Solucionario Cinematica A

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  • SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA

    _____________________________________________________________________

    Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

    PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA

    1-1.- El perno B del cigeal AB de radio r

    = 0.1 m se est moviendo en la ranura del

    brazo OC en la figura. Si en el instante

    dado: l = 0.24 m, = 30, = 4 rad/seg y = - 2 rad/seg2. Usando coordenadas cartesianas, calcular la velocidad y

    aceleracin del perno B.

    Solucin

    1).- Por interseccin de trayectorias (ver figura P1-1a):

    222 rYX =+ (1)

    XmXbY cot24.0 =+= (2) 2).- Derivando dos veces, con respecto al tiempo (1) y (2):

    0=+ YYXX && (3)

    XXY &&& cotcsc2 = (4)

    0222 =+++ YYYXXX &&&&& (5) ( )XXXXXY &&&&&&&&&& cotcsccsccsccotcsc2 22222 += (6)

    3).- Para el caso especfico de X = 0.1 sen30 = 0.05 m, Y = -0.1cos30 = -0.0866 m y = 8.702.-

    (4) en (3):

    ( ) 0cotcsc2 =+ XXYXX &&& ( ) XYYXX && 2csccot =

    P1-1a

    X

    Y

    l

    P1-1

  • SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA

    _____________________________________________________________________

    Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

    ( ) 229.10866.0*534.605.005.0*4*683.43*0866.0

    cot

    csc2=

    +=

    =

    YX

    XYX

    && m/seg

    En (4):

    707.0229.1*534.605.0*4*687.43 ==Y& m/seg

    jiVB 707.0229.1 += (m/seg) 42.1=BV m/seg

    (6) en (5):

    ( ) ( )2 2 2 2cot csc 2cot 2X X Y Y X X X X Y = & && &&& & & & ( )

    534.6*0866.005.0

    016.2229.1*4*205.0*205.0*16*534.6*2687.43*0866.0

    +

    +=X&&

    71.7= X&& m/seg2

    En (6):

    ( )43.687 2*6.534*16*0.05 2*0.05 2*4*1.229 6.534*7.71Y = + +&&

    18.82Y =&& m/seg2

    ( )7.71 18.82Ba i j = m/seg2 20.34Ba = m/seg2

    1-2.- El perno P en un mecanismo ser empujado hacia

    la derecha con una velocidad constante V = 2 m/seg.

    Usando coordenadas cartesianas, calcule la velocidad

    angular y la aceleracin angular del brazo OA para = 30, si l = 0.7 m.

    Solucin

    1).- Clculo del movimiento de P tomando como punto

    de referencia a O y aprovechando que l es constante:

    l

    P

    X

    Y

    P1-2

  • SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA

    _____________________________________________________________________

    Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

    Si: ll

    == tgXX

    tg (1)

    Derivando dos veces (1), respecto al tiempo:

    X

    senXXtgX

    cos0sec2&

    &&& ==+ (2)

    0secsec2*secsec 22222 =++++ &&&&&&&&& XtgXXXtgX ( )

    2

    222

    sec

    sec2sec2

    X

    tgXX &&&&& += (3)

    2) Para el caso especfico de = 30, 2==VX& m/seg y 0=X&& :

    21.17.0

    30 == XX

    tg m

    En (2):

    72.021.1

    30cos302=

    =sen& rad/seg

    En (3):

    ( )

    +=

    30sec*21.1

    72.0*3030sec21.1*272.0*30sec2*22

    222 tg&&

    78.1= && rad/seg2

    1-3.- El movimiento tridimensional de una partcula est definida por el vector posicin

    ( ) ( ) ( ) kptRjCtiptsenRr cos++= . La curva descrita en el espacio por la partcula es una hlice. Determine el radio de curvatura de dicha hlice.

    Solucin

    Si:

    3

    1

    r

    rxr

    C &

    &&&

    =

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    Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

    et

    eoC

    A B

    en

    e

    kRpsenptjCiptRpr += cos&

    ( )[ ] ( ) 212222122222 cos CpRCptsenptpRr +=++=& kptRpisenptRpr cos22 =&&

    ptRpsenptRp

    psenptRCptRp

    kji

    rxr

    cos0

    cos

    22

    =&&&

    ( ) ksenptCRpjptpRptsenpRiptCRprxr 22322322 coscos +++=&&&

    ( ) ( ) ( )2

    1

    3222

    2422

    3222

    64

    3222

    2422

    3

    cos1

    ++

    ++

    +==

    CpR

    ptsenpRC

    CpR

    pR

    CpR

    ptpRC

    r

    rxr

    C &

    &&&

    ( )( ) ( )222

    2

    3222

    222241

    CRp

    Rp

    CpR

    CpRRp

    C +=

    +

    +=

    Rp

    CR

    Rp

    CRpC 2

    2

    2

    222

    +=+

    = (Unid. de longitud)

    1-4.- Si la velocidad angular AC = 5 /seg y la aceleracin angular AC = - 2/seg

    2. Usando

    coordenada tangencial y normal y/o polar, determine

    la aceleracin angular del actuador hidrulico BC y la

    razn de cambio de su razn de extensin.

    Solucin

    1).- Orientacin de los vectores unitarios, que definen

    las coordenadas pedidas (ver figura P1-4a):

    54.36.24.2 22 =+=ACr m

    P1-4

    P1-4a

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    Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

    683.2=BC m

    = 43.63 , = 71.42 y = 72.20

    2).- Clculo del movimiento de C tomando como punto de referencia A en coordenadas tangencial y

    normal:

    tttACACC eeerV 309.054.3*180

    *5 ===pi

    (1)

    ntnACACtACACC eeerera 54.3*180

    *554.3*180

    *2

    2

    2

    +=+=

    pipi

    ntC eea 027.0124.0 += (m/seg) (2)

    3).- Clculo del movimiento de C tomando como punto de referencia B, en coordenadas polares, para luego

    transformarle en tangencial y normal:

    nt eesene cos= y nt esenee += cos

    a).- Clculo de la velocidad angular de BC y su razn de extensin:

    eeV BCBCC && +=

    ( ) ( )ntBCntBCC eseneeesenV ++= coscos && ( ) ( ) nBCBCtBCBCC esenesenV coscos &&&& ++= (3)

    (1)= (3) e igualando componentes:

    ( ) sensen BCBC *cos0 && = (4) ( ) cos*cos309.0 senBCBC && += (5)

    (4) + (5) &BC=cos309.0

    1077.0683.2

    72.20cos309.0=

    =& rad/seg 172.6= /seg

    En (4):

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    Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

    109.072.201077.0*683.2 === tgtgBCBC && m/seg

    b).- Clculo de la aceleracin angular de BC y la razn de cambio de su razn de extensin:

    ( ) ( ) eea BCBCBCBCC &&&&&&& ++= 22 ( ) ( ) ( ) ( )ntBCBCntBCBCC eseneeesena +++= cos2cos2 &&&&&&& ( ) ( )[ ] +++= tBCBCBCBCC esena cos22 &&&&&&& ( ) ( )[ ] nBCBCBCBC esen &&&&&&& ++ 2cos2 (6)

    (2)= (6) e igualando componentes:

    ( ) ( )[ ] cos*cos2124.0 2 &&&&&&& BCBCBCBC sen ++= (7) ( ) ( )[ ] sensenBCBCBCBC *2cos027.0 2 &&&&&&& ++= (8)

    (7) + (8):

    &&&& BCBCsen += 2cos124.0027.0

    683.2

    1077.0*109.0*272.20cos124.072.20027.0 =

    sen&&

    0484.0=&& rad/seg2 77.2= /seg2

    En (7):

    ( )

    sen

    sen BCBCBCBC

    cos2124.02 &&&&&&&

    +=

    ( )

    =

    72.20

    72.20cos0484.0*683.21077.0*109.0*2124.072.201077.0*683.2 2

    sen

    senBC&&

    0381.0=BC&& m/seg2

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    Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

    3.5"

    15"

    e

    e

    te

    on

    B

    A

    3.94" 6.06"

    C

    77.98

    e

    60

    17.98

    1-5.- El brazo BC gira en sentido horario a 200 RPM,

    el perno C en el extremo de este brazo desliza en la

    ranura del elemento AD. Usando coordenadas

    tangencial y normal y/o polares, calcule & y && para = 30.

    Solucin

    1).- Direcciones de los vectores unitarios, que

    definen las coordenadas tangencial y normal, y polar

    (ver figura P-5a):

    2).- Clculo de la velocidad y aceleracin de C,

    tomando como punto base B y usando coordenadas

    tangencial y normal:

    ttCc eerV 7*30

    *200pi ==

    &

    tCc eV 6.146= (plg/seg) (1)

    }

    nnntC eeerera 54.30707*3

    202

    2

    0

    =

    =+=

    pi &&& (plg/seg2) (2)

    3).- Clculo de la velocidad y aceleracin de C, tomando como punto base A y usando coordenadas polares:

    eeeeVC &&&& 92.18+=+= (3) ( ) ( ) ( ) ( ) eeeeaC &&&&&&&&&&&&&& ++=++= 292.182 22 (4)

    4).- Ecuaciones de compatibilidad:

    r = 7 in

    P1-5

    P1-5a

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    Autor: Ing. VICTOR MANU