Identidades trigonométricas (ultimos temas de la tarea)

5/13/2018 Identidades trigonométricas (ultimos temas de la tarea) - slidepdf.com

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Identidades trigonométricasUna identidad trigonométrica es una igualdad entreexpresiones que contienen funciones trigonométricas yes válida para todos los valores del ángulo en los que

están definidas las funciones (y las operacionesaritméticas involucradas).

Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2αes (sen α)2

Relaciones básicas

Relación

pitagórica

Identidad de la

razón

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese queestas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo,

si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque

es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber enqué cuadrante está θ.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

s

e

n

c

o

s

ta

n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas



c

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s

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cs

c

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que

tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas

senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal delmismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal



Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios deltipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla nicalculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes funciones .

== Teoremas de la

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulosconsecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y lasrestantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_suplementarios

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_complementarios

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_suplementarios

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_complementarios



:

Ejercicios de identidades trigonométricas

Comprobar las identidades trigonométricas:

1



2

3

4



5

Ecuaciones TrigonométricasUna ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funcionestrigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de lasfunciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar

un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidadestrigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una solafunción trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuacionesalgebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, esdecir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar adeterminar cuál es ese ángulo.

Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de lasecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cos x = 2, el quedebemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También,debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la

ecuación original.Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hayque tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución deuna ecuación trigonométrica de la forma tri x = a (donde tri: es una de las seis funcionestrigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función). Además, debido aque cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ánguloequivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es,k360°, y k es un entero.

Ejemplo ilustrativo1:



Ejemplo ilustrativo 4:

Ejemplo ilustrativo 5:



Bibliografía:http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas

http://www.aritor.com/trigonometria/ejercicios_identidades.html

http://www.salonhogar.net/Trigonometria/P8.htm

http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_4.html

http://filemon.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/probleectrig.htm

Glosario:

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas





http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas





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