Solucionario Cinematica A
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SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA
_____________________________________________________________________
Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ
PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA
1-1.- El perno B del cigeal AB de radio r
= 0.1 m se est moviendo en la ranura del
brazo OC en la figura. Si en el instante
dado: l = 0.24 m, = 30, = 4 rad/seg y = - 2 rad/seg2. Usando coordenadas cartesianas, calcular la velocidad y
aceleracin del perno B.
Solucin
1).- Por interseccin de trayectorias (ver figura P1-1a):
222 rYX =+ (1)
XmXbY cot24.0 =+= (2) 2).- Derivando dos veces, con respecto al tiempo (1) y (2):
0=+ YYXX && (3)
XXY &&& cotcsc2 = (4)
0222 =+++ YYYXXX &&&&& (5) ( )XXXXXY &&&&&&&&&& cotcsccsccsccotcsc2 22222 += (6)
3).- Para el caso especfico de X = 0.1 sen30 = 0.05 m, Y = -0.1cos30 = -0.0866 m y = 8.702.-
(4) en (3):
( ) 0cotcsc2 =+ XXYXX &&& ( ) XYYXX && 2csccot =
P1-1a
X
Y
l
P1-1
SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA
_____________________________________________________________________
Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ
( ) 229.10866.0*534.605.005.0*4*683.43*0866.0
cot
csc2=
+=
=
YX
XYX
&& m/seg
En (4):
707.0229.1*534.605.0*4*687.43 ==Y& m/seg
jiVB 707.0229.1 += (m/seg) 42.1=BV m/seg
(6) en (5):
( ) ( )2 2 2 2cot csc 2cot 2X X Y Y X X X X Y = & && &&& & & & ( )
534.6*0866.005.0
016.2229.1*4*205.0*205.0*16*534.6*2687.43*0866.0
+
+=X&&
71.7= X&& m/seg2
En (6):
( )43.687 2*6.534*16*0.05 2*0.05 2*4*1.229 6.534*7.71Y = + +&&
18.82Y =&& m/seg2
( )7.71 18.82Ba i j = m/seg2 20.34Ba = m/seg2
1-2.- El perno P en un mecanismo ser empujado hacia
la derecha con una velocidad constante V = 2 m/seg.
Usando coordenadas cartesianas, calcule la velocidad
angular y la aceleracin angular del brazo OA para = 30, si l = 0.7 m.
Solucin
1).- Clculo del movimiento de P tomando como punto
de referencia a O y aprovechando que l es constante:
l
P
X
Y
P1-2
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Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ
Si: ll
== tgXX
tg (1)
Derivando dos veces (1), respecto al tiempo:
X
senXXtgX
cos0sec2&
&&& ==+ (2)
0secsec2*secsec 22222 =++++ &&&&&&&&& XtgXXXtgX ( )
2
222
sec
sec2sec2
X
tgXX &&&&& += (3)
2) Para el caso especfico de = 30, 2==VX& m/seg y 0=X&& :
21.17.0
30 == XX
tg m
En (2):
72.021.1
30cos302=
=sen& rad/seg
En (3):
( )
+=
30sec*21.1
72.0*3030sec21.1*272.0*30sec2*22
222 tg&&
78.1= && rad/seg2
1-3.- El movimiento tridimensional de una partcula est definida por el vector posicin
( ) ( ) ( ) kptRjCtiptsenRr cos++= . La curva descrita en el espacio por la partcula es una hlice. Determine el radio de curvatura de dicha hlice.
Solucin
Si:
3
1
r
rxr
C &
&&&
=
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et
eoC
A B
en
e
kRpsenptjCiptRpr += cos&
( )[ ] ( ) 212222122222 cos CpRCptsenptpRr +=++=& kptRpisenptRpr cos22 =&&
ptRpsenptRp
psenptRCptRp
kji
rxr
cos0
cos
22
=&&&
( ) ksenptCRpjptpRptsenpRiptCRprxr 22322322 coscos +++=&&&
( ) ( ) ( )2
1
3222
2422
3222
64
3222
2422
3
cos1
++
++
+==
CpR
ptsenpRC
CpR
pR
CpR
ptpRC
r
rxr
C &
&&&
( )( ) ( )222
2
3222
222241
CRp
Rp
CpR
CpRRp
C +=
+
+=
Rp
CR
Rp
CRpC 2
2
2
222
+=+
= (Unid. de longitud)
1-4.- Si la velocidad angular AC = 5 /seg y la aceleracin angular AC = - 2/seg
2. Usando
coordenada tangencial y normal y/o polar, determine
la aceleracin angular del actuador hidrulico BC y la
razn de cambio de su razn de extensin.
Solucin
1).- Orientacin de los vectores unitarios, que definen
las coordenadas pedidas (ver figura P1-4a):
54.36.24.2 22 =+=ACr m
P1-4
P1-4a
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683.2=BC m
= 43.63 , = 71.42 y = 72.20
2).- Clculo del movimiento de C tomando como punto de referencia A en coordenadas tangencial y
normal:
tttACACC eeerV 309.054.3*180
*5 ===pi
(1)
ntnACACtACACC eeerera 54.3*180
*554.3*180
*2
2
2
+=+=
pipi
ntC eea 027.0124.0 += (m/seg) (2)
3).- Clculo del movimiento de C tomando como punto de referencia B, en coordenadas polares, para luego
transformarle en tangencial y normal:
nt eesene cos= y nt esenee += cos
a).- Clculo de la velocidad angular de BC y su razn de extensin:
eeV BCBCC && +=
( ) ( )ntBCntBCC eseneeesenV ++= coscos && ( ) ( ) nBCBCtBCBCC esenesenV coscos &&&& ++= (3)
(1)= (3) e igualando componentes:
( ) sensen BCBC *cos0 && = (4) ( ) cos*cos309.0 senBCBC && += (5)
(4) + (5) &BC=cos309.0
1077.0683.2
72.20cos309.0=
=& rad/seg 172.6= /seg
En (4):
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109.072.201077.0*683.2 === tgtgBCBC && m/seg
b).- Clculo de la aceleracin angular de BC y la razn de cambio de su razn de extensin:
( ) ( ) eea BCBCBCBCC &&&&&&& ++= 22 ( ) ( ) ( ) ( )ntBCBCntBCBCC eseneeesena +++= cos2cos2 &&&&&&& ( ) ( )[ ] +++= tBCBCBCBCC esena cos22 &&&&&&& ( ) ( )[ ] nBCBCBCBC esen &&&&&&& ++ 2cos2 (6)
(2)= (6) e igualando componentes:
( ) ( )[ ] cos*cos2124.0 2 &&&&&&& BCBCBCBC sen ++= (7) ( ) ( )[ ] sensenBCBCBCBC *2cos027.0 2 &&&&&&& ++= (8)
(7) + (8):
&&&& BCBCsen += 2cos124.0027.0
683.2
1077.0*109.0*272.20cos124.072.20027.0 =
sen&&
0484.0=&& rad/seg2 77.2= /seg2
En (7):
( )
sen
sen BCBCBCBC
cos2124.02 &&&&&&&
+=
( )
=
72.20
72.20cos0484.0*683.21077.0*109.0*2124.072.201077.0*683.2 2
sen
senBC&&
0381.0=BC&& m/seg2
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3.5"
15"
e
e
te
on
B
A
3.94" 6.06"
C
77.98
e
60
17.98
1-5.- El brazo BC gira en sentido horario a 200 RPM,
el perno C en el extremo de este brazo desliza en la
ranura del elemento AD. Usando coordenadas
tangencial y normal y/o polares, calcule & y && para = 30.
Solucin
1).- Direcciones de los vectores unitarios, que
definen las coordenadas tangencial y normal, y polar
(ver figura P-5a):
2).- Clculo de la velocidad y aceleracin de C,
tomando como punto base B y usando coordenadas
tangencial y normal:
ttCc eerV 7*30
*200pi ==
&
tCc eV 6.146= (plg/seg) (1)
}
nnntC eeerera 54.30707*3
202
2
0
=
=+=
pi &&& (plg/seg2) (2)
3).- Clculo de la velocidad y aceleracin de C, tomando como punto base A y usando coordenadas polares:
eeeeVC &&&& 92.18+=+= (3) ( ) ( ) ( ) ( ) eeeeaC &&&&&&&&&&&&&& ++=++= 292.182 22 (4)
4).- Ecuaciones de compatibilidad:
r = 7 in
P1-5
P1-5a
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Autor: Ing. VICTOR MANU