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MatematicasAvanzadas

paraIngenierıa:

Transformadade Fourier

Departamentode

Matematicas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Transformada de Fourier

Departamento de Matematicas

MA3002


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F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Transformada de FourierDada una funcion f (x) una funcion, no necesariamenteperiodica, tal que ∫ ∞

−∞|f (x)| dx <∞

entonces la transformada de Fourier de f (x) se define como

f (ω) = F (ω) = F {f (x)} =

∫ ∞−∞

f (x) e−ω i xdx

La transformada inversa de Fourier de F (ω) se define como

f (x) = F−1 {F (ω)} =1

2π

∫ ∞−∞

F (ω) e+i x ωdω

En el contexto de las senales se usa el sımbolo j en lugar de i yse usa como variable independiente t.


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Codigo en la TI para la transformada deFourier

No olvide asignar adecuadamente la variable asumes antes deejecutar este programa. Puede inicializarla haciendo:true → asumes


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Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Ejemplo 1Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

Pτ (x) = f (x) =

0 para −∞ < x < −1

2τ1 para −1

2τ < x < 12τ

0 para 12τ < x < ∞

−τ/2 τ/2

1

F {f (x)} =∫∞−∞ f (x) e−ω i x dx

=∫ τ/2−τ/2 e

−ω i x dx = − 1ω i

[e−ω i x

]x=τ/2x=−τ/2

= − 1ω i

[e−ω i τ/2 − eω i τ/2

]= − 1

ω i [(cos(ω τ/2)− sen(ω τ/2) i)−(cos(ω τ/2) + sen(ω τ/2) i)]

= 2sen( 1

2τ ω)

ω


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Solucion del ejemplo 1 en la TI


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Tabla

f (x) f (ω)

Pτ (x) 2sen( 1

2τ ω)

ω


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Propiedad de LinealidadSi f (x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entoncestambien c1 f (x) + c2 g(x) la admite y

F {c1 f (x) + c2 g(x)} = c1 F {f (x)}+ c2 F {g(x)}

F−1{c1 f (ω) + c2 g(ω)

}= c1 f (x) + c2 g(x)


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Tabla

f (x) f (ω)

Pτ (x) 2sen( 1

2τ ω)

ω12 P2 a(x) sen(aω)

ω


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Ejemplo 2Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular dealtura b:

f (x) =

0 para −∞ < x < −1

2τb para −1

2τ < x < 12τ

0 para 12τ < x < ∞

F {f (x)} = F {b Pτ (x)}= bF {Pτ (x)}= b 2

sen( 12τ ω)

ω

= 2 bsen( 1

2τ ω)

ω


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):

Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.

δ(x) = limτ→0

1

τPτ (x)

−2 21/4

−1 1

1/2

−1/2 1/2

1

−1/4 1/4

2

−1/8 1/8

4

F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)

}= limτ→0

(1τ 2

sen( 12τ ω)

ω

)= limτ→0

sen( 12τ ω)

12τ ω

= 1


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω



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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Tabla

f (x) f (ω)

Pτ (x) 2sen( 1

2τ ω)


ω

δ(x) 1


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Ejemplo 4Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponenciallateral f (x) = u(x) e−a x :

f (x)

f (ω) =

∫ ∞0

e−a x e−ω x i dx

=

∫ ∞0

e−(a+ω i) x dx

= limN→∞

(− 1

a + ω i

[e−(a+ω i) x

]x=N

x=0

)= − 1

a + ω ilim

N→∞

(e−(a+ω i)N − 1

)= − 1

a + ω ilim

N→∞

(e−aN (cos(ωN)− sen(ωN) i)− 1

)= 1

a+ω i = aa2+ω2 − ω

a2+ω2 i


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F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω



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TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Tabla

f (x) f (ω)

Pτ (x) 2sen( 1

2τ ω)


ω

δ(x) 1

u(x) e−a x 1a+ω i = a

a2+ω2 − ωa2+ω2 i


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Ejemplo 5Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = e−a |x |:

f (x)

f (x)

F (ω) = f (ω) =2 a

a2 + ω2


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω



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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Tabla

f (x) f (ω)

Pτ (x) 2sen( 1

2 τ ω)ω

12 P2 a(x) sen(aω)

ω

δ(x) 1u(x) e−a x 1

a+ω i = aa2+ω2 − ω

a2+ω2 i

e−a |x| 2 aa2+ω2


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TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Traslacion en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier xo tambien f (x − xo) la admite y

F {f (x − xo)} = e−iω xoF {f (x)} = e−iω xo f (ω)

F−1{e−iω xo f (ω)

}= f (x − xo)


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F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Ejemplo 6Calcule la transformada de Fourier de g(x):

g(x) =

{0 para t < 3 y t > 76 para 3 ≤ x < 7

3 7

6

5

4

Observamos que g(x) = 6P4(x − 5), y por tanto

g(ω) = F {6P4(x − 5)} = 6 e−iω 5 F {P4(x)}

=(6 e−iω 5

) (2

sen( 124ω)

ω

)= 12 e−5ω i · sen(2ω)

ω


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TI:F {f (x)}

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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Ejemplo 7Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):

G (ω) =e2 iω

5 + iω

F−1 {G (ω)} = F−1{

e2 iω

5+iω

}= F−1

{e−iω (−2) · 1

5+iω

}= F−1

{1

5+iω

}x=x−(−2)

=[u(x) e−5 x

]x=x+2

= u(x + 2) e−5 (x+2)


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Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Escalamiento en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier a 6= 0 tambien f (a x) la admite y

F {f (a x)} =1

|a|F {f (x)}ω=ω/a =

1

|a|f(ωa

)

F−1{f(ωa

)}= |a| f (a x)

Otra propiedad: Simetrıa

F{f (x)

}= 2π f (−ω)


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Ejemplo 8Calcule las transformadas de Fourier de:

f (x) =

{1− |x | para − 1 ≤ x ≤ 10 otro caso

g(x) =

{1− |7 x | para − 1/7 ≤ x ≤ 1/70 otro caso

−1 1−1/7 1/7

1

De la definicion de la transformada de Fourier:

f (ω) = 2−2cos(ω)ω2

g(ω) =14−14cos( 1

7ω)

ω2

observamos que como g(x) = f (7 x), se cumpleg(ω) = 1

7 f (17 ω).


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Traslacion en frecuenciaSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier ωo tambien e iωo x f (x) la admite y

F{e iωo x f (x)

}= F {f (x)}ω=ω−ωo

= f (ω − ωo)

Su version la la transformada de Fourier inversa queda:

F−1{f (ω − ωo)

}= e iωo x f (x)


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Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Diferenciacion respecto a la primera variableSea n un entero positivo. Suponga que

• f (n−1)(x) es continua;

• f (n)(x) es continua a pedazos en cada intervalo finito

• f (x) es absolutamente convergente en (−∞,+∞);

• y quelim

x→−∞f (k)(x) = 0 = lim

x→+∞f (k)(x)

para k = 0, 1, . . . , n − 1. Entonces

entonces

F{f (n)(x)

}= (iω)n f (ω)


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Linealidad

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F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

EjemploResuelva la ecuacion diferencial

y ′(x)− a y(x) = u(x) e−b x

suponga que a y b con reales positivos (a 6= b).Tomando la transformada de Fourier en ambos tenemos:

F {y ′(x)− a y(x)} = F{u(x) e−b x

}F {y ′(x)} − aF {y(x)} = F

{u(x) e−b x

}iω f (ω)− a f (ω) = 1

b+ω i

Despejando y(ω):

f (ω) =1

(−a + ω i) (b + ω i)=

A

−a + ω i+

B

b + ω i

donde

A =1

b + (−a i) i=

1

b + ay B =

1

−a + (b i) i= − 1

a + b


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Linealidad

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F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

De

f (ω) =1

(b + a)· 1

(−a + b i)− 1

(a + b)

1

(b + ω i)

deducimos que

f (x) = F−1{f (ω)

}=

1

(b + a)u(x) ea x − 1

(a + b)u(x) e−b x

Ejercicio: trate el caso a = b.


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Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Diferenciacion respecto a la variablefrecuenciaSea n un entero positivo. Suponga que

• f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito

• xn f (x) es absolutamente convergente en (−∞,+∞);

entonces

F {xn f (x)} = indn

dωnf (ω)

Esta es una consecuencia de la Regla de Leibniz para ladiferenciacion bajo la integral:

d

dλ

∫f (x , λ) dx =

∫ (∂

∂λf (x , λ)

)dx


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Ejemplo 2

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Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

EjemploCalcule

F{x u(x) e−a x

}F{x2 e−a |x |

}suponga que a es real positivo.


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Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Diferenciacion respecto a la variablefrecuenciaSuponga que

• f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito

• f (x) es absolutamente convergente en (−∞,+∞);

• f (ω = 0) = 0

entonces

F

{∫ x

−∞f (y) dy

}=

1

iωf (ω)

Recuerde que si

g(x) =

∫ x

−∞f (y) dy

entonces g ′(x) = f (x). Tambien observe que

limx→−∞

g(x) = 0 = limx→∞

g(x)


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Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

ConvolucionSean f (x) y g(x) funciones definidas en la recta real quecumplen:

1

∫ b

af (x) dx y

∫ b

ag(x) dx existen para todo intervalo [a, b].

2 Para todo x ∫ ∞−∞|f (y) g(x − y)| dy

converge.

En este caso la convolucion f ∗ g de f (x) con g(x) se definecomo la funcion

(f ∗ g)(x) =

∫ ∞−∞

f (y) g(x − y) dy


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Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

EjemplosObservando que para senales f (x) y g(x) que son cero parax < 0:

(f ∗ g)(x) =

∫ ∞−∞

f (y) g(x − y) dy =

∫ x

0f (y) g(x − y) dx

Realice algunas convoluciones de la liga del MIT:

http://math.mit.edu/mathlets/mathlets/

Para senales que en el par no son cero calcule

e−a |x | ∗ u(x)

e−a |x | ∗ e−b |x |e−a |x | ∗ sen(b x)

http://math.mit.edu/mathlets/mathlets/


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Linealidad

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Ejemplo 4

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Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Convolucion en el tiempoSean f (x) y g(x) funciones que admiten transformada deFourier y sean f (ω) y g(ω) sus transformadas de Fourier.Entonces

F {(f ∗ g)(x)} = f (ω) · g(ω)

Es decir, la transformada de la convolucion entre dos funcioneses el producto de las transformadas de ambas funciones. Estaformula en su version para la transformada inversa queda:

F−1{f (ω) · g(ω)

}= (f ∗ g)(x)


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Linealidad

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F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion ω

Derivacion x

Derivacion ω

Calcule:

F−1{

1

(4 + ω2) (9 + ω2)

}

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