EXAMEN « Magnétisme et Supraconductivité

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EXAMEN « Magnétisme et Supraconductivité » Vendredi 11 JANVIER 2013 De 14h00 à 17h00 Problème 1 : Chaleur Spécifique d’un Supraconducteur 1. Préliminaire : entropie d’un métal normal On considère un métal dans son état normal à une température T et en équilibre thermodynamique avec un réservoir de potentiel chimique μ. La fonction de Fermi Dirac : ! ! = ! ! ! ! ! ! (où ! = ε ! et ! = ! ! !) est la fonction de distribution qui maximise l’entropie du système définie par ! = ! ! !" !. Les états d’énergie d’un métal forment un quasi-continuum si bien que par commodité nous les regrouperons par « fagots » contenant g i états et n i électrons tels que : ! ! ! !,! . Les indices q et σ correspondent respectivement au moment et au spin de chaque état électronique. 1.1 Déterminer le nombre possible d’arrangements des n i électrons dans les g i états par « fagot ». 1.2 Montrer que !" ! ! = ! ! !" !" !" !" !" + 1 !" !" !" 1 !" !" . On pourra utiliser l’approximation de Stirling : !" !! = !(!" ! 1) 1.3 En déduire que l’entropie s’exprime comme : ! = ! ! ! ! !,! !" ! ! + 1 ! ! !"(1 ! ! ) 2. Chaleur spécifique d’un supraconducteur à basse température Nous admettrons que l’entropie associée aux états excités d’un supraconducteur est équivalente à celle d’un métal à ceci près que ! est remplacé par ! ! = ! ! +! ! dans l’expression de ! ! . Le gap supraconducteur ! est dépendant de la température. 2.1 On rappelle que la chaleur spécifique à volume constant est définie par: ! ! = !( !" !" ) . Montrer que la chaleur spécifique dans un supraconducteur peut s’exprimer comme : ! ! ! = ! ! !! ! !" ! et puis comme : ! ! ! = 2! ! ! ! ! ! ! !! ! ( ! ! ! ! - !! ! !" ) 2.2 Nous considérons le cas où la température est proche de zéro. Le gap supraconducteur peut alors être assimilée à une constante telle que : ! 0 = ! . Montrer que la chaleur spécifique d’un supraconducteur à basse température

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EXAMEN « Magnétisme et Supraconductivité »

Vendredi 11 JANVIER 2013

De 14h00 à 17h00 Problème 1 : Chaleur Spécifique d’un Supraconducteur

1. Préliminaire : entropie d’un métal normal

On considère un métal dans son état normal à une température T et en équilibre thermodynamique avec un réservoir de potentiel chimique µ. La fonction de Fermi Dirac :  !! =

!!�!!  !  !

(où      �! =  ε! − µμ et ! = !!!) est la fonction de distribution qui maximise l’entropie du système définie par ! = !!!"  !. Les états d’énergie d’un métal forment un quasi-continuum si bien que par commodité nous les regrouperons par « fagots » contenant gi états et ni électrons tels que :

≡ !!!!,! . Les indices q et σ  correspondent respectivement au moment et au spin de chaque état électronique. 1.1 Déterminer le nombre possible d’arrangements des ni électrons dans les gi états par « fagot ».

1.2 Montrer que !" !! = −!!!"!"!" !"

!"+   1− !"

!"!" 1− !"

!".  

On pourra utiliser l’approximation de Stirling : !" !! = !(!" ! − 1) 1.3 En déduire que l’entropie s’exprime comme : ! = −!! !!!,! !" !! +1− !! !"(1− !!)

2. Chaleur spécifique d’un supraconducteur à basse température

Nous admettrons que l’entropie associée aux états excités d’un supraconducteur

est équivalente à celle d’un métal à ceci près que  �! est remplacé par        !! =

�!!  +∆!! dans l’expression de  !!. Le gap supraconducteur ∆!  est dépendant de la

température. 2.1 On rappelle que la chaleur spécifique à volume constant est définie par:

!! = !(!"!"

) . Montrer que la chaleur spécifique dans un supraconducteur peut

s’exprimer comme : !!! = !!!!!!"!

et puis comme : !!! = 2! !!!!!!!!!(!!!! -  !!!

!")

2.2 Nous considérons le cas où la température est proche de zéro. Le gap

supraconducteur peut alors être assimilée à une constante telle que : ∆ ! → 0 =∆!. Montrer que la chaleur spécifique d’un supraconducteur à basse température

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s’exprime comme : !!! = 2 2!!(0)!!∆!!/!!!/!!!!/∆!. On justifiera le choix

d’une densité d’états prise comme constante au niveau de Fermi ainsi que le choix:    �! ≪ ∆! . On rappelle que : !!!!!" = √!

!!!

2.3 A partir de la dépendance en température de chaleur spécifique représentée sur la

Figure 1.1 déterminer en meV l’énergie du gap supraconducteur de l’Aluminium. Montrer en utilisant l’équation de la question 2.1 que la dépendance en température de la chaleur spécifique dans l’état normal notée !!!   est linéaire. Tracer l’allure des courbes !!!/!   et !!!/! puis de !!   et !!      l’entropie de l’état supraconducteur est elle plus grande ou plus faible que celle de l’état normale ?

3. Chaleur spécifique d’un supraconducteur à l’approche de Tc. Considérons le cas où la température est proche de la température critique de transition du supraconducteur TC. Le gap supraconducteur ne peut plus être considéré comme constant et nous admettrons qu’il varie à l’approche de TC (T<TC) comme : ∆!= (1− !

!")∆!!.

3.1 Montrer alors que : !!!!"

=   !!!!

!∆!!

!" et en déduire que : (!!!-!!!)!!!" =  

!(!)!"

Expliquer la discontinuité observée sur la courbe de chaleur spécifique de la Figure 1. 3.2 Sur la Figure 1.2, la chaleur spécifique présente une dépendance en température

cubique pourquoi ? Pourquoi le saut de chaleur spécifique dans l’état supraconducteur est-il moins visible que sur la Figure 1.1 ?

Fig.1. (a) Chaleur spécifique dans l’état supraconducteur de l’Aluminium comparé à l’état normal (Pool page 96) (b) Chaleur spécifique de LSCO dans l’état supraconducteur. L’encadré fait un zoom proche de la température critique à 40K.