EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2011-II GEOMETRIA TRIGONOMETRIA-SOLUCIONARIO-ACADEMIA CESAR VALLEJO

Matemática

14

PREGUNTA N.º 21En un cono circular recto la generatriz mide 12 cm y una cuerda de la circunferencia de la base mide 16 cm. Si la distancia del centro de dicha circunferencia a la cuerda es 4 cm, entonces el volumen del cono (en cm3) es:

A) 640

3π

B) 641

3π

C) 642

3π

D) 643

3π

E) 644

3π

Resolución

Tema: Cono de revolución

Análisis y procedimientoSe pide el volumen del cono V.

A

M48

8

BB

V

54O

r

12 12h

�� V =πr h2

3 (I)

�� OM AB MB MA⊥ → = = 8

OMB: OB = 4 5

�� n el VOB: h2 2 24 5 12+ ( ) = � h=8

Reemplazando en (I)

V =

( ) ×π 4 5 83

2

V = 640

3π

Respuesta640

3π

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 22Considere dos esferas tangentes exteriormente, cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectivamente. Calcule el volumen (en cm3) del cono circular recto circunscrito a las dos esferas.

A) 80� B) 81� C) 82� D) 83�� E) 84�

Resolución

Tema: Esfera

R

h

Vcono = πR h2

3

ect

nsideuyos radalcule el v

o circu

N.º 22feras tan

NTAos es

os midenl

ntono V

PREGC

Matemática

15

Análisis y procedimientoNos piden Vcono.

A

r

12

30º

30º

M

NO1

O2

2

3

3

1

V

R

T

H

33

Datos: Las esferas tangentes exteriores están inscritas en el cono de revolución.

Además, r=1 y R=3

��

O1O2H: Not. de 30º y 60º

m� HO1O2=30º

Como O H VM1 // , entonces

m� TVA=30º

En VTA: TA = 3 3

Vcono =

( ) ×π 3 3 93

2

Vcono=81�

Respuesta81�

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 23En una pirámide regular de base cuadrangular, el punto medio de la altura dista de una cara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respectivamente. Calcule la altura (en u) de la pirámide.

A) 6 2

B) 12 2

C) 18 2

D) 24 2

E) 34 2

Resolución

Tema: Sólidos geométricos (pirámide)

��

ah

b

1 1 12 2 2h a b

= +

Análisis y procedimientoPiden OP

OP=2h

2m

mm FF

66hh

88

BBGG

hh

OO 2m2m M

C

DA

E

P

222m2m

hb

a

º y 60º

teriores están ución

a: Sólid

��

s

T

Matemática

16

Como O: Centro del cuadrado ABCD

→ = ( )OA OM2

��

GE // AO y GF // OM

Por teoría de la base media

AO=2(EG)

OM=2(GF)

��

EGP:1

8

1 1

22 2 2= +

( )h m

FGP: 1

6

1 12 2 2= +

h m

��

1

641 1

22 2= +h m

(I)

136

1 12 2= +

h m (II)

�� !��"#$�%�"##$

h = 12 2

∴ =OP 24 2

Respuesta

24 2

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N.º 24En la figura, C1 es un cilindro circular recto de radio R y altura h. Si en C1 se inscribe un prisma regular cuadrangular y luego en este prisma se inscribe un cilindro circular recto C2 y así se repite el proceso obteniendo los cilindros C3, C4, C5, ...

Si el cilindro C21�� &��su área lateral, entonces el área lateral de C1 es:

C2

C1

...

A) πR2

402( )

B) πR2

302( )

C) πR2

202( )

D) πR2

152( )

E) πR2

102( )

Resolución

Tema: Cilindro

Área de la superficie del cilindro

h

Área total

AST=2�R2+2�Rh

Área de la superficie lateral

ASL=2�Rh

% "##$

D)(

E)π

R2

15)2

(

( 2

C)πR2

20( )

Matemática

17

Análisis y procedimientoNos piden ASL de C1.

C2

C1h

...

R

Dato: En el cilindro 21 se tiene

AT(C21)=3ASL(C21)

Sea R21 el radio de la base del cilindro 21.

Entonces en el dato tenemos

2�(R21)2+2�(R21)h=3(2�(R21)h)

R21=2h

hR

= 21

2 (I)

Luego ASL(C1)=2�Rh (II)

Reemplazando (I) en (II) tenemos

ASL(C1)=�R(R21) (III)

Hallando R21 en función de R tenemos lo si-guiente.Analizamos las bases.

C1C2

C3

R1=R

2R

R2R2

R4=2R

2

R3=R/2R3=R/2

R2=R2=22RR

22

'��*��

C1 � R1=R

C2 � R2=R 2

2

C3 � R3=R2

C4 � R4=R 2

4

C5 � R5=R4

��

��7��

C R

R R21 21 101024 2

→ = =

� RR

21 102= (IV)

;��"#<$��"###$��

A SL C R

R1 210( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

π

∴ ( ) =( )

A SL CR

1

2

202

π

Respuesta

πR2

202( )

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N.º 25En la figura ABCDEF.... es un polígono regular cuyo lado mide 2 cm. Calcule PF (en cm).

A) 4 3

A

B

C D

E

F

P

B) 2 13

C) 3 6

D) 6 2

E) 4 6

Res

∴ (A SL

pu

RR

2 0⎛⎝⎜⎛⎛⎝⎝

⎞⎠⎟⎞⎞⎠⎠

R2

)

) (Rπ

tenemos

(III)

R te

)

(

;

A

212

=

��

�(R

�

21.

Matemática

18

Resolución

Tema: Polígonos regulares

;��

A

B

CD

E

F

G

�

��

�

�

�

�

��

�

�

ABCDEFG...: polígono regular

m m mAB BC CD� � �= = = ...

Análisis y procedimientoPiden PF.

�� '��*�� m m mBC CD DE� � �= = = α

�� BCE

α α+ =2

90º � �=60º

A

B

C D

E

F

P

2 3

2 3

�

�

� �/2

�

�

22

22

22

2260º60º

30º

30º30º

�� CEF=90º y del PEF

PF( ) = + ( )2 2 22 4 3

� PF = 2 13

Respuesta

2 13

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 26Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O’, respectivamente, son tangentes exteriormente en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P y desde O’ se traza una tangente a C1 en Q (OP no se interseca con O’Q$>�� PQ se interseca con OO’ en T, entonces la relación de los radios de dichas circunferencias es:

A) 13

B) 12

C) 1

D) 2 E) 3

Resolución

Tema: Circunferencia

Circunferencias tangentes exteriores

P

Q

r RT

S��

m mQT TP� �=

Análisis y procedimiento

Piden rR

P

Q

r

r R

R

O'OT

��

��

D

3

angentes

2 2

�222222222

30º3 º

=60º

Circu

ma: Circu

nferenciaDD

R

mD�E�

Matemática

19

Debido a la propiedad m mQT TP� �� , tenemos

m��PQO’=m�QPO=�

En P, �+�=90º

� m�QO’P=90º

Luego, OPO’Q es un rectángulo

� r=R

� rR� 1

Respuesta1

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N.º 27En un rectángulo ABCD, M y N son puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente, tales que AM � 2 2 cm y BN � 17 cm . Si P es el punto de intersección de los segmentos AM y BN, entonces el valor de PM+PN en cm es:

A) 2 2 17

5

B) 2 2 2 17

5

C) 3 2 17

5

D) 2 2 3 17

5

E) 3 2 3 17

5

Resolución

Tema: Semejanza de triángulos


2a

a

2a

2b

2b

b

M

Q

C

D

NNPP

B

4m4m

m

3x3x2x2x

bbRA

a

Nos piden PM+PN

Datos AM BN� �2 2 17;

Se observa que ��BPM y � RPA son semejantes, entonces PM=m; AP=4mPero

AM � 2 2

m m m+ = → =4 2 2

2 25

También ��BPA y � NPQ son semejantes, entonces BP=2x; PN=3xPero

BN � 17

2 3 17

175

x x x+ = → =

Luego

PN � 3 17

5

� PM PN+ = +2 2 3 175

Respuesta2 2 3 17

5

ALTERNATIVA D

17 cms segmenPM

amen. Si Pnto

PMero

AM � 2

�BPM y M �

mAP=

Nción de valor de

D, M y M N ND res

Se obseen

osAM � 2 22

erva

CVA C

Matemática

20

PREGUNTA N.º 28En una circunferencia de 10 cm de radio, dos cuerdas se cortan de manera que el producto de los segmentos que cada una determina sobre sí es 1296 cm4. Determine a qué distancia (en cm) del centro se halla el punto de intersección.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Resolución

Tema: Relaciones métricas en la circunferencia

Recordemos el teorema de las cuerdas en la circunferencia.

ab=cd

a

c

d

b

Análisis y procedimientoDato:

abcd=1296 y R=10

d

a

R

R

Ox

bc

(R – x)

Nos piden x.Por teorema de las cuerdas tenemos (R+x)(R – x)=ac (I)También ac=bd

En el dato (ac)(bd)=1296� (ac)2=1296

Luego ac=36 y R=10

En (I) tenemos (10+x)(10 – x)=36

Resolviendo x=8.

Respuesta8

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N.º 29Los diámetros AB y CD de una circunferencia son perpendiculares. Si E BD��, AE interseca a CD en el punto F y FD=1 cm, entonces la longitud de la circunferencia circunscrita al triángulo FED (en cm) es:

A) � 2 B) 2 2� C) 2 3� D) 3 2� E) 3 3�

Resolución

Tema: Circunferencia y figuras circunscritas

Se sabe que la longitud de una circunferencia de radio R es igual a 2�R.

ab=cd

d

b

Re8

endo

puesta

Re

en ldas

a

Matemática

21

Análisis y procedimientoNos piden la longitud de la circunferencia circunscrita al EDE=2�R.

Datos:

A B

C

D

E

F

1R

RR

O 45º

90º90º

45º

Sea R la longitud del radio de la circunferencia circunscrita y DF=1 cm.

Por teorema del ��inscrito:

m� AED=45º

� mDF� � 90º

En el DOF:

notable 45º, R � 22

Luego la longitud de la circunferencia es igual a

22

2π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

� � 2

Respuesta

� 2

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 30El volumen y el área lateral de un prisma recto de base triangular son 50 m3 y 200 m2, respectiva-mente. Calcule el radio (en m) de la circunferencia inscrita en la base del prisma.

A) 0,25 B) 0,5 C) 1 D) 2 E) 3

Resolución

Tema: Prisma recto

Se sabe que A =pr

A

B Ca

bcrr

donde

p

a b c= + +2

Análisis y procedimientoDatos V=50 m2

ASL=200 m2

AA

B Crr

Se pide rDel primer dato (pr)h=50 m2 (I)

Del segundo dato 2ph=200 m2 (II)

Del (I)÷(II) r=0,5

Respuesta0,5

ALTERNATIVA B

cedimiem2

0 m2=50

=200

B

circunferencia

AnálDatos

isis y pr

Matemática

22

PREGUNTA N.º 31En un triángulo ABC en el espacio, la altura relati-va a AC es 5 3 cm. Sus vértices A y C están en un plano horizontal P y el vértice B es exterior a P de modo que el diedro B-AC-B' (B' es la proyección de B sobre P) mide 37º. Si AB'=10 cm, entonces la longitud de AB (en cm) es:

A) 10

B) 10,6

C) 127

D) 5 6

E) 6 5

Resolución

Tema: Geometría del espacio (ángulo diedro)

Cuando se pide calcular la medida de un ángulo diedro, recuerde que podemos utilizar el teorema de las tres rectas perpendiculares, y en el caso de que dicha medida sea dato, también podemos usar el teorema.

Análisis y procedimientoPiden AB.

AB=x

B

x

AA

CC

MM

B'B'37º37º

1010

3355

33

�� B'M ��AC por teorema de las tres perpendiculares:

BM ��AC

�� '�� J

m�BMB'=37º

�� BB'M: notable de 37º y 53º

MB BB= → =5 3 3 3'

�� '�� AB'B:

x 2 2 23 3 10= ( ) +

� x = 127

Respuesta

127

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N.º 32Las diagonales de un trapecio dividen a este en cuatro triángulos. Si las áreas de los triángulos adyacentes a las bases son A1 y A2, entonces el área total del trapecio en función de A1 y A2 es:

A) A A A A1 2 1 2+ +

B) 2 1 2A A

C) A1A2

D) A A1 22

+( ) E) A A A A1 2 1 2+ −

Resolución

Tema: Área de regiones cuadrangulares

Recuerde que si BC // AD

A D

B C

BBAA

A=B

dyacenrea total d

e un trape. Si las ár

ases sogulosa las b

del trap

ar el tey en el ca

én podem

ángulo orema

o de aresato, tamb

PRLas diacu

EGUNTAgonedid

s u

dro)

da d

ulo

e

o died

Matemática

23

BBCC

DD

AA

Se cumple que A×C= B×D

Análisis y procedimientoNos piden A ABCD.

M O M

A1A1

A2A2

A D

B C

�� '��*�� A ABO=A COD=M

�� A ABCD=A1+A2+2M (I)

�� A1×A2=M×M

M = ×A A1 2 (II)

�� ;��"##$��"#$

A ABCD= A A A A1 2 1 22+ + ×

� A ABCD= A A1 22

+( )

Respuesta

A A1 22

+( )

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N.º 33En la figura, O es el centro del círculo trigonomé-

trico. Si OA=1 u y tan ,θ = 33

calcule el área de

la región sombreada (en u2).

OO�� A

. A) 79π

B) 56π

C) 67π

D) 78π

E) 89π

Resolución

Tema: Área del sector circular

De

rr

SS

S=�r2

Además

3a

a2a

30º

(I)

D)78

)8

π

A2AA +2M

D

M

9

B)56π

Matemática

24


30º30º30º30º

30º30º2r2r

11

rr

Y

X

C2

C1

Del dato

tanθ = 3

3

� � �=30º

Si r es el radio de C 2, según el gráfico se tiene

3r=1

� � r = 13

Por lo tanto

A somb.=AC1 – AC2

= ( ) − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟π π1

13

22

= 89π

Respuesta89π

ALTERNATIVA E

PREGUNTA N.º 34En la circunferencia trigonométrica de la figura

mostrada, el arco θ π π∈2

; , calcule el área de

la región sombreada. AM� = θ

OA

X

Y

M�

A) 12

12

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

θθ

B) 21

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

θθ

C) 12

21

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

θθ

D) 12

21

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

θθ

E) 12

12

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

θθ

Resolución

Tema: Circunferencia trigonométrica

Análisis y procedimientoSe pide Área ABC

Del gráfico

BHO � CPO

− = −cos θ

11 h

h

11− =cos θh

→ =−

h1

1 cos θ

D)

E) 1 ⎛⎛⎛

⎠⎠⎠s θ

⎞⎠⎞⎞⎞⎞⎠⎠⎞⎞⎞⎞os θ

θ21

+−

ccos

o se tiene

1⎝

C)12

21

−⎛⎛⎛

el gráf

Matemática

25

Y

XPP

45º45º

45º45º

hh

hh

1– h1– h A

B

C

M

OH

�

– cos�

1

A ABC=A AOB+A OCA

A ABC=1 1

212

11

× + ×−( )cosθ

= +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

11

1 cosθ

=−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

21

coscos

θθ

Respuesta

12

21−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

θθ

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N.º 35

Si tan tan ,47

37

xa

xb⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =y entonces al

simplificar

E a b xx= −( ) ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

72 2

· tan( ) · tan ; se obtiene:

A) a – b

B) a2 – b2

C) a+b

D) ab

E) a/b

Resolución

Tema: Identidades trigonométricas de arcos compuestos

Se sabe que

tantan tan

tan ·tanx y

x yx y

+( ) = +−1

tantan tan

tan tanx y

x yx y

−( ) = −+1

Análisis y procedimientoPiden simplificar la expresión E.

E a b x

x= −( ) ( ) ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

72 2 tan ·tan

Dato:

tan47x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = y tan

37x

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

Entonces

E a b

x x x x= −( ) +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

47

37

47

37

2 2 ·tan ·tan

E a b

a bab

a bab

= −( ) +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

1 12 2 · ·

E a ba b

a b= −( ) −( )

−( )1

1

2 22 2

2 2·

Finalmente

E=a2 – b2

Respuesta

a2 – b2

ALTERNATIVA B

TIVA

an ⎝

onces

y tan ⎛⎛⎛⎛⎛⎝⎝⎛⎛⎛⎛a⎞⎞⎞

⎠⎠⎞⎞⎞⎞ =

ALTERN

⎠⎠⎠θ

Dato

(

sθ⎞⎠⎞⎞⎞⎞⎠⎠⎞⎞⎞⎞

Matemática

26

PREGUNTA N.º 36

Si x ∈ π π;54

, determine el rango de la función

f x x x( ) = +1 2 sen ·cos

A) 02

2;

B) �0; 1

C) 0 2;

D) 0 3;

E) 0 2 1; �

Resolución

Tema: Funciones trigonométricas

Análisis y procedimientoPiden el Ran(f ).

f x x xx( ) = + < <1 2

54

sen cos ; π π

f x xx( ) = + −( )1 2 sen cos

f x xx( ) = − < <1 2 2 2

52

sen ; π π

Analizamos en una C.T.

12x

2�X

Y5� /2

sen2x

Del gráfico

0 < sen2x < 1

0 > – sen2x > – 1

1 > 1 – sen2x > 0

1 > 1 2� sen x > 0

1 > f(x) > 0

� Ran(f )=�0; 1

Respuesta�0; 1

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 37Para 0 < x < 1, resuelva la ecuación

arccot arctanxx

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

A) − +1 5

2 B)

− +1 42

C) − +1 3

2

D) − +1 2

2 E)

− +2 22

Resolución

Tema: Funciones trigonométricas inversas

�� arccot( ) arctan ;xx

x= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ >1

0

�� ax bx c xb b ac

a2

20

42

+ + = → = − ± −

Análisis y procedimientoDe la condición

arccot arctan ;x

xx=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

< <1

10 1

arctan arctan

1 11x x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A)−

x⎛⎝⎝⎝

⎞⎠⎟⎞⎞⎠⎠

11

5+2

x)c) os

<; π

P

arccot x

EGUNa 0 < x < 1

P

Matemática

27

1 1

1x x=

−

1 112x x

=−

x2=1 – x

Resolviendo la ecuación cuadrática

∴ = −x

5 12

Respuesta− +1 5

2

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 38

Sea 02

< <θ π tal que

log tan log tan log5 5 5612

9θ θ( ) + +( ) =

Determine el valor de sec2�.

A) 24 12 3�

B) 22 12 3�

C) 20 12 3�

D) 18 12 3�

E) 12 12�

Resolución

Tema: Identidades trigonométricas fundamentales

�� 2�=1+tan2�

�� x A+logx B=logx(A · B)

�� n · logx A=logx An


log tan log tan log5 5 56

12

9θ θ( ) + +( ) =

log tan tan log5 56 9θ θ( ) +( ) =

tan2�+6tan�=3

tan2�+6tan��– 3=0

tanθ = − ± − ( ) −( )6 36 4 1 3

2

tanθ = − ±3 2 3

Como θ π∈ 02

; , entonces tan� > 0.

tanθ = − +3 2 3

tan2 21 12 3θ = −

sec2 1 21 12 3θ − = −

sec2 22 12 3θ = −

Respuesta22 12 3�

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 39Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, 1,2;

2,3 y 3 son las longitudes de sus lados opuestos

a dichos ángulos respectivamente y senA=L,

calcule el valor de la expresión siguiente:

DA B A C B C

A B C= +( ) + +( ) + +( )

+ +sen sen sen

cos cos cos53 42 35

A) L4

B) L6

C) L8

D) L

10 E)

L12

g5 9

22

sec2

spues

2 3

21 2 321

2 3

1

22 −

12

)6 =

sec

tanθ = −

an2 21θ =

2

RNATIVAA

Matemática

28

Resolución

Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos

Teorema de senos: a

Ab

Bc

Csen sen sen� �

Teorema de proyecciones

a=bcos C+ccos B

b=acos C+ccos A

c=acos B+bcos A

A

B

C

a

b

c


Se pide calcular

D

A B A C B CA

C B A

= + + + + ++

− − −

sen( ) sen( ) sen( )cos

º º º180 180 180

53 42

� � �

ccos cosB C+ 35

DC B A

A B C= + +

+ +sen sen sen

cos cos cos53 42 35 (�)

A

B

C

1,2

2,3

3

Por el teorema de senos tenemos

1 2 2 3 3,

sen,

sen senA B C� �

→ + +

+ +=1 2 2 3 3 1 2, ,

sen sen sen,

senA B C A

→

+ +=6 5 1 2,

sen sen sen,

A B C L

→ + + =sen sen senA B CL65

12 (I)

Por el teorema de proyección tenemos

1,2=3cos B+2,3cos C

3=1,2cos B+2,3cos A

2,3=3cos A+1,2cos C

Sumando las tres relaciones

6,5=5,3cos A+4,2cos B+3,5cosC

65=53cos A+42cos B+35cosC (II)

Al reemplazar (I) y (II) en (�) se tiene que

D

L�12

RespuestaL

12

ALTERNATIVA E

PREGUNTA N.º 40¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo

centro está sobre la recta y+x=0. Además, pasa

por los puntos (3; 4) y 3 2 7;( )?

A) x2+y2=5

B) x2+y2=9

C) x2+y2=15

D) x2+y2=16

E) x2+y2=25

Bsen(1�

Ccos

RCA−

)º�

eemp

D12

+42cosB

y (II) en (r (I) y

)CC2

�

cocc s B

nto

6

A

6,5=5,3co

5=53co

S

C

Matemática

29

ResoluciónTema: Ecuación de la circunferencia

(h; k)

r

(x – h)2+(y – k)2=r2

Análisis y procedimientoEcuación de la circunferencia:

C : (x – h)2+(y – k)2=r 2

Por dato

I. (h; k) L: y+x=0 � k=– h

Por lo tanto

C : (x – h)2+(y+h)2=r 2

II. (3; 4) �� 3 2 7;( ) ��C�entonces

(3 – h)2+(4+h)2=r2

3 2 72 2 2−( ) + +( ) =h h r

Igualando, tenemos que h=0, entonces k=0

Luego

C : x2+y2=r2

Como (3; 4) � C � 32+42=r 2 � r 2=25

� C : x2+y2=25

Respuestax2+y2=25

ALTERNATIVA E

x

EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2011-II GEOMETRIA TRIGONOMETRIA-SOLUCIONARIO-ACADEMIA CESAR VALLEJO

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