Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem...

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Engrape aqu´ ı No doble Tarea 2. Variante α. etodos num´ ericos I, Ingenier´ ıa matem´ atica. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Nombre: Calificaci´ on ( %): Ejercicio 1. 1 %. Calcule los productos E 1 A, AE 1 , E 2 A, AE 2 , E 3 A y AE 3 . Indique a qu´ e operaci´on elemental corresponde cada una de estas multiplicaciones. A = A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 2,1 A 2,2 A 2,3 A 3,1 A 3,2 A 3,3 , E 1 = -4 0 0 0 1 0 0 0 1 ,E 2 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ,E 3 = 1 0 -2 0 1 0 0 0 1 . Ejercicio 2. 1 %. Encuentre matrices elementales E 1 , E 2 , E 3 y E 4 que satisfagan las siguientes igualdades. Adem´ as escriba sus inversas E -1 1 , E -1 2 , E -1 3 y E -1 4 . E 1 -1 2 -2 50 20 70 7 3 1 = -1 2 -2 48 24 66 7 3 1 , E 2 -1 2 -2 50 20 70 7 3 1 = -1 2 -2 7 3 1 50 20 70 , -1 1 80 -2 7 20 2 5 30 E 3 = -3 1 80 -6 7 20 6 5 30 , -1 1 80 -2 7 20 2 5 30 E 4 = -1 1 81 -2 7 22 2 5 28 . Ejercicio 3. 2 %. Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matriz identidad. Bas´andose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este proceso escriba las matrices A y A -1 como productos de matrices elementales. Para la com- probaci´ on calcule la matriz A -1 a partir de su descomposici´ on en matrices elementales, luego multiplique A por A -1 . A = 0 4 -1 3 0 0 0 0 1 . Tarea 2, variante α, p´agina 1 de 4

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Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante α.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 −20 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−1 2 −250 20 70

7 3 1

=

−1 2 −248 24 66

7 3 1

, E2

−1 2 −250 20 70

7 3 1

=

−1 2 −27 3 1

50 20 70

, −1 1 80

−2 7 20

2 5 30

E3 = −3 1 80

−6 7 20

6 5 30

, −1 1 80

−2 7 20

2 5 30

E4 = −1 1 81

−2 7 22

2 5 28

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 4 −13 0 0

0 0 1

.

Tarea 2, variante α, pagina 1 de 4

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Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−2 1 0

0 0 1

−2 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

18VI3

4ΩI4

+ −

41VI2

7Ω I5

+ −40V

I13Ω

4ΩI6

Tarea 2, variante α, pagina 2 de 4

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Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 −4 2 −42 1 2 2

2 4 −6 1

6 6 −2 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 −4 2 −42 1 2 2

2 4 −6 1

6 6 −2 3

x =

2

1

−1−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 4 1

), A =

−9 −2 5 7

−6 8 −7 9

4 −1 −8 2

3 −4 −3 6

, B =

8 3 4 5

6 −6 7 9

−5 −7 1 −8−1 −4 −9 2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

9 7 −1 8

−9 4 6 −8−3 −6 5 3

0 −2 −5 2

=

−3 −6 5 3

0 −2 −5 2

−9 4 6 −89 7 −1 8

,4 −3 −2 9

2 −7 −4 −17 5 −6 −51 −8 6 0

Pψ =

−3 9 4 −2−7 −1 2 −45 −5 7 −6

−8 0 1 6

.

Tarea 2, variante α, pagina 3 de 4

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Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 5 5 −53 −1 −2 3

15 5 0 10

9 2 4 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 5 5 −53 −1 −2 3

15 5 0 10

9 2 4 7

x =

5

−1−56

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 6 −3 5 −2 4

0 −1 −2 7 5 7

0 −4 2 −8 −5 0

0 −7 8 2 2 −20 −5 3 1 −3 −7

.

Tarea 2, variante α, pagina 4 de 4

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No

dobl

e

Tarea 2. Variante β.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 4 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

−2 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 30 20

4 1 6

−1 2 −2

=

43 24 26

4 1 6

−1 2 −2

, E2

40 30 20

4 1 6

−1 2 −2

=

4 1 6

40 30 20

−1 2 −2

, 8 1 80

−8 2 20

5 −1 70

E3 = 8 1 81

−8 2 22

5 −1 69

, 8 1 80

−8 2 20

5 −1 70

E4 = 24 1 80

−24 2 20

15 −1 70

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

1 0 −30 −1 0

.

Tarea 2, variante β, pagina 1 de 4

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Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

1 0 3

0 −2 3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+− 26V

I3

+−6V

I1

I23Ω I4

1Ω I5

+−

34VI6 5Ω

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Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 0 3 3

3 4 4 7

3 4 1 4

3 −4 −1 −1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 0 3 3

3 4 4 7

3 4 1 4

3 −4 −1 −1

x =

3

1

1

−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 1 3

), A =

2 −1 −6 −21 6 7 9

−7 4 5 3

−9 −4 8 −5

, B =

0 9 −9 −5

−3 −4 2 5

−7 7 3 −1−8 −6 1 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

5 8 6 −19 −6 4 −93 −4 −8 −70 7 −3 2

=

9 −6 4 −93 −4 −8 −70 7 −3 2

5 8 6 −1

,

4 −5 −7 −37 6 5 −4

−2 −1 −9 9

0 −6 1 −8

Pψ =

4 −7 −3 −57 5 −4 6

−2 −9 9 −10 1 −8 −6

.

Tarea 2, variante β, pagina 3 de 4

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Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 1 4 4

1 1 4 7

3 2 8 10

−4 −3 −10 −15

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 4 4

1 1 4 7

3 2 8 10

−4 −3 −10 −15

x =

−21

−1−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 7 1 3 −7 −90 −4 −1 8 9 −60 −6 −5 −9 −9 −10 −8 8 2 −7 3

0 9 6 3 4 −8

.

Tarea 2, variante β, pagina 4 de 4

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Tarea 2. Variante 1 AMDM.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 3

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

7 8 9

20 50 70

−2 2 1

=

7 8 9

20 50 70

−6 6 3

, E2

7 8 9

20 50 70

−2 2 1

=

7 8 9

26 44 67

−2 2 1

, 1 4 70

−2 3 20

2 6 80

E3 = 1 70 4

−2 20 3

2 80 6

, 1 4 70

−2 3 20

2 6 80

E4 = 1 4 72

−2 3 16

2 6 84

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 −1−1 1 0

1 −3 0

.

Tarea 2, variante 1 AMDM, pagina 1 de 4

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Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

−1 0 −21 3 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

17VI1

+−

20VI2

7Ω3Ω

I3

I4

+ −

35VI55Ω

Tarea 2, variante 1 AMDM, pagina 2 de 4

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Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 1 4 0

2 −3 7 −36 7 5 4

6 −1 7 1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 1 4 0

2 −3 7 −36 7 5 4

6 −1 7 1

x =

−11

−1−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 3 1

), A =

−1 −2 6 −9−4 8 3 2

0 −7 −3 9

4 1 −8 −5

, B =

−9 −5 −4 2

−2 7 1 6

−7 −8 −6 −35 3 0 4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−8 −6 8 0

−9 −3 4 5

−1 2 −5 9

−4 1 7 −7

=

−9 −3 4 5

−4 1 7 −7−8 −6 8 0

−1 2 −5 9

,

−6 5 −3 8

−1 4 7 6

−9 −2 −4 9

0 1 2 3

Pψ =

−3 5 8 −67 4 6 −1

−4 −2 9 −92 1 3 0

.

Tarea 2, variante 1 AMDM, pagina 3 de 4

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Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 5 3

2 −3 5 5

2 −4 0 5

6 −12 3 10

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 5 3

2 −3 5 5

2 −4 0 5

6 −12 3 10

x =

3

1

4

−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

9 −9 3 7 −6 3

0 3 −3 −7 −7 −70 4 −4 4 −4 −80 5 −6 −2 3 7

0 6 −1 7 −4 7

.

Tarea 2, variante 1 AMDM, pagina 4 de 4

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No

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e

Tarea 2. Variante 2 AMV.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

−1 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

80 40 30

8 7 3

−2 1 2

=

78 41 32

8 7 3

−2 1 2

, E2

80 40 30

8 7 3

−2 1 2

=

80 40 30

−2 1 2

8 7 3

, 5 1 40

6 −1 70

−7 2 60

E3 = 5 1 38

6 −1 72

−7 2 56

, 5 1 40

6 −1 70

−7 2 60

E4 = 5 2 40

6 −2 70

−7 4 60

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−4 0 1

0 1 0

−2 0 −1

.

Tarea 2, variante 2 AMV, pagina 1 de 4

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Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

4 −1 0

0 −1 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−23V

I3

I4

1ΩI5

+−

18V I6 3Ω

2ΩI2

+−24V I1 3Ω

Tarea 2, variante 2 AMV, pagina 2 de 4

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Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 3 0 3

6 5 −3 8

3 6 7 −53 1 −8 2

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 3 0 3

6 5 −3 8

3 6 7 −53 1 −8 2

x =

3

7

−4−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 2 4

), A =

−8 −6 0 −59 −4 −9 8

−3 3 6 2

4 −2 7 5

, B =

0 9 −8 2

5 −4 −3 −2−6 −9 8 4

6 −5 7 −7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

9 8 2 −36 −4 7 −1

−7 4 −9 −63 −5 1 5

=

−7 4 −9 −66 −4 7 −13 −5 1 5

9 8 2 −3

,

−9 0 6 2

8 5 −5 −63 −8 −2 1

−1 9 4 −3

Pψ =

2 −9 0 6

−6 8 5 −51 3 −8 −2

−3 −1 9 4

.

Tarea 2, variante 2 AMV, pagina 3 de 4

Page 16: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

−2 −1 −1 −52 1 1 2

2 4 2 10

−8 11 2 6

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 −1 −1 −52 1 1 2

2 4 2 10

−8 11 2 6

x =

2

1

−23

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

1 −2 5 1 0 0

0 3 −6 9 5 6

0 −8 −7 0 4 5

0 9 5 −9 6 7

0 −6 9 6 0 5

.

Tarea 2, variante 2 AMV, pagina 4 de 4

Page 17: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 3 CHD.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −4 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 1 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

4 3 −91 2 −270 50 30

=

4 3 −91 2 −268 46 34

, E2

4 3 −91 2 −270 50 30

=

−12 −9 27

1 2 −270 50 30

, 8 20 2

6 70 −17 60 −2

E3 = 8 22 2

6 69 −17 58 −2

, 8 20 2

6 70 −17 60 −2

E4 = 2 20 8

−1 70 6

−2 60 7

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 0

−3 0 1

1 0 −1

.

Tarea 2, variante 3 CHD, pagina 1 de 4

Page 18: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 0

0 0 1

0 −1 3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

31V

I1

+ −

50V

I2

3Ω+−

48V

I3

I4

I5

Tarea 2, variante 3 CHD, pagina 2 de 4

Page 19: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 1 2 1

3 2 8 5

3 6 −2 −33 3 2 0

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 2 1

3 2 8 5

3 6 −2 −33 3 2 0

x =

−1−2−2−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 4 2

), A =

3 1 −5 −4

−3 5 −9 9

−2 2 −6 0

7 −7 −8 8

, B =

8 −1 −2 −9

−6 −4 5 −31 6 −5 0

9 −7 2 −8

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

2 −5 0 −28 −6 9 −83 6 1 5

−9 −1 7 −4

=

−9 −1 7 −42 −5 0 −23 6 1 5

8 −6 9 −8

,

0 −1 7 −76 −8 5 2

1 −6 3 −5−4 4 −9 8

Pψ =

0 7 −7 −16 5 2 −81 3 −5 −6

−4 −9 8 4

.

Tarea 2, variante 3 CHD, pagina 3 de 4

Page 20: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 5 4 5

−4 −2 4 1

−4 8 12 14

−8 1 9 12

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 5 4 5

−4 −2 4 1

−4 8 12 14

−8 1 9 12

x =

−11

2

3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

0 5 −6 −3 9 8

0 −6 −4 7 −2 −30 3 2 −3 2 −70 8 4 0 2 −60 2 −6 0 −6 −9

.

Tarea 2, variante 3 CHD, pagina 4 de 4

Page 21: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 4 CBN.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −2

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 −1 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−1 −2 2

9 3 6

40 70 80

=

−1 −2 2

27 9 18

40 70 80

, E2

−1 −2 2

9 3 6

40 70 80

=

−1 −2 2

9 3 6

37 64 86

, 80 1 −920 −1 3

60 2 8

E3 = 81 1 −919 −1 3

62 2 8

, 80 1 −920 −1 3

60 2 8

E4 = 80 −9 1

20 3 −160 8 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 1 4

0 0 −41 0 4

.

Tarea 2, variante 4 CBN, pagina 1 de 4

Page 22: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

2 0 −90 0 3

0 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

8ΩI4

+−

57VI3

+ −

12VI2

4Ω I5

2ΩI6

+−23V

I11Ω

Tarea 2, variante 4 CBN, pagina 2 de 4

Page 23: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−4 −1 2 −30 3 4 1

4 7 4 2

−4 2 8 5

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−4 −1 2 −30 3 4 1

4 7 4 2

−4 2 8 5

x =

3

1

−1−4

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 2 4 1

), A =

8 0 5 −6

−2 −7 −8 9

−5 1 −4 −13 2 6 4

, B =

1 7 −2 −3

−5 −1 −9 6

8 −7 −8 9

−6 4 2 0

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−7 0 −2 8

−8 −6 −5 −91 4 7 6

9 2 −3 3

=

−8 −6 −5 −99 2 −3 3

1 4 7 6

−7 0 −2 8

,

−8 0 −9 5

−7 −2 −3 1

7 −6 9 −12 8 3 −4

Pψ =

−9 −8 0 5

−3 −7 −2 1

9 7 −6 −13 2 8 −4

.

Tarea 2, variante 4 CBN, pagina 3 de 4

Page 24: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

4 5 1 5

4 5 1 7

8 15 0 9

−8 −15 2 −11

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 5 1 5

4 5 1 7

8 15 0 9

−8 −15 2 −11

x =

1

5

1

−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 −1 −6 4 3 5

0 1 1 7 7 −80 5 −2 −2 1 −90 4 1 −3 7 −10 −9 −4 −1 −9 7

.

Tarea 2, variante 4 CBN, pagina 4 de 4

Page 25: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 5 DLRGA.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−3 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 1

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

60 80 70

6 5 8

−1 2 1

=

60 80 70

18 15 24

−1 2 1

, E2

60 80 70

6 5 8

−1 2 1

=

59 82 71

6 5 8

−1 2 1

, 1 60 5

−2 50 8

2 30 −9

E3 = 1 58 5

−2 54 8

2 26 −9

, 1 60 5

−2 50 8

2 30 −9

E4 = 60 1 5

50 −2 8

30 2 −9

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−4 −1 0

0 0 1

3 1 0

.

Tarea 2, variante 5 DLRGA, pagina 1 de 4

Page 26: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−9 −2 0

0 0 1

−3 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−6V

I12Ω I4

+− 35V

I31ΩI5

I2

+−

41VI6 5Ω

Tarea 2, variante 5 DLRGA, pagina 2 de 4

Page 27: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 4 −1 3

3 5 2 0

6 7 −4 7

6 6 −4 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 4 −1 3

3 5 2 0

6 7 −4 7

6 6 −4 8

x =

1

3

−1−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 4 2 1

), A =

4 7 −2 −50 9 5 8

−6 −1 6 −41 −3 −8 −7

, B =

9 5 −3 −4

−9 −7 −1 −2−8 3 −6 0

6 4 8 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

6 −4 −2 −10 3 7 −3

−9 5 1 4

9 2 −5 −8

=

−9 5 1 4

6 −4 −2 −19 2 −5 −80 3 7 −3

,

−7 −1 0 −67 6 8 2

−8 −2 −9 −43 −3 −5 9

Pψ =

−7 −6 −1 0

7 2 6 8

−8 −4 −2 −93 9 −3 −5

.

Tarea 2, variante 5 DLRGA, pagina 3 de 4

Page 28: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 3 2 −45 3 2 2

15 3 2 11

10 −3 −1 13

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 3 2 −45 3 2 2

15 3 2 11

10 −3 −1 13

x =

−11

−11

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−3 −2 8 8 −2 −60 −4 6 5 5 9

0 7 1 2 −5 1

0 −6 0 −9 −6 3

0 −9 −9 −2 8 7

.

Tarea 2, variante 5 DLRGA, pagina 4 de 4

Page 29: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 6 DOF.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −4 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

1 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−2 9 6

20 50 60

1 −1 2

=

−2 9 6

18 52 56

1 −1 2

, E2

−2 9 6

20 50 60

1 −1 2

=

−2 9 6

20 50 60

−4 4 −8

, 80 9 −220 6 1

50 −8 2

E3 = 9 80 −2

6 20 1

−8 50 2

, 80 9 −220 6 1

50 −8 2

E4 = 74 9 −223 6 1

56 −8 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 0

1 −1 0

−2 0 1

.

Tarea 2, variante 6 DOF, pagina 1 de 4

Page 30: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

0 2 2

−4 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

13VI4 I5

+−

32V

I2

I3

+−8V I1 1Ω

Tarea 2, variante 6 DOF, pagina 2 de 4

Page 31: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

4 2 −3 3

4 3 −5 3

8 2 −5 5

4 5 0 4

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 2 −3 3

4 3 −5 3

8 2 −5 5

4 5 0 4

x =

−1−21

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 2 3

), A =

2 −8 −9 −35 1 0 −4

−7 6 3 7

9 −1 −2 −5

, B =

−7 8 6 3

−5 −1 −3 −64 1 9 −9

−2 7 −4 −8

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−5 −8 4 −39 −2 −1 1

−6 3 −7 5

8 −4 0 −9

=

9 −2 −1 1

8 −4 0 −9−5 −8 4 −3−6 3 −7 5

,

−6 5 9 2

−2 1 3 −4−3 −5 −9 6

−1 −7 8 0

Pψ =

2 9 −6 5

−4 3 −2 1

6 −9 −3 −50 8 −1 −7

.

Tarea 2, variante 6 DOF, pagina 3 de 4

Page 32: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

−4 1 4 −1−4 1 4 4

−4 5 3 4

4 3 −2 5

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−4 1 4 −1−4 1 4 4

−4 5 3 4

4 3 −2 5

x =

2

−3−12

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−1 −4 0 5 3 −90 −1 7 3 3 8

0 3 3 3 7 −10 −7 −7 −5 −4 −50 −9 −7 5 −4 −9

.

Tarea 2, variante 6 DOF, pagina 4 de 4

Page 33: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 7 FJVN.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 −10 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

9 4 −41 −1 2

20 70 80

=

1 −1 2

9 4 −420 70 80

, E2

9 4 −41 −1 2

20 70 80

=

9 4 −41 −1 2

21 69 82

, 1 40 6

2 80 5

−1 20 −7

E3 = 1 38 6

2 76 5

−1 22 −7

, 1 40 6

2 80 5

−1 20 −7

E4 = 1 40 −12

2 80 −10−1 20 14

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 −21 2 0

0 1 0

.

Tarea 2, variante 7 FJVN, pagina 1 de 4

Page 34: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

1 0 −40 −3 −4

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−12V

I3

I4

+ −

35VI65Ω

3Ω I5

+ −19VI11Ω

2ΩI2

Tarea 2, variante 7 FJVN, pagina 2 de 4

Page 35: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 2 2 2

2 −1 1 −22 2 1 2

8 5 4 2

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 2 2 2

2 −1 1 −22 2 1 2

8 5 4 2

x =

−22

1

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 3 2

), A =

2 4 0 −89 7 −2 1

−7 −1 −3 8

6 3 −5 −9

, B =

−3 9 −8 3

8 −5 1 2

−6 −9 6 4

0 7 −4 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−5 6 8 7

2 9 0 4

1 −3 3 −8−6 −4 −7 −2

=

1 −3 3 −8

−5 6 8 7

2 9 0 4

−6 −4 −7 −2

,

−2 7 −3 −73 −1 −5 5

−8 2 6 −6−4 1 4 −9

Pψ =

−3 −7 7 −2−5 5 −1 3

6 −6 2 −84 −9 1 −4

.

Tarea 2, variante 7 FJVN, pagina 3 de 4

Page 36: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 −1 2 0

1 3 3 4

1 5 −1 5

1 7 −2 9

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 −1 2 0

1 3 3 4

1 5 −1 5

1 7 −2 9

x =

1

−1−12

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

1 −9 5 8 −1 9

0 4 −7 −8 −9 4

0 7 0 2 −5 6

0 −5 −2 −5 1 3

0 −8 7 5 9 0

.

Tarea 2, variante 7 FJVN, pagina 4 de 4

Page 37: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 8 FPVI.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−2 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

1 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

30 50 60

−1 1 2

−8 7 8

=

30 50 60

−2 2 4

−8 7 8

, E2

30 50 60

−1 1 2

−8 7 8

=

27 53 66

−1 1 2

−8 7 8

, 1 50 3

−2 80 8

−1 60 7

E3 = 1 49 3

−2 82 8

−1 61 7

, 1 50 3

−2 80 8

−1 60 7

E4 = 50 1 3

80 −2 8

60 −1 7

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

2 0 0

0 0 1

−2 1 0

.

Tarea 2, variante 8 FPVI, pagina 1 de 4

Page 38: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

2 0 1

0 1 0

−1 0 −2

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−34V

I1

+− 17V

I2

+−

7V

I5

I3

I4

Tarea 2, variante 8 FPVI, pagina 2 de 4

Page 39: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 2 3 4

−4 5 5 6

−4 4 4 7

4 −7 3 −1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 2 3 4

−4 5 5 6

−4 4 4 7

4 −7 3 −1

x =

1

1

2

−3

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 2 1 3

), A =

5 4 8 −5

−4 −9 7 0

−6 −3 1 −26 9 2 3

, B =

−2 9 8 6

1 −8 −1 0

−6 3 −4 2

−3 7 −9 4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−2 8 1 −5−3 6 −4 7

5 −9 9 3

−7 −6 2 −1

=

−3 6 −4 7

5 −9 9 3

−2 8 1 −5−7 −6 2 −1

,

−8 3 −2 0

1 9 −6 −44 8 −5 2

−9 −1 7 −3

Pψ =

3 0 −8 −29 −4 1 −68 2 4 −5

−1 −3 −9 7

.

Tarea 2, variante 8 FPVI, pagina 3 de 4

Page 40: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 2 2 −12 4 4 3

2 −1 4 −33 −4 8 −3

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 2 2 −12 4 4 3

2 −1 4 −33 −4 8 −3

x =

−3−1−2−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 −4 −2 −7 7 1

0 2 −5 8 5 −60 3 3 −3 −9 5

0 6 −5 −4 5 −20 −7 1 6 −1 −8

.

Tarea 2, variante 8 FPVI, pagina 4 de 4

Page 41: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 9 FMHE.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 −1 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 30 60

3 −3 4

1 2 −1

=

38 26 62

3 −3 4

1 2 −1

, E2

40 30 60

3 −3 4

1 2 −1

=

1 2 −13 −3 4

40 30 60

, 40 2 3

50 1 4

20 −2 9

E3 = 40 2 −1250 1 −1620 −2 −36

, 40 2 3

50 1 4

20 −2 9

E4 = 38 2 3

49 1 4

22 −2 9

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

1 0 0

−1 −2 0

.

Tarea 2, variante 9 FMHE, pagina 1 de 4

Page 42: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 2

0 0 1

0 −1 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

35V

I5

3Ω+ −

21V

I4

+−

32V

I6

I1

4ΩI2

I3

Tarea 2, variante 9 FMHE, pagina 2 de 4

Page 43: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−1 1 1 2

−2 1 −1 3

−3 4 8 8

−4 4 8 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−1 1 1 2

−2 1 −1 3

−3 4 8 8

−4 4 8 8

x =

1

3

−1−4

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 3 1 2

), A =

−6 −3 7 0

6 4 9 −2−9 −5 −4 2

3 −8 −7 8

, B =

5 7 −9 3

−8 −6 4 1

−7 0 −2 −32 8 −5 −1

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

2 −7 0 5

−9 8 −1 7

6 −4 3 −64 9 −5 −8

=

6 −4 3 −62 −7 0 5

4 9 −5 −8−9 8 −1 7

,

−9 7 6 1

8 −3 −8 −12 5 9 3

−2 −5 −6 4

Pψ =

7 6 1 −9

−3 −8 −1 8

5 9 3 2

−5 −6 4 −2

.

Tarea 2, variante 9 FMHE, pagina 3 de 4

Page 44: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 −4 2

5 2 3 −55 3 −1 2

15 9 2 −12

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 −4 2

5 2 3 −55 3 −1 2

15 9 2 −12

x =

−2−12

−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 0 −6 2 3 2

0 −3 0 −3 −5 −70 6 −6 6 −1 −80 −9 2 3 8 6

0 2 −8 3 3 7

.

Tarea 2, variante 9 FMHE, pagina 4 de 4

Page 45: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 10 GBLF.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −2

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 −3 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−3 4 8

2 −1 1

70 30 60

=

−3 4 8

2 −1 1

64 33 57

, E2

−3 4 8

2 −1 1

70 30 60

=

2 −1 1

−3 4 8

70 30 60

, 2 −8 30

−2 7 60

1 8 40

E3 = 2 −8 26

−2 7 64

1 8 38

, 2 −8 30

−2 7 60

1 8 40

E4 = 2 −32 30

−2 28 60

1 32 40

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 −40 0 −30 1 0

.

Tarea 2, variante 10 GBLF, pagina 1 de 4

Page 46: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 3

0 0 2

0 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+− 26V

I3

+−6V

I1

I23Ω I4

1Ω I5

+−

34VI6 5Ω

Tarea 2, variante 10 GBLF, pagina 2 de 4

Page 47: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 1 −2 1

6 1 0 −23 1 −4 5

3 3 −8 6

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 1 −2 1

6 1 0 −23 1 −4 5

3 3 −8 6

x =

−2−4−2−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 3 4 2

), A =

−6 7 −3 −5−1 1 6 −93 −7 0 −29 −8 4 2

, B =

4 1 −7 −8

−2 9 0 3

2 −5 5 −98 −6 −1 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−3 −9 −2 −53 8 5 9

2 −1 4 −8−6 1 6 −4

=

2 −1 4 −8

−3 −9 −2 −5−6 1 6 −43 8 5 9

,

3 2 0 7

−9 −5 5 1

8 −3 −1 −2−7 −4 4 −8

Pψ =

0 7 2 3

5 1 −5 −9−1 −2 −3 8

4 −8 −4 −7

.

Tarea 2, variante 10 GBLF, pagina 3 de 4

Page 48: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

4 −1 2 5

12 −3 6 11

−4 5 −1 −1012 5 5 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 −1 2 5

12 −3 6 11

−4 5 −1 −1012 5 5 7

x =

2

−2−13

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−2 2 −7 9 8 0

0 1 −8 −8 −9 0

0 −3 7 −9 −6 −50 −6 3 −4 −3 5

0 9 −4 2 9 −2

.

Tarea 2, variante 10 GBLF, pagina 4 de 4

Page 49: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 11 GOL.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 3

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

60 30 80

2 −2 1

−4 5 6

=

54 36 77

2 −2 1

−4 5 6

, E2

60 30 80

2 −2 1

−4 5 6

=

60 30 80

−6 6 −3−4 5 6

, 4 40 1

−4 50 −13 60 2

E3 = 4 42 1

−4 48 −13 64 2

, 4 40 1

−4 50 −13 60 2

E4 = 40 4 1

50 −4 −160 3 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−3 1 0

0 0 1

0 1 4

.

Tarea 2, variante 11 GOL, pagina 1 de 4

Page 50: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

3 0 1

0 1 0

−1 −4 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

17VI1

+−

20VI2

7Ω3Ω

I3

I4

+ −

35VI55Ω

Tarea 2, variante 11 GOL, pagina 2 de 4

Page 51: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 1 2 −13 3 5 −33 −3 −3 6

6 4 5 −6

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 1 2 −13 3 5 −33 −3 −3 6

6 4 5 −6

x =

1

−16

2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 4 2 3

), A =

9 5 −2 3

−4 −8 −9 −14 7 −6 −7

−3 1 2 0

, B =

−1 −8 −4 −53 4 −3 8

7 −7 1 5

−9 0 2 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−6 0 −8 6

2 −7 3 −4−9 9 −1 −35 7 1 −2

=

5 7 1 −2

−6 0 −8 6

2 −7 3 −4−9 9 −1 −3

,

−4 −5 −9 −72 −6 −8 −23 0 6 5

7 8 −1 4

Pψ =

−7 −4 −5 −9−2 2 −6 −85 3 0 6

4 7 8 −1

.

Tarea 2, variante 11 GOL, pagina 3 de 4

Page 52: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 2 4 3

2 3 2 4

−4 0 8 2

−2 3 6 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 2 4 3

2 3 2 4

−4 0 8 2

−2 3 6 7

x =

1

3

−2−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

3 3 4 3 −2 −20 2 −2 2 −8 −40 −7 −8 0 4 2

0 8 −6 0 6 −70 −9 −1 5 1 2

.

Tarea 2, variante 11 GOL, pagina 4 de 4

Page 53: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 12 GMSJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

3 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

1 −2 2

5 −6 3

80 30 70

=

1 −2 2

−15 18 −980 30 70

, E2

1 −2 2

5 −6 3

80 30 70

=

1 −2 2

5 −6 3

83 24 76

, −4 40 1

9 30 −25 60 2

E3 = 1 40 −4

−2 30 9

2 60 5

, −4 40 1

9 30 −25 60 2

E4 = −4 39 1

9 32 −25 58 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−3 0 1

1 0 3

0 4 0

.

Tarea 2, variante 12 GMSJ, pagina 1 de 4

Page 54: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

−2 −3 −21 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−23V

I3

I4

1ΩI5

+−

18V I6 3Ω

2ΩI2

+−24V I1 3Ω

Tarea 2, variante 12 GMSJ, pagina 2 de 4

Page 55: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 2 2 −14 6 5 −23 4 6 −13 8 −3 −7

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 2 2 −14 6 5 −23 4 6 −13 8 −3 −7

x =

1

1

3

−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 1 4

), A =

3 1 5 −7

−5 0 −2 −9−8 8 −1 −39 −4 4 7

, B =

2 0 −1 6

−4 −6 7 −5−7 4 −2 5

3 −9 8 −8

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

7 8 3 9

−7 0 −1 1

−3 −9 5 −4−6 2 6 −5

=

7 8 3 9

−6 2 6 −5−7 0 −1 1

−3 −9 5 −4

,

4 −2 6 −52 9 −4 5

−1 −6 −9 −77 −3 3 8

Pψ =

6 −5 −2 4

−4 5 9 2

−9 −7 −6 −13 8 −3 7

.

Tarea 2, variante 12 GMSJ, pagina 3 de 4

Page 56: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 4 1 3

−3 −12 −3 −43 11 1 7

−1 1 4 2

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 4 1 3

−3 −12 −3 −43 11 1 7

−1 1 4 2

x =

−1−2−41

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−2 −1 −6 −7 −9 1

0 −3 4 −1 −5 3

0 −5 9 −8 0 −50 7 1 0 −5 −40 9 −7 6 −9 −8

.

Tarea 2, variante 12 GMSJ, pagina 4 de 4

Page 57: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 13 GRJC.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −4

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 1

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

1 2 −25 8 9

20 70 60

=

1 2 −25 8 9

23 76 54

, E2

1 2 −25 8 9

20 70 60

=

5 8 9

1 2 −220 70 60

, 6 40 −1

7 70 1

−3 80 2

E3 = 6 40 2

7 70 −2−3 80 −4

, 6 40 −1

7 70 1

−3 80 2

E4 = 6 39 −1

7 71 1

−3 82 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 1 0

2 0 −21 0 0

.

Tarea 2, variante 13 GRJC, pagina 1 de 4

Page 58: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

1 2 3

0 0 −1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

31V

I1

+ −

50V

I2

3Ω+−

48V

I3

I4

I5

Tarea 2, variante 13 GRJC, pagina 2 de 4

Page 59: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 1 −1 1

2 5 −1 5

−2 1 2 0

−4 2 6 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 −1 1

2 5 −1 5

−2 1 2 0

−4 2 6 3

x =

−1−22

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 4 1

), A =

2 4 3 5

1 −3 −9 −17 −7 −4 −59 6 0 8

, B =

−8 −5 −4 4

2 −9 8 7

−2 −3 −6 1

9 5 6 −7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−6 −3 6 −8−5 −1 0 −75 8 4 −97 −2 3 −4

=

−5 −1 0 −77 −2 3 −45 8 4 −9

−6 −3 6 −8

,

8 1 3 −64 9 −5 2

−8 −3 −1 0

−7 6 7 −4

Pψ =

−6 3 8 1

2 −5 4 9

0 −1 −8 −3−4 7 −7 6

.

Tarea 2, variante 13 GRJC, pagina 3 de 4

Page 60: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 −1 2 4

1 −1 5 1

1 −3 9 4

2 −6 14 14

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 −1 2 4

1 −1 5 1

1 −3 9 4

2 −6 14 14

x =

2

−1−2−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

3 7 −2 −9 8 7

0 −1 6 6 8 8

0 7 0 0 3 5

0 8 −7 −1 −7 7

0 6 4 −6 −7 3

.

Tarea 2, variante 13 GRJC, pagina 4 de 4

Page 61: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 14 HARD.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−2 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

3 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−1 1 2

20 70 80

−4 5 4

=

−1 1 2

18 72 84

−4 5 4

, E2

−1 1 2

20 70 80

−4 5 4

=

−4 5 4

20 70 80

−1 1 2

, 30 −1 5

20 2 −960 1 7

E3 = 30 −1 20

20 2 −3660 1 28

, 30 −1 5

20 2 −960 1 7

E4 = 31 −1 5

18 2 −959 1 7

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

−4 0 0

0 1 −2

.

Tarea 2, variante 14 HARD, pagina 1 de 4

Page 62: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−4 0 0

0 2 1

4 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

8ΩI4

+−

57VI3

+ −

12VI2

4Ω I5

2ΩI6

+−23V

I11Ω

Tarea 2, variante 14 HARD, pagina 2 de 4

Page 63: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 2 1 −12 5 3 −63 4 −2 1

0 −1 2 4

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 2 1 −12 5 3 −63 4 −2 1

0 −1 2 4

x =

1

1

−24

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 1 3

), A =

−2 5 4 2

0 3 −3 −1−6 8 9 −4−8 7 −7 −5

, B =

8 5 −9 −52 6 −1 9

3 7 0 −6−4 4 1 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

7 −9 0 2

−1 4 1 −65 9 −3 8

−2 −8 6 3

=

5 9 −3 8

−2 −8 6 3

−1 4 1 −67 −9 0 2

,

−4 7 −1 0

5 −2 −3 2

−7 −5 9 −9−8 6 4 8

Pψ =

−1 −4 7 0

−3 5 −2 2

9 −7 −5 −94 −8 6 8

.

Tarea 2, variante 14 HARD, pagina 3 de 4

Page 64: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

2 4 2 2

4 8 4 3

−8 −12 −7 −114 4 2 6

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 4 2 2

4 8 4 3

−8 −12 −7 −114 4 2 6

x =

−2−31

2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−3 −5 −6 1 −1 9

0 3 −1 6 8 7

0 7 −9 −9 6 −80 5 5 1 −2 1

0 −2 5 6 6 −6

.

Tarea 2, variante 14 HARD, pagina 4 de 4

Page 65: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 15 HCJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 3 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−8 8 7

40 50 60

1 −1 2

=

−8 8 7

40 50 60

4 −4 8

, E2

−8 8 7

40 50 60

1 −1 2

=

−8 8 7

41 49 62

1 −1 2

, 1 70 −4

−2 80 7

2 40 3

E3 = 1 67 −4

−2 86 7

2 34 3

, 1 70 −4

−2 80 7

2 40 3

E4 = 70 1 −480 −2 7

40 2 3

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 4

0 0 1

1 0 2

.

Tarea 2, variante 15 HCJ, pagina 1 de 4

Page 66: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 3

1 0 0

2 2 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−6V

I12Ω I4

+− 35V

I31ΩI5

I2

+−

41VI6 5Ω

Tarea 2, variante 15 HCJ, pagina 2 de 4

Page 67: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 1 1 1

6 4 2 2

−6 −7 4 0

4 4 3 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 1 1 1

6 4 2 2

−6 −7 4 0

4 4 3 3

x =

2

2

1

−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 3 1

), A =

6 −7 −8 2

9 4 −3 1

8 −2 −1 −4−9 −6 5 3

, B =

2 −9 9 −8

−4 7 0 −7−3 3 −6 6

5 −5 −2 −1

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−2 8 3 6

9 −1 −8 −47 −6 0 5

−9 4 1 −5

=

9 −1 −8 −4

−9 4 1 −5−2 8 3 6

7 −6 0 5

,

−6 8 3 6

−8 0 −1 5

−9 2 −4 7

−3 −7 4 1

Pψ =

3 6 8 −6

−1 5 0 −8−4 7 2 −94 1 −7 −3

.

Tarea 2, variante 15 HCJ, pagina 3 de 4

Page 68: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 4 5 2

5 1 3 5

10 6 11 14

10 −6 −1 9

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 4 5 2

5 1 3 5

10 6 11 14

10 −6 −1 9

x =

1

2

−12

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−7 −4 7 −8 4 7

0 3 −3 7 7 −80 2 1 2 −2 2

0 5 −2 −3 1 −70 1 5 3 5 −3

.

Tarea 2, variante 15 HCJ, pagina 4 de 4

Page 69: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 16 HMI.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 1 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

50 20 60

2 −1 1

7 4 9

=

44 23 57

2 −1 1

7 4 9

, E2

50 20 60

2 −1 1

7 4 9

=

7 4 9

2 −1 1

50 20 60

, 30 6 −160 7 1

40 −4 2

E3 = 30 −24 −160 −28 1

40 16 2

, 30 6 −160 7 1

40 −4 2

E4 = 32 6 −158 7 1

36 −4 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 1 −20 0 2

1 −2 0

.

Tarea 2, variante 16 HMI, pagina 1 de 4

Page 70: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−3 1 0

−1 0 0

0 0 3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

13VI4 I5

+−

32V

I2

I3

+−8V I1 1Ω

Tarea 2, variante 16 HMI, pagina 2 de 4

Page 71: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 2 −4 1

2 3 −8 3

6 5 −6 −32 1 2 −3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 2 −4 1

2 3 −8 3

6 5 −6 −32 1 2 −3

x =2

1

1

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 2 4

), A =

8 −1 0 2

−6 9 6 −2−7 −5 −8 4

−9 −4 3 7

, B =

4 −5 −6 6

3 5 2 1

−2 9 −7 −3−8 8 −4 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

8 −8 −1 −6

−5 −3 4 −72 −4 9 5

−2 3 6 7

=

2 −4 9 5

−5 −3 4 −7−2 3 6 7

8 −8 −1 −6

,

2 6 −7 5

−6 0 −2 −8−5 4 8 −4−3 −9 7 1

Pψ =

6 −7 5 2

0 −2 −8 −64 8 −4 −5

−9 7 1 −3

.

Tarea 2, variante 16 HMI, pagina 3 de 4

Page 72: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

−3 −5 −4 −43 5 4 1

6 12 12 7

6 12 9 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−3 −5 −4 −43 5 4 1

6 12 12 7

6 12 9 7

x =

−2−11

−2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

5 −7 0 0 6 9

0 5 −2 −6 9 −90 −6 −5 −3 −3 7

0 −9 −4 −4 −1 −70 2 −4 4 −5 1

.

Tarea 2, variante 16 HMI, pagina 4 de 4

Page 73: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 17 LGT.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 −20 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

6 −5 8

1 2 −280 20 40

=

6 −5 8

1 2 −281 22 38

, E2

6 −5 8

1 2 −280 20 40

=

18 −15 24

1 2 −280 20 40

, −1 70 3

1 80 6

2 50 −9

E3 = 70 −1 3

80 1 6

50 2 −9

, −1 70 3

1 80 6

2 50 −9

E4 = −1 72 3

1 78 6

2 46 −9

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−3 −2 0

0 0 −40 1 0

.

Tarea 2, variante 17 LGT, pagina 1 de 4

Page 74: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −2 4

−1 0 0

0 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−12V

I3

I4

+ −

35VI65Ω

3Ω I5

+ −19VI11Ω

2ΩI2

Tarea 2, variante 17 LGT, pagina 2 de 4

Page 75: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 4 3 −22 8 2 −42 −4 7 6

2 8 6 1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 4 3 −22 8 2 −42 −4 7 6

2 8 6 1

x =

−3−21

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 4 2

), A =

0 −4 −3 −2

−5 4 6 3

2 −8 8 −79 −9 −6 1

, B =

−8 3 −2 −5−7 9 6 5

8 7 2 1

−9 −1 −3 4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

9 −9 −4 0

5 −1 −5 2

4 7 −6 8

−3 −7 6 3

=

9 −9 −4 0

−3 −7 6 3

5 −1 −5 2

4 7 −6 8

,

2 5 −9 −14 7 8 −6

−8 −3 −5 6

−7 9 1 0

Pψ =

−9 2 5 −18 4 7 −6

−5 −8 −3 6

1 −7 9 0

.

Tarea 2, variante 17 LGT, pagina 3 de 4

Page 76: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 −3 2 3

1 1 3 5

4 13 6 9

1 10 2 0

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 −3 2 3

1 1 3 5

4 13 6 9

1 10 2 0

x =

3

1

−1−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

4 6 −1 −4 3 −70 −2 −8 −6 8 −50 −7 0 3 −2 5

0 −4 7 1 7 −50 −8 −7 −4 −9 −2

.

Tarea 2, variante 17 LGT, pagina 4 de 4

Page 77: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 18 MARD.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

−1 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−2 1 2

50 40 70

4 8 −4

=

−2 1 2

44 43 76

4 8 −4

, E2

−2 1 2

50 40 70

4 8 −4

=

−2 1 2

50 40 70

−16 −32 16

, 30 −2 7

40 −1 5

50 1 4

E3 = 32 −2 7

41 −1 5

49 1 4

, 30 −2 7

40 −1 5

50 1 4

E4 = 30 7 −240 5 −150 4 1

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

0 −2 −21 3 0

.

Tarea 2, variante 18 MARD, pagina 1 de 4

Page 78: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 −41 0 −10 −1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−34V

I1

+− 17V

I2

+−

7V

I5

I3

I4

Tarea 2, variante 18 MARD, pagina 2 de 4

Page 79: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−3 0 1 −16 1 −1 5

3 1 3 1

−3 2 6 5

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−3 0 1 −16 1 −1 5

3 1 3 1

−3 2 6 5

x =

−1−23

−6

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 2 4 1

), A =

−5 5 9 2

−2 −9 −3 6

−1 4 −8 −43 0 −7 7

, B =

5 2 3 6

9 1 −2 −9−6 4 8 −57 −4 0 −3

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−1 −5 −4 8

−6 0 −2 6

3 −9 2 9

5 −3 1 −7

=

−6 0 −2 6

3 −9 2 9

5 −3 1 −7−1 −5 −4 8

,

5 −7 −6 2

−5 6 −1 −4−3 0 −8 3

7 4 −9 9

Pψ =

−7 2 5 −66 −4 −5 −10 3 −3 −84 9 7 −9

.

Tarea 2, variante 18 MARD, pagina 3 de 4

Page 80: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

3 4 2 −49 12 6 −96 12 9 −10

−12 −4 9 15

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 4 2 −49 12 6 −96 12 9 −10

−12 −4 9 15

x =

1

−35

1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

2 −4 −3 −7 −9 −60 −3 −9 −2 −6 −30 4 −4 0 4 6

0 −9 5 8 −3 −10 −6 −2 −4 −8 −8

.

Tarea 2, variante 18 MARD, pagina 4 de 4

Page 81: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 19 MMEU.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 2

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 3

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

80 50 20

4 6 8

2 −2 1

=

4 6 8

80 50 20

2 −2 1

, E2

80 50 20

4 6 8

2 −2 1

=

76 54 18

4 6 8

2 −2 1

, 40 −1 7

70 1 5

80 −2 6

E3 = 40 −1 −2870 1 −2080 −2 −24

, 40 −1 7

70 1 5

80 −2 6

E4 = 43 −1 7

67 1 5

86 −2 6

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 0

0 −3 4

3 1 0

.

Tarea 2, variante 19 MMEU, pagina 1 de 4

Page 82: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

1 0 2

−1 0 −2

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

35V

I5

3Ω+ −

21V

I4

+−

32V

I6

I1

4ΩI2

I3

Tarea 2, variante 19 MMEU, pagina 2 de 4

Page 83: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 1 1 0

6 1 5 −26 1 8 −64 2 5 −3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 1 1 0

6 1 5 −26 1 8 −64 2 5 −3

x =

1

−1−1−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 4 2 1

), A =

3 −4 4 −8

−9 8 0 −19 −7 −3 −61 6 −5 2

, B =

0 6 −3 7

9 2 −6 4

−9 −1 −8 8

3 5 −5 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

6 −1 4 5

7 2 −2 −78 0 −8 −63 −5 −9 9

=

3 −5 −9 9

6 −1 4 5

7 2 −2 −78 0 −8 −6

,

3 −1 1 7

−9 −3 2 −26 5 −4 −8

−6 4 −5 8

Pψ =

1 3 −1 7

2 −9 −3 −2−4 6 5 −8−5 −6 4 8

.

Tarea 2, variante 19 MMEU, pagina 3 de 4

Page 84: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 −3 4

4 2 3 −112 8 3 7

12 4 11 −12

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 −3 4

4 2 3 −112 8 3 7

12 4 11 −12

x =

−22

4

−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

5 −9 5 8 7 6

0 4 7 −5 −3 3

0 −7 −5 0 7 4

0 3 7 0 4 8

0 8 −2 −5 6 6

.

Tarea 2, variante 19 MMEU, pagina 4 de 4

Page 85: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 20 MCJD.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

3 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

−2 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

30 40 20

−1 2 −29 4 5

=

30 40 20

−2 4 −49 4 5

, E2

30 40 20

−1 2 −29 4 5

=

33 34 26

−1 2 −29 4 5

, 2 80 9

−1 20 4

−2 40 5

E3 = 2 9 80

−1 4 20

−2 5 40

, 2 80 9

−1 20 4

−2 40 5

E4 = 2 76 9

−1 22 4

−2 44 5

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

−2 0 0

0 −4 −3

.

Tarea 2, variante 20 MCJD, pagina 1 de 4

Page 86: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

−2 0 0

0 0 1

−4 2 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+− 26V

I3

+−6V

I1

I23Ω I4

1Ω I5

+−

34VI6 5Ω

Tarea 2, variante 20 MCJD, pagina 2 de 4

Page 87: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 4 1 2

3 7 3 3

−3 −4 0 −46 5 1 −1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 4 1 2

3 7 3 3

−3 −4 0 −46 5 1 −1

x =

1

−2−22

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 2 3

), A =

2 −2 1 7

−5 −7 3 −9−8 −3 0 5

−4 −6 9 −1

, B =

−2 −6 −5 3

−8 −4 2 6

0 −7 7 −9−3 4 −1 9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

4 −9 8 0

1 −1 9 2

−3 −6 −2 5

6 −8 −7 −5

=

−3 −6 −2 5

6 −8 −7 −51 −1 9 2

4 −9 8 0

,

−1 −2 8 −87 1 6 −5

−3 9 3 −42 −9 −6 −7

Pψ =

−8 −1 8 −2−5 7 6 1

−4 −3 3 9

−7 2 −6 −9

.

Tarea 2, variante 20 MCJD, pagina 3 de 4

Page 88: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

4 5 1 3

−8 −10 −2 −118 13 3 6

12 6 −5 14

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 5 1 3

−8 −10 −2 −118 13 3 6

12 6 −5 14

x =

1

3

−41

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−1 −3 −9 −2 −7 −80 3 −4 1 −6 −70 −6 6 9 5 1

0 −7 −6 1 7 −10 −9 8 −3 −5 3

.

Tarea 2, variante 20 MCJD, pagina 4 de 4

Page 89: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 21 MMNR.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 −1 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 50 80

1 −1 2

6 −7 7

=

41 49 82

1 −1 2

6 −7 7

, E2

40 50 80

1 −1 2

6 −7 7

=

40 50 80

−4 4 −86 −7 7

, 3 40 1

−8 50 2

7 60 −1

E3 = 3 38 1

−8 46 2

7 62 −1

, 3 40 1

−8 50 2

7 60 −1

E4 = 3 1 40

−8 2 50

7 −1 60

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 4 0

1 0 0

−2 0 1

.

Tarea 2, variante 21 MMNR, pagina 1 de 4

Page 90: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −2 0

−3 0 0

−2 0 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

17VI1

+−

20VI2

7Ω3Ω

I3

I4

+ −

35VI55Ω

Tarea 2, variante 21 MMNR, pagina 2 de 4

Page 91: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−1 2 1 1

−4 4 3 2

1 2 4 −31 −6 −6 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−1 2 1 1

−4 4 3 2

1 2 4 −31 −6 −6 3

x =

2

−1−1−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 3 2

), A =

−6 −2 4 3

8 6 5 2

−8 7 0 9

−5 −9 −4 1

, B =

0 5 −5 −7

−4 4 −3 2

−2 3 −9 −68 1 7 9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

3 −1 9 −2

−5 6 5 −7−3 2 −9 −47 8 0 4

=

−3 2 −9 −4−5 6 5 −77 8 0 4

3 −1 9 −2

,

−1 8 7 4

9 −3 1 5

−5 0 −4 −93 −8 −6 6

Pψ =

8 7 4 −1

−3 1 5 9

0 −4 −9 −5−8 −6 6 3

.

Tarea 2, variante 21 MMNR, pagina 3 de 4

Page 92: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 −2 4

3 4 0 2

3 3 2 −79 8 11 −14

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 −2 4

3 4 0 2

3 3 2 −79 8 11 −14

x =

−2−2−51

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 5 8 −4 −4 2

0 3 −7 −5 1 −60 −5 −1 0 −3 −10 −9 −3 3 7 0

0 7 −1 8 2 −9

.

Tarea 2, variante 21 MMNR, pagina 4 de 4

Page 93: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 22 MOHJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 2

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 3 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

80 50 60

6 −4 3

1 −2 2

=

83 44 66

6 −4 3

1 −2 2

, E2

80 50 60

6 −4 3

1 −2 2

=

80 50 60

12 −8 6

1 −2 2

, −2 40 3

1 20 9

−1 80 8

E3 = 40 −2 3

20 1 9

80 −1 8

, −2 40 3

1 20 9

−1 80 8

E4 = −2 38 3

1 21 9

−1 79 8

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −1 2

0 1 0

1 −3 0

.

Tarea 2, variante 22 MOHJ, pagina 1 de 4

Page 94: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

3 −1 0

1 0 0

0 0 4

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−23V

I3

I4

1ΩI5

+−

18V I6 3Ω

2ΩI2

+−24V I1 3Ω

Tarea 2, variante 22 MOHJ, pagina 2 de 4

Page 95: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 4 −3 3

3 8 −7 7

4 8 −5 7

−3 4 −8 5

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 4 −3 3

3 8 −7 7

4 8 −5 7

−3 4 −8 5

x =

−22

2

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 2 1 3

), A =

−7 0 1 −55 −1 9 4

−9 −6 8 −37 6 3 −4

, B =

6 −6 −2 −91 −5 4 7

2 8 9 0

5 −7 −3 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

6 0 4 −8

−5 −6 −1 −99 −4 5 8

−3 −2 3 7

=

−3 −2 3 7

6 0 4 −8−5 −6 −1 −99 −4 5 8

,

2 6 −3 0

−9 −4 7 −1−2 8 −7 1

9 4 3 5

Pψ =

6 0 −3 2

−4 −1 7 −98 1 −7 −24 5 3 9

.

Tarea 2, variante 22 MOHJ, pagina 3 de 4

Page 96: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

2 5 1 3

−2 −5 −1 −14 13 0 8

6 12 7 4

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 5 1 3

−2 −5 −1 −14 13 0 8

6 12 7 4

x =

1

1

3

−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−3 9 −2 −5 6 4

0 2 −4 −8 3 0

0 7 9 8 −8 1

0 5 1 2 2 0

0 1 −5 6 0 −9

.

Tarea 2, variante 22 MOHJ, pagina 4 de 4

Page 97: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 23 MRJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 2

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

1 −1 2

7 3 −220 30 60

=

1 −1 2

7 3 −222 28 64

, E2

1 −1 2

7 3 −220 30 60

=

1 −1 2

28 12 −820 30 60

, −8 2 60

9 1 50

4 −1 70

E3 = −8 2 62

9 1 51

4 −1 69

, −8 2 60

9 1 50

4 −1 70

E4 = 60 2 −850 1 9

70 −1 4

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

2 2 4

0 0 1

0 1 0

.

Tarea 2, variante 23 MRJ, pagina 1 de 4

Page 98: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −2 1

4 0 0

0 −3 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

31V

I1

+ −

50V

I2

3Ω+−

48V

I3

I4

I5

Tarea 2, variante 23 MRJ, pagina 2 de 4

Page 99: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 1 3 2

2 6 7 3

−3 1 −5 −52 2 −3 −5

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 3 2

2 6 7 3

−3 1 −5 −52 2 −3 −5

x =

−1−4−2−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 3 1 2

), A =

4 −1 −2 −56 −9 2 0

−3 1 7 −7−6 5 −8 9

, B =

6 1 −6 3

−5 −8 9 8

5 4 −2 7

−3 −9 −4 −1

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

3 6 2 −6

−3 −1 −8 5

4 −2 −4 7

8 −7 −5 9

=

−3 −1 −8 5

8 −7 −5 9

4 −2 −4 7

3 6 2 −6

,

−2 2 −1 1

4 −7 −5 5

8 −3 6 3

9 0 −8 −9

Pψ =

−1 −2 1 2

−5 4 5 −76 8 3 −3

−8 9 −9 0

.

Tarea 2, variante 23 MRJ, pagina 3 de 4

Page 100: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 2 2 3

2 −3 5 −32 3 11 10

4 −4 10 −7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 2 2 3

2 −3 5 −32 3 11 10

4 −4 10 −7

x =

−11

2

−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−5 5 −2 0 −9 −50 −6 4 −8 3 7

0 8 0 −3 −9 5

0 4 −1 1 −3 4

0 −5 9 1 −1 2

.

Tarea 2, variante 23 MRJ, pagina 4 de 4

Page 101: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 24 MGFE.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

1 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 60 20

−1 −2 2

1 4 6

=

37 54 26

−1 −2 2

1 4 6

, E2

40 60 20

−1 −2 2

1 4 6

=

40 60 20

−3 −6 6

1 4 6

, 7 1 50

3 −2 40

−7 2 80

E3 = 50 1 7

40 −2 3

80 2 −7

, 7 1 50

3 −2 40

−7 2 80

E4 = 7 1 49

3 −2 42

−7 2 78

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 3 0

1 −3 0

4 0 1

.

Tarea 2, variante 24 MGFE, pagina 1 de 4

Page 102: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

2 0 1

1 0 −20 −2 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

8ΩI4

+−

57VI3

+ −

12VI2

4Ω I5

2ΩI6

+−23V

I11Ω

Tarea 2, variante 24 MGFE, pagina 2 de 4

Page 103: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 1 4 4

−2 5 8 5

−2 1 5 3

−4 −2 5 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 1 4 4

−2 5 8 5

−2 1 5 3

−4 −2 5 8

x =1

2

1

3

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 3 4 2

), A =

−3 −6 9 5

−1 6 8 3

−8 7 −9 0

−2 1 2 −5

, B =

−3 −7 −1 −98 3 −5 0

−2 9 −4 −61 4 2 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−4 8 7 −5−8 −1 3 1

−2 2 4 −3−7 −6 −9 5

=

−2 2 4 −3−7 −6 −9 5

−8 −1 3 1

−4 8 7 −5

,

−5 2 −6 8

4 0 −3 5

6 −8 −2 −7−4 3 1 9

Pψ =

8 −5 −6 2

5 4 −3 0

−7 6 −2 −89 −4 1 3

.

Tarea 2, variante 24 MGFE, pagina 3 de 4

Page 104: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

4 5 1 2

−12 −15 −3 −98 14 7 2

4 1 −1 5

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 5 1 2

−12 −15 −3 −98 14 7 2

4 1 −1 5

x =

4

−33

−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−8 4 5 −9 −3 9

0 2 −4 −2 −8 4

0 8 −2 −5 −6 −10 9 4 −8 9 −80 −7 −4 −6 1 −6

.

Tarea 2, variante 24 MGFE, pagina 4 de 4

Page 105: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 25 MLE.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 4

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 −30 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

40 60 70

8 −4 7

1 −1 2

=

41 59 72

8 −4 7

1 −1 2

, E2

40 60 70

8 −4 7

1 −1 2

=

40 60 70

32 −16 28

1 −1 2

, 2 5 40

1 4 60

−1 −3 80

E3 = 5 2 40

4 1 60

−3 −1 80

, 2 5 40

1 4 60

−1 −3 80

E4 = 2 5 34

1 4 57

−1 −3 83

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 0

0 −2 3

0 1 −4

.

Tarea 2, variante 25 MLE, pagina 1 de 4

Page 106: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

1 0 −30 3 −3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−6V

I12Ω I4

+− 35V

I31ΩI5

I2

+−

41VI6 5Ω

Tarea 2, variante 25 MLE, pagina 2 de 4

Page 107: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 2 3 1

8 5 8 7

−2 −5 −3 −14 −5 2 1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 2 3 1

8 5 8 7

−2 −5 −3 −14 −5 2 1

x =

−1−2−2−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 4 2 3

), A =

−3 7 −1 −2−4 5 9 −66 −7 −8 3

−5 1 −9 2

, B =

−2 8 −1 6

1 −4 3 5

−5 2 −3 4

−6 9 −9 −7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−7 −4 4 −8−5 0 6 3

−3 −1 9 −67 2 8 −2

=

7 2 8 −2

−3 −1 9 −6−7 −4 4 −8−5 0 6 3

,

8 −8 0 −6−4 −3 −5 1

5 −1 9 −27 3 −7 4

Pψ =

−6 0 8 −81 −5 −4 −3

−2 9 5 −14 −7 7 3

.

Tarea 2, variante 25 MLE, pagina 3 de 4

Page 108: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 2 4 −41 1 −1 4

4 8 4 3

4 10 7 −1

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 2 4 −41 1 −1 4

4 8 4 3

4 10 7 −1

x =

−2−2−2−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 2 8 9 −1 2

0 6 −7 −5 5 8

0 4 −7 7 4 −70 5 1 2 −5 8

0 −9 4 1 −8 −8

.

Tarea 2, variante 25 MLE, pagina 4 de 4

Page 109: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 26 NDLCL.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

2 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

−3 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

7 6 5

40 50 60

−1 2 1

=

7 6 5

−1 2 1

40 50 60

, E2

7 6 5

40 50 60

−1 2 1

=

7 6 5

39 52 61

−1 2 1

, −6 −1 40

9 2 50

7 1 30

E3 = −6 2 40

9 −4 50

7 −2 30

, −6 −1 40

9 2 50

7 1 30

E4 = −6 −1 42

9 2 46

7 1 28

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

−1 0 0

0 2 −1

.

Tarea 2, variante 26 NDLCL, pagina 1 de 4

Page 110: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −1 1

0 1 0

−4 0 −3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

13VI4 I5

+−

32V

I2

I3

+−8V I1 1Ω

Tarea 2, variante 26 NDLCL, pagina 2 de 4

Page 111: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−1 3 2 1

−1 −1 1 1

−3 5 6 6

−2 2 3 1

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−1 3 2 1

−1 −1 1 1

−3 5 6 6

−2 2 3 1

x =

−11

−21

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 1 4

), A =

5 6 −5 1

−7 −4 7 0

8 −3 9 −92 −1 4 −8

, B =

−9 6 −3 −45 4 −1 −62 7 3 8

1 0 −8 −5

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

5 9 −6 8

3 1 −5 −2−9 2 0 −16 −7 −3 −4

=

6 −7 −3 −45 9 −6 8

3 1 −5 −2−9 2 0 −1

,

9 1 −1 8

7 2 −5 −7−3 −4 −8 5

0 6 4 −6

Pψ =

8 9 1 −1

−7 7 2 −55 −3 −4 −8

−6 0 6 4

.

Tarea 2, variante 26 NDLCL, pagina 3 de 4

Page 112: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

2 1 3 0

2 1 3 1

2 3 −2 2

−6 1 −14 3

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 1 3 0

2 1 3 1

2 3 −2 2

−6 1 −14 3

x =

−12

2

1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−4 −1 6 4 −4 6

0 −6 −5 9 5 −60 −3 0 1 6 2

0 5 −4 3 −2 0

0 −9 −1 8 4 1

.

Tarea 2, variante 26 NDLCL, pagina 4 de 4

Page 113: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 27 NSVA.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 2 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

7 6 4

1 2 −180 30 20

=

7 6 4

1 2 −177 24 23

, E2

7 6 4

1 2 −180 30 20

=

14 12 8

1 2 −180 30 20

, −2 20 7

1 30 5

2 60 9

E3 = 20 −2 7

30 1 5

60 2 9

, −2 20 7

1 30 5

2 60 9

E4 = −2 22 7

1 29 5

2 58 9

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 0 1

1 0 0

−4 −2 0

.

Tarea 2, variante 27 NSVA, pagina 1 de 4

Page 114: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 3 0

1 2 0

3 0 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−12V

I3

I4

+ −

35VI65Ω

3Ω I5

+ −19VI11Ω

2ΩI2

Tarea 2, variante 27 NSVA, pagina 2 de 4

Page 115: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 −2 −1 1

4 −1 2 6

2 4 6 7

−4 4 1 −2

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 −2 −1 1

4 −1 2 6

2 4 6 7

−4 4 1 −2

x =

−1−12

−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 3 4 1

), A =

−2 4 −3 −61 −7 8 0

−1 −8 7 5

−9 2 −5 −4

, B =

−5 3 −3 −25 −9 −4 2

−7 −8 1 0

9 −6 6 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−5 −1 −3 −41 −2 −8 8

6 2 −9 0

−7 −6 5 4

=

−5 −1 −3 −4−7 −6 5 4

1 −2 −8 8

6 2 −9 0

,

−5 7 9 −85 −4 −6 −1

−3 −9 −2 3

6 8 4 1

Pψ =

−8 9 −5 7

−1 −6 5 −43 −2 −3 −91 4 6 8

.

Tarea 2, variante 27 NSVA, pagina 3 de 4

Page 116: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 −1 −2 0

4 3 1 3

4 4 3 6

12 6 −7 10

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 −1 −2 0

4 3 1 3

4 4 3 6

12 6 −7 10

x =

1

1

−31

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−8 0 5 1 2 −40 1 −1 −4 0 3

0 6 0 −2 7 9

0 2 1 2 −7 −10 −4 1 0 4 9

.

Tarea 2, variante 27 NSVA, pagina 4 de 4

Page 117: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 28 PAJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 −3 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

2 −2 1

4 7 −120 50 70

=

2 −2 1

4 7 −116 54 68

, E2

2 −2 1

4 7 −120 50 70

=

2 −2 1

20 50 70

4 7 −1

, 5 60 2

−6 70 −28 20 1

E3 = 5 54 2

−6 76 −28 17 1

, 5 60 2

−6 70 −28 20 1

E4 = 5 60 −8

−6 70 8

8 20 −4

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 −21 0 0

0 4 0

.

Tarea 2, variante 28 PAJ, pagina 1 de 4

Page 118: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 2 4

0 1 0

1 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−34V

I1

+− 17V

I2

+−

7V

I5

I3

I4

Tarea 2, variante 28 PAJ, pagina 2 de 4

Page 119: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 3 0 3

3 8 2 8

−2 −7 −2 −51 5 8 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 3 0 3

3 8 2 8

−2 −7 −2 −51 5 8 3

x =

1

1

−4−3

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 1 3

), A =

−5 −9 8 7

3 5 −1 2

−4 4 1 −80 9 −2 −7

, B =

8 9 1 −5

−6 −8 −2 −7−3 5 7 0

3 −4 4 −9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

3 0 1 8

2 7 5 −4−9 4 −2 −3−8 −7 9 −1

=

3 0 1 8

−9 4 −2 −3−8 −7 9 −12 7 5 −4

,

6 −3 −4 −7−1 5 −5 8

−9 3 −6 −21 −8 9 7

Pψ =

−3 −4 −7 6

5 −5 8 −13 −6 −2 −9

−8 9 7 1

.

Tarea 2, variante 28 PAJ, pagina 3 de 4

Page 120: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 5 1 2

2 10 2 0

4 15 9 9

−1 −15 5 4

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 5 1 2

2 10 2 0

4 15 9 9

−1 −15 5 4

x =

1

−61

9

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−6 2 −3 4 9 8

0 4 −7 −8 0 9

0 2 −2 −1 7 −50 −7 0 −2 6 −10 9 2 7 −1 5

.

Tarea 2, variante 28 PAJ, pagina 4 de 4

Page 121: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 29 PPF.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

4 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 −10 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

9 8 −2−1 2 1

50 70 20

=

9 8 −250 70 20

−1 2 1

, E2

9 8 −2−1 2 1

50 70 20

=

9 8 −2−1 2 1

52 66 18

, 1 30 5

2 60 7

−2 50 −5

E3 = 4 30 5

8 60 7

−8 50 −5

, 1 30 5

2 60 7

−2 50 −5

E4 = 1 29 5

2 58 7

−2 52 −5

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

4 0 1

0 1 −42 0 0

.

Tarea 2, variante 29 PPF, pagina 1 de 4

Page 122: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 −1−2 0 2

0 0 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

35V

I5

3Ω+ −

21V

I4

+−

32V

I6

I1

4ΩI2

I3

Tarea 2, variante 29 PPF, pagina 2 de 4

Page 123: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

3 −4 −4 −2

−3 1 6 2

3 8 −8 2

3 5 2 7

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 −4 −4 −2−3 1 6 2

3 8 −8 2

3 5 2 7

x =

−1−13

2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

2 4 3 1

), A =

0 8 −9 −5

−4 −1 −3 −89 −2 7 3

−6 1 4 −7

, B =

2 −4 −2 −30 −7 −9 −59 −8 8 7

1 3 5 4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−8 9 −7 −60 −5 1 5

−9 −2 6 −3−1 8 2 −4

=

0 −5 1 5

−1 8 2 −4−8 9 −7 −6−9 −2 6 −3

,

0 3 −9 2

7 1 −4 5

−7 −6 −3 4

−2 8 6 −8

Pψ =

3 −9 0 2

1 −4 7 5

−6 −3 −7 4

8 6 −2 −8

.

Tarea 2, variante 29 PPF, pagina 3 de 4

Page 124: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 4 −2 4

2 3 2 3

2 −1 4 −36 1 5 1

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 4 −2 4

2 3 2 3

2 −1 4 −36 1 5 1

x =

2

−31

2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

6 −3 −3 1 −9 −90 −5 4 −7 4 −10 1 2 5 4 −20 −8 3 5 8 0

0 9 4 4 5 0

.

Tarea 2, variante 29 PPF, pagina 4 de 4

Page 125: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 30 PSMA.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

−3 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

2 1 −29 −3 8

80 20 40

=

2 1 −29 −3 8

74 17 46

, E2

2 1 −29 −3 8

80 20 40

=

80 20 40

9 −3 8

2 1 −2

, 40 9 2

20 7 −180 5 −2

E3 = 40 18 2

20 14 −180 10 −2

, 40 9 2

20 7 −180 5 −2

E4 = 36 9 2

22 7 −184 5 −2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−3 0 1

0 −1 −21 0 0

.

Tarea 2, variante 30 PSMA, pagina 1 de 4

Page 126: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 0

−4 0 1

0 2 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+− 26V

I3

+−6V

I1

I23Ω I4

1Ω I5

+−

34VI6 5Ω

Tarea 2, variante 30 PSMA, pagina 2 de 4

Page 127: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 0 1 3

2 2 2 2

−6 −6 −4 −72 4 7 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 0 1 3

2 2 2 2

−6 −6 −4 −72 4 7 3

x =

3

2

−21

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 2 4

), A =

−4 −7 8 4

3 −2 −5 −9−1 6 −8 −67 −3 5 9

, B =

−8 3 4 −9−7 1 8 2

7 0 5 6

−5 −2 9 −4

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

9 −2 −3 −18 −9 −5 −45 4 −7 7

3 0 6 1

=

3 0 6 1

9 −2 −3 −15 4 −7 7

8 −9 −5 −4

,

−8 9 −9 8

−5 6 4 0

1 2 5 −7−2 −3 −4 −6

Pψ =

8 −8 −9 9

0 −5 4 6

−7 1 5 2

−6 −2 −4 −3

.

Tarea 2, variante 30 PSMA, pagina 3 de 4

Page 128: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

3 1 3 −19 3 9 −615 6 15 −96 1 3 −1

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 1 3 −19 3 9 −615 6 15 −96 1 3 −1

x =

−2−3−31

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

5 9 −3 −9 5 −20 4 4 8 0 9

0 −8 −4 5 5 9

0 −9 −9 −3 5 −80 2 0 9 4 7

.

Tarea 2, variante 30 PSMA, pagina 4 de 4

Page 129: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 31 RMAH.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −4

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 −20 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−2 1 −15 9 3

50 80 20

=

−2 1 −15 9 3

52 79 21

, E2

−2 1 −15 9 3

50 80 20

=

−8 4 −45 9 3

50 80 20

, 60 8 2

30 4 −240 −5 1

E3 = 66 8 2

24 4 −243 −5 1

, 60 8 2

30 4 −240 −5 1

E4 = 8 60 2

4 30 −2−5 40 1

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 0 −20 −1 4

0 1 0

.

Tarea 2, variante 31 RMAH, pagina 1 de 4

Page 130: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

1 0 0

0 −1 −20 4 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

17VI1

+−

20VI2

7Ω3Ω

I3

I4

+ −

35VI55Ω

Tarea 2, variante 31 RMAH, pagina 2 de 4

Page 131: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 −1 3 4

−4 −4 2 4

−2 1 4 7

4 6 2 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 −1 3 4

−4 −4 2 4

−2 1 4 7

4 6 2 3

x =

−22

−1−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 1 4 2

), A =

9 2 −1 −5

−4 −6 8 −3−7 4 6 −91 −8 3 −2

, B =

3 −3 5 8

−7 −6 −2 −4−9 −5 4 1

9 7 2 6

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

7 −4 −2 1

0 −3 5 −7−6 2 −5 8

4 9 −1 −9

=

4 9 −1 −9

−6 2 −5 8

7 −4 −2 1

0 −3 5 −7

,

−6 −2 −7 4

8 −4 9 3

7 0 −5 −1−8 2 −9 5

Pψ =

−2 4 −7 −6−4 3 9 8

0 −1 −5 7

2 5 −9 −8

.

Tarea 2, variante 31 RMAH, pagina 3 de 4

Page 132: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 5 1 2

−4 −3 2 3

−12 1 8 12

−4 7 1 3

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 5 1 2

−4 −3 2 3

−12 1 8 12

−4 7 1 3

x =

−13

3

−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 4 −8 2 6 −20 2 −3 −8 −3 −20 −3 2 8 −2 9

0 −7 −6 7 9 −70 5 3 2 6 −7

.

Tarea 2, variante 31 RMAH, pagina 4 de 4

Page 133: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 32 RPAA.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

−2 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

−1 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

30 80 60

1 2 −14 8 −9

=

27 74 63

1 2 −14 8 −9

, E2

30 80 60

1 2 −14 8 −9

=

30 80 60

1 2 −18 16 −18

, 3 2 80

6 −2 60

9 −1 20

E3 = 2 3 80

−2 6 60

−1 9 20

, 3 2 80

6 −2 60

9 −1 20

E4 = 3 2 84

6 −2 56

9 −1 18

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

4 −1 0

0 0 1

12 1 0

.

Tarea 2, variante 32 RPAA, pagina 1 de 4

Page 134: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

−4 1 0

3 0 −2

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−23V

I3

I4

1ΩI5

+−

18V I6 3Ω

2ΩI2

+−24V I1 3Ω

Tarea 2, variante 32 RPAA, pagina 2 de 4

Page 135: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 3 4 2

2 2 6 2

2 3 8 −12 1 4 4

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 3 4 2

2 2 6 2

2 3 8 −12 1 4 4

x =1

2

2

1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 2 4 1

), A =

−8 4 −5 6

−1 7 −9 9

1 5 −2 2

−4 8 3 −7

, B =

−3 −7 3 5

6 0 4 −92 −1 9 −57 −8 −6 8

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

8 3 5 −9

−4 −2 −5 1

4 −8 −6 9

−7 −3 0 2

=

−4 −2 −5 1

4 −8 −6 9

−7 −3 0 2

8 3 5 −9

,0 −5 1 8

4 −1 9 −32 −4 5 −66 −7 −8 −2

Pψ =

1 8 −5 0

9 −3 −1 4

5 −6 −4 2

−8 −2 −7 6

.

Tarea 2, variante 32 RPAA, pagina 3 de 4

Page 136: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

5 3 3 4

15 9 9 8

5 1 6 9

−5 1 −14 −15

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

5 3 3 4

15 9 9 8

5 1 6 9

−5 1 −14 −15

x =

−22

−1−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−3 4 0 −9 4 1

0 −1 1 −2 −3 −70 4 −6 −7 −6 2

0 −6 2 1 −4 −90 8 0 4 6 −7

.

Tarea 2, variante 32 RPAA, pagina 4 de 4

Page 137: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 33 RGJ.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 −2 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

0 −1 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

3 4 7

30 60 20

−1 1 −2

=

3 4 7

−1 1 −230 60 20

, E2

3 4 7

30 60 20

−1 1 −2

=

3 4 7

27 63 14

−1 1 −2

, 20 8 2

60 4 −150 −2 1

E3 = 24 8 2

58 4 −152 −2 1

, 20 8 2

60 4 −150 −2 1

E4 = 20 8 8

60 4 −450 −2 4

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

1 3 0

0 0 1

0 −1 1

.

Tarea 2, variante 33 RGJ, pagina 1 de 4

Page 138: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −2 3

1 0 0

−3 0 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+ −

31V

I1

+ −

50V

I2

3Ω+−

48V

I3

I4

I5

Tarea 2, variante 33 RGJ, pagina 2 de 4

Page 139: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−4 1 1 −10 4 4 −1

−4 5 7 2

8 2 4 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−4 1 1 −10 4 4 −1

−4 5 7 2

8 2 4 8

x =

−22

−2−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

3 4 2 1

), A =

5 −5 −6 4

−4 −3 3 7

1 −2 −8 0

−7 9 2 8

, B =

2 −4 4 8

−1 −8 1 0

−3 6 5 9

−6 −5 −9 −7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

4 8 −5 −71 2 7 3

−9 −3 0 −6−2 −4 −1 6

=

−9 −3 0 −64 8 −5 −71 2 7 3

−2 −4 −1 6

,

1 −3 −6 −9−7 9 −5 6

−4 2 5 −10 4 −8 3

Pψ =

−3 −9 −6 1

9 6 −5 −72 −1 5 −44 3 −8 0

.

Tarea 2, variante 33 RGJ, pagina 3 de 4

Page 140: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 3 0 1

1 1 1 3

−1 14 −1 3

2 −4 5 5

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 3 0 1

1 1 1 3

−1 14 −1 3

2 −4 5 5

x =1

1

2

4

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−9 1 7 3 0 −60 −2 −3 −5 −8 0

0 4 2 1 2 4

0 6 −5 −3 1 9

0 9 −4 2 −4 −4

.

Tarea 2, variante 33 RGJ, pagina 4 de 4

Page 141: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 34 SCOR.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 −2 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

2 −2 −18 5 1

20 70 50

=

2 −2 −18 5 1

26 64 47

, E2

2 −2 −18 5 1

20 70 50

=

6 −6 −38 5 1

20 70 50

, −9 −2 50

3 2 30

4 1 60

E3 = 50 −2 −930 2 3

60 1 4

, −9 −2 50

3 2 30

4 1 60

E4 = −9 −2 52

3 2 28

4 1 59

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

−2 1 2

1 0 0

0 0 3

.

Tarea 2, variante 34 SCOR, pagina 1 de 4

Page 142: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 3 −20 1 0

1 0 −3

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

8ΩI4

+−

57VI3

+ −

12VI2

4Ω I5

2ΩI6

+−23V

I11Ω

Tarea 2, variante 34 SCOR, pagina 2 de 4

Page 143: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 −2 3 3

2 −3 6 5

0 1 3 3

−1 −2 3 7

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 −2 3 3

2 −3 6 5

0 1 3 3

−1 −2 3 7

x =

1

2

1

−1

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 2 3

), A =

8 −4 9 −5

−2 −6 −7 4

−9 0 7 2

−8 5 −1 6

, B =

7 4 −6 8

6 5 −9 −3−7 3 1 −5−4 −1 2 −2

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−4 5 −9 −3−1 2 6 −23 −7 4 −59 0 7 −6

=

3 −7 4 −5

−4 5 −9 −39 0 7 −6

−1 2 6 −2

,

−8 1 −6 4

−9 −1 −3 −45 9 −5 8

7 −7 0 2

Pψ =

4 1 −8 −6

−4 −1 −9 −38 9 5 −52 −7 7 0

.

Tarea 2, variante 34 SCOR, pagina 3 de 4

Page 144: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

3 1 1 1

9 3 3 6

6 5 6 5

−9 0 −2 2

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

3 1 1 1

9 3 3 6

6 5 6 5

−9 0 −2 2

x =

2

3

−3−3

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

8 −3 1 9 −8 3

0 −3 −3 2 −6 −80 −5 5 −5 3 −40 −7 −4 −2 −6 −90 −8 7 3 8 9

.

Tarea 2, variante 34 SCOR, pagina 4 de 4

Page 145: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 35 VCI.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

3 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 2

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−2 1 −16 4 9

30 50 60

=

6 4 9

−2 1 −130 50 60

, E2

−2 1 −16 4 9

30 50 60

=

−2 1 −16 4 9

34 48 62

, −9 70 2

7 40 −16 50 1

E3 = −9 64 2

7 43 −16 47 1

, −9 70 2

7 40 −16 50 1

E4 = −9 70 −4

7 40 2

6 50 −2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

9 1 0

0 0 −2−3 0 0

.

Tarea 2, variante 35 VCI, pagina 1 de 4

Page 146: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 −3 3

2 0 0

0 1 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−6V

I12Ω I4

+− 35V

I31ΩI5

I2

+−

41VI6 5Ω

Tarea 2, variante 35 VCI, pagina 2 de 4

Page 147: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

4 3 1 2

−4 1 3 −14 7 3 4

−4 5 −1 3

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

4 3 1 2

−4 1 3 −14 7 3 4

−4 5 −1 3

x =

3

−23

−2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 1 3 2

), A =

8 −4 −7 −84 −1 −3 −99 5 6 1

−6 −5 7 0

, B =

6 0 −2 8

−1 −4 −5 9

5 −8 3 −34 −6 −9 7

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

2 8 −1 1

−8 −2 3 −76 −3 −4 5

7 −6 −9 4

=

6 −3 −4 5

7 −6 −9 4

−8 −2 3 −72 8 −1 1

,

5 6 −7 −5−9 −3 9 −10 3 −4 2

4 8 −8 −6

Pψ =

−5 6 5 −7−1 −3 −9 9

2 3 0 −4−6 8 4 −8

.

Tarea 2, variante 35 VCI, pagina 3 de 4

Page 148: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 1 5 5

−2 2 5 3

−8 7 15 9

−8 5 10 −4

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 1 5 5

−2 2 5 3

−8 7 15 9

−8 5 10 −4

x =4

2

2

2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−2 9 0 3 −1 −80 −1 −3 6 5 7

0 −6 −3 3 3 8

0 9 −5 −6 −2 −70 5 9 −3 −8 8

.

Tarea 2, variante 35 VCI, pagina 4 de 4

Page 149: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 36 ZGC.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 3 0

0 0 1

, E2 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

, E3 = 1 0 0

−1 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

5 4 9

1 −2 −160 70 20

=

5 4 9

60 70 20

1 −2 −1

, E2

5 4 9

1 −2 −160 70 20

=

5 4 9

1 −2 −162 66 18

, 9 20 2

−9 70 −17 40 1

E3 = 9 26 2

−9 67 −17 43 1

, 9 20 2

−9 70 −17 40 1

E4 = 9 20 4

−9 70 −27 40 2

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −2 1

1 0 −30 −3 0

.

Tarea 2, variante 36 ZGC, pagina 1 de 4

Page 150: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 0 1

1 0 −10 3 −4

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−

13VI4 I5

+−

32V

I2

I3

+−8V I1 1Ω

Tarea 2, variante 36 ZGC, pagina 2 de 4

Page 151: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

1 1 1 −14 6 3 −42 6 −1 1

1 −7 3 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 1 1 −14 6 3 −42 6 −1 1

1 −7 3 8

x =

−1−32

2

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 2 1 3

), A =

3 9 −3 −8

−2 0 −1 −9−4 −7 7 1

5 2 −5 6

, B =

3 −8 −9 1

−6 −2 −7 7

2 5 6 4

−5 −4 −3 9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−7 2 −2 1

7 9 −3 0

−1 5 −6 3

−5 −8 −9 8

=

7 9 −3 0

−1 5 −6 3

−7 2 −2 1

−5 −8 −9 8

,

6 −2 −5 1

−3 −8 3 −68 −4 5 0

−7 −1 9 4

Pψ =

6 1 −2 −5

−3 −6 −8 3

8 0 −4 5

−7 4 −1 9

.

Tarea 2, variante 36 ZGC, pagina 3 de 4

Page 152: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

1 2 −2 3

2 4 −4 2

5 8 −8 14

1 6 −4 9

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

1 2 −2 3

2 4 −4 2

5 8 −8 14

1 6 −4 9

x =

−12

−4−1

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−8 −3 −4 −2 3 1

0 −2 1 −7 −2 −50 −3 2 −3 0 −80 5 1 7 7 −30 1 −7 −4 8 4

.

Tarea 2, variante 36 ZGC, pagina 4 de 4

Page 153: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 37 DMV.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

, E2 = 0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 = 1 0 0

0 1 −20 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

−4 7 9

2 −1 1

80 30 70

=

−12 21 27

2 −1 1

80 30 70

, E2

−4 7 9

2 −1 1

80 30 70

=

−4 7 9

2 −1 1

82 29 71

, 80 7 1

20 6 2

40 −6 −2

E3 = 78 7 1

16 6 2

44 −6 −2

, 80 7 1

20 6 2

40 −6 −2

E4 = 80 1 7

20 2 6

40 −2 −6

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 1 0

−1 0 −21 0 0

.

Tarea 2, variante 37 DMV, pagina 1 de 4

Page 154: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 3 −42 1 0

1 0 0

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I6 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−12V

I3

I4

+ −

35VI65Ω

3Ω I5

+ −19VI11Ω

2ΩI2

Tarea 2, variante 37 DMV, pagina 2 de 4

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Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

2 2 1 2

4 8 3 5

8 0 1 3

−2 6 3 8

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

2 2 1 2

4 8 3 5

8 0 1 3

−2 6 3 8

x =

1

6

2

−7

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

4 3 1 2

), A =

−4 0 1 −8−2 −1 −6 3

8 9 4 6

−5 7 −3 −7

, B =

−9 −7 −3 −83 9 −6 1

−1 0 8 2

4 6 −4 −5

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

6 5 7 8

−4 −6 −3 −8−2 −1 −5 −9−7 9 2 0

=

−2 −1 −5 −96 5 7 8

−7 9 2 0

−4 −6 −3 −8

,

−9 4 −4 3

0 −1 2 −77 1 6 −2

−6 8 −5 −3

Pψ =

−9 3 4 −40 −7 −1 2

7 −2 1 6

−6 −3 8 −5

.

Tarea 2, variante 37 DMV, pagina 3 de 4

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Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

0 2 3 4

4 3 −5 −54 13 10 10

12 13 −13 −5

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

0 2 3 4

4 3 −5 −54 13 10 10

12 13 −13 −5

x =

3

−41

2

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−5 1 2 0 −9 −80 −5 5 −9 −9 6

0 4 −1 −3 0 −70 7 6 9 −4 9

0 9 0 5 −5 6

.

Tarea 2, variante 37 DMV, pagina 4 de 4

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Engra

peaq

No

dobl

e

Tarea 2. Variante 38.Metodos numericos I, Ingenierıa matematica.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Ejercicio 1. 1%.Calcule los productos E1A, AE1, E2A, AE2, E3A y AE3. Indique a que operacion elementalcorresponde cada una de estas multiplicaciones.

A =

A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3A3,1 A3,2 A3,3

, E1 =

3 0 0

0 1 0

0 0 1

, E2 = 1 0 0

0 0 1

0 1 0

, E3 = 1 0 0

0 1 0

2 0 1

.

Ejercicio 2. 1%.Encuentre matrices elementales E1, E2, E3 y E4 que satisfagan las siguientes igualdades. Ademasescriba sus inversas E−11 , E−12 , E−13 y E−14 .

E1

9 3 5

70 30 80

2 1 −2

=

9 3 5

68 29 82

2 1 −2

, E2

9 3 5

70 30 80

2 1 −2

=

−27 −9 −1570 30 80

2 1 −2

, 20 1 −760 −1 4

30 2 7

E3 = 1 20 −7

−1 60 4

2 30 7

, 20 1 −760 −1 4

30 2 7

E4 = 18 1 −762 −1 4

26 2 7

.

Ejercicio 3. 2%.Aplicando operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada A en la matrizidentidad. Basandose en la secuencia de las operaciones elementales aplicadas en este procesoescriba las matrices A y A−1 como productos de matrices elementales. Para la com-probacion calcule la matriz A−1 a partir de su descomposicion en matrices elementales, luegomultiplique A por A−1.

A =

0 −2 0

−1 0 0

0 −1 1

.

Tarea 2, variante 38, pagina 1 de 4

Page 158: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 4. 2%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente matriz:

A =

0 1 0

−4 0 0

0 3 1

.

Ejercicio 5. 5%.Determine las corrientes I1, . . . , I5 de la siguiente red, usando las leyes de Kirchhoff y Ohm,y haga la comprobacion. Puede resolver el sistema de ecuaciones lineales con ayuda de algunprograma.

+−34V

I1

+− 17V

I2

+−

7V

I5

I3

I4

Tarea 2, variante 38, pagina 2 de 4

Page 159: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 6. 2%.Construya la factorizacion LU de la matriz A. Haga la comprobacion de la igualdad A = LU.

A =

−2 2 3 2

−6 7 5 2

−2 1 8 3

−6 8 2 −7

.

Ejercicio 7. 1%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion LU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−2 2 3 2

−6 7 5 2

−2 1 8 3

−6 8 2 −7

x =

−1−22

5

.

Ejercicio 8. 1%.Calcule la permutacion ψ = ϕ−1, las matrices Pϕ y Pψ de las permutaciones ϕ y ψ, y losproductos PϕA, APϕ, PψB y BPψ.

ϕ =

(1 2 3 4

1 3 4 2

), A =

8 4 6 −47 1 −9 −2

−3 −7 −1 3

−6 2 9 −5

, B =

1 −6 −9 −58 −4 −3 2

−7 7 5 −24 −8 3 9

.

Ejercicio 9. 1%.Encuentre las matrices de permutaciones Pϕ y Pψ que cumplan con las siguientes igualdades.Escriba las permutaciones correspondientes ϕ y ψ.

−5 1 8 −17 5 0 −82 −7 −9 −4

−6 3 4 −2

=

7 5 0 −8

−6 3 4 −22 −7 −9 −4

−5 1 8 −1

,

−4 8 −8 −5−9 0 −1 5

7 6 9 4

−3 −7 1 2

Pψ =

−8 −4 8 −5−1 −9 0 5

9 7 6 4

1 −3 −7 2

.

Tarea 2, variante 38, pagina 3 de 4

Page 160: Tarea 2. Variante M etodos num ericos I, Ingenier a matem ...esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/task_syslineq_es.pdf · Tarea 2, variante , p agina 1 de 4. Ejercicio 4. 2%.

Ejercicio 10. 3%.Construya una factorizacion PLU de la matriz A Haga la comprobacion de la igualdadPA = LU.

A =

−4 −4 −5 1

12 12 15 −14 6 1 −54 2 7 7

.

Ejercicio 11. 2%.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la factorizacion PLU obtenidaen el problema anterior. Haga la comprobacion.

−4 −4 −5 1

12 12 15 −14 6 1 −54 2 7 7

x =

−24

−42

.

Ejercicio 12. 1%.Esta dada una matriz aumentada A despues del primer paso de la eliminacion de Gauss. Elijael pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo:

I. Eliminacion con pivotes diagonales (en otras palabras, sin pivoteo).

II. Pivoteo parcial.

III. Pivoteo parcial escalado.

Justifique las respuestas. No aplique las operaciones elementales, solamente indique el elementopivote para cada una de las tres estrategias.

A =

−5 −1 −4 −4 2 −70 −5 −3 8 −9 0

0 −8 −1 −3 −3 −70 −9 0 2 −2 −70 1 1 −7 6 −4

.

Tarea 2, variante 38, pagina 4 de 4