1

ÓPTICA ESTADÍSTICA EXAMEN 11 DE FEBRERO DE 2008

SOLUCIONARIO

PROBLEMAS

1. En el esquema de la figura 1 se representa un sistema óptico en cuyo plano de entrada ( Z = 0 ) se localizan dos fuentes puntuales emitiendo con longitud de onda media λ y separadas una distancia 2a simétricamente con respecto al origen O. El plano de observación (detección) se sitúa en Z > 0. Se pide calcular la distribución de la intensidad obtenida en un punto P del plano Z para el caso en que las dos fuentes son mutuamente coherentes. a) Las dos fuentes son mutuamente coherentes.

Figura 1: Geometría para calcular la difracción de la luz originada por dos puntos fuente aplicando la aproximación de Fresnel Ambas fuentes puntuales general un frente de ondas esférico que se propaga en el espacio libre en régimen de difracción de Fresnel (aproximación escalar de primer orden). Denotamos, para cada fuente una función de transmitancia en amplitud: Fuente localizada en (xo – a, yo) : ( )0 0,A x a yδ −

Fuente localizada en (xo + a, yo) : ( )0 0,A x a yδ + A: constante De forma que en el plano de entrada del sistema consideramos: una función de transmitancia:

Z

z

P (x,y)

O 2a

Plano XoYo Frentes esféricos generados por las fuentes puntuales

2

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , ,g x y A x a y A x a yδ δ= − + + (1) En el plano Z>0 obtenemos una distribución de amplitud compleja, de acuerdo con la integral de Fresnel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0 0

exp, , exp

2ikz ikx y g x y x x y y dx dy

i z zψ

λ

+∞

−∞

= − + − ∫ (2)

Sustituyendo en (2) de acuerdo con (1):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 20 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

exp, , , exp

2

exp, exp , exp

2 2

expexp

ikz ikx y A x a y x a y x x y y dx dyi z z

ikz ik ikA x a y x x y y dx dy x a y x x y y dx dyi z z z

ikz iAi z

ψ δ δλ

δ δλ

λ

+∞

−∞

+∞ +∞

−∞ −∞

= − + + − + −

= − − + − + + − + −

=

∫

∫ ∫

( ) ( )2 22 2exp2 2k ikx a y x a yz z

− + + + +

(3) Donde para el resultado de (3) hemos aplicado las propiedades de la δ – Dirac. Podemos escribir:

( ) ( ) ( )2 22 21, exp exp2 2

x a y x a yx y A ik z ik z

i z z zψ

λ

− + + + = + + +

(4)

Que nos proporciona la distribución de la amplitud compleja en el plano de observación. La distribución de la intensidad es:

( ) ( )

( ) ( )

2

22 22 2

, ,

1 exp exp2 2

I x y x y

x a y x a yA ik z ik zi z z z

ψ

λ

= =

− + + + + + +

(5)a

Operando:

( )( ) ( )

2 2 22 2

2 2 4, 1 cos coskxa kxaI x y A Az zz zλ λ

= + = (5)b

3

El resultado en (5)b nos muestra que las dos fuentes mutuamente coherentes interfieren constructivamente de forma que se obtiene un fenómeno interferencial en el plano de observación. El término interferencial depende de la variable x , de la separación entre fuentes a y de la distancia de propagación z.

b) El término de interferencias es 2cos kxaz

. Este término representa la parte real de la función de

coherencia mutua. La intensidad en (5) es función de la diferencia de camino óptico. Esta dependencia es consecuencia de la existencia de un desfase temporal entre los dos haces, denotamos:

sk sc

ω ω τ∆∆ = = ∆ (6)

donde, ∆s es la diferencia de camino óptico. De acuerdo con el resultado obtenido en (5):

2axzc

τ∆ = (7)

La ec.(7) proporciona el valor del desfase temporal ∆τ. En el origen para x=0 el desfase es nulo. c) De acuerdo con el teorema de Van Cittert-Zernike, cada fuente tiene asociado un grado de coherencia espacial proporcional al módulo de la transformada de Fourier de la función de transmisión en amplitud asociada a la fuente. En este caso tendremos: Para la fuente F1:

( ) ( )0 0, exp 2 1TF x a y iuaδ π − = − =

y análogamente para la fuente F2:

( ) ( )0 0, exp 2 1TF x a y iuaδ π + = + =

Por tanto en el plano Z cada fuente puntual tiene asociada un área de coherencia constante que se distribuye a lo largo de todo el plano. Es decir, cada fuente puntual define un grado de coherencia espacial máximo. Sin embargo, sabemos que experimentalmente no se pueden obtener fuentes estrictamente puntuales, por lo tanto cada una de ella definirá un área de coherencia que se comporta como:

( )12

s

s

J πρθ λ

πρθ λ, donde ρ son las coordenadas polares y θs es el ángulo subtendido por la fuente. Podemos

asumir que para muy pequeñas dimensiones el área de coherencia asociada a cada fuente será muy extensa, pero nunca infinita.

4

d) Para la detección en el punto P, en un tiempo t1 dentro de un intervalo temporal ∆t1 la probabilidad de detección se define:

( ) ( )1 1 1 1, , , ,P x y t t I x y t tη∆ = ∆ (8)

Al ser el campo estacionario el promedio temporal de la intensidad es independiente del tiempo, y por tanto también los es la probabilidad de detección, expresamos la ec.(8):

( ) ( )1 1 1 1, ,P x y t I x y tη∆ = ∆ (9)

Donde η1 es la constante de eficiencia del detector e I(x,y) se expresa de acuerdo con la ec. 5(b):

( )( )

2 21 1 1 12

4, cos kxaP x y t A tzz

ηλ

∆ = ∆

(10)

Análogamente para el segundo detector:

( ) ( )2 2 2 2, ,P x y t I x y tη− − ∆ = − − ∆ (11)

y de nuevo de acuerdo con la ec.5(b):

( )( )

2 22 2 2 22

4, cos kxaP x y t A tzz

ηλ

− − ∆ = ∆

(12)

La probabilidad conjunta se define: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , ,P x y t P x y t t t I x y t I x y t t tη η∆ ∆ = − − ∆ ∆ (13)

Que podemos escribir: ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 1 2 1 2, , ; , , , , , ,P x y t x y t I x y t I x y tη η− − = − − (14)

Supongamos por simplicidad: t1 = t2 = t, y puesto que I(x,y) = I(-x,-y): ( ) ( ) ( )2 2

1 2, , ; , , , ,P x y t x y t I x y tη η− − = (15)

En general, si suponemos la condición de que los campos son fluctuantes en el tiempo:

5

( ) ( ) 22 , , , ,I x y t I x y t≠ (16)

y por tanto, en este caso, la probabilidad conjunta no se comporta estrictamente como una función proporcional

a: 4cos kxaz

.

En la figura 2 se representa la función cos4(ax), x arbitraria, para el caso en que a >>x. En este caso particular la probabilidad conjunta se comportaría aproximadamente como esta función, como corresponde a una densidad de probabilidad.

Figura 2: Representación gráfica de la función cos4(ax). Véase texto para detalles.

6

CUESTIÓN 1

Si las fuentes son mutuamente coherentes de acuerdo con el resultado de la ec.(5) se registra un fenómeno interferencial, por tanto si existe registro holográfico. Una vez procesada la placa en condiciones de linealidad el holograma tiene una transmitancia en amplitud: (17) Donde:

( )( ) ( )

2 2 22 2

2 2 4, 1 cos coskxa kxaI x y A Az zz zλ λ

= + = (18)

Es importante notar que este holograma es un holograma de transmisión de Fresnel. En la reconstrucción el campo difractado por el holograma es: (19) Supongamos que reconstruimos con una onda plana Aexp ikz, sustituyendo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

22

, exp ,

2 2exp ' , exp ' 1 cos

d

b b

E x y A ikz T x y

kxaA ikz t I x y A ikz t Azz

β βλ

= =

+ = + + +

(20)

Operando, denotamos:

Orden 0 de difracción: ( )( )

22

2exp 'bA ikz t Az

βλ

+

Orden -1 de difracción: ( )

( )32

1 2' exp exp ikxaA ikzzz

βλ

−

Orden +1 de difracción: ( )

( )32

1 2' exp exp ikxaA ikzzz

βλ

+

( ) [ ] ( ), lg( ) lg( ) ' ,b b bT x y t It It t I x yβ β≈ + − = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ; , ,d i iE x y T x y E x y E x y r x y= =

7

b) De acuerdo con la definición de eficiencia de difracción: Donde P-1 es el flujo de energía asociado el orden -1 de difracción y Pin es el flujo de energía del haz incidente. Por tanto, de acuerdo con el resultado de la ec.(20), sin más datos la eficiencia de difracción es constante y teóricamente puede obtenerse un valor máximo. Para obtener valores relativos deberíamos estudiar el régimen del holograma como holograma de volumen u holograma delgado, para lo cual necesitaríamos los datos del espesor de la placa holográfica y el ángulo de la onda de referencia en el registro. De forma general, en el espesor del fotomaterial se registraría una red holográfica pero con planos de fase constante no paralelos.

CUESTIÓN 2

De acuerdo con el enunciado en el plano objeto supondremos una distribución de amplitud compleja:

( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0 0, , exp

2kx y AO x y i x yf

ψ

= − +

(21)

A, constante real. En el plano de salida, antes de la lente L2, la distribución de la amplitud compleja se obtiene considerando propagación en el espacio libre en régimen de Fresnel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 20 0 0 0 0 0 0 0

exp, , exp exp

2 2ikz k ikx y A O x y i x y x x y y dx dy

i z f zψ

λ = − + − + − ∫∫

(22) Operando en la ec.(22):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0

exp 1 1, exp , exp exp 22 2

ikz yik ik xx y A x y O x y x y i x y dx dyi z z z f z z

ψ πλ λ λ

= + − + − + ∫∫(23)

En la ec.(23) observamos que el término 0 0exp 2 yxi x yz z

πλ λ

− + corresponde a la transformada de

Fourier, donde:

; v yxuz zλ λ

= = , son las variables que definen las frecuencias espaciales en el plano XY.

η −= 1

in

PP

8

De forma que si suponemos la condición: f z= , el término de fase: ( )2 20 0

1 1exp2ik x y

z f

− +

se anula:

( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0 0

exp, exp , exp 2

2ikf yik xx y A x y O x y i x y dx dy

i f f f fψ π

λ λ λ

= + − + ∫∫ (24)

En el plano posterior a la lente L2, la distribución de la amplitud compleja es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 0 0 0 0 0

exp, , exp , exp 2

2ikf yik xx y x y x y A O x y i x y dx dy

f i f f fψ ψ π

λ λ λ

= − + = − + ∫∫

(25)

Y por tanto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0

exp exp, , ,

ikf ikfx y A TF O x y A O u v

i f i fψ

λ λ= = (26)

Y en el plano posterior a la lente L2 se obtiene una distribución de amplitud compleja proporcional a la transformada de Fourier de la función objeto, ( ),O u v Se concluye que el plano de salida, posterior a la lente L2 es el plano de filtrado del sistema óptico. Para la reconstrucción del objeto filtrado necesitaríamos una tercera lente de análoga focal y en cuyo plano focal obtendríamos la imagen del objeto filtrado. Realizando un estudio análogo se puede demostrar que para la condición: Z=2f, el plano de filtrado se sitúa a medio camino entre las dos lentes. Como condición general, para: Z f≥ se pueden definir un número n de planos de filtrado: Z=nf, n: constante real entera o fraccionaria.