementos de calculo, volumen 2

    Usando que 360o = 2pi rad. se deduce que

    1o =pi

    180rad y 1 rad =

    (180

    pi

    )o,

    y esto se usa para convertir grados a radianes y radianes a gradosrespectivamente. Formula de con-

    versionPor ejemplo, un angulo recto mide 90o, y expresado en radianessera entonces

    90o = 90 pi180

    rad =pi

    2rad.

    En la figura 6.10 se representa algunos angulos con sus corre-spondientes medidas en radianes.

    La unidad que se utiliza para medir angulos en el Calculo esel radian. En lo que sigue, cuando escribimos la medida de unangulo sin hacer referencia a la unidad de medida estaremossobrentendiendo que se trata de radianes. Por otra parte, si elangulo , por ejemplo, mide 2 radianes, por abuso de notacionescribiremos = 2.

    -

    6

    -

    6

    -

    6

    I =

    pi

    2 =

    3pi4

    = pi

    y

    y

    y

    x

    x

    x

    Figura 6.10.Para su mayor comodidad damos a continuacion una tabla enla que aparecen algunas medidas de angulos en grados y su equiva-lencia en radianes (los angulos mas usuales). Usted debe acostum-brarse a pensar en medidas dadas en radianes.

  • 7 Elementos de calculo, volumen 2

    TRIGONOMETRIA EN EL TRIANGULO RECTANGULO

    Para angulos agudos, los valores de las funciones trigonometricas se pueden interpretar como cocientesde las longitudes de los lados de un triangulo rectangulo.Se considera as un triangulo como el de la figura. El lado de medida y es el cateto opuesto (cat. op.) a, El lado de medida x es el cateto adyacente (cat. ad.) a y el lado de medida z es la hipotenusa (hip.).Para ese angulo se tiene:

    x

    yz

    sen = cat. op.hip. csc =hip.

    cat. op. cos =cat. ad.

    hip.

    sec = hip.cat. ad. tan =cat. op.cat. ad. cot =

    cat. ad.cat. op.

    Por ejemplo en un triangulo rectangulo cuyos angulos agudos miden 45o se tiene:

    1

    1

    2

    45o

    sen 45o = 12

    csc 45o =

    21 =

    2 cos 45o = 1

    2

    sec 45o =

    21 =

    2 tan 45o = 11 = 1 cot 45

    o = 11 = 1

    1

    3

    2

    60o

    30o Este es un triangulo rectangulo cuyos angulos agudos miden 30o

    y 60o, a partir de el usted puede obtener todas las funcionestrigonometricas de esos angulos.

    Recuadro 6.1: En el triangulo rectangulo.

  • 8 Elementos de calculo, volumen 2

    Tabla 6.1

    Grados 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o

    Radianes 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 2pi/3 3pi/4 5pi/6 pi 3pi/2 2pi

    Nota historica: pi no siempre fue pi

    pi expresa la relacion entre diametro y circunferencia

    C

    2R= pi.

    Se ha calculado esta relacion (numero) desde la antigedad. De lasprimeras referencias podemos mencionar la misma Biblia: I Reyes7, 23 y II Cronicas 4, 2. Se da un valor para pi de 3 (con relaciona unas medidas para el templo de Salomon alrededor del ano 950a.C.). El famoso papiro egipcio Rhind (1650 a.C.) da un valor de3, 16 para pi. Estos primeros calculos fueron hechos por medida yno por una construccion teorica.

    La primera aproximacion teorica del valor de pi fue dada porArqumedes que obtuvo la relacion

    223/71 < pi < 22/7

    (note que el promedio de estos dos numeros da 3, 1418: una buenaaproximacion).

    Las aproximaciones siguieron mejorandose durante siglos: Ptolomeo(alrededor 150 d.C.) 3, 1416, Tsu Chung Chi (alrededor 430501d.C.) 355

    113, AlKhwarizmi (alrededor 800 d.C.) 3, 1416, AlKashi (alrede-

    dor 1430 d.C.) una aproximacion con 14 dgitos, Vite (15401603)dio 9 dgitos, Romanus (15611615) 17 dgitos, Van Ceulen (alrede-dor 1600) dio 35 dgitos. En 1873, el ingles Shanks calculo 707dgitos, pero solo 527 eran correctos. En 1949 con ayuda de uncomputador se pudo calcular 2000 dgitos para pi.

    El smbolo que usamos es, sin embargo, relativamente reciente.Por primera vez fue utilizado por William Jones (16751749) en1706. Pero la consagracion de su uso fue debida al uso extenso delsmbolo realizado por Leonhard Euler, el gran matematico suizo delsiglo XVIII (17071783). Euler adopto y popularizo el smbolo en1737.

    Definicion de las funciones trigonometricas

    Nos ubicamos nuevamente en la circunferencia unitaria. Segun de-ducimos de la figura 6.11, el lado terminal de cualquier angulo en

  • 9 Elementos de calculo, volumen 2

    posicion normal corta a la circunferencia en un punto de coorde-nadas P (x, y). Las seis funciones trigonometricas se pueden definira partir de las coordenadas de este punto. Tales funciones son el

    -

    6 qx 1

    P (x, y)

    yO

    y

    y

    x

    Figura 6.11. Crculo trigo-nometrico

    seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, que se de-notan respectivamente por sen, cos, tan, cot, sec y csc.

    Si es un numero real que corresponde a un angulo en posicionnormal y P (x, y) es el punto donde el lado terminal del angulocorta a la circunferencia unitaria, entonces se definen las funcionestrigonometricas segun se indica a continuacion:

    Definicion de las funciones trigonometricas( es un angulo en posicion normal tal que su lado terminal corta al crculo unitario en el punto P (x, y))

    Seno: sen = y Cosecante: csc =1y

    para y 6= 0

    Coseno: cos = x Secante: sec =1x

    para x 6= 0

    Tangente: tan =y

    xpara x 6= 0 Cotangente: cot = x

    ypara y 6= 0

    Observe que el dominio de las funciones seno y coseno es todoR. Mientras tanto, en la definicion de tangente y de secante aparecela abscisa x en el denominador, por lo tanto deben excluirse de sudominio todos los valores de para los cuales x = 0; es decir hayque excluir los angulos de medida (pi/2)+npi, donde n es un numero Dominio de las fun-

    cionestrigonometricas

    entero. El dominio de la tangente y la secante es entonces:

    R{pi

    2+ npi/n Z

    }Estan excluidos, por ejemplo, valores tales como

    pi

    2,pi2,

    3pi

    2,3pi

    2,5pi

    2,5pi

    2

    (todos los multiplos impares de pi2).

    Por otro lado, en la definicion de cotangente y cosecante aparecela ordenada y en el denominador. De manera que el dominio deestas dos funciones excluye todos los valores de la forma npi, con nentero. Quedan fuera, por ejemplo, los numeros:

    0, pi, pi, 2pi, 2pi(todos los multiplos de pi).

  • 10 Elementos de calculo, volumen 2

    La siguiente tabla 6.2 contiene el valor de las funciones trigonome-tricas para algunos valores del angulo. Con ellos y con una seriede relaciones entre las funciones trigonometricas podemos calcularmuchos valores para ellas. Pero, en general, debemos utilizar unacalculadora para obtener estos valores con un angulo cualquiera.

    Tabla 6.2

    Algunos valores trigonometricos

    sen cos tan csc sec cot

    0 0 1 0 1 pi6

    12

    3

    2

    3

    32 2

    3

    3

    pi4

    2

    2

    2

    21

    2

    2 1

    pi3

    3

    212

    3 2

    32 1

    3

    pi2

    1 0 1 0

    Formulas trigonometricas

    A partir de la definicion de las funciones trigonometricas como val-ores referidos a las coordenadas de puntos sobre el crculo unitariose puede obtener varias formulas. Por ejemplo, la ecuacion quedefine al crculo unitario es

    x2 + y2 = 1

    Esto quiere decir que un punto (x, y) esta sobre el crculo unitariosi y solamente si satisface esa relacion. Puesto que se define

    sen = y y cos = x

    entonces x2 + y2 = 1 se convierte en

    sen2 + cos2 = 1 *

    A partir de esta podemos deducir las que se dan a continuacion:

    tan2 + 1 = sec2 1 + cot2 = csc2

    La primera se obtiene dividiendo todos los terminos de (*) porsen2 y la segunda, dividiendo los terminos de (*) por cos2 .

  • 11 Elementos de calculo, volumen 2

    A continuacion se dan algunas de las formulas trigonometricasmas usuales.

    Razones trigonometricas Formulas para angulos negativos

    tan = sen cos

    cot = cos sen

    sen() = sen csc() = csc sec = 1

    cos csc = 1

    sen cos() = cos sec() = sec

    cot = 1tan

    tan() = tan cot() = cot

    Formulas para suma y resta de angulos

    sen( + ) = sen cos + cos sen sen( ) = sen cos cos sen cos( + ) = cos cos sen sen cos( ) = cos cos + sen sen tan( + ) = tan+tan

    1tan tan tan( ) = tantan1+tan tan

    Formulas para el doble de un angulo Formulas para la mitad de un angulo

    sen(2) = 2 sen cos cos(2) = cos2 sen2 sen2 2

    = 1cos2

    cos2 2

    = 1+cos2

    cos(2) = 1 2 sen2 cos(2) = 2 cos2 1 tan 2

    = 1cossen

    tan 2

    = sen1+cos

    tan(2) = 2 tan1tan2

    Graficas de las funciones trigonometricas

    Finalizamos esta seccion mostrando las graficas de las funcionestrigonometricas. Antes debemos recordar que estas funciones sonperiodicas, puesto que despues de cada rotacion completa los la-dos terminales comienzan a coincidir con los lados terminales de la Funciones periodicas

    o circularesrotacion anterior y as sucesivamente. Las funciones seno, coseno,secante y cosecante tienen perodo 2pi, las funciones tangente ycotangente tienen perodo pi, esto es:

    Perodos de las funciones trigonometricas

    sen( + 2npi) = sen csc( + 2npi) = csc

    cos( + 2npi) = cos sec( + 2npi) = sec

    tan( + npi) = tan cot( + npi) = cot

  • 12 Elementos de calculo, volumen 2

    Los graficos que daremos a continuacion corresponden a unaparte de la funcion y el patron que se da se repite indefinidamente.

    6

    y

    x

    1

    1

    pi2

    32pipi2 32pi

    -

    Figura 6.12. y = senx

    x0 pipi2pi

    6

    y

    1

    12pi-

    Figura 6.13. y = cosx

    6

    32pipipi2 pi2 pi 32pi2pi

    x

    y

    -

    Figura 6.14. y = tanx

    6

    y

    x

    1

    1

    pi2

    pi 32pi 2pipi2pi 32pi-

    Figura 6.15. y = cscx

    x0 pi

    2pi 3

    2pipi 3

    2pi

    6y

    1

    1pi

    22pi-

    Figura 6.16. y = secx

    y

    pipi2

    pi 32pi 2pi 5

    2pi

    x

    6

    pi2

    -

    Figura 6.17. y = cotx

    Despues de este repaso, lo que sigue es el Calculo con estasfunciones.

    Una nota historica: Las funciones trigonometricas

    En los nuevos tiempos, las funciones trigonometricas fueron sistem-atizadas por Newton y Leibniz quienes haban dado expansiones enforma de serie para las mismas. Las formulas de estas funcionesaplicadas a la suma y resta de angulos fue dada por varias personasentre ellos Jean Bernoulli (16671798) y Thomas Fontet de Lagny(16601734).

    Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y sistematicoa las funciones trigonometricas. La periodicidad de estas funcionesy la introduccion de la medida de los angulos por radianes, fuerealizada por Euler en su Introductio in Analysis Infinitorum de1748.

    En esta seccion se calcula ellmite lim

    x0senxx

    y se utilizapara calcular otros lmitesen los que aparecen fun-ciones trigonometricas.

    6.2 UN LIMITE ESPECIAL:

    limx0

    senx

    x

  • 13 Elementos de calculo, volumen 2

    Recuerde que el dominio de las funciones senx y cosx es todoR, el dominio de tanx y sec x es

    R {pi2

    + npi/n Z}

    y el dominio de cotx y csc x es

    R {npi/n Z}.A partir de las graficas de las funciones trigonometricas podemos

    deducir que ellas son continuas en todo su dominio, de manera quesi c pertenece al dominio de la funcion correspondiente, entonces setiene:

    limxc

    senx = sen c limxc

    cosx = cos c

    limxc

    tanx = tan c limxc

    cotx = cot c

    limxc

    secx = sec c limxc

    cscx = csc c

    Por otra parte, si c no pertenece al dominio de la funcion en-tonces el lmite no existe.

    Ejemplo 1. Calculo de lmites con funcionestrigonometricas

    Como una aplicacion de lo anterior tenemos, por ejemplo, que

    limxpi senx = sen pi = 0 limxpi4

    cosx = cos pi4

    =

    22

    limxpi3

    tanx = tan pi3

    =

    3 limxpi6

    cotx = cot pi6

    =

    3

    limxpi4

    secx = sec pi4

    =

    2 limx 32pi cscx = csc

    32pi = 1

    Por otra parte, limxpi

    2

    tanx no existe (vea la grafica de y = tanx)

    pero s podemos decir que

    limxpi

    2+

    tanx = y limxpi

    2

    tanx =.

    Tambien tenemos que

    limxpi+

    cscx = y limxpi

    cscx =.

    4

  • 14 Elementos de calculo, volumen 2

    Ejemplo 2. Calculo de un lmite de funcionestrigonometricas con algebraicas

    Calcular limxpi

    (x+ x2 cosx).

    Solucion: Utilizando las propiedades de los lmites estudiadas encaptulos anteriores tenemos

    limxpi

    (x+ x2 cosx) = limxpi

    x+ limxpi

    x2 limxpi

    cosx

    = pi + pi2 1= pi pi2

    . 4 f(x) = x+ x2 cosxFigura 6.18.Tenemos, igual que antes: si al evaluar no encontramos prob-

    lemas entonces obtenemos el lmite directamente. Pero, tambien,aqu podemos encontrar problemas. Piense en el siguiente lmite:

    limx0

    senx

    x.

    Tenemos una situacion especialmente difcil puesto que al eval-uar obtenemos la forma indeterminada 0

    0; con un agravante: no

    podemos ni factorizar, ni racionalizar, ni operar como lo hacamosantes. Es evidente que aqu debemos utilizar otros metodos. Den-tro de un momento aprenderemos cual es el valor de ese lmite ypodremos utilizarlo para calcular otros parecidos. Pero para lle-gar a ese valor antes veremos un teorema que nos sera de muchautilidad.

    Teorema 6.1. Teorema de intercalacion

    Sea I un intervalo abierto que contiene a c y suponga que para todo x I (salvo tal vez parax = c) se tiene que g(x) f(x) h(x), si ademas lim

    xcg(x) = lim

    xch(x) = L, entonces tambien

    limxc

    f(x) = L.

    La figura 6.19 representa un ejemplo de la situacion que se da:la funcion h va por arriba, la funcion g va por abajo y la funcion fva en medio de ellas. Si tanto h como g se acercan a un mismo valor,a f no le queda otra que ir hacia ese valor puesto que queda inter-calada entre ellas. Por esta razon el teorema tambien es conocido

    -

    6

    c

    c

    L

    y = h(x)

    y = g(x)

    y = f(x)

    y

    x

    Figura 6.19.

    con el nombre del teorema del sandwich. Lo dicho anteriormente noes una demostracion del teorema, solamente es una idea intuitivabasada en la situacion grafica.

  • 15 Elementos de calculo, volumen 2

    Una demostracion intuitiva

    La figura 6.20 representa el crculo trigonometrico (centro (0, 0) yradio 1). Consideremos primero que 0 < x < pi

    2.

    El segmento MP tiene medida senx (por definicion), el segmento AQ tiene medida tan x, ya que segun el dibujo

    tanx =AQ

    OA= AQ,

    pues OA mide 1.

    y el arco AP tiene medida x (pues la medida del arco es igualal radio por el angulo, esto es 1 x = x).

    La intuicion nos dice que

    senx < x < tanx

    (lo cual es cierto). Para 0 < x < pi2

    se tiene que senx es positivopor lo tanto si en la desigualdad anterior dividimos por sen x, setiene que

    p6

    r

    rrrM A

    Q

    P (x, y)

    yxO cosx

    senx

    tanx

    N

    - x

    Figura 6.20.

    senx

    senx cosx 1 1

    y, entonces, el teorema de intercalacion nos dice que tambien

    limx0

    senx

    x= 1

  • 16 Elementos de calculo, volumen 2

    Ejemplo 3. Otro lmite especial

    Utilizar el lmite anterior para demostrar que

    limx0

    cosx 1x

    = 0

    Solucion: En efecto, tenemos

    limx0

    cosx 1x

    = limx0

    (cosx 1)(cosx+ 1)x(cosx+ 1)

    = limx0

    cos2 x 1x(cosx+ 1)

    = limx0

    sen2 xx(cosx+ 1)

    = limx0

    senxx senx

    cosx+ 1

    = 1 sen 0cos 0 + 1

    = 1 0= 0

    4

    Ejemplo 4. Calculo de lmites trigonometricos:

    el casosen ax

    axCalcular los siguientes lmites:

    (a) limx0

    sen 4x3x

    (b) limx0

    cosx+ 3x 15x

    Solucion: (a) Procedemos del siguiente modo:

    limx0

    sen 4x3x

    = limx0

    4 sen 4x3(4x)

    = limx0

    43 sen 4x

    4x=

    43

    limx0

    sen 4x4x

    Por la definicion de lmite se tiene que x 0 se puede sustituirpor 4x 0. Por lo tanto

    limx0

    sen 4x

    4x= lim

    (4x)0sen(4x)

    (4x)= 1

    y, en definitiva,

    limx0

    sen 4x

    3x=

    4

    3 1 = 4

    3.

  • 17 Elementos de calculo, volumen 2

    (b) En este caso se agrupan los terminos en el numerador parabuscar un lmite conocido:

    limx0

    cosx+ 3x 15x

    = limx0

    cosx 1 + 3x5x

    = limx0

    (cosx 1

    5x+

    3x5x

    )= lim

    x0

    [15 cosx 1

    x

    ]+ limx0

    35

    =15 0 + 3

    5

    =35

    4

    Ejemplo 5. Convertir a senos y cosenos

    Calcular limt0

    t+ tan t

    sen t.

    Solucion: Es conveniente convertir la tangente en su correspondi-ente expresion en terminos de seno y coseno. Tenemos:

    limt0

    t+ tan tsen t

    = limt0

    t+ sen tcos tsen t

    = limt0

    t cos t+sen tcos t

    sen t

    = limt0

    t cos t+ sen tcos t sen t

    = limt0

    (t cos t

    cos t sen t+

    sen tcos t sen t

    )= lim

    t0t

    sen t+ limt0

    1cos t

    = 1 + 1 = 2

    En este ejemplo se utilizo

    limt0

    t

    sen t= 1,

    por que esto es valido? 4

  • 18 Elementos de calculo, volumen 2

    6.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES

    TRIGONOMETRICAS

    Ahora procederemos a calcular las derivadas de algunas de lasfunciones trigonometricas basicas utilizando la definicion y las propiedadesestudiadas en captulos anteriores. Luego se dara una tabla con lasderivadas de las seis funciones trigonometricas basicas.

    La derivada de y = senx

    Utilicemos la definicion de derivada para determinar la derivada dela funcion y = senx. Segun eso tenemos:

    y = limh0

    sen(x+ h) senxh

    = limh0

    senx cosh+ cosx senh senxh

    (usando la formula del seno de una suma de angulos)

    = limh0

    senx(cosh 1) + cosx senhh

    (reagrupando terminos)

    = limh0

    senx(cosh 1)h

    + limh0

    cosx senhh

    (separando lmites)

    = senx limh0

    cosh 1h

    + cosx limh0

    senhh

    (para efectos del lmite la variable es h)

    = senx 0 + cosx 1 (porque limh0

    cosh 1h

    = 0 y limh0

    senhh

    = 1)

    = cosx

    Es decir (senx) = cosx. Usted puede llevar a cabo un proced-imiento parecido a este para encontrar que (cosx) = senx.

    La derivada de y = tanx

    Ahora calcularemos la derivada de y = tanx. No necesitamos hacerlo mismo que hicimos antes para calcular la derivada del seno nilo que usted hizo para calcular la derivada de coseno, sino queusaremos esas dos derivadas y las formulas del Captulo 5.

    Aqu se calculan lasderivadas de seno, coseno,tangente, cotangente, se-cante y cosecante y seusan en el calculo de otrasfunciones.

  • 19 Elementos de calculo, volumen 2

    En efecto, tenemos que tanx =senx

    cosxy por lo tanto

    (tanx) =(senx

    cosx

    )=

    (senx) cosx senx(cosx)(cosx)2

    (usando la derivada de un cociente)

    =cosx cosx senx( senx)

    cos2 x(porque (senx) = cosx y (cosx) = senx)

    =cos2 x+ sen2 x

    cos2 x

    =1

    cos2 x= sec2 x

    Esto es: (tan x) = sec2 x.

    La derivada de las funciones trigonometricas

    Realizando un procedimiento analogo al anterior se puede calcularlas derivadas de las restantes funciones trigonometricas basicas. Acontinuacion se da una tabla con todas ellas.

    Tabla 6.3

    Derivadas de las funciones trigonometricas

    (senx) = cosx (cosx) = senx(tanx) = sec2 x (cotx) = csc2 x

    (secx) = secx tanx (cscx) = cscx cotx

    Ejemplo 6. Calculo de derivadas

    Calcular la derivada de las siguientes funciones:

    (a) y = x senx (b) y =cosx+ 1

    x 2 (c) y =

    tanx x

    Solucion: (a) Aqu se trata de un producto, aplicamos la reglacorrespondiente:

    y = (x senx) = (x) senx+ x(senx) = senx+ x cosx.

  • 20 Elementos de calculo, volumen 2

    (b) En este caso se trata de la derivada de un cociente:

    y =(

    cosx+ 1

    x 2)

    =(cosx+ 1)(x 2) (cosx+ 1)(x 2)

    (x 2)2

    =( senx)(x 2) (cosx+ 1)

    (x 2)2 .

    (c) Como

    tanx x = (tanxx) 12 , entonces se trata de la derivadade la potencia de una funcion:

    y =[(

    tanx x) 12]=

    1

    2

    (tanx x) 12 (tanx x)

    =1

    2

    (tanx x) 12 (sec2 x 1)

    4

    Antes de dar algunos ejemplos mas sobre el calculo de derivadasde funciones en las que aparecen combinadas las funciones trigonometricasy las funciones algebraicas daremos una regla mas para derivacion,de la cual, en el Captulo 5 dimos un caso particular (el que usamosen el punto (c) del ejemplo precedente). Esta regla, conocida comola regla de la cadena, se refiere a la derivada de una composicion defunciones.

    Teorema 6.2. Regla de la cadena

    Sean f y g dos funciones tales que existe g(x) y existe f (g(x)) entonces la derivada de la funcioncompuesta f g existe en x y se tiene

    (f g)(x) = f (g(x)) g(x).

    El teorema anterior nos permite calcular la derivada de fun-ciones que antes no estabamos en condiciones de determinar.

  • 21 Elementos de calculo, volumen 2

    Ejemplo 7. Calculo de derivadas usando regla de la ca-dena

    Determinar la derivada de cada funcion:

    (a) y = sen2 x (b) y = sec(t2) (c) y =cos(x3) + sen x

    x2(d) y = tan3(5x).

    Solucion: (a) Tenemos que

    sen2 x = (senx)2,

    de modo que aplicando la regla de la potencia obtenemos

    y =[(senx)2

    ]= 2(senx) (senx) = 2(senx) (cosx) = sen 2x.

    (b) En este caso tenemos que aplicar la regla general de la ca-dena. La funcion de afuera es la secante y la de adentro es t2.De manera que se deriva la secante, que es secante por tangente,pero evaluando en t2 y esto se multiplica por la derivada de t2. As

    y =[sec(t2)

    ]=

    [sec(t2) tan(t2)]

    (t2)

    =

    derivada de la de afuera derivada de la de adentro

    [sec(t2) tan(t2)](2t) = 2t sec(t2) tan(t2)

    (c) Aqu tenemos en principio un cociente, aplicamos la reglaque corresponde en este caso:

    y =(

    cos(x3) + sen x

    x2

    )

    =

    [cos(x3) + sen x

    ](x2)

    [cos(x3) + sen x

    ](x2)

    (x2)2

    Al calcular las derivadas que estan indicadas nos encontramos quedebemos usar la regla de la cadena en el calculo de la derivada decos(x3), en este caso procedemos de modo parecido al punto (b).Tenemos

    [cos(x3)] = [ sen(x3)](x3) = 3x2 sen(x3)y sustituyendo en y tenemos:

    y =[3x2 sen(x3) + cos x]x2 2x[cos(x3) + sen x]

    x4.

  • 22 Elementos de calculo, volumen 2

    (d) Aqu se debe aplicar dos veces la regla de la cadena:

    y = [tan3(5x)] = [(tan(5x))3]

    = 3(tan(5x))2(tan(5x)) = 3(tan(5x))2(sec2(5x))(5x)

    = 3(tan(5x))2(sec2(5x))(5) = 15 tan2(5x) sec2(5x)

    4

    Ejemplo 8. Calculo de la recta normal

    Calcule la ecuacion de la recta normal a la curva dada por

    f(x) = cos 2x+ x

    cuando x = pi4.

    Solucion: La pendiente mt de la recta tangente es la derivada dela funcion evaluada en pi

    4. Tenemos

    f (x) = 2 sen 2x+ 1(empleando la regla de la cadena y la derivada de una suma). En-tonces:

    mt = f(pi

    4) = 2 sen(2 pi

    gf60014

    )+1 = 2 sen pi

    2+1 = 21+1 = 2+1 = 1,

    por lo tanto, la pendiente mn de la recta normal es

    -

    6

    rpi4

    pi4

    x

    y

    normal

    f(x) = cos 2x+ x

    Figura 6.21.

    mn = 1mt

    = 11 = 1.

    Para calcular la interseccion debemos primero obtener la imagen depi4:

    f(pi4) = cos

    (2pi

    4

    )+pi

    4= cos pi

    2+pi

    4= 0 +

    pi

    4=pi

    4.

    Entonces la interseccion de la recta normal es

    b =pi

    4 1 pi

    4= 0

    y entonces la ecuacion de la recta es y = x. 4

    6.4 EJERCICIOS DEL CAPITULO 6

  • 23 Elementos de calculo, volumen 2

    Interpretacion grafica

    1. La figura 6.22 representala grafica de la funcionf(x) = tanx, cuales son susasntotas verticales?

    6

    32pipipi2 pi2 pi 32pi2pi

    x

    y

    -

    Figura 6.22. f(x) = tanx

    2. La figura 6.23 representa lagrafica de la funcion f(x) =senx, cuantas rectas tan-gentes horizontales tiene?, enque puntos son tangentes esasrectas?

    6

    y

    x

    1

    1

    pi2

    32pipi2 32pi

    -

    Figura 6.23. f(x) = senx

    3. La figura 6.24 representa lagrafica de la funcion f(x) =| senx|, en que puntos no esderivable esta funcion?

    -

    y

    x

    6

    pi 2pi3pi2

    pi2

    pi2

    pi3pi2

    2pi

    Figura 6.24. f(x) = | senx|

    Seleccion unica

    En los ejercicios 10 a 17 escoja la opcion que responde o completa correctamente la proposicion dada.

    4. Del limx0

    x senx1 cosx , podemos afirmar que:

    (a) No existe pero tiende a (b) Existe y esigual a 2

    (c) Existe y es igual a 1 (d) Existe y es iguala 0

    5. Sobre limx0

    x cot 3x podemos afirmar que:

    (a) Es igual a 1/3 (b) Es igual a 0

    (c) No existe (d) Es igual a 3

    6. Del lmite limxpi

    4

    cosx senxcos 2x

    podemos afirmar

    que

    (a) No existe (b) Es igual a 0

    (c) Es igual a 1 (d) Es igual a

    22

    7. Si f(x) = x2 cosx entonces f (0) es igual a

    (a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2

    8. Si f(x) =

    senx entonces f (x) es igual a

    (a)1

    2

    cosx(b)

    cosx

    (c)cosx

    2

    senx(d)

    cosx2

    cosx

    9. Si f(x) = sen2(2x) entonces f (pi/6) es igual a

    (a) 1 (b)

    3 (c) 1/4 (d)

    3/2

    10. Si f y g son funciones tales que g = f(cosx) yf (1/2) = 2 entonces g(pi/3) es igual a

    (a)

    3 (b) 3 (c) 2 (d) 2

    11. Si g es derivable y h(x) = sen(g(x)) entoncesh(x) es igual a

    (a) g(x) cosx (b) cos(g(x))

    (c) g(x) cos(g(x)) (d) cos(g(x))

  • 24 Elementos de calculo, volumen 2

    Falso o Verdadero

    En los ejercicios 4 a 9 diga si la afirmacion es falsa o verdadera (explique).

    12. Si cosx = cos y entonces x = y.

    13. sen(30o + ) = 12 + sen para todo .

    14. Para todo x R se tiene que tanx cotx = 1.

    15. Para todo x ]0, pi4 [ se tiene quecosx > senx.

    16. Si x ]0, pi[{pi/2} entonces tanx > 0.17. Si x ]pi/2, pi[ entonces secx < 0.

    Problemas y ejercicios de desarrollo

    18. Calcule el valor en radianes que corresponde alos siguientes valores en grados:300o, 410o, 380o, 60o, 720o

    19. Calcule el valor en grados que corresponde alos siguientes valores en radianes:

    pi/5, 7pi/2, 3pi, 4pi/3, pi/820. Si un angulo central subtiende un arco de 30

    cm de longitud sobre una circunferencia de 3m de radio, cual es el valor de en radianes?

    En los ejercicios del 21 al 26 pruebe la identi-dad dada.

    21. sen sec = tan

    22. cos2 (sec2 1) = sen2

    23. (tan + cot ) tan = sec2

    24. sec cos = tan sen

    25.sen + cos

    cos = 1 + tan

    26.csc2

    1 + tan2 = 1 + cot2

    En los ejercicios 27 a 43 calcule el lmite pe-dido.

    27. limxpi(3 cosx+ 4 senx)

    28. limx0

    senx3x

    29. limx0

    cosx+ 41 senx

    30. limxpi/2

    (2x 3 senx)

    31. lim0

    sen2 2

    32. limy0

    1 cos 2yy

    33. lim0

    + 5 sen( + pi/4)22

    34. limx0

    senx3x

    35. limy0

    5y3 sen y

    36. limx0

    x+ tanxsenx

    37. limy0

    csc 2ycot y

    38. limpi

    1 + cos sen 2

    39. limx0

    tanx senxx3

    40. limx0

    sen2 12xsenx

  • 25 Elementos de calculo, volumen 2

    41. limx0

    1 cosxx2

    42. limx0

    1 2x2 2 cosx+ cos2 x3x2

    43. limr0

    5r sen r + 7r2

    2r2

    44. Utilice la definicion de derivada para calcularla primera derivada de las funciones:

    (a) f(x) = sen 4x (b) g(x) = cos 3x

    En los ejercicios 45 a 60 calcule la primeraderivada de la funcion dada.

    45. f(x) = x senx

    46. g(t) = sen(3t+ 5)

    47. h(x) = 5x+ cos 3x

    48. g(t) =sen t

    1 + cos t

    49. p(s) = tan2 3s

    50. f(x) = secx+ 1

    51. g(t) =sec 3t

    1 + tan 3t

    52. g(t) = (t+ t2) sec(t+ 5)

    53. h(x) = senx+

    cosx

    54. g(t) =cos t 11 + cos t

    55. p(s) = sen s3

    56. g(t) =

    sen t1 +

    cos t

    57. p(s) = sec2 s+ tan2 s

    58. g(t) = 3 csc(2t+ 5)59. h(x) = 5 cosx+ cot 3x

    60. p(s) = (tan 3s+ sec 2s)3

    En los ejercicios 61 a 64 utilice derivacionimplcita para calcular y.

    61. x cos y = x2 + y2

    62. x2y sen(xy) = 5

    63. sen(xy) + tan(xy) = 1

    64.1 + cosx1 + sen y

    = 1

    65. Suponga que K es un numero real no negativoy que f es una funcion tal que 0 f(x) Kpara todo x. Pruebe que

    limx0

    x2f(x) = 0

    (use el teorema de intercalacion).

    66. La figura 6.25 representa la grafica de lafuncion f(x) = tanx en el intervalo ] pi2 , pi2 [.La recta L es tangente a la curva en el punto(c, tan c). Pruebe que el area del triangulo

    PQR es igual api2

    8sec2 c

    -

    6y

    x

    t(c, tan c)

    ?

    PQ

    R

    Figura 6.25.

    67. Determine la ecuacion de la recta normal y laecuacion de la recta tangente a la curva dadapor y = x cosx en el punto (pi,pi).

    68. Determine la ecuacion de la recta normal y laecuacion de la recta tangente a la curva dadapor y = 2 senx+ tanx en el punto (0, 0).

  • CAPITULO 7

    LAS FUNCIONES LOGARITMICAS,

    EXPONENCIALES Y EL CALCULO

    .

    La matematica viviente descansa en la fluc-tuacion entre las potencias antiteticas de la in-tuicion y la logica, entre la individualidad deproblemas aterrizados y la generalidad de lasabstracciones de largo alcance.

    Richard Courant

    En este captulo, despues de un repaso de las funciones logartmicasy exponenciales veremos algunos aspectos del Calculo con este tipo defunciones.

    Los logaritmos

    Se podra decir que el mejor resultado en la aritmetica de los siglos XVIy XVII fue la creacion de los logaritmos. Estos fueron creados con elproposito de facilitar los calculos en la trigonometra esferica que erausada en los problemas astronomicos.

    Dos figuras fueron responsables de esta creacion: John Napier (15501617) y Jobst Brgi (15521632). Aunque la obra de Brgi no fue pub-licada hasta 1620, el realizo sus inventos alrededor del ano 1600 inde-pendientemente de Napier (que ya haba publicado sus resultados en1614).

    La obra de Napier que recoge sus logaritmos se intitulo Mirifici lo-garithmorum canonis descriptio (Descripcion de la maravillosa regla delos logaritmos).

    El trabajo de Napier, que era un hacendado escoces con el ttulode Baron de Murchiston, fue continuado por Henry Briggs (15611639),pues Napier murio en 1617 sin completarlo. Briggs construyo la primera

  • 26 Elementos de calculo, volumen 2

    tabla de logaritmos llamados logaritmos vulgares o de Briggs. Lastablas de Briggs cumplan las propiedades de los logaritmos que hoy enda consideramos usuales.

    Entre progresiones esta la cosa

    La idea fundamental de los logaritmos ya haba sido descubierta porMichael Stiefel (14871567). Esta naca de la siguiente observacion:considere la progresion geometrica

    progresion

    geometrica

    ............................................................................

    ...............................

    1 0r 1r2 2

    r3 3r4 4r5 5

    3 + 5 =8

    ............................................................................

    ...............................

    progresion

    aritmetica

    1, r, r2, r3, r4, r5, . . .

    y la progresion aritmetica

    0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

    Considere ahora el producto de dos terminos de la progresion geo-metrica, por ejemplo: r3r5 = r8. El exponente es 8, pero 8 es tambienel resultado de sumar los dos terminos correspondientes en la progresionaritmetica: 3 + 5 = 8. De igual manera, si se divide dos terminos de lageometrica, el exponente del resultado es igual a la diferencia entre losterminos asociados a la progresion artimetica:

    r5

    r3= r2

    exponente 2, y 5 3 = 2.

    Es decir, un producto se asocia a una suma y un cociente a unaresta.

    Napier no usaba la nocion de base del sistema de logaritmos que ten-emos hoy nosotros, pero sus resultados podramos decir (con la miradade nuestro tiempo) se hacan usando esencialmente la base 1e . Al pare-cer Napier uso la palabra logaritmo de la conjugacion de dos palabrasgriegas: logos (razon) y arithmos (numero).

    En esta seccion se haceun repaso de las funcioneslogartmicas, sus principalespropiedades y sus graficas.7.1 REPASO SOBRE LAS FUNCIONES

    LOGARITMICAS

    Recuerde que el logaritmo de un numero b en base a se define de lasiguiente manera:

    loga b = c si y solo si ac = b.

  • 27 Elementos de calculo, volumen 2

    Siempre se considera que la base a es un numero positivo diferente de1 (a > 0, a 6= 1). De esta manera entonces tambien b tiene que ser unnumero positivo.

    Ejemplo 9. Aplicacion de la definicion

    De acuerdo con la definicion tenemos que:

    1. log2 8 = 3 pues 23 = 8.

    2. log10

    10 = 12 pues 101/2 =

    10.

    3. log1/2 16 = 4 pues(

    12

    )4 = 24 = 16.4

    Propiedades de los logaritmos

    A partir de la definicion de logaritmo podemos ver que las conocidaspropiedades de las potencias pueden ser traducidas a los logaritmos.Por ejemplo, sabemos que a1 = a para cualquier a, esto se escribe enterminos de logaritmos como loga a = 1. A continuacion proporcionamosuna tabla con las propiedades mas importantes de los logaritmos.

    Propiedades de los logaritmos

    loga 1 = 0 loga a = 1

    loga bc = loga b+ loga c logaritmo del producto logabc = loga b loga c logaritmo del cociente

    loga bn = n loga b logaritmo de la potencia logamb = 1m loga b logaritmo de la raz

    loga1b = loga b logaritmo del recproco loga b =

    logc blogc a

    cambio de base

    En todos los casos se supone que las expresiones involucradas tienen sentido.

    Las propiedades anteriores son muy importantes porque permitena traves de los logaritmos convertir productos y cocientes en sumas yrestas. Esto sera muy util en algunos aspectos del Calculo segun veremosposteriormente.

    Ejemplo 10. Aplicacion de las propiedades de los logaritmos

    Escribir la siguiente expresion en forma de sumas y restas de logaritmos:

    loga

    3x 1(x2 + 3)

    (x 2)(2x+ 1)

  • 28 Elementos de calculo, volumen 2

    Solucion: Utilizamos las propiedades anteriores de la siguiente manera:

    loga

    3x 1(x2 + 3)

    (x 2)(2x+ 1) =

    = loga

    3x 1(x2 + 3) loga(x 2)(2x+ 1) (logaritmo del cociente)= loga

    3x 1 + loga(x2 + 3) [loga(x 2) + loga(2x+ 1)]

    (logaritmo del producto aplicado dos veces)

    =12

    loga(3x 1) + loga(x2 + 3) loga(x 2) loga(2x+ 1)(logaritmo de la raz)

    4

    Logaritmos naturales

    La propiedad del cambio de base expresa que todos los logaritmos puedenponerse en terminos de uno solo. Los mas usuales son los logaritmoscomunes que son los de base 10 y se denotan por log a secas y loslogaritmos de base e que se llaman logaritmos naturales o neperianosy se denotan por ln. Es decir,

    log x es lo mismo que log10 x y

    lnx es lo mismo que loge x.

    De hecho usted puede ver que las calculadoras solamente traen estos dostipos de logaritmos.

    Gran cantidad de las aplicaciones del Calculo tiene que ver con loslogaritmos naturales. Por eso mas adelante haremos enfasis en este tipode logaritmos; incluso definiremos el numero e en terminos de un lmiteespecial.

    Grafica de la funcion logaritmo

    Los logaritmos en una base dada se pueden ver como una funcion cuyodominio es la parte positiva de R, es decir ]0,+[ y que consiste en

    pp

    pp

    -

    6 r

    r

    rr

    12

    1 2 4

    1

    1

    2y = log2 x

    y

    x

    tt

    tFigura 7.1. f(x) = log2 x

    asignar a cada numero real positivo su correspondiente logaritmo.Tomemos por ejemplo

    f(x) = log2 x.

    La siguiente tabla nos da algunas imagenes y, con base en ella, podemosbosquejar la grafica de esta funcion (figura 7.1).

    Tabla de valores de f(x) = log2 x

  • 29 Elementos de calculo, volumen 2

    Tabla 7.1

    x log2 x1/4 21/2 11 02 14 2

    En realidad las graficas de las funciones logartmicas son parecidasa la anterior siempre que la base sea mayor que 1, si la base es menorque 1 se invierte con respecto al eje x.

    pp-

    6

    q1 a

    q1y

    xss

    Figura 7.2. Grafica de y = loga x cuando a > 1

    p -

    6

    q1

    1 qa

    y

    x

    ss

    Figura 7.3. Grafica de y = loga x cuando 0 < a < 1

    Aqu se hace un repaso dela funcion exponencial, vistacomo la inversa de la funcionlogartmica. Se estudian susprincipales propiedades y sugrafica.

    7.2 REPASO SOBRE LAS FUNCIONES

    EXPONENCIALES

    La funcion f(x) = loga x es una funcion biyectiva de ]0,+[ en R.Por esta razon tiene una funcion inversa que va de R en ]0,+[ que se loga x y ax son inver-

    sasllama la funcion exponencial de base a y se denota por ax. Esto es,la inversa de f(x) = loga x es

    f1 : R ]0,+[x ax

    Al ser mutuamente inversas se deducen dos relaciones muy importantes:

    loga ax = x aloga x = x

    ademas de las propiedades de las potencias que usted ya conoce y quedieron origen a las propiedades de los logaritmos que vimos anterior-mente.

    Funcion exponencial natural

    Por otra parte, la inversa de la funcion logaritmo natural lnx, se llamala exponencial natural y se denota por ex. Las propiedades anteriores

  • 30 Elementos de calculo, volumen 2

    producen como caso particular una formula que puede resultar util en eAunque se saba la ex-istencia del numero emas de un siglo antesde Leonhard Euler, larepresentacion e fuedada por este grancientfico.

    algunas circunstancias:

    ax = ex ln a

    A continuacion se presenta los graficos de las funciones exponencialescuando la base es mayor que 1 y cuando esta entre 0 y 1.

    -

    6

    q q1

    a

    1

    y

    x

    s s

    Figura 7.4. Grafica de y = ax cuando a > 1

    -

    6

    q1

    1 qax

    y

    pss

    Figura 7.5. Grafica de y = ax cuando 0 < a < 1

    Se calculan en esta seccionalgunos lmites con fun-ciones logartmicas y expo-nenciales; en particular unlmite que define al numeroe.

    7.3 LIMITES ESPECIALES

    De las graficas de estas funciones podemos deducir que ellas soncontinuas en todo su dominio, de manera que si c pertenece al dominiode la funcion correspondiente, entonces se tiene:

    limxc[lnx] = ln c

    limxc e

    x = ec

    y en generallimxc[loga x] = loga c

    limxc a

    x = ac

    Basado en lo anterior tenemos

    limx3

    lnx = ln 3

    limx1

    ex = e1 =1e

    limx8

    log2 x = log2 8 = 3

    limx2

    3x = 32 = 9

    -

    6

    q q1

    a

    1 qqe

    y = ex

    y = lnx

    y

    x

    r r rrson simetricas

    respecto a y = x

    -

    Figura 7.6. y = lnx, y = ex

    son inversas

  • 31 Elementos de calculo, volumen 2

    Ejemplo 11. Calculo de lmites

    Calcular los lmites:

    (a) limx2

    (x+ 2x) (b) limx1

    (x ln(x2) + 2x) (c) limx4

    x 2xlog2 x

    (d) limx0

    (3x + ln(x+ 2))

    Solucion: (a) limx2

    (x+ 2x) = 2 + 22 = 2 + 4 = 6

    (b) limx1

    (x ln(x2) + 2x) = 1 ln(1)2 + 2(1) = ln 1 2 = 0 2 = 2

    (c) limx4

    x 2xlog2 x

    =4 24log2 4

    =4 16

    2= 6

    (d) limx0

    (3x + ln(x+ 2)) = 30 + ln(0 + 2) = 1 + ln 2 4

    Como sale el numero eee?Un lmite que juega un importante papel en matematicas porque define Figura 7.7. f(x)=(1+

    x)1/xun numero especial es el siguiente:

    limx0

    (1 + x)1x .

    No podemos, con los elementos con los que contamos, calcular exac-tamente este lmite, pero bajo el supuesto de que existe podemos hacerun estimado mediante una tabla de valores.

    Tabla 7.2

    .........................................

    ..............................................................................

    ........................

    .....................................................

    ...............................................................................................

    .........................................................0 ..............................

    ...........................................................

    ......................................................

    .........................

    ....................................................................................

    .......................................

    .........................................................

    x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 0,1

    (1 + x)1/x 2,867972 2,731999 2,719642 2,718417 2,718145 2,716923 2,704813 2,5937425

    De la tabla 7.2 vemos que, conservando hasta tres cifras decimales, ellmite es aproximadamente igual a 2, 718. Podramos seguir calculandopara valores cada vez mas cercanos a 0 y nos daramos cuenta que se vanestacionando cada vez mas decimales pero no lograremos capturar uncierto valor conocido como s sucedio en otras tablas que elaboramosantes. Este lmite es el que define el conocido numero e, base de loslogaritmos naturales y de la funcion exponencial natural. Es decir,

    limx0

    (1 + x)1x = e

  • 32 Elementos de calculo, volumen 2

    Funcion logartmica y su inversa

    La funcion logartmica, que como mencionamos antes nacio del estudiode la relacion entre las progresiones aritmetica y geometrica, durante elsiglo XVII fue analizada a partir de la serie obtenida por la integracionde

    11 + x

    [lo que hoy diramos es x1

    11 + t

    dt = ln(1 + x) + C.]

    John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Jean Bernoulli mostraronque la funcion logartmica es la inversa de la funcion exponencial. Historia de dos fun-

    cionesYa en el ano de 1742 el matematico William Jones (16751749) habadado una sistematica descripcion en estos terminos.

    Euler definio las dos funciones as:

    ex = limx

    (1 +

    x

    n

    )ny log x = lim

    nn(x1/n 1).

    Esto fue presentado as en el libro Introductio in Analysis Infinitorumpublicado en 1748.

    Ejemplo 12. Calculo de un lmite exponencial

    Calcular limt0

    (1 + 2t)1t .

    Solucion: Utilizamos las propiedades de los lmites y el valor antesindicado. Ademas, en este caso, empleamos un truco que es util en elcalculo de algunos lmites; es lo que se llama un cambio de variable. Eneste caso, en el lugar de 2t vamos a escribir h, es decir, consideraremos Cambio de variableh = 2t. Pero hay que cambiar todas las partes variables en el lmite, estoes, en toda parte donde aparece t debemos poner lo que corresponda enterminos de h. As, como h = 2t entonces cuando t 0, tambien h 0,y ademas 1t =

    2h . Haciendo todas estas sustituciones se obtiene

    limt0

    (1 + 2t)1t = lim

    (h2

    )0(1 + h)

    2h

    = limh0

    (1 + h)2h

    = limh0

    [(1 + h)

    1h]2

    =[

    limh0

    (1 + h)1h

    ]2= e2 (porque lim

    h0(1 + h)

    1h = e)

  • 33 Elementos de calculo, volumen 2

    4

    De modo exactamente igual al anterior, pero escribiendo x en el lugarde 2 obtenemos que

    limh0

    (1 + xh)1h = ex

    y en particular

    limh0

    (1 +h

    x)1h = e

    1x

  • 34 Elementos de calculo, volumen 2

    Aqu se calculan lasderivadas de las funcioneslogartmica y exponencialy se utilizan para calcularderivadas de funciones mascomplejas.

    7.4 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES

    LOGARITMICAS Y EXPONEN-

    CIALES

    Ahora veremos como se calculan las derivadas de las funciones logartmicasy exponenciales.

    La derivada de y = lnx

    Esta es la funcion logaritmo natural (el logaritmo de base e). Utilizandolos lmites recientemente estudiados podemos calcular su derivada me-diante la definicion. Tenemos:

    y = (lnx)

    = limh0

    ln(x+ h) lnxh

    = limh0

    ln(x+hx

    )h

    (usando la propiedad del logaritmo de un cociente)

    = limh0

    1h

    ln(x+ hx

    )= lim

    h0ln(x+ hx

    ) 1h

    (usando la propiedad del logaritmo de una potencia)

    = limh0

    ln(

    1 +h

    x

    ) 1h

    = ln e1x (segun el ultimo de los lmites vistos anteriormente)

    =1x

    (porque ln ez = z para cualquier z)

    Los numeros masimportantes se juntan:

    Euler descubrio unarelacion matematicafundamental que vin-cula estos numeros tanimportantes pi, e, i, 0, 1:

    epi i + 1 = 0 .

    El smbolo i se usa pararepresentar

    1 (elnumero imaginario quese usa como base).Fue introducido con estesentido por Euler en 1777(al final de su vida).

    Es decir la derivada de lnx es1x

    :

    (lnx) =1x

    La derivada de y = ex

    Usemos la regla de la cadena para calcular esta derivada. Puestoque lnx y ex son mutuamente inversas entonces tenemos que

    ln ex = x,

    derivando a ambos lados tenemos

    (ln ex) = (x) = 1,

  • 35 Elementos de calculo, volumen 2

    Pero por la regla de la cadena tenemos que

    (ln ex) =1ex

    (ex)

    y por lo tanto

    1ex

    (ex) = 1 =(ex)

    ex= 1 =

    (ex) = ex

    En otras palabras, la derivada de ex es la misma ex:

    (ex) = ex

    La derivada de las funcioneslogartmica y exponencial en cualquier base

    Utilizando las relaciones entre las funciones logartmica y exponen-cial natural con las de otras bases y las reglas de derivacion podemosobtener la derivada de las funciones logartmicas y exponenciales encualquier base. En la siguiente tabla se indican estas derivadas.

    Derivadas de las funciones logartmicas y exponenciales

    (lnx) = 1x (ex) = ex

    (loga x) =1

    x ln a (ax) = ax ln a

    Ahora daremos algunos ejemplo de calculo de derivadas en las queaparecen combinaciones de estas funciones.

    Ejemplo 13. Derivadas de funciones logartmicas yalgebraicas

    Calcular la derivada de y = ln(x5 + x3 2).

    Solucion: Tenemos en este caso una composicion de funciones, lafuncion de afuera es el logaritmo y la de adentro es x5+x32. Usandola regla de la cadena debemos derivar el logaritmo, pero evaluando en

  • 36 Elementos de calculo, volumen 2

    x5 +x32 y, luego, debemos multiplicar por la derivada de esta ultima.As

    y = [ln(x5 + x3 2)]

    =1

    x5 + x3 2 (x5 + x3 2)

    =1

    x5 + x3 2 (5x4 + 3x2)

    =5x4 + 3x2

    x5 + x3 24

    De la regla de la cadena y la derivada de lnx podemos deducir unaformula general para derivar una funcion como la del ultimo ejemplo: Formula general para

    laderivada de ln f(x)[ln

    (f(x))] =

    f (x)f(x)

    Ejemplo 14. Derivada de funciones logartmica ytrigonometrica

    De acuerdo con lo anterior tenemos que[ln(cosx+ x2)

    ] = (cosx+ x2)cosx+ x2

    = senx+ 2xcosx+ x2

    4

    Ejemplo 15. Derivada de una funcion exponencial

    Calcular la derivada de g(x) = ex5+3x21.

    Solucion: Tambien aqu tenemos una composicion de funciones. La deafuera es la exponencial y la de adentro es

    x5 + 3x2 1.Al derivar, sabemos que la derivada de la exponencial es ella misma peroen este caso evaluada en

    x5 + 3x2 1;por la regla de la cadena, debe multiplicarse por la derivada de estafuncion. Entonces

    g(x) =[ex

    5+3x21]

    = ex5+3x21(x5 + 3x2 1) = ex5+3x21(5x4 + 6x)

  • 37 Elementos de calculo, volumen 2

    4

    Tambien en este caso, mediante la regla de la cadena podemos de-ducir una regla general, lo mismo que para funciones logartmicas yexponenciales de cualquier base. En la siguiente tabla se dan estas re-glas.

    Derivadas de las funciones logartmicas y exponenciales

    [ln f(x)] = f(x)f(x)

    [ef(x)

    ] = ef(x) f (x)[loga f(x)] =

    f (x)f(x) ln a

    [af(x)

    ] = af(x) f (x) ln a

    Ejemplos: Derivada de funciones logartmicas yexponenciales

    Determine la derivada de las siguientes funciones:

    (a) y = x lnx+x2 (b) y = ln(x2 + 1x 3

    )(c) y =

    x+ lnxx+ 2

    (d) y =x+ 3 ln(x 2)

    Solucion: (a) Aplicando las reglas de derivacion:

    y = (x lnx+ x2) = (x lnx) + (x2)

    = (x) lnx+ x(lnx) + 2x = 1 lnx+ x 1x

    + 2x

    = lnx+ 1 + 2x

    (b) En este caso es mas conveniente arreglar un poco la funcionusando las propiedades de los logaritmos. Esto permitira realizarlos calculos mas facilmente. En efecto,

    ln(x2 + 1x 3

    )= ln(x2 + 1) ln(x 3)

    y entonces

    y = [ln(x2 + 1) ln(x 3)]

    =1

    x2 + 1 (x2 + 1) + 1

    x 3 (x 3)

    =2x

    x2 + 1+

    1x 3

  • 38 Elementos de calculo, volumen 2

    (c)Tenemos:

    y =(x+ lnxx+ 2

    )=

    =(x+ lnx)(x+ 2) (x+ lnx)(x+ 2)

    (x+ 2)2

    =(1 + 1x)(x+ 2) (x+ lnx)

    (x+ 2)2

    =3x+ 2 x lnxx(x+ 2)2

    (d)

    y =[

    x+ 3 ln(x 2)]

    =[x+ 3 ln(x 2)]

    2x+ 3 ln(x 2)

    =1 + 3 1x2

    2x+ 3 ln(x 2)

    =x+ 1

    2(x 2)x+ 3 ln(x 2)

    Determine la derivada de las siguientes funciones:

    (a) y = xex + x2 (b) y =x2 + 1ex 3 (c) y = e

    x2+2x3

    (d) y =x+ 3ex

    Solucion: (a) y = (xex + x2) = (xex) + (x2)

    = (x)ex + x(ex) + 2x

    = 1 ex + x ex + 2x = ex(1 + x) + 2x

    (b) y =(x2 + 1ex 3

    )=

    (x2 + 1)(ex 3) (x2 + 1)(ex 3)(ex 3)2

    =2x(ex 3) (x2 + 1)ex

    (ex 3)2

    (c) y =[ex

    2+2x3] = ex2+2x3(x2 + 2x 3) = ex2+2x3(2x+ 2)(d) y =

    (x+ 3ex

    )=

    (x+ 3ex)

    2x+ 3ex

    =1 + 3ex

    2x+ 3ex

  • 39 Elementos de calculo, volumen 2

    Calcular la derivada de las siguientes funciones(a) g(x) = 3x

    22 tanx (b) h(t) = log3(sen t+ 2t)

    (c) y =23x+1 + 1x 2 (d) f(t) =

    e2t + log2(5t 1)

    Solucion: (a) g(x) =[3x

    22 tanx]

    = 3x22 tanx(x22 tanx) ln 3

    = 3x22 tanx(2x 2 sec2 x) ln 3

    (b) h(t) = [log3(sen t+ 2t)] =

    (sen t+ 2t)

    (sen t+ 2t) ln 3=

    cos t+ 2(sen t+ 2t) ln 3

    (c) y =[

    23x+1 + 1x 2

    ]=

    (23x+1 + 1)(x 2) (23x+1 + 1)(x 2)(x 2)2 =

    23x+1 ln 2 3(x 2) (23x+1 + 1)(x 2)2 =

    23x+1(3x ln 2 7) 1(x 2)2

    (d) f (t) = [e2t + log2(5t 1)] =

    [e2t + log2(5t 1)]2e2t + log2(5t 1)

    =

    =2e2t + 5(5t1) ln 2

    2e2t + log2(5t 1)

    Calcular la derivada de

    f(x) = ln

    2x+ 1 3

    3x+ 2(x2 + 1)5

    Solucion: Arreglar la funcion, utilizando las propiedades de log-aritmos, es lo mas conveniente en este caso:

    f(x) = ln

    2x+ 1 3

    3x+ 2(x2 + 1)5

    =12

    ln(2x+1)+13

    ln(3x+2)5 ln(x2+1)

    de manera que

    f (x) =[

    12

    ln(2x+ 1) +13

    ln(3x+ 2) 5 ln(x2 + 1)]

    =12

    (2x+ 1)

    2x+ 1+

    13

    (3x+ 2)

    3x+ 2 5(x

    2 + 1)

    x2 + 1

    =12

    22x+ 1

    +13

    33x+ 2

    5 2xx2 + 1

    =1

    2x+ 1+

    13x+ 2

    10xx2 + 1

    . 4

  • 40 Elementos de calculo, volumen 2

    Derivacion logartmica

    El ejemplo anterior nos da una idea para calcular, de una manera massencilla, la derivada de ciertas funciones. El metodo se llama derivacionlogartmica y consiste en aplicar el logaritmo natural a la funcion yluego derivar utilizando las reglas de los logaritmos. Esto se usa cuandola funcion es un producto o cociente de varios factores y tambien enciertas potencias. Lo ilustraremos con algunos ejemplos.

    Ejemplo 16. Uso de la derivacion logartmica

    Calcular la derivada de la funcion

    f(x) =4x2 + 1 (2x 3)(x3 + 2)

    (3x+ 1)(x 4)

    Solucion: Este es un caso tpico en el que se usa la derivacion logartmicaporque las propiedades de los logaritmos nos permiten convertir pro-ductos y cocientes en sumas y restas que son mas faciles de derivar.Procedemos primero aplicando ln a la funcion:

    ln f(x) = ln4x2 + 1 (2x 3)(x3 + 2)

    (3x+ 1)(x 4) ,

    luego aplicamos las propiedades de ln para convertir en sumas y restasde manera que

    ln f(x) =14

    ln(x2 + 1) + ln(2x 3) + ln(x3 + 2) ln(3x+ 1) ln(x 4).

    Despues de esto derivamos a ambos lados: Primero: se aplica laspropiedades de los loga-ritmos.Segundo: se deriva.Tercero: se multiplica.

    [ln f(x)] =[1

    4ln(x2+1)+ln(2x3)+ln(x3+2)ln(3x+1)ln(x4)

    ]=

    f (x)f(x)

    =14

    2xx2 + 1

    +2

    2x 3 +3x2

    x3 + 2 3

    3x+ 1 1x 4 .

    Finalmente multiplicamos por f(x) =4x2 + 1 (2x 3)(x3 + 2)

    (3x+ 1)(x 4) paraobtener f (x):

    f (x) =(

    14

    2xx2 + 1

    +2

    2x 3 +3x2

    x3 + 2 3

    3x+ 1 1x 4

    ) 4x2 + 1 (2x 3)(x3 + 2)(3x+ 1)(x 4) .

    4

  • 41 Elementos de calculo, volumen 2

    Ejemplo 17. Uso de la derivacion logartmica

    Calcular la derivada de f(x) = xx.

    Solucion: En este caso tenemos una situacion especial. Esta es unapotencia en la cual la base es variable y tambien el exponente es variable.Aplicamos ln a ambos lados y procedemos como en el ejemplo anterior:

    f(x) =xx ln f(x) = lnxx ln f(x) = x lnx [ln f(x)] = [x lnx]

    f(x)f(x)

    = lnx+ x 1x

    f(x)f(x)

    = lnx+ 1

    f (x) = f(x)(lnx+ 1) f (x) = xx(lnx+ 1)

    De manera que (xx) = xx(lnx+ 1). 4

    Ejemplo 18. Una derivacion implcita

    Calcular y si se tiene que y esta definido en forma implcita por laecuacion:

    ln(x+ y) = x2 + y2

    Solucion: Procedemos por el metodo de derivacion implcita:

    [ln(x+ y)] = (x2 + y2) (x+ y)

    x+ y= 2x+ 2y y

    1 + y

    x+ y= 2x+ 2y y

    1 + y = (x+ y)(2x+ 2y y) 1 + y = (x+ y)(2x) + (x+ y)(2y y) y (x+ y)(2y y) = (x+ y)(2x) 1 y[1 (x+ y)(2y)] = (x+ y)(2x) 1 y = (x+ y)(2x) 1

    1 (x+ y)(2y)4

    -

    6y

    x12

    1

    y = 2x 2

    f(x) = ln(2x 1)

    Figura 7.8.

  • 42 Elementos de calculo, volumen 2

    Ejemplo 19. Calculo de la recta tangente

    Determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva definida porf(x) = ln(2x 1) en el punto (1, 0).

    Solucion: La pendiente m de la recta tangente es la derivada de lafuncion evaluada en x = 1. Calculamos f (x) utilizando la regla de lacadena:

    f (x) =1

    2x 1 (2x 1) =

    22x 1 ,

    por lo tanto m = f (1) = 2211 = 2. Ahora calculamos b:

    b = 0 2 1 = 2.

    Concluimos que la recta tangente tiene ecuacion:

    y = 2x 2

    4

    Ejemplo 20. Funciones hiperbolicas

    Existe otra familia de funciones muy interesantes que aparecen en lasaplicaciones del Calculo; estas se llaman funciones hiperbolicas y,en cuanto a sus propiedades, guardan muchas analogas con las fun-ciones trigonometricas, aunque la forma en que estan definidas difieresustancialmente. La dos funciones hiperbolicas basicas son el senohiperbolico y el coseno hiperbolico que se definen respectivamentecomo

    senhx =ex ex

    2y coshx =

    ex + ex

    2para todo numero real x.

    Calculemos la derivada de cada una de estas funciones:

    (senhx) =(ex ex

    2

    )=

    (ex) (ex)2

    =ex ex(1)

    2=ex + ex

    2

    Pero esta ultima expresion no es ni mas ni menos que coshx. Es decir,Figura 7.9. Algunas

    funcioneshiperbolicas(senhx) = coshx

  • 43 Elementos de calculo, volumen 2

    De modo parecido tenemos

    (coshx) =(ex + ex

    2

    )=

    (ex) + (ex)

    2

    =ex + ex(1)

    2

    =ex ex

    2= senhx.

    De modo que (coshx) = senhx 4

    FActividad: La demas funciones hiperbolicas se definen de maneraanaloga a las funciones trigonometricas, as:

    tanhx =senhxcoshx

    , cothx =coshxsenhx

    ,

    sechx =1

    coshx, cschx =

    1senhx

    .

    Calcule la derivada de cada una de estas funciones. Las funcioneshiperbolicas se parecena lastrigonometricasSobre el concepto de funcion

    A lo largo de este libro hemos usado constantemente el concepto defuncion como algo muy natural. Debe senalarse, sin embargo, quetambien tuvo su historia y, efectivamente, como parte de la nueva matematicay el Calculo en particular.

    La nocion de funcion y las funciones algebraicas y trascendentalesfueron introducidas y usadas en el siglo XVII. Leibniz, James, JeanBernoulli, LHpital, Huygens y otros usaron diferentes tipos de fun-ciones en los asuntos que trataron (muchos de aplicacion fsica). Perofue el suizo Jean Bernoulli quien primeramente formulo el concepto defuncion. Euler en su famoso libro Introductio de 1748 ofrecio una se-rie de distinciones alrededor de las funciones que practicamente hansobrevivido hasta ahora. El deca que una funcion es una expresionanaltica formulada de cualquier manera a partir de una cantidad va-riable y constantes. Euler inclua los polinomios, las series de potenciasy las expresiones logartmicas y trigonometricas.

    Una funcion era algebraica si las operaciones realizadas con la vari-able independiente eran solamente algebraicas. Las funciones algebraicasse dividen en racionales e irracionales. Las racionales cuando se usanlas 4 operaciones usuales. Irracionales cuando se usa tambien la ex-traccion de races. Las funciones que no son algebraicas son las trascen-dentes como las trigonometricas, logartmicas y exponenciales, funciones

  • 44 Elementos de calculo, volumen 2

    definidas por algunas integrales, y las que poseen variables elevadas apotencias que son numeros irracionales. Para Euler, la diferencia se es-tableca a partir de la combinacion de constantes y variables que definanla funcion. Tambien deca que las trascendentes se separaban de las al-gebraicas por el uso de un numero infinito de las combinaciones quehacen las funciones algebraicas.

    Euler tambien definio lo que era una funcion de varias variables, ydistinguio entre funciones explcitas e implcitas.

    Introductio es el primer libro en la historia de las matematicas en elque el concepto de funcion es el medular.

  • 45 Elementos de calculo, volumen 2

    En esta seccion se propor-ciona una breve resena so-bre el desarrollo de las no-taciones en matematicas.7.5 LA IMPORTANCIA DE LAS NO-

    TACIONES

    La utilizacion y escogencia de smbolos para denotar conceptos o pro-cesos matematicos ha resultado de mucha importancia. Antes del sigloXVI el unico hombre que introdujo concientemente el simbolismo parael algebra fue Diofanto (alrededor del 250 d. C.). Otros cambios denotacion fueron esencialmente abreviaciones de palabras. Alrededor delsiglo XV, por ejemplo, se usaba m para menos y p para mas. + y sesupone fueron introducidos por los alemanes en ese mismo siglo. El =fue introducido por el ingles Robert Recorde (15101550). Vite uso para la igualdad, y Descartes uso para esta misma. Descartes uso para la raz cuadrada.

    Para que se tenga una idea de la importancia de la notacion, men-cionemos que el matematico italiano Jeronimo Cardano en su libro ArsMagna (1545) escriba

    x2 = 4x+ 32 como qdratu aeqtur 4 rebus p: 32

    Fue el frances Vite quien realizo cambios decisivos en el uso de smbolosen el algebra. Fue el primero en usar sistematicamente letras para lasvariables o potencias de la variable, y tambien las usaba como coefi-cientes.

    Otro ejemplo para que se perciba que todas las dimensiones de lasmatematicas son historicas, elaboradas por personas de carne y huesoen algun momento: la notacion x2 para x x (tan natural) se estandarizohasta que la introdujo Gauss en el siglo XIX.

    Notaciones en el Calculo

    La notacion f que usamos para la derivada (y f (x), . . . , f (n)(x)) paralas derivada de orden superior) fue introducida por el matematico francesLagrange (17361813) a fines del siglo XVIII. Newton usaba

    .y o

    ..y para

    y y y. En 1800 L. Arbogast utilizo Df para la derivada de f (y D2f ,D3f , . . . , Dnf); es decir f (x) = Df(x) o f (3)(x) = D3f(x).

    La notacion de Leibniz

    Leibniz fue uno de los grandes matematicos que comprendio la impor-tancia de los smbolos a usar y, por eso, muchos de los que uso todavanos acompanan.

    Para Leibniz:f (x) =

    dy

    dxy

  • 46 Elementos de calculo, volumen 2

    dy

    dx= lim

    x0yx

    No se trataba, para el, solo de notacion. El consideraba el lmite dydxcomo un cociente de cantidades infinitesimales dy y dx a las que llamodiferenciales. La derivada dydx era un cociente diferencial. El no usoel lmite para definir la derivada; deca que se pasaba de y a dy, y dex a dx como transformacion en infinitesimales. Estos infinitesimaleseran un nuevo tipo de numero que eran mas pequenos que cualquiernumero real positivo (pero 6= 0).

    Aunque este tratamiento, como veremos, desaparecera en la historiade las matematicas, el simbolismo dydx se sigue usando. Este smbolotiene la ventaja de resumir el proceso que empieza con un cociente dediferencias yx y luego sigue con el paso al lmite.

    Leibniz escriba en 1684:

    dxy = x dy + y dx

    d(xy

    )=

    y dx x dyy2

    y

    dxn = nxn1 dx

    La diferencia mnima (derivada o diferencial) de x = dxLa diferencia mnima de y = dy.La diferencial dxy = (x+ dx)(y + dy) xy

    = xy + x dy + dx y + dx dy xy= x dy + dx y + dx dy

    Como dx dy es infinitamente pequeno puede, entonces, desprecia-rse. Por eso:

    d(xy) = x dy + y dx.

    Estos procedimientos con infinitesimales todava se usan en algu-nas aplicaciones del Calculo.

  • 47 Elementos de calculo, volumen 2

    7.6 EJERCICIOS DEL CAPITULO 7

    Completar

    1. Exprese estas ecuaciones como logaritmos:

    (a) 34 = 81

    (b) 80 = 1

    (c) 103 = 0, 001

    (d) 43 = 64

    (e) 23 = 18(f) (13)

    3 = 127

    2. Exprese estas ecuaciones como exponentes:

    (a) log10 1 000 = 3

    (b) log2 8 = 3

    (c) log1/4 16 = 2(d) log3

    19 = 2

    (e) ln e = 1

    (f) log8 64 = 2

    Falso o Verdadero

    En los ejercicios 3 a 8 diga si la afirmacion es falsa o verdadera (explique)

    3. Para todo x se tiene que ln 2 lnx = ln 2lnx

    .

    4. Si 0 < a < 1 entonces loga 8 > loga 9.

    5. Si 0 < b < 1 < a entonces logb x < loga x paratodo x R.

    6. Para todo x en R se tiene que 2log2 x = x.

    7. Para cualquier valor a positivo diferente de 1se tiene que f(x) = ax es una funcion cre-ciente.

    8. Existe algun valor x tal que ex = lnx.

    Seleccion unica

    En los ejercicios 9 a 13 escoja la opcion que responda o complete correctamente la proposicion dada.

    9. Si a es mayor que 1, f(x) = ax y g(x) = lnxentonces para todo x R se tiene que(a) f (x) > 0 y g(x) < 0

    (b) f (x) > 0 y g(x) > 0

    (c) f (x) < 0 y g(x) < 0

    (d) f (x) < 0 y g(x) > 0

    10. El numero de asntotas verticales de f(x) =log2 x es

    (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

    11. Si g(x) = f(lnx) donde f es una funcion deri-vable entonces g(x) es igual a

    (a)f (x)

    ln(f(x))(b) f (x) ln(f(x))

    (c) f (x) 1x

    (d)f (lnx)

    x

    12. El lmite limx2+

    31/(2x) es igual a

    (a) (b) 1 (c) 0 (d) 1/213. Si f(x) = ex2 entonces f (1) es igual a

    (a) 2e1 (b) 2e1 (c) 2e (d) e1

  • 48 Elementos de calculo, volumen 2

    Problemas y ejercicios de desarrollo

    En los ejercicios 14 a 17 escriba la expresiondada como sumas y restas de logaritmos de laforma mas simple posible.

    14. log2(x2 1) 32x 3

    15. log2(cos5 x)

    3x 2

    sec3 x

    16. log2

    (1 + x2)3(2x+ 1)5

    17. log2(3x+ 1)xx 3

    x2 + 3

    (x+ 2)

    2x+ 3

    En los ejercicios 18 a 24 calcule el lmite in-dicado.

    18. limx3

    (3x+ ex)

    19. limx0

    4x + ln(x+ 1)2x+ 3x

    20. limx2

    x2 2xln(6 + 2x)

    21. limx1

    (x2 + log2(3x+ x2)

    )22. lim

    h0(1 h) 1h

    23. limx0

    (1 +x

    5)1x

    24. limx0

    (3 + x

    3

    ) 1x

    En los ejercicios 25 a 40 calcule la derivada dela funcion dada.

    25. f(x) = x2 lnx

    26. h(t) =ln tt2

    27. f(t) = (ln t)4

    28. h(t) =1 + log3 2t2 + log4 2t

    29. f(x) = ln 3t 3

    2t+ 1

    30. f(x) = lnx3 cosx

    (2x+ 3)x4

    31. f(t) = (t2 + 3)et

    32. f(x) = ex28x+14

    33. g(x) =x2 + ex

    x2 ex

    34. h(t) =t+ ln tt+ et

    35. f(t) = x22x

    36. g(x) = ln(x2 + 2x+ 1)

    37. f(x) =

    3x+ ln(2x 1)

    38. g(x) = log2(3x3 + 2x+ 1)

    39. g(x) =x2 + 1 ln

    x2 + 1 1x2 + 1 + 1

    40. h(x) = log2[5x4 tan 3x]

    En los ejercicios 41 a 48 utilice el metodode derivacion logartmica para calcular laderivada de la funcion dada.

    41. f(x) = (x2 4) 4

    (3x+ 1)3

    42. g(x) =(x+ 3)

    2x+ 1

    (x 3) 32x 143. f(x) = xx

    x

    44. g(x) = [senx]x

    45. g(t) = t2t3t

    46. f(x) = tanhx

  • 49 Elementos de calculo, volumen 2

    47. h(x) =x2x(x2 + 1)

    (x2 1) 4x+ 1

    48. g(x) =tan2 5x sen3 2x

    (x+ 1)

    2x

    En los ejercicios 49 a 52 utilice derivacionimplcita para calcular y.

    49. exy + xy = 1

    50. ln(2x+ 2y) + x2 = y2

    51. 4x2y ey = ex

    52. ln(xy2) + 2x y = 5

    53. Pruebe que cosh2 x senh2 x = 1

    54. Del ejercicio anterior deduzca que

    1 tanh2 x = sech2 x

    55. Determine la ecuacion de la recta tangente ala grafica de y = x + log2(x2 + 4) en el punto(2, 5)

    56. Pruebe que la recta y = x es tangente a lagrafica de y = tanhx.

    -

    6y

    x

    Figura 7.10.

    57. Determine los puntos donde la recta tangentea la curva y = ex x es horizontal.

    -

    6y

    x

    Figura 7.11.

    58. La figura 7.12 representa la grafica de la lafuncion f(x) = lnx. La recta L es tangentea la grafica en el punto P . Pruebe que paracualquier P con estas condiciones se tiene queel segmento AB tiene longitud 1.

    -

    6y

    x

    rPBA

    L

    Figura 7.12.

    59. Determine los puntos de la grafica y = x2 +4 lnx en los que la recta tangente es paralelaa la recta de ecuacion y = 6x 3.

  • CAPITULO 8

    ALGUNAS APLICACIONES

    .

    Es innegable que algunas de las mejores inspira-ciones en las matematicas en aquellas partes lomas puras que uno pueda imaginar han venidode las ciencias naturales ... El hecho mas vital-mente caracterstico de las matematicas es, enmi opinion, su bastante peculiar relacion con lasciencias naturales o, de manera mas general, concualquier ciencia que interpreta la experiencia enun nivel superior que el puramente descriptivo.

    John von Newmann

    La musica es un ejercicio matematico secreto, yla persona que la disfruta no se da cuenta queesta manipulando numeros.

    Wilhelm Gottfried Leibniz

    Existe una gran cantidad de aplicaciones del Calculo a las cienciasfsicas y sociales. Sin embargo, la mayora de las aplicaciones mas intere-santes requieren de un nivel mayor de matematicas y, de igual manera,de un conocimiento bastante amplio de otras ramas del quehacer humanotales como la Fsica, la Qumica, la Biologa, la Economa, etc.

    En este captulo solamente daremos un ligero vistazo a algunas delas mas simples, pero que servira para comprender la importancia de lasideas del Calculo Diferencial e Integral en las aplicaciones cientficas ytecnologicas.

    Ya en captulos anteriores dimos algunas ideas al respecto. En estaseccion retomaremos algunas de esas ideas y las veremos con un pocomas de detalle. El objetivo es ilustrar la importancia de los conceptosestudiados.

  • 52 Elementos de calculo, volumen 2

    Aqu se ilustra el uso delos lmites mediante algunassituaciones concretas

    8.1 ALGUNAS SITUACIONES DONDE

    SE APLICAN LOS LIMITES

    En esta seccion veremos dos ejemplos de situaciones en las cuales elcalculo de lmites nos sirve para hacer algun tipo de prediccion.

    El interes compuesto esta relacionado con e

    Posiblemente usted ha odo hablar de intereses compuestos. Normal-mente, si tiene una cuenta de ahorros en un banco, este le paga interesescompuestos. Esto significa que los intereses se calculan sobre el montoque usted ha depositado como ahorro y, tambien, sobre los intereses queya ha ganado al momento del calculo.

    Entre mas corto es el perodo en que se calcule el interes, mayor serael capital al final del ano.

    Llamemos con h la fracccion del ano en que se calculan los intereses.Por ejemplo, si el interes se calcula mensualmente entonces h = 112 .El capital al final del ano sera una funcion de h que llamaremos C(h).Supongamos que la tasa de interes es r% anual; es relativamente sencilloobtener la siguiente formula para C(h):

    C(h) = C0(1 +r

    100 h) 1h ,

    donde C0 es el capital inicial (la cantidad de dinero que usted ahorra),suponiendo que no hace mas depositos durante el resto del ano.

    Segun dijimos antes, entre mas corto sea el perodo en que se calculeel interes, mayor sera el interes devengado; esto se puede interpretardiciendo que el maximo beneficio se obtendra si hacemos tender h a 0,en otra palabras el maximo capital que podramos tener al final del anosera

    limh0

    C(h) = limh0

    C0(1 +r

    100 h) 1h .

    Pero este lmite es un viejo conocido (vea el Captulo 7), entonces:

    limh0

    C0(1 +r

    100 h) 1h . = C0er/100

    Se dice que si el interes se compone continuamente, entonces el cap-ital al final del ano sera

    C0er/100.

  • 53 Elementos de calculo, volumen 2

    Ejemplo 21. Calculando un interes

    Si se colocan ||c 10 000 a un interes compuesto continuamente del 24%anual, cual sera el capital al cabo de un ano?

    Solucion: Segun lo comentado antes, el capital al final del ano sera

    C = 10 000e24/100 = 10 000e0,24 = 10 0001, 2712492 = 12 712, 49 colones

    . 4

    Un caso en el que la resistencia del airees importante

    Si uno se lanza desde un avion en el aire posiblemente no tendraun final muy feliz, a no ser que utilice un paracadas que funcione ade-cuadamente. La idea basica de un paracadas es que, por su forma,el aire presenta una gran resistencia que funciona como una especie defrenado. Desde luego, el frenado no es tanto como para quedar comple-tamente suspendido en el aire; de manera que al caer al suelo con unparacadas se lleva cierta velocidad (no tanta, para no sufrir un golpefuerte).

    Mediante algunos conocimientos de la fsica se puede demostrar quesi un hombre se lanza a una velocidad de 55 m/seg hasta el momentode abrirse el paracadas y si la resistencia del aire es proporcional alcuadrado de la velocidad, entonces la velocidad a la que baja el para-caidista es

    v =5e25,5t + 61, 2 e24,5t .

    Resulta que si se lanza desde una altura suficientemente grande, lavelocidad comienza a estabilizarse (esto en particular significa que casino tendra aceleracion) y con esa velocidad cae al suelo.

    Efectivamente, si vemos que sucede cuando t se hace cada vez mayorpodemos calcular la velocidad de estabilizacion:

    limt v = limt

    5e25,5t + 61, 2 e24,5t =

    61, 2

    = 5

    (esto es as porque limt e

    24,5t = 0).

    Tenemos que: a medida que va bajando, la velocidad del paracaidista sehace cada vez mas proxima a 5 m/seg.

  • 54 Elementos de calculo, volumen 2

    8.2 FUNCIONES DISCONTINUAS APLI-

    CADAS

    Quizas a usted le parecieron extranas algunas funciones definidaspor partes que consideramos en el Volumen 1 en el contexto de lacontinuidad; sin embargo, algunas de ellas son muy importantes en lasaplicaciones. Aqu veremos algo con respecto a una funcion discontinuamuy util: la llamada funcion de Heaviside.Esta funcion es de especial importancia en la ingeniera electrica. Dehecho, se llama as en honor de un ingeniero electrico, Oliver Heaviside,quien hizo grandes aportes en la aplicacion de las matematicas en laingeniera electrica.

    Definicion 8.1. La funcion de Heaviside

    Se llama funcion de Heaviside o funcion escalon unidad a la funcion H definida por

    H(t) ={

    0 si t < 01 si t 0

    Lo que esto significa es que la imagen de cualquier t negativo es 0,por ejemplo,

    H(2) = 0, H(1) = 0, H(12

    ) = 0;

    mientras que la imagen de 0 o de cualquier numero t positivo es 1, porejemplo

    H(0) = 1, H(12

    ) = 1, H(5) = 1, etc.

    La figura 8.1 representa la grafica de esta funcion.dt6

    -

    y

    x

    1

    0

    Figura 8.1. Funcion deHeaviside

    Observe que la funcion de Heaviside es discontinua en 0 (presentauna discontinuidad de salto) y es continua en el resto del dominio. Ladiscontinuidad proviene de que

    limt0

    H(t) = 0 mientras que limt0+

    H(t) = 1.

    La importancia de esta funcion en la ingeniera electrica radica en quepuede considerarse como una funcion conmutadora. Esto es, supongaque usted tiene un bombillo que solo tiene dos estados: encendido oapagado; se puede asignar un numero a cada estado:

    encendido = 1,apagado = 0.

    Si usted considera el momento exacto en que enciende la lamparacomo el instante t = 0, entonces para los t siguientes (t > 0) lalampara estara encendida: 1; para los t anteriores al encendido (t < 0),la lampara estaba apagada: 0.

    En esta seccion se intro-duce una aplicacion de lasfunciones discontinuas: lafuncion de Heaviside y suaplicacion en ingeniera.

  • 55 Elementos de calculo, volumen 2

    As, la funcion de Heaviside, dada su definicion y gracias precisa-mente al tipo de discontinuidad que presenta, es un buen modelo parasituaciones que presentan dos estados.

    Podemos tambien considerar el momento del encendido como uninstante t = a (en vez de t = 0). En este caso tendramos la funcionde Heaviside trasladada:

    Ha(t) ={

    0 si t < a1 si t a

    Esto es, si t < a, entonces se le asigna el valor 0 (apagado) y si t a sele asigna el valor 1 (encendido).

    dt6

    -

    y

    x

    1

    0 a

    Figura 8.2. Funcion de Heavi-side trasladada

    Por ejemplo, si a = 10, entonces:

    H10(1) = 0 (porque 1 < 10)H10(8) = 0 (porque 8 < 10)H10(10) = 1 (porque 10 10)H10(11) = 1 (porque 11 10)

    H10(14, 4) = 1 (porque 14, 4 10)etc.

    Ejemplo 22. La funcion pulso

    Suponga que deseamos, utilizando una funcion, describir una alarma quese activa en el instante 6 seg despues de alguna accion determinada y sedesactiva 5 seg despues (es decir: a los 11 seg despues de la accion).

    Podemos considerar que esta alarma corresponde a una funcion que dt6

    -

    y

    x

    1

    0 6

    dt

    11

    Figura 8.3. Funcion pulso

    vale 0 hasta antes del tiempo t = 6, luego, entre t = 6 y t = 11 vale 1 yvuelve a valer 0 para t > 11. Este tipo de funciones se llaman funcionespulso y en el caso que nos ocupa se puede escribir como

    p(t) =

    0 si t < 61 si 6 t < 110 si t 11

    Esta funcion pulso se puede escribir en terminos de funciones de Heavi-side trasladadas:

    p(t) = H6(t)H11(t).(Por que?). 4

    De hecho todas las funciones con discontinuidades de salto sepueden escribir como suma o resta de multiplos de funciones de Heavisidetrasladadas. Esto es muy util, por ejemplo, en el analisis del compor-tamiento de circuitos electricos.

  • 56 Elementos de calculo, volumen 2

    8.3 VELOCIDAD Y ACELERACION

    Los concept