Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante α.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 −20 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−1 2 −250 20 70

7 3 1

=

−1 2 −248 24 66

7 3 1

, E2

−1 2 −250 20 70

7 3 1

=

−1 2 −27 3 1

50 20 70

, −1 1 80

−2 7 20

2 5 30

E3 = −3 1 80

−6 7 20

6 5 30

, −1 1 80

−2 7 20

2 5 30

E4 = −1 1 81

−2 7 22

2 5 28

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 4 −13 0 0

0 0 1

.

Tarea 2, variante α, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−2 1 0

0 0 1

−2 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

18VI3

2Ω

4ΩI4

+ −

41VI2

7Ω I5

+ −40V

I13Ω

4ΩI6

Tarea 2, variante α, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 −4 2 −42 1 2 2

2 4 −6 1

6 6 −2 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 −4 2 −42 1 2 2

2 4 −6 1

6 6 −2 3

x =

2

1

−1−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 4 1

), A =

−9 −2 5 7

−6 8 −7 9

4 −1 −8 2

3 −4 −3 6

, B =

8 3 4 5

6 −6 7 9

−5 −7 1 −8−1 −4 −9 2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

9 7 −1 8

−9 4 6 −8−3 −6 5 3

0 −2 −5 2

=

−3 −6 5 3

0 −2 −5 2

−9 4 6 −89 7 −1 8

,4 −3 −2 9

2 −7 −4 −17 5 −6 −51 −8 6 0

Pψ =

−3 9 4 −2−7 −1 2 −45 −5 7 −6

−8 0 1 6

.

Tarea 2, variante α, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 5 5 −53 −1 −2 3

15 5 0 10

9 2 4 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 5 5 −53 −1 −2 3

15 5 0 10

9 2 4 7

x =

5

−1−56

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 6 −3 5 −2 4

0 −1 −2 7 5 7

0 −4 2 −8 −5 0

0 −7 8 2 2 −20 −5 3 1 −3 −7

.

Tarea 2, variante α, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante β.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 4 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

−2 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 30 20

4 1 6

−1 2 −2

=

43 24 26

4 1 6

−1 2 −2

, E2

40 30 20

4 1 6

−1 2 −2

=

4 1 6

40 30 20

−1 2 −2

, 8 1 80

−8 2 20

5 −1 70

E3 = 8 1 81

−8 2 22

5 −1 69

, 8 1 80

−8 2 20

5 −1 70

E4 = 24 1 80

−24 2 20

15 −1 70

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

1 0 −30 −1 0

.

Tarea 2, variante β, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

1 0 3

0 −2 3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

3Ω

+− 26V

I3

3Ω

+−6V

I1

1Ω

I23Ω I4

1Ω I5

+−

34VI6 5Ω

Tarea 2, variante β, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 0 3 3

3 4 4 7

3 4 1 4

3 −4 −1 −1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 0 3 3

3 4 4 7

3 4 1 4

3 −4 −1 −1

x =

3

1

1

−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 1 3

), A =

2 −1 −6 −21 6 7 9

−7 4 5 3

−9 −4 8 −5

, B =

0 9 −9 −5

−3 −4 2 5

−7 7 3 −1−8 −6 1 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

5 8 6 −19 −6 4 −93 −4 −8 −70 7 −3 2

=

9 −6 4 −93 −4 −8 −70 7 −3 2

5 8 6 −1

,

4 −5 −7 −37 6 5 −4

−2 −1 −9 9

0 −6 1 −8

Pψ =

4 −7 −3 −57 5 −4 6

−2 −9 9 −10 1 −8 −6

.

Tarea 2, variante β, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 1 4 4

1 1 4 7

3 2 8 10

−4 −3 −10 −15

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 4 4

1 1 4 7

3 2 8 10

−4 −3 −10 −15

x =

−21

−1−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 7 1 3 −7 −90 −4 −1 8 9 −60 −6 −5 −9 −9 −10 −8 8 2 −7 3

0 9 6 3 4 −8

.

Tarea 2, variante β, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 1 AMDM.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 3

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

7 8 9

20 50 70

−2 2 1

=

7 8 9

20 50 70

−6 6 3

, E2

7 8 9

20 50 70

−2 2 1

=

7 8 9

26 44 67

−2 2 1

, 1 4 70

−2 3 20

2 6 80

E3 = 1 70 4

−2 20 3

2 80 6

, 1 4 70

−2 3 20

2 6 80

E4 = 1 4 72

−2 3 16

2 6 84

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 −1−1 1 0

1 −3 0

.

Tarea 2, variante 1 AMDM, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

−1 0 −21 3 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

2Ω

+−

17VI1

+−

20VI2

7Ω3Ω

I3

4Ω

I4

+ −

35VI55Ω

Tarea 2, variante 1 AMDM, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 1 4 0

2 −3 7 −36 7 5 4

6 −1 7 1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 1 4 0

2 −3 7 −36 7 5 4

6 −1 7 1

x =

−11

−1−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 3 1

), A =

−1 −2 6 −9−4 8 3 2

0 −7 −3 9

4 1 −8 −5

, B =

−9 −5 −4 2

−2 7 1 6

−7 −8 −6 −35 3 0 4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−8 −6 8 0

−9 −3 4 5

−1 2 −5 9

−4 1 7 −7

=

−9 −3 4 5

−4 1 7 −7−8 −6 8 0

−1 2 −5 9

,

−6 5 −3 8

−1 4 7 6

−9 −2 −4 9

0 1 2 3

Pψ =

−3 5 8 −67 4 6 −1

−4 −2 9 −92 1 3 0

.

Tarea 2, variante 1 AMDM, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 5 3

2 −3 5 5

2 −4 0 5

6 −12 3 10

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 5 3

2 −3 5 5

2 −4 0 5

6 −12 3 10

x =

3

1

4

−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

9 −9 3 7 −6 3

0 3 −3 −7 −7 −70 4 −4 4 −4 −80 5 −6 −2 3 7

0 6 −1 7 −4 7

.

Tarea 2, variante 1 AMDM, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 2 AMV.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

−1 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

80 40 30

8 7 3

−2 1 2

=

78 41 32

8 7 3

−2 1 2

, E2

80 40 30

8 7 3

−2 1 2

=

80 40 30

−2 1 2

8 7 3

, 5 1 40

6 −1 70

−7 2 60

E3 = 5 1 38

6 −1 72

−7 2 56

, 5 1 40

6 −1 70

−7 2 60

E4 = 5 2 40

6 −2 70

−7 4 60

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−4 0 1

0 1 0

−2 0 −1

.

Tarea 2, variante 2 AMV, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

4 −1 0

0 −1 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−23V

I3

4Ω

3Ω

I4

1ΩI5

+−

18V I6 3Ω

2ΩI2

+−24V I1 3Ω

Tarea 2, variante 2 AMV, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 3 0 3

6 5 −3 8

3 6 7 −53 1 −8 2

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 3 0 3

6 5 −3 8

3 6 7 −53 1 −8 2

x =

3

7

−4−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 2 4

), A =

−8 −6 0 −59 −4 −9 8

−3 3 6 2

4 −2 7 5

, B =

0 9 −8 2

5 −4 −3 −2−6 −9 8 4

6 −5 7 −7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

9 8 2 −36 −4 7 −1

−7 4 −9 −63 −5 1 5

=

−7 4 −9 −66 −4 7 −13 −5 1 5

9 8 2 −3

,

−9 0 6 2

8 5 −5 −63 −8 −2 1

−1 9 4 −3

Pψ =

2 −9 0 6

−6 8 5 −51 3 −8 −2

−3 −1 9 4

.

Tarea 2, variante 2 AMV, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

−2 −1 −1 −52 1 1 2

2 4 2 10

−8 11 2 6

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 −1 −1 −52 1 1 2

2 4 2 10

−8 11 2 6

x =

2

1

−23

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

1 −2 5 1 0 0

0 3 −6 9 5 6

0 −8 −7 0 4 5

0 9 5 −9 6 7

0 −6 9 6 0 5

.

Tarea 2, variante 2 AMV, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 3 CHD.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −4 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 1 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

4 3 −91 2 −270 50 30

=

4 3 −91 2 −268 46 34

, E2

4 3 −91 2 −270 50 30

=

−12 −9 27

1 2 −270 50 30

, 8 20 2

6 70 −17 60 −2

E3 = 8 22 2

6 69 −17 58 −2

, 8 20 2

6 70 −17 60 −2

E4 = 2 20 8

−1 70 6

−2 60 7

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 0

−3 0 1

1 0 −1

.

Tarea 2, variante 3 CHD, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 0

0 0 1

0 −1 3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

31V

I1

4Ω

+ −

50V

I2

3Ω+−

48V

I3

6Ω

5Ω

I4

3Ω

I5

Tarea 2, variante 3 CHD, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 1 2 1

3 2 8 5

3 6 −2 −33 3 2 0

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 2 1

3 2 8 5

3 6 −2 −33 3 2 0

x =

−1−2−2−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 4 2

), A =

3 1 −5 −4

−3 5 −9 9

−2 2 −6 0

7 −7 −8 8

, B =

8 −1 −2 −9

−6 −4 5 −31 6 −5 0

9 −7 2 −8

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

2 −5 0 −28 −6 9 −83 6 1 5

−9 −1 7 −4

=

−9 −1 7 −42 −5 0 −23 6 1 5

8 −6 9 −8

,

0 −1 7 −76 −8 5 2

1 −6 3 −5−4 4 −9 8

Pψ =

0 7 −7 −16 5 2 −81 3 −5 −6

−4 −9 8 4

.

Tarea 2, variante 3 CHD, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 5 4 5

−4 −2 4 1

−4 8 12 14

−8 1 9 12

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 5 4 5

−4 −2 4 1

−4 8 12 14

−8 1 9 12

x =

−11

2

3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

0 5 −6 −3 9 8

0 −6 −4 7 −2 −30 3 2 −3 2 −70 8 4 0 2 −60 2 −6 0 −6 −9

.

Tarea 2, variante 3 CHD, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 4 CBN.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −2

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 −1 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−1 −2 2

9 3 6

40 70 80

=

−1 −2 2

27 9 18

40 70 80

, E2

−1 −2 2

9 3 6

40 70 80

=

−1 −2 2

9 3 6

37 64 86

, 80 1 −920 −1 3

60 2 8

E3 = 81 1 −919 −1 3

62 2 8

, 80 1 −920 −1 3

60 2 8

E4 = 80 −9 1

20 3 −160 8 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 1 4

0 0 −41 0 4

.

Tarea 2, variante 4 CBN, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

2 0 −90 0 3

0 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

8ΩI4

+−

57VI3

5Ω

+ −

12VI2

4Ω I5

2ΩI6

+−23V

I11Ω

Tarea 2, variante 4 CBN, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−4 −1 2 −30 3 4 1

4 7 4 2

−4 2 8 5

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−4 −1 2 −30 3 4 1

4 7 4 2

−4 2 8 5

x =

3

1

−1−4

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 2 4 1

), A =

8 0 5 −6

−2 −7 −8 9

−5 1 −4 −13 2 6 4

, B =

1 7 −2 −3

−5 −1 −9 6

8 −7 −8 9

−6 4 2 0

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−7 0 −2 8

−8 −6 −5 −91 4 7 6

9 2 −3 3

=

−8 −6 −5 −99 2 −3 3

1 4 7 6

−7 0 −2 8

,

−8 0 −9 5

−7 −2 −3 1

7 −6 9 −12 8 3 −4

Pψ =

−9 −8 0 5

−3 −7 −2 1

9 7 −6 −13 2 8 −4

.

Tarea 2, variante 4 CBN, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

4 5 1 5

4 5 1 7

8 15 0 9

−8 −15 2 −11

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 5 1 5

4 5 1 7

8 15 0 9

−8 −15 2 −11

x =

1

5

1

−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 −1 −6 4 3 5

0 1 1 7 7 −80 5 −2 −2 1 −90 4 1 −3 7 −10 −9 −4 −1 −9 7

.

Tarea 2, variante 4 CBN, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 5 DLRGA.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−3 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 1

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

60 80 70

6 5 8

−1 2 1

=

60 80 70

18 15 24

−1 2 1

, E2

60 80 70

6 5 8

−1 2 1

=

59 82 71

6 5 8

−1 2 1

, 1 60 5

−2 50 8

2 30 −9

E3 = 1 58 5

−2 54 8

2 26 −9

, 1 60 5

−2 50 8

2 30 −9

E4 = 60 1 5

50 −2 8

30 2 −9

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−4 −1 0

0 0 1

3 1 0

.

Tarea 2, variante 5 DLRGA, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−9 −2 0

0 0 1

−3 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

2Ω

+−6V

I12Ω I4

5Ω

+− 35V

I31ΩI5

I2

3Ω

+−

41VI6 5Ω

Tarea 2, variante 5 DLRGA, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 4 −1 3

3 5 2 0

6 7 −4 7

6 6 −4 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 4 −1 3

3 5 2 0

6 7 −4 7

6 6 −4 8

x =

1

3

−1−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 4 2 1

), A =

4 7 −2 −50 9 5 8

−6 −1 6 −41 −3 −8 −7

, B =

9 5 −3 −4

−9 −7 −1 −2−8 3 −6 0

6 4 8 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

6 −4 −2 −10 3 7 −3

−9 5 1 4

9 2 −5 −8

=

−9 5 1 4

6 −4 −2 −19 2 −5 −80 3 7 −3

,

−7 −1 0 −67 6 8 2

−8 −2 −9 −43 −3 −5 9

Pψ =

−7 −6 −1 0

7 2 6 8

−8 −4 −2 −93 9 −3 −5

.

Tarea 2, variante 5 DLRGA, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 3 2 −45 3 2 2

15 3 2 11

10 −3 −1 13

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 3 2 −45 3 2 2

15 3 2 11

10 −3 −1 13

x =

−11

−11

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−3 −2 8 8 −2 −60 −4 6 5 5 9

0 7 1 2 −5 1

0 −6 0 −9 −6 3

0 −9 −9 −2 8 7

.

Tarea 2, variante 5 DLRGA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 6 DOF.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −4 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

1 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−2 9 6

20 50 60

1 −1 2

=

−2 9 6

18 52 56

1 −1 2

, E2

−2 9 6

20 50 60

1 −1 2

=

−2 9 6

20 50 60

−4 4 −8

, 80 9 −220 6 1

50 −8 2

E3 = 9 80 −2

6 20 1

−8 50 2

, 80 9 −220 6 1

50 −8 2

E4 = 74 9 −223 6 1

56 −8 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 0

1 −1 0

−2 0 1

.

Tarea 2, variante 6 DOF, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

0 2 2

−4 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

13VI4 I5

+−

32V

2Ω

I2

7Ω

I3

5Ω

+−8V I1 1Ω

3Ω

Tarea 2, variante 6 DOF, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

4 2 −3 3

4 3 −5 3

8 2 −5 5

4 5 0 4

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 2 −3 3

4 3 −5 3

8 2 −5 5

4 5 0 4

x =

−1−21

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 2 3

), A =

2 −8 −9 −35 1 0 −4

−7 6 3 7

9 −1 −2 −5

, B =

−7 8 6 3

−5 −1 −3 −64 1 9 −9

−2 7 −4 −8

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−5 −8 4 −39 −2 −1 1

−6 3 −7 5

8 −4 0 −9

=

9 −2 −1 1

8 −4 0 −9−5 −8 4 −3−6 3 −7 5

,

−6 5 9 2

−2 1 3 −4−3 −5 −9 6

−1 −7 8 0

Pψ =

2 9 −6 5

−4 3 −2 1

6 −9 −3 −50 8 −1 −7

.

Tarea 2, variante 6 DOF, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

−4 1 4 −1−4 1 4 4

−4 5 3 4

4 3 −2 5

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−4 1 4 −1−4 1 4 4

−4 5 3 4

4 3 −2 5

x =

2

−3−12

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−1 −4 0 5 3 −90 −1 7 3 3 8

0 3 3 3 7 −10 −7 −7 −5 −4 −50 −9 −7 5 −4 −9

.

Tarea 2, variante 6 DOF, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 7 FJVN.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 −10 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

9 4 −41 −1 2

20 70 80

=

1 −1 2

9 4 −420 70 80

, E2

9 4 −41 −1 2

20 70 80

=

9 4 −41 −1 2

21 69 82

, 1 40 6

2 80 5

−1 20 −7

E3 = 1 38 6

2 76 5

−1 22 −7

, 1 40 6

2 80 5

−1 20 −7

E4 = 1 40 −12

2 80 −10−1 20 14

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 −21 2 0

0 1 0

.

Tarea 2, variante 7 FJVN, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

1 0 −40 −3 −4

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−12V

I3

5Ω

4Ω

I4

+ −

35VI65Ω

3Ω I5

+ −19VI11Ω

2ΩI2

Tarea 2, variante 7 FJVN, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 2 2 2

2 −1 1 −22 2 1 2

8 5 4 2

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 2 2 2

2 −1 1 −22 2 1 2

8 5 4 2

x =

−22

1

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 3 2

), A =

2 4 0 −89 7 −2 1

−7 −1 −3 8

6 3 −5 −9

, B =

−3 9 −8 3

8 −5 1 2

−6 −9 6 4

0 7 −4 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−5 6 8 7

2 9 0 4

1 −3 3 −8−6 −4 −7 −2

=

1 −3 3 −8

−5 6 8 7

2 9 0 4

−6 −4 −7 −2

,

−2 7 −3 −73 −1 −5 5

−8 2 6 −6−4 1 4 −9

Pψ =

−3 −7 7 −2−5 5 −1 3

6 −6 2 −84 −9 1 −4

.

Tarea 2, variante 7 FJVN, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 −1 2 0

1 3 3 4

1 5 −1 5

1 7 −2 9

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 −1 2 0

1 3 3 4

1 5 −1 5

1 7 −2 9

x =

1

−1−12

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

1 −9 5 8 −1 9

0 4 −7 −8 −9 4

0 7 0 2 −5 6

0 −5 −2 −5 1 3

0 −8 7 5 9 0

.

Tarea 2, variante 7 FJVN, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 8 FPVI.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−2 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

1 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

30 50 60

−1 1 2

−8 7 8

=

30 50 60

−2 2 4

−8 7 8

, E2

30 50 60

−1 1 2

−8 7 8

=

27 53 66

−1 1 2

−8 7 8

, 1 50 3

−2 80 8

−1 60 7

E3 = 1 49 3

−2 82 8

−1 61 7

, 1 50 3

−2 80 8

−1 60 7

E4 = 50 1 3

80 −2 8

60 −1 7

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

2 0 0

0 0 1

−2 1 0

.

Tarea 2, variante 8 FPVI, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

2 0 1

0 1 0

−1 0 −2

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−34V

I1

2Ω

+− 17V

I2

1Ω

+−

7V

I5

2Ω

6Ω

I3

5Ω

I4

Tarea 2, variante 8 FPVI, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 2 3 4

−4 5 5 6

−4 4 4 7

4 −7 3 −1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 2 3 4

−4 5 5 6

−4 4 4 7

4 −7 3 −1

x =

1

1

2

−3

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 2 1 3

), A =

5 4 8 −5

−4 −9 7 0

−6 −3 1 −26 9 2 3

, B =

−2 9 8 6

1 −8 −1 0

−6 3 −4 2

−3 7 −9 4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−2 8 1 −5−3 6 −4 7

5 −9 9 3

−7 −6 2 −1

=

−3 6 −4 7

5 −9 9 3

−2 8 1 −5−7 −6 2 −1

,

−8 3 −2 0

1 9 −6 −44 8 −5 2

−9 −1 7 −3

Pψ =

3 0 −8 −29 −4 1 −68 2 4 −5

−1 −3 −9 7

.

Tarea 2, variante 8 FPVI, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 2 2 −12 4 4 3

2 −1 4 −33 −4 8 −3

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 2 2 −12 4 4 3

2 −1 4 −33 −4 8 −3

x =

−3−1−2−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 −4 −2 −7 7 1

0 2 −5 8 5 −60 3 3 −3 −9 5

0 6 −5 −4 5 −20 −7 1 6 −1 −8

.

Tarea 2, variante 8 FPVI, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 9 FMHE.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 −1 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 30 60

3 −3 4

1 2 −1

=

38 26 62

3 −3 4

1 2 −1

, E2

40 30 60

3 −3 4

1 2 −1

=

1 2 −13 −3 4

40 30 60

, 40 2 3

50 1 4

20 −2 9

E3 = 40 2 −1250 1 −1620 −2 −36

, 40 2 3

50 1 4

20 −2 9

E4 = 38 2 3

49 1 4

22 −2 9

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

1 0 0

−1 −2 0

.

Tarea 2, variante 9 FMHE, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 2

0 0 1

0 −1 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

35V

I5

3Ω+ −

21V

I4

5Ω

+−

32V

I6

3Ω

2Ω

I1

4ΩI2

1Ω

I3

Tarea 2, variante 9 FMHE, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−1 1 1 2

−2 1 −1 3

−3 4 8 8

−4 4 8 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−1 1 1 2

−2 1 −1 3

−3 4 8 8

−4 4 8 8

x =

1

3

−1−4

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 3 1 2

), A =

−6 −3 7 0

6 4 9 −2−9 −5 −4 2

3 −8 −7 8

, B =

5 7 −9 3

−8 −6 4 1

−7 0 −2 −32 8 −5 −1

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

2 −7 0 5

−9 8 −1 7

6 −4 3 −64 9 −5 −8

=

6 −4 3 −62 −7 0 5

4 9 −5 −8−9 8 −1 7

,

−9 7 6 1

8 −3 −8 −12 5 9 3

−2 −5 −6 4

Pψ =

7 6 1 −9

−3 −8 −1 8

5 9 3 2

−5 −6 4 −2

.

Tarea 2, variante 9 FMHE, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 −4 2

5 2 3 −55 3 −1 2

15 9 2 −12

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 −4 2

5 2 3 −55 3 −1 2

15 9 2 −12

x =

−2−12

−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 0 −6 2 3 2

0 −3 0 −3 −5 −70 6 −6 6 −1 −80 −9 2 3 8 6

0 2 −8 3 3 7

.

Tarea 2, variante 9 FMHE, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 10 GBLF.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −2

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 −3 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−3 4 8

2 −1 1

70 30 60

=

−3 4 8

2 −1 1

64 33 57

, E2

−3 4 8

2 −1 1

70 30 60

=

2 −1 1

−3 4 8

70 30 60

, 2 −8 30

−2 7 60

1 8 40

E3 = 2 −8 26

−2 7 64

1 8 38

, 2 −8 30

−2 7 60

1 8 40

E4 = 2 −32 30

−2 28 60

1 32 40

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 −40 0 −30 1 0

.

Tarea 2, variante 10 GBLF, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 3

0 0 2

0 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

3Ω

+− 26V

I3

3Ω

+−6V

I1

1Ω

I23Ω I4

1Ω I5

+−

34VI6 5Ω

Tarea 2, variante 10 GBLF, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 1 −2 1

6 1 0 −23 1 −4 5

3 3 −8 6

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 1 −2 1

6 1 0 −23 1 −4 5

3 3 −8 6

x =

−2−4−2−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 3 4 2

), A =

−6 7 −3 −5−1 1 6 −93 −7 0 −29 −8 4 2

, B =

4 1 −7 −8

−2 9 0 3

2 −5 5 −98 −6 −1 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−3 −9 −2 −53 8 5 9

2 −1 4 −8−6 1 6 −4

=

2 −1 4 −8

−3 −9 −2 −5−6 1 6 −43 8 5 9

,

3 2 0 7

−9 −5 5 1

8 −3 −1 −2−7 −4 4 −8

Pψ =

0 7 2 3

5 1 −5 −9−1 −2 −3 8

4 −8 −4 −7

.

Tarea 2, variante 10 GBLF, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

4 −1 2 5

12 −3 6 11

−4 5 −1 −1012 5 5 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 −1 2 5

12 −3 6 11

−4 5 −1 −1012 5 5 7

x =

2

−2−13

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−2 2 −7 9 8 0

0 1 −8 −8 −9 0

0 −3 7 −9 −6 −50 −6 3 −4 −3 5

0 9 −4 2 9 −2

.

Tarea 2, variante 10 GBLF, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 11 GOL.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 3

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

60 30 80

2 −2 1

−4 5 6

=

54 36 77

2 −2 1

−4 5 6

, E2

60 30 80

2 −2 1

−4 5 6

=

60 30 80

−6 6 −3−4 5 6

, 4 40 1

−4 50 −13 60 2

E3 = 4 42 1

−4 48 −13 64 2

, 4 40 1

−4 50 −13 60 2

E4 = 40 4 1

50 −4 −160 3 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−3 1 0

0 0 1

0 1 4

.

Tarea 2, variante 11 GOL, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

3 0 1

0 1 0

−1 −4 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

2Ω

+−

17VI1

+−

20VI2

7Ω3Ω

I3

4Ω

I4

+ −

35VI55Ω

Tarea 2, variante 11 GOL, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 1 2 −13 3 5 −33 −3 −3 6

6 4 5 −6

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 1 2 −13 3 5 −33 −3 −3 6

6 4 5 −6

x =

1

−16

2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 4 2 3

), A =

9 5 −2 3

−4 −8 −9 −14 7 −6 −7

−3 1 2 0

, B =

−1 −8 −4 −53 4 −3 8

7 −7 1 5

−9 0 2 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−6 0 −8 6

2 −7 3 −4−9 9 −1 −35 7 1 −2

=

5 7 1 −2

−6 0 −8 6

2 −7 3 −4−9 9 −1 −3

,

−4 −5 −9 −72 −6 −8 −23 0 6 5

7 8 −1 4

Pψ =

−7 −4 −5 −9−2 2 −6 −85 3 0 6

4 7 8 −1

.

Tarea 2, variante 11 GOL, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 2 4 3

2 3 2 4

−4 0 8 2

−2 3 6 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 2 4 3

2 3 2 4

−4 0 8 2

−2 3 6 7

x =

1

3

−2−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

3 3 4 3 −2 −20 2 −2 2 −8 −40 −7 −8 0 4 2

0 8 −6 0 6 −70 −9 −1 5 1 2

.

Tarea 2, variante 11 GOL, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 12 GMSJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

3 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

1 −2 2

5 −6 3

80 30 70

=

1 −2 2

−15 18 −980 30 70

, E2

1 −2 2

5 −6 3

80 30 70

=

1 −2 2

5 −6 3

83 24 76

, −4 40 1

9 30 −25 60 2

E3 = 1 40 −4

−2 30 9

2 60 5

, −4 40 1

9 30 −25 60 2

E4 = −4 39 1

9 32 −25 58 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−3 0 1

1 0 3

0 4 0

.

Tarea 2, variante 12 GMSJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

−2 −3 −21 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−23V

I3

4Ω

3Ω

I4

1ΩI5

+−

18V I6 3Ω

2ΩI2

+−24V I1 3Ω

Tarea 2, variante 12 GMSJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 2 2 −14 6 5 −23 4 6 −13 8 −3 −7

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 2 2 −14 6 5 −23 4 6 −13 8 −3 −7

x =

1

1

3

−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 1 4

), A =

3 1 5 −7

−5 0 −2 −9−8 8 −1 −39 −4 4 7

, B =

2 0 −1 6

−4 −6 7 −5−7 4 −2 5

3 −9 8 −8

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

7 8 3 9

−7 0 −1 1

−3 −9 5 −4−6 2 6 −5

=

7 8 3 9

−6 2 6 −5−7 0 −1 1

−3 −9 5 −4

,

4 −2 6 −52 9 −4 5

−1 −6 −9 −77 −3 3 8

Pψ =

6 −5 −2 4

−4 5 9 2

−9 −7 −6 −13 8 −3 7

.

Tarea 2, variante 12 GMSJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 4 1 3

−3 −12 −3 −43 11 1 7

−1 1 4 2

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 4 1 3

−3 −12 −3 −43 11 1 7

−1 1 4 2

x =

−1−2−41

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−2 −1 −6 −7 −9 1

0 −3 4 −1 −5 3

0 −5 9 −8 0 −50 7 1 0 −5 −40 9 −7 6 −9 −8

.

Tarea 2, variante 12 GMSJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 13 GRJC.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −4

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 1

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

1 2 −25 8 9

20 70 60

=

1 2 −25 8 9

23 76 54

, E2

1 2 −25 8 9

20 70 60

=

5 8 9

1 2 −220 70 60

, 6 40 −1

7 70 1

−3 80 2

E3 = 6 40 2

7 70 −2−3 80 −4

, 6 40 −1

7 70 1

−3 80 2

E4 = 6 39 −1

7 71 1

−3 82 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 1 0

2 0 −21 0 0

.

Tarea 2, variante 13 GRJC, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

1 2 3

0 0 −1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

31V

I1

4Ω

+ −

50V

I2

3Ω+−

48V

I3

6Ω

5Ω

I4

3Ω

I5

Tarea 2, variante 13 GRJC, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 1 −1 1

2 5 −1 5

−2 1 2 0

−4 2 6 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 −1 1

2 5 −1 5

−2 1 2 0

−4 2 6 3

x =

−1−22

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 4 1

), A =

2 4 3 5

1 −3 −9 −17 −7 −4 −59 6 0 8

, B =

−8 −5 −4 4

2 −9 8 7

−2 −3 −6 1

9 5 6 −7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−6 −3 6 −8−5 −1 0 −75 8 4 −97 −2 3 −4

=

−5 −1 0 −77 −2 3 −45 8 4 −9

−6 −3 6 −8

,

8 1 3 −64 9 −5 2

−8 −3 −1 0

−7 6 7 −4

Pψ =

−6 3 8 1

2 −5 4 9

0 −1 −8 −3−4 7 −7 6

.

Tarea 2, variante 13 GRJC, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 −1 2 4

1 −1 5 1

1 −3 9 4

2 −6 14 14

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 −1 2 4

1 −1 5 1

1 −3 9 4

2 −6 14 14

x =

2

−1−2−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

3 7 −2 −9 8 7

0 −1 6 6 8 8

0 7 0 0 3 5

0 8 −7 −1 −7 7

0 6 4 −6 −7 3

.

Tarea 2, variante 13 GRJC, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 14 HARD.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−2 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

3 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−1 1 2

20 70 80

−4 5 4

=

−1 1 2

18 72 84

−4 5 4

, E2

−1 1 2

20 70 80

−4 5 4

=

−4 5 4

20 70 80

−1 1 2

, 30 −1 5

20 2 −960 1 7

E3 = 30 −1 20

20 2 −3660 1 28

, 30 −1 5

20 2 −960 1 7

E4 = 31 −1 5

18 2 −959 1 7

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

−4 0 0

0 1 −2

.

Tarea 2, variante 14 HARD, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−4 0 0

0 2 1

4 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

8ΩI4

+−

57VI3

5Ω

+ −

12VI2

4Ω I5

2ΩI6

+−23V

I11Ω

Tarea 2, variante 14 HARD, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 2 1 −12 5 3 −63 4 −2 1

0 −1 2 4

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 2 1 −12 5 3 −63 4 −2 1

0 −1 2 4

x =

1

1

−24

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 1 3

), A =

−2 5 4 2

0 3 −3 −1−6 8 9 −4−8 7 −7 −5

, B =

8 5 −9 −52 6 −1 9

3 7 0 −6−4 4 1 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

7 −9 0 2

−1 4 1 −65 9 −3 8

−2 −8 6 3

=

5 9 −3 8

−2 −8 6 3

−1 4 1 −67 −9 0 2

,

−4 7 −1 0

5 −2 −3 2

−7 −5 9 −9−8 6 4 8

Pψ =

−1 −4 7 0

−3 5 −2 2

9 −7 −5 −94 −8 6 8

.

Tarea 2, variante 14 HARD, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

2 4 2 2

4 8 4 3

−8 −12 −7 −114 4 2 6

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 4 2 2

4 8 4 3

−8 −12 −7 −114 4 2 6

x =

−2−31

2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−3 −5 −6 1 −1 9

0 3 −1 6 8 7

0 7 −9 −9 6 −80 5 5 1 −2 1

0 −2 5 6 6 −6

.

Tarea 2, variante 14 HARD, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 15 HCJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 3 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−8 8 7

40 50 60

1 −1 2

=

−8 8 7

40 50 60

4 −4 8

, E2

−8 8 7

40 50 60

1 −1 2

=

−8 8 7

41 49 62

1 −1 2

, 1 70 −4

−2 80 7

2 40 3

E3 = 1 67 −4

−2 86 7

2 34 3

, 1 70 −4

−2 80 7

2 40 3

E4 = 70 1 −480 −2 7

40 2 3

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 4

0 0 1

1 0 2

.

Tarea 2, variante 15 HCJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 3

1 0 0

2 2 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

2Ω

+−6V

I12Ω I4

5Ω

+− 35V

I31ΩI5

I2

3Ω

+−

41VI6 5Ω

Tarea 2, variante 15 HCJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 1 1 1

6 4 2 2

−6 −7 4 0

4 4 3 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 1 1 1

6 4 2 2

−6 −7 4 0

4 4 3 3

x =

2

2

1

−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 3 1

), A =

6 −7 −8 2

9 4 −3 1

8 −2 −1 −4−9 −6 5 3

, B =

2 −9 9 −8

−4 7 0 −7−3 3 −6 6

5 −5 −2 −1

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−2 8 3 6

9 −1 −8 −47 −6 0 5

−9 4 1 −5

=

9 −1 −8 −4

−9 4 1 −5−2 8 3 6

7 −6 0 5

,

−6 8 3 6

−8 0 −1 5

−9 2 −4 7

−3 −7 4 1

Pψ =

3 6 8 −6

−1 5 0 −8−4 7 2 −94 1 −7 −3

.

Tarea 2, variante 15 HCJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 4 5 2

5 1 3 5

10 6 11 14

10 −6 −1 9

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 4 5 2

5 1 3 5

10 6 11 14

10 −6 −1 9

x =

1

2

−12

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−7 −4 7 −8 4 7

0 3 −3 7 7 −80 2 1 2 −2 2

0 5 −2 −3 1 −70 1 5 3 5 −3

.

Tarea 2, variante 15 HCJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 16 HMI.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 1 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

50 20 60

2 −1 1

7 4 9

=

44 23 57

2 −1 1

7 4 9

, E2

50 20 60

2 −1 1

7 4 9

=

7 4 9

2 −1 1

50 20 60

, 30 6 −160 7 1

40 −4 2

E3 = 30 −24 −160 −28 1

40 16 2

, 30 6 −160 7 1

40 −4 2

E4 = 32 6 −158 7 1

36 −4 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 1 −20 0 2

1 −2 0

.

Tarea 2, variante 16 HMI, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−3 1 0

−1 0 0

0 0 3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

13VI4 I5

+−

32V

2Ω

I2

7Ω

I3

5Ω

+−8V I1 1Ω

3Ω

Tarea 2, variante 16 HMI, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 2 −4 1

2 3 −8 3

6 5 −6 −32 1 2 −3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 2 −4 1

2 3 −8 3

6 5 −6 −32 1 2 −3

x =2

1

1

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 2 4

), A =

8 −1 0 2

−6 9 6 −2−7 −5 −8 4

−9 −4 3 7

, B =

4 −5 −6 6

3 5 2 1

−2 9 −7 −3−8 8 −4 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

8 −8 −1 −6

−5 −3 4 −72 −4 9 5

−2 3 6 7

=

2 −4 9 5

−5 −3 4 −7−2 3 6 7

8 −8 −1 −6

,

2 6 −7 5

−6 0 −2 −8−5 4 8 −4−3 −9 7 1

Pψ =

6 −7 5 2

0 −2 −8 −64 8 −4 −5

−9 7 1 −3

.

Tarea 2, variante 16 HMI, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

−3 −5 −4 −43 5 4 1

6 12 12 7

6 12 9 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−3 −5 −4 −43 5 4 1

6 12 12 7

6 12 9 7

x =

−2−11

−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

5 −7 0 0 6 9

0 5 −2 −6 9 −90 −6 −5 −3 −3 7

0 −9 −4 −4 −1 −70 2 −4 4 −5 1

.

Tarea 2, variante 16 HMI, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 17 LGT.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 −20 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

6 −5 8

1 2 −280 20 40

=

6 −5 8

1 2 −281 22 38

, E2

6 −5 8

1 2 −280 20 40

=

18 −15 24

1 2 −280 20 40

, −1 70 3

1 80 6

2 50 −9

E3 = 70 −1 3

80 1 6

50 2 −9

, −1 70 3

1 80 6

2 50 −9

E4 = −1 72 3

1 78 6

2 46 −9

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−3 −2 0

0 0 −40 1 0

.

Tarea 2, variante 17 LGT, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −2 4

−1 0 0

0 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−12V

I3

5Ω

4Ω

I4

+ −

35VI65Ω

3Ω I5

+ −19VI11Ω

2ΩI2

Tarea 2, variante 17 LGT, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 4 3 −22 8 2 −42 −4 7 6

2 8 6 1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 4 3 −22 8 2 −42 −4 7 6

2 8 6 1

x =

−3−21

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 4 2

), A =

0 −4 −3 −2

−5 4 6 3

2 −8 8 −79 −9 −6 1

, B =

−8 3 −2 −5−7 9 6 5

8 7 2 1

−9 −1 −3 4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

9 −9 −4 0

5 −1 −5 2

4 7 −6 8

−3 −7 6 3

=

9 −9 −4 0

−3 −7 6 3

5 −1 −5 2

4 7 −6 8

,

2 5 −9 −14 7 8 −6

−8 −3 −5 6

−7 9 1 0

Pψ =

−9 2 5 −18 4 7 −6

−5 −8 −3 6

1 −7 9 0

.

Tarea 2, variante 17 LGT, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 −3 2 3

1 1 3 5

4 13 6 9

1 10 2 0

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 −3 2 3

1 1 3 5

4 13 6 9

1 10 2 0

x =

3

1

−1−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

4 6 −1 −4 3 −70 −2 −8 −6 8 −50 −7 0 3 −2 5

0 −4 7 1 7 −50 −8 −7 −4 −9 −2

.

Tarea 2, variante 17 LGT, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 18 MARD.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

−1 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−2 1 2

50 40 70

4 8 −4

=

−2 1 2

44 43 76

4 8 −4

, E2

−2 1 2

50 40 70

4 8 −4

=

−2 1 2

50 40 70

−16 −32 16

, 30 −2 7

40 −1 5

50 1 4

E3 = 32 −2 7

41 −1 5

49 1 4

, 30 −2 7

40 −1 5

50 1 4

E4 = 30 7 −240 5 −150 4 1

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

0 −2 −21 3 0

.

Tarea 2, variante 18 MARD, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 −41 0 −10 −1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−34V

I1

2Ω

+− 17V

I2

1Ω

+−

7V

I5

2Ω

6Ω

I3

5Ω

I4

Tarea 2, variante 18 MARD, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−3 0 1 −16 1 −1 5

3 1 3 1

−3 2 6 5

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−3 0 1 −16 1 −1 5

3 1 3 1

−3 2 6 5

x =

−1−23

−6

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 2 4 1

), A =

−5 5 9 2

−2 −9 −3 6

−1 4 −8 −43 0 −7 7

, B =

5 2 3 6

9 1 −2 −9−6 4 8 −57 −4 0 −3

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−1 −5 −4 8

−6 0 −2 6

3 −9 2 9

5 −3 1 −7

=

−6 0 −2 6

3 −9 2 9

5 −3 1 −7−1 −5 −4 8

,

5 −7 −6 2

−5 6 −1 −4−3 0 −8 3

7 4 −9 9

Pψ =

−7 2 5 −66 −4 −5 −10 3 −3 −84 9 7 −9

.

Tarea 2, variante 18 MARD, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

3 4 2 −49 12 6 −96 12 9 −10

−12 −4 9 15

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 4 2 −49 12 6 −96 12 9 −10

−12 −4 9 15

x =

1

−35

1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

2 −4 −3 −7 −9 −60 −3 −9 −2 −6 −30 4 −4 0 4 6

0 −9 5 8 −3 −10 −6 −2 −4 −8 −8

.

Tarea 2, variante 18 MARD, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 19 MMEU.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 2

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 3

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

80 50 20

4 6 8

2 −2 1

=

4 6 8

80 50 20

2 −2 1

, E2

80 50 20

4 6 8

2 −2 1

=

76 54 18

4 6 8

2 −2 1

, 40 −1 7

70 1 5

80 −2 6

E3 = 40 −1 −2870 1 −2080 −2 −24

, 40 −1 7

70 1 5

80 −2 6

E4 = 43 −1 7

67 1 5

86 −2 6

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 0

0 −3 4

3 1 0

.

Tarea 2, variante 19 MMEU, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

1 0 2

−1 0 −2

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

35V

I5

3Ω+ −

21V

I4

5Ω

+−

32V

I6

3Ω

2Ω

I1

4ΩI2

1Ω

I3

Tarea 2, variante 19 MMEU, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 1 1 0

6 1 5 −26 1 8 −64 2 5 −3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 1 1 0

6 1 5 −26 1 8 −64 2 5 −3

x =

1

−1−1−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 4 2 1

), A =

3 −4 4 −8

−9 8 0 −19 −7 −3 −61 6 −5 2

, B =

0 6 −3 7

9 2 −6 4

−9 −1 −8 8

3 5 −5 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

6 −1 4 5

7 2 −2 −78 0 −8 −63 −5 −9 9

=

3 −5 −9 9

6 −1 4 5

7 2 −2 −78 0 −8 −6

,

3 −1 1 7

−9 −3 2 −26 5 −4 −8

−6 4 −5 8

Pψ =

1 3 −1 7

2 −9 −3 −2−4 6 5 −8−5 −6 4 8

.

Tarea 2, variante 19 MMEU, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 −3 4

4 2 3 −112 8 3 7

12 4 11 −12

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 −3 4

4 2 3 −112 8 3 7

12 4 11 −12

x =

−22

4

−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

5 −9 5 8 7 6

0 4 7 −5 −3 3

0 −7 −5 0 7 4

0 3 7 0 4 8

0 8 −2 −5 6 6

.

Tarea 2, variante 19 MMEU, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 20 MCJD.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

3 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

−2 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

30 40 20

−1 2 −29 4 5

=

30 40 20

−2 4 −49 4 5

, E2

30 40 20

−1 2 −29 4 5

=

33 34 26

−1 2 −29 4 5

, 2 80 9

−1 20 4

−2 40 5

E3 = 2 9 80

−1 4 20

−2 5 40

, 2 80 9

−1 20 4

−2 40 5

E4 = 2 76 9

−1 22 4

−2 44 5

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

−2 0 0

0 −4 −3

.

Tarea 2, variante 20 MCJD, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−2 0 0

0 0 1

−4 2 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

3Ω

+− 26V

I3

3Ω

+−6V

I1

1Ω

I23Ω I4

1Ω I5

+−

34VI6 5Ω

Tarea 2, variante 20 MCJD, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 4 1 2

3 7 3 3

−3 −4 0 −46 5 1 −1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 4 1 2

3 7 3 3

−3 −4 0 −46 5 1 −1

x =

1

−2−22

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 2 3

), A =

2 −2 1 7

−5 −7 3 −9−8 −3 0 5

−4 −6 9 −1

, B =

−2 −6 −5 3

−8 −4 2 6

0 −7 7 −9−3 4 −1 9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

4 −9 8 0

1 −1 9 2

−3 −6 −2 5

6 −8 −7 −5

=

−3 −6 −2 5

6 −8 −7 −51 −1 9 2

4 −9 8 0

,

−1 −2 8 −87 1 6 −5

−3 9 3 −42 −9 −6 −7

Pψ =

−8 −1 8 −2−5 7 6 1

−4 −3 3 9

−7 2 −6 −9

.

Tarea 2, variante 20 MCJD, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

4 5 1 3

−8 −10 −2 −118 13 3 6

12 6 −5 14

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 5 1 3

−8 −10 −2 −118 13 3 6

12 6 −5 14

x =

1

3

−41

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−1 −3 −9 −2 −7 −80 3 −4 1 −6 −70 −6 6 9 5 1

0 −7 −6 1 7 −10 −9 8 −3 −5 3

.

Tarea 2, variante 20 MCJD, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 21 MMNR.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 −1 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 50 80

1 −1 2

6 −7 7

=

41 49 82

1 −1 2

6 −7 7

, E2

40 50 80

1 −1 2

6 −7 7

=

40 50 80

−4 4 −86 −7 7

, 3 40 1

−8 50 2

7 60 −1

E3 = 3 38 1

−8 46 2

7 62 −1

, 3 40 1

−8 50 2

7 60 −1

E4 = 3 1 40

−8 2 50

7 −1 60

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 4 0

1 0 0

−2 0 1

.

Tarea 2, variante 21 MMNR, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −2 0

−3 0 0

−2 0 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

2Ω

+−

17VI1

+−

20VI2

7Ω3Ω

I3

4Ω

I4

+ −

35VI55Ω

Tarea 2, variante 21 MMNR, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−1 2 1 1

−4 4 3 2

1 2 4 −31 −6 −6 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−1 2 1 1

−4 4 3 2

1 2 4 −31 −6 −6 3

x =

2

−1−1−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 3 2

), A =

−6 −2 4 3

8 6 5 2

−8 7 0 9

−5 −9 −4 1

, B =

0 5 −5 −7

−4 4 −3 2

−2 3 −9 −68 1 7 9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

3 −1 9 −2

−5 6 5 −7−3 2 −9 −47 8 0 4

=

−3 2 −9 −4−5 6 5 −77 8 0 4

3 −1 9 −2

,

−1 8 7 4

9 −3 1 5

−5 0 −4 −93 −8 −6 6

Pψ =

8 7 4 −1

−3 1 5 9

0 −4 −9 −5−8 −6 6 3

.

Tarea 2, variante 21 MMNR, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 −2 4

3 4 0 2

3 3 2 −79 8 11 −14

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 −2 4

3 4 0 2

3 3 2 −79 8 11 −14

x =

−2−2−51

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 5 8 −4 −4 2

0 3 −7 −5 1 −60 −5 −1 0 −3 −10 −9 −3 3 7 0

0 7 −1 8 2 −9

.

Tarea 2, variante 21 MMNR, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 22 MOHJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 2

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 3 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

80 50 60

6 −4 3

1 −2 2

=

83 44 66

6 −4 3

1 −2 2

, E2

80 50 60

6 −4 3

1 −2 2

=

80 50 60

12 −8 6

1 −2 2

, −2 40 3

1 20 9

−1 80 8

E3 = 40 −2 3

20 1 9

80 −1 8

, −2 40 3

1 20 9

−1 80 8

E4 = −2 38 3

1 21 9

−1 79 8

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 2

0 1 0

1 −3 0

.

Tarea 2, variante 22 MOHJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

3 −1 0

1 0 0

0 0 4

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−23V

I3

4Ω

3Ω

I4

1ΩI5

+−

18V I6 3Ω

2ΩI2

+−24V I1 3Ω

Tarea 2, variante 22 MOHJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 4 −3 3

3 8 −7 7

4 8 −5 7

−3 4 −8 5

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 4 −3 3

3 8 −7 7

4 8 −5 7

−3 4 −8 5

x =

−22

2

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 2 1 3

), A =

−7 0 1 −55 −1 9 4

−9 −6 8 −37 6 3 −4

, B =

6 −6 −2 −91 −5 4 7

2 8 9 0

5 −7 −3 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

6 0 4 −8

−5 −6 −1 −99 −4 5 8

−3 −2 3 7

=

−3 −2 3 7

6 0 4 −8−5 −6 −1 −99 −4 5 8

,

2 6 −3 0

−9 −4 7 −1−2 8 −7 1

9 4 3 5

Pψ =

6 0 −3 2

−4 −1 7 −98 1 −7 −24 5 3 9

.

Tarea 2, variante 22 MOHJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

2 5 1 3

−2 −5 −1 −14 13 0 8

6 12 7 4

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 5 1 3

−2 −5 −1 −14 13 0 8

6 12 7 4

x =

1

1

3

−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−3 9 −2 −5 6 4

0 2 −4 −8 3 0

0 7 9 8 −8 1

0 5 1 2 2 0

0 1 −5 6 0 −9

.

Tarea 2, variante 22 MOHJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 23 MRJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 2

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

1 −1 2

7 3 −220 30 60

=

1 −1 2

7 3 −222 28 64

, E2

1 −1 2

7 3 −220 30 60

=

1 −1 2

28 12 −820 30 60

, −8 2 60

9 1 50

4 −1 70

E3 = −8 2 62

9 1 51

4 −1 69

, −8 2 60

9 1 50

4 −1 70

E4 = 60 2 −850 1 9

70 −1 4

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

2 2 4

0 0 1

0 1 0

.

Tarea 2, variante 23 MRJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −2 1

4 0 0

0 −3 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

31V

I1

4Ω

+ −

50V

I2

3Ω+−

48V

I3

6Ω

5Ω

I4

3Ω

I5

Tarea 2, variante 23 MRJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 1 3 2

2 6 7 3

−3 1 −5 −52 2 −3 −5

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 3 2

2 6 7 3

−3 1 −5 −52 2 −3 −5

x =

−1−4−2−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 3 1 2

), A =

4 −1 −2 −56 −9 2 0

−3 1 7 −7−6 5 −8 9

, B =

6 1 −6 3

−5 −8 9 8

5 4 −2 7

−3 −9 −4 −1

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

3 6 2 −6

−3 −1 −8 5

4 −2 −4 7

8 −7 −5 9

=

−3 −1 −8 5

8 −7 −5 9

4 −2 −4 7

3 6 2 −6

,

−2 2 −1 1

4 −7 −5 5

8 −3 6 3

9 0 −8 −9

Pψ =

−1 −2 1 2

−5 4 5 −76 8 3 −3

−8 9 −9 0

.

Tarea 2, variante 23 MRJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 2 2 3

2 −3 5 −32 3 11 10

4 −4 10 −7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 2 2 3

2 −3 5 −32 3 11 10

4 −4 10 −7

x =

−11

2

−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−5 5 −2 0 −9 −50 −6 4 −8 3 7

0 8 0 −3 −9 5

0 4 −1 1 −3 4

0 −5 9 1 −1 2

.

Tarea 2, variante 23 MRJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 24 MGFE.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

1 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 60 20

−1 −2 2

1 4 6

=

37 54 26

−1 −2 2

1 4 6

, E2

40 60 20

−1 −2 2

1 4 6

=

40 60 20

−3 −6 6

1 4 6

, 7 1 50

3 −2 40

−7 2 80

E3 = 50 1 7

40 −2 3

80 2 −7

, 7 1 50

3 −2 40

−7 2 80

E4 = 7 1 49

3 −2 42

−7 2 78

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 3 0

1 −3 0

4 0 1

.

Tarea 2, variante 24 MGFE, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

2 0 1

1 0 −20 −2 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

8ΩI4

+−

57VI3

5Ω

+ −

12VI2

4Ω I5

2ΩI6

+−23V

I11Ω

Tarea 2, variante 24 MGFE, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 1 4 4

−2 5 8 5

−2 1 5 3

−4 −2 5 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 1 4 4

−2 5 8 5

−2 1 5 3

−4 −2 5 8

x =1

2

1

3

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 3 4 2

), A =

−3 −6 9 5

−1 6 8 3

−8 7 −9 0

−2 1 2 −5

, B =

−3 −7 −1 −98 3 −5 0

−2 9 −4 −61 4 2 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−4 8 7 −5−8 −1 3 1

−2 2 4 −3−7 −6 −9 5

=

−2 2 4 −3−7 −6 −9 5

−8 −1 3 1

−4 8 7 −5

,

−5 2 −6 8

4 0 −3 5

6 −8 −2 −7−4 3 1 9

Pψ =

8 −5 −6 2

5 4 −3 0

−7 6 −2 −89 −4 1 3

.

Tarea 2, variante 24 MGFE, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

4 5 1 2

−12 −15 −3 −98 14 7 2

4 1 −1 5

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 5 1 2

−12 −15 −3 −98 14 7 2

4 1 −1 5

x =

4

−33

−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−8 4 5 −9 −3 9

0 2 −4 −2 −8 4

0 8 −2 −5 −6 −10 9 4 −8 9 −80 −7 −4 −6 1 −6

.

Tarea 2, variante 24 MGFE, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 25 MLE.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 4

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 −30 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 60 70

8 −4 7

1 −1 2

=

41 59 72

8 −4 7

1 −1 2

, E2

40 60 70

8 −4 7

1 −1 2

=

40 60 70

32 −16 28

1 −1 2

, 2 5 40

1 4 60

−1 −3 80

E3 = 5 2 40

4 1 60

−3 −1 80

, 2 5 40

1 4 60

−1 −3 80

E4 = 2 5 34

1 4 57

−1 −3 83

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 0

0 −2 3

0 1 −4

.

Tarea 2, variante 25 MLE, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

1 0 −30 3 −3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

2Ω

+−6V

I12Ω I4

5Ω

+− 35V

I31ΩI5

I2

3Ω

+−

41VI6 5Ω

Tarea 2, variante 25 MLE, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 2 3 1

8 5 8 7

−2 −5 −3 −14 −5 2 1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 2 3 1

8 5 8 7

−2 −5 −3 −14 −5 2 1

x =

−1−2−2−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 4 2 3

), A =

−3 7 −1 −2−4 5 9 −66 −7 −8 3

−5 1 −9 2

, B =

−2 8 −1 6

1 −4 3 5

−5 2 −3 4

−6 9 −9 −7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−7 −4 4 −8−5 0 6 3

−3 −1 9 −67 2 8 −2

=

7 2 8 −2

−3 −1 9 −6−7 −4 4 −8−5 0 6 3

,

8 −8 0 −6−4 −3 −5 1

5 −1 9 −27 3 −7 4

Pψ =

−6 0 8 −81 −5 −4 −3

−2 9 5 −14 −7 7 3

.

Tarea 2, variante 25 MLE, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 2 4 −41 1 −1 4

4 8 4 3

4 10 7 −1

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 2 4 −41 1 −1 4

4 8 4 3

4 10 7 −1

x =

−2−2−2−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 2 8 9 −1 2

0 6 −7 −5 5 8

0 4 −7 7 4 −70 5 1 2 −5 8

0 −9 4 1 −8 −8

.

Tarea 2, variante 25 MLE, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 26 NDLCL.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

2 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

−3 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

7 6 5

40 50 60

−1 2 1

=

7 6 5

−1 2 1

40 50 60

, E2

7 6 5

40 50 60

−1 2 1

=

7 6 5

39 52 61

−1 2 1

, −6 −1 40

9 2 50

7 1 30

E3 = −6 2 40

9 −4 50

7 −2 30

, −6 −1 40

9 2 50

7 1 30

E4 = −6 −1 42

9 2 46

7 1 28

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

−1 0 0

0 2 −1

.

Tarea 2, variante 26 NDLCL, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −1 1

0 1 0

−4 0 −3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

13VI4 I5

+−

32V

2Ω

I2

7Ω

I3

5Ω

+−8V I1 1Ω

3Ω

Tarea 2, variante 26 NDLCL, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−1 3 2 1

−1 −1 1 1

−3 5 6 6

−2 2 3 1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−1 3 2 1

−1 −1 1 1

−3 5 6 6

−2 2 3 1

x =

−11

−21

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 1 4

), A =

5 6 −5 1

−7 −4 7 0

8 −3 9 −92 −1 4 −8

, B =

−9 6 −3 −45 4 −1 −62 7 3 8

1 0 −8 −5

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

5 9 −6 8

3 1 −5 −2−9 2 0 −16 −7 −3 −4

=

6 −7 −3 −45 9 −6 8

3 1 −5 −2−9 2 0 −1

,

9 1 −1 8

7 2 −5 −7−3 −4 −8 5

0 6 4 −6

Pψ =

8 9 1 −1

−7 7 2 −55 −3 −4 −8

−6 0 6 4

.

Tarea 2, variante 26 NDLCL, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

2 1 3 0

2 1 3 1

2 3 −2 2

−6 1 −14 3

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 1 3 0

2 1 3 1

2 3 −2 2

−6 1 −14 3

x =

−12

2

1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−4 −1 6 4 −4 6

0 −6 −5 9 5 −60 −3 0 1 6 2

0 5 −4 3 −2 0

0 −9 −1 8 4 1

.

Tarea 2, variante 26 NDLCL, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 27 NSVA.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 2 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

7 6 4

1 2 −180 30 20

=

7 6 4

1 2 −177 24 23

, E2

7 6 4

1 2 −180 30 20

=

14 12 8

1 2 −180 30 20

, −2 20 7

1 30 5

2 60 9

E3 = 20 −2 7

30 1 5

60 2 9

, −2 20 7

1 30 5

2 60 9

E4 = −2 22 7

1 29 5

2 58 9

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

1 0 0

−4 −2 0

.

Tarea 2, variante 27 NSVA, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 3 0

1 2 0

3 0 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−12V

I3

5Ω

4Ω

I4

+ −

35VI65Ω

3Ω I5

+ −19VI11Ω

2ΩI2

Tarea 2, variante 27 NSVA, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 −2 −1 1

4 −1 2 6

2 4 6 7

−4 4 1 −2

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 −2 −1 1

4 −1 2 6

2 4 6 7

−4 4 1 −2

x =

−1−12

−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 4 1

), A =

−2 4 −3 −61 −7 8 0

−1 −8 7 5

−9 2 −5 −4

, B =

−5 3 −3 −25 −9 −4 2

−7 −8 1 0

9 −6 6 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−5 −1 −3 −41 −2 −8 8

6 2 −9 0

−7 −6 5 4

=

−5 −1 −3 −4−7 −6 5 4

1 −2 −8 8

6 2 −9 0

,

−5 7 9 −85 −4 −6 −1

−3 −9 −2 3

6 8 4 1

Pψ =

−8 9 −5 7

−1 −6 5 −43 −2 −3 −91 4 6 8

.

Tarea 2, variante 27 NSVA, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 −1 −2 0

4 3 1 3

4 4 3 6

12 6 −7 10

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 −1 −2 0

4 3 1 3

4 4 3 6

12 6 −7 10

x =

1

1

−31

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−8 0 5 1 2 −40 1 −1 −4 0 3

0 6 0 −2 7 9

0 2 1 2 −7 −10 −4 1 0 4 9

.

Tarea 2, variante 27 NSVA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 28 PAJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 −3 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

2 −2 1

4 7 −120 50 70

=

2 −2 1

4 7 −116 54 68

, E2

2 −2 1

4 7 −120 50 70

=

2 −2 1

20 50 70

4 7 −1

, 5 60 2

−6 70 −28 20 1

E3 = 5 54 2

−6 76 −28 17 1

, 5 60 2

−6 70 −28 20 1

E4 = 5 60 −8

−6 70 8

8 20 −4

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 −21 0 0

0 4 0

.

Tarea 2, variante 28 PAJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 2 4

0 1 0

1 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−34V

I1

2Ω

+− 17V

I2

1Ω

+−

7V

I5

2Ω

6Ω

I3

5Ω

I4

Tarea 2, variante 28 PAJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 3 0 3

3 8 2 8

−2 −7 −2 −51 5 8 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 3 0 3

3 8 2 8

−2 −7 −2 −51 5 8 3

x =

1

1

−4−3

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 1 3

), A =

−5 −9 8 7

3 5 −1 2

−4 4 1 −80 9 −2 −7

, B =

8 9 1 −5

−6 −8 −2 −7−3 5 7 0

3 −4 4 −9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

3 0 1 8

2 7 5 −4−9 4 −2 −3−8 −7 9 −1

=

3 0 1 8

−9 4 −2 −3−8 −7 9 −12 7 5 −4

,

6 −3 −4 −7−1 5 −5 8

−9 3 −6 −21 −8 9 7

Pψ =

−3 −4 −7 6

5 −5 8 −13 −6 −2 −9

−8 9 7 1

.

Tarea 2, variante 28 PAJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 5 1 2

2 10 2 0

4 15 9 9

−1 −15 5 4

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 5 1 2

2 10 2 0

4 15 9 9

−1 −15 5 4

x =

1

−61

9

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−6 2 −3 4 9 8

0 4 −7 −8 0 9

0 2 −2 −1 7 −50 −7 0 −2 6 −10 9 2 7 −1 5

.

Tarea 2, variante 28 PAJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 29 PPF.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 −10 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

9 8 −2−1 2 1

50 70 20

=

9 8 −250 70 20

−1 2 1

, E2

9 8 −2−1 2 1

50 70 20

=

9 8 −2−1 2 1

52 66 18

, 1 30 5

2 60 7

−2 50 −5

E3 = 4 30 5

8 60 7

−8 50 −5

, 1 30 5

2 60 7

−2 50 −5

E4 = 1 29 5

2 58 7

−2 52 −5

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

4 0 1

0 1 −42 0 0

.

Tarea 2, variante 29 PPF, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 −1−2 0 2

0 0 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

35V

I5

3Ω+ −

21V

I4

5Ω

+−

32V

I6

3Ω

2Ω

I1

4ΩI2

1Ω

I3

Tarea 2, variante 29 PPF, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 −4 −4 −2

−3 1 6 2

3 8 −8 2

3 5 2 7

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 −4 −4 −2−3 1 6 2

3 8 −8 2

3 5 2 7

x =

−1−13

2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 3 1

), A =

0 8 −9 −5

−4 −1 −3 −89 −2 7 3

−6 1 4 −7

, B =

2 −4 −2 −30 −7 −9 −59 −8 8 7

1 3 5 4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−8 9 −7 −60 −5 1 5

−9 −2 6 −3−1 8 2 −4

=

0 −5 1 5

−1 8 2 −4−8 9 −7 −6−9 −2 6 −3

,

0 3 −9 2

7 1 −4 5

−7 −6 −3 4

−2 8 6 −8

Pψ =

3 −9 0 2

1 −4 7 5

−6 −3 −7 4

8 6 −2 −8

.

Tarea 2, variante 29 PPF, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 4 −2 4

2 3 2 3

2 −1 4 −36 1 5 1

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 4 −2 4

2 3 2 3

2 −1 4 −36 1 5 1

x =

2

−31

2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 −3 −3 1 −9 −90 −5 4 −7 4 −10 1 2 5 4 −20 −8 3 5 8 0

0 9 4 4 5 0

.

Tarea 2, variante 29 PPF, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 30 PSMA.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

−3 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

2 1 −29 −3 8

80 20 40

=

2 1 −29 −3 8

74 17 46

, E2

2 1 −29 −3 8

80 20 40

=

80 20 40

9 −3 8

2 1 −2

, 40 9 2

20 7 −180 5 −2

E3 = 40 18 2

20 14 −180 10 −2

, 40 9 2

20 7 −180 5 −2

E4 = 36 9 2

22 7 −184 5 −2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−3 0 1

0 −1 −21 0 0

.

Tarea 2, variante 30 PSMA, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 0

−4 0 1

0 2 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

3Ω

+− 26V

I3

3Ω

+−6V

I1

1Ω

I23Ω I4

1Ω I5

+−

34VI6 5Ω

Tarea 2, variante 30 PSMA, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 0 1 3

2 2 2 2

−6 −6 −4 −72 4 7 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 0 1 3

2 2 2 2

−6 −6 −4 −72 4 7 3

x =

3

2

−21

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 2 4

), A =

−4 −7 8 4

3 −2 −5 −9−1 6 −8 −67 −3 5 9

, B =

−8 3 4 −9−7 1 8 2

7 0 5 6

−5 −2 9 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

9 −2 −3 −18 −9 −5 −45 4 −7 7

3 0 6 1

=

3 0 6 1

9 −2 −3 −15 4 −7 7

8 −9 −5 −4

,

−8 9 −9 8

−5 6 4 0

1 2 5 −7−2 −3 −4 −6

Pψ =

8 −8 −9 9

0 −5 4 6

−7 1 5 2

−6 −2 −4 −3

.

Tarea 2, variante 30 PSMA, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

3 1 3 −19 3 9 −615 6 15 −96 1 3 −1

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 1 3 −19 3 9 −615 6 15 −96 1 3 −1

x =

−2−3−31

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

5 9 −3 −9 5 −20 4 4 8 0 9

0 −8 −4 5 5 9

0 −9 −9 −3 5 −80 2 0 9 4 7

.

Tarea 2, variante 30 PSMA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 31 RMAH.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −4

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 −20 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−2 1 −15 9 3

50 80 20

=

−2 1 −15 9 3

52 79 21

, E2

−2 1 −15 9 3

50 80 20

=

−8 4 −45 9 3

50 80 20

, 60 8 2

30 4 −240 −5 1

E3 = 66 8 2

24 4 −243 −5 1

, 60 8 2

30 4 −240 −5 1

E4 = 8 60 2

4 30 −2−5 40 1

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 −20 −1 4

0 1 0

.

Tarea 2, variante 31 RMAH, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 0

0 −1 −20 4 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

2Ω

+−

17VI1

+−

20VI2

7Ω3Ω

I3

4Ω

I4

+ −

35VI55Ω

Tarea 2, variante 31 RMAH, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 −1 3 4

−4 −4 2 4

−2 1 4 7

4 6 2 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 −1 3 4

−4 −4 2 4

−2 1 4 7

4 6 2 3

x =

−22

−1−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 4 2

), A =

9 2 −1 −5

−4 −6 8 −3−7 4 6 −91 −8 3 −2

, B =

3 −3 5 8

−7 −6 −2 −4−9 −5 4 1

9 7 2 6

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

7 −4 −2 1

0 −3 5 −7−6 2 −5 8

4 9 −1 −9

=

4 9 −1 −9

−6 2 −5 8

7 −4 −2 1

0 −3 5 −7

,

−6 −2 −7 4

8 −4 9 3

7 0 −5 −1−8 2 −9 5

Pψ =

−2 4 −7 −6−4 3 9 8

0 −1 −5 7

2 5 −9 −8

.

Tarea 2, variante 31 RMAH, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 5 1 2

−4 −3 2 3

−12 1 8 12

−4 7 1 3

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 5 1 2

−4 −3 2 3

−12 1 8 12

−4 7 1 3

x =

−13

3

−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 4 −8 2 6 −20 2 −3 −8 −3 −20 −3 2 8 −2 9

0 −7 −6 7 9 −70 5 3 2 6 −7

.

Tarea 2, variante 31 RMAH, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 32 RPAA.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−2 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

−1 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

30 80 60

1 2 −14 8 −9

=

27 74 63

1 2 −14 8 −9

, E2

30 80 60

1 2 −14 8 −9

=

30 80 60

1 2 −18 16 −18

, 3 2 80

6 −2 60

9 −1 20

E3 = 2 3 80

−2 6 60

−1 9 20

, 3 2 80

6 −2 60

9 −1 20

E4 = 3 2 84

6 −2 56

9 −1 18

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

4 −1 0

0 0 1

12 1 0

.

Tarea 2, variante 32 RPAA, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

−4 1 0

3 0 −2

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−23V

I3

4Ω

3Ω

I4

1ΩI5

+−

18V I6 3Ω

2ΩI2

+−24V I1 3Ω

Tarea 2, variante 32 RPAA, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 3 4 2

2 2 6 2

2 3 8 −12 1 4 4

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 3 4 2

2 2 6 2

2 3 8 −12 1 4 4

x =1

2

2

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 2 4 1

), A =

−8 4 −5 6

−1 7 −9 9

1 5 −2 2

−4 8 3 −7

, B =

−3 −7 3 5

6 0 4 −92 −1 9 −57 −8 −6 8

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

8 3 5 −9

−4 −2 −5 1

4 −8 −6 9

−7 −3 0 2

=

−4 −2 −5 1

4 −8 −6 9

−7 −3 0 2

8 3 5 −9

,0 −5 1 8

4 −1 9 −32 −4 5 −66 −7 −8 −2

Pψ =

1 8 −5 0

9 −3 −1 4

5 −6 −4 2

−8 −2 −7 6

.

Tarea 2, variante 32 RPAA, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

5 3 3 4

15 9 9 8

5 1 6 9

−5 1 −14 −15

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

5 3 3 4

15 9 9 8

5 1 6 9

−5 1 −14 −15

x =

−22

−1−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−3 4 0 −9 4 1

0 −1 1 −2 −3 −70 4 −6 −7 −6 2

0 −6 2 1 −4 −90 8 0 4 6 −7

.

Tarea 2, variante 32 RPAA, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 33 RGJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 −1 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

3 4 7

30 60 20

−1 1 −2

=

3 4 7

−1 1 −230 60 20

, E2

3 4 7

30 60 20

−1 1 −2

=

3 4 7

27 63 14

−1 1 −2

, 20 8 2

60 4 −150 −2 1

E3 = 24 8 2

58 4 −152 −2 1

, 20 8 2

60 4 −150 −2 1

E4 = 20 8 8

60 4 −450 −2 4

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 3 0

0 0 1

0 −1 1

.

Tarea 2, variante 33 RGJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −2 3

1 0 0

−3 0 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

31V

I1

4Ω

+ −

50V

I2

3Ω+−

48V

I3

6Ω

5Ω

I4

3Ω

I5

Tarea 2, variante 33 RGJ, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−4 1 1 −10 4 4 −1

−4 5 7 2

8 2 4 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−4 1 1 −10 4 4 −1

−4 5 7 2

8 2 4 8

x =

−22

−2−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 4 2 1

), A =

5 −5 −6 4

−4 −3 3 7

1 −2 −8 0

−7 9 2 8

, B =

2 −4 4 8

−1 −8 1 0

−3 6 5 9

−6 −5 −9 −7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

4 8 −5 −71 2 7 3

−9 −3 0 −6−2 −4 −1 6

=

−9 −3 0 −64 8 −5 −71 2 7 3

−2 −4 −1 6

,

1 −3 −6 −9−7 9 −5 6

−4 2 5 −10 4 −8 3

Pψ =

−3 −9 −6 1

9 6 −5 −72 −1 5 −44 3 −8 0

.

Tarea 2, variante 33 RGJ, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 3 0 1

1 1 1 3

−1 14 −1 3

2 −4 5 5

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 3 0 1

1 1 1 3

−1 14 −1 3

2 −4 5 5

x =1

1

2

4

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 1 7 3 0 −60 −2 −3 −5 −8 0

0 4 2 1 2 4

0 6 −5 −3 1 9

0 9 −4 2 −4 −4

.

Tarea 2, variante 33 RGJ, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 34 SCOR.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 −2 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

2 −2 −18 5 1

20 70 50

=

2 −2 −18 5 1

26 64 47

, E2

2 −2 −18 5 1

20 70 50

=

6 −6 −38 5 1

20 70 50

, −9 −2 50

3 2 30

4 1 60

E3 = 50 −2 −930 2 3

60 1 4

, −9 −2 50

3 2 30

4 1 60

E4 = −9 −2 52

3 2 28

4 1 59

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−2 1 2

1 0 0

0 0 3

.

Tarea 2, variante 34 SCOR, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 3 −20 1 0

1 0 −3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

8ΩI4

+−

57VI3

5Ω

+ −

12VI2

4Ω I5

2ΩI6

+−23V

I11Ω

Tarea 2, variante 34 SCOR, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 −2 3 3

2 −3 6 5

0 1 3 3

−1 −2 3 7

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 −2 3 3

2 −3 6 5

0 1 3 3

−1 −2 3 7

x =

1

2

1

−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 2 3

), A =

8 −4 9 −5

−2 −6 −7 4

−9 0 7 2

−8 5 −1 6

, B =

7 4 −6 8

6 5 −9 −3−7 3 1 −5−4 −1 2 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−4 5 −9 −3−1 2 6 −23 −7 4 −59 0 7 −6

=

3 −7 4 −5

−4 5 −9 −39 0 7 −6

−1 2 6 −2

,

−8 1 −6 4

−9 −1 −3 −45 9 −5 8

7 −7 0 2

Pψ =

4 1 −8 −6

−4 −1 −9 −38 9 5 −52 −7 7 0

.

Tarea 2, variante 34 SCOR, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

3 1 1 1

9 3 3 6

6 5 6 5

−9 0 −2 2

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 1 1 1

9 3 3 6

6 5 6 5

−9 0 −2 2

x =

2

3

−3−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

8 −3 1 9 −8 3

0 −3 −3 2 −6 −80 −5 5 −5 3 −40 −7 −4 −2 −6 −90 −8 7 3 8 9

.

Tarea 2, variante 34 SCOR, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 35 VCI.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

3 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 2

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−2 1 −16 4 9

30 50 60

=

6 4 9

−2 1 −130 50 60

, E2

−2 1 −16 4 9

30 50 60

=

−2 1 −16 4 9

34 48 62

, −9 70 2

7 40 −16 50 1

E3 = −9 64 2

7 43 −16 47 1

, −9 70 2

7 40 −16 50 1

E4 = −9 70 −4

7 40 2

6 50 −2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

9 1 0

0 0 −2−3 0 0

.

Tarea 2, variante 35 VCI, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −3 3

2 0 0

0 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

2Ω

+−6V

I12Ω I4

5Ω

+− 35V

I31ΩI5

I2

3Ω

+−

41VI6 5Ω

Tarea 2, variante 35 VCI, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

4 3 1 2

−4 1 3 −14 7 3 4

−4 5 −1 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 3 1 2

−4 1 3 −14 7 3 4

−4 5 −1 3

x =

3

−23

−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 3 2

), A =

8 −4 −7 −84 −1 −3 −99 5 6 1

−6 −5 7 0

, B =

6 0 −2 8

−1 −4 −5 9

5 −8 3 −34 −6 −9 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

2 8 −1 1

−8 −2 3 −76 −3 −4 5

7 −6 −9 4

=

6 −3 −4 5

7 −6 −9 4

−8 −2 3 −72 8 −1 1

,

5 6 −7 −5−9 −3 9 −10 3 −4 2

4 8 −8 −6

Pψ =

−5 6 5 −7−1 −3 −9 9

2 3 0 −4−6 8 4 −8

.

Tarea 2, variante 35 VCI, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 5 5

−2 2 5 3

−8 7 15 9

−8 5 10 −4

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 5 5

−2 2 5 3

−8 7 15 9

−8 5 10 −4

x =4

2

2

2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−2 9 0 3 −1 −80 −1 −3 6 5 7

0 −6 −3 3 3 8

0 9 −5 −6 −2 −70 5 9 −3 −8 8

.

Tarea 2, variante 35 VCI, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 36 ZGC.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

−1 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

5 4 9

1 −2 −160 70 20

=

5 4 9

60 70 20

1 −2 −1

, E2

5 4 9

1 −2 −160 70 20

=

5 4 9

1 −2 −162 66 18

, 9 20 2

−9 70 −17 40 1

E3 = 9 26 2

−9 67 −17 43 1

, 9 20 2

−9 70 −17 40 1

E4 = 9 20 4

−9 70 −27 40 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −2 1

1 0 −30 −3 0

.

Tarea 2, variante 36 ZGC, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

1 0 −10 3 −4

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

13VI4 I5

+−

32V

2Ω

I2

7Ω

I3

5Ω

+−8V I1 1Ω

3Ω

Tarea 2, variante 36 ZGC, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 1 1 −14 6 3 −42 6 −1 1

1 −7 3 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 1 −14 6 3 −42 6 −1 1

1 −7 3 8

x =

−1−32

2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 2 1 3

), A =

3 9 −3 −8

−2 0 −1 −9−4 −7 7 1

5 2 −5 6

, B =

3 −8 −9 1

−6 −2 −7 7

2 5 6 4

−5 −4 −3 9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−7 2 −2 1

7 9 −3 0

−1 5 −6 3

−5 −8 −9 8

=

7 9 −3 0

−1 5 −6 3

−7 2 −2 1

−5 −8 −9 8

,

6 −2 −5 1

−3 −8 3 −68 −4 5 0

−7 −1 9 4

Pψ =

6 1 −2 −5

−3 −6 −8 3

8 0 −4 5

−7 4 −1 9

.

Tarea 2, variante 36 ZGC, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 2 −2 3

2 4 −4 2

5 8 −8 14

1 6 −4 9

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 2 −2 3

2 4 −4 2

5 8 −8 14

1 6 −4 9

x =

−12

−4−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−8 −3 −4 −2 3 1

0 −2 1 −7 −2 −50 −3 2 −3 0 −80 5 1 7 7 −30 1 −7 −4 8 4

.

Tarea 2, variante 36 ZGC, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 37 DMV.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 −20 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−4 7 9

2 −1 1

80 30 70

=

−12 21 27

2 −1 1

80 30 70

, E2

−4 7 9

2 −1 1

80 30 70

=

−4 7 9

2 −1 1

82 29 71

, 80 7 1

20 6 2

40 −6 −2

E3 = 78 7 1

16 6 2

44 −6 −2

, 80 7 1

20 6 2

40 −6 −2

E4 = 80 1 7

20 2 6

40 −2 −6

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 1 0

−1 0 −21 0 0

.

Tarea 2, variante 37 DMV, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 3 −42 1 0

1 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−12V

I3

5Ω

4Ω

I4

+ −

35VI65Ω

3Ω I5

+ −19VI11Ω

2ΩI2

Tarea 2, variante 37 DMV, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 2 1 2

4 8 3 5

8 0 1 3

−2 6 3 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 2 1 2

4 8 3 5

8 0 1 3

−2 6 3 8

x =

1

6

2

−7

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 3 1 2

), A =

−4 0 1 −8−2 −1 −6 3

8 9 4 6

−5 7 −3 −7

, B =

−9 −7 −3 −83 9 −6 1

−1 0 8 2

4 6 −4 −5

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

6 5 7 8

−4 −6 −3 −8−2 −1 −5 −9−7 9 2 0

=

−2 −1 −5 −96 5 7 8

−7 9 2 0

−4 −6 −3 −8

,

−9 4 −4 3

0 −1 2 −77 1 6 −2

−6 8 −5 −3

Pψ =

−9 3 4 −40 −7 −1 2

7 −2 1 6

−6 −3 8 −5

.

Tarea 2, variante 37 DMV, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 2 3 4

4 3 −5 −54 13 10 10

12 13 −13 −5

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 2 3 4

4 3 −5 −54 13 10 10

12 13 −13 −5

x =

3

−41

2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−5 1 2 0 −9 −80 −5 5 −9 −9 6

0 4 −1 −3 0 −70 7 6 9 −4 9

0 9 0 5 −5 6

.

Tarea 2, variante 37 DMV, pagina 4 de 4

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 38.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

3 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

2 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

9 3 5

70 30 80

2 1 −2

=

9 3 5

68 29 82

2 1 −2

, E2

9 3 5

70 30 80

2 1 −2

=

−27 −9 −1570 30 80

2 1 −2

, 20 1 −760 −1 4

30 2 7

E3 = 1 20 −7

−1 60 4

2 30 7

, 20 1 −760 −1 4

30 2 7

E4 = 18 1 −762 −1 4

26 2 7

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −2 0

−1 0 0

0 −1 1

.

Tarea 2, variante 38, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

−4 0 0

0 3 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−34V

I1

2Ω

+− 17V

I2

1Ω

+−

7V

I5

2Ω

6Ω

I3

5Ω

I4

Tarea 2, variante 38, pagina 2 de 4

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 2 3 2

−6 7 5 2

−2 1 8 3

−6 8 2 −7

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 2 3 2

−6 7 5 2

−2 1 8 3

−6 8 2 −7

x =

−1−22

5

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 3 4 2

), A =

8 4 6 −47 1 −9 −2

−3 −7 −1 3

−6 2 9 −5

, B =

1 −6 −9 −58 −4 −3 2

−7 7 5 −24 −8 3 9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

Pϕ

−5 1 8 −17 5 0 −82 −7 −9 −4

−6 3 4 −2

=

7 5 0 −8

−6 3 4 −22 −7 −9 −4

−5 1 8 −1

,

−4 8 −8 −5−9 0 −1 5

7 6 9 4

−3 −7 1 2

Pψ =

−8 −4 8 −5−1 −9 0 5

9 7 6 4

1 −3 −7 2

.

Tarea 2, variante 38, pagina 3 de 4

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

−4 −4 −5 1

12 12 15 −14 6 1 −54 2 7 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−4 −4 −5 1

12 12 15 −14 6 1 −54 2 7 7

x =

−24

−42

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−5 −1 −4 −4 2 −70 −5 −3 8 −9 0

0 −8 −1 −3 −3 −70 −9 0 2 −2 −70 1 1 −7 6 −4

.

Tarea 2, variante 38, pagina 4 de 4