Solucionario Tema 8

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    Solucionario

    8 ptica fsica EJERCICIOS PROPUESTOS

    8.1 Calcula la energa de los fotones que puede intercambiar la luz que procede del Sol, cuya longitud de onda es = 1,5 107 m. Cunto aumenta la energa de los fotones si se duplica la intensidad de la luz que llega?

    A partir de la frmula que para la energa de los fotones proporciona el efecto fotoelctrico, tenemos:

    J103,1105,1

    1000,31063,6chhE 1878

    34

    ==

    ==

    Como se puede observar, la energa de los fotones no depende de la intensidad de la luz, sino de su frecuencia. Por lo tanto, no vara la energa de los fotones si se duplica la intensidad de la luz.

    8.2 Calcula el nmero de vueltas que da un rayo de luz alrededor de la Tierra en un segundo si el radio de la Tierra mide 6370 km.

    Calculamos la longitud de la Tierra:

    m100,41037,62r2L 76 === Dividiendo entre esa distancia la que recorre la luz en un segundo, se obtendr el nmero de vueltas que da alrededor de la Tierra en un segundo.

    vueltas5,7100,41000,3

    Len 7

    8===

    8.3 Lo curioso del experimento de Fizeau es la forma de medir el tiempo. Calcula el valor de dicho tiempo y explica por qu en 1850 este mtodo se poda considerar ingenioso.

    A. Fizeau calcula el tiempo dividiendo el ngulo que gira la rueda dentada entre la velocidad angular que lleva.

    s105,53,158

    107,82,252

    180/5,0t 53

    ==

    =

    =

    Lo ingenioso del mtodo es la forma de calcular el tiempo y la medida que de este se obtiene, que no se puede obtener con ningn aparato de medida de la poca.

    8.4 Las medidas obtenidas para los ndices de refraccin de dos medios diferentes son n1 = 1,25 y n2 = 0,97. Calcula la velocidad de la luz en cada medio y, a la vista de los resultados, analiza la veracidad de los datos obtenidos.

    Aplicando la definicin de ndice de refraccin:

    ===

    ===

    ==1-8

    8

    22

    1-88

    11

    s m 10 3,0997,0

    1000,3ncv

    s m 10 2,4025,1

    1000,3ncv

    ncv;

    vcn

    El segundo resultado es falso, ya que se obtiene una velocidad superior a la de la luz. De modo que el segundo ndice de refraccin no puede tener ese valor. De hecho, los ndices de refraccin tienen siempre un valor igual o superior a la unidad.

    114

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    8.5 El brillo de las piedras preciosas se debe a las mltiples reflexiones que se producen en su interior. Calcula a partir de qu ngulo se produce la reflexin total entre el diamante y el aire si sus ndices de refraccin son: nD = 2,42 y nA = 1.

    La reflexin total se produce cuando en el segundo medio el ngulo que forma el rayo con la normal es de 90. Aplicando la ley de Snell a estos datos:

    = ALD n sen n 4,2442,21senarc;

    42,21

    nnsen L

    D

    AL =

    ===

    8.6 Si un rayo incide desde el aire (na = 1) con un ngulo de 60 con respecto a la normal, calcula el ndice de refraccin del segundo medio para que el ngulo refractado sea la mitad.

    Aplicamos los datos del problema a la ley de Snell de la refraccin:

    73,130sen60senn;30senn60senna ===

    8.7 Calcula el espesor de la lmina del ejercicio anterior para que el desplazamiento sea de 1 cm cuando el rayo incide con el mismo ngulo.

    Aprovechando los resultados obtenidos en el ejercicio resuelto (ya que las condiciones del problema son las mismas) calculamos la longitud que debe recorrer el rayo por el interior de la lmina.

    cm42,317sen

    1AB;17senABd ===

    Sustituyendo este resultado en la expresin del espesor de la lmina:

    cm02,328cos42,328cosABh ===

    8.8 Considera dos lminas de caras plano paralelas de espesor 1,5 cm cada una, unidas por una de sus caras. El ndice de refraccin de la primera es 1,4 y el de la segunda, 1,8. Calcula la desviacin que sufre un rayo que incide en la primera de las caras con un ngulo de 60, desde el aire.

    Se aplica la ley de Snell a la primera refraccin:

    2,384,1

    60sensenarcsen4,160sen1 1r1r =

    ==

    Se aplica de nuevo la ley de Snell a la segunda refraccin:

    8,288,1

    2,38sen4,1senarcsen8,12,38sen4,1 2r2r =

    ==

    Calculamos el ngulo del rayo emergente de la tercera refraccin:

    ( ) 608,28sen8,1senarcsen18,28sen8,1 ee === El rayo que sale tiene la misma direccin que el incidente.

    Como se puede apreciar en la imagen, la desviacin total es la suma de las desviaciones:

    ( )

    ( ) cm88,08,2860senBCDcm7,18,28cos

    5,1BC

    cm71,02,3860senABdcm9,12,38cos

    5,1AB

    ====

    ====

    La desviacin total es:

    D + d = 1,59 cm

    n = 1

    n2 = 1,8

    n1 = 1,4

    n = 1

    d

    B

    C

    A

    D

    115

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    Solucionario

    onario

    Solucionario

    8.9 Sobre un prisma de 45 e ndice de refraccin 1,6 incide un rayo que forma un ngulo de 40 con la normal de la primera cara del prisma. Calcula el ngulo de salida del rayo emergente y el ngulo de desviacin.

    8.9 Sobre un prisma de 45 e ndice de refraccin 1,6 incide un rayo que forma un ngulo de 40 con la normal de la primera cara del prisma. Calcula el ngulo de salida del rayo emergente y el ngulo de desviacin.

    Aplicando la ley de la refraccin a la primera cara: Aplicando la ley de la refraccin a la primera cara:

    7,236,1

    40sennsennsenarcsennsenn

    p

    ia1r1rpia =

    =

    ==

    Del tringulo formado por las normales y el rayo, se tiene:

    3,217,23135180180135 2i2i1r ===++ Aplicando de nuevo la ley de la refraccin de Snell:

    ( ) 5,353,21sen6,1arcsennsenn

    senarcsennsenna

    2ip2r2ra2ip ==

    ==

    El ngulo de desviacin ser: 5,30455,35402r1i =+=+=

    8.10 Cuando en un prisma el rayo refractado viaja paralelo a la base se produce la desviacin mnima. En este caso, el rayo incidente y el emergente forman el mismo ngulo con sus normales. Calcula el ngulo de desviacin mnima para un prisma de 90 con un ndice de refraccin de n = 1,3.

    Como el rayo refractado es paralelo a la base del prisma, y este es de 90, los ngulos interiores r1 = i2 = 45.

    Aplicando la ley de Snell de la refraccin, calculamos el ngulo que el rayo emergente forma con la normal, que ser el mismo que el formado por el incidente y su normal.

    8,661

    45sen3,1senarcn

    45sennsenarc;senn45senn

    a

    p2r2rap =

    =

    ==

    La desviacin ser: 6,43908,668,66 =+=

    9045 45

    8.11 Calcula el ngulo que forman entre si, los rayos rojo y violeta despus de atravesar una lmina de caras plano paralelas de 3 cm de longitud si el ndice de refraccin para cada color es: nr = 1,32; nv = 1,35 y el ngulo de incidencia es de 30.

    Al salir de la lmina, los rayos de los dos colores son paralelos. Aplicamos la ley de Snell a cada rayo para comprobarlo.

    26,2232,1

    30sensenarc

    senn30senn

    r

    rra

    =

    =

    =

    74,2135,1

    30sensenarc

    senn30senn

    v

    vva

    =

    =

    =

    A la salida de los rayos, se aplica de nuevo la ley de la refraccin de Snell.

    301

    26,22sen32,1senarcnsenn

    senarc

    sennsenn

    a

    rrr

    rarr

    =

    =

    =

    =

    301

    74,21sen35,1senarcnsenn

    senarc

    sennsenn

    a

    vvv

    vavv

    =

    =

    =

    =

    Entre si formaran 0

    116

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    8.12 Calcula el ngulo que forman los rayos rojo y violeta despus de atravesar un prisma cuyo ngulo es 90 si los ndices de refraccin para cada color son: nr = 1,32; nv = 1,35 y el ngulo de incidencia es de 60.

    Comenzamos calculando el ngulo con el que sale del prisma el color rojo.

    4132,1

    60sensenarc;senn60senn 1r1rra =

    ==

    Esto supone que el ngulo de incidencia en la segunda cara sea:

    49419090;180180 1r2i2i1r ====++

    Aplicando de nuevo la ley de la refraccin:

    851

    49sen32,1senarcn

    sennsenarcsennsenn

    a

    2ir2r2ra2ir =

    =

    ==

    Procedemos de igual forma para el color violeta:

    9,39n

    60sensenarc;senn60sennv

    1r1rva =

    ==

    El ngulo de incidencia en la segunda cara es:

    1,509,399090;180180 1r2i2i1r ====++

    El ngulo de salida es:

    03,1senarc1

    1,50sen35,1senarcn

    sennsenarcsennsenn

    a

    2ir2r2ra2iv =

    =

    ==

    No hay ningn ngulo cuyo seno sea 1,03. La explicacin de este resultado es que se ha sobrepasado el ngulo lmite y se produce una reflexin total para este color. Se puede considerar que la desviacin es:

    90 85 = 5

    8.13 Se realiza un experimento de doble rendija con d = 1 mm; la distancia del foco de luz a la pantalla es de 1 m y tiene una longitud de onda de 640 nm. Calcula la posicin de la primera franja oscura.

    Aplicando directamente la expresin:

    ( ) m102,310

    106401210

    dD

    21ny

    21n2

    Dyd 43

    9

    oscura

    =

    +=

    +=+=

    8.14 En el experimento del ejercicio anterior, un punto est situado a una altura de 0,48 m. Indica si se encuentra en una posicin de mnimo o de mximo.

    Comprobamos si el producto Dyd es un mltiplo entero de longitudes de onda o es un mltiplo impar de

    semilongitudes de onda.

    m108,4148,010

    Dyd 43 ==

    Dividimos esta cantidad entre la longitud de la onda y entre la semilongitud de onda:

    1500102,3108,4;750

    104,6108,4

    7

    4

    7

    4==

    Podemos comprobar que es mltiplo par de longitudes de onda y no es mltiplo impar de semilongitudes de onda; por tanto, se encuentra en un mximo.

    117

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    onario

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    8.15 Se puede producir luz polarizada por reflexin tanto si la luz viaja de un medio a otro con ndice de refraccin mayor como si lo hace a uno con ndice de refraccin menor? Justifica la respuesta.

    8.15 Se puede producir luz polarizada por reflexin tanto si la luz viaja de un medio a otro con ndice de refraccin mayor como si lo hace a uno con ndice de refraccin menor? Justifica la respuesta.

    S. Para que se produzca la polarizacin por reflexin es necesario que el ngulo refractado y el reflejado formen un ngulo de 90. No existe ningn impedimento fsico para que esto suceda tanto cuando la luz incide desde un medio con un ndice de refraccin mayor que el primero como cuando este es menor.

    S. Para que se produzca la polarizacin por reflexin es necesario que el ngulo refractado y el reflejado formen un ngulo de 90. No existe ningn impedimento fsico para que esto suceda tanto cuando la luz incide desde un medio con un ndice de refraccin mayor que el primero como cuando este es menor.

    Matemticamente, podemos decir que como la tangente puede tomar cualquier valor entre 0 e , cualquier

    valor posible de la relacin

    Matemticamente, podemos decir que como la tangente puede tomar cualquier valor entre 0 e , cualquier

    valor posible de la relacin 1

    2

    nn

    tendr solucin.

    8.16 Calcula el ngulo de Brewster cuando la luz viaja entre el agua, cuyo ndice de refraccin es nA = 1,33, y el diamante, cuyo ndice de refraccin es nD = 2,4.

    618,1tgarc8,133,14,2

    nntg B

    A

    DB =====

    8.17 Por qu se ve el cielo negro cuando se observa desde el espacio?

    Porque no hay atmsfera que cause la dispersin de la luz que hace que se vea el cielo azul desde la Tierra.

    8.18 Cul es el motivo por el que el arco iris secundario es ms tenue que el primario?

    Para que se produzca el arco iris secundario, en cada gota se deben producir dos reflexiones internas. En cada una de estas reflexiones, se produce tambin una pequea refraccin, de modo que se pierde parte de la intensidad de la luz. La consecuencia de este hecho es que el arco iris secundario se ve mucho ms tenue.

    EJERCICIOS Y PROBLEMAS

    NATURALEZA Y PROPAGACIN DE LA LUZ

    8.19 A pesar de los muchos seguidores de la teora corpuscular, pareca evidente que la luz deba ser una onda. En qu se basaban fundamentalmente los seguidores de Newton para desechar el modelo ondulatorio y defender el corpuscular?

    En que el nico tipo de ondas conocidas hasta la poca, que eran las del sonido, presentaban unas propiedades, por ser longitudinales y por su longitud de onda, que no se daban en las ondas luminosas.

    Por ejemplo, las ondas sonoras se propagan en todas las direcciones y bordean obstculos, y las luminosas no pareca que presentaran estas caractersticas.

    8.20 Cul fue el fenmeno que determin definitivamente que la luz se trataba de un movimiento ondulatorio y no de uno corpuscular?

    Fueron los fenmenos de interferencia y difraccin observados por Young y Grimaldi.

    8.21 Con el descubrimiento del efecto fotoelctrico se comprueba que la energa de los fotones que forman la luz depende de la frecuencia de estos. Ordena de mayor a menor la frecuencia de los colores del arco iris.

    El color de mayor frecuencia y por tanto de mayor energa es el violeta; a partir de l decrecen ambas magnitudes.

    Violeta, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.

    118

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    8.22 Una onda electromagntica que se propaga en el vaco tiene una longitud de onda de 5 107 m. Calcula su longitud de onda cuando penetra en un medio de ndice de refraccin 1,5.

    La nica magnitud que no vara es la frecuencia; apoyndonos en este dato:

    2

    2

    1

    1 vv

    v;v

    =

    ==

    m103,3

    102105103

    1025,1103

    ncv

    72

    2

    8

    7

    8

    88

    2

    =

    =

    ===

    8.23 Una lmpara de sodio emite luz monocromtica de longitud de onda en el vaco 0 = 5,89 107 m (luz amarilla) que se propaga en el agua, cuyo ndice de refraccin es 1,34. Halla:

    a) La velocidad de propagacin de la luz en el agua.

    b) La frecuencia y la longitud de onda de dicha luz en el agua.

    a) El ndice de refraccin de un medio permite conocer la velocidad de desplazamiento en dicho medio.

    188

    sm1024,234,1

    1000,3ncv

    vcn ====

    Al cambiar de medio, vara la longitud de onda y la velocidad, pero no la frecuencia. De este modo, en el vaco:

    Hz1009,5cc 140

    000 ===

    En el medio:

    m1040,41009,51024,2vv 714

    8

    m

    mmmmm

    ==

    ==

    8.24 Realiza un esquema en el que quede representado un eclipse de Sol y un eclipse de Luna. En cul de los dos es mayor la zona de penumbra?

    Eclipse de Sol. Eclipse de Luna.

    Tierra

    Sol

    Penumbra

    SombraLuna

    TierraSol

    Penumbra

    SombraLuna

    8.25 Calcula la energa de un fotn de luz roja de 7600 en el vaco, si su velocidad es c = 3,0 108 m s1.

    Dato. h = 6,63 1034 J s

    Aplicando la frmula obtenida en el efecto fotoelctrico: J1062,21076001000,31063,6chhE 1910

    834

    ==

    ==

    119

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    onario

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    8.26 Calcula la diferencia de energa que existe ente los fotones que transporta una onda electromagntica del rango de las infrarrojas y una onda de rayos gamma.

    8.26 Calcula la diferencia de energa que existe ente los fotones que transporta una onda electromagntica del rango de las infrarrojas y una onda de rayos gamma.

    Datos. infrarroja = 1 mm; gamma = 1012 m Datos. infrarroja = 1 mm; gamma = 1012 m Calculamos la energa de cada onda: Calculamos la energa de cada onda:

    J10210

    1031063,6chhE 2238

    34inf

    ==

    ==

    J10210

    1031063,6chhE 13128

    34gam

    ==

    ==

    J102102102EEE 132213infgam

    ===

    8.27 Calcula el valor en el vaco de la longitud de onda asociada a un fotn de energa 3 keV.

    Datos. h = 6,63 1034 J s; 1 eV = 1,60 1019 J

    A partir de la energa calculamos el valor de la frecuencia. En primer lugar, pasamos la energa a unidades del sistema internacional.

    J108,41060,1103keV3E 16193 ===

    Hz1024,71063,6108,4

    hEhE 1734

    16====

    La velocidad del fotn es la de la luz:

    m1014,41024,71000,3cc 1017

    8

    ==

    ==

    8.28 Si en un medio la luz se propaga con una velocidad de 250 000 km s1, cul es el ndice de refraccin de este medio en relacin con el del vaco?

    A partir de la definicin de ndice de refraccin: 2,1105,2

    103vcn 8

    8===

    REFLEXIN Y REFRACCIN

    8.29 Justifica por qu el ndice de refraccin de una sustancia debe tener un valor mayor que la unidad.

    El ndice de refraccin se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vaco y la velocidad en el medio. Teniendo en cuenta que la velocidad en el vaco es la mayor a la que pueden viajar las ondas, el resultado de dividir por una cantidad igual o menor debe ser la unidad o mayor que la unidad.

    8.30 Comprueba que si la longitud de onda de una radiacin en el vaco es , el valor de la longitud de onda

    de esa misma radiacin en un medio de ndice de refraccin n es:n

    ' =

    A partir de la expresin de una onda electromagntica, se tiene:

    =

    == v'yc;c

    Aplicando a la expresin de la longitud de onda en un medio la definicin de ndice de refraccin:

    ncn

    cv'

    =

    =

    =

    Como

    c es la longitud de onda en el vaco, queda:nn

    c' =

    =

    120

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    8.31 Calcula el valor de la velocidad de la luz en el diamante y en el agua si sus ndices de refraccin respectivos son ndiam = 2,5 y nagua = 1,33.

    A partir de la definicin de ndice de refraccin:

    ===

    ===

    ==

    188

    aguaagua

    188

    diamdiam

    sm1026,233,1

    1000,3n

    cv

    sm102,15,21000,3

    ncv

    ;ncv

    vcn

    8.32 Se tienen dos espejos A y B planos y perpendiculares entre s. Un rayo luminoso contenido en un plano perpendicular a ambos espejos incide sobre uno de ellos con el ngulo mostrado en la figura. Calcula la relacin entre las direcciones de los rayos incidente en A y reflejado en B.

    Como se puede comprobar en la construccin grfica, el ngulo incidente y el reflejado son paralelos.

    90 _

    90 _ 90 _

    A

    B

    8.33 Explica por qu al mirar el fondo de un estanque en calma parece menos profundo de lo que en realidad es (nagua > naire). Para ayudarte, obtn la imagen de un objeto puntual situado en el fondo.

    Cuando un rayo pasa de un medio a otro con mayor ndice de refraccin, los rayos se desvan acercndose a la normal. Este fenmeno unido a que nosotros en nuestro cerebro percibimos que los rayos nos llegan en lnea recta hace que veamos que lo que se encuentra en el segundo medio est en distinta posicin de la que realmente ocupa.

    En la imagen se ve con claridad. El rayo que penetra en el ojo est desviado al cambiar de medio y el cuerpo situado en el punto A esta siendo visto por el ojo como si estuviese situado en A.

    A

    A

    N

    8.34 Un haz de luz que viaja por el aire incide sobre un bloque de vidrio. Los haces reflejado y refractado forman ngulos de 30 y 20, respectivamente, con la normal a la superficie del bloque.

    a) Calcula la velocidad de la luz en el vidrio y el ndice de refraccin de dicho material.

    b) Explica qu es el ngulo lmite y determina su valor para al caso descrito.

    a) A la vista del esquema de rayos y sabiendo que el ndice de refraccin del aire es na = 1, podemos aplicar la ley de la refraccin de Snell.

    46,120sen30sen1n

    20senn30senn

    v

    va

    =

    =

    =

    La velocidad de la luz en el vidrio ser:

    188

    sm1005,246,1

    1000,3ncv

    vcn ====

    El ngulo lmite es el ngulo a partir del cual no se produce rayo refractado. Esto sucede cuando la luz pasa de un medio a otro con menor ndice de refraccin, porque en ese caso el ngulo que forma el rayo refractado con la normal es mayor que el que forma el incidente. En este caso, la luz debera pasar del vidrio al aire.

    23,4346,11arcsenisen

    90sennisenn

    L

    aLv

    =

    =

    =

    30 30

    20

    N

    121

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    Solucionario

    8.35 Un rayo de luz roja que se propaga por el aire incide sobre un vidrio y forma un ngulo de 30 con la direccin normal a la superficie del vidrio. El ndice de refraccin del vidrio para la luz roja es nv = 1,5 y el del aire es na = 1. Calcula el ngulo que forman entre s el rayo reflejado y el rayo refractado.

    Aplicando la ley de Snell para la refraccin, calculamos el valor del ngulo de refraccin:

    47,195,1

    30sen1arcsenr

    nisennarcsenr

    rsennisenn

    v

    a

    va

    =

    =

    =

    =

    Para calcular el ngulo que forman los rayos reflejado y refractado, calculamos el valor de y :

    53,13053,7047,1990

    603090=+

    ==

    ==

    30 30

    N

    r

    REFLEXIN Y REFRACCIN

    8.36 Un rayo de luz verde pasa de una placa de vidrio de ndice de refraccin n = 1,5 al aire. La longitud de onda de la luz en la placa es 333 109 m. Calcula:

    a) La longitud de onda de la luz verde en el aire.

    b) El ngulo crtico a partir del cual se produce la reflexin total.

    a) Como la frecuencia es una magnitud que no vara, se producir una variacin de la longitud de onda que ser: 0 = n = 1,5 333 109 = 500 nm

    b) Aplicando la ley de Snell:

    rsennisenn av = La reflexin total se produce cuando el ngulo refractado es de 90.

    8,415,11arcseni

    5,11isen

    1isen5,1

    =

    =

    =

    =

    N

    r

    90 _ i i

    90

    8.37 Un rayo de luz monocromtica que se propaga por el aire incide sobre una superficie de agua. Determina el ngulo de incidencia para el que el rayo reflejado es perpendicular al refractado (el ndice de refraccin del agua vale 1,33).

    Sabemos que el ngulo reflejado es igual que el incidente, de modo que hasta la superficie del lquido el ngulo vale 90 i .

    En el agua, el ngulo desde la superficie del lquido hasta el rayo refractado es 90 r :

    90 i + 90 r = 90

    180 = 90 i r

    i + r = 90; r = 90 i

    Sustituyendo en la ley de Snell:

    ( )06,53i33,1itg

    icos33,1iseni90sen33,1isen

    rsennisenn aqa

    ====

    =

    122

  • Solucionario

    8.38 Una superficie plana separa dos medios de ndices de refraccin distintos n1 y n2. Un rayo de luz incide desde el medio de ndice n1. Razona si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes.

    a) El ngulo de incidencia es mayor que el ngulo de reflexin.

    b) Los ngulos de incidencia y de refraccin son siempre iguales.

    c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado estn en el mismo plano.

    d) Si n1 > n2, se produce reflexin total para cualquier ngulo de incidencia.

    a) Segn la segunda ley de la reflexin de Snell, el ngulo de incidencia es siempre igual que el de reflexin, luego es falsa la afirmacin.

    b) Los ngulos de incidencia y refraccin solo pueden ser iguales cuando los medios son iguales, n1 = n2. Si los medios son iguales no estamos frente a un cambio de medio, luego es falsa.

    c) Esta afirmacin coincide con el enunciado de la primera ley de Snell de la refraccin, El rayo incidente el reflejado y refractado estn en el mismo plano, luego es verdadera.

    d) La reflexin total se produce cuando la luz viaja de un medio a otro de ndice de refraccin menor y el ngulo de incidencia es superior a aquel que cumple:

    ===

    1

    2

    1

    221 n

    nsenarci;nnisen;90sennisenn Luego la afirmacin es falsa.

    8.39 Sabiendo que el ngulo lmite definido entre un medio material y el aire es 60, determina la velocidad de la luz en dicho medio.

    Analizando la ley de la refraccin de la luz, se deduce que un rayo se acerca a la normal cuando pasa de un medio a otro con ndice de refraccin mayor, y que el rayo se aleja de la normal cuando pasa de un medio de mayor ndice de refraccin a otro de menor.

    En este ltimo caso, debe existir una direccin para la que el rayo refractado forme un ngulo de 90 con la normal y los rayos que inciden con un ngulo superior a l, no pasen al segundo medio. Este ngulo de incidencia para el cual el ngulo de refraccin es de 90 se conoce como ngulo lmite.

    ===1

    2L

    1

    2L2L1 n

    nsenarc;nnsen90sennsenn

    El valor del ndice de refraccin en el medio material a partir de la misma expresin es:

    155,160sen

    1n;160senn

    90sennsenn

    11

    2L1

    ===

    =

    La velocidad de la luz en el medio es: 188

    sm1060,2155,1

    1000,3ncv

    vcn ====

    8.40 Un rayo monocromtico incide en la cara vertical de un cubo de vidrio de ndice de refraccin n = 1,5 sumergido en agua.

    Con qu ngulo debe incidir para que en la cara superior del cubo haya reflexin total?

    Segn estn pintados los ngulos e i , se pueden relacionar mediante: r

    r + i + 90 = 180 i = 90 r Aplicamos la ley de Snell al segundo cambio de medio y calculamos los valores de los ngulos en sentido

    contrario al recorrido por el rayo: 89,05,1

    33,1nn

    isen90sennisennv

    aqaqv ====

    33,3152,0senarc;52,0n

    27,27sennsen27,27sennsenn

    27,2773,6290r73,6289,0senarci

    aq

    vvaq =====

    ====

    r i

    123

  • Solucionario

    Solucionario

    8.41 Un rayo de luz roja se propaga por un vidrio e incide en la superficie que separa el vidrio del aire con un ngulo de 30,0 respecto a la direccin normal a la superficie. El ndice de refraccin del vidrio para la luz roja es 1,60 y el ndice de refraccin del aire es 1. Calcula:

    a) El ngulo que forma el rayo refractado con respecto a la normal.

    b) El ngulo de incidencia mximo para que el rayo de luz roja pase al aire.

    c) Indica si aumentan o disminuyen las siguientes magnitudes al pasar el rayo del vidrio al aire: velocidad de propagacin, energa de los fotones, longitud de onda de los fotones.

    a) Aplicando la ley de Snell:

    1,538,0arcsen;sen130sen6,1 ===

    b) Calculamos el ngulo lmite:

    7,386,11arcsen;90sen1sen6,1 LL =

    ==

    c) La velocidad es inversamente proporcional al ndice de refraccin; al disminuir n la velocidad aumenta.

    E = h ; como la frecuencia no vara la energa tampoco.

    La longitud de onda es proporcional a la velocidad,

    = v ; luego un aumento de velocidad supone

    un aumento de la longitud de onda.

    N

    r

    90 _ i i

    90

    8.42 a) Un rayo luminoso incide sobre una superficie plana de separacin aire-lquido. Cuando el ngulo de incidencia es de 45 el de refraccin vale 30. Qu ngulo de refraccin se producira si el haz incidiera con un ngulo de 60?

    b) Un rayo de luz incide sobre una superficie plana de un vidrio con ndice de refraccin 1,5. Si el ngulo formado por el rayo reflejado y el refractado es de 90, calcula los ngulos de incidencia y de refraccin.

    a) Aplicamos la ley de la refraccin para calcular el valor del ndice de refraccin:

    41,130sen45senn;30senn45senn lla ===

    Aplicamos la ley para un ngulo de incidencia de 60.

    9,3741,1

    60senarcsenr;rsen41,160senna =

    ==

    b) El ngulo reflejado es igual al incidente; hasta la superficie del lquido el ngulo vale 90 i .

    En el agua, el ngulo desde la superficie del lquido hasta el rayo refractado es 90 r .

    90 + 90 r = 90 180 i r = 90 i i + r = 90 r = 90 i

    Sustituyendo en la ley de Snell:

    ( )7,33i90r3,56i5,1itg

    icos5,1isen;i90sen5,1isen

    rsennisenn va

    ======

    =

    124

  • Solucionario

    8.43 Una onda que viaja por un medio con velocidad v1 = 10 m s1 incide sobre la frontera con otro medio diferente con ngulo de incidencia i = 30. La velocidad de propagacin de la onda en el segundo medio es v2 = 17 m s1. Calcula el ngulo de transmisin, t. Si la frecuencia de la onda es = 10 Hz, calcula su longitud de onda en cada medio.

    Aplicando las leyes de la refraccin:

    21,5830sen1017arcsensen

    vvarcsen

    senvvsen

    senvcsen

    vc;sennsenn

    i1

    2t

    i1

    2t

    t2

    i1

    t2i1

    =

    =

    =

    =

    ==

    Para calcular la longitud de onda, aplicamos:

    ==

    =

    ==

    =

    ==

    m7,11017v:2medio

    m11010v:1medio

    v;v

    22

    11

    8.44 Un haz luminoso de longitud de onda 550 109 m, que viaja a travs del vaco, incide sobre un material transparente. El haz incidente forma un ngulo de 40 con la normal a la superficie, mientras que el refractado forma un ngulo de 26. Calcula el ndice de refraccin del material y la longitud de onda del haz que se propaga en su interior.

    Calculamos en primer lugar la frecuencia del haz luminoso, ya que es invariante ante el cambio de medio:

    Hz1045,5105501000,3c

    c

    149

    8==

    =

    =

    Ahora calculamos el ndice de refraccin del material a partir de la ley de la refraccin de Snell:

    466,126sen40sen1n

    rsennisenn

    m

    ma

    ==

    =

    Podemos calcular la velocidad en el medio:

    188

    mm sm1005,2466,1

    1000,3ncv ===

    Ya conocemos todos los datos necesarios para calcular la longitud de onda en el medio:

    nm376

    m1076,31045,51005,2v

    v

    m

    714

    8m

    m

    mm

    =

    ==

    =

    =

    125

  • Solucionario

    Solucionario

    onario

    Solucionario

    8.45 Se considera un vaso cilndrico lleno de agua hasta el borde. En el fondo hay un espejo plano. Un rayo de luz monocromtica incide con un ngulo de 30 sobre la superficie. El rayo llega al espejo del fondo, se refleja y vuelve a salir a la superficie.

    8.45 Se considera un vaso cilndrico lleno de agua hasta el borde. En el fondo hay un espejo plano. Un rayo de luz monocromtica incide con un ngulo de 30 sobre la superficie. El rayo llega al espejo del fondo, se refleja y vuelve a salir a la superficie.

    a) Completa el esquema adjunto de la marcha del rayo. a) Completa el esquema adjunto de la marcha del rayo.

    b) Calcular el ngulo que se ha desviado en total el rayo incidente. b) Calcular el ngulo que se ha desviado en total el rayo incidente.

    c) Para algn ngulo de incidencia, puede ocurrir una reflexin total del rayo al pasar del agua al aire? Justifcalo.

    c) Para algn ngulo de incidencia, puede ocurrir una reflexin total del rayo al pasar del agua al aire? Justifcalo.

    a) El rayo incidente se refracta en el agua, sufre una reflexin especular y despus se vuelve a refractar al pasar del agua al aire.

    a) El rayo incidente se refracta en el agua, sufre una reflexin especular y despus se vuelve a refractar al pasar del agua al aire.

    Como el ngulo de incidencia del segundo cambio de medio (agua-aire) es igual que el de refraccin del primer cambio (aire-agua), el ngulo de refraccin que se observa cuando el rayo pasa al aire es igual que el ngulo con que incidi, pero medido hacia el otro lado de la normal.

    Como el ngulo de incidencia del segundo cambio de medio (agua-aire) es igual que el de refraccin del primer cambio (aire-agua), el ngulo de refraccin que se observa cuando el rayo pasa al aire es igual que el ngulo con que incidi, pero medido hacia el otro lado de la normal.

    El resultado final es el mismo que si hubiera sufrido una reflexin especular. El resultado final es el mismo que si hubiera sufrido una reflexin especular.

    b) Analticamente se puede ver sin necesidad de resolver la ecuacin de Snell. b) Analticamente se puede ver sin necesidad de resolver la ecuacin de Snell.

    Aire agua na sen 30 = naq sen r Aire agua na sen 30 = naq sen r

    Reflexin: = r Reflexin: = r rr

    Agua aire naq sen r = na sen Agua aire naq sen r = na sen

    Como: = r naq sen = na sen 30 = 30; = 120 Como: = r naq sen = na sen 30 = 30; = 120 rr rrc) La reflexin especular se produce para todos los ngulos de incidencia superiores al ngulo lmite, que es

    el ngulo para el que el ngulo de refraccin es 90. c) La reflexin especular se produce para todos los ngulos de incidencia superiores al ngulo lmite, que es

    el ngulo para el que el ngulo de refraccin es 90.

    naq sen = na sen 90 naq sen = na sen 90 iiaq

    a

    nnisen =

    Como na < naq, habr un ngulo i cuyo seno tome ese valor.

    Solamente se puede observar el fenmeno de la reflexin total cuando pasamos de un medio a otro con menor ndice de refraccin.

    Si lo que queremos es que el rayo incida desde el aire al agua, se refleje en el fondo del vaso y a la salida se produzca la reflexin total, el proceso no se puede producir, ya que, como hemos visto en el apartado b), el proceso de entrada y salida del rayo es geomtricamente simtrico. De este modo, para que no salga al aire, no debera haber entrado desde el aire.

    60

    30

    120

    30

    8.46 Un buceador enciende una linterna debajo del agua (ndice de refraccin 1,33) y dirige el haz luminoso hacia arriba formando un ngulo de 40 con la vertical.

    a) Con qu ngulo emerger la luz del agua?

    b) Cul es el ngulo de incidencia a partir del cual la luz no saldr del agua?

    Realiza esquemas grficos en la explicacin de ambos apartados.

    a) Aplicamos la ley de Snell con los datos del problema.

    ( ) 75,5840sen33,1arcsen

    sen40sen33,1

    senn40senn aaq

    ==

    =

    =

    b) Para conocer con qu ngulo incidente se produce la reflexin total haremos que el ngulo emergente valga 90.

    75,4833,11arcseni90sen1isen33,1 =

    ==

    N

    40

    N

    48,75

    126

  • Solucionario

    LMINAS Y PRISMAS

    8.47 Una lmina de vidrio (ndice de refraccin n = 1,52) de caras planas y paralelas y espesor d se encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromtica de frecuencia 5 1014 Hz incide desde el agua en la lmina. Determina:

    a) Las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio.

    b) El ngulo de incidencia a partir del cual se produce reflexin total interna en la segunda cara.

    Datos. nagua = 1,33; c = 3 108 m s1

    a) Buscamos una expresin de la longitud de onda en funcin del ndice de refraccin:

    nc

    nc

    vvcn

    ==

    =

    =

    m1095,352,1105

    103;m105,433,1105

    103 714

    8

    vidrio7

    14

    8

    agua

    ====

    b) Calculamos para qu ngulo de incidencia en la segunda cara se produce reflexin total.

    1,4152,11arcseni;90sennisenn 2aire2vidrio =

    ==

    Este es el mismo ngulo que se refracta en la primera cara, luego el ngulo de incidencia es:

    6,4875,0senarc33,1

    1,41sen52,1arcseni;1,41sennisenn 1vidrio1agua ==

    ==

    8.48 Un haz de luz blanca incide sobre una lmina de vidrio de grosor d con un ngulo i = 60.

    a) Dibuja esquemticamente las trayectorias de los rayos rojo y violeta.

    b) Determina la altura, respecto al punto de incidencia, del punto por el que la luz roja emerge de la lmina si d = 1 cm.

    c) Calcula el grosor d que debe tener la lmina para que los puntos de salida de la luz roja y de la luz violeta estn separados 1 cm.

    Datos. nR = 1,4 y nV = 1,6

    a) Como el ndice de refraccin del color rojo es menor que el del violeta, se acercar menos a la normal, es decir, sufrir menos desviacin.

    b) Aplicamos la ley de Snell de la refraccin para encontrar el ngulo con que penetran en el vidrio cada uno de los rayos.

    8,326,1

    60senarcsen;senn60senn

    2,384,1

    60senarcsen;senn60senn

    vvva

    rrra

    =

    ==

    =

    ==

    Del tringulo que forman la normal, el rayo y la cara posterior del prisma conocemos el ngulo y la anchura del vidrio, de modo que calculamos la tangente de dicho ngulo y encontramos el valor de la altura sobre O.

    m1044,68,32tg01,0tgdhm1087,72,38tg01,0tgdh

    3vv

    3rr

    ======

    c) Escribimos la diferencia entre hr y hv en funcin de la distancia d y hacemos que la diferencia de las

    alturas sea de 1 cm.

    m07,08,32tg2,38tg

    01,0tgtghhd)tgtg(dhh

    tgdhtgdh

    vr

    vrvrvr

    vv

    rr=

    =

    ==

    ==

    60

    38

    32,8

    RojoVioleta

    O

    h

    d

    127

  • Solucionario

    Solucionario

    onario

    Solucionario

    8.49 Sobre una lmina transparente de ndice de refraccin 1,5 y 1 cm de espesor, situada en el vaco, incide un rayo luminoso formando un ngulo de 30 con la normal a la cara. Calcula:

    8.49 Sobre una lmina transparente de ndice de refraccin 1,5 y 1 cm de espesor, situada en el vaco, incide un rayo luminoso formando un ngulo de 30 con la normal a la cara. Calcula:

    a) El ngulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lmina. Efecta la construccin geomtrica.

    a) El ngulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lmina. Efecta la construccin geomtrica.

    b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lmina. b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lmina.

    a) Al aplicar dos veces la ley de Snell, una para entrar en la lmina y otra para salir de la misma, se obtiene el mismo resultado para el ngulo de salida que para el de entrada.

    a) Al aplicar dos veces la ley de Snell, una para entrar en la lmina y otra para salir de la misma, se obtiene el mismo resultado para el ngulo de salida que para el de entrada.

    Aplicando la ley de Snell para la refraccin: Aplicando la ley de Snell para la refraccin: rsennisenn 211 = rsennisenn 211 =

    Entrada a la lmina: 1 Entrada a la lmina: rsen5,130sen = rsen5,130sen1 =

    Salida de la lmina con un ngulo de 30: 1 Salida de la lmina con un ngulo de 30: 30sen1rsen5, = 30sen1rsen5,1 =

    b) Calculamos el valor del ngulo : b) Calculamos el valor del ngulo : rr

    i r30

    30

    1 cm

    d

    r

    1 cm

    47,195,1

    30senarcsenr =

    =

    Observando el tringulo formado, se tiene:

    m0106,0d;47,19cos

    01,0dd01,0rcos ===

    8.50 Sea el dispositivo ptico esquematizado en la figura, que est formado por dos prismas idnticos de ndice de refraccin 1,65, con bases biseladas a 45 y ligeramente separados. Se hace incidir un rayo lser perpendicularmente a la cara A del dispositivo. Discute si es de esperar que exista luz emergente por la cara B, en los casos:

    a) El espacio separador entre los prismas es aire de ndice de refraccin 1.

    b) El espacio separador es agua de ndice 1,33.

    a) Para que exista luz emergente, el rayo de luz debe salir refractado por la primera cara biselada, por lo que el ngulo de incidencia debe ser menor al ngulo lmite, pues de lo contrario se reflejara.

    ni sen i = nr sen r ; ni sen L = nr sen 90

    45

    45A B

    =

    i

    r

    nn

    arcsenL

    Al incidir el rayo de luz perpendicularmente a la cara A, ngulo de incidencia 0, el rayo no se desva, por lo que incide en la cara biselada con un ngulo de incidencia de 45.

    En el primer caso, medio separador aire nr = 1, el ngulo lmite es: 3,3765,11arcsenL =

    =

    Al ser el ngulo de incidencia, 45, superior al ngulo lmite, toda la luz se refleja en la cara biselada: no habr luz emergente por la cara B.

    b) En el segundo caso, el ndice del medio separador es 1,33, por lo que el ngulo lmite sera:

    7,5365,133,1arcsenL =

    =

    Al ser el ngulo de incidencia menor del ngulo lmite, s existe rayo refractado, que saldra de la primera cara biselada con un ngulo de refraccin de:

    1,65 sen 45 = 1,33 sen r 3,61r877,033,1

    45sen65,1rsen ==

    =

    Este rayo de luz incidira en la cara biselada del otro prisma con un ngulo de incidencia de 61,3, sufriendo una refraccin con un ngulo de salida de 45, es decir, paralelo al rayo inicial.

    128

  • Solucionario

    8.51 Sobre un prisma de ngulo 80 situado en el vaco, incide un rayo luminoso monocromtico que forma un ngulo de 74,61 con la normal a la cara lateral izquierda. Sabiendo que en el interior del prisma el rayo es paralelo a la base:

    a) Calcula el ndice de refraccin del prisma.

    b) Realiza el esquema grfico de la trayectoria seguida por el rayo a travs del prisma.

    c) Determina el ngulo de desviacin del rayo al atravesar el prisma.

    a) El tringulo formado por las caras del prisma y el rayo tiene un ngulo de 80 y dos de 50. El ngulo que forma el rayo refractado con la normal es: 405090r ==

    Aplicando la ley de Snell de la refraccin, calculamos el valor del ndice de refraccin del prisma:

    rsenisennn;rsennisenn 1221 ==

    5,140sen

    61,74sen1n2 ==

    b)

    c) ; ; 61,344061,74D == 61,344061,74E == 78,11061,342180F ==

    22,6978,110180 ==

    4074,61 74,6140E

    D

    F

    8.52 Se tiene un prisma ptico de ndice de refraccin 1,5 inmerso en el aire. La seccin del prisma es un tringulo rectngulo issceles, como muestra la figura.

    a) Explica si se produce o no reflexin total en la cara BC del prisma cuando incide un rayo perpendicularmente en AB.

    b) Haz el esquema grfico de la trayectoria del rayo. Cul es la direccin del rayo emergente?

    a) Al incidir perpendicularmente en la primera cara, no sufre refraccin, de modo que llega a la segunda cara formando un ngulo de 45 con la normal. Aplicamos la ley de Snell para la refraccin de salida.

    06,1rsenrsen145sen5,1rsennisenn av

    ===

    No se puede calcular, porque no hay ningn ngulo cuyo seno sea mayor que la unidad. Calculamos cul ser el ngulo lmite:

    8,415,11arcseni90sen1isen5,1 LL =

    ==

    Al incidir con un ngulo superior al ngulo lmite, se produce la reflexin total.

    b) No emerger ningn rayo por la base del prisma, dado que sufre reflexin total. Se reflejar en la base del prisma con un ngulo de reflexin de 45 y emerger al exterior perpendicularmente a la siguiente cara sin sufrir desviacin en esta refraccin.

    A

    B

    C

    N

    45

    n = 1,5

    129

  • Solucionario

    Solucionario

    onario

    Solucionario

    8.53 Un rayo de luz monocromtica incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio, de ndice de refraccin

    8.53 Un rayo de luz monocromtica incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio, de ndice de refraccin 2n = . El ngulo del prisma es 60. Determina:

    a) El ngulo de emergencia a travs de la segunda cara lateral si el ngulo de incidencia es de 30. Efecta un esquema grafico de la marcha del rayo.

    b) El ngulo de incidencia para que el ngulo de emergencia del rayo sea 90.

    a) Se aplica la ley de Snell a la primera refraccin:

    7,202

    30sensenarcsen230sen1 =

    ==

    De la suma de los ngulos del tringulo formado por el rayo refractado y las dos caras del prisma, se obtiene .

    90 + 60 + 90 =180; = 39,3

    Aplicando de nuevo la ley de Snell:

    ( ) 6,633,39sen2senarce;esen3,39sen2 === b) El rayo emerger con un ngulo de 90 si es: 45

    21senarc'1'sen2 =

    ==

    El ngulo refractado en la primea cara del prisma valdr: 90 + 60 + 90 45 = 180; = 15

    Ahora se calcula el ngulo de incidencia en la primera cara del prisma:

    ( ) 47,2115sen2senarci;15sen2isen1 ===

    90 _

    30

    60

    e

    8.54 Un rayo luminoso se propaga por un medio de ndice de refraccin n = 1,5 e incide sobre la frontera de separacin con otro medio de ndice de refraccin n = 1. Calcula los ngulos de reflexin y refraccin del rayo en los casos:

    a) El ngulo de incidencia del rayo es 20.

    b) El ngulo de incidencia es 60. Justifica, desde un punto de vista fsico, este resultado.

    a) Aplicamos en cada caso la ley de Snell para la refraccin.

    2211 sennsenn =

    ( ) ( ) 9,3020sen5,1arcsensennarcsen 112 === b) Aplicamos las mismas ecuaciones con 60 como ngulo de incidencia.

    ( ) 3,1arcsen60sen5,1arcsen3 == No puede existir ningn ngulo cuyo seno sea este valor, ya que el seno de cualquier ngulo debe estar comprendido entre 1 y 1. Fsicamente significa que no se produce refraccin: el rayo se queda en el primer medio, producindose el fenmeno que se conoce como reflexin total.

    N

    n1

    n2 2 3

    60 60

    20

    FENMENOS ONDULATORIOS

    8.55 Calcula el ngulo con que debe incidir un rayo de luz en la superficie del diamante para que en la reflexin se obtenga luz polarizada (ndiam = 2,4).

    Para que esto ocurra se debe incidir con el ngulo de Brewster, que es aquel que cumple que la suma de los ngulos formados por el rayo incidente y el refractado es 90: 90rB =+ Br cossen =

    1

    2BB2B1r2B1 n

    ntgcosnsenn;sennsenn ===

    Para el caso del diamante y el aire: 38,674,2tgarcnntgarc

    1

    2B ==

    =

    130

  • Solucionario

    8.56 Es posible aprovechar el fenmeno de la refraccin de la luz para generar un arco iris iluminando las gotas de lluvia con un haz lser de luz roja?

    No, ya que la luz roja es monocromtica y no puede dividirse en haces de luz de otros colores. Para observar el fenmeno del arco iris se debe realizar la refraccin con luz blanca.

    8.57 Una fuente de luz coherente se encuentra con dos rendijas a una distancia de 0,08 mm. La luz que atraviesa las rendijas se encuentra con una lmina a 4 m de las mismas. La primera franja iluminada (n = 1) esta a 3 cm de la lnea central.

    a) Calcula la longitud de onda de la luz.

    b) Calcula la distancia entre dos franjas iluminadas consecutivas.

    a) A partir de la expresin de la posicin de un franja iluminada, despejamos el valor de cuando n = 1.

    m1064103108

    nDydn

    Dyd 7

    25adaminiluadaminilu

    ====

    b) La distancia entre dos franjas iluminadas la podemos expresar como:

    m03,0108

    4106dD)n1n(

    dDyy

    )1n(dDy

    ndDy

    5

    7

    n1n

    1n

    n==

    =+

    =

    +

    =

    =

    +

    +

    . Se sitan a distancias de 3 cm.

    PROBLEMA DE SNTESIS

    8.58 Se quiere construir un dispositivo que permita que un rayo de luz monocromtica que incida horizontalmente sobre el mismo salga desviado 90. Para ello se cuenta con un vidrio con forma de un cuarto de crculo, como el de la imagen. El vidrio tiene un radio de 1 m y un ndice de refraccin para la luz utilizada de n = 1,6.

    Sabemos que cuando la luz incide horizontalmente sobre la pieza de vidrio, el ngulo que forma el rayo incidente con la normal (que es en todo momento el radio de la pieza) depende de la altura a la que se realice el contacto con el vidrio.

    Debemos calcular cul ser la altura a la que debe lanzarse el rayo sobre la pieza para que el rayo salga en la direccin perpendicular.

    Para que se produzca reflexin total: 68,386,11senarc

    n1senarci;1isenn =

    =

    ==

    Del tringulo ACB, obtenemos una relacin ente 1 y . 1r

    [ ] 1111 ri18090ir)90( +==+++ La refraccin que se produce en el punto A es:

    ( ) 1111 rsennrisenrsennsen =+= Desarrollando esta expresin:

    nicosrtg

    1isen;rsenrsenn

    rsenrsenicos

    rsenrcosisen;rsennrsenicosrcosisen

    11

    1

    1

    1

    1

    1111 =+=+=+

    Dividiendo por sen i : ( ) 23,3776,0arctgr76,025,156,2

    1

    itg1

    isenn

    1rtg;isen

    nitg

    1rtg

    111

    1===

    =

    ==+

    Aplicando de nuevo la ley de Snell: ( ) 50,7523,37sen6,1senarcrsennsen 111 ===El ngulo formado por el rayo y la normal es el mismo que el formado por el radio y la horizontal.

    Resolviendo este tringulo, se calcula la altura H: m968,0senRHRHsen 11 ===

    H R

    N

    N

    R

    r

    r

    i

    90 _ 11

    H C B

    A

    N

    O

    R

    r1 i

    131