Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a...

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Engrape aqu´ ı No doble Tarea 3. Variante α. etodos Num´ ericos I, Ingenier´ ıa Matem´ atica. Interpolaci´ on polinomial. Nombre: Calificaci´ on ( %): Esta tarea vale 23 % de la calificaci´ on parcial. Ejercicio 1. 1 %. Problema de interpolaci´ on polinomial. Dados los puntos x k y los valores y k , k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 para que se cumplan las igualdades P(x k )= y k , k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz A de este sistema usando la f´ ormula para el determinante de una matriz de Vandermonde. x 0 =-4, x 1 = 0, x 2 = 2, y 0 = 45, y 1 =-3, y 2 =-3. Ejercicio 2. 1 %. Construya una factorizaci´ on LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobaci´ on de la igualdad LU = A. Usando esta factorizaci´ on LU calcule det(A) como det(L) det(U). Ejercicio 3. 1 %. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizaci´ on LU obtenida en el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(x k )= y k para todo k {0, 1, 2}. Ejercicio 4. 1 %. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer. Ejercicio 5. 2 %. Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la f´ormula de Lagrange. Ejercicio 6. 3 %. Dados los puntos x k y los valores y k , k {0, 1, 2, 3}, construya con la f´ormula de Lagrange un polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(x k )= y k para todo k {0, 1, 2, 3}. Haga lacomprobaci´on. x 0 =-5, x 1 =-3, x 2 =-2, x 3 =-1, y 0 =-12, y 1 = 18, y 2 = 15, y 3 = 8. Tarea 3, variante α, p´agina 1 de 2

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Tarea 3. Variante α.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −4, x1 = 0, x2 = 2,

y0 = 45, y1 = −3, y2 = −3.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −5, x1 = −3, x2 = −2, x3 = −1,

y0 = −12, y1 = 18, y2 = 15, y3 = 8.

Tarea 3, variante α, pagina 1 de 2

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Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5,

y0 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = −48.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−1+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1/2, x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1,

y0 = 19/8, y1 = 0, y2 = 1/8, y3 = 5.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −17, P ′(−2) = 15, P(0) = −3, P(3) = 33.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −25, P ′(−2) = 31, P ′′(−2) = −28, P(2) = 3.

Tarea 3, variante α, pagina 2 de 2

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Tarea 3. Variante β.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −3, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = −23, y1 = 2, y2 = 1.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 5, y1 = 3, y2 = −1, y3 = −15.

Tarea 3, variante β, pagina 1 de 2

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Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = −4, y1 = −9/4, y2 = −1, y3 = −7/4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −7/2, x1 = −3, x2 = −5/2, x3 = −2,

y0 = 20, y1 = 5, y2 = −7/2, y3 = −7.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −13, P ′(−2) = 19, P(3) = 7, P ′(3) = 14.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 0, P(0) = 4, P ′(0) = 5, P ′′(0) = −4.

Tarea 3, variante β, pagina 2 de 2

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Tarea 3. Variante 1 AMDM.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −1, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = −1, y1 = −25, y2 = −45.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 17, y1 = −1, y2 = 5, y3 = 5.

Tarea 3, variante 1 AMDM, pagina 1 de 2

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Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −4, x1 = −2, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = −21, y1 = −13, y2 = 3, y3 = −21.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−4+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −4+ 2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1/2, x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1,

y0 = 5/4, y1 = −1, y2 = −5/4, y3 = −1.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = 31, P(0) = −5, P(1) = −1, P ′(1) = 4.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −6, P ′(−2) = 5, P ′′(−2) = −8, P(3) = 44.

Tarea 3, variante 1 AMDM, pagina 2 de 2

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Tarea 3. Variante 2 AMV.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 3,

y0 = −15, y1 = −6, y2 = −30.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 8, y1 = −2, y2 = −7, y3 = −20.

Tarea 3, variante 2 AMV, pagina 1 de 2

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Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = −3/2, x2 = −1, x3 = −1/2,

y0 = 0, y1 = −3/2, y2 = −1, y3 = 0.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1/2, x1 = 1, x2 = 3/2, x3 = 2,

y0 = 41/8, y1 = 5, y2 = 3/8, y3 = −11.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 1

2t = 3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −11, P(1) = −5, P ′(1) = −10, P(5) = 3.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 5, P(0) = 2, P ′(0) = −5, P ′′(0) = −6.

Tarea 3, variante 2 AMV, pagina 2 de 2

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Tarea 3. Variante 3 CHD.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 3, x2 = 4,

y0 = −10, y1 = −5, y2 = −10.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −3, x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1,

y0 = −18, y1 = −14, y2 = −6, y3 = −2.

Tarea 3, variante 3 CHD, pagina 1 de 2

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Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1, x1 = 3/2, x2 = 2, x3 = 5/2,

y0 = −7, y1 = −47/8, y2 = −2, y3 = 43/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1/2, x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1,

y0 = −11/8, y1 = 0, y2 = −1/8, y3 = −1.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(2) = −17, P ′(2) = −6, P(4) = −13, P(5) = 10.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 2, P ′(−1) = 0, P ′′(−1) = −14, P(2) = 20.

Tarea 3, variante 3 CHD, pagina 2 de 2

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Tarea 3. Variante 4 CBN.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −4, x1 = 0, x2 = 1,

y0 = −43, y1 = 1, y2 = −3.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = −36, y1 = −8, y2 = 2, y3 = 16.

Tarea 3, variante 4 CBN, pagina 1 de 2

Page 12: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −4, x1 = −7/2, x2 = −3, x3 = −5/2,

y0 = −36, y1 = −287/8, y2 = −33, y3 = −225/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−4+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−5) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −5; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −4+ 1

2t = −5.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1/2, x1 = 1, x2 = 3/2, x3 = 2,

y0 = −33/8, y1 = −3, y2 = 5/8, y3 = 9.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 1

2t = 3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 25, P ′(−2) = −27, P(2) = −3, P ′(2) = −3.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(0) = −5, P(1) = 4, P ′(1) = 16, P ′′(1) = 18.

Tarea 3, variante 4 CBN, pagina 2 de 2

Page 13: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 5 DLRGA.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −4, x1 = −3, x2 = −1,

y0 = −17, y1 = −11, y2 = −5.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = 0, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4,

y0 = −2, y1 = 10, y2 = 16, y3 = 14.

Tarea 3, variante 5 DLRGA, pagina 1 de 2

Page 14: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 2, x1 = 5/2, x2 = 3, x3 = 7/2,

y0 = 3, y1 = 155/8, y2 = 46, y3 = 681/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 1

2t = 1.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −5/2, x1 = −2, x2 = −3/2, x3 = −1,

y0 = −465/8, y1 = −33, y2 = −139/8, y3 = −9.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomioP. Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = 1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 0, P(1) = 2, P(5) = −42, P ′(5) = −43.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(0) = −1, P ′(0) = 3, P ′′(0) = 8, P(2) = 13.

Tarea 3, variante 5 DLRGA, pagina 2 de 2

Page 15: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 6 DOF.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −1, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 1, y1 = −17, y2 = −35.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = −13, y1 = 5, y2 = 5, y3 = 23.

Tarea 3, variante 6 DOF, pagina 1 de 2

Page 16: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4,

y0 = −30, y1 = 0, y2 = −10, y3 = 36.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−2+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 2t = −1.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3,

y0 = 32, y1 = 6, y2 = −4, y3 = −46.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (3+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(4) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 4; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 3+ 2t = 4.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = 3, P(0) = −3, P ′(0) = 4, P(2) = −27.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −15, P(2) = 13, P ′(2) = 19, P ′′(2) = 14.

Tarea 3, variante 6 DOF, pagina 2 de 2

Page 17: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 7 FJVN.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −5, x1 = −3, x2 = 0,

y0 = 16, y1 = 4, y2 = 1.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 19, y1 = 3, y2 = 3, y3 = 3.

Tarea 3, variante 7 FJVN, pagina 1 de 2

Page 18: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = −3/2, x2 = −1, x3 = −1/2,

y0 = −17, y1 = −97/8, y2 = −9, y3 = −55/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −5, x1 = −3, x2 = −1, x3 = 1,

y0 = 59, y1 = 7, y2 = 3, y3 = −1.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (1+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 3, P ′(−1) = 8, P(2) = 0, P(3) = 19.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = −1, P ′(−1) = −4, P ′′(−1) = 14, P(0) = 0.

Tarea 3, variante 7 FJVN, pagina 2 de 2

Page 19: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 8 FPVI.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 3, x2 = 4,

y0 = 18, y1 = 23, y2 = 42.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 5, y1 = 5, y2 = 2, y3 = 5.

Tarea 3, variante 8 FPVI, pagina 1 de 2

Page 20: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1, x1 = 3/2, x2 = 2, x3 = 5/2,

y0 = −3, y1 = −89/8, y2 = −24, y3 = −339/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = −1.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −7/2, x1 = −3, x2 = −5/2, x3 = −2,

y0 = −81/8, y1 = −4, y2 = −7/8, y3 = 0.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(3) = 7, P ′(3) = −3, P(5) = −27, P ′(5) = −35.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(0) = −5, P(1) = −4, P ′(1) = 1, P ′′(1) = −4.

Tarea 3, variante 8 FPVI, pagina 2 de 2

Page 21: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 9 FMHE.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 3,

y0 = 5, y1 = 5, y2 = 35.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = −3, y1 = 3, y2 = 1, y3 = 45.

Tarea 3, variante 9 FMHE, pagina 1 de 2

Page 22: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −5/2, x2 = −2, x3 = −3/2,

y0 = −20, y1 = −93/8, y2 = −6, y3 = −19/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−3+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−4) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −4; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −3+ 1

2t = −4.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1/2, x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1,

y0 = −5/8, y1 = 0, y2 = 21/8, y3 = 8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 6, P(4) = 1, P(5) = 30, P ′(5) = 40.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = −26, P ′(−3) = 31, P ′′(−3) = −28, P(−1) = −4.

Tarea 3, variante 9 FMHE, pagina 2 de 2

Page 23: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 10 GBLF.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 1, x2 = 2,

y0 = 18, y1 = 3, y2 = 10.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 14, y1 = 4, y2 = 5, y3 = −6.

Tarea 3, variante 10 GBLF, pagina 1 de 2

Page 24: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = −4, y1 = −5/2, y2 = −2, y3 = −4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 5/2, x1 = 3, x2 = 7/2, x3 = 4,

y0 = 197/8, y1 = 28, y2 = 235/8, y3 = 28.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(4+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(5) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 5; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 4+ 1

2t = 5.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = 25, P(−2) = 6, P ′(−2) = −11, P(1) = 9.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(1) = −7, P(2) = −15, P ′(2) = −15, P ′′(2) = −18.

Tarea 3, variante 10 GBLF, pagina 2 de 2

Page 25: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 11 GOL.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −1, x1 = 1, x2 = 5,

y0 = 1, y1 = 5, y2 = −35.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −1, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3,

y0 = −12, y1 = 0, y2 = 12, y3 = 44.

Tarea 3, variante 11 GOL, pagina 1 de 2

Page 26: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1, x1 = 3/2, x2 = 2, x3 = 5/2,

y0 = 2, y1 = −23/8, y2 = −12, y3 = −209/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −4, x1 = −2, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = −92, y1 = −8, y2 = −4, y3 = 16.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (2+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 2t = 1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 4, P ′(−1) = −7, P(1) = −6, P(2) = −26.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(0) = −2, P ′(0) = −3, P ′′(0) = −8, P(3) = 7.

Tarea 3, variante 11 GOL, pagina 2 de 2

Page 27: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 12 GMSJ.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 3,

y0 = 6, y1 = 2, y2 = 6.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 3, y1 = −5, y2 = −5, y3 = −5.

Tarea 3, variante 12 GMSJ, pagina 1 de 2

Page 28: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = −3/2, x2 = −1, x3 = −1/2,

y0 = −5, y1 = −5/4, y2 = −1, y3 = −11/4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −5/2, x1 = −2, x2 = −3/2, x3 = −1,

y0 = −183/8, y1 = −7, y2 = 7/8, y3 = 3.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomioP. Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = 1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−4) = −5, P ′(−4) = 20, P(2) = 7, P ′(2) = 20.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(0) = 5, P(2) = −9, P ′(2) = −15, P ′′(2) = −12.

Tarea 3, variante 12 GMSJ, pagina 2 de 2

Page 29: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 13 GRJC.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 3, x2 = 4,

y0 = 5, y1 = −10, y2 = −19.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5,

y0 = 0, y1 = 3, y2 = 4, y3 = −24.

Tarea 3, variante 13 GRJC, pagina 1 de 2

Page 30: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = 0, y1 = 13/8, y2 = 3, y3 = 15/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1/2, x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1,

y0 = 55/8, y1 = 5, y2 = 13/8, y3 = −4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = −39, P(1) = 1, P(3) = 45, P ′(3) = 50.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 1, P ′(−1) = −10, P ′′(−1) = 16, P(0) = −2.

Tarea 3, variante 13 GRJC, pagina 2 de 2

Page 31: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 14 HARD.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = 0, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 1, y1 = 5, y2 = 16.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1,

y0 = 38, y1 = −2, y2 = −4, y3 = −2.

Tarea 3, variante 14 HARD, pagina 1 de 2

Page 32: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = 1, y1 = −7/8, y2 = 0, y3 = 11/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −4, x1 = −2, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 77, y1 = −1, y2 = 1, y3 = −13.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (2+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 2t = 3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 21, P(1) = 0, P ′(1) = −7, P(2) = −19.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −34, P(0) = −4, P ′(0) = 5, P ′′(0) = −6.

Tarea 3, variante 14 HARD, pagina 2 de 2

Page 33: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

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peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 15 HCJ.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −3, x1 = 0, x2 = 1,

y0 = −10, y1 = 2, y2 = 2.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 14, y1 = 4, y2 = 2, y3 = −50.

Tarea 3, variante 15 HCJ, pagina 1 de 2

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Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = −3/2, x2 = −1, x3 = −1/2,

y0 = 9, y1 = 3/4, y2 = −3, y3 = −15/4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −7/2, x1 = −3, x2 = −5/2, x3 = −2,

y0 = 99/8, y1 = 16, y2 = 133/8, y3 = 15.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−4) = 49, P ′(−4) = −45, P(−2) = −1, P(3) = −21.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 15, P ′(−2) = −26, P ′′(−2) = 20, P(0) = −5.

Tarea 3, variante 15 HCJ, pagina 2 de 2

Page 35: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 16 HMI.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −1, x1 = 3, x2 = 5,

y0 = −3, y1 = −3, y2 = −15.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 3, y1 = 1, y2 = −9, y3 = −33.

Tarea 3, variante 16 HMI, pagina 1 de 2

Page 36: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4,

y0 = 18, y1 = −2, y2 = 2, y3 = −18.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−2+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3,

y0 = 65, y1 = 5, y2 = −7, y3 = −19.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (3+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 3+ 2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−5) = −10, P ′(−5) = 32, P(−1) = 6, P ′(−1) = −8.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = −7, P(1) = 3, P ′(1) = 9, P ′′(1) = 12.

Tarea 3, variante 16 HMI, pagina 2 de 2

Page 37: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

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peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 17 LGT.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = 2, x1 = 4, x2 = 5,

y0 = −2, y1 = −16, y2 = −26.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = 0, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4,

y0 = 0, y1 = 6, y2 = 0, y3 = −20.

Tarea 3, variante 17 LGT, pagina 1 de 2

Page 38: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = 9, y1 = 7/2, y2 = 2, y3 = 3.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −9/2, x1 = −4, x2 = −7/2, x3 = −3,

y0 = −743/8, y1 = −64, y2 = −333/8, y3 = −25.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−3+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −3+ 1

2t = −2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 27, P(1) = 0, P(3) = −8, P ′(3) = −12.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = −38, P ′(−3) = 26, P ′′(−3) = −16, P(2) = 17.

Tarea 3, variante 17 LGT, pagina 2 de 2

Page 39: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 18 MARD.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 2, x2 = 4,

y0 = −23, y1 = −11, y2 = −41.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = −12, y1 = −3, y2 = −2, y3 = 24.

Tarea 3, variante 18 MARD, pagina 1 de 2

Page 40: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1, x1 = 3/2, x2 = 2, x3 = 5/2,

y0 = 0, y1 = −37/4, y2 = −25, y3 = −195/4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −5/2, x1 = −2, x2 = −3/2, x3 = −1,

y0 = 83/2, y1 = 22, y2 = 10, y3 = 4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomioP. Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = 1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 20, P(1) = −1, P ′(1) = −10, P(2) = −24.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = 19, P(1) = 3, P ′(1) = 12, P ′′(1) = 16.

Tarea 3, variante 18 MARD, pagina 2 de 2

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Engra

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No

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Tarea 3. Variante 19 MMEU.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 1, x2 = 3,

y0 = 13, y1 = −2, y2 = 18.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 44, y1 = 2, y2 = 5, y3 = 0.

Tarea 3, variante 19 MMEU, pagina 1 de 2

Page 42: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = −3/2, x2 = −1, x3 = −1/2,

y0 = 0, y1 = −11/8, y2 = −3, y3 = −33/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −4, x1 = −2, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 60, y1 = 2, y2 = 0, y3 = 6.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (2+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 2t = 3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 0, P ′(−1) = 7, P(3) = −4, P(5) = 42.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(0) = −4, P ′(0) = 0, P ′′(0) = −6, P(1) = −4.

Tarea 3, variante 19 MMEU, pagina 2 de 2

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Engra

peaq

No

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e

Tarea 3. Variante 20 MCJD.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = 0, x1 = 3, x2 = 4,

y0 = −4, y1 = 5, y2 = 12.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1,

y0 = −10, y1 = 0, y2 = 2, y3 = −6.

Tarea 3, variante 20 MCJD, pagina 1 de 2

Page 44: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 2, x1 = 5/2, x2 = 3, x3 = 7/2,

y0 = 12, y1 = 185/8, y2 = 39, y3 = 483/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 1

2t = 1.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1/2, x1 = 1, x2 = 3/2, x3 = 2,

y0 = −2, y1 = 4, y2 = 29/2, y3 = 31.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 1

2t = 3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = −8, P ′(−1) = 5, P(0) = −3, P ′(0) = 3.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(1) = −5, P(2) = 1, P ′(2) = 17, P ′′(2) = 28.

Tarea 3, variante 20 MCJD, pagina 2 de 2

Page 45: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 21 MMNR.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = 0, x1 = 2, x2 = 5,

y0 = 3, y1 = 3, y2 = −12.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3,

y0 = 8, y1 = 1, y2 = 2, y3 = −20.

Tarea 3, variante 21 MMNR, pagina 1 de 2

Page 46: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −5/2, x2 = −2, x3 = −3/2,

y0 = 20, y1 = 19/2, y2 = 4, y3 = 2.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−3+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−4) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −4; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −3+ 1

2t = −4.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 3/2, x1 = 2, x2 = 5/2, x3 = 3,

y0 = −37/8, y1 = −12, y2 = −191/8, y3 = −41.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(3+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(4) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 4; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 3+ 1

2t = 4.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = −36, P(−1) = 2, P(0) = 3, P ′(0) = 1.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = −15, P ′(−3) = 2, P ′′(−3) = 8, P(−2) = −10.

Tarea 3, variante 21 MMNR, pagina 2 de 2

Page 47: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 22 MOHJ.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −3, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = −8, y1 = −13, y2 = −20.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −3, x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1,

y0 = −2, y1 = 6, y2 = 6, y3 = 6.

Tarea 3, variante 22 MOHJ, pagina 1 de 2

Page 48: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = −3/2, x2 = −1, x3 = −1/2,

y0 = −3, y1 = −49/8, y2 = −7, y3 = −51/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −7/2, x1 = −3, x2 = −5/2, x3 = −2,

y0 = 43/8, y1 = −2, y2 = −47/8, y3 = −7.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−4) = −1, P(−1) = 5, P ′(−1) = −7, P(3) = 41.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = 26, P(−2) = −4, P ′(−2) = −14, P ′′(−2) = 26.

Tarea 3, variante 22 MOHJ, pagina 2 de 2

Page 49: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 23 MRJ.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1,

y0 = 23, y1 = 5, y2 = 5.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1,

y0 = −45, y1 = 7, y2 = 3, y3 = 3.

Tarea 3, variante 23 MRJ, pagina 1 de 2

Page 50: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −5/2, x2 = −2, x3 = −3/2,

y0 = −16, y1 = −77/8, y2 = −6, y3 = −35/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−3+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−4) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −4; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −3+ 1

2t = −4.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −5/2, x1 = −2, x2 = −3/2, x3 = −1,

y0 = −55/4, y1 = −3, y2 = 11/4, y3 = 5.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomioP. Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = 1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = −44, P ′(−3) = 34, P(3) = 16, P(4) = 47.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 37, P ′(−2) = −48, P ′′(−2) = 42, P(2) = −11.

Tarea 3, variante 23 MRJ, pagina 2 de 2

Page 51: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 24 MGFE.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = 1, x1 = 4, x2 = 5,

y0 = 6, y1 = 27, y2 = 38.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −4, x1 = −3, x2 = −2, x3 = 0,

y0 = 24, y1 = 6, y2 = 0, y3 = 0.

Tarea 3, variante 24 MGFE, pagina 1 de 2

Page 52: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1, x1 = 3/2, x2 = 2, x3 = 5/2,

y0 = −5, y1 = −29/2, y2 = −31, y3 = −56.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1/2, x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1,

y0 = −7/2, y1 = 0, y2 = 1, y3 = 1.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = 19, P ′(−3) = −33, P(2) = −21, P ′(2) = −33.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = −25, P(−1) = 7, P ′(−1) = 0, P ′′(−1) = −8.

Tarea 3, variante 24 MGFE, pagina 2 de 2

Page 53: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 25 MLE.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 9, y1 = 9, y2 = 24.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 3, y1 = −5, y2 = 0, y3 = 19.

Tarea 3, variante 25 MLE, pagina 1 de 2

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Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = 7, y1 = 17/8, y2 = −1, y3 = −25/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −5/2, x1 = −2, x2 = −3/2, x3 = −1,

y0 = −61/8, y1 = −5, y2 = −15/8, y3 = 1.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −2, P(1) = −8, P(2) = −34, P ′(2) = −40.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(1) = 2, P ′(1) = 5, P ′′(1) = 0, P(3) = 4.

Tarea 3, variante 25 MLE, pagina 2 de 2

Page 55: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 26 NDLCL.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 2,

y0 = −1, y1 = −2, y2 = 19.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = −34, y1 = 4, y2 = 5, y3 = 18.

Tarea 3, variante 26 NDLCL, pagina 1 de 2

Page 56: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3,

y0 = 20, y1 = 6, y2 = 0, y3 = 50.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−3+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−4) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −4; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −3+ 2t = −4.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −7/2, x1 = −3, x2 = −5/2, x3 = −2,

y0 = 287/8, y1 = 24, y2 = 125/8, y3 = 10.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−5) = 1, P(−1) = −7, P ′(−1) = 10, P(2) = −13.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = 0, P(0) = 0, P ′(0) = −3, P ′′(0) = 4.

Tarea 3, variante 26 NDLCL, pagina 2 de 2

Page 57: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 27 NSVA.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −3, x1 = −2, x2 = 0,

y0 = 32, y1 = 19, y2 = 5.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 24, y1 = 6, y2 = 2, y3 = −12.

Tarea 3, variante 27 NSVA, pagina 1 de 2

Page 58: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = −3/2, x2 = −1, x3 = −1/2,

y0 = 25, y1 = 95/8, y2 = 3, y3 = −19/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1/2, x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1,

y0 = −7/8, y1 = 0, y2 = −9/8, y3 = −2.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(1) = −2, P ′(1) = −5, P(2) = −7, P(5) = 26.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 24, P ′(−2) = −32, P ′′(−2) = 22, P(0) = −4.

Tarea 3, variante 27 NSVA, pagina 2 de 2

Page 59: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 28 PAJ.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −5, x1 = −1, x2 = 0,

y0 = −47, y1 = −3, y2 = −2.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −3, x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1,

y0 = −6, y1 = −14, y2 = −8, y3 = −2.

Tarea 3, variante 28 PAJ, pagina 1 de 2

Page 60: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = −1, y1 = −3, y2 = −2, y3 = 1/2.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −5/2, x1 = −2, x2 = −3/2, x3 = −1,

y0 = 57/8, y1 = 4, y2 = 23/8, y3 = 3.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomioP. Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = 1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −7, P ′(−2) = 14, P(2) = 1, P ′(2) = 6.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−4) = 16, P(2) = −26, P ′(2) = −31, P ′′(2) = −20.

Tarea 3, variante 28 PAJ, pagina 2 de 2

Page 61: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 29 PPF.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −4, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 21, y1 = 21, y2 = 35.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1,

y0 = −32, y1 = −8, y2 = 1, y3 = 0.

Tarea 3, variante 29 PPF, pagina 1 de 2

Page 62: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 2, x1 = 5/2, x2 = 3, x3 = 7/2,

y0 = 6, y1 = 133/8, y2 = 32, y3 = 423/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 1

2t = 1.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −7/2, x1 = −3, x2 = −5/2, x3 = −2,

y0 = 31, y1 = 11, y2 = −3/2, y3 = −8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−5) = −24, P(−4) = −35, P(2) = −17, P ′(2) = −27.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(1) = −4, P ′(1) = 2, P ′′(1) = −2, P(2) = −5.

Tarea 3, variante 29 PPF, pagina 2 de 2

Page 63: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 30 PSMA.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −5, x1 = −4, x2 = 1,

y0 = 24, y1 = 15, y2 = 0.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = −14, y1 = −8, y2 = −2, y3 = −14.

Tarea 3, variante 30 PSMA, pagina 1 de 2

Page 64: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = −3/2, x2 = −1, x3 = −1/2,

y0 = −5, y1 = −19/8, y2 = −2, y3 = −25/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −7/2, x1 = −3, x2 = −5/2, x3 = −2,

y0 = 279/8, y1 = 20, y2 = 77/8, y3 = 3.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 1

2t = −1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 16, P(0) = −4, P ′(0) = −2, P(4) = −44.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −37, P(1) = −1, P ′(1) = 0, P ′′(1) = −2.

Tarea 3, variante 30 PSMA, pagina 2 de 2

Page 65: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 31 RMAH.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −5, x1 = −2, x2 = −1,

y0 = −4, y1 = −10, y2 = −8.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −1, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3,

y0 = −9, y1 = −3, y2 = −9, y3 = −13.

Tarea 3, variante 31 RMAH, pagina 1 de 2

Page 66: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3,

y0 = 4, y1 = −6, y2 = 0, y3 = −26.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−3+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −3+ 2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1/2, x1 = 1, x2 = 3/2, x3 = 2,

y0 = −5/8, y1 = −3, y2 = −55/8, y3 = −13.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 1

2t = 3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−4) = −4, P ′(−4) = 16, P(−2) = 4, P(−1) = −1.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = −31, P ′(−2) = 41, P ′′(−2) = −40, P(0) = −5.

Tarea 3, variante 31 RMAH, pagina 2 de 2

Page 67: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 32 RPAA.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −3, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = −11, y1 = 4, y2 = 1.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = 46, y1 = 4, y2 = 4, y3 = 2.

Tarea 3, variante 32 RPAA, pagina 1 de 2

Page 68: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3,

y0 = −36, y1 = 2, y2 = 8, y3 = 78.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−3+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −3+ 2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3,

y0 = −67, y1 = −1, y2 = 1, y3 = −13.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (3+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 3+ 2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−2) = 2, P ′(−2) = 15, P(0) = 4, P ′(0) = −5.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−3) = −17, P(1) = 11, P ′(1) = 19, P ′′(1) = 22.

Tarea 3, variante 32 RPAA, pagina 2 de 2

Page 69: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 33 RGJ.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −4, x1 = −3, x2 = −1,

y0 = −31, y1 = −21, y2 = −7.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = −31, y1 = −7, y2 = −1, y3 = 29.

Tarea 3, variante 33 RGJ, pagina 1 de 2

Page 70: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = −5, y1 = −3/4, y2 = 2, y3 = 19/4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1/2, x1 = 1, x2 = 3/2, x3 = 2,

y0 = 3, y1 = 4, y2 = 17/2, y3 = 18.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(2+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 1

2t = 3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = −11, P(1) = −5, P(2) = −5, P ′(2) = 5.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = −7, P ′(−1) = 12, P ′′(−1) = −18, P(3) = 25.

Tarea 3, variante 33 RGJ, pagina 2 de 2

Page 71: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 34 SCOR.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = 2, x1 = 4, x2 = 5,

y0 = 7, y1 = 5, y2 = 1.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −3, x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1,

y0 = 38, y1 = 19, y2 = 10, y3 = −2.

Tarea 3, variante 34 SCOR, pagina 1 de 2

Page 72: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = −5, y1 = −17/4, y2 = −3, y3 = −11/4.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3,

y0 = −88, y1 = −14, y2 = −4, y3 = −10.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (3+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 3+ 2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(0) = −2, P(1) = 0, P ′(1) = 2, P(4) = −30.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = 3, P(2) = 3, P ′(2) = 9, P ′′(2) = 12.

Tarea 3, variante 34 SCOR, pagina 2 de 2

Page 73: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 35 VCI.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −3, x1 = 1, x2 = 3,

y0 = −15, y1 = 1, y2 = −3.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,

y0 = −11, y1 = 5, y2 = 1, y3 = −19.

Tarea 3, variante 35 VCI, pagina 1 de 2

Page 74: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2,

y0 = 9, y1 = 11/8, y2 = −2, y3 = −27/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −1+ 1

2t = −2.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −11/2, x1 = −5, x2 = −9/2, x3 = −4,

y0 = −623/8, y1 = −55, y2 = −301/8, y3 = −25.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−4+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −4+ 1

2t = −3.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(0) = 3, P ′(0) = −5, P(3) = 6, P(4) = 47.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−4) = −5, P ′(−4) = 21, P ′′(−4) = −18, P(0) = −1.

Tarea 3, variante 35 VCI, pagina 2 de 2

Page 75: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 36 ZGC.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −4, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = −32, y1 = −14, y2 = −25.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 7, y1 = 1, y2 = −5, y3 = 7.

Tarea 3, variante 36 ZGC, pagina 1 de 2

Page 76: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = 1, x1 = 3/2, x2 = 2, x3 = 5/2,

y0 = −4, y1 = −85/8, y2 = −23, y3 = −347/8.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(3) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 3; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 3.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −4, x1 = −2, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 64, y1 = 12, y2 = 0, y3 = −20.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (2+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 2+ 2t = 1.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = −1, P ′(−1) = 8, P(2) = 23, P ′(2) = 26.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−4) = −12, P(−3) = −18, P ′(−3) = 0, P ′′(−3) = 10.

Tarea 3, variante 36 ZGC, pagina 2 de 2

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Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 37 DMV.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 1,

y0 = 9, y1 = 2, y2 = −6.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 2,

y0 = 23, y1 = 11, y2 = 3, y3 = 23.

Tarea 3, variante 37 DMV, pagina 1 de 2

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Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4,

y0 = 20, y1 = 4, y2 = −12, y3 = −76.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−2+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 2t = −1.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −1/2, x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1,

y0 = 5/4, y1 = 1, y2 = −5/4, y3 = −7.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(1+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = 2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que 1+ 1

2t = 2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(1) = −2, P(4) = 10, P(5) = 38, P ′(5) = 38.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(3) = −3, P ′(3) = 1, P ′′(3) = 8, P(4) = 3.

Tarea 3, variante 37 DMV, pagina 2 de 2

Page 79: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 3. Variante 38.Metodos Numericos I, Ingenierıa Matematica.

Interpolacion polinomial.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 23 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1 %.Problema de interpolacion polinomial. Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2},escriba el sistema de ecuaciones lineales que deben satisfacer los coeficientes del polinomioP(x) = a0 + a1x + a2x

2 para que se cumplan las igualdades P(xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calculeel determinante de la matriz A de este sistema usando la formula para el determinante de unamatriz de Vandermonde.

x0 = −3, x1 = −1, x2 = 2,

y0 = −26, y1 = 0, y2 = −6.

Ejercicio 2. 1 %.Construya una factorizacion LU de la matriz A del Ejercicio 1. Haga la comprobacion de laigualdad LU = A. Usando esta factorizacion LU calcule det(A) como det(L) det(U).

Ejercicio 3. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 usando la factorizacion LU obtenidaen el Ejercicio 2. Escriba el polinomio P del Ejercicio 1. Compruebe que P(xk) = yk para todok ∈ {0, 1, 2}.

Ejercicio 4. 1 %.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales del Ejercicio 1 con la regla de Cramer.

Ejercicio 5. 2 %.Construya el polinomio interpolante P del Ejercicio 1 con la formula de Lagrange.

Ejercicio 6. 3 %.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2, 3}, construya con la formula de Lagrangeun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Hagala comprobacion.

x0 = −4, x1 = −2, x2 = −1, x3 = 0,

y0 = −16, y1 = −10, y2 = −1, y3 = 4.

Tarea 3, variante 38, pagina 1 de 2

Page 80: Tarea 3. Variante M etodos Num ericos I, Ingenier a …esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_polynomial...doble Tarea 3. Variante : M etodos Num ericos I, Ingenier a Matem

Ejercicio 7. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando las formulas recursivasde Neville.

Ejercicio 8. 2 %.Construya el polinomio interpolante del ejercicio anterior usando la tabla de las diferen-cias divididas y la formula de Newton.

Ejercicio 9. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias progresivas construyaun polinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4,

y0 = 37, y1 = 1, y2 = 5, y3 = −95.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P (−2+ 2t) y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−1) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −1; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −2+ 2t = −1.

Ejercicio 10. 3 %.Usando la formula de la interpolacion de Newton en diferencias regresivas construya unpolinomio interpolante P de grado 6 3 tal que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}.

x0 = −9/2, x1 = −4, x2 = −7/2, x3 = −3,

y0 = 625/8, y1 = 53, y2 = 271/8, y3 = 20.

Primero calcule los coeficientes del polinomio Q(t) = P(−3+ 1

2t)

y luego los del polinomio P.Compruebe que P(xk) = yk para todo k ∈ {0, 1, 2, 3}. Ademas calcule P(−2) de dos manerasdiferentes:i) evaluando P(x) en x = −2; ii) evaluando Q(t) en el punto t tal que −3+ 1

2t = −2.

Ejercicio 11. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−1) = −2, P(2) = 7, P ′(2) = −3, P(4) = −47.

Ejercicio 12. 2 %.Resuelva el siguiente problema de la interpolacion de Hermite, esto es, construya un poli-nomio P de grado 6 3 que satisfaga las siguientes condiciones. Haga la comprobacion.

P(−5) = −27, P(−1) = −11, P ′(−1) = 12, P ′′(−1) = −4.

Tarea 3, variante 38, pagina 2 de 2