SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA

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Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA

1-1.- El perno B del cigeal AB de radio r

= 0.1 m se est moviendo en la ranura del

brazo OC en la figura. Si en el instante

dado: l = 0.24 m, = 30, = 4 rad/seg y = - 2 rad/seg2. Usando coordenadas cartesianas, calcular la velocidad y

aceleracin del perno B.

Solucin

1).- Por interseccin de trayectorias (ver figura P1-1a):

222 rYX =+ (1)

XmXbY cot24.0 =+= (2) 2).- Derivando dos veces, con respecto al tiempo (1) y (2):

0=+ YYXX && (3)

XXY &&& cotcsc2 = (4)

0222 =+++ YYYXXX &&&&& (5) ( )XXXXXY &&&&&&&&&& cotcsccsccsccotcsc2 22222 += (6)

3).- Para el caso especfico de X = 0.1 sen30 = 0.05 m, Y = -0.1cos30 = -0.0866 m y = 8.702.-

(4) en (3):

( ) 0cotcsc2 =+ XXYXX &&& ( ) XYYXX && 2csccot =

P1-1a

X

Y

l

P1-1

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Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

( ) 229.10866.0*534.605.005.0*4*683.43*0866.0

cot

csc2=

+=

=

YX

XYX

&& m/seg

En (4):

707.0229.1*534.605.0*4*687.43 ==Y& m/seg

jiVB 707.0229.1 += (m/seg) 42.1=BV m/seg

(6) en (5):

( ) ( )2 2 2 2cot csc 2cot 2X X Y Y X X X X Y = & && &&& & & & ( )

534.6*0866.005.0

016.2229.1*4*205.0*205.0*16*534.6*2687.43*0866.0

+

+=X&&

71.7= X&& m/seg2

En (6):

( )43.687 2*6.534*16*0.05 2*0.05 2*4*1.229 6.534*7.71Y = + +&&

18.82Y =&& m/seg2

( )7.71 18.82Ba i j = m/seg2 20.34Ba = m/seg2

1-2.- El perno P en un mecanismo ser empujado hacia

la derecha con una velocidad constante V = 2 m/seg.

Usando coordenadas cartesianas, calcule la velocidad

angular y la aceleracin angular del brazo OA para = 30, si l = 0.7 m.

Solucin

1).- Clculo del movimiento de P tomando como punto

de referencia a O y aprovechando que l es constante:

l

P

X

Y

P1-2

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Si: ll

== tgXX

tg (1)

Derivando dos veces (1), respecto al tiempo:

X

senXXtgX

cos0sec2&

&&& ==+ (2)

0secsec2*secsec 22222 =++++ &&&&&&&&& XtgXXXtgX ( )

2

222

sec

sec2sec2

X

tgXX &&&&& += (3)

2) Para el caso especfico de = 30, 2==VX& m/seg y 0=X&& :

21.17.0

30 == XX

tg m

En (2):

72.021.1

30cos302=

=sen& rad/seg

En (3):

( )

+=

30sec*21.1

72.0*3030sec21.1*272.0*30sec2*22

222 tg&&

78.1= && rad/seg2

1-3.- El movimiento tridimensional de una partcula est definida por el vector posicin

( ) ( ) ( ) kptRjCtiptsenRr cos++= . La curva descrita en el espacio por la partcula es una hlice. Determine el radio de curvatura de dicha hlice.

Solucin

Si:

3

1

r

rxr

C &

&&&

=

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et

eoC

A B

en

e

kRpsenptjCiptRpr += cos&

( )[ ] ( ) 212222122222 cos CpRCptsenptpRr +=++=& kptRpisenptRpr cos22 =&&

ptRpsenptRp

psenptRCptRp

kji

rxr

cos0

cos

22

=&&&

( ) ksenptCRpjptpRptsenpRiptCRprxr 22322322 coscos +++=&&&

( ) ( ) ( )2

1

3222

2422

3222

64

3222

2422

3

cos1

++

++

+==

CpR

ptsenpRC

CpR

pR

CpR

ptpRC

r

rxr

C &

&&&

( )( ) ( )222

2

3222

222241

CRp

Rp

CpR

CpRRp

C +=

+

+=

Rp

CR

Rp

CRpC 2

2

2

222

+=+

= (Unid. de longitud)

1-4.- Si la velocidad angular AC = 5 /seg y la aceleracin angular AC = - 2/seg

2. Usando

coordenada tangencial y normal y/o polar, determine

la aceleracin angular del actuador hidrulico BC y la

razn de cambio de su razn de extensin.

Solucin

1).- Orientacin de los vectores unitarios, que definen

las coordenadas pedidas (ver figura P1-4a):

54.36.24.2 22 =+=ACr m

P1-4

P1-4a

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683.2=BC m

= 43.63 , = 71.42 y = 72.20

2).- Clculo del movimiento de C tomando como punto de referencia A en coordenadas tangencial y

normal:

tttACACC eeerV 309.054.3*180

*5 ===pi

(1)

ntnACACtACACC eeerera 54.3*180

*554.3*180

*2

2

2

+=+=

pipi

ntC eea 027.0124.0 += (m/seg) (2)

3).- Clculo del movimiento de C tomando como punto de referencia B, en coordenadas polares, para luego

transformarle en tangencial y normal:

nt eesene cos= y nt esenee += cos

a).- Clculo de la velocidad angular de BC y su razn de extensin:

eeV BCBCC && +=

( ) ( )ntBCntBCC eseneeesenV ++= coscos && ( ) ( ) nBCBCtBCBCC esenesenV coscos &&&& ++= (3)

(1)= (3) e igualando componentes:

( ) sensen BCBC *cos0 && = (4) ( ) cos*cos309.0 senBCBC && += (5)

(4) + (5) &BC=cos309.0

1077.0683.2

72.20cos309.0=

=& rad/seg 172.6= /seg

En (4):

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109.072.201077.0*683.2 === tgtgBCBC && m/seg

b).- Clculo de la aceleracin angular de BC y la razn de cambio de su razn de extensin:

( ) ( ) eea BCBCBCBCC &&&&&&& ++= 22 ( ) ( ) ( ) ( )ntBCBCntBCBCC eseneeesena +++= cos2cos2 &&&&&&& ( ) ( )[ ] +++= tBCBCBCBCC esena cos22 &&&&&&& ( ) ( )[ ] nBCBCBCBC esen &&&&&&& ++ 2cos2 (6)

(2)= (6) e igualando componentes:

( ) ( )[ ] cos*cos2124.0 2 &&&&&&& BCBCBCBC sen ++= (7) ( ) ( )[ ] sensenBCBCBCBC *2cos027.0 2 &&&&&&& ++= (8)

(7) + (8):

&&&& BCBCsen += 2cos124.0027.0

683.2

1077.0*109.0*272.20cos124.072.20027.0 =

sen&&

0484.0=&& rad/seg2 77.2= /seg2

En (7):

( )

sen

sen BCBCBCBC

cos2124.02 &&&&&&&

+=

( )

=

72.20

72.20cos0484.0*683.21077.0*109.0*2124.072.201077.0*683.2 2

sen

senBC&&

0381.0=BC&& m/seg2

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3.5"

15"

e

e

te

on

B

A

3.94" 6.06"

C

77.98

e

60

17.98

1-5.- El brazo BC gira en sentido horario a 200 RPM,

el perno C en el extremo de este brazo desliza en la

ranura del elemento AD. Usando coordenadas

tangencial y normal y/o polares, calcule & y && para = 30.

Solucin

1).- Direcciones de los vectores unitarios, que

definen las coordenadas tangencial y normal, y polar

(ver figura P-5a):

2).- Clculo de la velocidad y aceleracin de C,

tomando como punto base B y usando coordenadas

tangencial y normal:

ttCc eerV 7*30

*200pi ==

&

tCc eV 6.146= (plg/seg) (1)

}

nnntC eeerera 54.30707*3

202

2

0

=

=+=

pi &&& (plg/seg2) (2)

3).- Clculo de la velocidad y aceleracin de C, tomando como punto base A y usando coordenadas polares:

eeeeVC &&&& 92.18+=+= (3) ( ) ( ) ( ) ( ) eeeeaC &&&&&&&&&&&&&& ++=++= 292.182 22 (4)

4).- Ecuaciones de compatibilidad:

r = 7 in

P1-5

P1-5a

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Autor: Ing. VICTOR MANU