Matemtica

14

PREGUNTA N. 21En un cono circular recto la generatriz mide 12 cm y una cuerda de la circunferencia de la base mide 16 cm. Si la distancia del centro de dicha circunferencia a la cuerda es 4 cm, entonces el volumen del cono (en cm3) es:

A) 640

3

B) 641

3

C) 642

3

D) 643

3

E) 644

3

Resolucin

Tema: Cono de revolucin

Anlisis y procedimientoSe pide el volumen del cono V.

A

M48

8

BB

V

54O

r

12 12h

V =r h2

3 (I)

OM AB MB MA = = 8

OMB: OB = 4 5

n el VOB: h22 24 5 12+ ( ) =

h=8

Reemplazando en (I)

V =

( ) 4 5 83

2

V =

6403

Respuesta640

3

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N. 22Considere dos esferas tangentes exteriormente, cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectivamente. Calcule el volumen (en cm3) del cono circular recto circunscrito a las dos esferas.

A) 80 B) 81 C) 82 D) 83 E) 84

Resolucin

Tema: Esfera

R

h

Vcono =R h2

3

ect

nsideuyos radalcule el v

o circu

N. 22feras tan

NTAos es

os midenl

ntono V

PREGC

Matemtica

15

Anlisis y procedimientoNos piden Vcono.

A

r

12

30

30

M

NO1

O2

2

3

3

1

V

R

T

H

33

Datos: Las esferas tangentes exteriores estn inscritas en el cono de revolucin.

Adems, r=1 y R=3

O1O2H: Not. de 30 y 60

m HO1O2=30

Como O H VM1 // , entonces

m TVA=30

En VTA: TA = 3 3

Vcono =

( ) 3 3 93

2

Vcono=81

Respuesta81

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N. 23En una pirmide regular de base cuadrangular, el punto medio de la altura dista de una cara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respectivamente. Calcule la altura (en u) de la pirmide.

A) 6 2

B) 12 2

C) 18 2

D) 24 2

E) 34 2

Resolucin

Tema: Slidos geomtricos (pirmide)

ah

b

1 1 12 2 2h a b

= +

Anlisis y procedimientoPiden OP

OP=2h

2m

mm FF

66hh

88

BBGG

hh

OO 2m2m M

C

DA

E

P

222m2m

hb

a

y 60

teriores estn ucin

a: Slid

s

T

Matemtica

16

Como O: Centro del cuadrado ABCD

= ( )OA OM2

GE // AO y GF // OM

Por teora de la base media

AO=2(EG)

OM=2(GF)

EGP:1

8

1 1

22 2 2= + ( )h m

FGP: 1

6

1 12 2 2= +h m

1

641 1

22 2= +

h m (I)

136

1 12 2= +h m

(II)

!"#$%"##$

h = 12 2

=OP 24 2

Respuesta

24 2

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N. 24En la figura, C1 es un cilindro circular recto de radio R y altura h. Si en C1 se inscribe un prisma regular cuadrangular y luego en este prisma se inscribe un cilindro circular recto C2 y as se repite el proceso obteniendo los cilindros C3, C4, C5, ...

Si el cilindro C21&su rea lateral, entonces el rea lateral de C1 es:

C2

C1

...

A) R2

402( )

B) R2

302( )

C) R2

202( )

D) R2

152( )

E) R2

102( )

Resolucin

Tema: Cilindrorea de la superficie del cilindro

h

rea total

AST=2R2+2Rh

rea de la superficie lateral

ASL=2Rh

% "##$

D) (

E)

R2

15)2 (

( 2

C)R2

20( )

Matemtica

17

Anlisis y procedimientoNos piden ASL de C1.

C2

C1h

...

R

Dato: En el cilindro 21 se tiene

AT(C21)=3ASL(C21)

Sea R21 el radio de la base del cilindro 21.

Entonces en el dato tenemos

2(R21)2+2(R21)h=3(2(R21)h)

R21=2h

hR

=21

2 (I)

Luego ASL(C1)=2Rh (II)

Reemplazando (I) en (II) tenemos

ASL(C1)=R(R21) (III)

Hallando R21 en funcin de R tenemos lo si-guiente.Analizamos las bases.

C1C2

C3

R1=R

2R

R2R2

R4=2R

2

R3=R/2R3=R/2

R2=R2=22RR

22

'*

C1 R1=R

C2 R2=R 2

2

C3 R3=R2

C4 R4=R 2

4

C5 R5=R4

7

C R

R R21 21 101024 2

= =

RR

21 102= (IV)

;"#

Matemtica

18

Resolucin

Tema: Polgonos regulares;

A

B

CD

E

F

G

ABCDEFG...: polgono regular

m m mAB BC CD = = = ...

Anlisis y procedimientoPiden PF.

'* m m mBC CD DE = = = BCE

+ =2

90 =60

A

B

C D

E

F

P

2 3

2 3

/2

22

22

22

226060

30

3030

CEF=90 y del PEF

PF( ) = + ( )2 2 22 4 3 PF = 2 13

Respuesta

2 13

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N. 26Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O, respectivamente, son tangentes exteriormente en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P y desde O se traza una tangente a C1 en Q (OP no se interseca con OQ$>PQ se interseca con OO en T, entonces la relacin de los radios de dichas circunferencias es:

A) 13

B) 12

C) 1

D) 2 E) 3

Resolucin

Tema: Circunferencia

Circunferencias tangentes exteriores

P

Q

r RT

S

m mQT TP =

Anlisis y procedimiento

Piden rR

P

Q

r

r R

R

O'OT

D

3

angentes

2 2

222222222303

=60

Circu

ma: Circu

nferenciaDD

R

mDE

Matemtica

19

Debido a la propiedad m mQT TP , tenemos

mPQO=mQPO=

En P, +=90

mQOP=90

Luego, OPOQ es un rectngulo

r=R

rR 1

Respuesta1

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N. 27En un rectngulo ABCD, M y N son puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente, tales que AM 2 2 cm y BN 17 cm . Si P es el punto de interseccin de los segmentos AM y BN, entonces el valor de PM+PN en cm es:

A) 2 2 17

5

B) 2 2 2 17

5

C) 3 2 17

5

D) 2 2 3 17

5

E) 3 2 3 17

5

Resolucin

Tema: Semejanza de tringulos

Anlisis y procedimiento

2a

a

2a

2b

2b

b

M

Q

C

D

NNPP

B

4m4m

m

3x3x2x2x

bbRA

a

Nos piden PM+PN

Datos AM BN 2 2 17;

Se observa que BPM y RPA son semejantes, entonces PM=m; AP=4mPero

AM 2 2

m m m+ = =4 2 2

2 25

Tambin BPA y NPQ son semejantes, entonces BP=2x; PN=3xPero

BN 17

2 3 17

175

x x x+ = =

Luego

PN

3 175

PM PN+ =+2 2 3 175

Respuesta2 2 3 17

5

ALTERNATIVA D

17 cms segmenPM

amen. Si Pnto

PMero

AM 2

BPM y M

mAP=

Ncin de valor de

D, M y M N ND res

Se obseen

osAM 2 22

erva

CVA C

Matemtica

20

PREGUNTA N. 28En una circunferencia de 10 cm de radio, dos cuerdas se cortan de manera que el producto de los segmentos que cada una determina sobre s es 1296 cm4. Determine a qu distancia (en cm) del centro se halla el punto de interseccin.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Resolucin

Tema: Relaciones mtricas en la circunferencia

Recordemos el teorema de las cuerdas en la circunferencia.

ab=cd

a

c

d

b

Anlisis y procedimientoDato:

abcd=1296 y R=10

d

a

R

R

Ox

bc

(R x)

Nos piden x.Por teorema de las cuerdas tenemos (R+x)(R x)=ac (I)Tambin ac=bd

En el dato (ac)(bd)=1296 (ac)2=1296

Luego ac=36 y R=10

En (I) tenemos (10+x)(10 x)=36

Resolviendo x=8.

Respuesta8

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N. 29Los dimetros AB y CD de una circunferencia son perpendiculares. Si E BD, AE interseca a CD en el punto F y FD=1 cm, entonces la longitud de la circunferencia circunscrita al tringulo FED (en cm) es:

A) 2 B) 2 2 C) 2 3 D) 3 2 E) 3 3

Resolucin

Tema: Circunferencia y figuras circunscritasSe sabe que la longitud de una circunferencia de radio R es igual a 2R.

ab=cd

d

b

Re8

endo

puesta

Re

en ldas

a

Matemtica

21

Anlisis y procedimientoNos piden la longitud de la circunferencia circunscrita al EDE=2R.

Datos:

A B

C

D

E

F

1R

RR

O 45

9090

45

Sea R la longitud del radio de la circunferencia circunscrita y DF=1 cm.

Por teorema del inscrito:

m AED=45

mDF 90

En el DOF:

notable 45, R 2

2

Luego la longitud de la circunferencia es igual a

22

2

2

Respuesta

2

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N. 30El volumen y el rea lateral de un prisma recto de base triangular son 50 m3 y 200 m2, respectiva-mente. Calcule el radio (en m) de la circunferencia inscrita en la base del prisma.

A) 0,25 B) 0,5 C) 1 D) 2 E) 3

Resolucin

Tema: Prisma rectoSe sabe que A =pr

A

B Ca

bcrr

donde

p

a b c=

+ +

2

Anlisis y procedimientoDatos V=50 m2

ASL=200 m2

AA

B Crr

Se pide rDel primer dato (pr)h=50 m2 (I)

Del segundo dato 2ph=200 m2 (II)

Del (I)(II) r=0,5

Respuesta0,5

ALTERNATIVA B

cedimiem2

0 m2=50

=200

B

circunferencia

AnlDatos

isis y pr

Matemtica

22

PREGUNTA N. 31En un tringulo ABC en el espacio, la altura relati-va a AC es 5 3 cm. Sus vrtices A y C estn en un plano horizontal P y el vrtice B es exterior a P de modo que el diedro B-AC-B' (B' es la proyeccin de B sobre P) mide 37. Si AB'=10 cm, entonces la longitud de AB (en cm) es:

A) 10

B) 10,6

C) 127

D) 5 6

E) 6 5

Resolucin

Tema: Geometra del espacio (ngulo diedro)Cuando se pide calcular la medida de un ngulo diedro, recuerde que podemos utilizar el teorema de las tres rectas perpendiculares, y en el caso de que dicha medida sea dato, tambin podemos usar el teorema.

Anlisis y procedimientoPiden AB.

AB=x

B

x

AA

CC

MM

B'B'3737

1010

3355

33

B'M AC por teorema de las tres perpendiculares:

BM AC

'J

mBMB'=37

BB'M: notable de 37 y 53

MB BB= =5 3 3 3'

' AB'B:

x2 2 23 3 10= ( ) +

x = 127

Respuesta

127

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N. 32Las diagonales de un trapecio dividen a este en cuatro tringulos. Si las reas de los tringulos adyacentes a las bases son A1 y A2, entonces el rea total del trapecio en funcin de A1 y A2 es:

A) A A A A1 2 1 2+ +

B) 2 1 2A A

C) A1A2

D) A A1 22

+( ) E) A A A A1 2 1 2+

Resolucin

Tema: rea de regiones cuadrangularesRecuerde que si BC // AD

A D

B C

BBAA

A=B

dyacenrea total d

e un trape. Si las r

ases sogulosa las b

del trap

ar el tey en el ca

n podem

ngulo orema

o de aresato, tamb

PRLas diacu

EGUNTAgonedid

s u

dro)

da d

ulo

e

o died

Matemtica

23

BBCC

DD

AA

Se cumple que AC= BD

Anlisis y procedimientoNos piden A ABCD.

M O M

A1A1

A2A2

A D

B C

'* A ABO=A COD=M

A ABCD=A1+A2+2M (I)

A1A2=MM

M = A A1 2 (II)

;"##$"#$

A ABCD= A A A A1 2 1 22+ +

A ABCD= A A1 22

+( )Respuesta

A A1 22

+( )ALTERNATIVA D

PREGUNTA N. 33En la figura, O es el centro del crculo trigonom-

trico. Si OA=1 u y tan , = 33

calcule el rea de

la regin sombreada (en u2).

OO A

. A) 79

B) 56

C) 67

D) 78

E) 89

Resolucin

Tema: rea del sector circular

De

rr

SS

S=r2

Adems

3a

a2a

30

(I)

D)78

)8

A2AA +2M

D

M

9

B)56

Matemtica

24

Anlisis y procedimiento

30303030

30302r2r

11

rr

Y

X

C2

C1

Del dato

tan = 3

3

=30

Si r es el radio de C 2, segn el grfico se tiene

3r=1

r =13

Por lo tanto

A somb.=AC1 AC2

= ( ) 1 132

2

=89

Respuesta89

ALTERNATIVA E

PREGUNTA N. 34En la circunferencia trigonomtrica de la figura

mostrada, el arco 2

; , calcule el rea de

la regin sombreada. AM =

OA

X

Y

M

A) 12

12

coscos

B) 21

coscos

C) 12

21

coscos

D) 12

21

+

coscos

E) 12

12

+

coscos

Resolucin

Tema: Circunferencia trigonomtrica

Anlisis y procedimientoSe pide rea ABC

Del grfico

BHO CPO

=

cos1

1 hh

11

=cosh

=

h1

1 cos

D)

E) 1

sos

21

+

ccos

o se tiene

1

C)12

21

el grf

Matemtica

25

Y

XPP

4545

4545

hh

hh

1 h1 h A

B

C

M

OH

cos

1

A ABC=A AOB+A OCA

A ABC=1 1

212

11

+

( )cos

= +

12 11

1 cos

=

1221

coscos

Respuesta

12

21

coscos

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N. 35

Si tan tan ,47

37

xa

xb = =y entonces al

simplificar

E a b xx

= ( ) 1 72 2 tan( ) tan ; se obtiene:

A) a b

B) a2 b2

C) a+b

D) ab

E) a/b

Resolucin

Tema: Identidades trigonomtricas de arcos compuestos

Se sabe que

tantan tan

tan tanx y

x yx y

+( ) = +1

tantan tan

tan tanx y

x yx y

( ) = +1

Anlisis y procedimientoPiden simplificar la expresin E.

E a b x

x= ( ) ( ) 1 72 2 tan tan

Dato:

tan47x

a = y tan 37x

b =

Entonces

E a b

x x x x= ( ) + 1 47

37

47

37

2 2 tan tan

E a b

a bab

a bab

= ( ) +

+ 1 1 12 2

E a ba b

a b= ( ) ( )

( )1 12 2

2 2

2 2

Finalmente

E=a2 b2

Respuesta

a2 b2

ALTERNATIVA B

TIVA

an

onces

y tana =

ALTERN

Dato

(

s

Matemtica

26

PREGUNTA N. 36

Si x

;54

, determine el rango de la funcin

f x x x( ) = +1 2 sen cos

A) 02

2;

B) 0; 1

C) 0 2;

D) 0 3;

E) 0 2 1;

Resolucin

Tema: Funciones trigonomtricas

Anlisis y procedimientoPiden el Ran(f ).

f x x xx( ) = + < 1

1 > 1 sen2x > 0

1 > 1 2 sen x > 0

1 > f(x) > 0

Ran(f )=0; 1

Respuesta0; 1

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N. 37Para 0 < x < 1, resuelva la ecuacin

arccot arctanxx

=

11

A) +1 5

2 B)

+1 42

C) +1 3

2

D) +1 2

2 E)

+2 22

Resolucin

Tema: Funciones trigonomtricas inversas

arccot( ) arctan ;xx

x= >1 0

ax bx c xb b ac

a2

20

42

+ + = =

Anlisis y procedimientoDe la condicin

arccot arctan ;x

xx=