7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 1/12

3. Proprietati de robustete. Stabilitatea robustă

Se doreşte să se obţină condiţii pentru stabilitatea robustă pentrufamilia Π de procese denită prin:

În acest scop se va utiliza criteriul de stabilitate Nyquist.ucla nominală va stabilă dacă !odo"raful #$ j%&'()Gd $

 j%&'()GR $ j%&G$ j%& *ncon+oară ori"inea *n sens tri"onometric deun număr de ori e"al cu numărul de poli instabili ai lui,R $s& atunci c-nd parcur"e intervalul $/0)/& .

ucla perturbată0va stabilă dacă şi numai dacă !odo"raful#$ j%&'()Gd $ j%& va *ncon+ura ori"inea *n sens tri"onometric

e1act de acelaşi număr de ori ca şi !odo"raful nominal #$  j%&.

2resupunem că toate procesele , ale familiei Π

au acelaşi număr de poli *n 3e s 4 5 şi că un controler,R$s&stabilizează

procesul nominal ,$s&. Stabilitatea robustă a buclei este asi"uratădacă şi numai dacă funcţia de sensibilitate complementară 6 $s&pentru modelulnominal al procesului ,$s& satisface

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 2/12

4. Proprietati de robustete. Performanţa robustă

 În consecinţă0 vom *ncerca să obţinem condiţiile deperformanţă robustă măsurate *n termenii normei 7 şi a normei /.

2erformanţele se e1primă *n mod a"re"at prin condiţia ca 8$ j%& să aibă o valoare 9mică sau ec!ivalent ( Gd $ j%& să e9mare0 cerinţă ce se e1plicitează prin ine"alitatea:

• ;50%5 < este intervalul activ de frecvenţă al S3=.

2entru un proces , aparţin-nd familiei de procese Π0 se1ează obiectivul de proiectare al controlerului astfel *nc-teroarea rezultată pentru o mărime de intrare specică v să eminimizată pentru toate procesele aparţin-nd familiei Π.

>1istă două modalităţi de specicare a intrărilor normalizate:

(& ?mpuls v @$s& '(

7& ?ntrare specică v ' wv @ ' w

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 3/12

Aacă spectrul intrării v este apropiat şi concentrat l-n"ă %B0atunci puterea intrării $amplitudinea& este limitată la w$%B&.

2entru ca un controler zic să e1iste0 trebuie presupus căsemnalele ce intră *n bucla de re"lare sunt măr"inite. Semnalele

e1terne nemăr"inite pot corectate doar prin acţiuni de controlnemăr"inite şi aceasta nu este o problemă de controlsemnicativă.5. Obiectivul de performanţă H2Să considerăm acum cazul procesului cel mai defavorabil0 careconduce la cea mai mare eroare.

?nte"rala este ma1imizată prin ma1imizarea inte"rantului la oricefrecvenţă. Ain ar"umente "eometrice rezultă:

unde am notat2entru un controler precizat ,R se poate determina cea mai

mare eroare care poate rezulta pentru o intrare specică v şi ofamilie de procese Π.

2rimul factor al inte"ralei ţine cont de efectul incertitudinilormodelului. Ain cauza condiţiei de stabilitate robustă0 inte"rantuleste *ntotdeauna măr"init.

>roarea creşte cu c-t ne apropiem de limita de stabilitatedatorită erorilor modelului. Aacă descrierea incertitudinii estecorectă0 eroarea obţinută pe procesul real0 ca urmare a aplicăriiunei intrări specice v este *ntotdeauna mai mică dec-t o limităstabilită.

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 4/12

6. Obiectivul de performanţă H/

Să considerăm acum cazul procesului cel mai defavorabil0care conduce la cea mai mare eroare.

care poate scrisa sub forma

2resupun-nd că toate procesele familiei Π au acelaşi numărde poli *n 3es45 0 atunci sistemul *n buclă *nc!isă va *ndeplinicondiţiile de performanţă

dacă şi numai dacă sistemul nominal *n buclă *nc!isă este stabil şifuncţiade sensibilitate complementară 6 şi funcţia de sensibilitate 8 satisfac

?nterdependenţa dintre 8 şi 6 va conduce la uncompromis. Îmbunătăţind performanţele nominale se *nrăutăţeşterobusteţea. =le"-nd forma lui C,RG|=|G d | astfel *nc-t să e

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 5/12

mare la frecvenţe +oase şi mică la frecvenţe *nalte pot satisfăcute specicaţiile pentru performanţe robuste.

Dn controler care optimizează performanţa robustă rezolvă

2entru sisteme S?SE0 performanţa robustă nu este un criteriudeosebit de dicil de *ndeplinit spre deosebire de sistemele F?FE.

7. Spaţiul Hilbert

Gie H un spaţiu liniar peste c-mpul I al numerelor comple1e.2roprietati:

2entru denirea spaţiului Jilbert se porneşte de la un spaţiu liniarH peste I. Dn produs intern pe H este o funcţională $ x 0 y &K L x 0 y> de la H M H la I cu următoarele patru proprietăţi:(& L x 0 x> este real şi 57& L x 0 x >' 5 dacă 1 ' 5O& funcţia y K L x 0 y> denită pe H cu valori *n I este liniarăP& L y 0 x> ' L x 0 y >.

Dn astfel de produs intern induce o normă0 şi anume0

Dn spaţiu Jilbert comple1 este un spaţiu liniar pe I care areun produs intern şi care este complet.

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 6/12

Aoi vectori 10 y *ntrQun spaţiu Jilbert H sunt orto"onali dacă x 0 y ' 5. Aacă S este un subset al lui H0 atunci SR denotă un setde vectori *n H care sunt orto"onali pe orice vector din S SR esteun subspaţiu *nc!is pentru orice S. X ' SR TS .

Erice vector din H poate scris *n mod unic ca o sumă a unuivector din SR şi a unui vector din S.

5. !alori sin"ulare minima si ma#ima

Setul de valori sin"ulare0 valoarea sin"ulara ma1ima si valoareasin"ulara minima:

Aeoarece U şi D sunt nesin"ulare0 ran"ul lui V este identic cu cel alui W0 care este e"al cu numărul valorilor sin"ulare nenule: rank $Q&' r .E matrice V nu are valori sin"ulare 5 $X $Q& 4 5 & dacă este deran" coloană ma1imă.2rivim matricea V ca pe o mapare liniara a spatiului vectorial Yp inspatiul Yn denita prin

2resupunem că prin ui şi yi notăm coloanele matricelor unitareD şi U *n SUA. '4

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 7/12

 

Proprietati ale valorilor sin"ulare

Ualoarea sin"ulara minima a unei matrici patratice da omasura a Zapropierii de sin"ularitateZ.

Iorolar: Gie V şi 3 matrice p M p pătratice şi V nesin"ulară.=tunci

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 8/12

Partea $$4. %&&P O''()$*+

Metoda celor mai mici pǎtrate (CMMP) este o metodǎ cunoscută şi utilizatăfrecvent pentru identificarea parametrică a sistemelor. Metoda se aplică înurmătoarele ipoteze:

a) Structura modelului este cunoscutǎ, adică se cunoaşte ordinul funcieide transfer a procesului şi valoarea timpului mort!

 ") Modelul matematic al procesului este liniar sau liniariza"il!c) #ariaiile parametrilor procesului sunt lente în comparaie cu viteza de

variaie a semnalelor de intrare şi ieşire!d) $atele măsurate de la proces oferă un coninut de informaii completedespre modelul procesului.

%ransferul intrare&ieşire este determinist sau afectat doar de z'omot al".Pentru identificarea proceselor deterministe monovaria"ile se va considera

modelul discret:

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 9/12

n urma identificării se o"ine o estimare * a vectorului real al

 parametrilor din ecuaia liniară:

+l'oritmul de identificare tre"uie sǎ acioneze în sensul minimizǎriireziduului (-%).

$eterminarea lui * presupune aciziia a cel puin /0na1n"12 seturi dedate 3(-), deoarece este o ecuaie liniarǎ cu (na1n"12) necunoscute.

n cazurile practice, mǎsurǎtorile sunt afectate de z'omote şi este necesar sǎ

se aciziioneze un numǎr mai mare de date /4. $atele colectate în cele /4mǎsurǎtori, /45/, rezult6nd un nou set de /4 ecuaii cu /0na1n"12 necunoscute.+cestea conduc la sistemul:

5. ,l"oritmi recursivi %&&PFetoda IFF2 nerecursiv[ necesită un volum de mare calcul

c!iar pentru sisteme de ordin mic. =cest volum mare de calcul şidate folosirea unor procesoare performante pentru nalizareacalculelor *n timp rezonabil.

E variantă de eliminare a acestui nea+uns ar limitareasecvenţei de date prelucrate la o lun"ime NB 1[ $NB4 na)nb)(&.3ezultatul estim[rii se va baza pe

ultimele NB valori ale semnalelor de ieşire şi comand[0 permanentreactualizate.Fetoda necesit[ calculul inversei matricei 2:

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 10/12

>stimatoarele recursive determin[ matricea parametrilor estimaţilamomentul t0 \]$t&0 prin aplicarea unei corecţii valorii \]$t (&0determinat[

la pasul anterior.Iorecţia se va calcula lu-nd *n considerare numai ultimul set devalori ^u$t&0 y$t&_ ac!iziţionate la pasul t. Se obţine astfel unnumar mic de calcule.

2e baza estimaţiei \]$t (& se poate calcula o predicţie a ieşiriiy]$t&:

2redicţia se va abate de la valoarea adev[rat[ y$t&:

2e baza unui mecanism de a+ustare0 eroarea de predicţie vafurnizacorectorul0 notat \c $t& 0 ce se va aplica vectorului parametrilorestimati lamomemtul anterior \$t (& astfel *nc-t să rezulte: \]$t&' \]$tQ(&)\c $t&.

-. ,locarea polilorpolinoame de ordin /Se utilizează relaţiile e1istente *ntre performanţele

sistemului şi poziţiile polilor şi zerourilor pentru selectareamodelului matematic dorit al sistemului automat. ,radulpolinomului polilor alocaţi0 S$qQ(&0 este limitat superior de ordinul

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 11/12

modelului procesului re"lat. Dzual se impun pentru sistemulautomat unul sau doipoli dominanţi aleşi funcţie de performanţele dorite0 aceştia indpolii ce 1ează performanţele de re"im tranzitoriu. Aacă este

necesar0 se adau"ă apoi poli suplimentari de modul mic$ec!ivalentul polilor *ndepărtaţi de la sisteme continue&. 2roblemava tratată pentru cazurile polinomului dorit al polilor e polinomde ordinul ?0 e polinom de ordinul ??.

,locarea polilorpolinom de oridin $/

S$q]Q(&'()S( q]Q(

Iomparearea unui sistem de intarziere de ordin ?. 3aspunsul

y$t& la semnal treapta va aperiodic. Ualoarea S( va determinadurata re"imului tranzitoriu pentru un sistem continuu de ordin (.

Guncţia de transfer discretă0 cu e1trapolator de ordinul 50 areforma:

0. ,locarea polilorpolinoame de ordin 2/

7/18/2019 Sar Examen

http://slidepdf.com/reader/full/sar-examen 12/12

Se utilizează relaţiile e1istente *ntre performanţele sistemului şipoziţiile polilor şi zerourilor pentru selectarea modeluluimatematic dorit al sistemului automat. ,radul polinomului poliloralocaţi0 S$qQ(&0 este limitat superior de ordinul modelului procesului

re"lat. Dzual se impun pentru sistemul automat unul sau doipoli dominanţi aleşi funcţie de performanţele dorite0 aceştia indpolii ce 1ează performanţele de re"im tranzitoriu. Aacă estenecesar0 se adau"ă apoi poli suplimentari de modul mic$ec!ivalentul polilor *ndepărtaţi de la sisteme continue&. 2roblemava tratată pentru cazurile polinomului dorit al polilor e polinomde ordinul ?0 e polinom de ordinul ??.

,locarea polilor polinoame de ordin $$/

2olinomul dorit este format:

Iomportarea sist. 3e"lat este ec!ivalent cu a unui sist continuucu intarziere de ordin ??:

 0 0

0tr=4.6/ ( ̀ B%n )}=>

2recizia de re"lare in re"im stationar: