Bases Matemáticas - Aula 15 – Funções trigonométricas

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  • Bases MatemticasAula 15 Funes trigonomtricas

    Rodrigo Hausen

    21 de novembro de 2012

    v. 2012-11-21 1/1

  • Medida de um ngulo em radianos

    ngulo delimita um arco PR_ no crculo trigonomtrico (crculode raio 1 e centro na origem).

    0R

    P

    1

    x

    Medida de : comprimento do arco PR_ medido no sentidoanti-horrio

    Medida de : x rad (giro completo: 2 rad)

    v. 2012-11-21 2/1

  • Medida de um ngulo em radianos

    ngulo delimita um arco PR_ no crculo trigonomtrico (crculode raio 1 e centro na origem).

    0R

    P

    1

    x

    Medida de : comprimento do arco PR_ medido no sentidoanti-horrioMedida de : x rad

    (giro completo: 2 rad)

    v. 2012-11-21 2/1

  • Medida de um ngulo em radianos

    ngulo delimita um arco PR_ no crculo trigonomtrico (crculode raio 1 e centro na origem).

    0R

    P

    1

    x

    Medida de : comprimento do arco PR_ medido no sentidoanti-horrioMedida de : x rad (giro completo: 2 rad)

    v. 2012-11-21 2/1

  • Definio das funes seno e cossenoDado o arco PR_ de comprimento x no crculo unitrio, onde P temcoordenadas (a,b), definimos as funes sen R R e cos R Rtais que:

    sen (x) = b cos (x) = a

    OR

    P = (a,b)

    1

    cos (x)

    sen (x)

    x

    A partir da definio, temos a seguinte propriedade:[sen (x)]2 + [cos (x)]2 = 1 x R

    tambm denotada sen2(x) + cos2(x) = 1

    v. 2012-11-21 3/1

  • Definio das funes seno e cossenoDado o arco PR_ de comprimento x no crculo unitrio, onde P temcoordenadas (a,b), definimos as funes sen R R e cos R Rtais que:

    sen (x) = b

    cos (x) = a

    OR

    P = (a,b)

    1

    cos (x)

    sen (x)

    x

    A partir da definio, temos a seguinte propriedade:[sen (x)]2 + [cos (x)]2 = 1 x R

    tambm denotada sen2(x) + cos2(x) = 1

    v. 2012-11-21 3/1

  • Definio das funes seno e cossenoDado o arco PR_ de comprimento x no crculo unitrio, onde P temcoordenadas (a,b), definimos as funes sen R R e cos R Rtais que:

    sen (x) = b

    cos (x) = a

    OR

    P = (a,b)

    1

    cos (x)

    sen (x)

    x

    A partir da definio, temos a seguinte propriedade:[sen (x)]2 + [cos (x)]2 = 1 x R

    tambm denotada sen2(x) + cos2(x) = 1

    v. 2012-11-21 3/1

  • Definio das funes seno e cossenoDado o arco PR_ de comprimento x no crculo unitrio, onde P temcoordenadas (a,b), definimos as funes sen R R e cos R Rtais que:

    sen (x) = b cos (x) = a

    OR

    P = (a,b)

    1

    cos (x)

    sen (x)

    x

    A partir da definio, temos a seguinte propriedade:[sen (x)]2 + [cos (x)]2 = 1 x R

    tambm denotada sen2(x) + cos2(x) = 1

    v. 2012-11-21 3/1

  • Definio das funes seno e cossenoDado o arco PR_ de comprimento x no crculo unitrio, onde P temcoordenadas (a,b), definimos as funes sen R R e cos R Rtais que:

    sen (x) = b cos (x) = a

    OR

    P = (a,b)

    1

    cos (x)

    sen (x)

    x

    A partir da definio, temos a seguinte propriedade:[sen (x)]2 + [cos (x)]2 = 1 x R

    tambm denotada sen2(x) + cos2(x) = 1

    v. 2012-11-21 3/1

  • Definio das funes seno e cossenoDado o arco PR_ de comprimento x no crculo unitrio, onde P temcoordenadas (a,b), definimos as funes sen R R e cos R Rtais que:

    sen (x) = b cos (x) = a

    OR

    P = (a,b)

    1

    cos (x)

    sen (x)

    x

    A partir da definio, temos a seguinte propriedade:[sen (x)]2 + [cos (x)]2 = 1 x R

    tambm denotada sen2(x) + cos2(x) = 1v. 2012-11-21 3/1

  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)

    0 0 1/4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2

    /2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo) 0 1

    v. 2012-11-21 4/1

  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0

    0 1/4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2

    /2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo) 0 1

    v. 2012-11-21 4/1

  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo) 0 1

    v. 2012-11-21 4/1

  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2

    /2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo) 0 1

    v. 2012-11-21 4/1

  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2

    /2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo) 0 1

    v. 2012-11-21 4/1

  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto)

    1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo) 0 1

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  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto) 1 0

    (ngulo raso) 0 13/2 1 0

    2 (giro completo) 0 1

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  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso)

    0 13/2 1 0

    2 (giro completo) 0 1

    v. 2012-11-21 4/1

  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo) 0 1

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  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2

    1 02 (giro completo) 0 1

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  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 0

    2 (giro completo) 0 1

    v. 2012-11-21 4/1

  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo)

    0 1

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  • Valores notveis

    x sen (x) cos (x)0 0 1

    /4 (metade ngulo reto)

    2/2

    2/2/2 (ngulo reto) 1 0 (ngulo raso) 0 1

    3/2 1 02 (giro completo) 0 1

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  • Propriedades do seno e do cosseno

    sen2(x) + cos2(x) = 1

    Im sen = [1;1]Im cos = [1;1]sen (x + 2k) = sen (x) para todo x R, k Zcos (x + 2k) = cos (x) para todo x R, k Zsen (x) = sen (x) x R (seno funo mpar)cos (x) = cos (x) x R (cosseno funo par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) x , y Rsen (x y) = sen (x) cos (y) sen (y) cos (x) x , y Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) sen (x) sen (y) x , y Rcos (x y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) x , y R

    Cuidado: na expanso de cos (x y) o sinal sempre trocado!

    v. 2012-11-21 5/1

  • Propriedades do seno e do cosseno

    sen2(x) + cos2(x) = 1Im sen = [1;1]

    Im cos = [1;1]sen (x + 2k) = sen (x) para todo x R, k Zcos (x + 2k) = cos (x) para todo x R, k Zsen (x) = sen (x) x R (seno funo mpar)cos (x) = cos (x) x R (cosseno funo par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) x , y Rsen (x y) = sen (x) cos (y) sen (y) cos (x) x , y Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) sen (x) sen (y) x , y Rcos (x y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) x , y R

    Cuidado: na expanso de cos (x y) o sinal sempre trocado!

    v. 2012-11-21 5/1

  • Propriedades do seno e do cosseno

    sen2(x) + cos2(x) = 1Im sen = [1;1]Im cos = [1;1]

    sen (x + 2k) = sen (x) para todo x R, k Zcos (x + 2k) = cos (x) para todo x R, k Zsen (x) = sen (x) x R (seno funo mpar)cos (x) = cos (x) x R (cosseno funo par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) x , y Rsen (x y) = sen (x) cos (y) sen (y) cos (x) x , y Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) sen (x) sen (y) x , y Rcos (x y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) x , y R

    Cuidado: na expanso de cos (x y) o sinal sempre trocado!

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  • Propriedades do seno e do cosseno

    sen2(x) + cos2(x) = 1Im sen = [1;1]Im cos = [1;1]sen (x + 2k) = sen (x) para todo x R, k Z

    cos (x + 2k) = cos (x) para todo x R, k Zsen (x) = sen (x) x R (seno funo mpar)cos (x) = cos (x) x R (cosseno funo par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) x , y Rsen (x y) = sen (x) cos (y) sen (y) cos (x) x , y Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) sen (x) sen (y) x , y Rcos (x y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) x , y R

    Cuidado: na expanso de cos (x y) o sinal sempre trocado!

    v. 2012-11-21 5/1

  • Propriedades do seno e do cosseno

    sen2(x) + cos2(x) = 1Im sen = [1;1]Im cos = [1;1]sen (x + 2k) = sen (x) para todo x R, k Zcos (x + 2k) = cos (x) para todo x R, k Z

    sen (x) = sen (x) x R (seno funo mpar)cos (x) = cos (x) x R (cosseno funo par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) x , y Rsen (x y) = sen (x) cos (y) sen (y) cos (x) x , y Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) sen (x) sen (y) x , y Rcos (x y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) x , y R

    Cuidado: na expanso de cos (x y) o sinal sempre trocado!

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  • Propriedades do seno e do cosseno

    sen2(x) + cos2(x) = 1Im sen = [1;1]Im cos = [1;1]sen (x + 2k) = sen (x) para todo x R, k Zcos (x + 2k) = cos (x) para todo x R, k Zsen (x) = sen (x) x R (seno funo mpar)

    cos (x) = cos (x) x R (cosseno funo par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) x , y Rsen (x y) = sen (x) cos (y) sen (y) cos (x) x , y Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) sen (x) sen (y) x , y Rcos (x y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) x , y R

    Cuidado: na expanso de cos (x y) o sinal sempre trocado!

    v. 2012-11-21 5/1

  • Propriedades do seno e do cosseno

    sen2(x) + cos2(x) = 1Im sen =